质点运动学及牛顿运动定律

r
r
在非惯性系引入虚拟力或惯性力 F0 = ma0
在非惯性系 S '系
rr
r
F F0 = ma
牛顿第二定律在非惯性系形式上成立
结论可推广到非平动的非惯性系，如转动参考系。
例：惯性离心力
S' 在 S 向心加速度 a = r 2
T
S'
rr
质点 m 在 S ' 静止 T F0 = 0
S
r
Fr0 F0
Δr
Δr′
r r r A
· A′
Δr0
o
A′ o′
v = v u
rr r
a = a a0
x′
x
-------伽里略速度变换 长度测量的绝对性 时间测量的绝对性
r
Br
rAB
rK3B
r
A r
r rArK1
r
rK 2 K 3
rK1K2
r
r
r
rAB r
=
rrAK1
rrK1K2
rK r
2
K
3
r
rK
3B
y
=
v0t
sin
1 2
gt 2
vx = v0 cos , vy = v0 sin gt
描述质点运动的状态参量的特性：
（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。 （2）瞬时性。状态参量一般是时间的
函数。 （3）相对性。对不同参照系有不同的
描述。
处理力学问题应使用统一座标系！
作业：书 1－9、1－10、1－24、1－26
r(t)
0
0
y
Δr
Δr r(t+Δt )
瞬时速度
r
v = lim
t 0
r v
=
r dr
r r(
t
x
r
t ) r ( t
t r r r
) r v
= lim t 0
=v=
r r tr dr
=
r dr dt dr
dt
v = ds
dt dt
dt
r v
=
dx
r i
dy
r j
dz
r k
dtr dtr drt
电磁力、弱力统一为——电弱相互作用 超统一理论（大一统理论）？！
三、非惯性系和惯性力
1、惯性系和非惯性系
静止
E
a
S a
在 E 参考系， 运动符合牛顿定律，在 S 则不然
牛顿定律在惯性系成立
近似惯性系
地面参考系，自转加速度 地心参考系，公转加速度
a ~ 3.4 cm/s2 a ~ 0.6 cm/s2
r P1
§3.3 动量守恒定律
质点系所受合外力为零，总动量不随时间改变，即
r
P=
N
r pi
= 常矢量
i =1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
pix = const.
3. 只适用于惯性系；
i
4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
书P140 例3－5
§3.4 质心
x2
dt
dt dx
dx
k dx = mvdv x2
2k k = m v2 AA 2
AA
/
2
kdx x2
= 0vmvdv
v
=
2k mA
1/2
例3. 一质量分布均匀的绳子，质量为 M，长度为L，一 端拴在转轴上，并以恒定角速度在水平面上旋转。设 转动过程中绳子始终不打弯，且忽略重力，求距转轴 为r处绳中的张力T(r) 。
d dt
( r
mvc = mivi
r
rr
r
r
mi ri ) =
mi vi
mr
rm
p = mvc (对时间求导)
F外==mmaaCC ——质心运动定律
质心的运动仅仅决定于外力，与内力无关
合外力为0时，质心速度不变
N个粒子系统，可定义质量中心
z
r
r ri
mi
rc
y
x 对连续分布的物质
ximi xdm
xc = i=1 m
= m
Nr Nr
r
rc
=
mi ri
i =1 N
mi
mi ri = i=1
m
i =1
mi xi
xc =
i
m
mi yi
yc =
i
m
mi zi
zc =
i
m
例3.8 ：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此
v
=
mg
F
kt
(1 e m
)
k
式中t 为从沉降开始计算的时间
证明：取坐标，作受力图。
mg kv F = ma = m dv dt
F
f
a x
mg
mg kv F = ma = m dv dt
初始条件：t=0 时 v=0
v
dv
t
= dt
0 ( mg kv F ) / m 0
kt
v = ( mg F )(1 e m ) / k
§1.7 圆周运动
v
线速度 v = lim s = ds
R 0
ΔS
Δθ
θ
ω,α 角速度
x
t0 t
= lim
t0 t
dt
= d
dt
v = R
角加速度
=
d
dt
=
d 2
d 2t
r v (t
t )
vr (t )
r 切向 t
r 内法向 n
R
O
r v
r v( t t )
rr r
v = vtt vnn
y( t )
质点（或物体）的 位置随时间的变化。
x( t ) 0
y
x rr 位置矢量（或矢径） r = r (t )
运动的叠加（或合成）原理:
运动方程
r
r
r
r
r (t) = x (t)i y (t)j z (t)k
§1.2 位移和速度 z
平均速度
r v
=
Δ
r r
Δt
P1
·
ΔS
Δr
·P2
r(t) r(t+Δt )
得证。
例2.已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动,质点只受到 指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比,即 f = k/x2, k 是比例常数,设质点在 x = A 时的速度为零,求 x = A / 2 处的速度大小。
解：根据牛顿第二定律：
f = k = m dv = m dv dx = mv dv
y
例2：一质点加速度为
x
rrr
a = 2i 3tj
t = 0时，x0 = 5m, y0 = 0, v0 = 0
求：质点的运动方程。
r
例
v0
l
h
求：船速靠岸的速率
解： s = l 2 h2
s
l = v0
s = lv0 s
§1.4 匀加速运动
ar 为常矢量 rr (r0 , v0 )
r v r r
X
r v
=
vt
r t
vn
r n
r
t t t
v(t )
vn
rr r a = att ann
vt
r v
r v( t t )
r v(t )
vn
vt
vt = v( t t ) v( t ) = v
an = R 2
at
=
dv dt
= R
vn = v( t )
an
=
lim
t 0
t
v( t
)
= v( t ) = R 2
任何物体如果没有力作用在它上面，都将保持静止 的或作匀速直线运动的状态。 惯性质量和惯性系
2.
牛顿第二定律
r F
=
r dp
=
d
(
r mv
)
dt dt
m为常量
rr F = ma
当m改变时（如高速）仍成立！
3. 牛顿第三定律(作用力与反作用力)
作用力与反作用力大小相等、方向相反，作用在不同物体上
二、基本的自然力
r Fj
r f ji
=
r f ji
d(
r = dPj r dtr Pi Pj
dt
)
··
·
r
Fi
N
r
N r d Pi
对所有N个粒子：
Fi =
r i=1
i =1
dt
r
质点系的动量定律： Fdt = dP
r Fj
=
rr d( Pi Pj
r F
dt r = dP
)
dt
t2 t1
r Fdt
=
r P2
力学
第一章 质点运动学
§1.1 质点的运动函数 §1.2 位移和速度 §1.3 加速度 §1.4 匀加速运动 §1.5 匀加速直线运动 §1.6 抛体运动 §1.7 圆周运动 §1.8 相对运动
§1.1 质点的运动函数
质点
参考系
运动的相对性 坐标系
z z( t )
P( t )
·
r( t )
质点运动学：描述
半圆形铁丝的质心。
解：选如图坐标系，取长为dl
的铁丝，质量为dm，以λ表示
c
线密度，dm=dl.
d
yc
=
ydl
m
y = R sin dl = Rd
yc
=
1 m
R sinRd
0
= 1 2R2
m
m = R
yc
=
2
R
注意：质心不在铁丝上。
§3.5 质心运动定律
r
vc
= r
r drc dt
=
方向、大小 的改变
令 t 0
t0 t dt
加速度合成
r a=
dvx dt
r i
dvy
dt
r j
dvz dt
r k
=
rrr axi ay j azk
r a= a =
ax2
a
2 y
az2
例1：一质点运动方程为
求：x= -4时（t>0) 粒子的速度、速率、 加速度。
x = t2 y = t 4 2t 2
太阳参考系，绕银河系加速度 a ~ 3 10-8 cm/s2
2、惯性力
r
设质两r点个S 系平m为动在惯参S性考系系系，之S间Fr，系=加相速m对度Sar系变以换加速aarr度物a对=0S平=ar动ar物 S ararS0S
F r r 不随参考系变化 在 S ' 系 F ma'
牛二在非惯性系不成立
at
=
lim
t 0
v t
=
dv dt
= lim R = R
t0 t
r at t
r a
r ann
R
a = at2 an2
= tg 1 an
at
一般曲线运动
R R为曲率半径
§1.8 相对运动
两个相对平动参照系
y
y′
S
S′
S′相对S平动，速度为 u
rr r
r = r r0
u rr r
B·
v = v v0
在r 处取质元dr，质量为 Mdr/L。
T( r ) T( r dr ) = M dr r 2
L
dT = M dr r 2
L
而 T( L)= 0
T(r)
T( r ) = M 2( L2 r 2 )
2L
r dr
dr
T(r+dr)
第三章 动量与角动量
§3.1 冲量与动量定律 §3.2 质点系的动量 §3.3 动量守恒定理 §3.4 火箭飞行原理（自学） §3.4 质心 §3.5 质心运动定理 §3.6 质点的角动量 §3.7 角动量守恒定理
vAB = vAK1 vK1K2 vK2K3 vK3B
第二章 牛顿运动定律
§2.1 牛顿运动定律 §2.2 SI 单位和量纲（自学） §2.3 常见力（自学） §2.4 基本自然力 §2.5 应用牛顿定律解题 §2.6 惯性系和非惯性系 §2.7 惯性力
一、牛顿运动定律
1. 牛顿第一定律（惯性定律）和惯性系
的效果。
在短时间r的冲击过程中内，
平均 冲力
r F
=
r P
=
r P2
r P1
Ft = P
t t2 t1
例：逆风行舟
u
v
v
f
f||
f
m
龙骨
V
pi
pf
v
p
§3.2
r Fi
质点系的动量
ir ·f ij
·
· r· f ji j
r Fi
r Fj
r Fi
r fij =
r fij
r dPi dt
r Fj
1、万有引力： G=6.6710-11Nm2/kg2
f
=
Gm1m2 r2
例、地球对物体的引力P＝mg=GMm/R2
2、电磁力：（库仑力）f=kq1q2/r2
k=9 109Nm2/C2
电磁力>>万有引力！
3、强力：粒子之间的一种相互作用， 作用范围在0.410-15米至10-15米。
强子：质子，中子，介子
§1.6 抛体运动
rr 典Biblioteka Baidu的匀加速运动， a = g
y
v0
0
运动叠加和运动的独立性
x
运动平面在
rr (v0 , g)
内
x0 = y0 = 0
v0x = v0 cos
ax = 0 ay = g
v0y = v0 sin
r r
=
r r0
r v0t
1 2
r at
2
rr r v = v0 at
x = v0t cos
= =
r dr dt
=
r v0
r at
r r0
r v0t
1 2
r at
2
初始条件给定，质点运动确定
地面 ar = gr
§1.5 匀加速直线运动
r
r
a 为常矢量，且和 v0 在一条直线上
只用一维描述
x
=
x0
v0t
1 at 2 2
典型：自由落体
* 实际有些自由落体受空气阻力很大，如雨点最终匀速运动， 此时速率称收尾速率（~10m/s）
强子夸克色核色力胶子
4、弱力：粒子之间的另一种作用力， 力程短、力弱（10－2牛顿）
四种基本自然力的特征和比较
力的种类 相互作用的物体 力的强度 力 程
万有引力 一切质点
弱力
大多数粒子
电磁力 电荷
强力
核子、介子等
10－34N 10－2N 102N 104N
无限远 小于10－17m 无限远 10－15m
§3.1 冲量与动量定律
力对时r 间的dP积r 累，
r I
——Fr力对t 时即间冲的量积累Ir效＝果t2
rr
t1
r Fdt
F=
Fdt = dP
r
I＝
td2 tFrdt
=
t1
t2 t1
r dP
=
r P2
r P1
——动量定律
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
动量的改变—冲量—是效果，不同的力可产生相同
= vxi vy j vzk
速度的叠加：速度是各分速度之矢量和
速率
r v= v =
vx2
v
2 y
vz2
§1.3 加速度 z v (t )
平ar均=加速度vr
P·1
P·2 v (t+Δt )
r(t) r(t+Δt )
t
0
y
v (t ) Δv
v (t+Δt )
瞬时加速度
xr a
=
lim
r v
=
r dv
=
=
m r 2
m
2
r r
离心方向 惯性离心力
rr r
F F0 = ma
四、应用牛顿定律解题
要点：隔离物体、分析受力、建立坐标、列出方程。
例1、质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当 它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为 常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的 关系为