因子分析法详细步骤

七、因子分析应用实例
八、因子分析应用的注意事项
• 应用条件 （1）变量是计量的，能用线性相关 ）变量是计量的， 系数（ 积叉相关系数） 系数（Pearson积叉相关系数）表 积叉相关系数 示。 （2）总体的同质性 ）
• 样本量 没有估计公式。 没有估计公式。至少要保证样本相 关系数稳定可靠。 关系数稳定可靠。 • 因子数目 一般认为，累积贡献要达到80%以 一般认为，累积贡献要达到 以 但要注意Heywood现象。 现象。 上。但要注意 现象
• f=(f1,f2,…,fm)’为公共（共性）因子 为公共（ 为公共 共性） ），简称因子 （common factor），简称因子 ）， （factor） ）
• e=(e1,e2,…,ep)’为特殊因子 ,e 为特殊因子 factor） （specific factor） f和e均为不可直接观测的随机变量 • μ=(μ1,μ2,…,μp)’为总体x的均 =(μ , 为总体x 为总体 值 • A=(aij)p*m为因子负荷（载荷） 为因子负荷（载荷） loading） （factor loading）矩阵
• 因子载荷（负荷）aij是随机变量xi与 因子载荷（负荷） 是随机变量x 公共因子f 的相关系数。 公共因子fj的相关系数。 •设
g = ∑a
2 j i =1 p 2 ij
j = 1, 2,..., m
为公共因子f 贡献” 称gj2为公共因子fj对x的“贡献”，是 衡量公共因子f 重要性的一个指标。 衡量公共因子fj重要性的一个指标。
factor） ）
aij = λ j l ji i = 1, 2,..., p; j = 1, 2,..., m
每一个公共因子的载荷系数之平方和 等于对应的特征根， 等于对应的特征根，即该公共因子的 方差。 方差。
λj = ∑a = g
i=1 2 ij
p
2 j
• 极大似然法（maximum likelihood 极大似然法（ factor） 假定原变量服从正态分布， 假定原变量服从正态分布，公共因 子和特殊因子也服从正态分布， 子和特殊因子也服从正态分布，构 造因子负荷和特殊方差的似然函数， 造因子负荷和特殊方差的似然函数， 求其极大，得到唯一解。 求其极大，得到唯一解。
• 确定公共因子数； 确定公共因子数； • 计算公共因子的共性方差hi2; 计算公共因子的共性方差 • 对载荷矩阵进行旋转，以求能更好地 对载荷矩阵进行旋转， 解释公共因子； 解释公共因子； • 对公共因子作出专业性的解释。 对公共因子作出专业性的解释。
四、因子分析提取因子的方法
• 主成分法（principal component
• Heywood现象 现象 • 残差矩阵
五、因子旋转
• 目的：使因子负荷两极分化，要么 目的：使因子负荷两极分化， 接近于0，要么接近于1。 接近于 ，要么接近于 。 • 常用的旋转方法： 常用的旋转方法：
（1）方差最大正交旋转（varimax
orthogonal rotation）
• 基本思想：使公共因子的相对负荷 基本思想： 的方差之和最大， （lij/hi2）的方差之和最大，且保持 原公共因子的正交性和公共方差总和 不变。 不变。 • 可使每个因子上的具有最大载荷的变 量数最小， 量数最小，因此可以简化对因子的解 释。
六、因子得分
• Thomson法，即回归法 法
回归法得分是由Bayes思想导出的，得 思想导出的， 回归法得分是由 思想导出的 到的因子得分是有偏的， 到的因子得分是有偏的，但计算结果 误差较小。 误差较小。
• Bartlett法 法
Bartlett因子得分是极大似然估计，也是 因子得分是极大似然估计， 因子得分是极大似然估计 加权最小二乘回归， 加权最小二乘回归，得到的因子得分 是无偏的，但计算结果误差较大。 是无偏的，但计算结果误差较大。 • 因子得分可用于模型诊断，也可用作 因子得分可用于模型诊断， 进一步分析的原始资料。 进一步分析的原始资料。设Βιβλιοθήκη h2 i= a
2 i1
+ a
2 i2
+ iii + a
2 im
（１）hi2是m个公共因子对第i个变量 个公共因子对第i 的贡献，称为第i 的贡献，称为第i个共同度 communality）或共性方差， （communality）或共性方差，公因 子方差（ variance） 子方差（common variance） （２）δi称为特殊方差（specific 称为特殊方差（ variance）， ），是不能由公共因子解 variance），是不能由公共因子解 释的部分
通常先对x作标准化处理，使其均值为零， 通常先对 作标准化处理，使其均值为零， 作标准化处理 方差为１ 方差为１．这样就有
xi = ai1 f1 + ai 2 f 2 + iii+ aim f m + ei
假定（ 的均数为０ 方差为１ 假定（１）fi的均数为０，方差为１； 的均数为０ 方差为δ （２）ei的均数为０，方差为δi； 相互独立． （３） fi与ei相互独立． 则称x为具有m 则称x为具有m个公共因子的因子模型
代替相关矩阵中的对角线上的元素， 以(hi’)2代替相关矩阵中的对角线上的元素， 得到约化相关矩阵。 得到约化相关矩阵。
(h1’)2 r12 r21 (h2’)2 R’= . . . . rp1 rp2 … r1p … r2p … . … . … (hp’)2
R’的前 个特征根及其对应的单位化特征向 的前m个特征根及其对应的单位化特征向 的前 量就是主因子解。 量就是主因子解。
三、因子分析的步骤
• 输入原始数据xn*p，计算样本均值和方 输入原始数据 差，进行标准化计算（处理）； 进行标准化计算（处理）； • 求样本相关系数矩阵R=(rij)p*p； 求样本相关系数矩阵 • 求相关系数矩阵的特征根λi 求相关系数矩阵的特征根λ (λ1,λ2,…,λp>0)和相应的标准正交 , >0)和相应的标准正交 的特征向量l 的特征向量 i；
谢谢！ 谢谢！
因子分析
一、前言
• 变量的相关性 公共因子？ 公共因子？ • 将多个实测变量转换成少数几 个不相关的综合指数
二、因子分析模型
一般地， 一般地，设X=(x1, x2, …,xp)’为可观 为可观 测的随机变量， 测的随机变量，且有
Xi = µi + ai1 f1 + ai2 f2 +iii+aim fm + ei
• 迭代主因子法（iterated principal factor）
主因子的解很不稳定。因此， 主因子的解很不稳定。因此，常以估计 的共同度为初始值， 的共同度为初始值，构造新的约化矩 再计算其特征根及其特征向量， 阵，再计算其特征根及其特征向量， 并由此再估计因子负荷及其各变量的 共同度和特殊方差， 共同度和特殊方差，再由此新估计的 共同度为初始值继续迭代， 共同度为初始值继续迭代，直到解稳 定为止。 定为止。
（2）斜交旋转
rotation） （oblique rotation）
• 因子斜交旋转后，各因子负荷发生了 因子斜交旋转后， 较大变化，出现了两极分化。 较大变化，出现了两极分化。各因子 间不再相互独立，而彼此相关。 间不再相互独立，而彼此相关。各因 子对各变量的贡献的总和也发生了改 变。 • 适用于大数据集的因子分析。 适用于大数据集的因子分析。
如果再满足（ 如果再满足（４）fi与fj相互独立 ≠j）， ），则称该因子模型为正交因 （i≠j），则称该因子模型为正交因 子模型。 子模型。 正交因子模型具有如下特性： 正交因子模型具有如下特性： • x的方差可表示为
Var ( xi ) = 1 = a + a +iii+a + δ i
2 i1 2 i2 2 im
• 主因子法（principal factor） 主因子法（
设原变量的相关矩阵为R=(rij)，其逆 设原变量的相关矩阵为 ， 矩阵为R 矩阵为 -1=(rij)。各变量特征方差 。 的初始值取为逆相关矩阵对角线元 素的倒数， 素的倒数，δi’=1/rii。则共同度 =1/r 的初始值为(h 的初始值为 i’)2=1- δi’=1-1/rii。