Genesio系统的混沌Hopf分岔和Shilnikov
随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析
随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统的稳定性及Hopf分岔分析随机机械系统是指在外界激励下，由多个机械元件构成的系统。
这些元件之间通过连杆、轴等连接，形成一个复杂的结构。
随机机械系统广泛应用于自动化、机械工程等领域，其稳定性研究对于系统的可靠性和性能至关重要。
稳定性是随机机械系统研究中的一个核心问题。
随机机械系统受到外界的各种随机激励，如摩擦力、噪声等，这些随机因素会对系统产生不确定的影响，导致系统的运动变得复杂和难以预测。
因此，研究随机机械系统的稳定性是解决这些问题的关键。
Hopf分岔是一种典型的非线性现象，也是研究随机机械系统稳定性的重要方法之一。
当系统参数经过一定的改变时，系统的稳定性可能发生突变，从而导致系统出现周期性运动或混沌行为。
通过Hopf分岔分析，可以确定系统在不同参数值下的运动状态，评估系统的稳定性以及确定系统的优化方案。
在实际工程应用中，随机机械系统的稳定性研究常常需要考虑多种影响因素。
例如，系统结构的复杂性、元件之间的耦合程度、外界激励的类型和强度等。
这些因素综合作用于系统的运动特性和稳定性，对系统的设计和优化提出了更高的要求。
对于随机机械系统的稳定性研究，可以通过数学模型建立和仿真分析来进行。
通过建立系统的运动方程和边界条件，可以利用数值方法求解系统的稳定解。
在计算过程中引入随机项，可以模拟随机激励对系统的影响，得到系统的运动轨迹和稳定性指标。
随机机械系统的稳定性研究不仅可以在系统设计和优化中发挥重要作用，还可以为实际应用中的故障诊断和故障预测提供参考。
例如，在工业自动化生产线中，通过对随机机械系统的稳定性分析，可以判断系统是否存在故障，并采取相应的维修和调整措施，以保证生产线的正常运行。
然而，随机机械系统的稳定性研究也存在一些挑战和困难。
首先，系统模型的建立和求解本身就是一个复杂的过程，需要考虑多种因素的综合作用。
其次，随机机械系统的运动是一个非线性、非平稳的过程，涉及到多种概率统计方法和数值计算技术。
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
高维非线性系统的全局分岔和混沌动力学
精彩摘录
“分岔图是研究非线性系统的重要工具，通过它可以观察到系统在不同参数 下的行为变化。”
精彩摘录
“混沌吸引子是描述混沌系统的一种几何对象，它展示了混沌系统的复杂性 和动态性。”
“通过Lyapunov指数可以量化系统的混沌程度，正的Lyapunov指数意味着系 统是混沌的。”
精彩摘录
“高维非线性系统的全局动力学往往更加复杂，但也更能揭示自然界的真实 复杂性。”
目录分析
在引言部分，作者首先阐述了高维非线性系统全局分岔和混沌动力学的重要 性，并回顾了该领域的历史背景和发展概况。这一部分为后续的详细讨论奠定了 基础，使得读者能够更好地理解全局分岔和混沌动力学的实际意义和价值。
目录分析
第二章至第四章的内容是基础知识，主要介绍了高维非线性系统的基本概念、 数学描述和动力学行为。通过这一部分，读者可以建立起对高维非线性系统的基 本认知，为后续深入理解全局分岔和混沌动力学打下坚实的理论基础。
目录分析
第五章至第七章的内容聚焦于全局分岔分析。这部分详细介绍了全局分岔的 基本概念、分类以及判定方法。作者还通过实例展示了如何运用全局分岔理论对 具体的高维非线性系统进行分析，使得抽象的理论更加生动和易于理解。
目录分析
第八章至第十章的内容重点在于混沌动力学的探讨。在这部分，作者详细介 绍了混沌现象的定义、特征、产生条件以及混沌的数值模拟方法。同时，通过具 体的实例，展示了混沌在现实世界中的广泛存在和应用，深化了读者对混沌动力 学的理解。
阅读感受
书中特别提到了标准Melnikov方法、微分几何理论和不变流形纤维丛理论在 研究多自由度非线性系统中的应用。这些方法为我们提供了全新的视角和工具， 使我们能够更深入地探索非线性系统的全局行为。尤其是对于那些受到外周期激 励的系统，这些方法使得我们能够理解和预测其复杂的动态行为，包括全局分岔 和混沌动力学。
一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究
一类广义超混沌系统的Hopf分岔及共存吸引子研究陈玉明【摘要】针对一类广义的Lorenz-Stenflo四维超混沌系统,基于中心流形及Hopf 分岔相关理论,研究了该系统在原点平衡点处发生的Hopf分岔行为,得到了系统在Hopf分岔点的特性,包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等,并借助数值模拟验证了理论分析的正确性.除此之外,借助数值模拟,发现该系统在某些特定参数下存在不同吸引子之间的共存现象,比如超混沌吸引子与周期吸引子共存,混沌吸引子与周期吸引子共存.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】6页(P43-48)【关键词】Lorenz型系统;超混沌;Hopf分岔;吸引子共存【作者】陈玉明【作者单位】广东技术师范学院数学与系统科学学院,广州510665【正文语种】中文【中图分类】O415.5;O19·基础数学·E. N. Lorenz在研究气象模型时, 在一类确定性系统中发现了类似于随机的动力学现象，即混动行为，并于1963年提出了首个混沌数理模型，Lorenz系统[1].由于混沌行为的特殊性，自从Lorenz系统被提出以后，大量来自于不同领域的数学家、物理学家及工程师们便对混沌的起源、混沌系统的特征与分岔行为、通向混沌的路径等各个方面，都展开了深入地研究[2-4].超混沌，作为另一种复杂动力学行为，它比混沌行为具有更强的复杂性以及更强的应用潜力.由于在自治常微分方程系统中要产生超混沌行为，必须要求系统维数至少为四维，因此，对四维超混沌系统的研究，尤其是对四维Lorenz型超混沌系统的研究，将显得尤为重要.在对混沌系统的研究中，系统分岔行为的研究是非常重要的一部分.随着系统平衡点稳定性的改变，即发生局部分岔行为，系统的局部动力学行为也会随之改变，甚至会引发系统全局动力学行为的变化.Hopf分岔是系统局部分岔中非常基本而又至关重要的一种，随着Hopf分岔的发生，将伴随着系统极限环的产生或者消失.在三维混沌系统的研究中，文献[5]研究了统一Lorenz型系统的Hopf分岔行为，该系统包含了Lorenz，Chen，Lu及Yang等大量的经典三维混沌系统，在此基础上，进一步对退化Hopf分岔的分析，该文献还发现了一种可通向混沌的路径.在四维超混沌系统的研究中，文献[6-8]分别研究了一类四维超混沌系统的Hopf分岔行为，得到了系统在Hopf分岔点的特性，包括分岔的周期解、周期解的分岔方向及稳定性等.混沌及超混沌系统的复杂性主要来源于混沌及超混沌吸引子的存在.一般情形下，相空间中只存在一个稳定的吸引子，除了其它吸引子(都为不稳定)本身外，从相空间中其它点出发的轨线都将趋向于那唯一的一个稳定的吸引子.然而一些研究者最近发现了很多特殊的系统[9-10]，在这些系统中存在着各种不同稳定吸引子的共存现象，这使得系统的相空间变得异常复杂，尤其是这些不同稳定吸引子的吸引盆的边界.在1996年，Stenflo沿着Lorenz模型的方向，提出了描述大气扰动的一个简单模型，其被称为Lorenz-Stenflo系统[11].该系统考虑了地球的旋转，黏度效应及热扩散效应等因素，该系统的方程为其中参数a是普朗特数，c是广义的雷利参数，及是地球旋转的角频率，κ是热耗散系数.基于上述的Lorenz-Stenflo系统，通过将该系统的参数可选取范围进行推广，本文考虑了如下的广义Lorenz-Stenflo系统其中参数满足a>0，b>0，cdrs≠0.当系统参数选取a=22.5，b=1.91，c=29.45，d=-2.86，r=0.23及s=9.64时，系统(1)具有超混沌吸引子，该吸引子所对应的Lyapunov指数为λLE1=0.1217,λLE2=0.0264,λLE3=0.0001,λLE4=-27.6416.该超混沌吸引子在空间的投影相图如图1所示.当系统参数满足(ar+s)(ar(c+d)+ds)≤0时，系统(1)只具有唯一平衡点E0(0,0,0,0).而当(ar+s)(ar(c+d)+ds)>0时，系统(1)除了具有原点平衡点E0之外，还将具有另外两个关于z轴对称的非原点平衡点其中w±=±.另外，当系统参数b=0时，系统(1)则存在一条平衡点直线，即z轴.针对四维广义Lorenz-Stenflo超混沌系统(1)，本文将研究该系统原点平衡点E0处发生的Hopf分岔行为，以及在某些特定参数下，研究系统不同吸引子之间的共存现象.针对一般的n维自治常微分方程系统(n>2)，下面首先介绍一下第一Lyapunov系数l1的计算方法.考虑如下的微分方程系统其中f(X,η)为Rn×Rs中的C∞类函数.假设系统(2)在参数条件η=η0之下具有平衡点X=X0，并且总是将变量X-X0记为进一步地，在参数条件η=η0之下，系统(2)可以被重写为其中‖‖4),以及并且对任意的i=1,2,…n，都有如下展开式成立其中的记号Bi以及Ci分别是向量函数B以及C的第i个分量.假设系统(3)在其原点平衡点处的Jacobian矩阵A，具有一对具有非零虚部的纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，并且Jacobian矩阵A在该平衡点处的其它特征值都具有非零实部.令Tc为Jacobian矩阵A对应于特征值λ1,2的特征向量所张成的广义特征空间.令向量p,q∈Cn满足下列条件值得注意的是，空间Tc中的任意向量Y均可以表示成为其中v=<p,Y>∈C.为了能够通过变量v以及来将与特征值λ1,2=±iω0有关的这个二维中心流形参数化表示，特考虑如下这个形式上的嵌入其中系数ujk∈Cn，并且满足将表达式(6)代入系统(2)中，可得求解由等式(7)中项的系数所确定的线性方程组，可得复向量uij的表达式.因此，在二维中心流形上通过使用复变量v，系统(7)可以表示成如下形式:其中G21∈C.第一Lyapunov系数l1被定义为其中在如下的定理中，对系统(1)在平衡点E0处所发生的Hopf分岔进行了研究.定理1 令(a+r)(ad(c+d)+acr+d2r)<0，以及并且假设MN≠0成立，则当参数s穿过临界值s0= 时，系统(1)在平衡点E0处发生Hopf分岔.在临界参数值附近，系统还有如下的动力学性质:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf 分岔所产生的稳定周期轨;证明令X=(x,y,z,w)∈R4，η=(a,b,c,d,r,s)∈R6以及f(X,η)=(a(y-x)+sw,cx+dy-xz,-bz+xy,-x-rw),则系统(1)可被改写成系统(2).系统(1)在平衡点E0处的特征方程为假设方程(12)具有一对纯虚特征根λ1,2=±iω0(ω0>0)，即如下等式成立，-a(c+d)r-ds-(a-d+r)=0,-ω0(a(c+d-r)+dr-s+)=0,在参数条件s=s0之下，系统(1)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为其所对应的特征值为λ1=iω0,λ2=-iω0,λ3=d-a-r,λ4=-b.经过繁琐地计算过程，可得如下的两个特征向量:其中G=-ac(r+iω0)2+(d-iω0)2(ω0-ir)2.向量p,q满足条件(5)，即由计算公式(4)，可得基于公式(13)，(14)及(15)，通过直接而繁琐地计算，可得B(q,q)=(0,0,2c(d-iω0)(-ir+ω0)2,0)T，S3=d(4d-b)++2i(b-d)ω0,S4=4d2+br++2i(b+r)ω0,S5=ar++s0+2i(a+r)ω0,S6=-+b(d-2iω0)+2id(2id+ω0),S7=-3ac+ad-4d2+-2i(a-d)ω0.再次使用公式(14)，(15)以及(16)，可计算得〈p,B(q,-u11)〉=,将上述三个等式代入(8)式中，可计算得第一Lyapunov系数为l1(s0)=Re[〈p,C(q,q,)〉-2〈p,B(q,-u11)〉+〈p,B(,u20)〉]=,当MN≠0时，有l1(s0)≠0，从而有平衡点E0处Hopf分岔的非退化条件成立.进一步,将验证平衡点E0处Hopf分岔的横截条件也成立.平衡点E0处的特征方程如(12)所示，即P(λ)=(b+λ)(ε0+ε1λ+ε2λ2+λ3)=0,其中ε0=-acr-adr-ds, ε1=-ac-ad+ar-dr+s, ε2=a-d+r.当参数s在临界值s0附近时，假设特征方程(12)具有特征值λ1,2=α±iβ，λ3=γ以及λ4=-b，其中α,β及γ为系统参数的实函数.将这些特征值代入方程(12)中，并且整理与α相关的部分，可得由于α|s=s0=0，将(17)式对参数s求偏导数，可得又由于从而，当a+r>0时，则有|s=s0<0，Hopf分岔的横截性条件成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为不稳定及稳定的.否则，当a+r<0时，则有|s=s0>0，Hopf分岔的横截性条件依然成立，并且在由复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中，分别当s<s0及s>s0时，平衡点E0为稳定及不稳定的.综上所述，系统(1)限制在由平衡点E0的复共轭特征值α±iβ对应的特征向量所张成的特征空间中时，具有如下的动力学行为:如果MN>0，则当a+r>0,s>s0时，或a+r<0,s<s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的不稳定周期轨;如果MN<0，则当a+r>0,s<s0时，或a+r<0,s>s0时，相空间中存在由Hopf分岔所产生的稳定周期轨;为了验证定理1中关于系统(1)平衡点E0处Hopf分岔理论结果的正确性，特给出了如下基于四阶Runge-Kutta方法的数值仿真结果.选择参数a=3,b=3,c=6.1,d=-3,r=1，根据定理1，可得s0=3.45，ω0=0.387 298>0及l1(s0)=-5.933 71<0，这意味着系统(1)在平衡点E0处的Hopf分岔能够产生出稳定的周期轨.由于a+r>0，当s<s0时，Hopf分岔产生稳定周期解，如图2(a)所示; 而当s>s0时，平衡点E0为稳定焦点，如图2(b)所示.选取恰当的系统参数，通过详细的数值分析，可发现系统(1)存在多种吸引子共存的现象，即同组参数条件下，系统(1)满足不同初始条件的解有可能呈现出完全不同的动力学行为.具体可包括超混沌吸引子与周期吸引子的共存，混沌吸引子与周期吸引子共存等.固定参数a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64，对初始条件(51,-28,-96,76)，系统(1)的解将会收敛于一个周期解，其在y-z-w空间的投影如图3(a)所示，该周期吸引子所对应的Lyapunov指数为在同一组参数下，对于初始条件(42,-22,46,77)，系统(1)的解则收敛于一个超混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图3(b)所示，该超混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=22.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中存在着超混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图3(c)所示.在同一组参数下，对于初始条件(-57,-22,-6,-59)，系统(1)的解则收敛于一个混沌吸引子，在y-z-w空间的投影相图如图4(b)所示，该混沌吸引子所对应的Lyapunov指数为因此，当参数满足a=12.5,b=1.91,c=29.45,d=-2.86,r=0.23及s=9.64时，系统(1)的相空间中则存在着混沌吸引子与周期吸引子的共存，其在y-z-w空间的投影如图4(c)所示.【相关文献】[1] E.N. Lorenz. Deterministic non-periodic flow[J].J. Stmos. Sci.,1963,20:130-141.[2] M.W. Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos[M].New York: Elsevier Academic Press,2007.[3] L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, et al. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics[M].Singapore:World Scientific,2001.[4] S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Second Edit[M].New York:Springer-Verlag,1990.[5] Q. Yang, Y. Chen. Complex dynamics in the unified Lorenz-type systems[J].Int. J. Bifurcat. Chaos,2014,24:1450055(30 pages).[6] Y. Chen, Q. Yang. Dynamics of a hyperchaotic Lorenz-type system[J].Nonlinear Dynam,2014,77:569-581.[7] 陈玉明.基于Lorenz型系统的四维超混沌系统的复杂动力学研究[D].广州:华南理工大学,2014.[8] 刘永建,程俊芳.四维超混沌Lorenz系统的Hopf分岔. 河南大学学报[J].2013,43(1):11-16.[9] Y. Chen, Q. Yang. A new Lorenz-type hyperchaotic system with a curve of equilibria[J].Math. Comput. Simulat.,2015,112:40-55.[10] Z. Wei. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J].Phys. Lett. A,2011,376:102-108.[11] L. Stenflo. Generalized Lorenz equations for acoustic-gravity waves in the atmosphere[J].Phys. Scr.,1996,53:83-84.。
一个新混沌纠缠系统的Hopf分岔分析
一个新混沌纠缠系统的Hopf分岔分析Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【摘要】文章基于混沌纠缠方法构造了一个新的混沌系统,通过理论和数值分析验证了该系统存在混沌吸引子.此外,利用非线性动力学理论分析了该系统平衡点的稳定性以及Hopf分岔的存在性和稳定性.经过计算系统在平衡点的第一Lyapunov 系数判断Hopf分岔的方向及其稳定性,最后进行数值仿真验证理论分析的正确性.【期刊名称】《重庆文理学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】5页(P24-28)【关键词】混沌纠缠;稳定性;Lyapunov系数;Hopf分岔【作者】Kutorzi Edwin Yao;张建刚;秦爽【作者单位】兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5近年来，人为构造混沌系统已经成为研究热点.混沌的研究开始于1963年，当时洛伦兹对一个天气预报数学模型进行研究[1].该模型表示即便是详细的大气模型也不能做相对长期的天气预测，而当时人们只能预测一个星期的天气[2]．混沌通常被定义为一个相对来说比较庞大的非线性现象，它与缺席微观量子领域以及经典物理学的关系非常密切．最近几年，许多学者热衷于对人工混沌系统的设计和构造，并且已经成为一个重要的研究领域[3-7]．文献[8]给出了一种被称为混沌纠缠的新的构造混沌的研究方法.这个方法的基本理论是运用纠缠函数的方式纠缠两个或多个稳定的线性子系统并且使其产生出一个人为构成的新混沌系统．混沌纠缠这种方法利用一种更为方便的手段构造并产生新的混沌吸引子．我们完全可以运用混沌纠缠的方法更加简单地构建出一类新的混沌系统. 学者们近几年在认识和研究混沌现象时，发现并构建了许多种混沌系统，许多人专注于这些混沌系统动力学特征的研究[9-10]．本文运用混沌纠缠的方法重新构建一个新的超混沌系统，并运用理论推导和数值仿真的方式对该系统存在混沌吸引子的结论做了进一步验证，同时对此系统的动力学行为进行了分析．考虑两个线性的子系统其中(x,y,z)为状态变量．当a<0,c<0并且d<0时，显然两个子系统是稳定的．经过正弦函数纠缠 (1) 与 (2) 两个线性子系统将会得出以下混沌系统其中a<0,c<0,d<0,(b,b1,d1,e)∈R4,纠缠函数为(sinx,siny,sinz)．当a=-2,b=6,c=3,d=-4,e=20,d1=40,b1=38时，系统(3)存在一个如图1所示的混沌吸引子．2.1 耗散性与吸引子的存在性根据系统(3)的向量场散度我们可以得到系统(3)是耗散的，也就是体积元v0在t时刻收缩到体积元V0e(2a+d)(t-t0)，并且当t→∞时，系统(4)轨线的每个小体积元都以指数率2a+d 收缩到0.系统(4)的轨线最终将被限制到体积为0的极限子集上，且被固定到1个吸引子上．2.2 对称性和不变性显然，系统(3)具有对称性，也就是说当变换(x,y,z)→(-x,-y,-z)时对全部的参数而言都具有不变性，若)是系统(3)的平衡点，则一定也是它的平衡点；若Γ(x,y,z)是系统(3)的一条轨道线，则Γ(-x,-y,-z)同样也是它的轨道线．2.3 有界性若一个系统是有界的，并且它有一个正的Lyapunov指数，则我们称这个系统是混沌的．定理1 当a<0,c<0,d<0时，系统(3)有界．证明把系统(3)写成下面的形式其中我们定义那么有‖x‖2+2e‖F‖‖x‖,其中,由于则令，并且定义当‖x‖≥M时,我们得到‖x‖‖x‖=0这说明系统(3)是有界的．2.4 平衡点的稳定性平衡点是分析新系统的动力学特性的重要元素，首先我们要找到系统的平衡点. 因为系统(3)存在很多个平衡点，并且找到它的精确解非常困难.为便于研究，只考虑当平衡点为E0=(0,0,0)时的情况．引理1 多项式p(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3的所有根都有负实部的充分且必要条件为p1,p2,p3都为正数，且满足不等式p1p2>p3．定理2 当满足条件时，平衡点E0就是渐进稳定的．证明因为系统 (3) 在E0=(0,0,0)处的Jacobian 矩阵为并且相应的特征多项式为由引理1可以得到，平衡点E0是局部渐进稳定的充分必要条件是使公式(6)有负实部的特征根不等式，即a2+2ad+bc+be>0,2a+d>0,a2d-bcd-bde-b1d1(c+e)<0，且,成立．因此当条件(7)满足时，我们可以得到E0=(0,0,0)是渐进稳定的．系统(3)在平衡点E0处的Jacobian矩阵为可以得到以下的线性函数：A0的特征值为可得其中,,另外得,h11=(0,0,0)T,B(q,h11)=(0,0,0)T,.其中,以及假设系统是随着参数b的变化而变化的，在临界值b=b0处我们有ξ′(b0)=Re若ξ′(b0)≠0，那么Hopf 分岔横截性条件成立．定理3 系统(3)在平衡点E0处的第一Lyapunov系数为当l1≠0时，系统(3)在平衡点E0处发生Hopf分岔．特别地，若l1<0，系统发生超临界Hopf分岔；若l1>0，系统发生亚临界Hopf分岔．为了更好地验证上面的分析结果，选a=-2,c=2,d=-2,e=1,b1=15, d1=-3，则Hopf分岔临界值b0=3.437 5. 当b=6.55>b0时，系统的平衡点是稳定的；当b=1.705>b0时，平衡点是不稳定的，分别如图2、4所示．通过计算得l1=128.311 62>0,ζ′(b0)=-0.224 6，也就是说横截条件成立．所以，系统(3)此时在平衡点E0处发生亚临界Hopf分岔，且产生一个不稳定的极限环，如图3所示．本文通过混沌纠缠的方法人为构建了一个新的混沌系统，通过详细的理论推导和数值分析得出该系统存在混沌吸引子．此外，利用非线性动力学理论知识讨论了该系统平衡点的稳定性．通过Hopf分岔理论，对系统的Hopf分岔行为进行了详细分析，并且推导出系统产生Hopf分岔的参数条件．通过计算系统在平衡点的第一Lyapunov系数，判断了Hopf分岔的方向及其稳定性．【相关文献】[1]LORENZ E N.Deterministic non periodic flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences, 1963(20)：130-141.[2]WATTS R. Global warming and the future of the earth[M].Morgan & Claypool, 2007.[3]唐良瑞,李静,樊冰，等．新三维混沌系统及其电路仿真[J]．物理学报, 2009, 58(2)：785-793．[4]李险峰,张建刚,褚衍东．一个新自治系统的动力学分析[J]．复杂系统与复杂性科学,2008,5(1):1672-3813．[5]杜文举.Vander Pol-Duffing系统的Hopf分岔分析及岔控制研究[D].兰州:兰州交通大学,2014.[6]HU D P, CAO H J. Bifurcation and chaos in a discrete-time predator-prey system of holling and leslie type[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2015,22:702-715.[7]ZALMAN B, HU Q W. Wieslaw K. Global hopf bifurcation of differential equations with threshold type state-dependent delay[J]. Journal of Differential Equations, 2014,257:2622-2670.[8]ZHANG H T, LIU X Z, SHEN X, et al. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5):1330014.[9]HU Z Y, TENG Z D, ZHANG L. Stability and bifurcation analysis in a discrete SIR epidemic model[J].Mathematics and Computers in Simulation, 2014,97:80-93.[10]WANG F X. Bifurcations of nonlinear normal modes via the configuration domain and the time domain shooting methods[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2015,20:614-628.。
混沌动力学中的Lyapunov指数与分岔图分析
混沌动力学中的Lyapunov指数与分岔图分析混沌动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它揭示了一些看似混乱无序的系统中的一些规律和模式。
在混沌动力学中，Lyapunov指数和分岔图是两个重要的工具，它们帮助我们理解和描述混沌系统的特性。
首先，让我们来了解一下Lyapunov指数。
Lyapunov指数是用来衡量系统中的初始条件对系统演化的敏感程度的指标。
在混沌系统中，微小的初始条件差异可能会导致系统演化出完全不同的轨迹。
Lyapunov指数通过计算系统中相邻轨迹之间的指数增长率来描述这种敏感程度。
正的Lyapunov指数表示系统的轨迹会发散，而负的Lyapunov指数表示系统的轨迹会收敛。
Lyapunov指数的绝对值越大，系统的混沌性越强。
Lyapunov指数的计算可以通过数值模拟的方法来实现。
我们可以选择一个初始条件，然后计算系统在不同时间点上的状态。
接下来，我们选择一个微小的扰动，并将其加到初始条件上，再次计算系统的演化。
通过比较两个轨迹之间的差异，我们可以得到Lyapunov指数。
重复这个过程，我们可以得到整个系统中不同点上的Lyapunov指数分布。
这个分布可以帮助我们判断系统的混沌性质以及混沌的程度。
分岔图是另一个用于描述混沌系统的工具。
分岔图展示了系统在参数空间中的演化情况。
在分岔图中，我们将系统的某个特定状态量（如系统的输出）作为纵坐标，而系统的参数作为横坐标。
当系统的参数发生变化时，我们观察系统状态的变化。
如果系统的状态在某个参数值附近发生突变，我们就可以看到分岔现象。
分岔图可以帮助我们理解系统的稳定性和不稳定性，以及混沌的产生机制。
分岔图的构建可以通过数值模拟或实验测量来实现。
对于数值模拟，我们可以选择一个参数值，然后计算系统在不同时间点上的状态。
接下来，我们改变参数值，并再次计算系统的演化。
通过观察系统状态的变化，我们可以绘制出分岔图。
对于实验测量，我们可以改变系统的某个控制参数，并记录系统的输出。
数学中的混沌动力系统与分岔理论
在数学领域中，混沌动力系统与分岔理论是两个重要而引人注目的主题。
混沌动力系统是指那些对初始条件极其敏感，呈现出难以预测和复杂演化的系统。
分岔理论则是研究系统从一个稳定状态突变为多个稳定状态的过程。
这两个理论在许多领域都有广泛的应用，从自然科学到社会科学，深深地影响了人们对系统运行和演变的理解。
混沌动力系统最早是由美国气象学家、数学家爱德华·洛伦兹在1960年代中期提出的。
他的研究工作主要集中在研究大气运动模型。
在这个系统中，初始条件的微小变化会引起模型的输出结果相差甚远。
这引发了洛伦兹的兴趣，他将这种现象命名为“蝴蝶效应”来形容起初微弱的变化可能会引发大规模的效应。
洛伦兹在混沌动力系统的研究中发现了奇异吸引子的存在，这是一种引导系统演化过程的特殊性质。
奇异吸引子在混沌动力系统理论中起着重要的作用，它不仅提供了对系统行为的定量描述，同时也揭示了系统中的复杂结构。
分岔理论则着重研究系统的稳定性突变过程。
分岔是指当系统参数发生细微变化时，系统从一种稳定状态突变为另一种稳定状态的现象。
最著名的分岔是“费根鲍姆分岔”，早在19世纪末由法国数学家亨利·费根鲍姆提出。
他发现简单的非线性方程可能引起系统从一个稳定状态到周期运动，然后到混沌。
这种突变行为使得分岔理论成为许多自然现象的重要解释机制，例如生物进化、气候变化等。
混沌动力系统和分岔理论在现代科学中有广泛的应用。
在天气预报中，混沌动力系统理论帮助科学家们理解气象系统的复杂行为，进而提高了预测的准确性。
在物理学中，混沌动力系统的研究揭示了粒子运动的随机性和确定性之间的微妙平衡。
在生物学中，分岔理论帮助研究者理解进化过程中物种数量的突变和物种多样性的起源。
在社会科学中，混沌动力系统的影响范围更加广泛，从经济学到心理学，都有许多应用案例。
总之，数学中的混沌动力系统与分岔理论是对系统运行和演化进行研究的重要工具。
混沌动力系统的研究揭示了系统的复杂性和不确定性，而分岔理论则研究了系统从一个稳定状态到多个状态的突变过程。
霍普夫分岔的条件
霍普夫分岔的条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：霍普夫分岔（Hopf Bifurcation）是一种在动力系统理论中非常重要的现象，它描述了当系统参数发生改变时，系统可能从稳定状态变为周期解的过程。
霍普夫分岔现象在物理、生物、经济等领域都有广泛的应用，对于理解复杂系统的行为具有重要意义。
霍普夫分岔的条件是一个系统必须具备的特定条件，只有满足这些条件系统才会出现霍普夫分岔。
在数学上，霍普夫分岔的条件主要有两种情况：一是系统的特征值以纯虚数的形式相遇，并且发生分岔。
这种情况通常在二维系统或三维系统中出现，系统的特征值在实空间中不相交，在虚空间中相遇并且交错。
当特征值相交的时候，系统出现分岔，从一个稳定状态变为周期解。
霍普夫分岔的条件是非常严格的，系统必须满足特定的数学条件才会出现这种现象。
霍普夫分岔的研究对于理解复杂系统的行为具有深远的意义，可以帮助人们预测系统的行为和变化趋势。
在实际应用中，通过对系统参数进行调节，可以引发霍普夫分岔，从而实现系统状态的转变和控制。
第二篇示例：霍普夫分岔是一种在动力系统中经常出现的现象，即系统的行为在某些参数值发生微小改变时，可能会出现质的转变。
这种现象在分岔理论中扮演了重要角色，可以帮助我们理解复杂系统的行为。
在这篇文章中，我们将讨论霍普夫分岔的条件以及其在自然界和工程领域中的应用。
霍普夫分岔的条件可以通过动态系统的微分方程来描述。
考虑一个一维非线性动态系统，其状态变量为x，系统的演化由下面的微分方程描述：dx/dt = f(x,μ)其中f是系统的动力学方程，μ是系统的参数。
在某些参数值μ0附近，系统可能会产生霍普夫分岔。
分岔点通常是一个不稳定的定点，当系统的参数值超过这一点时，系统的行为将发生质的变化。
霍普夫分岔的条件可以用下面的公式来描述：f'(x*) = 0, f''(x*) ≠ 0其中x*是分岔点，f'(x*)和f''(x*)分别是系统在x*处的一阶和二阶导数。
四维超混沌系统Hopf分岔分析与反控制
四维超混沌系统Hopf分岔分析与反控制张良;唐驾时【摘要】对超混沌系统进行分岔反控制的研究已成为当前一个重要研究方向,常采用线性控制器实现反控制.首先,对一个四维超混沌系统的Hopf分岔特性进行了分析,利用高维分岔理论推导出分岔特性与参数之间的关系式,以此判断系统的分岔类型.然后,设计一个由线性与非线性组合成的混合控制器对系统进行分岔反控制,控制参数取值不同时,系统会呈现出不同的分岔特性.通过分析得出,调控线性控制器参数可以使系统Hopf分岔提前或延迟发生;同时,调控混合控制器的两个控制参数,可以改变系统Hopf分岔特性,实现分岔反控制.【期刊名称】《计算力学学报》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】7页(P188-194)【关键词】超混沌系统;Hopf分岔;混合控制器;分岔反控制【作者】张良;唐驾时【作者单位】湖南大学机械与运载工程学院,长沙410082;湖南大学机械与运载工程学院,长沙410082【正文语种】中文【中图分类】O313.7;Q175.131 引言分岔反控制是系统在预设参数点通过控制产生期望的分岔行为，是分岔控制的逆过程，不是消除或者避免分岔，而是产生分岔[1-9]，对混沌系统进行分岔反控制已成为非线性科学研究的一个新领域。
对此取得研究成果的文献不多，文献[1]详细介绍了Hopf分岔反控制的理论、方法和技术。
文献[2]分析了三维混沌系统出现的余维1、余维2和余维3 Hopf分岔,并提出了一个非线性控制器进行Hopf分岔反控制。
文献[3]利用Washout filters法对Chen系统进行时滞分岔控制。
对超混沌系统的研究主要集中在系统分岔特性的分析，很少对系统分岔反控制进行分析。
文献[10]应用多尺度法和奇异性理论，对处于磁场中轴向运动的导电薄板磁弹性动力学进行了分岔特性分析，研究了不同参数取值对系统表现出来的分岔和混沌的影响。
文献[11]对经典Lü系统进行演变，增设一个非线性状态反馈控制器，产生了一个新的四维自治系统，并对该系统进行了简要的超混沌特性分析，采用自适应法设计了控制器对这种混沌行为进行控制,但缺少对新系统的分岔分析和反控制。
一个类Lorenz混沌系统Hopf分岔反控制
一个类Lorenz混沌系统Hopf分岔反控制作者：张良唐驾时来源：《振动工程学报》2018年第05期摘要： 对混沌系统进行反控制可以实现分岔提前或者延迟发生，满足工程实际需要。
以一个类Lorenz 混沌系统为研究对象，根据Routh-Hurwitz 准则和高维Hopf 分岔理论，分析了系统Hopf 分岔特性；提出了一种动态状态反馈控制法，对系统进行Hopf 分岔反控制。
通过调控控制参数，可以在预定任意位置产生Hopf分岔，使Hopf分岔提前或延迟发生，达到了预期的反控制目的。
从分析结果看出，提出的动态状态反馈控制法可以避免复杂的计算过程，能够有效地实现对混沌系统的Hopf分岔反控制。
关键词：非线性振动；混沌系统； Routh-Hurwitz准则； Hopf分岔反控制；动态状态反馈控制法中图分类号： O322 文献标志码：A 文章编号1004-4523（2018）05-0752-07DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2018.05.004引言自1963年，E N Lorenz实验中偶然发现混沌吸引子，即Lorenz系统以来，对于混沌系统的认识和研究取得了极大的进步。
现在人们不仅关注发现新的混沌系统，更关注系统自身混沌和分岔特性的研究。
杨启贵等[1]提出了一个新的类Lorenz系统，分析了系统的规范型。
Mello 等[2]研究了一个三维类Lorenz系统的混沌吸引子，通过第一李雅普诺夫系数分析了系统的分岔特性。
Li等[3]提出了一个新的类Lorenz混沌系统，分析了该系统的同宿轨道，以及系统在不同平衡点下的分岔特性。
Shan Wang等[4]提出了一个五维类Lorenz系统，分析了系统分数阶分岔。
分岔控制与反控制已成为非线性动力学研究的重点方向之一。
而分岔反控制是分岔控制的逆过程，其主要目的是通过控制系统參数，使系统在预先设置的临界值上出现预期的分岔现象，是产生分岔的过程，而不是避免或者消除[5-10]。
一类三维混沌系统的Hopf分岔
统 （ ） 换成 带 ４个 常数 ａ ｂ Ｚ ＝Ｚ ｔ）的二维 线 ２转 ， ，， （ｏ 性 齐 次系统 。 因此 ， 的动力学 行为是 全局 的。 它
及稳定性 已引 起 广 大学 者 的关 注 ］ Ｈ 。最 近 ， 献 文 ［ ］ 出了一个带 两个平 方项 的三维 混沌系统 ４提
当Ｚｏ Ｏ ）＝等 时， 系统（） ２ 有无穷多个平衡点，
这 里不考 虑这种 情况 。
ｆ 口ｙ 戈 ＝ （ 一 ）
｛ ＝ｂ ｘ ｘ—ｌ ｚ
【 三：一 ＋ｈ ＋ｋ ２ ｙ
（） １
当ｚｔ （ ）≠÷ 时， 。 系统（ ） ２ 只有一个平衡点
ｏ（ ０ ｏ，）。对 系统 （ ） 于 平 衡 点 ｏ（ ， ）线性 化 ， ２关 ｏ０ 得 到如 下特 征方程
（） 争＜ ＜ ， ０ ， （有 Ａ 当‘ 名 口‘口 时系 ２ ２ ． ＞ 统 ） 叶
两 个负 实 根 ， 足 Ａ 满 。＜ ０，Ａ ＜ ０， 时 平 衡 点 此 Ｏ（ ０ ０，）为稳定 的结点 。
』 ＝ （一 口 ｙ
【 ＝ ｂ — ｌｚ ｘ ｘ
（ ２ ）
式（） ２ 中 ＝ｚ ｔ 视 为 已知 函数 。在 ｔ＝ｔ时刻 ， （） 。 系
数学
一
类 三维 混沌 系统 的 Ｈｏ ｆ 岔 ｐ分
李福琴 涂金忠
（ 三峡大学科技学院， 昌 ４ ３０ 湖北省宜 昌县小溪塔 高中 ， 宜 ４ ０２； 宜昌４ ３０ ） ４ ０ ２
摘
要
通过 Ｃ Ｅ Ｃ方法讨论 一类带 两个平方项的三维混沌 系统 的动力学行 为。其次 ， 用 ｔｅ ｒ ｙａｎ ｖ ｏｆｃ ｎ 方法 ＣＢ 运 ｈ ｓ Ｌｐｕ ｏ ｅｉｉ ｔ ｉ ｆｔ ｃ ｅ
一类三维混沌系统的Hopf分岔
0
B( , !) =
- 2c 1 !3
和
4( 1 !1 + 2 !2 )
5期
李福琴, 等: 一类三维混沌系统的 H opf分岔
12 01
C ( , !, ∀) = 0。 因此, 可计算出
-
1 4c
-
1 12c
6c 2 4c
J- -+ 1 =
1 4c
2i。
故根据文献 [ 5] , 得到 the f irst L yapunov coefficien:t
1 ( 0)
=
1 2
R
e
[
<
-
p, C ( q, q, q )
>-
2<
p,
B
( q,
-J-+
1
B
( q,
-
q)
)
>+
< p, B ( q-, H B ( q, q ) ) > ] =
1 Re [ - 2 < p, B ( q, s ) > + 4 2c
科学技术与工程
10 卷
PQ - R > 0, 其中
P = a + c, Q = ac + h2b+ckk, R = 2abc, 方程 ( 4)的根 都具有负实部。
定理 2 平衡点 E+ , E- 是渐进稳定的, 当且仅当
a>
0, c >
0,
( h + k ) ( a2 + ac) 2ah - 2kc
<
-
p, B ( q, r)
何谓hopf分岔
最近在做有关时滞微分方程的Hopf分岔的一些工作。
对Hopf分岔的认识还是不足，有几个问题还没搞明白，在这向大家请教一下。
1、发生Hopf分岔一定会发生稳定性变化？按Hopf分岔定理，只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔，那如果平衡点在参数没有经过分岔点时是稳定的，但实部对参数的导数在分岔点处是小于零的，意思就是说一对特征值到达分岔点后还是往下走，而不会穿过虚轴。
这样也满足Hopf分岔定理，但并没有发生稳定性变化。
2、对于实部对导数在分岔点处的值不等于零。
我觉得说得太含糊，有些文章只讨论大于零的情况，没讨论小于零的情况，按数学的理解，大于零也就是说关于参数是单调增加的，如果本来系统是稳定的，那么这时候随参数变化经过分岔点，那么稳定性是一定会发生变化的。
但如果本来系统是不稳定的，那这时候就不会穿过虚轴也就不会发生稳定性变化。
3、看过一些书有这样描述的：首先系统满足Hopf分岔定理，并且系统是稳定（不稳定）经过分岔点，变成不稳定（稳定），稳定（不稳定）周期解发生在不稳定的一侧。
这样说对不？这时候周期解的稳定性一定能确定吗？你说的第一点中“只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔”是不对的，这只是Hopf分岔定理的条件之一，发生Hopf 分岔最重要的条件是要求存在一对纯虚特征值，“实部对参数的导数不为零”成为横截条件，一般的非线性系统大都能满足。
对于非线性系统Hopf分岔的研究，一般需要解决如下三个方面的问题：（a）Hopf 分岔的存在性，即系统是否存在周期解，这是Hopf分岔研究中需要解决的基本问题。
目前，已有多种方法可作为Hopf 分岔存在性的判据；（b）Hopf 分岔的方向，即在参数的什么范围内出现分岔；（c）Hopf 分岔的稳定性，即如果存在周期解，其稳定性如何（超临界或亚临界）。
Hopf 分岔的方向及其稳定性的研究中，需要通过复杂的计算得到系统的横截系数和曲率系数（或称为Floquet指数）。
非线性系统的动力学特征
非线性系统的动力学特征随着科学技术的不断发展，我们的世界已经不仅仅是简单的直线和等比例增长了。
许多自然现象和社会现象都具备非线性效应，即当变化量一定程度时，响应量发生不同比例的变化。
而这种非线性效应在数学上就被称为非线性系统。
非线性系统的复杂度比线性系统高得多，因为它们的动力学特征更加多样化和复杂。
本文将介绍非线性系统的一些动力学特征。
混沌混沌是非线性系统的重要动力学特征之一。
混沌是指一种随着时间的推移，系统状态看似随机变化，但在实质上，其随时间变化的规律性是存在的。
而且，即使是经过无数次重复，这种规律性仍然不可能通过简单的数学公式来精确描述。
混沌现象最早在20世纪60年代被发现，但直到今天，仍然没有一个统一的理论来描述它。
不过，在实践中，混沌理论已经在很多领域得到了广泛的应用，比如通信、物理、化学等等。
李亚普诺夫指数李亚普诺夫指数是测量非线性系统混沌程度的指标之一。
它可以通过计算在系统离开初始状态后，所谓的李亚普诺夫指数能够测量随着时间的推移，系统状态间的距离发生的相对距离的增加速度。
通过计算李亚普诺夫指数，能够评估系统状态是否具有混沌特征，以及混沌程度大小的量化测度。
对于非线性系统，李亚普诺夫指数提供了一种量化分析混沌程度的方法，对于研究非线性系统的动态行为具有重要意义。
分岔分岔是指非线性系统中参数变化的一种动力学特征。
简单地说，当改变系统参数的大小时，系统的行为方式也会发生变化。
分岔现象的本质是系统动力学行为的非线性响应。
分岔的一种典型形式是周期倍增分岔。
这种分岔现象就是当系统参数超过某个特定的临界值时，系统的周期性响应会呈现一种倍增形式。
在数学上，周期倍增分岔被称为Feigenbaum常数。
这种分岔现象在许多领域得到了广泛的应用，比如天文学、生态学、材料科学等。
自组织自组织是非线性系统的另一种重要的动力学特征。
它指的是，当系统的所有部分之间的相互作用和反馈机制形成一种稳定的结构时，系统会表现出一种自组织现象。
非对称双环神经网络系统的稳定性和Hopf分岔
单环结构的研究，却忽视了环状神经元网络结构环与环之间的拓扑
联系．单环神经元网络模型的研究对神经元网络的研究是一种进步，
但是对于神经元网络的研究来讲仍然有很大的研究空间．此外，Ｃｈｅｎｇ
等 ［１３］ 研究了一类三个三角形的环型时滞耦合神经元网络，但是其每
复杂的神经元网络结构不可能只由一个
环形结构来准确表述，因此研究具多环
拓扑的神经网络模型更具实际意义． 本
文提出了一种非对称双环神经元网络模
型，选择单环的时滞和为分岔参数，分析
了双环模型的稳性和 Ｈｏｐｆ 分岔． 最后
给出数值仿真对结论进行了验证．
关键词
神经元网络；Ｈｏｐｆ 分岔；离散时滞；
环型网络
ＤＯＩ：１０．１３８７８ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｎｕｉｓｔ．２０１９．０４．０１３
周帅１ 肖敏１ 邢蕊桃１ 张跃中１ 程尊水２
非对称双环神经网络系统的稳定性和 Ｈｏｐｆ 分岔
摘要
环型结构在神经网络中普遍存在，
目前对环型神经动力学分岔研究大多数
局限于单环情形． 值得注意的是，神经网
络由成千上万个神经元耦合而成，这些
分显著的．时滞往往会导致系统的动力学行为变差，使得系统的稳定
区域变窄，甚至在比较苛刻的情况下，时滞会导致系统平衡点失稳．因
此，研究神经元网络中时滞对系统动力学行为的影响具有特别重要
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学报（ 自然科学版） ，２０１９，１１（４） ：４４６⁃４５２
个环都具有三个节点，不具有非对称的一般性． 本文考虑了具有不同
节点数的两个环型神经元网络的耦合结构，对其进行稳定性和 Ｈｏｐｆ
一个特殊三维混沌系统的退化 Hopf分岔
和:
定理1 系统(1)在平衡点E0处的第一Lyapunov系数为
若c＞0且，则当a=a0=0时，系统(1)在平衡点E0处有余维－1的横截Hopf点.具体而言，当a=a0=0且0＜c＜c1或c＞c2时，E0是渐近稳定的，当a＜a0=0且充分接近a0时，E0失稳且在其附近存在一个稳定的周期轨;当a=a0=0且c1＜c＜c2时E0是不稳定的，当a＞a0=0且充分接近a0时，E0渐近稳定且在其附近存在一个不稳定的周期轨.
证明 因为函数 C(X，Y，Z)=(0，0，0)，所以:G21=〈p，B(q－，h20)+2B(q，h11)〉，其中复向量h11和h20的定义和计算方法见文献［4］中第27页.通过计算得到:
因此
将代入上式，得到G21的实部即第一Lyapunov系数为
可见，当0＜c＜c1或 c＞c2时 l1(a0，c)＞0;当 c1＜c＜c2时 l1(a0，c)＜0.
图1 系统(1)的分支图Fig.1 Bifurcation diagram of system(1)
证明 沿用文献［4］中的记号及其相应的计算式，由:C(X，Y，Z)=D(X，Y，Z，U)=E(X，Y，Z，U，V)=(0，0，0).可以算得:
其中复向量h11的值已在定理1的证明中给出，h21，h30，h22和h31的计算方法与h11类似，由于其表达式过于冗长，此处不一一列出.第二Lyapunov系数的定义式为:
一个特殊三维混沌系统的退化 Hopf分岔
பைடு நூலகம்朱道宇
【摘 要】研究了一个特殊的三维混沌系统的动力学行为。通过计算非双曲平衡点处的第一和第二Lyapunov系数，讨论系统发生Hopf分岔和退化Hopf分岔时极限环的稳定性，揭示两种不同类型的吸引子共存的产生机制。%The dynamical behavior of a special 3D chaotic system is studied .Hopf bifurcation and degen-erate Hopf bifurcation are discussed by computing the first and second Lyapunov coefficients associated to a nonhyperbolic equilibruim ,which gives an analytical proof of the mechanism for the birth of two different types of attractors .
一个新系统的Hopf分岔与混沌运动
68
电路与系统学报
第 15 卷
对于相反时间的轨道，做变换 τ = −t (t > 0) ，则方程（ 1）化为 ⎧dx / dτ = x − y − yz ⎪ ⎨dy / dτ = − y + xz ⎪dz / dτ = bz − xy ⎩ 完全类似于 t > 0 情形的讨论，假设
3
− q / 2 + ∆ + 3 − q / 2 − ∆ < −2C1 / 3 = −2b / 3 ，
(i = 1,2)
（ 8）
接着用待定系数法 来找出连接 E1 ( E2 ) 的同宿轨。 对于连接 E1 的同宿轨，当 t > 0 时假设
x(t ) = b + ∑k =1 ak e kαt ， y (t ) = p1 b + ∑k =1 bk e kαt ， z (t ) = p1 + ∑k =1 ck e kαt
c2一cl23qcac1c232c1227aq2p3则如果a03有唯一实根由于c30detje012故实根是负的为保证共轭复根的实部是正数从而平衡点ei一一2g3一2b3128接着用待定系数法来找出连接巨e2的同宿轨
第 15 卷 第 2 期 2010 年 4 月
文章编号： 1007-0249 (2010) 02-0066-04
摘要： 利用解析方法和数值方法研究了一新三维系统 Hopf 分岔解的稳定性。利用 Si’lnikov 方法研究了该系统的 混沌运动，严格地给出了系统产生混沌的机理与相应的参数条件。数值模拟验证了理论分析的结果。 关键词： Hopf 分岔；混沌； Si’lnikov 方法 中图分类号： O322， TN901 文献标识码： A
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学校代码：11517学号：200810111144HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING文献翻译题目非线性动力系统的分岔与混沌研究学生姓名尚卫娟专业班级信息0841班学号200810111143系（部）数理科学系指导教师(职称)王霞完成时间 2012年02月18日Genesio系统的混沌Hopf分岔和Shilnikov南京航空航天大学数学系，南京210016，中国南京航空航天大学力学系，南京210016，中国摘要Genesio系统，这是一个被认为是只有一个二次非线性项的三维系统。
它对一些参数有两个平衡点。
我们对Hopf分岔进行了讨论，并已用待定系数法证明此系统的同宿轨道的存在。
因此，Shilnikov标准保证Genesio系统具有Smale马蹄混沌。
1 引言混沌是最迷人的现象之一。
在过去几十年，非线性动力系统的混沌现象的研究得到了人们的十分重视，详见【1】Lorenz混沌系统，【2】罗斯勒系统，【3】陈系统，【4】陆系统等。
人们对简单的一个或两个非线性项的混沌系统是特别感兴趣的。
Genesio和Tesi提出的Genesio系统混沌系统的典型之一，因为它抓住了混沌系统的许多功能。
其中包括一个二次项，包含三个简单的常微分方程三负的实际参数。
人们对很多关于本系统的同步工作都进行了研究。
Ju通过反演方法和自适应控制器的设计研究Genesio混沌系统的同步。
Chen和Han通过非线性反馈控制研究Genesio系统控制与同步。
吴等人研究陈系统和Genesio系统之间的同步。
就我们所知，这一类系统的Hopf分岔和Si'lnikov混沌的研究还没有完成。
在本文中，讨论了Hopf分岔，和详细的研究，利用待定系数法，这是由周和陈系统，Lorenz，广义Lorenz规范家庭制度的成功使用的Si'lnikov同宿轨道的存在动力系统和一些新的混沌系统的形式。
2 Genesio系统的分岔分析2.1 一般的动态分析给出Genesio系统的动力学方程：2x y y z z ax by cz x=⎧⎪=⎨⎪=+++⎩ (1) 其中x ，y ，z 是状态变量，a ，b ，c 是负参数。
当a=-6，b=-2.92，c=-1.2时，系统（1）具有混沌吸引子，如图（1）。
图（1）a=-6，b=-2.92，c=-1.2时，系统（1）的相图。
当a<0,b<0,c<0时，系统（1）有两个平衡点1E (0,0,0), 2E (-a,0,0)。
在1E 下，系统的雅克比矩阵为：1010001E DF a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(2) 1E DF 的特征方程为：132det()0E I DF c b a λλλλ-=---= (3)由于各方面系数为正，特征方程没有正实根。
因此它具有至少一个负实根。
根据Routh-Hurwitz 判据，E1是稳定的，当且仅当满足以下条件：0,0,()0c bc a a bc a ->+>+< (4) 因为a<0,b<0,c<0，我们只需将bc+a>0即可。
令3c λμ=+，方程式（3）化为： 3110p u q μ++= (5)当2311121,3273p c b q c bc a =--=--- (6) 另外，记23111,23q p ⎛⎫⎛⎫∆=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(7) 当10∆>，代数方程(5)有唯一的实根1γ和一对共轭复根11i ρω±，其中1111,2.2γρω=+⎛=-+ ⎝⎛==- ⎝因此10∆>时，特征方程（3）的三个根分别为：1,111,2111,311111,,,333c c i c i λγλρωλρω=+=++=+- (8)其中i =。
显然我们可以得出这样的结论，1,1λ<0，因为1,1λ1,2λ1,3λ=a<0。
为了确保共轭复数根的实部为正且平衡点是鞍焦点，它进一步要求23c +< (9) 所以1∆> 0和(9)保证平衡点E1是鞍焦点。
在2E 下，系统的雅克比矩阵为：2010001E DF a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ （10）2E DF 的特征方程为：()132det 0E I DF c b a λλλλ-=--+= （11） 根据Routh-Hurwitz 判据，2E 是稳定的，当且仅当满足以下条件：0,0,()0.c bc a a bc a ->->-> （12） 由于a<0，b<0，c<0，不能满足（12），所以2E 是不稳定的。
令3c λμ=+，（11）化为： 3220,p q μμ++= （13） 其中232121121=-,2.3273p c b p q c bc a q a -==--+=+ （14）此外，记2322223q p ⎛⎫⎛⎫∆=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （15）当20∆>，代数方程(13)有唯一的实根2γ和一对共轭复根22i ρω±，其中：2221,2.2γρω=+⎛=-+ ⎝==- 此外，当20∆>时，特征方程（11）的三个根分别为：2,122,2222,322111,,,333c c i c i λγλρωλρω=+=++=+- （16） 容易看出2,1λ>0，因为2,1λ，2,2λ，2,3λ>0。
为确保共轭复数根的实部为负，即2E 是鞍焦点，它进一步要求：23c +> （17）2.2 Hopf 分岔如果1E 是不稳定的，方程（3）有两个共轭复根。
在稳定区域的边界,令23,i i λωλω==-，且0ω>，我们得到：123c λλλ++=。
（18）所以1c λ=，且320().()f c c c c bc a a bc ==---=-+ （19）即h a bc =-。
代2i λω=与（3），我们得到32()()0i c i bi a ωωω---= （20）其中ω=。
令12/,Im()h a c a b λβλ≡==-≡== （21） 我们有()1/0,()1/(20h h a b a αβ''=-≠=-≠ （22）由[17] Hopf 分岔时可能出现的h aa =令n c 成为n 维复Hilbert 空间内积1,n i i i x y x y ==∑，因为12(,,...,)T n x x x x =，12(,,...,)T n y y y y =。
考虑如下非线性系统(),n x Ax F x x R =+∈ （23） 其中2()()F x O x =是一个光滑函数，并且它可以扩展成 411()(,)(,,)()26F x B x x C x x x O x =++ （24）其中(,)B x x ，(,,)C x x x 分别为双线性和三线性函数。
在方程（21）中，如果矩阵A 有一对纯虚根1,2,0i λωω=±>，令n q C ∈为一个复杂的特征值1λ相对应的特征值，然后我们得到,Aq i q Aq i q ωω==-。
同时，我们引进的伴随特征向量n p C ∈，其满足下列条件：,T T A p i p A p i p ωω==- （25） 且有,1p q =。
系统（21）再原点O 的的第一李雅普诺夫系数可以写成如【15,16】的样子 1111(0)Re(,(,,)2,(,(,)),(,2)(,)))2l p C q q q p B q A B q q p B q i I A B q q ωω--=<>-<>+<->当h a a =，系统（1）的雅克比矩阵在1E 的值为010001A bc b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ （26） 接下来，我们将计算方程（25）中矩阵A 相应的向量p,q 。
通过繁琐的计算，我们有11b p i b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （27） 和1(ci q bc i bc ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （28） 它们满足,T Aq i q A p i p ωω==-和,1p q =。
对于系统（1），双线性和三线性函数分别是0(,)0B X X xx ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪'⎝⎭ （29） 和0(,,)00C X X X ⎛⎫ ⎪'''= ⎪ ⎪⎝⎭。
（30）其中(,,),(,,),(,,)T T T X x y z X x y z X x y z ''''''''''''===。
通过形如（26）—（29）的一些繁琐的操作，我们有()0,01B q q ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， （31） ()0,01B q q ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭（32） 且 1111100010cb bc A -⎛⎫- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭（33） 令1(,)s A B q q -=，我们有()2220,01(B q s b c i bc b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭，（34） 因此2221(,(,))b c p B q s bc b c -+=+ （35） 重新令1(2)(,)s i A B q q ω-'=-，我们可以得到()0,01B q s ⎛⎫ ⎪ ⎪' ⎪= ⎪⎪⎪⎭， （36）,(,)p B q s '=， （37）图（2）所以，我们有1111(0)Re(,(,,)2,(,(,)),(,2)(,)))2l p C q q q p B q A B q q p B q i I A B q q ωω--=<>-<>+<-> 1Re(2,(,),(,))2p B q s p B q s ω'=-<+<>>4222422632= （38） 所以系统（1）提出的Hopf 分岔在1(0)0l <时是超临界状态，在1(0)0l >是亚临界状态。
尤其当b=c 时，5462371(0)l =容易知道，当(0.93,0)b ∈-时，1(0)0l >，当(,0.93)b ∈-∞-时，1(0)0l <。
所以系统（1）提出一种Hopf 分岔，在(0.93,0)b ∈-时为亚临界状态，在(,0.93)b ∈-∞-时为超临界状态，见图（2）。
3. 数值模拟在本节中已获得使用四阶Runge-Kutta 方法的数值结果。
我们修正b=-2.92，c=-1.2，a 变化，并获得相位图，如图（3）。
图（3）4. 结论我们已经对Genesio系统的动力学行为，即一个立体的只有一个非线性项的二次系统，进行了研究。