小学数学 速算与巧算

速算与巧算

知识要点

在各类数学竞赛中，都有一定数量的计算题。计算题一般可以分为两类：一类是基础题，主要考查对基础知识理解和掌握的程度；另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目，主要考查灵活、综合运用知识的能力，一般分值在10分到20分之间。这就要求有扎实的基础知识和熟练的技巧。

1.速算与巧算主要是运用定律：加法的交换律、结合律，减法的性质，乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，除法的性质等。

2.除法运算规律：

(1)A÷B＝1÷B A

(2)a÷b±c÷b＝(a±c)÷b

3.拆项法：

(1)111

1(1) n n n n

=+

++

(2)

11 ()

d

n n d n n d

=-

++

(3)

1111

() ()

n n d d n n d

=-

++

(4)

1111 (1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n

⎡⎤

=-

⎢⎥+++++

⎣⎦

(5)

22

(1)111

11

(1)11

n n n n

n n n n n n +++

=+=-++ +++

(6)将1

A

分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数a1和a2，然后分子、分母分

别乘以(a1＋a2)，再拆分，最后进行约分。

1 A ＝12

12

1()

()

a a

A a a

⨯+

⨯+

＝12

1212

()()

a a

A a a A a a

+

⨯+⨯+

＝

1212

12

11

()()

A A

a a a a

a a

+

⨯+⨯+

4.等差数列求和：

(首项＋末项)×项数÷2＝和

5.约分法简算：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式。

典例巧解

例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)

2007÷200720072008

＝ 。 点拨一 被除数是2007，除数是一个带分式，整数部分和分数部分的分子都是2007，我们

可以把2007

20072008

化为假分数，再把分子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。 解 2007÷200720072008

＝2007÷2007200820072008

⨯+ ＝2007÷200720092008

⨯ ＝2007×200820072009

⨯ ＝20082009

点拨二 根据题目特点，如果利用“A ÷B ＝1÷B A ”，本题就可以避免先将带分数化成假分数后，再相除的一般做法，而采用同数相除商为1的巧办法。

解 原式＝1÷20072007

20082007

， ＝1÷1

12008

＝20082009 说明 本题“巧”在倒数概念的运用。

例2 (第五届“希望杯”邀请赛试题) 11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234567890.10.20.30.40.50.60.70.80.9

-+-+-+-+-+-+-+-++++++++ ＝ 。

点拨 此题分子可化简去括号变成因数乘积的形式，再约分化简，分母可通过凑整变形化简，问题易解。

解 1234567823456789(0.10.9)(0.20.8)(0.30.7)(0.40.6)0.5

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++++++++ ＝1

992＝281

例3 计算：234282912327283452930123272835755573452930

+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++。

点拨 初看题目，分子、分母都是一组有一定规律的数列，可以先分别求出和，再求它们的商，但事实上，求出和的结果是不易做到的。再仔细观察分子、分母，可以发现对应项之间存在一定的规律： 3

13÷123＝103×35＝2，524÷234＝224×411＝2，735÷345＝385×519

＝2，…，552729÷272829＝162229×29811＝2，572830÷282930＝2。 这说明分母的总和正好是分子总和的2倍，问题易解。

解 234282912327283452930123272835755573452930

+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++ ＝23428291232728345293023428292(1232728)3452930

+++⋅⋅⋅++⨯+++⋅⋅⋅++ ＝12

说明 在计算552729÷272829

时，如果不用常规的办法，先将带分数转化为假分数，而是利用题目中的数据，再经过转化，逆向运用乘法分配律，就更简便。如：

被除数＝55×29＋27＝54×29＋(29＋27)＝2×(27×29)＋2×28＝2×(27×29＋28)， 除数＝27×29＋28，仍然可以看出被除数正好是除数的2倍。

例4 计算： 111111123419971998199911111119992200032001999299710002998

-+-+⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+++++++。 点拨 观察题目可知，要求计算的繁分数的分子与分母都是较为复杂的分数数列，所以不妨分别计算繁分数的分子和分母，然后再计算最后结果。

观察繁分数的分子，虽然是一列分母从1开始的分数单位的数列，但分母是偶数的分数单位都是减数，所以，得运用一加一减的技巧来满足等差数列求和的条件。

解 分子＝1111111111(1)2()2341997199819992461998

+

+++⋅⋅⋅+++-⨯+++⋅⋅⋅+ ＝111111(1)(1)23199923999

+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ＝111100010011999

++⋅⋅⋅+ 分母＝1111120002002200439963998

+++⋅⋅⋅++ ＝12×(111100010011999++⋅⋅⋅+)