高中数学竞赛讲义——格点问题
高中数学竞赛 第40讲 格点教案
第40讲 格点本节主要内容有格点的概念,及格点在解题中的应用．格点,又叫整点,指的是在直角坐标系中,每个坐标都是整数的点．或者直接在平面上取两组互相垂直的平行线(在空间中就取三组互相垂直的平行平面),相邻的两条平行线的距离相等,这两组平行线的交点就是格点．当一个多边形的所有顶点都是 两组互相垂直的平行线,相邻的两条平 行线的距离相等,这两组平行线的交点就是格点．关于格点多边形,有下列定理:定理1 (皮克定理)设格点多边形内部有N 个格点,边界上有L 个格点,则其面积 S =N +12L －1．(证明略)定理2 边与两轴平行的正方形(顶点不一定是格点),如果其面积大于1,则其内部至少有一个格点． 证明 如图,设点A 、B 的横坐标分别为a ,b ,则r ＝b －a ＞1．若a 为整数,则a ＋1＜b ,而a ＋1为整数,此时,直线x ＝a ＋1穿过正方形ABCD 内部；若a 不是整数,[a ]是不超过a 的最大整数,{a }＝a －[a ],有0＜{a }＜1,此时a ＝[a ]＋{a }＜[a ]＋1＝a －[a ]＋1＝a ＋1－[a ]＜b －[a ]＜b ．即直线x ＝[a ]＋1穿过正方形内部．总之,正方形内部有一条竖直格线穿过． 同理,正方形内部有一条水平格线穿过．即其正方形内部有一个格点．A 类例题例1 ⑴ 内部不含格点的圆,其面积≤π2． ⑵ 内部恰有一个格点的圆,其半径不大于1．分析 本题是定理2的一个直接应用．⑴证明 如果圆的面积＞π2,则其半径＞12其内接正方形边长＞1．由定理2可知其内部必有格点．故证． ⑵ 证明 设⊙O 有内部恰有一个格点,且其的半径＞1．圆心O 必在某个格点正方形ABCD 内或在其边上．从而A 、B 、C 、D 至少有三点在⊙O 外或⊙O 上．于是相对的两个顶点A 、C 或B 、D 同在⊙O 外或⊙O 上,例如B 、D 在⊙O 外(或⊙O 上)．于是BO ≥1,DO ≤1．即O 应在以B 、D 为圆心,1为半径的圆外(或边界上),又在正方形ABCD 内部,这是不可能的．例2 ⑴ 找出内部恰有0个、1个、2个、3个、4个格点的面积最大的圆．⑵ 能否找到内部恰有5个格点的面积最大圆？⑴解 (如图)内部恰有0个格点的面积最大圆的半径＝12；x内部恰有1个格点的面积最大圆的半径＝1；内部恰有2个格点的面积最大圆的半径＝52； 内部恰有3个格点的面积最大圆的半径＝526； 内部恰有4个格点的面积最大圆的半径＝102． ⑵解 如左图画的是内部有5个格点且过4个格点的圆,其半径＝2．但这圆不是内部有5个格点的面积最大圆．如右圆,取内部恰有四个格点的面积最大圆(虚线画的圆),其圆心为O ,点P 1、P 2、P 3、…、P 8等8个格点在此圆上,其半径＝102＞2． 可以作一个圆使原来四个在圆内的格点仍在此圆内,且使P 1在圆内而原来在圆上的其他格点都在圆外．为此取P 1P 8、P 2P 3的垂直平分线l 1、l 2,则在这两条直线围出的右上平面内的点,到P 1的距离比到P 8的距离小,到P 2的距离比到P 3的距离小,再作P 2P 8的垂直平分线l 3,则l 3上的点到P 2、P 8距离相等,现在l 3上靠近点O 取一点Q ,以Q 为圆心,QP 2为半径画一圆,显然,此圆内恰有5个格点．只要点Q 充分接近O ,则⊙Q 的半径充分接近102,但圆内恒有5个格点．即没有圆内恰有5个格点而面积最大的圆．情景再现1．内部不含格点的正方形,其面积≤2．2．找出内部恰有1个,2个格点的面积最大的正方形．B 类例题例3 求证:对任何n (n ∈N ),可以作一个圆,恰盖住n 个格点(格点在圆内部)．分析 只要能证明,平面上存在一点,到所有格点的距离两两不等．为此,可以利用“无理数不等于有理数”来解．证明 取一点,其两个坐标都是无理数,例如取点W (2,3),先证明,以W 为圆心,任意长为半径作的圆,至多通过一个格点．设某个以W 为圆心的圆通过两个格点(m ,n ),(p ,q )(m ,n ,p ,q ∈Z ),则(m －2)2+(n －3)2＝(p －2)2+(q －3)2．展开整理得,m 2+n 2－p 2－q 2＝22(p －m )+23(q －n )．左边是有理数,右边当且仅当p ＝m ,q ＝n 时为有理数．故证．于是可知以W 为圆心的圆至多通过一个格点．现考虑,平面上所有的点与W 的距离,这些距离没有两个相等．把所有的格点与点W 的距离按从小到大排队0＝r 0＜r 1＜r 2＜r 3＜…＜r n ＜…．取线段r ,满足r n ＜r ＜r n +1,以W 为圆心,r 为半径作圆,则此圆内恰有n 个格点．说明 本题即是辛泽尔定理,利用本题的结果可以解1987年的全国高中联赛题二试第2题．l例4 若a 与b 是互质的正整数,证明⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b －1)a b ＝12(a －1)(b －1)． 分析 研究数[ka ](k ,a ∈N *)的几何意义:取函数y ＝kx ,这是一条直线,在直线上取一点(a ,ka ),在连结点(a ,0)与点(a ,ka )的线段上(不含点(a ,0)而含点(a ,ka )时),恰有[ka ]个格点． 证明 取直线y ＝a bx (右图中以a ＝5,b ＝9为例)． 对于k ＝1,2,…,b －1,由(a ,b )＝1,知b |/ ak ．所以直线y ＝a bx 与x ＝k (k ＝1,2,…,b －1)的交点都不是格点． 而⎣⎢⎡⎦⎥⎤ka b 表示线段x ＝k (y ∈(0,ka ])上的格点的个数,所以,⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b －1)a b 表示以O (0,0),A (b ,0),B (b ,a )为顶点的三角形内部的格点数．由于线段y ＝a b x (x ∈(0,b )上没有格点,由对称性知,△OAB 内部的格点数等于矩形OABC (其中点C 坐标为(0,a ))内部格点数的一半．而矩形OABC 内部的格点数＝(a －1)(b －1)(共a －1行,b －1列)．从而⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a b ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b －1)a b ＝12(a －1)(b －1)． 说明 本题所证明的恒等式称为厄尔米特恒等式．本题是把《高斯函数》中的内容与格点联系起来的一个定理．例5 若每边长均为整数,三边不等且最大边长为n 的三角形共有600个,求n ．分析 先列出相关条件,把相关条件转化为平面上满足这些条件的格点数．解 设三边长为x ,y ,n ,且x ＜y ＜n ,则有x +y ＞n ．本题可以理解为满足y ＜n ,y ＞x ,x +y ＞n 的区域中恰有600个整点．故在坐标系内作直线y ＝x ,x ＋y ＝n ,y ＝n ,若A (n ,0),B (n ,n ),C (0,n ),AC 、OB 的交于点P ．由这三条直线围成的三角形PBC 即为所求区域．正方形内共有(n －1)2个格点,线段AC 、OB 内各有n －1个格点,当n 为奇数时,P 不是格点,当n 为偶数时,P 是格点． 由对称性,ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPCO 、ΔPOA 内的格点数相等．故有 (n －1)2－2(n －1)＋k ＝600×4．(n 为偶数时k ＝1,n 为奇数时,k ＝0)即 n 2－4n ＋3＝2400－k ． 当n 为奇数时,(n －2)2＝2401＝492,所求正整数解为n ＝51． 当n 为偶数时,(n －2)2＝2400,无整数解．所以 n ＝51．情景再现3．⑴ 如图⑴,在一个棋盘形的街区图中,纵线与横线都表示街道,有人沿此街道从(0,0)直到(n ,m ),问使路程最短的走法有多少种? ⑵ 如图⑵,仍在此街道图中,如果在点(p ,q )与(n ,m )(n ,m )(p ,q +1)(0≤p ≤n ,0≤q ≤m －1)间的街道(图中用粗线标出)戒严,禁止通行,则从(0,0)到(n ,m )的最短走法有多少种？4．试设计一种染色方法,把所有的平面整点染色,每一整点染成红色、白色或黑色中的一种颜色,使:⑴每一种颜色出现在无穷多条与横轴平行的格线上；⑵对任意白点A ,红点B ,黑点C ,必可找到一个红点D ,使ABCD 为平行四边形．(1986年全国高中联赛)5．中国象棋的“马”可以从一个1×2矩形的一个顶点跳到相对的顶点上(不妨称之为1×2马)．问一个中国象棋的马能否从其起点A 出发,不重复不遗漏地跳遍半个棋盘？6．在一个n ×n 的方格纸上任意选定同一行的相邻两个方格A 与B ,在左面的A 格中放了一枚棋子,它可以向上、右、和斜左下的格子走,试证明:对任何正整数n (n >1),这枚棋子不能走遍所有的格子并最后走到B ,而且每个格子都只走过一次．C 类例题例 6 起点为(0,0),终点为(2n ,0)(n ∈N*)的折线由(p ,q )→(p +1,q ±1)类型的线段构成．集合A 表示该折线除起点与终点外与y =0还有一个公共点,但位于y =0上方的折线集合；集合B 表示该折线除起点与终点外与y =0没有公共点,且位于y =0上方的折线集合． 求证:card(A )=card(B )．证明 对于每个A 中的任意一条折线l ,设它与x 轴 (除起点与终点外)的交点为(2k ,0)．此点把l 分成两部分:前段l 1与后段l 2,现把l 2中从(2k ,0)到(2k ＋1,1)的一节截出放到从(0,0)到(1,1),并把前段l 1按(0,0)到(1,1)的向量平移,这样就得到了一条B 中的折线．反之,对于每条B 中的折线l ,它至少有两次与直线y ＝1相交．第一次交于(1,1),设第二次交于点(2k ＋1,1),这两点把l 分成三段．一段是从(0,0)到(1,1),一段是从(1,1)到(2k ＋1,1),一段是从(2k ＋1,1)到(2n ,0),现把第一段移至(2k ,0)到(2k ＋1,1),第二段按(1,1)至(0,0)的向量平移,则得到了一条A 中的折线． 这说明A 中的折线与B 中的折线有一个一一对应关系． ∴ card(A )＝card(B )．例7 在平面直角坐标系中,任取6个格点Pi (x i ,y i )(i =1,2,3,4,5,6)满足:⑴ |x i |≤2,|y i |≤2(i =1,2,3,4,5,6)；⑵ 任何三点不在一条直线上．试证明:在以P i (i =1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面积不大于2．(1992年全国高中数学联赛试题)分析 满足要求的格点共25个,设法把它们分组,使同组三个格点连成三角形面积不超过2,再研究可能取点的情况．证明如图,满足条件的格点只能是图中A、B、…、Y这25 Array个格点中的6个．把这25个格点分成三个矩形:矩形AEFJ、KOWU、MNYX．若所取的6个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中,则此三点即满足要求．若三个矩形中均无所取6点中的3点,则必是某个矩形中有所取的2个点．⑴若E、F、D、G、O、R、W中有所取的点,则此点与矩形MNYX中的两点满足要求；⑵若上述7点均未取,则A、B、C、H、I、J中必有两点,此时若L、K中有所取的点,则亦有三点满足要求；⑶若L、K亦未取,则必在P、Q、V、U中取了2点,矩形ACHJ中取了2点:此时取P、Q 两点,或Q、V两点,或V、U两点,或U、P两点,或Q、U两点,则无论ACHJ中取任一点,与之组成三角形面积均满足要求．若取P、V两点,则矩形ACHJ中必有一点异于C,取此点与P、V满足要求．综上可知,必有满足要求的3点存在．例8 平面上有限点集的集合S．其中每个点的坐标都是整数,是否可以把这个集合中的某些点染红色,其余点染白色,使得与纵横坐标轴平行的每一条直线L上所包含的红、白点的个数至多相差1个？分析本题不外以下三种结果:1˚对于一切n∈N*,均无法染成,此时要给出证明；2˚对于一切n∈N*,均可以染成,此时要给出一个染色的方法；3˚对于某些n∈N*,可以找到染色方法；而对于另一些n∈N*,则无法染成；此时要给出分类的标准,并对无法染成的给出证明,对可以染成的给出染色方法．为了证明本题,可以先看最简单的情况,n＝1,2,3等,于是可以考虑用数学归纳法证明本题．证明用数学归纳法证明:若n=1,则可以将此点任意染成红色或白色．若n=2,则可把这两个点一个染红一个染白．即n=1,2时命题成立．设当n＝k(k∈N*)时都有满足上述要求的染法,当n=k+1时,①若某一条纵线(或横线)上有奇数个点,则将此直线上的点去掉1个,此时,共余下k个点,可以有满足上述要求的染法．由于去掉一个点后,这条直线上有偶数个点,故这条线上的其余点染成红白各半,而该点所在横线上的红白点或相等或相差1个,如果相等,则可把这点任意染色,如果红白相差1个,则染成较少个数的颜色,于是有满足要求的染法．②如果任一条横线与纵线上都有偶数个点,不妨在某条横线l1与纵线m1相交处的点被去掉,对于余下的这k个点,由归纳假设知必有合要求的染色方法,此时去掉点所在横线l1与纵线m1上都有奇数个点,必为某色多1,现只要说明,这两条线上是同色点多1即可．设l1上红点多1,先不看l1,统计其余横线上的红白点数,由于其余横线上都是偶数个点,因此,都染成红白各半,所以这k个点染色时,红点总数应多1个．再不看m1,统计其余纵线上的红白点数,由于其余纵线上也全为偶数个点,故也是红白各半,但由于红点总数多1个,故m1上点必染成红点多1个．于是可以把去掉的点补回,并染白,就得到了满足要求的染色法．根据数学归纳原理知,对于任何n∈N*,均有符合要求的染色法．情景再现7．设三角形的三边长为正整数l ,m ,n ,且l ≤m ≤n ．⑴当n =9时,有多少个这样的三角形？⑵对于一般的n 的值,有多少个这样的三角形？8．给定一个正45边形,在它的每个顶点上标上0,1,2,…,9这十个数字中的一个．另一方面,由这10个数字中的不同的数字组成了任意的数对,问能否找到这样的一种标数法,使得对于每一个数对都有一条边与之对应,且这条边两端标的数字就是这个数对．习题401．一个平行四边形的三个顶点是格点,则其第四个顶点也是格点．2．若有一个无限大的棋盘及一匹1×n 的“超级马”(即一步从某个1×n 格点长方形的一个顶点跳到与之相对的顶点,中国象棋的“马”是1×2马),问n 应该满足什么条件,才能使它从某个格点跳到任一格点．3．在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是有理数的点称为有理点,若α为无理数,则过(α,0)的所有直线中,有且只有1条直线至少通过两个有理点．4．各边的长都为整数的三角形,其三边的和为50,这样的三角形有多少种？5．对任意正整数n ,连结原点O 与点A n (n ,n +3),用f (n )表示线段OA n 上的整点个数(不计端点),试求f (1)+f (2)+…+f (1990)．(1990年全国高中数学联赛,原题是填空题)6．给定一个n ×n 的格点阵,以此阵中的格点为顶点的格点正方形有多少个？7．若每边长均为整数,三边不等且最大边长为n 的三角形共有600个,求n ．8．设n >0,给定平面区域P ＝{(x ,y )|x >0,y >0,且xy ≤n }．求证:P 内格点的个数S =2x ∈N *0＜x ＜n ∑⎣⎢⎡⎦⎥⎤n x －[]n 2． 9．设有一条平面闭折线A 1A 2…A n A 1,它的所有顶点都是格点(即纵、横坐标都是整数的点),且|A 1A 2|=|A 2A 3|=…=|A n -1A n |=|A n A 1|．证明:n 为偶数．(1986年第1届国家集训队训练题)10．某次共有18名学生参加选举,每人投1票,投给2名侯选人中的1人,投票完毕后,由1名学生逐张开票,1名学生记录开票的结果．若最后侯选人甲得到11张票．问在开票过程中,甲得票数始终不少于乙的开票方法有多少种？11．把边长为1的正三角形ABC 的各边分为n 等分,过各分点作平行于其他两边的平行线,将这个三角形分成小正三角形,各小三角形的顶点称为结点,在每个结点上放置一个实数,已知:⑴A 、B 、C 上放置的数分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等),⑵在每个有公共边界的两个最小三角形组成的菱形中,两组相对顶点上放置的数的和相等．试求:⑴放置最大数与放置最小数的点之间的最短距离r ；⑵ 所有结点上放置的数的总和S ．(第二届国家冬令营)12．试求格点凸32边形周长的最小值．本节“情景再现”解答:1．证明 若正方形的面积＞2,则其边长＞2,其内切圆的直径＞22．而此内切圆的边与坐标轴平行的内接正方形边长＞1,于是,由定理2,此正方形内部至少有一个格点．矛盾．2．解 内部恰有一个格点的正方形边长＝2,3．解:⑴图中用粗线标出了一种走法．显然,长一种满足要求的走法都包含了n 段短横线与m 段短竖线．故可以考虑给出n +m 个位置,在这些位置中选择n 个位置给“横”,其余m 个位置给“竖”．于是所求的走法数为Cn n ＋m ． ⑵ 从(0,0)到(p ,q )有Cp p ＋q 种走法,从(p ,q +1)到(n ,m )有C n －p n ＋m －p －q －1种方法； ∴ 共有C n n ＋m －C p p ＋q ·C n －p n ＋m －p －q －1种方法． 4．解 把每个点的横坐标与纵坐标的和记在此格点旁,凡记数被4除余0、余2的点染红,被4除余1的点染白,被4除余3的点染黑．此时每条格线上都有三种颜色的点．设取了白点A (4k ＋r ,4k ＋1－r ),5．解 把棋盘的格点染成红蓝两色:相邻的点染色都不同,如图中画圈的点染红,未画圈的点染蓝．则马只能从某色点跳到不同色的点．图中共有23个红点,22个蓝点．故若马从蓝点出发,跳遍棋盘,若最后跳到蓝点,则跳过的蓝点应比红点数多1个,若最后跳到红点,则红点与蓝点个数相等,但图中红点多1个,故不存在这种跳法．6．证明 设向上走x 步,向右走y 步,向斜左下走z 步,共经过m (m ＝n 2)个格点(包括A 、B ),则若能走,可得x ＝z ,y ＝z +1,x +y +z ＝m －1,即3z ＝m －2,故 n 2＝3z +2≡2(mod 3),但平方数被3除的余数不可能为2．故证．7．⑴解 取x =l ,y =m ,则有x ≤y ≤9,x +y >9．这可用直角坐标系内的区域表示:即直线x +y =9,y =x ,y =9这三条直线围成的三角形的内部及部分边界上的整点数即为解数．现考虑由x =0,x =9,y =0,y =9这四条直线围成的正方形,其内部及边界上共有10×10=100个格点．直线y =x 上在正方形内部的格点有一半满足要求,直线x +y =9上的点不满足要求,这两条直线的交点不是格点．直线y =9上有点(1,9),(2,9),…,(9,9)满足要求．故这100个格点中恰有14满足要求． ∴共有25个满足条件的三角形．⑵解:对于一般的n 值,当n 为奇数时,三角形数=14(n +1)2． 当n 为偶数时三角形数由于y =x 与x +y =n 的交点是格点,故三角形数=14((n +1)2－1)． 总之,对于一切n ,三角形数=[14(n +1)2]． 8．解 先考虑数0,它可以组成9个数对(0,1),(0,2),(0,3),…,(0,9)．如果这9个数对都要出现,则由于一个顶点只连了两条边,故0至少要在5个顶点上标记才有可能．同理,1、2、3、……,9都至少要在5个顶点标记才行,这样这个多边形至少要有50个顶点．故这个正45边形不可能出现满足要求的标记法．“习题40”解答:1．解:由于平行四边形对角线互相平分,故设其顶点坐标依次为(x i ,y i ),(i ＝1,2,3,4),且(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x 3,y 3)为格点,则x 4＝x 1＋x 3－x 2,y 4＝y 1＋y 3－y 2,故(x 4,y 4)也是格点．2．解 把此棋盘按上题的方法染色,当n 为奇数时,马只能从某色点跳到同色点而不能跳到异色点,故当n 为奇数时,不可能．当n 为偶数时,只要说明马能从一点跳到其相邻的点即可,如图,马从(0,0)先跳到(1,n ),再跳到(n +1,n －1),(1,n －2),…,(1,0)．即跳到相邻的点．于是可以跳到任意一点(图中画的是一个1×4“超级马”)． 3．证明 经过(α,0)的与x 轴垂直的直线l 可写为x =α,此直线上所有点的横坐标都等于α,故都不是有理点．经过(α,0)的且不与x 轴垂直的直线l 可写为y =k (x －α)．设l 经过两个有理点(m ,n ),(h ,g )．(m ,n ,h ,g 都是有理数,m ≠h ),则n =k (m －α),g =k (h －α),n －g =k (m －h ),由知m ≠h ,且k ＝n －g m －h为有理数． 若n －g ≠0,则k ≠0．此时,由m －α为无理数,故k (m －α)为无理数．与n 为有理数矛盾．故n －g =0,此时直线为y =0,经过无穷多个有理点．即经过(α,0)的直线有且只有一条经过至少两个有理点．4．解:设三边长分别为x 、y 、z ,由于对称性,可设x ≤y ≤z ,可得x ＋y ＋z ＝50⇒z ＝50－x －y ； 故有 y ≥x , ①x ＋y ＞z 即x ＋y ＞25, ②y ≤z ⇒x ＋2y ≤50, ③问题即是满足条件①②③的整数解有多少组？ 问题转化为求由条件①②③确定的平面区域中整点的个数．易于计数得解为52种．5．解 线段OA n 的方程为y ＝n +3nx (0≤x ≤n ),故f (n )等于该线段内的格点数． 若n ＝3k (k ∈N *),则得y ＝k +1k x (0≤x ≤n )(k ∈N *),其内有两个整点(k ,k +1),(2k ,2k +2),此时f (n )=2；若n ＝3k ±1(k ∈N *),则由于n 与n +3互质,故OA n 内没有格点,此时f (n )=0．∴ f (1)+f (2)+…+f (1990)=2[19903]=1326． 6．解 把这些正方形分为两类:①边与格线平行的正方形；②边不与格线平行的正方形．① 边与格线平行的正方形:边长为k 的这类正方形有(n －k ) 2个；②边不与格线平行的正方形:它们都是前一种正方形的内接正方形:每个边长为k 的第一类正方形,其一条边内都有k －1个格点,每个这种格点都对应一个内接正方形,从而都有k －1个内接的正方形．所以,共有格点正方形的总数(1,0)S =k =1∑n －1k (n －k )2=n 2k =1∑n －1k －2n k =1∑n －1k 2+k =1∑n －1k 3 ＝n 2⨯12n (n －1)－2n ⨯16(n －1)n (2n －1)+14n 2(n －1)2 ＝112n 2(n －1)[6n －4(2n －1)+3(n －1)] ＝112n 2(n 2－1)． 7．解 设三边长为x ,y ,n ,且x <y <n ,则有x +y >n ,本题可以理解为满足y <n ,y >x ,x +y >n 的区域中恰有600个整点．故在坐标系内作直线y =x ,x +y =n ,y =n ,由这三条直线围成的三角形PBC 即为所求区域．正方形内共有(n －1)2个格点,线段AC 、OB 内各有n －1个格点,当n 为奇数时,P 不是格点,当n 为偶数时,P 是格点． 由对称性,ΔPAB 、ΔPBC 、ΔPCO 、ΔPOA 内的格点数相等．故 (n －1)2－2(n －1)+k =600×4．(n 为偶数时k =1,n 为奇数时,k =0) ∴ n 2－4n +3 =2400－k ． 当n 为奇数时,(n －2)2=2401=492,解为n =51． 当n 为偶数时,(n －2)2=2400,无整数解．∴ n =51．8．解 本题即,当0<x <n ,x ∈N*时,[n k ]可以表示直线x =k(0<k <n )上满足0<y <n k 的格点数,x ∈N *0＜x ＜n ∑⎣⎢⎡⎦⎥⎤n x 表示直线x >0,x ≤n 及y >0,y ≤n x表示的区域内的格点数．由对称性,也表示x >0,x ≤n y及y >0,y ≤n 表示的区域内的格点数,此二区域的并集即区域P ,但其中由x =0,y =0,x =n ,y =n 围成的正方形区域内的格点被计算了两次,从而应该减去其中的格点数一次．故得证．9．证明 令A i (x i ,y i )(i =1,2,…,n ,x i ,y i ∈Z ),则(x 2－x 1)2+(y 2－y 1)2= (x 3－x 2)2+(y 3－y 2)2=…= (x n －x n －1)2+(y n －y n －1)2= (x 1－x n )2+(y 1－y n )2．令αi =x i +1－x i ,βi =y i +1－y i ,αi 2+βi 2=M (i =1,2,…,n ,x n +1=x 1,y n +1=y 1),则α1+α2+…+αn =0,β1+β2+…+βn ＝0,若αi 、βi 全为偶数,则可在上面三式中约去2的最低次幂,因此可以假定αi 、βi 中至少有一个为奇数．由于奇数的平方mod 4后余1,故M ≡1或2(mod 4)．①若M ≡1(mod 4),则每对αi 、βi 中都必有一奇一偶,此时α1+α2+…+αn +β1+β2+…+βn ＝偶数+n 个奇数=0,故n 为偶数．②若M ≡2(mod 4),则每个αi 、βi 都是奇数,于是α1+α2+…+αn 为n 个奇数之和=0,仍得n 为偶数．故证．10．解 取一直角坐标系,用单位格点正方形的对角线来表示每张票投票的结果,若所开的1张票选甲,则用斜率为1的对角线表示,若选乙,则用斜率为－1的对角线表示．…,第一张票从原点开始连线,以后每开一张票都是接着前面已连的线连线(若第k －1张票已连线到(k －1,p ),而第k 张票选甲,则连(k －1,p )与(k ,p +1)表示,若选乙,则连(k －1,p )与(k ,p －1)表示)．于是开票的过程可用一条连结(0,0)与(18,4)的折线表示其中4=11－(18－11),折线的每一小段都是单位格点正方形的对角线．这样的折线共有C 1118条． 若在某一次甲得票少于乙,则此折线与直线y ＝－1相交．仍由反射原理得所求应为矩形ABPD 内的最短折线数,这样的折线共有C 1218条． ∴ 甲得票数始终不少于乙的开票方法有C 1118－C 1218种． 11．解 如图,结点上放置的数标在结点旁．则a +d =x 1+y 1,x 1+y 2=y 1+d ,∴ a －y 1=x 1－d =y 1－y 2=…,即,同一条线上注的数成等差数列．∴ 若a 、b 、c 互不相等,则r =1；若a 、b 、c 中有两个相等时,r = 3 2 (n 为偶数),或r =34+14n2 (n 为奇数)． ⑵ 把三角形绕中心旋转120︒,240︒,所得标数和不变,而每个结点三次标数之和都是a +b +c ,∴ 结点总个数=1+2+3+…+(n +1)= 12(n +1)(n +2)； ∴ S =16(n +1)(n +2)(a +b +c )． 12．解 如图,取点(±1,0),(0,±1),(±1,±1),(±1,±2),(±1,±3),(±2,±1),(±3,±1),(±2,±3),(±3,±2)共32个点从原点向此32个点引向量,得32个方向互不相同的向量．现按逆时针方向从(1,0)表示的向量开始,按这些向量与x 轴正方向所成角从小到大的顺序,依次把这32个向量连结成一个凸32边形,由于这些向量的和为零向量,故这32个向量可连成一条闭折线,该闭折线围成一个凸32边形,由于每个向量起点与终点都是格点,故此32边形是格点多边形．由于任一凸多边形中,不能有两边的向量方向相同．故这个32边形周长最小．所求最小周长为4(1+2+25+210+213)．AO x y a b cd x y 2121。
高中数学中的格点问题-文档资料
高中数学中的格点问题随着计算机技术的发展，高考中出现了很多以计算机为背景的试题，其中格点（整点）问题成为一个热点.所谓格点（或整点）就是在坐标平面上横、纵坐标都是整数的点，这类试题注意以计数为主，借助坐标概念，格点问题解答都很有特色.例1 （2011年北京）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R），记N（t）为ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）.A{9，10，11} B{9，10，12}C{9，11，12}D{10，11，12}答案 C例2 （2011年安徽）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线.答案①③⑤例3 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫作整点，那么满足不等式：(|x|-1)2+(|y|-1)212x,x+y=60的整数解的个数.线段OA有21个整点，线段AB上有21个整点，线段OB上有61个整点.因此所求三角形上有21+21+61-3=100（个）整点.注释对于问题（1），△OAB及其内部区域有(61+1)×212=31×21=651（个）整点.（2）考虑下右图，△OCD及其内部区域有(61+1)×212=31×21（个）整点.因此所求整数解的个数为612+612-2×31×21+1=61×31-42×31+1=590.例5 xy平面上，顶点的坐标（x,y）满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x,y是整数的三角形有多少个？解由题设知，在xy平面上有16个整点，共有C316=560（个）三点组，要从中减去那些三点共线的.平面上有4条垂直线和4条水平线，每条上有4个点，这8条线上含有8C34=32（个）三点共线的三点组（如图（1））.类似的，在斜率为±1的线上三点共线的三点组有2C34+4C33=8+4=12（个）（如图（2））.此外，没有其他的三点共线的三点组，所以，组成的三角形的个数是560-32-12=516（个）.例6 （2011年江苏）设整数n≥4，P(a,b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈{1,2,3,…,n},a>b.（1）记An为满足a-b=3的点P的个数，求An；（2）记Bn为满足13(a-b)是整数的点P的个数，求Bn.解析（1）因为满足a-b=3，a,b∈{1,2,3,…,n},a>b的每一组解构成一个点P,所以An=n-3.（2）设13(a-b)=k∈N*，则a-b=3k，0。
高中数学竞赛讲义——格点问题
格点问题[赛点直击]1．格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x 轴和y 轴，且设一个方格的边长为1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。
因此，格点又称为整点。
2．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。
3．格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
4．格点关于格点的对称点为格点。
5．设格点多边形内部有I 个格点，边界上有p 个格点，则格点多边形的面积为 S=I+P/2-1（见例5）。
[赛题精析]例1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最小值是 （ ）A B ．120 D ．130 思路点拨：可以引进整点坐标，利用点到直线的距离公式，建立整点到直线距离的二元函数。
通过对距离函数最值的探求获得问题的解。
而不同角度的探求又能得到不同的解法。
解法一 已知直线可写成25x-15y+12=0整点()00,x y 到直线的距离为d =由0x ，0y 均可为整数知00251512x y -+必为整数，从而d 为无理数，否定C,D. 若选A ，则002515121x y -+=即0025151x y -=±有00251513x y -=-或00251511x y -=-但()00002515553x y x y -=-是5的倍数，不会取-13，-11。
故否定A ，从而选B 解法二 距离d 的大小完全有12152500+-y x 来确定，当12152500+-y x 最小时，d 也相应的取最小值。
由于)35(515250000y x y x -=-是5的倍数，故212152500≥+-y x 。
另一方面，当4,200-=-=y x 时，212152500=+-y x .∴d 取最小值85343452=。
故选B 。
评注：（1）直线0121525=+-y x 上设有格点，因为如果有，则)53(5152512x y y x -=+-=是5的倍数，与 相矛盾。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法.2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点—-重心。
三角形内到三边距离之积最大的点——重心.4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理:在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大. 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小.6、几何中的运动:反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容:周期函数与周期，带绝对值的函数的图像.三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式，排序不等式及应用.4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理.7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理,格点及其性质.三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图.四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴.五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理. 集合的划分。
多边形面积奥数
第十讲格点与切割备考导航格点面积及切割是竞赛考试的一个难点知识，本讲将学习正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题。
通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1典型例题【例1】图中相邻两格点问的距离均为1厘米，三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【例2】图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，阴影多边形的面积是多少平方厘米?【例3】如图所示，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米，四边形ABCD和三角形EFG的面积分别是多少平方厘米?【例4】如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH，已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米。
求长方形EFGH的面积。
【例5】如图所示，大正方形的边长为10厘米。
连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。
请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?【例6】如图，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积。
【例7】如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD 中点，P是EF中点。
请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【例8】已知大的正六边形面积是72平方厘米，按图中不同方式切割(切割点均为等分点)，形成的阴影部分面积各是多少平方厘米?小试身手（1）下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为l平方厘米。
三个多边形的面积分别为多少平方厘米?（2）图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积（3）如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?星级挑战（一）夯实基础★★★1、图中相邻两格点问的距离均为l厘米，三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米?2、图中每个小正方形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?3、图中每个小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?4、图中每个小正方形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?5、下图的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。
高一联赛班春季班第14讲初等数论——格点与高斯函数
第14讲格点与高斯函数14.1 高斯函数本讲我们将研究全国数学联赛二试范围内初等数论所要求的最后一个专题：高斯函数y[ x] .实质上高斯函数就是取整函数，利用这个函数能够将从前好多需要大批描绘才能求情楚的问题很简短地描绘和办理. 我们想给出高斯函数的定义及若干性质:定义一：对随意实数x,[ x] 是不超出 x 的最大整数，称 [ x] 为 x 的整数部分.与它相陪伴的是小数部分函数 y{ x}, { x}x[ x].由 [ x]、 { x} 的定义不难获得以下性质：⑴y[ x] 的定义域为R，值域为Z； y{ x} 的定义域为R，值域为 [0,1)⑵对随意实数 x ，都有 x[ x]{ x}, 且 0{ x} 1 .⑶对随意实数 x ，都有 [ x]x[ x] 1, x1[ x]x .⑷y[ x] 是不减函数，即若x1x2则 [ x1 ] [ x2 ] ； y{ x} 是以1为周期的周期函数.⑸ [ x n]n[ x];{ x n}{ x} .此中 x R,n N .n n；特别地， [ na][a].⑹[ x y][ x][ y];{ x}{ y}{ x y};[x i ][ x i], x i Rb ni 1i1b⑺ [ xy ] [ x] [ y] ，此中 x, yn nR ；一般有 [x i ][ x i ], x i R ；i1i 1特别地， [ n x]n [ x], x R ,n N .⑻ [x] [[ x]] ，此中 x R , n N .nn以下给出高斯函数有关的几个重要定理：定理一： xR , n N ，且 1 至 x 之间的整数中，有[ x] 个是 n 的倍数 .n定理二： 在 n ！中，质数p 的最高方次数是 p(n!)[ n ] [ n] [ n].pp 2p 3定理三：（厄米特恒等式） x R, n N ,则[ x] [ x1] [ x2] [ xn 1] [ nx]nnn【例 1】 请给出 34！的质因子分解形式；并求其最后 9 位数 .【例 2】证明厄米特恒等式：x R, n N , 则[ x][ x1 ] [ x 2][ x n1] [nx] ．n n n【例 3】求出102000010100的个位数字 .3【例 4】解方程：[ x22x] 2[ x][ x]2.【例 5】求全部知足条件4[ an] n [ a[ an]] 的实数a，此中n为随意正整数时皆建立.【例 6】当 n 遍历全体正整数时，证明 f (n) n n1亦遍历全体正整数，但数列a n 3n22n 中的项除外.32【例 7】x R , n N , 证明 : [nx][ x][ 2x][3x][ nx] .123n【例 8】51[ n][ (n 1)] n(n N ) 2，证明：14.2 格点问题高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用 . 下边给出一个定理 .定理四： 设函数 yf ( x)在[a, b] 上连续并且非负，那么和式[ f (t )]( t 为[ a,b] 内的整数）表示a t b平面地区 a x b,0y f ( x) 内的格点个数 .特别地，有⑴ 位于三角形： yaxb0,c xd 内的格点个数等于 [axb]( 且 x 为整数）；c x d⑵ 奇数 p,q 知足 ( p, q)1，矩形域 [0, q;0, p] 内的格点数等于22[ px][ qy] p 1 q 1.0 x q / 2 q0 y p / 2 p22⑶n 0，地区： x0, y0, xy n 内的格点个数等于 2[ n] [ n] 2 .0 x nx【例 9】 求圆 x 2y 210000 内部（不含界限）的整点个数．【例 10】对随意自然数 n ，连结原点与点 A n (n, n 3) . 用 f ( n) 表示线段 OA n 上除端点之外的整点个数，试乞降： f (1) f (2) f (3)... f (2015) ．实战操练【操练 1】求整数1093的末两位数．1031 3【操练 2】解方程：[ x] { x} 2015x .【操练 3】对随意整数n(n2)，证明：n(n1)n 14n2.4n n 1n2【操练 4】证明：2(n N ) .将n换为正实数x，等式能否仍建立？24【操练 5】设三角形的三边长为正整数a,b, c( a b c) ，a b c} ，求其周长的最小值．知足{ 4}{4}{4101010。
点可点,非常点：中学数学中的格点问题
点可点，非常点：中学数学中的格点问题格点是中学数学中的一种特殊问题，利用图形的坐标和点的关系，可以使学生了解数学的基本概念，同时可以增强学生的空间想象力，为他们提供理论计算的基础，也可以把学生从数学的理论推理中解放出来，让他们通过简单的观察、推理和假设，结合实际情况，对格点问题有更深入的了解。
在高级数学中，更加深入，更加重要的格点问题也被提出，以便更好地探究空间几何问题。
格点问题也被用来表示和解决复杂的实际问题。
根据有限的约束条件，用格点离散化的方法，可以把复杂的实际问题给简化，并能够建立数学模型来分析它们，从而获得更好的解决方案。
这种离散化的方法被用来解决更多的复杂问题，其中就包括生物信息学、金融计算和电脑编程等。
格点作为中学数学中的一种特殊问题，在中学课上被普遍地使用，并被认为是从初等数学走向高等数学的重要一步，它能够让学生们运用基本的空间概念来理解格点问题的欧几里得几何的精髓。
因此，在中学数学课上，老师有必要把格点问题纳入数学教学计划中，以便为学生提供基础的理论和实践的培训，帮助他们理解并能够解决相关的问题。
首先，在教学过程中，老师要以简单的格点示意图作为开始，引导学生了解基本的概念，以便他们能够准确解决这些问题，比如在一个正方形中，如何用四个点来表示四边形的面积、周长，如何通过两个点之间的距离来判断它们是否在一个直角三角形中，以及犹太亚伯拉罕点、牛顿点等各种格点问题。
这些格点问题的易于解释、简单明了，可以让学生更好地理解相关的概念和算法，从而促进他们的学习。
此外，通过运用空间图形工具，比如电脑软件、教学模型等，老师可以让学生更加直观、形象地看到格点问题，进一步提高他们对空间几何的理解。
比如，学生可以用空间图形来绘制一个圆，并且把它从二维到三维的变换过程显示出来，这样，学生就可以更清楚地了解圆的概念。
同时，格点和数学建模、程序设计也是当代教育中两个非常重要的课程，它们的知识丰富、有趣，可以让学生从基础的推理思维和计算思维中获益。
(完整版)格点与割补
学科：奥数教学内容：格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
高中数学竞赛知识点[整理]
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数学均值不等式被称为均值不等式。
·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。
一般形式设函数（当r不等于0时）；（当r=0时），有时，。
可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即。
特例⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）⑵对非负实数a,b，有，即⑶对非负实数a,b，有⑷对实数a,b，有⑸对非负实数a,b，有⑹对实数a,b，有⑺对实数a,b,c，有⑻对非负数a,b，有⑼对非负数a,b,c，有在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。
排序不等式基本形式：排序不等式的证明要证只需证根据基本不等式只需证∴原结论正确棣莫弗定理设两个复数（用三角形式表示），则：复数乘方公式：.圆排列定义从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。
如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。
计算公式n个不同元素的m-圆排列个数N为：特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。
费马小定理费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
组合恒等式组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。
基本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韦达定理逆定理如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程的根。
(完整版)格点与割补讲义及作业
1. 如图，计算各个规则的格点多边形的面积．························································································································································【练习与提高】例1. 用两种方法计算这个格点三角形的面积．III(b)(a)例2. 分别计算图中两个格点多边形的面积．例3. 下列多边形的面积是________(面积单位).例4. 美丽的“乡村小屋”的面积是多少？例5. 刚刚飞上太空的火箭面积是多少。
角格点问题与塞瓦定理
角格点问题与塞瓦定理的探讨
在数学中，角格点问题和塞瓦定理都是十分重要的概念。
这两个理论虽然看似简单，但其背后的数学原理却十分深刻。
首先，我们来了解一下什么是角格点问题。
在几何学中，一个角的内部被等分成了n个小角度，如果这些小角度的顶点都在这个角所在的直线上，那么这些顶点就被称为角的格点。
角格点问题就是关于如何确定一个角的格点的问题。
这个问题看似简单，但在实际应用中却有着广泛的应用，例如在测量、绘图等领域。
然后，我们来看看塞瓦定理。
塞瓦定理是平面几何中的一个重要定理，它描述了一个三角形的内切圆和外接圆之间的关系。
具体来说，塞瓦定理指出，一个三角形的内切圆半径与外接圆半径之比等于它的面积与周长的乘积除以四倍的半周长的平方。
这个定理的证明需要用到相似三角形的知识，而且它的应用也非常广泛，例如在解决一些复杂的几何问题时。
角格点问题和塞瓦定理虽然看起来没有直接的关系，但实际上它们之间存在着深刻的联系。
例如，在解决某些角格点问题时，我们可以利用塞瓦定理来简化计算。
同时，通过研究角格点问题，我们也可以更深入地理解塞瓦定理的含义和应用。
角格点问题和塞瓦定理都是数学中非常重要的概念，它们不仅有深厚的理论背景，而且在实际应用中也有着广泛的作用。
因此，理解和掌握这两个概念对于我们提高数学水平和解决问题的能力都是非常有益的。
17-格点与割补
知识点回顾一，格点图形的计算：•1，分割法与添补法计算格点图形的面积•2，在最小的正方形面积为1的图形中正方形格点多边形面积＝边界格点数÷2＋内部格点数－1 •3，在最小正三角形面积为1的图形中三角形格点多边形面积＝边界格点数＋内部格点数×2－2知识点回顾二，割补法巧算面积：•1、用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。
•2、正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。
【1】（高思学校竞赛数学导引P103）下图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l 平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【2】（高思学校竞赛数学导引P103）(1)下图中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)下图中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?【3】（高思学校竞赛数学导引P104）图中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【4】（高思学校竞赛数学导引P104）如下左图和右图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知左图中阴影部分的面积是294平方分米．请问：右图中的阴影部分的面积是多少平方分米?【5】（高思学校竞赛数学导引P104）如下图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?【6】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M 是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【7】（高思学校竞赛数学导引P104）在下图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．【8】（高思学校竞赛数学导引P104）下图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【9】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?【10】（高思学校竞赛数学导引P105）下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积．【11】（高思学校竞赛数学导引P105）下图是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?【12】（高思学校竞赛数学导引P105）在下图中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?【13】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．【14】（高思学校竞赛数学导引P99）如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?下节课见！。
角格点竞赛题
角格点问题是一种经典的几何问题，其目标是寻找给定三角形内或外的点，使得这些点到三角形三个顶点的距离之比都等于一个给定的常数。
角格点问题有很多变种，包括寻找给定三角形内或外的点，使得这些点到三角形三个顶点的距离之比等于给定的常数，或者寻找给定三角形内或外的点，使得这些点到三角形三个顶点的距离之比等于给定的常数，并且满足其他一些条件（如点到三角形边的垂直距离相等）。
角格点问题的解法通常需要用到三角形的性质、几何定理和代数方法。
在解题过程中，可能需要使用到一些数学软件（如GeoGebra、Geometer's Sketchpad等）来辅助作图和计算。
下面是一个简单的角格点问题示例：
给定一个直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=3，BC=4。
求作一个点P，使得PA/PB=2/1。
解法如下：
1. 以B为圆心，2BC为半径画圆，交AB于点D。
2. 以D为圆心，BC为半径画圆，交AB于点E。
3. 作射线BE与线段AC交于点P。
4. 连接PB。
由于∠PBA=∠PBE（因为两个角都等于∠CBE），且∠PBA=∠PCB （因为两个角都等于∠BCP），所以△PBA相似于△PCB。
根据相似三角形的性质，我们有：
PA/PB = AC/CB = 3/4 = 2/1 因此，点P满足题目的条件。
上海奥数精讲 第7讲讲义 格点与面积(教师版)
教具准备1、课件:PPT、“例3”、“例3拓展”、“例3拓展”flash动画。
２、板书。
教学难点正方形格点多边形面积的计算；三角形格点多边形面积的计算。
教学重点正方形格点多边形面积的计算；三角形格点多边形面积的计算。
教学目标1.认识格点的概念；2.会用毕格定理计算格点多边形的面积；3.培养学生借助格点图，很快地比较和计算图形的面积大小。
第7讲格点与面积内容概述1.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.2.正方形格点多边形的面积公式（毕格定理）：S=L÷2+N -1（S为面积；其中L为周界上的格点数；N为图形内包含的格点数）3. 三角形格点多边形的面积计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么：S=2×（L÷2+N -1）。
引入教学过程教学目标：激发学生对格点产生浓厚的学习兴趣。
如下图，相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米，分别连结各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积，你发现有什么排列的规律？算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点数，中间的点数与面积三者之间的关系。
(1)(2)(3)上节课回顾所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。
操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
本节课主要介绍：⑴ 与数字相关的操作问题； ⑵ 染色相关的操作问题； ⑶ 计数方面的操作问题。
环节一：引入【讲解过程】1、 学生分小组讨论，分别派代表回答教师问题。
所谓格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点又称整点
所谓格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点又称整点.格点问题是一个非常有趣的数学问题，同时也是背景深厚的数学问题.在2011年高考中有三道涉及到格点的考题，它们分别是北京理科第8 题、四川理科第12题和安徽理科第15题.问题分别涉及四边形内的格点个数问题、格点三角形面积问题和直线上的格点个数问题.一、考题解析与点评例1（北京理科第8 题）设.记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（）点评这是一道一边固定且这边和这边的高均为4的动态平行四边形内部格点的个数问题，重点考查自主探索能力、动手操作能力、观察归纳猜想能力.只需动手画图，构造几个特殊图形即可获得答案，由三图便知答案为.例2（四川理科第12题）在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过4的平行四边形的个数为，则（）解析这6条向量如图所示，任取两个向量为邻边作平行四边形的个数为.每一个平行四边形的面积等于这两个向量所构成三角形面积的两倍，于是面积不超过4的平行四边形的个数为就是面积不超过2的三角形的个数.下面对向量终点所在直线与坐标轴的位置关系进行分类讨论.（1）当两向量终点所在直线平行于轴时，满足条件的三角形有2个:.（2）当两向量终点所在直线平行于轴时，满足条件的三角形有1个:。
（3）当两向量终点所在直线的斜率大于零时，满足条件的三角形有2个:。
（4）当两向量终点所在直线的斜率小于零时，没有满足条件的三角形.综上可知，满足条件的三角形个数为，所以，故选.注这里和的面积计算是一个难点，下面对的面积给出两种算法.法1延长至，则为之中点，所以.法2 设，则.同法2可算出的面积.点评本小题考查集合、平面向量、排列组合、平面图形面积、概率等基础知及综合运用，考查运算能力和分析问题解决定问题的能力.其中三角形面积的计算也就是格点三角形面积的计算是本题的一个难点，需要用到分类讨论思想、数形结合思想和化归转化思想，若用下文的皮克定理则计算变得异常简单.例3（安徽理科第15题）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点.②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点.③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点.④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:与都是有理数.⑤存在恰经过一个整点的直线.解析①正确.比如直线不与坐标轴平行，当取整数时，始终为无理数;②错误.例如直线中与都是无理数，但直线过整点;③正确.必要性显然.证明充分性:设直线经过两个不同整点，则直线上到点的距离为的整数倍的点都是整点，而这样的点有无数个，故直线经过无穷多个整点;④错误.例如直线中与都是有理数，但直线上无整点;⑤正确.例直线只过一个整点.综上可知故答案为:①，③，⑤.点评本题是有关直线整点个数问题的多选题，主要考查量词、直线方程和数的性质，重点考查构造反例、推理论证、分析问题和解决问题的能力.二、格点问题链接1.格点与面积关于顶点都是格点的多边形即格点多边形，维也纳的皮克（Pick，1859—1943）于1899年提出了如下结论：皮克定理若格点多边形内部含有个格点，边界上含有个格点，则这个多边形的面积.下面我们用皮克定理中格点多边形面积公式再解四川理科第12题，因为内的格点数，边界上格点数，所以，同理可求得的面积为1，2.内含个格点的圆对于任意给定的整数，是否总存在这样的圆，其内部恰好有个格点?结论是肯定的，但证法巧妙纯属构造耐人寻味叹为观止，先证明一个有趣的引理.引理以点为圆心，以任意正数为半径的圆周上最多有一个格点.证明假设是此圆上的两个格点，则，.两式相减可得，.因为为整数，所以等式左边为整数，则右边必为整数，所以必有，即两点重合，故引理得证.该引理表明，平面上的格点到点的距离互不相等，据此我们可将格点到点的距离由小到大进行排列.下面我们在此引理的基础上来构造恰好含有个格点的圆.定理对于任意给定的整数，总存在这样的圆其内部恰好有个格点.证明因为与点最近的格点是，令，记以点为圆心为半径的圆为，则内的格点是0个，由引理知，其圆上的格点数为1个.又在外与点最近的格点是，令，则内的格点是1个，就是上的那个格点，由引理知，其圆上的格点数为1个.在外与点最近的格点是，令，则内的格点是2个，由引理知，其圆上的格点数为1个.如此类推，由于这样每做一次只能增加一个格点，故内恰好有个格。
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格点问题[赛点直击]1．格点，是指方格纸上纵线和横线的交点，如果取一个格点为原点，通过该点的横线与纵线为x 轴和y 轴，且设一个方格的边长为1，那么，格点就是平面直角坐标系中宗横坐标都为整数的点。
因此，格点又称为整点。
2．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似地也有格点多边形的概念。
3．格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。
4．格点关于格点的对称点为格点。
5．设格点多边形内部有I 个格点，边界上有p 个格点，则格点多边形的面积为 S=I+P/2-1（见例5）。
[赛题精析]例1 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线s=5/3x+4/5的距离中的最小值是 （ ）A B ．120 D ．130思路点拨：可以引进整点坐标，利用点到直线的距离公式，建立整点到直线距离的二元函数。
通过对距离函数最值的探求获得问题的解。
而不同角度的探求又能得到不同的解法。
解法一 已知直线可写成25x-15y+12=0整点()00,x y 到直线的距离为d =由0x ，0y 均可为整数知00251512x y -+必为整数，从而d 为无理数，否定C,D. 若选A ，则002515121x y -+=即0025151x y -=±有00251513x y -=-或00251511x y -=-但()00002515553x y x y -=-是5的倍数，不会取-13，-11。
故否定A ，从而选B 解法二 距离d 的大小完全有12152500+-y x 来确定，当12152500+-y x 最小时，d 也相应的取最小值。
由于)35(515250000y x y x -=-是5的倍数，故212152500≥+-y x 。
另一方面，当4,200-=-=y x 时，212152500=+-y x .∴d 取最小值85343452=。
故选B 。
评注：（1）直线0121525=+-y x 上设有格点，因为如果有，则)53(5152512x y y x -=+-=是5的倍数，与 相矛盾。
（2）格点)4,2(--到直线5435+=x y 的距离是平面上的格点到直线距离中最小的，但这样的点不至)4,2(--一个，点)6,4(--等直线101525-=-y x （即235-=-y x ）上的无数多个格点都是这样的点。
（3）当),(00y x 取遍平面上不同的格点时，345121525+-=y x d 的取值从小到大形成了以8534为首项，3434为公差的无穷等差数列。
对以上这样基本事实要能真正理解，我们对本例的认识就深刻了。
例 2 对于自然对数n ，连结原点O 和点(,3)n A n n +。
用()f n 表示线段n OA 上除端点外的整点的个数。
求)2005()2()1(f f f +++思路点拨：可从线段4321,,,OA OA OA OA 等最初的情形开始探究，发现规律。
解 如图所示，线段n OA 的方程为3n y x n+=在()0,n 内的整数解的个数。
通过分析可得：当3()n k k Z =∈时，方程变为()103k y x x k k+=<<，有两个整数解，即()32f k =，当31()n k k Z =±∈时，方程3(031)n y x x k n +=<<±没有整数解，即(31)0()f k k Z ±=∈。
所以13362668)2005()2()1(=⨯=+++f f f 。
评注：本例的结论可以推广成：∑=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n i n i f 1.23)( 例3 求证：平面上存在不全在一直线上的2005个格点，任意两点之间的距离都是整数。
思路点拨：先从简单情形入手，从中寻求启示。
若要三个格点满足题设要求，则比较容易，自然想到勾股数组（3，4，5）。
取123(0,0),(0,3),(4,0)A A A ，则123,,A A A 是不共线的三点，它们之间任意两点之间的距离为整数。
由此进一步考虑勾股数组：22222,,x uv y u v z u v ==-=+。
至此再考虑原题就不太困难了。
证明：记(0,)B b ，其中2005212p p p b =（i p 为不同因子，2005,,2,1 =i ） 记(,0)j j A a ，其中)2004,,2,1()()(2200521221 =-=++j p p p p p p a j j j j由勾股数组公式易知j A B N =，即以上找到的2005个格点B 与)2004,,2,1( =j A j 不全在一直线上，且两两之间距离为整数。
评注：利用证明过程中所采用的构造法，同样可以证明这个问题的一般性结论：平面上存在着不全在一直线上的n 个格点，它们中任意两点之间的距离都是整数。
例 4 在直角坐标平面的第一象限及其边界上，把坐标都是整数的点按以下方法编号（0，0）点第一号；（1，0）点第2号；（1，1）点第3号；（0，1）点第4号；（0，2）点第5号；（1，2）点第6号；（2，2）点第7号；（2，1）点第8号；（2，0）点第9号；…（如图），按图中箭头的顺序，问第2005号点的坐标是什么？思路点拨：考虑图中由若干个箭头及坐标轴围成的一系列的正方形这些正方形的边长分别为1，2，3，4，…，k ，…它们内部及其边界上的整点个数分别,)13(,)12(,)11(222+++……， 2)1(+k ，……。
于是，我们只要探求2005界于哪两个完全平方数之间，然后只需根据有关的奇偶性及箭头走向之间的关系，就能获知第2005号点的坐标了。
解：因为区域k y k x ≤≤≤≤0,0上的格点个数为2)1(+k 。
又224520252005193644=<<=。
所以编号为2005的点的纵、横坐标中至少有一个是44。
因为44是偶数，所以应从点（0，44）往右。
又因为44694420052>=-，所以编号为2005的点的横坐标是44，纵坐标是20)4569(44=--，即所求的点的坐标是（44，20）。
评注：在求解过程中，考虑箭头的走向十分关键。
例如，从)12,0(-k 点之后，走向是从该点开始先向上一个单位，之后再向右k 2个单位，然后向下k 2个单位到达x 轴上的点)0,2(k 处；而从)0,2(k 点处出发，则先向右一个单位，之后向上12+k 个单位，然后再向左12+k 个单位到达y 轴上的点)12,0(+k 处。
当我们求第n 号点的坐标时，首先要确定22)2()12(k n k <≤-，还是22)12()2(+≤k n k ，然后就能在上述两种走向中确定关于第n 号点的走向，进而确定它的坐标。
例5 设格点三角形内部的格点数为N ，边上（包括顶点）的格点数为L ，则它的面积12-+=L N S ，试证之。
思路点拨：这里可以采用从特殊到一般的探求方法，首先考虑结论对直角形（且直角边与坐标轴平行或就在坐标轴上）成立，然后再想法推广到一般情况。
证明：先考虑直角三角形，两直角边分别平行于坐标轴。
这样的三角形面积为一个矩形面积一半，如右图所示。
假定矩形的横向边长m 为个单位，纵向边长为n 个单位，那么它的面积为mn 。
对于ABC Rt ∆，假定斜边上的格点数为0l ， 那么.1)],()1)(1[(21020-++=---=-l n m L l n m N 因此，ABC S mn L N ∆==-+21121，即对所述直角三角形结论正确。
再设ABC ∆为任意格点三角形，不妨假定三个顶点的坐标分别为),(),()0,0(2211n m C n m B A 、、，如右图，它内接于格点矩形ADEF 中，显然，ABC ∆的面积等于矩形ADEF 的面积减去三个直角三角形的面积之和。
假设AB 上格点数为3l ，BC 上格点数为1l ，CA 上格点数为2l （都包括端点），设321,,∆∆∆分别表示ADB CFA BEC ∆∆∆,,，那么)3,2,1(121=-+=∆∆∆i L N S i i i 。
设44,L N 分别表示矩形ADEF 的内部格点数与边界格点数，则)(1213213214421∆∆∆∆∆∆∆++--+=---=S S S L N S S S n m S ABC 2)(21)32132144+---+---=∆∆∆∆∆∆L L L L N N N N .121=+=L N 评注：（1）在本题的证明过程中，先论证其特殊情况，再利用间接法将它推广到一般情形。
（2）利用数学归纳法，可以把本题的结论推广到任意的n 边格点多边形。
（3）利用本题的结论也可知格点多边形的面积必是整数或半整数。
例6 求证：平面上整点凸五边形的面积不小于52。
思路点拨：有格点的分类即知格点凸五边形必有两顶点属于同一类，这两个顶点的连线的中点也是整点，再分此点在凸五边形的边界和内部两类讨论。
证明：考虑整点的纵、横坐标的奇偶性，只有（奇，奇）（偶，偶）（奇，偶）（偶，奇）四类。
由抽屉原则，凸五边形5个顶点中一定有两个顶点属于同一种类型，于是其中点M 也是整点。
由于是凸五边形，故M 在此凸五边形的内部或边界上。
（1）若M 在凸五边形的内部，此时边界上格点数5L ≥，内部格点数1N ≥，则其面积1515122S ≥+⨯-= （2）如图所示，若M 在凸五边形的边界上，设M 在边21P P 上。
因54321P P P P P 是凸五边形，故43P P ，54P P中必有一条与21P P 不平行，设43P P 与21P P 不平行。
于是432P P P ∆，43P MP ∆的面积互不相同，则其中面积最大的那一个，不妨设432P P P ∆，则1321≥∆P P P S ，于是五边形的面积.25212121114254515421432=+++≥+++≥+=∆∆∆∆P MP P MP MP P P P P P P P P S S S S S 四边形 评注：其实在第2种情形中，我们也可以将格点五边形54321P P P P P 分割成另一个格点五边形5431P P MP P 与格点32P MP ∆，然后只要证格点五边形5431P P MP P 的面积大于等于2，而这一点利用本例证明过程中开头的结论立即可得，于是再加格点32P MP ∆的面积，就有格点五边形54321P P P P P 的面积大于等于25了。
例7 设格点ABC ∆的边界上除顶点外没有格点，但在ABC ∆的内部都存在唯一的格点p ，求证：p 必是ABC ∆的重心。
思路点拨：可以先利用格点三角形面积公式12-+=∆N L S （其中L 三角形边界上的格点数，N 是内部格点数），分别计算出ABC ∆，PAB ∆，PBC ∆，PCA ∆的面积。