等差数列的性质及简单应用(33张)

＋a2＋…＋a7＝( C )
A．14
B．21
C．28
D．35
(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则 a75＝___2_4____.
【解析】 (1)利用等差数列性质可知 a3＋a4＋a5＝3a4＝12， 所以 a4＝4，
所以 a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28. (2)法一：因为{an}为等差数列， 所以 a15，a30，a45，a60，a75 也成等差数列，设其公差为 d， a15 为首项，则 a60 为第四项， 所以 a60＝a15＋3d，得 d＝4，所以 a75＝a60wk.baidu.comd＝24.
3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于 首项与末项的和．即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有
数列
结论
{c＋an}
公差为 d 的等差数列(c 为任一常数)
{c·an}
法二：设等差数列{an}的公差为 d. a60＝a15＋45d， 所以 20＝8＋45d，所以 d＝145， a75＝a15＋60d＝8＋60×145＝24.
方法归纳
解决本类问题一般有两种方法：(1)运用等差数列{an}的性 质：若 m＋n＝p＋q＝2w，则 am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q， w 都是正整数)；(2)利用通项公式转化为数列的首项与公差的结 构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程 的思想．
公差为 kd. (3)形如 a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取，实际上
是 3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于 2 项、4 项、5 项…道理是相同 的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( × ) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( × ) (3)在等差数列{an}中，若 m＋n＝r，m，n，r∈N*，则 am＋ an＝ar.( × ) (4)若数列{an}是等差数列，则 a1，a3，a5，a7，a9 是等差数 列．( √ )
2．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知 a1， d，am，an(m≠n)，则 d＝ann－－1a1＝ann－－mam，从而有 an＝am＋(n－
m)d. (2)项的运算性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，
p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
(2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1 ＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18.
类型二 等差数列的实际应用问题 [例 2] 某公司 2016 年经销一种数码产品，获利 200 万元， 从 2017 年起，预计其利润每年比上一年减少 20 万元，按照这一 规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起， 该公司经销这一产品将亏损？
对等差数列的性质的理解 (1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两项特别
地，当 m＋n＝2r 时(m，n，r∈N*)am＋an＝2ar. (2)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得的数列仍为等差数
列，当然公差也随之发生变化． (3)将等差数列各项都乘以同一个常数 k，所得数列仍为等差数列，
公差为 cd 的等差数列(c 为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为 2d 的等差数列(k 为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为 pd＋qd′的等差数列(p，q 为常数)
(3){an}的公差为 d，若 d>0⇔{an}为递增数列；若 d<0⇔{an}
为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
|化解疑难|
2．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则 a5 等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案：C
3．在等差数列{an}中，若 a2＝－5，a6＝a4＋6，则 a1 等于( ) A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
解析：由 a6＝a4＋6 得 2d＝6，解得 d＝3. 又 a2＝a1＋d＝－5， 所以 a1＝－8. 答案：B
答案：A
5．等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则 a35＝________.
解析：由 a25 是 a15 与 a35 的等差中项得 2a25＝a15＋a35，所以 a35＝2a25－a15＝2×66－33＝99.
答案：99
课堂探究 互动讲练
类型一 等差数列性质的应用
[例 1] (1)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么 a1
4．在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则 a3＋a13－a8 等于( )
A．24 B．22 C．20 D．－8
解析：根据等差数列的性质可知 a3＋a13＝2a8，所以已知等 式可变为 2a8＋3a8＝120，解得 a8＝24，所以 a3＋a13－a8＝2a8 －a8＝a8＝24.
【课标要求】 1.能根据等差数列的定义与通项公式，推导出等差数列的重 要性质. 2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的 计算问题. 3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题．
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．等差数列的图象 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时，an 是关 于 n 的常数函数；当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；点(n， an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
跟踪训练 1 在等差数列{an}中： (1)a5＝11，a8＝5，则 a10＝____1____； (2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则 a1＋a20 等于 ___1_8____．
解析：(1)设公差为 d，因为 a8＝a5＋(8－5)×d，所以 d＝a8－3 a5 ＝－2，所以 a10＝a8＋(10－8)×d＝1.