高二数学下学期期末考试试题 理

峨山一中2014—2015学年下学期期末考高二数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分为150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用黑色碳素笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题 60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合A =2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则A B =.A (1,3) .B (1，4) .C (2，3) .D (2，4) 2. 已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =A. 2i --B.2i -+C. 2i -D.2i + 3.下列函数为奇函数的是 A.y x =sin y x = C.cos y x = D.x x y e e -=-4.若2,4a b ==，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角是 A ．3π B ．23π C ．43πD ．23π-5.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A. 2214y x -= B.2214x y -=正视图侧视图C.2214y x -=D.2214x y -=6.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注 水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是7.已知x 、 y 满足约束条件100,0x x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为A. -2B. -1C. 1D. 28.已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A.172 B. 192C. 10D. 12 9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为 A ．2 B ．1 C ．21D ．1-10.下列说法正确的是DA. “0x <”是“ln(1)0x +<”的充要条件B. “2x ∀≥，2320x x -+≥”的否定．．是“2,x ∃<2320x x -+<” C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60D. 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为0.811.已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于Othh t Oh t OOth BADCA. 21n -B. 121n --C. 121n -+D.21n +12.已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<则A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<C ．2(log )(2)(3)a f a f f <<D ．2(log )(3)(2)a f a f f <<第II 卷（90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 .（用数字作答） 14.设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 15.曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .16.已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为__________.三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.18.（本小题满分12分）如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA 1，∠ABC=90°，M 是BC 中点。

(Ⅰ)求证：A 1B∥平面AMC 1；(Ⅱ)求直线CC 1与平面AMC 1所成角的正弦值。

ABCA 1B 1C 1M19.（本小题满分12分）为了了解在校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查,得到了如下列联表: 男生 女生 合计 收看 10 8 合计30已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是158. (I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关? (II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X,求X 的分布列和均值. 附表及公式2()p K k ≥0.15 0.100.0500.0100.001k2.0722.7063.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a d c d a c b d -=++++20.（本题小满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点).21.（本小题满分12分） 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+， （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.22.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.峨山一中2014-2015学年下学期期末考 高二理科数学参考答案 一、选择题：60分1~12: CCDBC BDBCD AD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13、 80 14、1215、16 16、144π三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c ∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a . ………6分（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cC a A ,∵c a <，∴C A <,故A 为锐角， ∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. .……12分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接1A C 交1AC 于O ,连接OM . 在三角形1A BC 中，OM 是三角形1A BC 的中位线， 所以OM ∥1A B ,又因OM ⊂平面1AMC ，1A B ⊄平面1AMC所以OM ∥平面1AMC 。

………6分(2)如图以BC 所在的直线为x 轴, 以BA 所在的直线为y 轴, 以1BB 所在的直线为z 轴，以1BB 的长度为单位长度建立空间直角坐标系. 则(0,0,0)B ,(2,0,0)C ,(0,2,0)A ,(1,0,0)M ，1(2,0,1)C ,1(0,1,0)B ,1(0,2,1)A .设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ，平面1AMC 的法向量为(,,)n x y z =.则有1(0,0,1)CC =,(1,2,0)AM =-,1(1,0,1)C M =--， 100n C M n AM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，200.x y x z -=⎧⇒⎨--=⎩，令2x =,得(2,1,2)n =-， ∴122sin cos ,33n CC θ-=<>==. …………12分 19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 男生 女生 合计 收看 10 6 16 不收看 6 8 14 合计161430由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 .…………6分 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.211661022161611(0),(1)82C C C P X P X C C ======，2102163(2).8C P X C === 所以X 的分布列为:X 0 1 2P18 12 38X 的均值为:1135012.8284EX =⨯+⨯+⨯=………12分20.（本题小满分12分）解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1. …………4分(2)证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m.直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，…………8分 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3. 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为2262,33m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭所以直线OM 的斜率OM k ＝－m3，又直线OT 的斜率OT k ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . …………12分21.（本题小满分12分）解：（1）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． ………4分（2）由（1）可知，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++， 因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+， 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………8分（3）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤， 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x (,0)-∞(0,)∞+()f x ' -+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a'=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数． 而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-； 当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+． ………12分 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=; ………5分 (Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,aa 由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩, ∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π),(2,)2π. ………10分。