最新专题五平面解析几何

专题五平面解析几何

专题五平面解析几何

第14讲直线与圆

[云览高考]

二轮复习建议

命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题．

预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上．

主干知识整合

1.直线的概念与方程

(1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过

两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1

x 2－x 1(x 1≠x 2

)；

(2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1(x 1

≠x 2，y 1≠y 2)，一般式

Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)；

(3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；

(4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程

(1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)；

(2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法；

(3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法.

要点热点探究

► 探究点一 直线的概念、方程与位置关系

例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( A )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.

变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A )

A ．y ＝－13x ＋13

B ．y ＝－13x ＋1

C ．y ＝3x －3

D ．y ＝1

3

x ＋1

(2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

► 探究点二 圆的方程及圆的性质问题

例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C )

A ．(x －1)2＋y 2＝6425

B ．x 2＋(y －1)2＝64

25

C ．(x －1)2＋y 2＝1

D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能

[点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和

变式题 圆心在曲线y ＝3

x (x >0)程为( A )

A ．(x －2)2＋«Skip Record If...»＝9

B ．

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝«Skip Record If...»► 探究点三 直线与圆的综合应用 例3 [2012·天津卷] 设m ，n ∈R ，若直线2＋(y －1)2

＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )

A ．[1－3，1＋3]

B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)

C ．[2－22，2＋22]

D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)

[点评] 本题根据m ＋n ＋1＝mn 可直接令t ＝m ＋n 代入消去n 得关于m 的一元二次方程，m 为实数，这个方程的判别式大于或者等于零，得关于t 的不等式，解不等式可得m ＋n 的取值范围．

变式题 直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最大值为( A )

A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－1 规律技巧提炼

•规律 1.确定直线的几何要素，一个是它的方向，一个是直线过一个点；

2．求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出来才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径．

•技巧 直线被圆所截得的弦长的解决方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r ，圆心到直线的距离是d ，那么直线被圆所截得的弦长l ＝2r 2－d 2，这个公式是根据平面几何中直线与圆的位置关系和勾股定理得到的，二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．

•易错 忽视直线方程的适用范围，点斜式和斜截式不包括与x 轴垂直的直线，两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的直线.

命题立意追溯

推理论证能力——结合圆的几何特征处理圆的问题

示例 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( C )

A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 [跟踪练]

1．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( C )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

2．设M (1,2)是一个定点，过M 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，设原点到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值是________.10

教师备用例题

选题理由：据本讲的特点，我们在正文中没有选用解答题，下面的例题是直线与圆的一个综合，可作本讲总结使用．

例 已知椭圆C ：x 22

＋y 2

＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，点P 是椭圆

上任一点，⊙M 是以PF 2为直径的圆．

(1)当⊙M 的面积为π

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时，求PA 所在直线的方程；PA 所在直线方程为y ＝«Skip Record

If...»x －1或y ＝«Skip Record If...»x －1.