高中数学选修4-5同步练习题库：二维形式的柯西不等式(全部)

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人教版高中数学选修4-5课时训练二维形式的柯西不等式

课堂练习(九) 二维形式的柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4C [∵(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2.]2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [∵(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 2≥2.]3．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P <Q C ．P ≥QD ．P >QA [设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m ·n |≤|m ||n | ＝(ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .]4．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．(－5，5)A [(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2. ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.]5．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．2C ．252D ．72C [⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋2＋1a2＋b 2＋2＋1b2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4.∵a ＋b ＝1，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12·(a ＋b )2＝12，1＋1a 2b 2≥1＋42＝17，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥172＋4＝252.]二、填空题6．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．[解析] 由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，于是2x ＋y ≤11.[答案]117．设xy ＞0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋1x2的最小值为________．[解析] 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9(当且仅当xy ＝2时取等号)． [答案] 98．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为________．[解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·3x＋2y ·2y 2＝25，当且仅当x ·2y＝2y ·3x，即x ＝245，y ＝85时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8，∴9x ＋2y ≥258. [答案]258三、解答题9．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. [证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ＝|m ·n |≤|m ||n |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 10．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.[证明] 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，当且仅当b ＝2a 时，等号成立，即5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.[能力提升练]1．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5B [根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝265时取等号.] 2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( ) A. 2 B ．1 C ．3D ．9A [∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤(2x )2＋(5y )2·12＋12＝1·2＝ 2. ∴2x ＋5y 的最大值为 2.]3．函数f (x )＝2－x 2＋2x 2－1的最大值为______． [解析] 设函数有意义时x 满足12≤x 2≤2，由柯西不等式得[f (x )]2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－122 ≤(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x 2－12＝92，∴f (x )≤322，当且仅当2－x 2＝x 2－122，即x 2＝32时取等号．[答案]3224．在半径为R 的圆内，求内接长方形的最大周长．[解] 如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1×4R 2－x 2)．由柯西不等式l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R＝42R ，当且仅当x1＝4R 2－x21，即x ＝2R 时，等号成立．此时，宽＝4R 2－(2R )2＝2R ，即ABCD 为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为42R .。

高中数学新人教A版选修4-5课堂测试二维形式的柯西不等式

课时跟踪检测（九）二维形式的柯西不等式1.已知a , b € R +且a + b = 1,贝U P = （ax + by ）与Q = ax + by 的大小关系是（） A . P W QB . P v QC . P >QD . P >Q解析：选 A 设 m = f ax , by), n = ( a , b),则 |ax + by| = |m ・n|w |m||n| = ax 2+ .by 2 - a 2+ b 2 = ax 2 + by 2 • a + b = ax 2 + by 2,/• (ax + by)2< ax 2+ by 2,即 P W Q.2.若a , b € R ，且a 2 + b 2= 10,则a - b 的取值范围是() A. [- 2 5, 2 .5 ]B. [-2 10, 2 10 ]C. [— 10, 一10 ]D. (— 5, 5)解析：选 A (a 2 + b 2)[i 2 + (— I)2] > (a — b)2,•/ a 2 + b 2= 10,•••(a — b)2w 20.— 2-.;5W a — b w 2 j'5.3. 已知x + y = 1，那么2x 2 + 3,的最小值是( )5 6A ・6解析：选 B (2x 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)勺》(石x + 6y)2= [ 6(x + y)]2= 6,3 2当且仅当x = 5, y =；时取等号,即 2x 2 + 3y 2> 65 故2x 2 + 3y 2的最小值为6. 54.函数y = x — 5+ 2 6 — x 的最大值是（）A. 3B. 5C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知 25 D. 3625y= 1 x p—5 + 2 x p 6 —xW p 12+ 22X 寸 & x - 5 )2+ (寸6 - x f =屁当且仅当x = 时取等号. 5答案:6. ______________________________________________ 设a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 __________________________________ ，此时b =解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a b|w |a| |b|,•••|a b|w — 2 2+ 12+ 22X 6= 18,当且仅当存在实数 k ，使a = kb 时，等号成立. •••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18,此时 b = — 2a = (4, — 2,— 4).答案：—18 (4,— 2,— 4)7. _______________________________________________________ 设实数x ,y 满足3x 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2x + y 的最大值为 ____________________答案：，111 18. 已知 x , y € R +,且 x + y = 2.求证：j + 寸 2. 证明：x + > 如+ y )1+y =2［兩2+兩儿術+約 A 2 x - ：+ y ；2=2当且仅当 y x时等号成立，此时 x = 1, y = 1.x + y = 2 5•设解析:xy>0,则x 2 +》y + X 2的最小值为原式=0飢前y 2 l>x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=^时取等号. 解由柯西不等式得(2x + y)2< [( .3X )2+ ( 2y)2] 1 W 6X £= 11122 = (3X 2+ 2y 2) 当且仅当4 心而，y = 希j 时取等号，故 P = 2x + y 的最大值为QU . +1 1所以1+ 1A 2.x y9. 若x2+ 4y2= 5,求x+ y的最大值及此时x, y的值. 解：由柯西不等式得[x 2+ (2y )2] 12+ j2) l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5 x 5 = 25, x + y w 2.当且仅当x =孕，即x = 4y 时取等号. 1 12x 2+ 4y 2= 5,x = 2， x =- 2，由4得S 1 或S 1 (舍去). lx =4y , y =2[y =- 2 5••• x + y 的最大值为5，1此时 x = 2, y =-.10.求函数f(x)= 3cosx + 4 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x), 则 f(x) = 3cosx + 4 \/1 + sin 2x =|m n|< |m| |n|= co$x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取"=”. 此时，3 岑 1 + sin 2x - 4cos x = 0.f(x)= 3cos x + 4 , 1 + sin 2x 取最大值 5 . 2. 解得sin x = cosx = 3 *2 5 故当 sin x ^-7, 5 cosx =勒2 时. 5。

【人教版】高中数学选修4-5第3讲柯西不等式与排序不等式课堂练习

所
以
1 a3＋b3＋abc
＋
1 b3＋c3＋abc
＋
1 c3＋a3＋abc
≤
1 ab（a＋b）＋abc
＋
bc（b＋1c）＋abc＋ac（a＋1c）＋abc＝a＋1b＋ca1b＋b1c＋c1a＝a＋1b＋c·c＋aab＋c b
＝a1bc.
故原不等式得证．
B 级能力提升
1．若 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
＋c c≤3.
所以 a b＋b c＋c a≤3. 答案：C 5．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零
B．大于等于零
C．小于零
D．小于等于零
解析：设 a≥b≥c＞0，所以 a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得 a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以 a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题 6．设 a1，a2，…，an 为实数，b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的任一排列，则乘积 a1b1＋a2b2＋…＋anbn 不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1 7．已知 a，b，c 都是正数，则b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥________．解析：设 a≥b≥c＞0，所以b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b，由排序原理，知b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋b＋a a，① b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋c b，② ①＋②得b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 答案：23 8．设 a，b，c＞0，则bac＋cba＋acb________a＋b＋c. 解析：不妨设 a≥b≥c＞0，则1a≤1b≤1c，bc≤ac≤ab. 由顺序和≥乱序和，得 acb＋abc＋bac≥b1·bc＋1c·ac＋1a·ab＝c＋a＋b，

高中数学选修4-5柯西不等式习题

高中数学选修4-5柯西不等式习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D．33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C． D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m 的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。

人教A版选修4-5 3.1二维形式的柯西不等式作业

自主广场我夯基我达标1.函数y=x x -+-625的最大值是( ) A.3 B.5 C.3 D.5思路解析：根据柯西不等式，知y=1×5-x +2×5)6()5(2162222=-+-⨯+≤-x x x .答案：B2.已知a,b ∈R +，且a+b=1，则（1414+++b a ）2的最大值是( ) A.62 B.6 C.6 D.12思路解析：(1414+++b a )2=(1×14+a +1×14+b )2 ≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2［4(a+b)+2］=2(4×1+2)=12.答案：D3.已知x,y ∈R +，且xy=1，则(1+x1)(1+y 1)的最大值为( ) A.4 B.2 C.1 D.41 思路解析：（1+x 1）(1+y 1)=［12+(x 1)2］［12+(y1)2］≥(1×1+x 1×y 1)2=(1+xy 1)2=22=4. 答案：A4.已知2x 2+y 2=1，则2x+y 的最大值是( ) A.2 B.2 C.3 D.3思路解析：2x+y=2×2x+1×y ≤323)2(1)2(222222=+⨯=+⨯+y x y x .答案：C5.设a,b,c,d,m,n 都是正实数，P=cd ab +,Q=nd m b nc ma +•+，则P 与Q 的大小______________.思路解析：由柯西不等式，得 P=2222)()()()(nd m b nc am n d nc m b am +⨯+≤⨯+• n d m b nc am +⨯+=. 答案：P ≤Q6.已知a,b,x,y ∈R +，且ab=4,x+y=1.求证：(ax+by)(bx+ay)≥4.证明：左边=［(ax )2+(by )2］［(bx )2+(ay )2］ ≥(ax ×bx +by ×ay )2=(ab ×x+ab ×y)2=ab(x+y)2=ab=4. 我综合我发展7.设a,b,c>0，且acos 2θ+bsin 2θ<c. 求证：a cos 2θ+b sin 2θ<c .证明：由柯西不等式及题设，得［(a cos 2θ+b sin 2θ］2=［a cos θcos θ+b sin θsin θ］2≤［(a cos θ)2+(b sin θ)2］［cos 2θ+sin 2θ］=acos 2θ+bsin 2θ<c.故原不等式成立.8.设a+b=21,求证：a 8+b 8≥721. 证明：a 8+b 8=21(12+12)［(a 4)2+(b 4)2］ ≥21(1×a 4+1×b 4)2 =21(a 4+b 4)2 =21［21(12+12)(a 4+b 4)］2 =21×41{(12+12)［(a 2)2+(b 2)2］} ≥321（1×a 2+1×b 2）2=321(a 2+b 2)2 =321［21(12+12)(a 2+b 2)］2 =321×221(a+b)2=721.∴原不等式成立.9.已知椭圆2222)1()1(-++a y a x =1(a>1)交x 轴、y 轴的正半轴于M 、N 两点，试问：|MN|会小于2a 吗？说明理由.解：当x=0时，y=|a-1|=a-1,当y=0时，x=|a+1|=a+1,∴椭圆交x 、y 轴正半轴的交点分别为M （a+1,0),N(0,a-1)两点.∴|MN|=(a+1)2+(a-1)2 =≥-+++=-++222222)1()1(1121)1()1(a a a a21])1(1)1(1[212=-⨯++⨯a a ×2a=2a.∴|MN|可以小于2a.10.已知|x|≤1,|y|≤1，试求2211x y y x -+-的最大值. 思路解析：22221111x y x x y y x -+-=-+-×y ≤222222)1()1(y y x x -+⨯-+=|1|=1. ∴2211x y y -+-的最大值为1.。

数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案

数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a，b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为（）A.18B.9C.3√2D.2√32. 已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[−1, 1]的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知正实数a，b，c，若a2+b2+4c2=1，则ab+2ac+3√2bc的最大值为（）A.1B.√22C.√2D.2√24. 设变量x，y满足|x−2|+|y−2|≤1，则y−xx+1的最大值为（）A.1 3B.12C.−14D.−135. 若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab−3bc+2c2的最大值为（）A.1B.2C.3D.46. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则√x+√+√3z的最大值是（）A.2B.2√2C.2√3D.37. 已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k(x+y+z)，则k=()A.19B.13C.3D.98. 设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A.209B.115C.65D.1169. 实数a i(i=1, 2, 3, 4, 5, 6)满足(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1则(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为（）A.3B.2√2C.√6D.110. 若2x+3y+5z=29，则函数μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为（）A.√5B.2√15C.2√30D.√3011. 若x、y为非零实数，代数式x2y2+y2x2−8(xy+yx)+15的取值范围是________．12. 请用柯西不等式求解．已知a、b、x、y都是正实数，且ax +by=1，则x+y的最小值为________．13. 已知a，b，c都是正数，且2a+b+c=6，则a2+ab+ac+bc的最大值为________．14. 已知a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，a+b+c=dx，则x的取值范围是________．15. 若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r的最小值是________．16. 函数f(x)=√x−5+√24−3x的最大值为________．17. 已知a+b+c=0，则ab+bc+ca的值________0．（选填“>，<，≥，≤”）．18. （不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，则a的取值范围为________．19. 已知θ∈(5π4, 3π2)，若存在实数x，y同时满足cosθx=sinθy，sin2θx2+cos2θy2=52(x2+y2)，则tanθ的值为________．20. 已知实数x，y，z满足x+y+z=0，x2+y2+z2=1，则x的最大值不小于________．21. 已知关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立（1）求m的取值范围；（2）在（1）的条件下求函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值．22. 已知x2+y2+z2=1，求xy+yz最大值．23. 己知a，b，c为正实数，且a+b+c=2．（1）求证：ab+bc+ac≤43；（2）若a，b，c都小于1，求a2+b2+c2的取值范围．24. 已知函数f(x)=√t+2|x+1|−|x−3|的定义域为R．(1)求实数t的取值范围；(2)设实数m为t的最小值，若实数a，b，c满足a2+b2+c2=m2，求1a2+1+1b2+2+1c2+3的最小值．25. 在空间直角坐标系O−xyz中，坐标原点为O，P点坐标为(x, y, z)．（1）若点P在x轴上，且坐标满足|2x−5|≤3，求点P到原点O的距离的最小值；（2）若点P到坐标原点O的距离为2√3，求x+y+z的最大值．26. 设a，b，c，d∈R，a2+b2=c2+d2=1，求abcd的最大值．27. 已知(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2=1，求(a6+ a5)−(a1+a4)的最大值．28. 已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．29. 已知|x−2y|=5，求证：x2+y2≥5．30. 已知x，y，z满足x−1=y+12=z−23，试求当x，y，z分别为何值时，x2+y2+z2有最小值，最小值为多少．31. 若M≥|ab(a2−b2)+bc(b2−c2)+ca(c2−a2)|a2+b2+c2对一切实数a、b、c都成立，求最小的实数M．32. 已知a+b=1，求证：a3+b3+3ab=1．33. 已知a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2．求y max=？34. 设x，y，z∈R，且(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24=1，求x+y+z最大值与最小值．35. 若存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立，求常数a的取值范围．36. 已知a+b+c=1．a2+b2+c2=1，求a+b的取值范围．37. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值．38. 正数a，b，c，A，B，C满足条件a+A=b+B=c+C=k，证明：aB+bC+ cA<k2．39. 已知a12+a22+...+a n2=1，x12+x22+...+x n2=1，求证：a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40. 已知a，b，c∈N+，满足abc(a+b+c)=1．（1）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（2）当S取最小值时，求c的最大值．参考答案与试题解析数学选修4-5二维形式的柯西不等式练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 1.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，即可求出√a +1+√b +3的最大值．【解答】解：由题意，(√a +1+√b +3)2≤(1+1)(a +1+b +3)=18， ∴ √a +1+√b +3的最大值为3√2，故选：C ． 2.【答案】 A【考点】柯西不等式的几何意义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用柯西不等式2a 2+3b 2+6c 2=1，推出−1≤a +b +c ≤1，通过−1≤a +b +c ≤1利用特例否定2a 2+3b 2+6c 2=1，利用充要条件的判断方法推出结果．【解答】解：由柯西不等式得：|a +b +c|≤|a|+|b|+|c| =√2⋅√2|a|+√3√3|b|√6⋅√6|c|≤√(√2)2+(√3)2+(√6)2⋅√(√2|a|)2+(√3|b|)2+(√6|c|)2=1，(2a 2+3b 2+6c 2=1)所以−1≤a +b +c ≤1，反之，当−1≤a +b +c ≤1时，不妨令a =0.9，b =0，c =0.1；2a 2+3b 2+6c 2=1.68>1，所以2a 2+3b 2+6c 2=1是a +b +c ∈[−1, 1]的充分不必要条件．故选A ． 3.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)，调整，利用基本不等式，即可得出结论．解：设a 2+b 2+4c 2=(12a 2+12a 2)+(14b 2+34b 2)+(c 2+3c 2)=(12a 2+14b 2)+(12a 2+c 2)+(34b 2+3c 2) ≥2+√2ac +3bc .∴ ab +2ac +3√2bc ≤√2，当且仅当a =√55，b =2c =√105时，等号成立． ∴ ab +2ac +3√2bc 的最大值为√2．故选C ． 4.【答案】 B【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等|x −2|+|y −2|≤1的可行域，是一个正方形，得A(1, 2)，B(2, 1)，C(3, 2)，D(2, 3)．当x =1，y =2时，则y−x x+1=12，当x =2，y =1时，则y−xx+1=−13，当x =3，y =2时，则y−xx+1=−14，当x =2，y =3时，则y−xx+1=13，则y−xx+1有最大值12．故选B ．5.【答案】 C【考点】二维形式的柯西不等式不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a2+b2≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2，分子分母同除以c2，设x=ac，y=bc，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．【解答】解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab−3bc+2c2=3ab≤3(a2+b2)2=32，当c≠0时，3ab−3bc+2c2=3ab−3bc+2c2a2+b2+c2=(ac)2+(bc)2+1˙，设x=ac ，y=bc，则可令M=3ab−3bc+2c2=3xy−3y+2x2+y2+1，即有Mx2−3xy+My2+M+3y−2=0，由于x为实数，则有判别式△1=9y2−4M(My2+M+3y−2)≥0，即有(9−4M2)y2−12My−4M(M−2)≥0，由于y为实数，则△2=144M2+16M(9−4M2)(M−2)≤0，即有M(M−3)(2M2+2M−3)≤0，由于求M的最大值，则M>0，则M≤3．故选：C．6.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，可得(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，结合x+y+z= 2，即可求出√x+√2y+√3z的最大值．【解答】解：∵x、y、z是正数，∴(1+2+3)(x+y+z)≥(√x+√2y+√3z)2，∵x+y+z=2，∴√x+√2y+√3z≤√6⋅2=2√3，∴√x+√2y+√3z的最大值是2√3．故选：C．7.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：因为x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2，又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2等号成立，当且仅当ax =by=cz=k，则a=kx，b=ky，c=kz，代入a2+b2+c2=90，得k2(x2+y2+z2)=90，于是k=3，故选：C．8.【答案】A【考点】二维形式的柯西不等式【解析】运用柯西不等式：(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)≥(ad+be+cf)2，当且仅当ad =be=cf等号成立．【解答】解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴(22+22+12)(x2+4y2+9z2)=9×4≥(2x+4y+3z)2=36，∴可设2x =22y=13z=k，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=32，∴x+y+z=2k +1k+13k=209．故选A．9.【答案】B【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2，故选B．10.【答案】C【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+4+ 5z+6)(12+12+12)，利用条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤(2x+1+3y+ 4+5z+6)(12+12+12)∵2x+3y+5z=29，∴(√2x+1⋅1+√3y+4⋅1+√5z+6⋅1)2≤120，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6≤2√30，∴μ=√2x+1+√3y+4+√5z+6的最大值为2√30．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】[−3, +∞)【考点】二维形式的柯西不等式【解析】令xy +yx=t，运用基本不等式，求出t的范围，将原式化为二次函数，配方，分别求出范围，再求并集．【解答】解：令xy +yx=t，则若xy>0，则t≥2，若xy<0，则t≤−2，∴原式=t2−2−8t+15=t2−8t+13=(t−4)2−3，当t≥2时，t=4时，原式取最小值为−3，无最大值，当t≤−2时，原式取最小值，且为33，∴原式的取值范围是[−3, +∞)．故答案为：[−3, +∞)．12.【答案】a+b+2√ab【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据二维形式的柯西不等式的代数形式，即可求解．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，可得(ax +by)(x+y)≥(√ax⋅√x+√by⋅√y)2，∵ax +by=1，∴x+y≥(√a+√b)2=a+b+2√ab，∴x+y的最小值为a+b+2√ab，故答案为：a+b+2√ab．13.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用基本不等式，a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤√a+b+a+c2，即可得出结论．【解答】解：∵a，b，c都是正数，∴a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤(a+b+a+c2)2，∴2a+b+c=6，∴a2+ab+ac+bc≤9，∴a2+ab+ac+bc的最大值为9，故答案为：9．14.【答案】(1, √3]【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据题意，得(ad )2+(bd)2+(cd)2=1，x=ad+bd+cd；利用换元法，设ad=m，bd=n，cd=p，(m>0, n>0, p>0)，则m2+n2+p2=1，求x=m+n+p的取值范围即可；再利用柯西不等式以及放缩法即可求出m+n+p的取值范围．【解答】解：∵a，b，c，d都是正数，a2+b2+c2=d2，∴(ad )2+(bd)2+(cd)2=1；又∵a+b+c=dx，∴x=ad +bd+cd；设ad =m，bd=n，cd=p，且m>0，n>0，p>0，则m2+n2+p2=1，x=m+n+p；由柯西不等式得：3=(12+12+12)•(m2+n2+p2)≥(1⋅m+1⋅n+1⋅p)2，∴−√3≤m+n+p≤√3，当且仅当{m=n=pm2+n2+p2=1，即m=n=p=√33时，取得最大值√3；又∵m>0，n>0，p>0，∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np>m2+n2+p2=1，∴m+n+p>1；综上，1<m+n+p≤√3，即x的取值范围是(1, √3]．故答案为：(1,√3]．15.【答案】9【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由题意可得p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：若p，q，r为正实数，且1p +1q+1r=1，则p+q+r=(p+q+r)(1p +1q+1r)=3+pq+pr+qp+qr+rp+rq≥3+6=9，当且仅当q=q=r=3时，等号成立，故p+q+r的最小值是9，故答案为：9．16.【答案】2√3【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当bc=ad取得等号，即可得到最大值．【解答】解：函数f(x)=√x−5+√24−3x=√x−5+√3⋅√8−x≤√(1+3)(x−5+8−x)=2√3，当√8−x=√3⋅√x−5，即为x=234，则有f(x)的最大值为2√3．故答案为：2√3．17.【答案】≤【考点】二维形式的柯西不等式【解析】先把a+b+c=0两边分别平方，得：(a+b+c)2=0，然后展开移项即可得到答案．【解答】解：因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0．展开得ab+bc+ca=−a 2+b2+c22，所以ab +bc +ca ≤0．故答案为：≤． 18. 【答案】[211, 2] 【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65．得到关于a 的不等关系：20−5a 2≥6(a 2−4a +4)解之即得a 的取值范围．【解答】解：由4−a 2=(2b 2+3c 2)×1=65(2b 2+3c 2)(12+13)≥(b +c)2⋅65=(a −2)2⋅65． ∴ 20−5a 2≥6(a 2−4a +4) ∴ 11a 2−24a +4≤0， ∴ 211≤a ≤2．则a 的取值范围为[211, 2]．故答案为：[211, 2]． 19. 【答案】√2【考点】二维形式的柯西不等式【解析】设cos θx =sin θy=t ，求出sin θ、cos θ的值，代人另一式化简，再由sin 2θ+cos 2θ=1，求出y 2x 2+x 2y 2=52；利用tan θ=sin θcos θ=yx 得出方程tan 2θ+1tan 2θ=52，求出方程的解，再考虑θ∈(5π4, 3π2)，从而确定tan θ的值．【解答】解：设cos θx=sin θy=t ，则sin θ=ty ，cos θ=tx ，所以sin 2θx +cos 2θy =52(x +y )可化为：(ty)2x 2+(tx)2y 2=52(x 2+y 2)①；又sin 2θ+cos 2θ=t 2x 2+t 2y 2=1，得t2=1x2+y2②；把②代入①，化简得y 2x2+x2y2=52③；又tanθ=sinθcosθ=yx，所以③式化为tan2θ+1tan2θ=52，解得tan2θ=2或tan2θ=12；所以tanθ=±√2或tanθ=±√22；又θ∈(5π4, 3π2)，所以tanθ>1，所以取tanθ=√2．故答案为：√2．20.【答案】√22【考点】二维形式的柯西不等式【解析】设x2最大，然后根据条件可得2x2=1+2yz，可确定x与y异号，x与z异号则yz≥0，所以2x2≥1，从而求出所求．【解答】解：设x2最大因为x+y+z=0且x2+y2+z2=1所以2x2=1+2yz因为x+y+z=0，x2≥y2，x2≥z2所以x与y异号，x与z异号∴yz≥0∴2x2≥1，x2≥12．x≥√22，或x≤−√22．∴x的最大值不小于√22．故答案为：√22．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．【考点】二维形式的柯西不等式函数恒成立问题【解析】（1）由题意可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值，再利用柯西不等式求得式子√2−x+√x+1的最大值，可得m的范围．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，再利用基本不等式，求得它的最小值．【解答】解：（1）∵关于x的不等式√2−x+√x+1<m对于任意的x∈[−1, 2]恒成立，可得m大于式子√2−x+√x+1的最大值．根据柯西不等式，有(√2−x+√x+1)2=(1⋅√2−x+1⋅√x+1)2≤[12+12]⋅[(√2−x)2+(√x+1)2]=6，所以√2−x+√x+1≤√6，当且仅当x=12时等号成立，故m>√6．（2）由（1）得m−2>0，则f(m)=m+1(m−2)2=12(m−2)+12(m−2)+1(m−2)2+2，∴f(m)≥3√12(m−2)⋅12(m−2)⋅1(m−2)23+2=32√23+2，当且仅当12(m−2)=1(m−2)2，即m=√23+2>√6时取等号，所以函数f(m)=m+1(m−2)2的最小值为32√23+2．22.【答案】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=√2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先将题中条件转化为1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)，再利用基本不等式即可求出xy+yz的最大值．【解答】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．23.【答案】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca=8∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6abc+6ac，当且仅当a=b=c 时取等号，∴ab+bc+ac≤43；（2）解：由（1）知，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2)，当且仅当a= b=c时取等号，∴a2+b2+c2≥43，∵a−a2=a(1−a)，0<a<1，∴a>a2，同理b>b2，c>c2，∴a2+b2+c2<a+b+c=2，∴43≤a2+b2+c2<2，∴a2+b2+c2的取值范围为[43, 2)．【考点】基本不等式二维形式的柯西不等式【解析】（1）由a+b+c=2，得到8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca，利用基本不等式得以证明，（2）由（1）和基本不等式得到a2+b2+c2≥43，再根据a−a2=a(1−a)，0<a<1，得到a>a2，继而求出范围．【解答】（1）证明：∵a+b+c=2，∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4，∴ 2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca =8∴ 8=2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4bc +4ca ≥6ab +6abc +6ac ，当且仅当a =b =c 时取等号，∴ ab +bc +ac ≤43；（2）解：由（1）知，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =4，∴ 4≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+b 2+c 2+a 2+c 2=3(a 2+b 2+c 2)，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴ a 2+b 2+c 2≥43，∵ a −a 2=a(1−a)，0<a <1，∴ a >a 2，同理b >b 2，c >c 2，∴ a 2+b 2+c 2<a +b +c =2， ∴ 43≤a 2+b 2+c 2<2，∴ a 2+b 2+c 2的取值范围为[43, 2)． 24.【答案】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立，所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16，由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．【考点】绝对值不等式柯西不等式的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立，所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16，由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．25.【答案】解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3，故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 【考点】二维形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用绝对值不等式，求出x 的范围，即可求点P 到原点O 的距离的最小值；（2）点P 到坐标原点O 的距离为2√3，故x 2+y 2+z 2=12，由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，即可求x +y +z 的最大值．【解答】解：（1）由点P 在x 轴上，所以P(x, 0, 0)，又坐标满足|2x −5|≤3，所以−3≤2x −5≤3，… 解得1≤x ≤4，…所以点P 到原点O 的距离的最小值为1..…（2）由点P 到坐标原点O 的距离为2√3，故x 2+y 2+z 2=12，…由柯西不等式，得(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)≥(x +y +z)2，… 即(x +y +z)2≤36，所以x +y +z 的最大值为6，当且仅当x =y =z =2时取最大．… 26. 【答案】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．【考点】二维形式的柯西不等式基本不等式【解析】运用基本不等式，a2+b2≥2|ab|，c2+d2≥2|cd，再同向相乘即可求得最值．【解答】解：根据基本不等式，1=a2+b2≥2|ab|，---------①1=c2+d2≥2|cd|，---------②将以上两式同向相乘得，1≥4|abcd|，所以，abcd∈[−14, 14 ]，故abcd的最大值为14．27.【答案】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2，结合条件，即可得出结论．【解答】解：由柯西不等式可得：[(a2−a1)2+(a3−a2)2+(a4−a3)2+(a5−a4)2+(a6−a5)2](1+1+1+4+1)≥[(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+2(a5−a4)+(a6−a5)]2=[(a5+a6)−(a1+ a4)]2，∴[(a5+a6)−(a1+a4)]2≤8，∴(a5+a6)−(a1+a4)≤2√2，∴(a5+a6)−(a1+a4)的最大值为2√2．28. 【答案】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】令柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)中的a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3b 2=√22代入即可得出【解答】解：令a 1=√3x ，a 2=√2y ，b 1=√3，b 2=√22代入柯西不等式(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)(b 12+b 22)得(2x +y)2≤(3x 2+2y 2)(43+12)≤6×116=11∴ −√11≤2x +y ≤√11∴ 2x +y 的最大值为√11． 29.【答案】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据柯西不等式，得5(x 2+y 2)≥|x −2y|2，结合已知等式|x −2y|=5，得x 2+y 2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可．【解答】证明：由柯西不等式，得(x 2+y 2)[12+(−2)2]≥(x −2y)2 即5(x 2+y 2)≥(x −2y)2=|x −2y|2 ∵ |x −2y|=5，∴ 5(x 2+y 2)≥25，化简得x 2+y 2≥5．当且仅当2x =−y 时，即x =−1，y =2时，x 2+y 2的最小值为5 ∴ 不等式x 2+y 2≥5成立． 30. 【答案】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)，故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】设x −1=y+12=z−23=k ，则有x 2+y 2+z 2=2(2k 2+5k +3)，再利用二次函数的性质求得x 2+y 2+z 2最小值，以及此时x ，y ，z 的值．【解答】解：∵ x ，y ，z 满足x −1=y+12=z−23，设x −1=y+12=z−23=k ，则有x =k +1、y =2k −1、z =3k +2，∴ x 2+y 2+z 2=(k +1)2+(2k −1)2+(3k +2)2=2(2k 2+5k +3)，故当k =−54，即x =−14、y =−72、z =−74时，x 2+y 2+z 2取得最小值为−14． 31.【答案】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得结论．【解答】解：由题意，根据不等式右边a ，b ，c 的对等性可得当且仅当a =b =c 时，取得最值， ∴ M ≥0，∴ 最小的实数M 是0． 32.【答案】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a 2=1即a 3+b 3+3ab =1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】由a +b =1，可得b =1−a ，代入a 3+b 3+3ab ，化简即可得出结论．【解答】证明：∵ a +b =1，∴ b =1−a ．∴ a 3+b 3+3ab =a 3+(1−a)3+3a(1−a)=a 3+1−3a +3a 2−a 3+3a −3a2=1即a3+b3+3ab=1．33.【答案】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=910【考点】二维形式的柯西不等式【解析】根据条件，可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值．【解答】解：根据a≥0，b≥0，c≥0，a+b+c=1，y=a1+a2+b1+b2+c1+c2可知a，b，c可以轮换，所以当且仅当a=b=c=13时，函数取得最大值y max=3⋅131+19=91034.【答案】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】将式子x+y+z写成4⋅x−14+√5⋅√52⋅z−32+2的形式是解决本题的关键，再运用柯西不等式求该式的最大值和最小值．【解答】解：∵x+y+z=4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32+2，根据柯西不等式，(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得，(4⋅x−14+√5⋅√5+2⋅z−32)2≤(16+5+4)•[(x−1)216+(y+2)25+(z−3)24]=25，所以，|4⋅x−14+√5⋅52⋅z−32|≤5，即−5≤4⋅x−14+√5√5+2⋅z−32≤5，因此，x+y+z∈[−3, 7]，故，x+y+z的最大值为7，最小值为−3．35.【答案】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．【解答】解：由题意，由柯西不等式得(√3x+6+√14−x)2=(√3×√x+2+1×√14−x)2≤(3+1)(x+2+14−x)=64所以√3x+6+√14−x≤8，当且仅当x=10时取“=”，∵存在实数x使√3x+6+√14−x>a成立∴a<8∴常数a的取值范围是(−∞, 8)．36.【答案】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用a+b+c=1，a2+b2+c2=1，可得a+b=1−c，ab=[(a+b)2−(a2+ b2)]=c2−c，结合基本不等式，求出c的范围，即可求出a+b的取值范围．【解答】解：∵a+b+c=1，a2+b2+c2=1，∴a+b=1−c，ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=c2−c，∵ab≤(a+b2)2，∴c2−c≤(1−c)24，∴−13≤c≤1，∴0≤1−c≤43，∴0≤a+b≤43，∴a+b的取值范围是[0, 43]．37.【答案】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】法1：本题可先利用三个变量x，y，z的关系消去一个变量，如消去x，得到两个变量y，z，再通过配方，利用完全平方非负，得到所求代数式的最小值．法2：利用柯西不等式进行求解．【解答】解：法1：∵2x+3y+4z=10，∴x=5−32y−2x．∴x2+y2+z2=(5−32y−2z)2+y2+z2=134y2+5z2+6zy−15y−20x+25=134y2+(6z−15)y+5z2−20z+25=134[y+2(6z−15)13]2+2913z2−8013z+10013=134(y+12z−3013)2+2913(z−4029)2+10029≥10029．法2：由柯西不等式可得，(2x+3y+4z)2≤(x2+y2+z2)(22+32+42)，由条件可得，x2+y2+z2≥10029．故最小值为10029．38.【答案】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即可证明结论．【解答】证明：作边长为k的正三角形PQR，分别在各边上取：QL=A，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，NQ=c．显然有S△LRM+S△MPN+S△NQL<S△PQB，即12aB sin60∘+12bC sin60∘+12cA sin60∘<12k2sin60∘，∴aB+bC+cA<k2．39.【答案】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】利用不等式的性质a2+b2≥2ab，即可证明．【解答】证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+...+a n2+x12+x22+...+x n2=(a12+ x12)+...+(a n2+x n2)≥2a1x1+...+2a n x n=2(a1x1+...+a n x n)，即a1x1+a2x2+...+a n x n≤1．40.【答案】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．【考点】二维形式的柯西不等式【解析】（1）由已知整理可得，c2+c(a+b)=1ab，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，（2）由1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围，即可求出c的最大值．【解答】解：（1）∵a，b，c∈N+，且abc(a+b+c)=1，∴c2+c(a+b)=1ab∴S=(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c2=ab+1ab ≥2√ab⋅1ab=2当且仅当ab=1ab，即ab=1时取等号∴S min=2；（2）由（1）知1=abc(a+b+c)=c(a+1a +c)=c2+c(a+1a)≥c2+2c∴c2+2c−1≤0∵c>0∴0<c≤√2−1∴c的最大值为√2−1．。

人教版数学高二选修4-5课时作业5一二维形式的柯西不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式一、选择题1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)3．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．54．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]5．已知a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋cn ·b m ＋d n ，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＝Q6．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6B. 6 C ．6D ．12二、填空题7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．8．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y 的最小值是________．9．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋1y＝1，则2x ＋y 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝34－x ＋4x －3，则函数f (x )的最大值为________．三、解答题11．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2.12．试求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值，并求出相应的sin x 和cos x 的值．13．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.四、探究与拓展14．若a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值为( ) A ．1B ．2 C.252 D.7215．已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．答案精析1．A 2.A3．B [根据柯西不等式知，y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5(当且仅当x ＝265时取等号)．] 4．C [(3x ＋2y )2≤()(3)2＋(2)2()(3x )2＋(2y )2 ＝5×(3x 2＋2y 2)≤5，∴－5≤3x ＋2y ≤ 5.]5．A [∵P ＝am ·b m ＋nc ·d n≤ [(am )2＋(cn )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2 ＝am ＋cn ·b m ＋d n＝Q . ∴P ≤Q .]6．D [(4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2 ≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．] 7.11 解析由柯西不等式，得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122 ＝(3x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫43＋12≤6×116＝11⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，所以2x ＋y ≤11.8．5＋2 6解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ≥⎝⎛⎭⎫x ·3x ＋y ·2y 2 ＝(3＋2)2＝5＋26，当且仅当x ·2y ＝3x ·y 时，等号成立．9．3＋2 2解析 2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y＝[(2x )2＋(y )2]⎣⎡⎝⎛⎭⎫1x 2＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1y 2≥⎝⎛⎭⎫2x ·1x ＋y ·1y 2 ＝3＋22，当且仅当2x ·1y ＝1x ·y 时，等号成立，又1x ＋1y ＝1，则此时⎩⎨⎧ x ＝2＋22，y ＝2＋1.10．5解析由柯西不等式知，(34－x ＋4x －3)2≤(32＋42)·[(4－x )2＋(x －3)2]＝25. 当且仅当3x －3＝44－x 时，等号成立，因此f (x )≤5.11．证明根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2.∴原不等式成立．12．解设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin 2x )，则f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x ＝m ·n ≤|m ||n | ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ·32＋42＝5 2.当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，31＋sin 2x －4cos x ＝0.解得sin x ＝±75，cos x ＝325. 故当sin x ＝±75，cos x ＝325时． f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 取最大值5 2.13．证明由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式，可得(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.14．C [⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b2. ∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12(a ＋b )2＝12. 又∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8(a ＋b )2＝8，以上两个不等式都是当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥12＋2＋2＋8＝252，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．] 15．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.。

高中数学新人教A版选修4-5二维形式的柯西不等式

ItEsS /柚西祜站排酥福茂1. 二维形式的柯西不等式⑴定理1：若a, b, c, d都是实数，则(a2+ b2)(c2+ d2)>(ac+ bd)2，当且仅当ad= be时，等号成立.二维形式的柯西不等式(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a + b)(c+ d) > ( ac+ bd)2(a, b, c, d 为非负实数);a2+ b2• c2+ d2> |ac+ bd|(a, b, c, d€ R);a2+ b2• c2+ d2> |ac| + |bd|(a, b, c, d€ R).2. 柯西不等式的向量形式定理2:设a, B是两个向量，则|a •澤| ” |件当且仅当B是零向量，或存在实数k, 使a= k B时，等号成立.［注意］柯西不等式的向量形式中a•其| a|B，取等号“=”的条件是B= 0或存在实数k,使a= k •3. 二维形式的三角不等式(1)定理3：也2+ y + v x2+ y2Z(X i —X2 2+ (y i —y2$(x i, y i, X2, R).当且仅当三点P i, P2与O共线，并且P i, P2点在原点O异侧时，等号成立.(2)推论：对于任意的X i, X2, X3, y i, y2,涉 R，有7 (x i —x3 2 +(y i —y3 2 +P(X2 - X3 f +( y2 - y3 2(x i —x?2+ (y i —y?2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P i, P2, P3的坐标分别为(X i, y i), (X2, y2), (X3,y3),根据△ P i P2P3的边长关系有|P i P31+ |P2P3|> |P i P2|,当且仅当三点P i,卩2 ,卩3共线，并且点P i, P2在P3点的异侧时，等号成立.利用柯西不等式证明不等式a b2［例1］已知B为锐角，a, b€ R+,求证：一(a+ b)2.cos 0 sin 0［思路点拨］可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“ 1 = sin20+ cos0”，然后用柯西不等式证明.a2b2［证明］J破+诙=為+滸0(8孑0+引『0》爲cos 0+盒sin 00=(a + b)2,2 b2：(a+b)2<cOs i+亦［右法-规律…卜结］----------------------------利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件.1.已知a i, a2,切，b2为正实数.求证：(a i b i+ a2b2)畫+ 舊》(a i+ a?)2.证明：J (叭 + a2b2)b1+b•••原不等式成立.2.设a, b, c为正数，求证：a2+ b2+ b2+ c2+ a2+ c2> 2(a+ b+ c).证明：由柯西不等式，得a2+ b2• i2+ 12>a+ b,即 _ 2 • a2+ b2> a+ b.同理：，2 • b2+ c2> b+ c,2 • a2+ c2> a+ c,将上面三个同向不等式相加得:2(、J a 2+ b 2+ 工/b 2 + c 2 + --J a 2 + c 2) > 2(a + b + c)订a 2+ b 2 + p,b 2+ c 2 +、.../a 2+ c 2》；2(a + b +c).2 2a b+ > 2.2— a 2 — b证明：根据柯西不等式，有2 .2丄 +_b _2— a 2 — b声+戸厲丿2 =(a + b)2= 4. 2 2••亠 + 亠 > 4 = 2.2— a 2— b 2 — a + 2 — b 原不等式成立.［例2］求函数y = 3sin a+ 4cos a 的最大值.［思路点拨］函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac + bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值.［解］由柯西不等式得(3sin a+ 4cos a)2<(32+ 42)(sin 2 a+ cos a)= 25,• 3sin a+ 4cos a< 5.当且仅当sj y a= c os a>0即sin a= 5, cos a= 4时取等号，即函数的最大值为5.［方法•规律•小结〕利用柯西不等式求最值的注意点(1) 变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2) 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.4.已知2x 2+ y 2 = 1,求2x + y 的最大值.3.设 a , b € R + ,且 a + b = 2.求证: [(2 — a + (2 - b )] 利用二维形式的柯西不等式求最值+解：••• 2x+ y= 2X 2x + 1X y w 厂22+ 12x 一2x 2+ y2= 3X 2x2+ y2= 3,当且仅当x= y=¥时取等号••• 2x+ y的最大值为 3.5.求函数y = x2—2x + 3+ x2—6x + 14的最小值.解：y= x— 1 2+ 2+ 3 —x 2+ 5,y2= (x—1)2+ 2 + (3 —x)2+ 5+ 2X 寸[(X—1 ：+ 2][(3—x$+ 5]》(x —1)2+ 2+ (3 —x)2 + 5 + 2X [(x—1)(3 —x) + 10]= [(x—1)+ (3 —x)]2+ (7 + 2 10) = 11 + 2 10.当且仅当即x=骰时等号成立.此时y min= 11+ 2一10= 10+ 1.1.已知a, b€ R +且a + b= 1,贝U P = (ax+ by)2与Q = ax2+ by2的大小关系是(A. P< QB. P v QC. P>QD. P>Q解析：选 A 设m= ( ax, , by), n = ( a, . b),则|ax + by| = |m-n|< |m||n| =旨上ax 2+ . by 2• a 2+ b 2= ax2+ by2• a + b = ax2+ by2,•(ax+ by)2w ax2+ by2,即P w Q.2. 若a, b€ R，且a2+ b2= 10,则a—b的取值范围是()A. [—2 5, 2 5 ]B. [—2 10, 2 10 ]C. [—10, 10 ]D. (—5, 5)解析：选 A (a2+ b2)[i2+ (—I)2] > (a—b)2,•/ a2+ b2= 10,•(a —b)2w 20.•••—2 5 w a —b w 25.3. 已知x+ y= 1，那么2x2+ 3,的最小值是()5A"625解析：选 B (2X 1 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)2]>( 6x + 6y)2=[ 6(x + y)]2= 6, 3 2当且仅当X = 5, y = 2时取等号，即 2X 2 + 3y 2> 6.5故2X 2 + 3y 2的最小值为6.5 4. 函数y = X - 5+ 26 — x 的最大值是()A.3B. 5 C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知y = 1X X — 5 + 2X 6— X <12+ 22x 寸&X —5 2 +(V 6 - x 2 = <5,当且仅当X = 26时取等号.5.设 xy>0,则 |x 2 + ___________ i'|y 2 + X 2 的最小值为 . 解析：原式=X 2+ £：+ y 2x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=/2时取等号.答案：96. ______________________________________________ 设 a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 ________________________________________________ ，此时 b= ________ .解析：根据柯西不等式的向量形式，有 |a b|w |a| |b|,•••|a b|w - 2 2+ 12+ 22x 6= 18, 当且仅当存在实数 k , 使a = kb 时，等号成立.•••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18, 此时 b =- 2a = (4, - 2,- 4). 答案：—18(4,- 2,- 4)7. _________________________________________________________ 设实数X , y 满足3X 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2X + y 的最大值为 _______________________________ .解析：由柯西不等式得(2x + y)2w[( .3X )2+ ( 2y)2] • ： 2+ ： 2 = (3x 2+ 2y 2) £+ 1 w 6X f= 11,当且仅当C.3636 D.25y =爲时取等号，故P = 2x + y 的最大值为 11.4所以1 +丄》2.x y9.若x 2 + 4y 3 4= 5,求x + y 的最大值及此时 x , y 的值. 解：由柯西不等式得 [x 2+ (2y )2] 12+ j 1/ l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5x 5 =严，x + y < 2.4 4 2 当且仅当x =空，即x = 4y 时取等号. 1 125••• x + y 的最大值为5， 1此时 x = 2, y = 2.10.求函数f(x)= 3cosx + 4, 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x),则 f(x) = 3cosx + 4 1 + sin 2x=|m n|w |m| |n|f(x)= 3cos x + 4 ・J 1 + sin 2x 取最大值 5 2.=^co&x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取“=”. 此时，3 叮 1 + sin 2x — 4cos x = 0. 解得 sin x=-^, cosx = ^t^.5 5 故当 sin x =」,cosx = ^2时. 5 5「心=血当且仅当 y .x' 时等号成立，此时 x = 1, y = 1. x + y = 2丄 x 2+ 4y 2= 5, 由彳x = 4y ,x = 2,得i 1l y= 1x — 2, 或丫 1 l y =- 1（舍去）.。

数学人教A版选修4-5课后训练：3.1二维形式的柯西不等式含解析

课后训练1．如果实数m ,n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ,x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为常数，那么mx ＋ny 的最大值为( ）．A ．2a b ＋ B．CD2．已知x ,y ∈R ＋，且xy ＝1，则1111x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋的最小值为（ )． A ．4 B ．2 C ．1 D ．143．设a ＝（1,0,－2），b ＝（x ，y ，z ），若x 2＋y 2＋z 2＝16，则a ·b 的最大值为__________．4．设a ＝(－2,1，2)，｜b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.5．设a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥__________。

6．已知a ＞b ＞c ，求证：114a b b c a c≥＋－－－。

7．设a ，b ，c ＞0，且a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .22θθ.8．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)1212a a b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋≥(a 1＋a 2)2。

已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：22222()cos sin a b a b θθ≤＋。

参考答案1。

答案：B解析:由柯西不等式，得（mx ＋ny )2≤(m 2＋n 2）(x 2＋y 2）＝ab ;当m n ＝x y ＝mx ny ＋2。

答案：A解析:1111x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋222211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝＋＋211⎛⎫≥⨯ ⎝22124⎛⎫ ⎝＝＝＝，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．3.答案：解析:∵a ＝(1,0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，∴a ·b ＝x －2z . 由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2]（x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z ）2.当且仅当存在实数±5k ＝，使b ＝k a 时等号成立．∴5×16≥（x －2z )2,∴|x －2z |≤∴-≤x －2z≤即-≤a ·b≤∴a ·b的最大值为4。

柯西不等式习题

一、二维形式的柯西不等式二、二维形式的柯西不等式的变式三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

基本方法（1）巧拆常数：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

数学选修4-5一般形式的柯西不等式练习题含答案

【解析】
分情况讨论去掉绝对值，再分别解不等式即可；
由于化简得到，与要证的结论能构成柯西不等式模型，故直接用柯西不等式证明即可.
【解答】
解：
或或
解得：无解，或，或，
综上可得：不等式的解集为 .
，，均为正数，
∴ ，
即：，
∴由柯西不等式可得：，
∴ .
18.
【答案】
解：（1）由柯西不等式可得，
（2）根据对数函数的性质，然后再利用柯西不等式进行放缩，注意不等式取等号的条件进行证明；
【解答】
解：（1）由柯西不等式得，
得：；
（2）∵ ，
由柯西不等式得：（），
由柯西不等式得：（）
所以，，
．
∴ ．
∴ ．得
所以，当且仅当时，等号成立．
故所求的最小值是．
23.
【答案】
可化为直角坐标方程，即；
对于曲线的参数方程为（为参数），可化为普通方程．
（2）过圆心点作直线的垂线，此时切线长最小，
则由点到直线的距离公式可知，，则切线长为．
因为，所以，所以，．
又的解集是，故．
（2）由（1）知，，，，由柯西不等式得．
∴ 的最小值为．
21.
【解答】
解：∵
∴
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
一般形式的柯西不等式
【解析】
直接利用柯西不等式进行求解即可．
【解答】
解：由柯西不等式可知
（）
∴ 即
故答案为：
11.
【答案】
【考点】
一般形式的柯西不等式
【解析】

人教版数学高二A版选修4-5练习第三讲一二维形式的柯西不等式

, [学生用书P42])[A 基础达标]1．二维形式的柯西不等式可用下列式子表示的为( )A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )解析：选C.二维形式的柯西不等式为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.故选C.2．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y 的最小值为( ) A ．4B ．2C ．1D ．14解析：选A.⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y ≥⎝⎛⎭⎫1＋1xy 2＝4，故选A. 3．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( )A ．3B ． 5C ．3D ．5 解析：选B.设m ＝(x －5，6－x )，n ＝(1，2)，则m·n ＝x －5＋26－x ≤|m||n |＝（x －5）2＋（6－x ）2·12＋22＝ 5，当且仅当6－x ＝2x －5，即x ＝265时等号成立． 4．已知4x ＋9y＝2，x ，y ∈R ＋，则x ＋y 的最小值是( ) A ．252B ．254C ．52D ．5解析：选A.因为x ＋y ＝12(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋9y ≥12·⎝⎛⎭⎫x ·4x ＋y ·9y 2＝12×(2＋3)2＝252，即(x ＋y )min ＝252. 5．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，则以下成立的是( )A ．a 2＋b 2＞1B ．a 2＋b 2＝1C ．a 2＋b 2＜1D ．a 2b 2＝1解析：选B.由柯西不等式，得1＝a1－b 2＋b 1－a 2≤[a 2＋(1－a 2)][(1－b 2)＋b 2]＝1，当且仅当b 1－a 2＝1－b 2a 时，上式取等号，所以ab ＝1－a 21－b 2，即a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)，于是a 2＋b 2＝1.6．函数y ＝x －1＋5－x 的最大值是________．解析：因为(x －1＋5－x )2≤(1＋1)(x －1＋5－x )＝8，当且仅当x －1＝5－x ，即x ＝3时，等号成立，所以x －1＋5－x ≤22，函数y 取得最大值2 2.答案：2 27．已知x ，y ，a ，b 均为实数，且满足x 2＋y 2＝4，a 2＋b 2＝9，则ax ＋by 的最大值m 与最小值n 的乘积mn ＝________．解析：因为a 2＋b 2＝9，x 2＋y 2＝4，由柯西不等式(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2，得36≥(ax ＋by )2，当且仅当ay ＝bx 时取等号，所以ax ＋by 的最大值为6，最小值为－6，即m ＝6，n ＝－6，所以mn ＝－36.答案：－368．若函数y ＝a x ＋1＋6－4x 的最大值为25，则正数a 的值为________．解析：(a x ＋1＋6－4x )2＝⎝⎛⎭⎫a x ＋1＋232－x 2≤(a 2＋4)⎝⎛⎭⎫x ＋1＋32－x ＝ 52(a 2＋4)，由已知得52(a 2＋4)＝20，解得a ＝±2.又因为a ＞0，所以a ＝2.答案：29．已知m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p，指出等号成立的条件．解：根据柯西不等式，得⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4. 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p . 当m ＝n ＝p 2时等号成立． 10．已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 2＝92，若a ＋b ≤m 恒成立，求m 的最小值．解：因为a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 2＝92，所以9＝(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2.所以a ＋b ≤3⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ，即a ＝b ＝32时取等号. 又因为a ＋b ≤m 恒成立，所以m ≥3.[B 能力提升]1．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝36，则1x ＋2y的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝36，所以1x ＋2y ＝136×(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝136[(x )2＋(2y )2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 2＋⎝⎛⎭⎫2y 2 ≥136⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·2y 2＝14，当且仅当x ·2y ＝2y ·1x ，即x ＝y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋2y ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝12，所以当x ＝y ＝12时，⎝⎛⎭⎫1x ＋2y min ＝14.答案：142．函数f (x )＝x 2－8x ＋20－ x 2－6x ＋10的最大值是________．解析：f (x )＝（x －4）2＋22－（x －3）2＋12.令a ＝(x －4，2)，b ＝(x －3，1)，则f (x )＝|a |－|b |≤|a －b |＝[（x －4）－（x －3）]2＋（2－1）2＝ 2.当且仅当a ∥b ，即2x －6＝x －4，x ＝2时，等号成立．所以f (x )max ＝f (2)＝ 2. 答案： 23．已知：p ，q ∈R ＋，且p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2.证明：设m ＝(p 32，q 32)，n ＝(p 12，q 12)，则p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p 3＋q 3·p ＋q ＝2p ＋q .又(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)．所以（p ＋q ）22≤p 2＋q 2≤ 2p ＋q ，所以（p ＋q ）22≤2p ＋q ，所以(p ＋q )4≤8(p ＋q )，(p ＋q )3≤8，所以p ＋q ≤2.4．已知函数f (x )＝|x －4|.(1)若f (x )≤2，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，求g (x )＝2|x －2|＋|x －6|的最大值．解：(1)由已知得，|x －4|≤2，即－2≤x －4≤2，即2≤x ≤6，即x 的取值范围为[2，6]．(2)由2≤x ≤6可得g (x )＝2x －2＋6－x ，由柯西不等式，得g (x )≤（4＋1）（x －2＋6－x ）＝2 5.当且仅当x－22＝6－x1，即x＝265时，g(x)的最大值为2 5.。

【人教A版】选修4-5数学：3.1《二维形式的柯西不等式》同步测试及答案].doc

第三讲柯西不等式与排序不等式1.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.2.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义.(1)柯西不等式向量形式: (2)(a2+b2)(c2+d2) 2 (ac+bd)2.⑶(X1—X2) 2+ (J1—^2)2 + yj(X2—X3) 2+ (j2—^3)2鼻V(Xl—占)2+ (必一必)2(通常称作平面三角不等式).3・用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：E n9i= laj• L n9i= 16^( L n,/=1«A)2.4.用向量递归方法讨论排序不等式・，1.在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景.学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质.2.准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力.3・1二维形式的柯西不等式学习目标.1.利用柯西不等式证明不等式.2.能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.3.认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义.均为实数，则____________________________________ ，其中等号当且仅当_______ 时成立.定理1（二维形式的柯西不等式的代数形式）：设a， b, c2.定理2（柯西不等式的向量形式）：设么，B为两个平面向量, 则_______ ,其中等号当且仅当两个向量____________________ 时成立.答案:\a\\p\^p\方向相同或相反（即两个向量共线）思考1几何意义：设么，B为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a9 b）, B（C9小,那么它们的数量积幻？= ________ ,而\a\=y/a2+b29 0|=费+护,所以柯西不等式的几何意义就是_______ ,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立.3. 定理3（三角形不等式）: 设Xl，Jp X"丿2，兀3，必为任意实答案：ac+bd \a\\fi\数，则答案：\l（X X—X2）2+（必一丁2）2 + V （x2—x3）2+（力―丁3）yj （xt—x3）2+（Ji—2思考2 设a, b9 c9 d, m9 n都是正实数，P=y[ab-\-\[cd9 Q=yjma+nc •寸务+£则P 与Q 的大小关系是解析：由柯西不等式，得1.已知a, bWR, a 2+b 2=4f 则3a+2b 的最大值为（） A ・4 B ・2y[13 C ・8 D ・9 答案：B 2.设x, y f m 9 n>0,且学+彳=1，则的最小值是（）x yA ・（、/^i+、/齐FB ・、/万+丽C ・ m-\~nD ・（/n+〃）2答案：A3・已知a,方>0,且a+b=l,则场+牙的最小值为4.若3x+4y=2,求x+y 1的最小值及最小值点.解析：由柯西不等式有(x 2 +/)(32+42)(3x+4y)2,得25(x 2+ am^rnc•/)^4,：.x2+y2^f当且仅当扌=扌时等号成立，为求最小值点，需解3x+4r=2, X=25^x=y_・；o3_4>b=石因此，当y=25时，/+#的最小值为务，最小值点为(6_ 8},25' 255.若直线乡+扌=1通过点M(cos a , sin a),贝!J( )A ・ /+沪£1B . a 2-\-b 2^l C*+屛 1 D*+醫 1答案:D6・函数y=2寸l_x+寸2x+l 的最大值为 ________答案：37.已知2X 2+/=1,则2x+y 的最大值是 ______________答案：国區画国] 9.已知 &1 —沪+川I —,= 1,求证：/ +方2=].证明：由柯西不等式，得(刊1一方2+byjl —a 2)2[a 2+(1—a 2)][b 2 + (1—沪)]=1・当且仅当寸缶=洱歹时，上式取等号，:.ab=^l-a 2 • y)l~b 29 a 2b 2=(l-a)(l-b 2).于是 a 2+b 2=l.1Y 1} yGR,且xy=l 9贝!! 1+~ 1+~的最小值为() X) y)8.已知x,答案•：A10.设求证：/+方克证: a 8+A 8=|(l 2+l 2)[(aV+(*4)2]^|(lXa 4+lX64)2=|(a 4+ *4)2=| - \ (12+12) (/+於〉=|x|{(l 2+l 2)[(a 2)2+(*2)2]}2^ (1X a 2 4-1X b 2)2=^3(a 2 4- A 2)2=^3 • (a+b)2=^7. •••原不等式成立.解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x,则宽为忤2—込于是长方形 ABCD 的周长 /= 2(x+^4/?2-x 2)=2(l-x+l-^4/f 2-x 2), 由柯西不等式有 ______ 1 1l^2[x 2+(.^41?2-x 2)2]2( 12 +12)2 = 2^2 • 2R = 4y^R,等号成立、4,—*2____________ 0了= —j Ox=pR,此时宽为\I4R 2— (yj2R)2=^27?,即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4、/引?・12| (i 2+i 2) 3+們 ii ・在半径为/?的内，求周长最大的内接长方形.总方法川J箱二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求.2.理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆.另外，对等号“=”取到的条件是要从推导过程来理解的.。

人教新课标版数学高二人教A选修4-5试题 3-1二维形式的柯西不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式第一节二维形式的柯西不等式一、选择题1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )．A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．[－5，5]解析 ∵(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，∴|a －b |≤20＝25，∴a －b ∈[－25，25]．答案 A2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是 ( )． A. 2 B ．1C ．3D ．9解析 ∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤ (2x )2＋(5y )2·12＋12＝1·2＝ 2.∴2x ＋5y 的最大值为 2.答案 A3．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y 的最小值为( )． A ．4 B ．2C ．1 D.14解析 ⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y ≥⎝⎛⎭⎫1＋1xy 2＝4，故选A.答案 A4．设a 、b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则()． A ．P >Q B ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析 ∵⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b2a (a ＋b )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ab 2＋⎝⎛⎭⎫ba 2[(a )2＋(b )2]≥⎝⎛⎭⎫ab ·b ＋ba ·a 2＝(a ＋b )2∵a >0，b >0，∴a ＋b >0.∴⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a ≥(a ＋b )2a ＋b ＝(a ＋b )．又∵a ≠b ，而等号成立的条件是a b ·b ＝b a ·a ，即a ＝b ，∴⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a >a ＋b .即P >Q .答案 A二、填空题 5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是________．解析根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.答案 56．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n ，则P 与Q 的大小________．解析由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·d n ≤(am )2＋(nc )2×⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2＝am ＋nc · b m ＋d n＝Q .答案 P ≤Q7．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________．解析 y ＝2cos x ＋31－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2 x ≤(cos 2 x ＋sin 2 x )[22＋(32)2]＝22.当且仅当cos x sin 2 x ＝232，即tan x ＝±322时，函数有最大值22. 答案 228．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为________．解析 y ＝21－x ＋2x ＋1＝22－2x ＋1·2x ＋1≤(2)2＋12·(2－2x )2＋(2x ＋1)2＝3·3＝3.当且仅当2－2x ·1＝2·2x ＋1取等号．即2－2x ＝4x ＋2，∴x ＝0时取等号．答案 3三、解答题9．若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值，并求出最小值点．解由柯西不等式(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1，∴4x 2＋9y 2≥12. 当且仅当2x ·1＝3y ·1，即2x ＝3y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，2x ＋3y ＝1 得⎩⎨⎧ x ＝14，y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12，最小值点为⎝⎛⎭⎫14，16. 10．设a ，b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，求1a ＋1b的最小值．解 ∵(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝[(a )2＋(b )2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝(1＋1)2＝4.∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4，即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2. 当且仅当a ·1b ＝b ·1a，即a ＝b 时取等号， ∴当a ＝b ＝1时，1a ＋1b的最小值为2. 11．已知a 2＋b 2＝1，a ，b ∈R ，求证：|a cos θ＋b sin θ|≤1.证明 ∵(a cos θ＋b sin θ)2≤(a 2＋b 2)(cos 2θ＋sin 2θ) ＝1·1＝1，∴|a cos θ＋b sin θ|≤1.。

人教新课标版数学高二-高中数学(人教A)选修4-5试题 3-1二维形式的柯西不等式

3-1二维形式的柯西不等式1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为( )A ．18B ．6C ．－18D ．12解析：|a·b |≤|a ||b |，∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a ，b 最小，最小值－18.答案：C2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号． ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.答案：A3．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( )A ．5B ．－5C ．25D ．－25解析：(ab ＋bc ＋cd ＋da )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.答案：B4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝( ) A.14 B.13C.12D.34解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 答案：C5．已知：2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327. 当且仅当x 2＝y 3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为(87，127，47)．答案：(87，127，47) 6．已知：实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得：(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2，∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1.即x 2＋4y 2＋z 2≥13. 当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13. 答案：137．已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________．解析：由柯西不等式得：(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3取得最大值4 3. 答案：4 3。

2017-2018学年高中数学选修4-5课时跟踪检测9二维形式的柯西不等式含答案

课时跟踪检测(九）二维形式的柯西不等式1．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则错误!错误!的最小值为（）A．4 B．2C．1 D。

错误!解析：选A 错误!错误!＝错误!·错误!≥错误!2＝错误!2＝22＝4.2．若a,b∈R，且a2＋b2＝10,则a－b的取值范围是( )A．［－2错误!,2错误!] B．［－2错误!,2错误!］C．[－错误!，错误!］ D．（－错误!，错误!)解析：选A （a2＋b2)［12＋(－1)2]≥(a－b)2,∵a2＋b2＝10,∴（a－b)2≤20。

∴－25≤a－b≤25。

3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是（）A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!解析：选B (2x2＋3y2）[（错误!）2＋（错误!）2]≥（错误!x＋错误!y)2＝［错误!(x＋y）]2＝6，当且仅当x＝错误!，y＝错误!时，等号成立，即2x2＋3y2≥错误!.4．函数y＝错误!＋2错误!的最大值是（)A。

3 B。

错误!C．3 D．5解析:选B 根据柯西不等式,知y＝1×错误!＋2×错误!≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当x＝错误!时,等号成立．5．设xy〉0,则错误!·错误!的最小值为________．解析：原式＝错误!错误!≥错误!2＝9(当且仅当xy＝错误!时，等号成立)．答案:96．设实数x,y满足3x2＋2y2≤6,则P＝2x＋y的最大值为________．解析:由柯西不等式，得（2x＋y)2≤[（错误!x)2＋（错误!y）2]·错误!＝（3x2＋2y2)·错误!≤6×错误!＝11,当且仅当x＝错误!,y＝错误!时，等号成立，于是2x＋y≤错误!。

答案：错误!7．函数f（x)＝2－x2＋错误!的最大值为________．解析：因题意得函数有意义时x满足错误!≤x2≤2.由柯西不等式,得[f(x)]2＝错误!2≤(1＋2)错误!＝错误!，∴f（x）≤错误!，当且仅当2－x2＝错误!，即x2＝错误!时，等号成立．答案：错误!8．已知θ为锐角，a，b∈R＋。

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二维形式的柯西不等式（全部）1、已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（）A． B． C． D．2、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．23、已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则的最小值为( )A．1 B．3 C．6 D．94、若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( )A．3 B．1 C． D．5、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为( )A．1 B．6 C．11 D．6、n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A．1 B．n C．n2 D．7、设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( )A．1 B． C．3 D．98、函数的最大值是( )A． B． C． D．9、设实数满足关系：，，则实数的最大值为（）A．2 B． C．3 D．10、函数的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．611、已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则的值为（）A．2 B．1 C． D．12、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A． B． C． D．13、设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+ B．2 C．3 D．14、用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A． B．3 C．4 D．515、对任意正数x，y不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，则实数k的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．416、已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（）A．1 B．4 C．8 D．917、已知a+b=1，则以下成立的是（）A．a2+b2＞1 B．a2+b2=1 C．a2+b2＜1 D．a2b2=118、二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）19、已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（）A．3a+2b≤4 B．3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定20、（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A． B． C． D．21、（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2 C．2 D．322、（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2 C． D．123、选修4-5:不等式选讲已知.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.24、选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，满足，求证：．25、（2014•镇江二模）已知不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．26、选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）求函数的最大值.27、若函数的最小值为．（1）求实数的值；（2）若，且，证明：．28、设2x＋3y＋5z＝29，求函数的最大值.29、已知 a,b 为实数,且 a>0,b>0 ,(1)求证: ;(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.30、(1)关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；(2)设，，，且，求的取值范围．31、(1)设x＞0，求的最小值；(2)已知，求的最小值．32、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.33、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.34、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.35、函数的最大值为______.36、（1）证明：如果，，那么；（2）已知，求的最小值．37、设对于任意实数，不等式恒成立，且的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．38、【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数：最大值．39、（选修４－５：不等式选讲）已知均为正数，且a＋2b＋3c＝9．求证：＋＋≥．40、选修4—5：不等式证明选讲设为正实数，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求的值．41、函数的最大值为______.42、[选修4-5：不等式选讲]已知，且，，求的取值范围．43、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最大值为.（1）求的值；（2）求的最小值，并求出此时的值.44、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.45、已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.（1）求整数的值；（2）已知，若，求的最大值；（3）函数，若不等式的解集为，且存在实数使成立，求实数的取值范围.46、选修4-5：不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．47、D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：.48、选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）设为正数，且，求最大值.49、选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）记的最小值为，若正实数，，满足，求证：.50、选修4-5：不等式选讲（1）若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围；（2）对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.51、选修4-5：不等式选讲已知函数，，且的解集为．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若均为正实数，且满足，求证：．52、已知函数，且的解集为.（1）解不等式：；（2）若均为正实数，且满足，求证：.53、（2014•陕西模拟）函数的最大值是．54、（2014•黄浦区一模）设向量=（a，b），=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式||•||恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（当且仅当，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R+，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．55、（2014•宜昌三模）若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，则++的最大值为．56、（2014•祁东县一模）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，则（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．57、（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．58、（2014•陕西三模）已知a、b、c、d均为正数，且a2+b2=4，cd=1，则（a2c2+b2d2）（b2c2+a2d2）的最小值为．59、函数的最小值为________60、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．61、已知向量，则__________．62、函数的最大值为__________．63、（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．参考答案1、D2、C3、D4、D5、D6、C7、B8、D9、B10、A11、C12、A13、D14、C15、A16、D17、B18、C19、B20、A21、C22、B23、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .24、（1）；（2）见解析.25、≤a≤26、(1);(2)5.27、（1）；（2）证明见解析.28、29、（1）见解析（2）30、(1)；(2).31、（1）3；（2）.32、(1) (2)3633、(1) (2)3634、（1）（2）935、36、（1）见解析；（2）.37、（1）（2）见解析38、39、见解析.40、（Ⅰ）．（Ⅱ）1.41、42、．43、（1）；（2）最小值为，.44、（1）（2）945、（1）；（2）；（3）.46、（1）（2）见解析47、详见解析.48、（1）;（2）.49、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.50、（1）（2）51、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.52、（1）；（2）证明见解析.53、10．54、k＞．55、3．56、57、．58、1659、2560、61、162、1063、k＞．【解析】1、试题分析：由条件利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，由此求得x2+y2+z2的最小值．解：∵2x+3y+4z=1，利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，故x2+y2+z2≥，当且仅当时，取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题．2、所以，正实数的最小值为4.3、，当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.4、，，当且仅当时等号成立，故选D.5、，当且仅当时等号成立，的最小值，故选D.6、由柯西不等式，得，当且仅当时取等号，故选C.7、由柯西不等式得，，当且仅当时等号成立，的最大值为，故选B.8、由柯西不等式可得故选D.9、解：根据柯西不等式可知：4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2，∴4(16-e2)≥(8-e)2，即64-4e2≥64-16e+e2，∴5e2-16e≤0，∴0≤e≤，本题选择B选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．10、由题意得，因为，则，当且仅当时等号成立的，所以函数的最小值为，故选A.11、试题分析：由题意可得tanθ=＞1，再由+=化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ 的值，可得tanθ=的值．解：∵x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，∴tanθ=＞1．再由，+=，可得=，化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ=3，或 tan2θ=（舍去），∴tanθ==，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题．12、设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，（），半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设椭圆和双曲线的离心率分别为∵，则由余弦定理可得，①在椭圆中，①化简为即…②，在双曲线中，①化简为即…③，由柯西不等式得故选B．【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．13、试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．14、试题分析：由柯西不等式可得，函数y=≤•，从而求得函数的最大值．解：由柯西不等式可得，函数y=≤•=4，当且仅当==时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选：C．点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题．15、试题分析：根据题意可得（k﹣）x+ky≥2，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，可得2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0，由此求得k的最小值．解：由所给的选项可得k≥1，∵（k﹣）x+ky≥2，x、y都是正实数，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，∴2≥，∴2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0．解得k≤﹣（舍去），或k≥1，故k的最小值为1，故选：A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16、试题分析：由柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，由此求得正数k的值．解：由题意利用柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，即 36（1++）≥（x+y+z）2．再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，求得正数k=9，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．17、试题分析：利用柯西不等式即可得出．解：由柯西不等式，得1=a+b≤[a2+（1﹣a2）][（1﹣b2）+b2]=1，当且仅当=时，上式取等号，∴，化为a2b2=（1﹣a2）（1﹣b2），于是 a2+b2=1．故选：B．点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．18、试题分析：二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．19、试题分析：首先分析题目已知a2+b2=4，求3a+2b的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出（3a+2b）2的最大值，开平方根即可得到答案．解：已知a2+b2=4和柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）故（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52即：3a+2b≤故选B．点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题目．20、试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．21、试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，结合x+y+z=2，即可求出++的最大值．解：∵x、y、z是正数，∴（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，∵x+y+z=2，∴++≤=2，∴++的最大值是2．故选：C．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．22、试题分析：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2=[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2，∴[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2≤8，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）≤2，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为2，故选B．点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，是解题的关键．23、试题分析：(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,,的取值范围是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式对一切实数恒成立,则,其解集为,即实数的取值范围为.24、试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式求得最小值，由柯西不等式证明即可.试题解析：（1）由，得，当时，，即，解得；当时，，即，即，恒成立；当时，，即，解得．综上得的解集为．（2）由，得，即．因为，所以，令向量，．由，得，即，当且仅当，即，时，取到等号．从而成立．25、试题分析：不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2恒成立，只要|a﹣2||≤（x2+2y2+3z2）min，利用柯西不等式求出x2+2y2+3z2的最小值，再解关于a的绝对值不等式即可．解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（x2+2y2+3z2）（1++）≥（x+y+z）2故x2+2y2+3z2≥，当且仅当x=，y=，z=时取等号，∵不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，∴|a﹣2|≤，∴≤a≤．点评：本题主要考查了柯西不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用．26、试题分析:(1)方法1：将函数按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件.试题解析:（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．27、试题分析：（1）化简的解析式，判断的单调性，利用函数的最小值为列方程解出；（2）搭配，利用柯西不等式可得出结论.试题解析：（1）当时，最小值为，,当时，最小值为，（舍）综上所述，.（2）证明：∵,∴.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值或者证明不等式时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答28、试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件，本题采取如下方法将原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.试题解析：根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥，故 .当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即，时等号成立，此时 .29、试题分析：（1）先利用基本不等式可得，可得，再次利用基本不等式可得结论；（2）原不等式左边化为.，利用柯西不等式求解即可.试题解析：（1）证明:因为a>0,b>0,所以（2）解：[(5-2a)2+4b2+(a-b)2 ][12+12+22] ≥[(5-2a)1+2b1+(a-b)2]2 ,所以当且仅当时取等号,解得所以当时取最小值 .当时取最小值.30、试题分析：（1）利用绝对值不等式可得，，依题意即可求得的取值范围；（2）利用柯西不等式，可求得，从而可得答案.试题解析：(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，————2分且|x－3|＋|x－4|<a的解集不是空集，∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(4×＋×＋2×)2＝(x＋y＋z)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．31、试题分析：（1）利用均值不等式得其最小值；（2）构造柯西不等式得其最小值.试题解析：（1），当且仅当时取“”号．（2）由柯西不等式，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为. 32、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)33、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)34、试题分析：（1）由得，解得其解集为，即可得到实数的值；（2）由(1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.试题解析：（1）因为所以由得由有解，得，且其解集为又不等式解集为，故（2）由(1)知，又是正实数，由柯西不等式得当且仅当时取等号故的最小值为935、由柯西不等式：，即函数的最大值为.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．36、试题分析：（1）作差利用乘法公式与实数的性质即可得出．（2）利用柯西不等式的性质即可得出．试题解析：（1）∵，，∴，∴．（2），∴,当且仅当时取等号。