分式方程解法与增根
《分式方程》 讲义
《分式方程》讲义一、什么是分式方程在我们学习数学的过程中，方程是一个非常重要的概念。
之前我们接触过一元一次方程、二元一次方程等，今天我们要来认识一种新的方程类型——分式方程。
那到底什么是分式方程呢？分式方程是指方程里含有分式，并且分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。
比如说，像这样的方程：＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，＄＼frac{2}｛x} ＋ 3 ＝ 5$ ，它们都是分式方程。
因为在这些方程中，分母中都含有未知数。
二、分式方程的解法接下来，我们重点来学习一下分式方程的解法。
解分式方程的一般步骤可以总结为以下几步：1、去分母这是解分式方程最为关键的一步。
我们要找到所有分式的最简公分母，然后将方程两边同时乘以这个最简公分母，把分式方程化为整式方程。
例如，对于方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ ，最简公分母是＄x 1$ ，方程两边同时乘以＄x 1$ ，得到＄x ＝ 2(x 1)＄。
2、解整式方程完成去分母后，我们得到了一个整式方程。
接下来，按照解整式方程的方法求解这个方程。
就以上面得到的整式方程＄x ＝ 2(x 1)＄为例，展开得到＄x ＝2x 2$ ，移项可得＄2x x ＝ 2$ ，即＄x ＝ 2$ 。
3、检验这一步非常重要，却很容易被忽略。
我们将求得的解代入原分式方程的分母中，如果分母不为零，那么这个解就是原分式方程的解；如果分母为零，那么这个解就是增根，原分式方程无解。
还是以方程＄＼frac{x}｛x-1} ＝ 2$ 为例，把＄x ＝ 2$ 代入分母＄x 1$ ，＄2 1 ＝ 1$ ，不为零，所以＄x ＝ 2$ 是原方程的解。
三、分式方程的增根在解分式方程的过程中，增根是一个需要特别关注的概念。
增根是分式方程化为整式方程后，产生的使分式方程的分母为零的根。
为什么会产生增根呢？这是因为在去分母的过程中，我们乘以了一个含有未知数的式子，这个式子有可能为零。
而等式两边同乘以零是不符合数学规则的，所以可能会产生额外的根，也就是增根。
分式方程的增根探讨
分式方程的增根探讨随着数学的不断发展，分式方程作为一种重要的数学工具，已经在各个领域被广泛应用。
分式方程的解法也相对来说比较困难，为此，增根成为了重要的研究方向。
本文将分带大家探讨关于分式方程增根的问题。
一、分式方程的定义和分类分式方程指的是形如$\frac{P(x)}{Q(x)}= k$ 的方程，其中$P(x)$ 和$Q(x)$ 是多项式函数，$k$ 是一个常数。
分式方程的解法通常包括直接合并分式、通分、约分等步骤。
根据$Q(x)$ 的零点，分式方程可以分为以下几类：1.有单根如果$Q(x)$ 有一个重根或者两个不同的根，那么这个分式方程就称为有单根。
例如：$\frac{x^2}{(x-1)^2}=3$。
2.有零根如果$Q(x)$ 的根不是重根且都是实数，那么这个分式方程就称为有零根。
例如：$\frac{1}{x^2-9}=4$。
3.有虚根如果$Q(x)$ 的根都是虚数，则这个分式方程就称为有虚根。
例如：$\frac{x^2+1}{x^2-1}=5$。
4.无根如果$Q(x)$ 在实数范围内没有根，那么这个分式方程就称为无根。
例如：$\frac{x^2+1}{x^2+9}=2$。
以上是分式方程的分类情况，接下来将探讨分式方程的增根问题。
二、分式方程的增根问题当分式方程的分母的次数小于分子的次数时，通常情况下，分式方程就不是方程的形式了，而是一个分段函数。
例如：$\frac{x}{x^2-4}=2$，这个方程的分母次数小于分子次数，无法直接处理。
在这种情况下，增根就成为了解决这类问题的一种常用手段。
增根的思想就是将分母的次数提高到大于等于分子的次数，使得分式方程恢复到方程的形式。
这通常需要在两侧同时乘一个新的多项式。
下面以一个例子来说明增根的具体步骤：例子1：求方程$\frac{x}{x^2-4}=2$ 的解。
步骤1：将方程两侧都乘以$x^2-4$，得到$x=2x^2-8$。
步骤2：将方程变形$2x^2-x-4=0$。
分式方程知识点归纳总结
分式方程知识点归纳总结1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。
用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。
C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=411=+b a bb a b ab a 7223-++-例：已知 ，则求2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题
含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题【要点梳理】要点一 分式方程的增根分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；要点二 分式方程的无解而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.【典型例题】类型一、概念理解1.分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做________．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．【答案】增根解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做增根，故答案为：增根．2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】 整式 分式分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．故答案为：整式，分式类型二、含参分式方程的增根3、关于x 的方程225111m x x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值． 【答案】－10或－4【分析】方程两边同时乘以21x -将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111m x x x +=+--的增根为±1， 当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.举一反三：【变式1】如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，求m 的值． 【答案】-3【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值． 解：由分式方程1134x m x x +-=-+去分母， 整理得（m+2）x=-4m-15，由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3， 当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．故m 的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知关于x 的方程214339m m x x x +-=+--． （1）若m ＝﹣3，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．【答案】（1）x ＝5.5；（2）m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【分析】（1）把m ＝−3代入原方程得23134339x x x -+-=+--，方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），分式方程转化为整式方程，m （x −3）＋（x ＋3）＝m ＋4，整理得（m ＋1）x ＝1＋4m ，原分式方程无解，m ＋1＝0，m ＝−1，然后把x ＝3．x ＝−3分别代入整式方程求m 值．解：（1）依题意把m ＝﹣3代入原方程得23134339x x x --+-=+--． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3）得，﹣3（x ﹣3）+（x +3）＝1，解得x ＝5.5，检验：把x ＝5.5代入（x +3）（x ﹣3）≠0．∴x ＝5.5是原方程的解；（2）当（x +3）（x ﹣3）＝0时．x ＝±3． 方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3），得，m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4，整理得（m +1）x ＝1+4m ，∵原分式方程无解．∴m +1＝0，m ＝﹣1．把x ＝±3代入m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4． m ＝2，m ＝﹣47． ∴m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47． 【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m 的值．类型三、含参分式方程的有解、无解问题4、若关于x 的分式方程212111m x x x -=--+无解．求m 的值． 【答案】2或－4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝1或−1，代入整式方程即可求出m 的值．解：分式方程两边同乘（x ＋1）（x −1），去分母得：m －（x ＋1）＝2（x −1），整理得：3x ＝m ＋1，由分式方程无解得到x −1＝0，或x ＋1＝0，即x ＝1或−1，代入整式方程得：m ＝2或－4．【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．举一反三：【变式1】关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？ 【答案】3k ≠-且5k ≠.【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；解：方程去分母得：()()3160x x x k -+-+=，去括号得：3360x x x k -+--=，移项、合并得：83x k =+，∵该分式方程有解，∴0x ≠且1x ≠，即30k +≠，且38k +≠，解得：3k ≠-目5k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．【变式2】若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值． 【答案】a ＝1或8或﹣6．【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．类型四、分式方程的增根和无解综合5、有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程3122++=--x m x x 无解，则m ＝1；③关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是____．（填序号） 【答案】②③【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断． 解：①当k 为负值时，多项式x 2﹣ky 2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程3122++=--x mx x两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝52m，∵原分式方程无解，∴x＝2，∴52m＝2，解得m＝1，故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴225x yy x+=⎧⎨-=-⎩，解得：31 xy=⎧⎨=-⎩则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy=⎧⎨=-⎩，故③正确．综上，正确答案为：②③．【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．举一反三：【变式1】已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1;(2)-2;(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得，5(3)100a -+=，∴a =1；(2) 由分式方程有增根，得到x （x -2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程(3)100a x -+=得：a=-2；把x=0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a -3）x =-10，当a -3=0时，该方程无解，此时a =3；当a -3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a =-2，综上，a 的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知W ＝（1122a a +-+）÷2244a a a -+． （1）化简W ；（2）若a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，求W 的值．（3）若12k W a +=+的解为正数，求k 的取值范围． 【答案】(1)22a a -+；(2)W 的值为13；(3)3k >-. 【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；（2）根据a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长可得a ＝4，将a ＝4代入即可得；（3）根据题意得2122a k a a -+=++，解得3a k =+，根据12k W a +=+的解为正数得30k +>，进行计算即可得．(1)解：2112()2244a W a a a a =+÷-+-+ =2222(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦ =22(2)(2)(2)2a a a a a-+- =22a a -+ 解：∵a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，∴a ＝4，2422124263a W a --====++． (3) 解：由题意得，2122a k a a -+=++， 21a k -=+3a k =+ ∵12k W a +=+的解为正数， ∴30k +>，2320a k +=++≠3k >-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3】阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证4a ≠-才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数，求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)6m ≥-且3m ≠-；(3)1n =或53． 【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m 的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n 的范围．(1)解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．(2) 解：原方程可化为233m x x x +=-- 去分母得：2(3)m x x +=-解得：6x m =+∵解为非负数∴60m +≥，即6m ≥-又∵30x -≠∴63m +≠，即3m ≠-∴6m ≥-且3m ≠-(3) 解：去分母得：322(3)x nx x -+-=--解得：(1)2n x -=∵原方程无解∴10n -=或者3x =①当10n -=时，得：1n =②当3x =时，23(1)n =-，得：53n = 综上：当1n =或53n =时原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．。
增根在分式方程中的灵活运用
增根在分式方程中的灵活运用增根在分式方程中的灵活运用增根是指适合所化的整式方程，但不适合原分式方程的根。
由此可见，增根必须同时满足两个条件：（1）是由分式方程转化成整式方程的的根。
（2）使最简公分母为零。
在解分式方程时，由于可能出现增根，因此我们在解分式方程时要验根，这是增根的基本用途。
在近几年中考中出现了一类关于分式方程增根灵活运用的题。
在近几年中考中出现了一类关于分式方程增根灵活运用的题。
下面我们来看两种类型的应下面我们来看两种类型的应用：用：（一）由增根求参数的值（一）由增根求参数的值这类题的解题思路为：这类题的解题思路为：①将原方程化为整式方程（两边同乘以最简公分母）；②确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）；③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
③将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值。
例：（2005扬州中考题）扬州中考题）若方程若方程)1)(1(6-+x x -1-x m=1有增根，则它的增根是（有增根，则它的增根是（ ））A A、、0B 0 B、、1C 1 C、、-1D -1 D、、1或-1分析：分析：使方程的最简公分母使方程的最简公分母使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,x=1,但不能忽略增根除满足最简公但不能忽略增根除满足最简公分母为零分母为零,,还必须是所化整式方程的根。
还必须是所化整式方程的根。
原方程易化成整式方程：原方程易化成整式方程：6-m(x+1)=x 2-1 整理得：整理得：m(x+1)=7-x 2当x= -1时,此时m 无解；无解；当x=1时,解得m=3。
由此可得答案为B 。
（二）由分式方程根的情况，求参数的取值范围（二）由分式方程根的情况，求参数的取值范围这类题的解题思路为这类题的解题思路为①将原方程化为整式方程。
①将原方程化为整式方程。
②把参数看成常数求解。
②把参数看成常数求解。
③根据根的情况，确定参数的取值范围。
分式方程的增根
分式方程的增根
分式方程在数学中具有非常重要的意义，它是用来解决特定问题的有
效工具。
本文将阐述分式方程的定义以及存在增根的情况，以及如何求解
分式方程增根的过程。
分式方程是一种用于解决特定问题的数学方式。
分式方程可以用参数
组合而成，它以未知数x和各种参数组合而成，其形式如下：f(x)=0 。
可以通过求导来求解分式方程。
如果该方程的导数小于0，意味着该方程有增根。
增根的定义为求解分式方程时，当x的取值产生一定的变化时，该方程的未知数x也会有所变化。
如果该方程的导数大于0，意味着该函数有负根，即x的变化会导致f(x)的变化减少。
因此，如何确定分式方程的增根是一个相当重要的步骤。
首先，通过
解导数确定是否存在增根，如果存在，则需要将分式方程变为一元一次方程，然后再解求根公式求解未知数x，从而得出其增根。
同时，要在获得分式方程的增根的同时，考虑到其他的变量，这样才
能得出最终的结果。
如果该分式方程中有其他变量，可以先将其带入到分
式方程中，然后解决该方程，最后确定出分式方程的增根。
总结起来，求解分式方程的增根，需要满足以下几个步骤：首先，通过解导数确定是否存在增根，其次，将分式方程转换为一元一次不等式，然后解求其增根，最后考虑其他变量，从而最终确定出分式方程的增根。
总的来说，分式方程是一种常见的数学问题，它的作用可以用于解决复杂的特定问题，它还具有增根的特性，所以一旦发现一个分式方程有增根，要仔细考虑如何求解该方程的增根，从而最终得出有效的结果。
分式方程的无解与增根
解得，m =1 2、把增根代入整式方程 求出字母的值。 ∴当m 1时，原方程有增根。 时，原方程无解。
∵原方程有增根 x 2，即2 3 - m ∵原方程无解
例4、当a为何值时，关于 x的方程 2 ax 3 + 2 = x - 2 x - 4 x+2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)， 得2(x＋2)＋ax＝3(x－2) 整理得（a－1）x＝－10
那么增根可能是___________________ X=2或x=-2 ． K=-8或k=-12 则k的值可能为______________
方法总结：1、化为整式方程。2、确定增根。 3、把增根代入整式方程求出字母的值。
x -3 m 有增根， 无解， 例3、若关于x的方程 x-2 2-x x -3 m 解：原方程可化为 =x -2 x-2 方程两边同乘以（ x - 2），得 x - 3 = -m 1、化为整式方程。 ∴x = 3 - m
例如： 0； X=-3 ( x 3)(x - 1) 3、分式方程若有增根，增根代入最简公分母
（√ 2 例如： = 0 0X=2 4、使分式方程的分母等 x 0的未知数的值一定
是分式方程的增根。
（× ）
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程的增根与无解
南门学校
欧成敏
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化
二解
目标
三检验 检验 a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
分式方程解法及增根问题例题
分式方程解法及增根问题例题分式方程解法及增根问题例题在代数学中，分式方程是指方程中含有分式的方程。
在解分式方程时，通常需要使用增根和减根的方法。
本文将介绍分式方程的解法以及增根问题，并提供一些例题进行讲解。
一、分式方程的解法解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将分式方程中的分式进行化简，使方程变得更加简单。
2. 通分：将方程中的分式通分，使得方程中的分母相同，便于计算和化简。
3. 求解：利用通分后的方程，进行运算和求解，得出方程的解。
对于分式方程 3/(x+2) = 1/(x-1)，首先可以将分式进行通分，得到3(x-1) = (x+2)。
然后进行计算和求解，得出 x 的值。
二、增根问题在解分式方程时，经常会遇到增根问题。
增根指的是在解出方程的根之外，还需要添加一些特殊的值，以满足方程的条件。
解决增根问题的一般步骤如下：1. 求解得到普通根：按照正常的解方程方法，求解得到方程的普通根。
2. 分析增根条件：分析方程中是否存在增根的条件，例如分式方程中的分母不能为零等条件。
3. 添加增根：根据增根的条件，添加符合条件的增根，让方程能够满足所有条件。
对于分式方程 1/(x-3) = 2/(x+2)，首先可以求解得到普通根 x=4。
然后分析发现，当 x=3 时，方程中的分母为零，因此需要添加增根 x=3，才能满足方程的条件。
三、例题讲解现在，我们通过一些例题来具体讲解分式方程的解法和增根问题。
例题1：解方程 2/(x-1) - 3/(x+2) = 1/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：2(x+2) - 3(x-1) = (x-3)2. 化简得到普通根：2x+4 - 3x+3 = x-33. 求解得到普通根：-x+7 = x-3，得到 x=54. 分析增根条件：当 x=1 时，分式中的分母为零。
5. 添加增根：添加增根 x=1，使得方程满足所有条件。
例题2：解方程 1/(x-2) + 2/(x+1) = 3/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：(x-2) + 2(x-3) = 3(x+1)2. 化简得到普通根：x-2 + 2x-6 = 3x+33. 求解得到普通根：3x-8 = 3x+3，得到矛盾4. 分析增根条件：由于方程中出现了矛盾，需要分析增根条件。
分式方程及其增根
分式方程及其增根【考点1 解分式方程】【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根). 【例1】（2020春•东阳市期末）小明在解一道分式方程1−x 2−x−1=2x−5x−2，过程如下：第一步：方程整理x−1x−2−1=2x−5x−2第二步：去分母…（1）请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 ； （2）请把以上解分式方程过程补充完整．【变式1-1】（2020春•梁平区期末）解下列分式方程： （1）1a+1+32−a=0； （2）xx+1=2x 3x+3+1．【变式1-2】（2020春•织金县期末）解方程 （1）x−2x+2+84−x 2=1； （2）1x−1−1=32x−2．【变式1-3】（2019秋•崇川区校级期末）解下列方程： （1）1x−2=1−x 2−x−3 （2）5x 2+x−1x 2−x=0【考点2 换元法解分式方程】【方法点拨】解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．【例2】（2019秋•台州期中）在解方程（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3＝0时，设x 2﹣2x ＝y ，则原方程可转化为y 2﹣2y ﹣3＝0，解得y 1＝﹣1，y 2＝3，所以x 2﹣2x ＝﹣1或x 2﹣2x ＝3，可得x 1＝x 2＝1，x 3＝3，x 4＝﹣1．我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：x 2+1x2−3x −3x =12，我们也可以类似用换元法设x +1x=y ，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（ ） A ．y 2﹣3y ﹣12＝0B ．y 2+y ﹣8＝0C ．y 2﹣3y ﹣14＝0D ．y 2﹣3y ﹣10＝【变式2-1】（2020春•遂宁期末）已知方程3x−1x 2+1−3x 2+33x−1=2，如果设3x−1x 2+1=y ，那么原方程可以变形成关于y 的方程为 ．【变式2-2】（2020•安徽模拟）已知方程x 2+x −3x 2+x=2，则2x 2+2x ＝ ． 【变式2-3】（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0，方程两边同时乘y 得：y 2﹣4＝0， 解得：y ＝±2，经检验：y ＝±2都是方程y −4y =0的解，∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1，当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程x−14x −xx−1=0中，设y =x−1x ，则原方程可化为： ； （2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ；（3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．【考点3 分式方程的解】【方法点拨】求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．【例3】（2020春•北碚区校级期末）若整数a 使得关于x 的方程2−3x−2=a2−x 的解为非负整数，且关于y的不等式组{3y−22+1＞y−22y−a 3≤0至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ） A ．6 B ．9 C ．13 D ．16【变式3-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）若实数a 使关于x 的不等式组{16a −x ＜72x +1＞3x+32有且只有2个整数解，且使关于x 的分式方程33−x−ax x−3=3有整数解，则满足条件的所有整数a 的和是（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．﹣1D ．1【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期末）如果关于x 的不等式组{x−m 3＜0x ＞3x −2的解集是x ＜1，且关于x 的分式方程x+4x−1+m 1−x=3有正整数解，则所有符合条件的m 的值之和为（ ） A ．9B ．8C ．4D ．3【变式3-3】（2019秋•九龙坡区校级期末）若关于x 的一元一次不等式组{x −13(3a −5)≤234x+33＞x +3无解，且关于y 的分式方程2y−a y−1−2y−31−y=2有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．7B ．8C ．14D ．15【考点4 分式方程的增根】【方法点拨】增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 【例4】（2020春•定远县期末）若关于x 的分式方程2m−1x−1−7x x−1=5有增根，则m 的值是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【变式4-1】（2019秋•梁子湖区期末）若关于x 的方程3x +ax x+1=2−3x+1有增根x ＝﹣1，则2a ﹣3的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【变式4-2】（2020秋•江华县期末）关于x的方程5x−5+axx2−25=3x+5有增根，则a＝（）A．﹣10或6B．﹣2或﹣10C．﹣2或6D．﹣2或﹣10或6【变式4-3】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，。
解分式方程的技巧
分式方程的解法和技巧1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。
然后解这个整式方程。
解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。
分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。
当y=－2时，x2＋x=－2。
∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。
4．拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。
特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。
例4解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。
5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。
6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
7．应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。
下面以合比定理为例来说明。
∴x（x2－3x＋2）－x（2x2－3x＋1）=0，即x（x2－1）=0，∴x=0或x=±1。
检验知，x=1是原方程的增根。
所以，原方程的根是x1=0，x2=－1。
解分式方程及增根,无解的典型问题含答案
分式方程1. 解分式方程思路是：（1） 在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2） 解这个整式方程。
（3） 把整式方程根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零根是原方程增根，必须舍去。
（4） 写出原方程根。
“一化二解三检验四总结”例1：解方程（1） 增根是使最简公分母值为零未知数值。
（2） 增根是整式方程根但不是原分式方程，所以解分式方程一定要验根。
例2：解关于x 方程有增根，则常数a 值。
解：化整式方程(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把增根代入整式方程求出字母值。
例3：解关于x 方程无解，则常数a 值。
解：化整式方程(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。
解得1a =原分式方程无解。
当10a -≠时，整式方程有解。
当它解为增根时原分式方程无解。
把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。
综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。
方法总结：1.化为整式方程。
2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程解为增根。
例4：若分式方程解是正数，求a 取值范围。
解：解方程且2x ≠，由题意得不等式组：解得2a <且4a ≠-思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。
2.根据题意列不等式组。
当堂检测1. 解方程答案：2x =是增根原方程无解。
2. 关于x 方程有增根，则a =-------答案：73. 解关于x 方程下列说法正确是（C ）A.方程解为5x m =+B.当5m >-时，方程解为正数C.当5m <-时，方程解为负数D.无法确定4.若分式方程无解，则a 值为-----------答案：1或-15. 若分式方程有增根，则m 值为-------------答案：-16.分式方程有增根，则增根为------------答案：2或-17. 关于x方程有增根，则k值为-----------答案：18. 若分式方程无解，则a值是----------答案：09.若分式方程无解,则m取值是------答案：-1或1 -210. 若关于x方程无解，则m值为-------答案：6，1011. 若关于x方程无解，求m值为-------答案：12.解方程答案13．解方程14. 解方程15. 解方程16. 关于x方程有增根，则m值-----答案：m=2或-217.当a为何值时，关于x分式方程无解。
分式方程 增根
分式方程 增根1. 什么是分式方程分式方程是指含有分式的方程，其中分式是由未知数构成的。
通常形式为：P (x )Q (x )=0，其中P (x )和Q (x )是多项式，且Q (x )≠0。
分式方程的解是使得方程成立的未知数的值。
解分式方程的关键是找到使得分式等于零的未知数的值。
2. 解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤如下：步骤1： 将分式方程化为通分方程，即将等式两边的分式化为相同的分母。
步骤2： 消去分母，将等式两边的分子相等，得到一个多项式方程。
步骤3： 解多项式方程，求出未知数的值。
步骤4： 检验解，将求得的未知数的值代入原方程，验证是否成立。
3. 解分式方程的例子例子1：解方程1x+1+2x−1=0。
步骤1： 将分式方程化为通分方程，通分后得到x−1x+1+2(x+1)(x+1)(x−1)=0。
步骤2： 消去分母，将等式两边的分子相等，得到(x −1)+2(x +1)=0。
步骤3： 解多项式方程，整理得到3x +1=0，解得x =−13。
步骤4： 检验解，将x =−13代入原方程，得到1−13+1+2−13−1=0，化简得到0=0，验证通过。
所以方程1x+1+2x−1=0的解为x =−13。
例子2：解方程2x+3−3x−2=0。
步骤1： 将分式方程化为通分方程，通分后得到2(x−2)(x+3)(x−2)−3(x+3)(x+3)(x−2)=0。
步骤2：消去分母，将等式两边的分子相等，得到2(x−2)−3(x+3)=0。
步骤3：解多项式方程，整理得到−x−4=0，解得x=−4。
步骤4：检验解，将x=−4代入原方程，得到2−4+3−3−4−2=0，化简得到0=0，验证通过。
所以方程2x+3−3x−2=0的解为x=−4。
4. 分式方程的增根分式方程的增根是指在解分式方程的过程中，引入了新的解。
增根的出现是由于在化简分式方程的过程中，可能会产生约去公因式的情况，而忽略了约去后分母为零的情况。
初中资料数学中增根是什么意思
数学中增根是什么意思
增根是指让分式方程无意义的根。
比如分式方程2/(x-1)-1/(x-
1)=0，按分式方程的解法,解出来x=1,但x=1却使原方程没有意义,那
么x=1就是增根。
增根，是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。
一元二次方
程与分式方程和其它以上者产生多解的方程在一定题设条件者下都可
能有增根。
在分式方程转化成整式梅西县方程的过程中，分式方程解
方程组的条件是使原方程分母不为零。
若整式方程的根使最简公分母
为0，（根使河凉方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫
做将原分式方程的增根。
增根是针对分式方程、根式方程版等方程的，对于分式方权程，
去分母后；对于根式方程，去根号后，得到的方程的解，方程组若其
中有使得原方程无象征意义的解，则这个解是增根。
而指对无解指的是不能满足方程等式成立的解。
如果相当程度要说明无解与增根的关系，那么：当分式方程或根
式方程所有求出的解都是增根，没有其它解，那么方程无解。
所以无
解的范围比增根的范围大。
例如分式方程，解出两个解，一个是增根，另一个满足分式方程，那么分式方程就不是无解，但有增根。
解分式方程时什么情况下会产生增根
解分式方程时什么情况下会产生增根
在解一个方程时，如果出现了增根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。
1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x－2=0
的两边都乘x，变形成x（x－2）=0，新方程就比原方程多出一个根x=0．这是因为在方程两边都乘了一个x，这相当于用0乘以原方程的两边（0适合于新方程），而这是违反同解原理的。
2. 解分式方程时，去分母不一定会出现增根。
在将一个分式方程变形时，往往先将它化为整式方程，于是在分式方程的两边都乘以各分母的最低公倍式，这样可能不违反同
解原理，也可能违反同解原理，如将方程两边都乘以x，变形成x－2=1，新方程
有一个根x=3，它也是原方程的根。
x=3不是原方程的增根，这是因为在方程两边乘的x，是一个相当于3的非零数，这样做没有违反同解原理。
判别增根，只要通过把新方程的根代入去分母时在原方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根.
1。
分式方程出现增根的条件
分式方程出现增根的条件分式方程是一种含有分式的方程，它的解是一个或多个数值，使得方程两边的分式相等。
而增根是指分式方程增加了解的数量，即方程的根的个数增加了。
那么什么样的条件下，分式方程会出现增根呢？一、分母为0的情况当分式方程的分母为0时，方程的根将增加。
因为在分式中，当分母为0时，分式的值将无定义，即分母为0的点是分式的奇点。
如果分母为0的点恰好是方程的解，则方程的根会增加。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{1}{x-2} = \frac{1}{x}$当$x$等于2时，方程的分母为0，因此2是方程的一个解。
此时，方程的根增加了一个。
二、方程的分子为0的情况当分式方程的分子为0时，方程的根也会增加。
因为在分式中，当分子为0时，分式的值为0，即分子为0的点是分式的根。
如果分子为0的点恰好是方程的解，则方程的根会增加。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x-1}{x+1} = 0$当$x$等于1时，方程的分子为0，因此1是方程的一个解。
此时，方程的根增加了一个。
三、方程的分子和分母同时为0的情况当分式方程的分子和分母同时为0时，方程的根也会增加。
因为在分式中，当分子和分母同时为0时，分式的值为0，即这个点是分式的根。
如果这个点恰好是方程的解，则方程的根会增加。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x-2}{x^2-4} = 0$当$x$等于2时，方程的分子和分母同时为0，因此2是方程的一个解。
此时，方程的根增加了一个。
分式方程出现增根的条件主要有三种情况：分母为0、分子为0、分子和分母同时为0。
在这些情况下，方程的根会增加，即分式方程会出现增根。
需要注意的是，分式方程的增根并不一定都是有效解，有些增根可能是无效解。
在解分式方程时，需要将增根代入方程进行验证，确认其是否为方程的有效解。
只有经过验证的增根才能成为方程的解。
总结起来，分式方程出现增根的条件有：分母为0、分子为0、分子和分母同时为0。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
分式专项训练之07-分式方程的解与增根(含答案)
分式专项训练之七（分式方程的解与增根）含答案一．解答题（共30小题）1．已知关于x的分式方程无解，求m的取值范围．2．若关于x的方程﹣1=无解，求m的值．3．若关于x的方程无解，求m的值．4．若关于x的方程无解，求m的值．5．若关于x的方程无解，试确定a的值．6．如果关于x的分式方程：无解，试求可能的k值．7．（2012•锦州二模）若关于x的方程+1=无解，则m=_________．8．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．9．当m为何值时，分式方程的解不小于1．10．若方程2x+=﹣1的解是正数，求a的取值范围．11．若关于x的分式方程﹣=1的解为负数，求a的范围；若解为整数，求整数a的值．12．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是_________．13．已知分式方程=1的解为非负数，求a的取值范围．14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是_________；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．15．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是_________；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=的解是_________；（3）由（2）可知，在解方程：y+=时，可变形转化为x+=的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．16．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是_________；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是_________；知识拓展：（3）猜想关于x的方程x﹣=的解并验证你的结论（4）在解方程：y+=时，可将方程变形转化为（2）的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．17．（1）阅读以下内容：①根据以上规律，可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=_________（n为正整数）；②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=_________．（2）阅读下列材料，回答问题：关于x的方程：的解是x1=a，；的解是x1=a，；的解是x1=a，；…①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解；②请你写出关于x的方程的解．18．解方程：①=﹣1的解x=_________；②=﹣1的解x=_________；③=﹣1的解x=_________；④=﹣1的解x=_________；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并指出它的解．19．如下表，方程1，方程2，方程3…是按照一定规律排列的一列方程．===（2）已知方程的解是x=11，求a的值；该方程在表内的一列方程中吗？如果在，是第几个方程？（3）写出表内这列方程中的第n个方程和它的解，并验证这个解适合第n个方程．20．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．21．（2009•荆州二模）若关于x的方程有增根，求k的值．22．若关于x的方程=有增根，求m的值．23．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．24．若方程﹣=有增根，求m的值．25．关于x的方程=有增根，求m的值．26．m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？27．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．28．已知方程有增根x=1，求k的值．29．已知关于x的方程有增根，求m的值．30．（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．分式专项训练之七（分式方程的解与增根）含答案参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知关于x的分式方程无解，求m的取值范围．x=2．若关于x的方程﹣1=无解，求m的值．3．若关于x的方程无解，求m的值．解：方程x=4．若关于x的方程无解，求m的值．方程方程±5．若关于x的方程无解，试确定a的值．6．如果关于x的分式方程：无解，试求可能的k值．x=7．（2012•锦州二模）若关于x的方程+1=无解，则m=﹣4．解：∵+1=，8．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．x=，∴9．当m为何值时，分式方程的解不小于1．x=分式方程∴10．若方程2x+=﹣1的解是正数，求a的取值范围．＞．11．若关于x的分式方程﹣=1的解为负数，求a的范围；若解为整数，求整数a的值．﹣=1，∴12．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是m＜8且m≠4．分式方程13．已知分式方程=1的解为非负数，求a的取值范围．14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是x1=a，x2=；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．）根据给的具体方程的解得特点易得到方程；分别代入方程左边，易得到左右两边相等，根据分式方程的解即可得到都是方程的解；）把方程变形得到=a+，=a+，得到具有（=a，于是有，分别解即可得到原方程的解．；1+1+代入方程，左边=，左边是方程）方程变形得，=a+，=a+=a，1=．15．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是x1=5，x2=；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=的解是x1=a，x2=；（3）由（2）可知，在解方程：y+=时，可变形转化为x+=的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．=3+，由材料得出y+1=x+=5+，=x+的解是：==y+===3+，+=3+，．16．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是x1=5，x2=；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是x1=a，x2=；知识拓展：（3）猜想关于x的方程x﹣=的解并验证你的结论（4）在解方程：y+=时，可将方程变形转化为（2）的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．x+=5+的解是；=a+的解是=﹣的解为=﹣﹣（﹣（﹣；y+1+=3+，可得y+1=，解得：﹣17．（1）阅读以下内容：①根据以上规律，可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1（n为正整数）；②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=22014﹣1．（2）阅读下列材料，回答问题：关于x的方程：的解是x1=a，；的解是x1=a，；的解是x1=a，；…①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解；②请你写出关于x的方程的解．=3+3+，．18．解方程：①=﹣1的解x=0；②=﹣1的解x=1；③=﹣1的解x=2；④=﹣1的解x=3；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并指出它的解．方程为=的式子表示为=19．如下表，方程1，方程2，方程3…是按照一定规律排列的一列方程．===（2）已知方程的解是x=11，求a的值；该方程在表内的一列方程中吗？如果在，是第几个方程？（3）写出表内这列方程中的第n个方程和它的解，并验证这个解适合第n个方程．代入方程=，发现它是（），代入方程=所得方程为=个方程为====是方程=20．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：化简可得：x=﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：化简可得：x=）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣x==421．（2009•荆州二模）若关于x的方程有增根，求k的值．22．若关于x的方程=有增根，求m的值．±．23．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．24．若方程﹣=有增根，求m的值．25．关于x的方程=有增根，求m的值．26．m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？+会+=+=27．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．28．已知方程有增根x=1，求k的值．29．已知关于x的方程有增根，求m的值．30．（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．。
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分式方程（一）
1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.
例题1 下列方程中，哪些是分式方程？ ①5（x+1）+x=10 ②21=y
③
3
21x x
-=
+π
④42213+-+y y ⑤()x x 33221
=- ⑥
1212=+y
x
例题2 解下列分式方程
（1）
x
x 311=-；
（2）
x
x x 38741836---=-
（3）112112++=++-x x x x ；
（4）
11
4
112=---+x x x ；
（5）
021211=-++-x
x
x x ；
（6）
22
3
22=--+x x x ；
（7）
1
71372
22
2
--+
=--
+x x x
x x
x
（8）
2
1
23524245--+=--x x x x
（9）
01
1
2212
=-++--x x x x
（10）
8
6871252652
22
+--=---+-+x x x x x x x x x
（11）
12
752352
2+--=+--x x x
x x x
例题3：解分式方程：
（1）
4
1
215111+++=+++x x x x
（2）
8
7
329821+++++=+++++x x x x x x x x
（3）
)(11b a x
b b x a a ≠+=+
（4）
)
1999x )(1998x (1
.....)3x )(2x (1)2x )(1x (1)1x (x 1+++
++++++++ 并求当x=1时,该代数式的值
（5）若关于x 的分式方程9
13
23322
2---=+-x x x a 的解是x=4,则a 的值是多少？
（6）已知
322=+-y x y x ，则
x
y
的值是多少？
例4：若关于x 分式方程333112-+=--+x k x x x x x 有增根，求k 的值
1．若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。
2．若关于x 的方程1
1122
+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。
例5．若关于x 的方程
1
1
512
22--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。
1.若关于x 的方程
1
3
213+-
=++x x ax x 有增根x=-1,求a
2、关于x 的分式方程4
4
2212
-=++-x x k x 有增根x=-2，则k= .
家庭作业 1.解方程：
（1）
325+x ＝1
3
-x
（2）
4
16
222
--+-x x x ＝1
（3）
3
24
21132+-=
---x x x x
（4）
x
x x x -+=++45
35
（5）2
1
15115=-+x x （6）06
1
65122=-+-+-x x x x
2.如果解关于x 的方程
2
22-=
+-x x
x k 会产生增根，求k 的值.
3．若解分式方程2211
1x m x x x x x
++-=
++产生增根，则m 的值是（ ）
A.
--12
或 B.
-12或 C. 12或
D.
12
或- 4. m 为何值时，关于x 的方程
22432x m x x x
-+-=+2
会产生增
根？
5.若分式
1
53-+x x 无意义，当
021235=---x m x m 时，则m?
6.若m 等于它的倒数，求分式
224
442
2
2-+÷-++m m
m m m m 的值；
7.m 为何值时，关于x 的方程0111
x a x
x x x +-=--+有增根x=1,求a 的值
分式方程（二）
例1 若分式方程
12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围.
1．当k 为何值时，关于x 的方程1)
2)(1(23++-=++x x k
x x 的解为非负数.
2.当k 为何值时，关于 x 的方程()()
2
1121---
+=
-+x x x x x x k
的
解是正数？
例2 .m 为何值时，关于x 的方程
2
34222+=
-+-x x mx x 无解？
1.m 为何值时，关于x 的方程0)
1(163=-+--+x x m mx x x 有解？
2.关于x 的方程
322133x mx
x x
-++=---无解，求m 的值
例3:已知x 2+4y 2-4x+4y+5=0，求
2
24
42y
xy x y x -+-·22y xy y x --÷
(y
y x 22+)2
的值.
1.1
1124212
22-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .
2:已知：
1
21)12)(1(45---=---x B
x A x x x ，试求A 、B 的
值.
例题4: 已知：
311=+y
x ，求y xy x y xy x +++-2232的值.
1．已知：
311=-b a ，求a
ab b b ab a ---+232的值.
2．若0106222=+-++b b a a ，求
b
a b
a 532+-的值.
3、已知
0543≠==c b a ，求分式
c
b a c
b a ++-+323的值。
4.设0a b >>，2
260a b ab +-=，则
a b
b a
+-的值等于 ．
5.已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.
自我检测:
1.已知()0≠+++=+=+z y x x
z y y
z x z
y x ,求z
y x z y x ++-+的值
2、若实数
x y 、满足0xy ≠，则y x m x
y
=+
的最大值
是 ． 3、若3,111--+=
-b
a
a b b a b
a 则的值是
4、若2
22
2,2b a b ab a b a ++-=则=
5、如果
b a b a +=+111，则=+b
a a
b .
6、已知23=-+y x y x ，那么xy
y x 22+= . 7．已知x+
1x
=3，则x 2+
2
1x = ．
8、1110,()()()a b c b c c a a b a b c
++=+++++已知求的值 （ ） A 、-2 B 、-3 C 、-4 D 、-5
9、已知关于x 的方程32
2=-+x m
x 的解是正数，则m 的取值
范围为 .
10．若
1044m x
x x
--=--无解，则m 的值是 （ ） A. —2 B. 2 C. 3 D. —3
11.已知关于x 的方程
11
=+x a
的解是负数，则a 的取值范围
为
12.已知关于x 的分式方程
a x a =++1
1
2无解，试求a 的值.。