勾股定理单元学能测试试卷

勾股定理单元学能测试试卷

一、选择题

1．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ，动点P 从点B 出发，沿

射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ）

A ．5

B ．8

C ．

254

D ．

258

2．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ） A ．37

B ．13

C ．37或者13

D ．37或者137

3．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 1＝2；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( )

A ．2016

B ．2017

C ．2018

D ．2019

4．如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点，过D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP 于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O 的直径AC 的长为（ ）

A ．5

B ．8

C ．10

D ．12

5．如图，ABC 中，90ACB ∠=?，2AC =，3BC =．设AB 长是m ，下列关于m 的四种说法：①m 是无理数；②m 可以用数轴上的一个点来表示；③m 是13的算术平方根；④23m <<．其中所有正确说法的序号是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①②③

D ．②③④

6．已知,,a b c 是ABC ?的三边，且满足2

2

2

()()0a b a b c ---=，则ABC ?是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

7．如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来

面积相等的正方形，则（ ）

A ．甲、乙都可以

B ．甲、乙都不可以

C ．甲不可以、乙可以

D ．甲可以、乙不可以 8．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )

A ．4

B ．16

C ．34

D ．4或34

9．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c === C ．::3:4:5a b c =

D ．11,12,13a b c ===

10．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A

刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）

A ．10

B ．5

C ．4

D ．3

二、填空题

11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．

12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，

45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=?，则BD 的长为__________．

13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．

14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝1

3

S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．

15．在△ABC 中，若2222

25,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____．

16．如图，BAC 90∠=度，AB AC =，AE AD ⊥，且AE AD =，AF 平分DAE ∠交BC 于F ，若BD 6=，CF 8=，则线段AD 的长为______．

17．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2

2

22

()0c a b a b --+-=，则

△ABC 的形状为___________

18．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点

A ，

B 重合），DE ⊥A

C ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．

19．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．

20．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．

三、解答题

21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=?与线段AB 相交于点

,E DF 与射线AC 相交于点F ．

()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；

()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于

点F ．求证：1

2

BE CF AB +=

．

()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的

延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．

22．（1）计算：1

312248233?÷ ?

（2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 23．阅读与理解：

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？

分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点

C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明AC

D AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．

感悟与应用：

（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，CD 平分ACB ∠，试判断

AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，

12DC BC ==，

①求证：180B D ∠+∠=?； ②求AB 的长．

24．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动

2

3

秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．

设点E 的运动时间为t :（秒）

（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）

（2）当1t =时，将OEF ?沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设

MBN ?的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．

25．（1）如图1，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，60A ∠=?，CD 平分ACB ∠.

求证：CA AD BC +=.

小明为解决上面的问题作了如下思考：

作ADC ?关于直线CD 的对称图形A DC '?，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且

CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.

（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：

如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.

26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.

(1)求证: AD=BE.

(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.

(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).

27．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .

（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;

②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.

28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…

（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；

（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．

29．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，

①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ； ②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；

（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．

30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．

（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形． （2）如图1，求AF 的长．

（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．

①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．

②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据ABP △为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP 的长度，从而求出t 值即可． 【详解】

在Rt ABC 中，222225316BC AB AC =-=-=，

4BC cm ∴=，

①如图，当AB BP =时， 5 ,5BP cm t ==；

②如图，当AB AP =时， ∵AC BP ⊥，

∴28 BP BC cm ==，8t =；

③如图，当BP AP =时，设AP BP xcm ==，则4,3( )CP x cm AC cm =-=，

∵在Rt ACP 中，222AP AC CP =+， ∴()2

2234x x =+-， 解得：258

x =， ∴258

t =

， 综上所述，当ABP △为等腰三角形时，5t =或8t =或258

t =． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．

2．C

解析：C 【分析】

如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论． 【详解】

当如图1所示时，AB=2，BC=3，

∴AC=2223=13+； 当如图2所示时，AB=1，BC=6，

∴221+6=37 故选C ． 【点睛】

本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．

3．D

【解析】

【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律. 【详解】∵OP=1，OP 1=2 OP 2=3，OP 3=4=2， ∴OP 4=5， …，

OP 2018=2019． 故选D

【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．

4．C

解析：C 【解析】

分析：通过切线的性质表示出EC 的长度，用相似三角形的性质表示出OE 的长度，由已知条件表示出OC 的长度即可通过勾股定理求出结果. 详解：如图：连接BC ，并连接OD 交BC 于点E ：

∵DP ⊥BP ，AC 为直径； ∴∠DPB=∠PBC=90°. ∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线. ∴∠PDE=90°=∠DEB, ∴四边形PDEB 为矩形， ∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6. ∴PD=BE=EC. ∴OE=

1

2

AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x. .在Rt △OEC 中:

222OE EC OC +=,

即：()()2

2

2363x x +-=+，解得x=2. 所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.

点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.

解析：C

【分析】

根据勾股定理即可求出答案．

【详解】

解：∵∠ACB＝90°，

∴在Rt ABC中，m＝AB

故①②③正确，

∵m2＝13，9＜13＜16，

∴3＜m＜4，

故④错误，

故选：C．

【点睛】

本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．

6．D

解析：D

【分析】

由（a-b）（a2-b2-c2）=0，可得：a-b=0，或a2-b2-c2=0，进而可得a=b或a2=b2+c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．

【详解】

解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0，

∴a-b=0，或a2-b2-c2=0，

即a=b或a2=b2+c2，

∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．

7．A

解析：A

【解析】

试题分析：剪拼如下图：

乙 故选A

考点：剪拼，面积不变性，二次方根

8．D

解析：D 【解析】

试题解析：当3和52235+34 当52253-． 故选D ．

9．D

解析：D 【分析】

根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形． 【详解】

解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形； B 、因为52+52

=(252

，故能构成直角三角形；

C 、因为()()()2

2

2

345x x x +=，故能构成直角三角形； D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形； 故选：D ． 【点睛】

本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．

10．B

解析：B

【分析】

根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．

【详解】

∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

∴BC=22

=10，

86

根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，

∴A′C=10-6=4．

设CD=x，则A′D=8-x，

根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，

解得x=5，

故CD=5．

故答案为：B．

【点睛】

本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．

二、填空题

11．5

【解析】

试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．

考点：勾股定理的逆定理，

12．5

【分析】

作AD′⊥AD，AD′=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证△BAD≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt△AD′D和Rt△CD′D应用勾股定理即可求解．

【详解】

作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：

∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中，

{BA CA

BAD CAD AD AD =∠=∠=''

， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，∠DAD′=90°， 由勾股定理得22()4AD AD +='，

∵∠D′DA+∠ADC=90°，

∴由勾股定理得22(')5DC DD +=， ∴BD=CD′=5 故答案为5． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键． 13．（0，21009） 【解析】

【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．

【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，

∴OA 12，OA 2=2）2，…，OA 2018=2）2018， ∵A 1、A 2、…，每8个一循环， ∵2018=252×8+2

∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=2018

2

=21009，

故答案为（0，21009）.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还

应该注意象限符号． 14．82 【分析】 根据S △PAD ＝

1

3

S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值． 【详解】

设△PAD 中AD 边上的高是h ． ∵S △PAD ＝1

3

S 矩形ABCD ， ∴

1

2 AD ?h ＝13

AD ?AB ， ∴h ＝

2

3

AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，

如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．

在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8， DE 22228882AE AD ++=

即PA +PD 的最小值为2 ． 故答案2． 【点睛】

本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．

15．

125

【分析】

解方程2

2

2

2

25,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高. 【详解】

解：∵2

2

2

2

25,7a b a b +=-=，

将两个方程相加得：2232a =， ∵a ＞0， ∴a=4

代入得：22425b +=， ∵b ＞0， ∴b=3，

∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理， ∴△ABC 是直角三角形， 如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，

1122ABC

S

AC BC AB CD =??=?? ， 即：11

34522

CD ??=??，

解得：CD=12

5，

故答案为：12

5

.

【点睛】 本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.

16．65

【分析】

由“SAS”可证ABD ≌ACE ，DAF ≌EAF 可得BD CE =，4B ∠∠=，

DF EF =，由勾股定理可求EF 的长，即可求BC 的长，由勾股定理可求AD 的长． 【详解】

解：如图，连接EF ，过点A 作AG BC ⊥于点G ，

AE AD ⊥，

DAE DAC 290∠∠∠∴=+=，

又

BAC DAC 190∠∠∠=+=， 12∠∠∴=，

在ABD 和ACE 中

12AB AC AD AE =??

∠=∠??=?

， ABD ∴≌()ACE SAS ．

BD CE ∴=，4B ∠∠=

BAC 90∠=，AB AC =，

∴B 345∠∠==

4B 45∠∠∴==， ECF 3490∠∠∠∴=+=，

222CE CF EF ∴+=，

222BD FC EF ∴+=，

AF 平分DAE ∠， DAF EAF ∠∠∴=， 在DAF 和EAF 中

AD AE DAF EAF AF AF =??

∠=∠??=?

， DAF ∴≌()EAF SAS ． DF EF ∴=．

222BD FC DF ∴+=．

22222DF BD FC 68100∴=+=+=，

∴DF 10=

BC BD DF FC 610824∴=++=++=， AB AC =，AG BC ⊥，

1

BG AG BC 122

∴===，

DG BG BD 1266∴=-=-=，

∴AD =

故答案为【点睛】

考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

17．等腰直角三角形 【解析】

根据非负数的意义，由()

2

2220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角

形是等腰直角三角形. 故答案为：等腰直角三角形.

点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.

18 【解析】

试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四

边形CEDF 是矩形，连接CD ，则CD=EF ，当CD⊥AB 时，CD 最短，即.

故答案为

5

. 点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

19．

78 【解析】

试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可． 试题解析：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD ∥BC，∠B=90°， ∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ， ∴∠DAC=∠D′AC， ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB， ∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC， 设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ， 在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2， ∴32+x 2=（4﹣x ）2，解得x=78

， 即BE 的长为78

．

20．【分析】

如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度． 【详解】

如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ．

∵P （1，2），G （7．﹣2）， ∴OA ＝1，PA ＝GM ＝2，OM ＝7，AM ＝6， ∵PA ∥GM ， ∴∠PAN ＝∠GMN ， ∵∠ANP ＝∠MNG ， ∴△ANP ≌△MNG （AAS ）， ∴AN ＝MN ＝3，PN ＝NG ， ∵∠PAH ＝45°， ∴PH ＝AH ＝2， ∴HN ＝1， ∴2222215PN PH NH =

+=+=

∴PG ＝2PN ＝5． 故答案为5 【点睛】

本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．

三、解答题

21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(23y x = 【分析】

（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；