必修1第四章第6节：等时圆问题专题
高一物理-等时圆专题
一、何谓“等时圆”“等时圆”是从一道高考题得到的一个重要结论及其应用，高考原题如下：在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题 便于理解和接受。
基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：mg cos ma由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低 点的时间相等，均等于小球沿竖直直径（ d ）自由落体的时间。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始 沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等，均等于小球沿竖直直径（ 自由落体的时间。
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”、“等时圆”的应用，巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解.高一物理“等时圆”模型专题例1:如图3,通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所 在位置所构成的面是（ A.球面 B.抛物面 ） C.水平面 D.无法确定 解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆”上，所 以A 正确。
2004年江西高考试题：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆,a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环 （图 中未画出），三个滑环分别从 a 、b 、c 处释放（初速为 0）,用3、t 2、t 3依次表示 各滑环到达d 所用的时间，则（）A.t l <t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R,由牛顿第二定律得，再由几何关系, 细杆长度 L 2Rcos ②设下滑时间为 t,则L1at 22由以上三式得,可见下4滑时间与细杆倾角无关， 所以D 正确。
高中物理运动学中等时圆应用技巧(含答案)
1运动学等时圆运用问题一 等时圆问题引出（1）讨论：小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如图a ）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为g d g d a s t 2sin sin 220===ααg R2= （式中R 为圆的半径。
） 结论：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
（2） 讨论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间结论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ，证明同上）g d g d a s t 2sin sin 220===ααgR2= （式中R 为圆的半径。
）说明： 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，设弦与水平方向的夹角为θ，则弦长2R sin θ， 下滑受力 F =mg sin θ－mg cos θ沿斜面加速度： a =mF= g sin θ－g cos θ 由运动学公式有 2R sin θ=21(g sin θ—μg cos θ) t 2，解得 t =)cot 1(2)cos (sin sin 2θμθμθθ-=-g Rg R ， θ 增大，时间t 减小，规律不成立.图a 图b二等时圆的应用（1）比较运动快慢（2）确定运动路径（3）测定圆周半径（4）计算运动时间例1 直接利用等时圆结论解题（2004年高考试题）如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1<t2<t3B. t1>t2>t3C. t3>t1>t2 D .t1=t2=t3【答案】D二、“等时圆”的应用,1：如图，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【答案】A解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。
等时圆
O
P
解析： 解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆 等时圆”特征可知， 、 处于等时圆 周上且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要 周上且 点处于等时圆的最低点时， 点处于等时圆的最低点时 A 求 如图所示，此时等时圆的半径为： 如图所示，此时等时圆的半径为： h
B
h R = O1 P = H + 2
c b a O θ
解析： 解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下 滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周 、 、 三点不可能在同一竖直圆周 上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底 所以下滑时间不一定相等。 面半径为R， 面半径为 ，则
c
R = cos θ
4R 4R 1 gsinθt gsin t2， t2= g sin 2θ 2
A
解析： 解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体 等时圆”可知， 应在同一“等时圆” 所以A正确 正确。 应在同一“等时圆”上，所以 正确。
图3
例2：如图 ，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面 ：如图:， 相切于M点 与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与 相切于 点，与竖直墙相切于点 ，竖直墙上另一点 与M 的连线和水平面的夹角为60 是圆环轨道的圆心， 是圆 的连线和水平面的夹角为 0，C是圆环轨道的圆心，D是圆 是圆环轨道的圆心 环上与M靠得很近的一点 靠得很近的一点（ 远小于CM）。已知在同一时 ）。已知在同一时 环上与 靠得很近的一点（DM远小于 远小于 ）。 两球分别由A、 两点 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨 刻：a、b两球分别由 、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨 、 两球分别由 道运动到M点 球由C点自由下落到 球从D点静止 道运动到 点；c球由 点自由下落到 点；d球从 点静止 球由 点自由下落到M点 球从 出发沿圆环运动到M点 出发沿圆环运动到 点。则：（ ）
专题 等时圆模型(课件)-2022-2023学年高中物理课件(人教版2019必修第一册)
静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示;
等时性的证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α,圆的直径为d(如图丁)。质点沿光滑
弦做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a=g sin α,位移为s=d sin α,所以
2d sin α
2d
2s
运动时间为t0=
=
=
。
g sin α
g
a
丁
第四类：圆周内同底端的斜面(如图所示)
的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道A
M、BM运动到M点;c球由C点自由下落到M点。则
A.a球最先到达M点
B.b球最先到达M点
C.c球最先到达M点
D.b球和c球都可能最先到达M点
( C )
审题关键 这里只有a球路径属于等时圆模型,b、c球如何跟等时圆模型建
立联系?
一样的小球同时从起点向下滑落，哪个小球先到终点。
1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解
决了这个问题，他还拿这个问题向其
他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱
布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利
等解决了这个问题。这条最速降线就
是一条摆线，也叫旋轮线。
伽利略于1630年提
出了这个问题，当
时他认为这条线应
该是一条圆弧，可
1 2
h
由L＝ at ，a＝gsin θ，L＝
2
sin θ
1
可得t＝
sin θ
2h
g，
可知倾角越小，时间越长，图1中t1＞t2＞t3。
第二类：同底斜面(如图2所示)
1 2
d
由L＝ at ，a＝gsin θ，L＝
2
cos θ
第四章运动和力等时圆模型人教版(教材)高中物理必修第一册PPT
动力学 图像 问题
连接体 问题
动力学 临界 极值 问题
等时圆 模型
传送带 模型
板块 模型
【学习目标】
1、了解等时圆模型的建立过程，知道等时圆模型的基本规 律和使用条件。
2、学会自建等时圆，掌握等时圆模型在动力学中的妙用。 3、体会物理模型、物理思维方法在物理解题中的重要性。
基本规律
物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由 静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 物体从同一竖直圆上最高点沿不同的光滑弦 由静止下滑，到达圆周上各点的时间相等。
【例 2】
方法一：等时圆法 方法二：解析法
【解后反思】 不能直接观察出“等时圆” 时，需自建“等时圆”。作等 时圆的步骤是： （1） 设置顶点 （2） 过顶点作竖直线 （3） 找圆心 （4） 作等时圆
【练习2】
1.3古.表人明写文文中章女常子常热借情古、讽温今柔。的杜句牧子《：阿既房见宫复赋关》，：载“呜笑呼载!言灭。六国者六国也，非秦也；族秦者秦也，非天下也。”借秦灭亡的教训批评唐 敬4、宗烛广之建武宫的室闪。光处——“苟利国家生死以，岂因福祸趋避之。” 26、.作请者学提生出思自考己：的观点——“无所待”才是真正的逍遥的并列句了三类人的句子是：至人无己，神人无功，圣人无名。 B9.《材离料骚一》介中绍表了明共当享时单社车会产中生的的人背们景违及背其准使则用，方把法苟，合而取材悦料别三人和奉材为料信四条都的提两到句要：关注儿童骑行共享单车时所面临的安全问题。 194.写．女李子白为在人《妇蜀后道早难晚》辛一苦诗劳中动，的写句出子了是剑：阁三地岁势为险妇要，，靡易室守劳难矣攻；的夙特兴点夜的寐句，子靡是有“剑朝阁矣峥嵘而崔嵬，一夫当关，万夫莫开。” 1三8,.诗文歌中赏告析诉:我们别人的东西虽小也不能占有：苟非吾之所有，虽一毫而莫取。 21.4秦.《王离被骚逐》狼中狈表不明堪作，者荆保轲持行清刺白一为无正所道惧而。死，也是以古贤为榜样的两句(表明自己追慕古代圣贤，宁死不失正义) ：“伏清白以死直兮， 1固2前.本圣段之写所蒙厚嘉。在”秦王面前为荆轲见秦王铺平了道路，他先讲明燕王对秦国十分畏惧恭顺，再进一步讲明燕王如何诚心诚意侍奉秦国。 这2.易样水，送就别满，足有了力秦地王突的出骄了傲荆心轲理义，无同反时顾，的由刚于毅是性宠格臣和所英言雄，气也概增。加了对荆轲的信任感。 ②问郑：伯 诗是人如是何怎说样服想烛起之大武堰的河？的当？郑为伯什准么备艾使青烛说之“我武看见到秦了君雪时使，我却想遭起到了拒你绝”？：而“臣不之是壮看也到，春犹雨不，如听人到；秋今风老萧矣瑟，的无声能音为使也我已想。起”了鲜你明呢地？流 露A. 出由对政年府轻倡时导未的被共重享用单而车产出生行的模牢式骚有与效不缓满解。了而公郑共伯出则行表“最现后得一大公度里宽”的容问而题不，卑而不网亢络。技“吾术不的能强早大用是子促，进今其急发而展求的子重，要是原寡因人。之过也。然 郑明亡确， ：子人亦如有其不名利，焉佚。之狐”先身屈上尊的自狐责味，太动重之。以只情身；入后虎以狼国之家地大，义能警否之说，服晓秦之伯以谁理也。不于敢是打，保烛票之，武稍只有得不“许慎之，”惹。恼了秦伯，自己掉了脑袋 生不齐算答 ，：还《可白能蛇被传牢》牢。的钉在历史的耻辱柱上让后人指指点点。抬出烛之武，既能提高成功的几率，在成就烛之武的同时自己也落个“伯 【乐课”的堂美教名学。设所计以】说他是一条狡猾的狐狸！ 7第.既四在部广分阔（的从历“既史至背秦景”上到引“秦出王阿目房眩宫良的久修”）建廷，刺又秦起王到了笼盖全篇、暗示主题的作用的句子是：六王毕，四海一；蜀山兀，阿房出。 1【3教．学李难白点在】《蜀道难》一诗中指出逶迤千里的蜀道，还有更为奇险的风光。诗人先用“连峰去天不盈尺，枯松倒挂倚绝壁。”托出山势 的舞高幽险 壑，之然潜后蛟由，静泣而孤动舟，之嫠“飞妇湍。瀑流争喧豗，砯崖转石万壑雷”写出水石激荡、山谷空鸣的场景。
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1运动学等时圆运用问题一 等时圆问题引出（1）讨论：小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如图a ）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为g d g d a s t 2sin sin 220===ααg R2= （式中R 为圆的半径。
） 结论：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
（2） 讨论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间结论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ，证明同上）g d g d a s t 2sin sin 220===ααgR2= （式中R 为圆的半径。
）说明： 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，设弦与水平方向的夹角为θ，则弦长2R sin θ， 下滑受力 F =mg sin θ－mg cos θ沿斜面加速度： a =mF= g sin θ－g cos θ 由运动学公式有 2R sin θ=21(g sin θ—μg cos θ) t 2，解得 t =)cot 1(2)cos (sin sin 2θμθμθθ-=-g Rg R ， θ 增大，时间t 减小，规律不成立.图a 图b二等时圆的应用（1）比较运动快慢（2）确定运动路径（3）测定圆周半径（4）计算运动时间例1 直接利用等时圆结论解题（2004年高考试题）如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1<t2<t3B. t1>t2>t3C. t3>t1>t2 D .t1=t2=t3【答案】D二、“等时圆”的应用,1：如图，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【答案】A解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。
等时圆模型最全
“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g dt 2420===（式中R 为圆的半径。
） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A图a 图b正确。
例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。
求小环从A 滑到B 的时间。
【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。
解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
牛顿运动定律——等时圆问题学案、试题、答案
试卷第1页，总1页牛顿运动定律的应用——“等时圆”模型一、等时圆模型（如图所示）二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即 gR g R g d t 2420=== （式中R 为圆的半径。
） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为 gd g d a s t 2sin sin 220===αα 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
习题1、（多选）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心。
已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点。
则下列说法正确的是（ ）A ．球a 最先到达M 点B ．球b 最先到达M 点C ．球c 最先到达M 点D ．球c 先到M 点，球b 最后到M 点2、如图，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d 三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为( )A．1∶1∶1B．5∶4∶3C．5∶8∶9D．1∶2∶33、如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB，AC长为．现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1，沿AC轨道运动到C点所用时间为t2，则t1与t2之比为（）A．B．1:2 C．D．1:34、如图所示,一质点自倾角为60∘的斜面上方某点A,沿光滑斜槽AB从静止开始下滑,为了使质点在最短时间内到达斜面,则斜槽与竖直方向的夹角θ为( )A. 0∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘试卷第2页，总1页。
“等时圆”大全(个人汇集整理)
巧用“等时圆”解物理问题 “等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于《考试》杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。
而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。
基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下： 一、何谓“等时圆”奇妙的等时圆——2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则221at L = ③ 由以上三式得，gRt 2= 可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t ＝2Rg(如图甲所示)． (2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t ＝2Rg(如图乙所示)．象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
等时圆模型
“等时圆”模型的规律及应用一、 等时圆模型（如图所示）二、 等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。
（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。
（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g dt 2420===（式中R 为圆的半径。
） 三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）图a 图bA.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。
例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。
求小环从A 滑到B 的时间。
【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。
解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
等时圆模型知识讲解
等时圆模型收集于网络，如有侵权请联系管理员删除等时圆模型一、 何谓“等时圆”例：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3 C .t 3>t 1>t 2 D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则221at L =③ 由以上三式得，g Rt 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 二、“等时圆”的应用1、可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定 答案：A例2：如图4，位于竖直平面内的固定图2图1xymg θ AB C D M 图4图3 A收集于网络，如有侵权请联系管理员删除光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。
高中物理必修一第四章习题课等时
【答案】
4.7 m/s2
1.34 N
第四章
牛顿运动定律
尝试应用
3. 如图所示，两个质量相同的物体 A 和 B 紧靠在一起，放在 光滑的水平桌面上，如果它们分别受到水平推力 F1 和 F2 作 用，而且 F1＞F2，则 A 施于 B 的作用力大小为( ) A．F1 B．F2 1 1 C. (F1＋F2) D. (F1－F2) 2 2
第四章
牛顿运动定律
6.
如图所示，质量为 80 kg 的物体放在安装在小车上的水平磅 秤上，小车沿斜面无摩擦地向下运动，现观察到物体在磅秤 上的读数只有 600 N，求： (1)斜面的倾角 θ 为多少？ (2)物体对磅秤的静摩擦力为多少？(g 取 10 m/s2)
第四章
牛顿运动定律
解析：对物体、磅秤和小车组成的整体应用牛顿第二定律得 (M＋m)gsin θ＝(M＋m)a，解得 a＝gsin θ 隔离 M，对 M 在竖直方向上应用牛顿第二定律，有 Mg－FN＝Masin θ，即 Mg－FN＝Mgsin2θ 1 代入数据解得 sin θ＝ ，故 θ＝30° . 2 (2)对 M 在水平方向上应用牛顿第二定律，有 Ff＝Macos θ＝Mgsin θcos θ＝200 3 N 由牛顿第三定律知物体对磅秤的静摩擦力为 200
【答案】
C
第四章
牛顿运动定律
尝试应用 1.如图所示，一物体从竖直平面内的圆环的最高点A处由静
止开始沿光滑弦轨道AB下滑至B点，那么(
A．只要知道弦长，就能求出运动时间 B．只要知道圆半径，就能求出运动时间 C．只要知道倾角θ，就能求出运动时间 D．只要知道弦长和倾角，就能求出运动时间
)
第四章
牛顿运动定律
连接体问题的方法．
(完整版)高中物理运动学中等时圆应用技巧(含答案),推荐文档
a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低
点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别
从 a、b、c 处释放（初速为 0），用 t1、t2、t3 依次表示各滑环到 达 d 所用的时间，则（ ）
A. t1<t2<t3
B. t1>t2>t3
C. t3>t1>t2 D .t1=t2=t3
t0
2s a
2d sin g sin
2d 2 R
g
g
（式中 R 为圆的半径。）
说明： 如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为 μ，
设弦与水平方向的夹角为 θ，则弦长 2Rsinθ，
下滑受力 F =mgsinθ－mgcosθ
沿斜面加速度： a = F = gsinθ－gcosθ m
由运动学公式有 2Rsinθ= 1 (gsinθ—μgcosθ) t2， 2
A. t1>t2 B.t1=t2 C.t1<t2 D.无法判断
4：如图，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于
M 点，与竖直墙相切于点 A，竖直墙上另一点 B 与 M 的连线
和水平面的夹角为 600，C 是圆环轨道的圆心， D 是圆环上与
M 靠得很近的一点（ DM 远小于 CM）。已知在同一时刻：
4
v
s t
得， tBC
tED ，所以有 t甲
t乙 ，即乙球先到达斜面底端。
7：在离坡底 B 为 10cm 的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高 OA 也是 10cm。杆的上端 A 到坡底 B 之间有钢绳，一穿心于钢 绳上的物体（如图）从 A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下， 求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2 ）
人教版高中物理必修一第四章牛顿运动定律 等时圆模型(无答案)-精选文档
等时圆问题1.如图ad ,bd ,cd 是竖直面内的三根固定的光滑细杆,a ,b ,C ,d 位于同一圆周上,a 点为圆周上最高点,d 点为圆周上最低点.每根杆上都套有一个小圆环,三个圆环分别从a ,b ,C 处由静止释放,用t 1,t 2,t 3依次表示各环到达d 点所用的时间,则( )A 、t1<t 2<t 3B 、C 、321t t t >>D 、213t t t >>t 1=t 2=t 32.竖直放置的半径为R 的圆环，PQ 为该圆环竖直直径，试证明:物体从P 点沿意光滑直杆自由滑到圆环上各点的时间相等.3.如图所示,ad 、bd 、cd 是竖直面内的三根固定的粗糙细杆,摩擦因数相同,a 、b 、c 、d 位于同一圆周上,a 点为圆周上最高点,d 点为圆周上最低点。
每根杆上都套有一个小圆环,三个圆环分别从a 、b 、c 处由静止释放,用t 1、t 1、t 3依次表示各环到达d 点所用的时间,则( ) A. t 1<t 2<t 3 B. t 1>t 2>t 3 C. t 1=t 2=t 3D. 无法确定4.如图，PA ，PB ，PC 是竖直圆内三根固定的光滑细杆，P ，A ，B ，C ，D 点位于同一圆周上，AD 为沿竖直方向的一直径，O 为圆心。
每根杆上都套着一个小圆环，三个滑环都从P 点无初速释放。
用用t 1、t 2、t 3依次表示滑环滑到A ，B ，C 所用的时间，则（ ）A. t 3>t 1>t 2B. t 1>t 2>t 3C. t 1<t 2<t 3D. t 1=t 2=t 35.如图所示，AB 和CD 为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R 和r 的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P 。
设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A 滑到B 和由C 滑到D ，所用的时间分别为t 1和t 2，则t 1与t 2之比为（ ）A.2:1B.1:13：C.11：D.36.如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为（）A．α=θB．α=θ/2 C．α=θ/ 3 D．α=2θ7.如图,游乐场中,从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道。
高考物理复习：专题：不同的“等时圆”
1不同的“等时圆”【例1】倾角为30°的长斜坡上有C 、O 、B 三点，CO = OB = 10m ，在C 点竖直地固定一长10 m 的直杆AO 。
A 端与C 点间和坡底B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A 点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间t AC 和t AB 分别为（取g = 10m/s 2）A ．2s 和2sB ．s 2 和 2sC ．s 2和4sD ．4s 和s 2解析：由于CO = OB =OA ，故A 、B 、C 三点共圆，O 为圆心。
又因直杆AO 竖直，A 点是该圆的最高点，如图2所示。
两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。
设钢绳AB 和AC 与竖直方向夹角分别为α1、α2，该圆半径为r ，则对钢球均有2cos 21cos 2t g r ∙=αα 解得：grt 4=, 钢球滑到斜坡时间t 跟钢绳与竖直方向夹角α无关，且都等于由A 到D 的自由落体运动时间。
代入数值得t=2s ，选项A 正确。
【例2】如图3所示，Oa 、Ob 、Oc 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O 、a 、b 、c 四点位于同一圆周上，d 点为圆周的最高点，c 为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O 点无初速释放，用t 1、t 2 、t 3、依次表示滑到a 、b 、c 所用的时间，则A ．321t t t ==B ．321t t t >>C ．321t t t << D.213t t t >>解析：如果不假思索，套用结论，就会落入“陷阱”，错选A 。
必须注意，“等时圆”的适用条件是：光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）点。
题图中O 不是最高点，题设圆不是“等时圆”。
现以O 点为最高点，取合适的竖直直径Oe ，作“等时圆”交Ob 于b ，如图4所示，显然，O 到f 、b 、g 、e 才是等时的，比较图示位移Oa ＞Of ，Oc ＜Og ，故可推知图1a Obd图3 cb a dOe f g图4图22321t t t >>，正确的选项是B 。
“等时圆”大全(个人汇集整理)要点
巧用“等时圆”解物理问题“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章已发表于《考试》杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。
而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。
基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下： 一、何谓“等时圆”奇妙的等时圆——2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（）A.t 1<t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，ma mg =θcos ①再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则221at L = ③ 由以上三式得，gRt 2= 可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t ＝2Rg(如图甲所示)． (2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止图2图1下滑，到达圆周低端时间相等为t ＝2Rg(如图乙所示)．象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
等时圆重点突破ppt
1.问题
如图所示装置，三个光滑小钢球同时从最高 点由静止开始沿不同的弦下滑，谁先到达最低点？
2.实验演示
3.理论探究
设某一条弦与水平方向的夹角为 α，圆的直径为d。
物体沿光滑弦作初速度为零的匀加 速直线运动，
t0
2s a
2d sin g sin
2d g
此式表明：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的 倾角、长短无关。
4.结论
像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”，。 “等时圆”实际是“牛顿运动定律+匀变速直线运动+斜面模型”
5.学以致用
(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的 木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α， 一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间 最短，则α与θ角的大小关系应为（）
练习
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5、倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC=和tAB=；（取g = 10m/s2）
2、在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该，雨水流下的最短时间是；
3、在倾角为 的传送带的正上方，有一发货口A，为了使货物从静止开始，由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角应为；
6、如图所示，oa、ob、oc是竖直面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c点为最低点．每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从o点无初速释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达a、b、c所用的时间，则它们的大小关系；
等时圆问题
鄱阳中学宁国强
内容：设一个圆O，A是圆O的最高点,X是圆上任意一点，一物体从A开始，沿AX下滑到X,所用的时间是相等的，都是从A自由落体到圆最低点用的时间。
反之，将圆O倒置，亦成立。
1、在斜坡上பைடு நூலகம்一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。