小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算

定义新运算

教学目标

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨

一定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.

如：2＋3＝52×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类

1.直接运算型

2.反解未知数型

3.观察规律型

4.其他类型综合

例题精讲

模块一、直接运算型

【例1】若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘

积。

由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）

【巩固】可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12

＝312

【答案】312定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。6△（3△4）

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【巩固】【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）

÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7

【答案】7

设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2)△3=_____.

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】56552613

=⨯-⨯=△52552221=⨯-⨯=△,1321216435

=⨯-=△【答案】435

【巩固】P 、Q 表示数，*P Q 表示2

P Q +，求3*(6*8)【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星

【题型】计算【解析】68373*(6*8)3*()3*7522

++====【答案】5【巩固】已知a ,b 是任意自然数,我们规定:a ⊕b =a +b -1,2a b ab ⊗=-,那么

[]4(68)(35)⊗⊕⊕⊗=

.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【解析】原式4[(681)(352)]4[1313]=⊗+-⊕⨯-=⊗⊕4[13131]425=⊗+-=⊗425298

=⨯-=【答案】98

【巩固】M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____

=【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】走美杯，3年级，初赛

【解析】原式()()200820102*20092009*20092009200922009

=+÷==+÷=⎡⎤⎣⎦【答案】2009

【巩固】规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a

么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，四年级，二试

【解析】19

【答案】19

【例2】“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。如果1△2

＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】1△2＝1×c ＋2×d =5，2△3＝2×c ＋3×d =8，

可得c =1,d =2

6△1000＝6×c ＋1000×d =2006

【答案】2006

【巩固】对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝2m a b a b ⨯+⨯⨯（m 是一个确定的整数）。如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。

【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星

【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】根据1⊗4=2⊗3，得到

1423214223m m ⨯+⨯+=⨯⨯⨯⨯，解出m =6。所以，634113423412

⨯+⊗==⨯⨯。【答案】11

12【例3】对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=

2x y x y x y ⨯⨯∆+,求2△9。【考点】定义新运算之直接运算

【难度】2星【题型】计算【关键词】北京市，迎春杯【解析】根据定义6=2x y x y x y

⨯⨯∆+于是有62922952295⨯⨯∆==+⨯【答案】255

【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=

+++，已知()()11221212113

A *=+=⨯++，求19981999*。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算

【解析】根据题意得()()()()()()12111,,2116,1211322116

A A A A =-=++==++++，所以()()111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000399811998199920001998000+*=

+=+=⨯++⨯⨯⨯⨯==⨯⨯【答案】11998000

【例4】[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:

([18][22])[7]+÷=

.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【解析】因为21823=⨯有(11)(21)6+⨯+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.

原式(64)25=+÷=.

【答案】5

【巩固】x 为正数,表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么

<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.

【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算

【巩固】【解析】<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,

所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

【答案】11

定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例

如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.