三角形添加辅助线技巧

第四讲·三角形添加辅助线技巧

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

（一）作平行线

作平行线,构造全等三角形

1、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 边上，E 在AC 边的延长线上，DE 交BC 于点F ，BD=CE ，求证：DF=EF.

2、如图，已知OP 平分∠AOB ，C ，D 分别在OA 、OB 上，若∠PCO+∠PDO=180°， 求证：PC=PD.

证明：过P 做PE 垂直于OA 于E,过P 做PF 垂直于OB 为 F

O

3、已知：如图，在△ABC 中，AB=2AC ，∠1=∠2，AD=BD ，求证：CD ⊥AC.

D

C

B

证明：过D 作DM ⊥AB ，垂足为M, 因为AD=BD,

所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC, 所以AC=AM, 因为AD 平分∠BAC ， 所以∠1=∠2，

在△ADC 和△ADM 中, AC=AM, ∠2=∠1, AD 为公共边， 所以△ADC ≌△ADM, 所以∠ACD=∠ADM=90, 即:CD ⊥AC

(三)倍长中线, 构造中位线

相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解 4、已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，

E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于

F ，求证：AF=EF.

B C

延长AD 交BM 于M 点 因为D 为BC 的中点 所以ABMC 为平行四边形 所以BM=AC 因为BE=AC 所以BE=BM 所以角BEM=角BME 因为

BM//AC

所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角) 所以AF=EF

5、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.

C

A

已知AD 是ABC 的中线,AE 是ABD 的中线,且AB=BD,求证：AC=2AE 可证明△ABE ∽△CBA （SAS ）则∠EAB=∠ACB ，∠AEB=∠CAB 且∠ADB =∠ACB+∠CAD=∠DAB=∠EAB+∠DAE=∠ACB+∠DAE 所以∠CAD=∠DAE AD 角CAE 平分线 可由角分线定理得AC ：AE=CD ：DE=2 AC=2AE

6.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的靠近B 点的三等分点，E 是AB 的中点，直线AC 与DE 交于点F ，求证：EF=3DE.

证明：找CD 中点G ，连接AG ，再根据两个中位线证明比例关系

7.在△ABC 中，∠B=2∠C,M 为BC 的中点，AD ⊥BC ，求证：DM=1/2AB.

取AB 的中点E ，连接DE 、

EM 。因为，DE 是Rt △ABD 斜边上的中线，所以，DE = BE = (1/2)AB ，可得：∠BDE = ∠B 。因为，EM 是△ABC 的中位线，所以，EM‖AC ，可得：∠DME = ∠C 。因为，∠DEM = ∠BDE-∠DME = ∠B-∠C = ∠C = ∠DME ，所以，DM = DE = (1/2)AB

8.在正方形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O, ∠CAB 的平分线交BD 于点F ，交BC 于点G ，求证：CG=2OF.

证明：找CG 中点E ，连接OE ，证明OF=GE 。

（四）截长:

9.已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD.

在三角形ABC的边AB上截AC1=AC

则对于三角形ADC和三角形ADC1用三角形全等的边角边定理可知

这两个三角形全等

所以AC=AC1,DC=DC1

角ACD=角AC1D=2倍角B

又因为角AC1D=角B+角C1DB

故角C1DB=角B

故BC1=DC1=DC

所以AB=AC1+C1B=AC+CD

证毕

10.已知：如图，△ABC中，∠A=60°，∠B与∠C的平分线BE,CF交于点I，求证：BC=BF+CE. 解：在BC上取BD=BF，连接OD。

因为BF=BD，角ABE=角CBE，BO=BO，

所以，三角形BFO全等于三角形BDO，

所以，角BOF=角BOD，OF=OD。

因为角BOC=角ABE+角BFC=角ABE+角A+角ACF，

而角ABE=角ABC/2，角ACF=角ACB/2，

所以，角BOC=角A+（角ABC+角ACB）/2=角A+（180-角A）/2=90度+角A/2=120度。

所以，角BOF=角BOD=角COD=角COE=60度；

又因为OC=OC，角ACF=角BCF，

所以，三角形COD全等于三角形COE，

所以，OD=OE，CD=CE，

所以，OE=OF，BC=BD+CD=BF+CE。

（五）补短

11.已知：如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F ，求证：BE=CF+AE.

证：延长DC 至G ，使CG=AE ，连接BG ∵正方形ABCD 中∴AB=BC （正方形各边相等）∴∠A=∠BCF=90°（正方形各角相等且为90°）∴∠A=∠BCG=90°在△BAE 与△BCG 中BA=BC ∠A=∠BCGAE=CG ∴△BAE ≌△BCG （SAS ）∴BE=BG （全等三角形对应边相等）∴∠ABE=∠CBG （全等三角形对应角相等）∵正方形ABCD 中∴AB ∥CD （正方形对边平行）∴∠ABF=∠BFC ∴∠BFC=∠1+∠ABE=∠2+∠CBG=∠FBG ∴FG=BG （等角对等边）∴BE=BG=GF=CG+CF=AE+CF

家庭作业

1、如图，在ABC ∆中，CAD BAD BC AD ∠>∠⊥，，求证：AC AB >。 A

B

2、已知：如图，正方形ABCD ，21∠=∠，Q 在DC 上，P 在BC 上。求证：PA=PB+DQ 。

A

D

2 1

Q

B P C

解：解： 延长PB 至G,使BG=DQ,连接AG

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