无界函数的广义积分引例
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无界函数的广义积分
b
a f (x)dx 收敛，并定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
a dx
例1 计算广义积分 0
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx lim a dx
c
b
lim{ f (x)dx f (x)dx}
0 a
c
称此极限为广义积分的柯西主值,记为
b
c
b
P.V. f (x)dx lim{ f (x)dx f (x)dx}
a
0 a
c
2.无穷积分的柯西主值
设函数 f ( x) 在区间(,)上连续,如果
极限
A
lim
f ( x)dx
A A
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
设函数 f ( x)在区间 (a,b) 上连续，而在点
a, b 的邻域内无界.a<c<b,如果两个广义积分
c
a
f
(
x)dx
和
b
c
f
(
x)dx都收敛，则称广义积分
一、无界函数广义积分的概念
定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a, b]上连续，而在
点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
b
lim
f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
(整理)第06章02节无界函数的广义积分
第2节 无界函数的反常积分我们知道，在[,]a b 上可积的函数都在[,]a b 上有界。
下面我们考虑如果()f x 在某点[,]c a b ∈的附近无界，该怎么积分()ba f x dx ⎰？如果()f x 在c 的任意邻域内都无界，则c 称为()f x 的瑕点（反常点）。
分别如下3种情况。
（1）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点b ；又设[,)t a b ∀∈，()f x 在[,]a t 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bb a af x dx f x dx A A f x a b εε+-→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bb aaf x dx A f x dx εε+-→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在[,)a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()lim ()()()bba abf x dx F F a F x ττ-→=-=⎰（记住：b 是怎样代进去的？）（2）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点a ；又设(,]t a b ∀∈，()f x 在[,]t b 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bba a f x dx f x dx A A f x ab εε++→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bbaa f x dx A f x dx εε++→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在(,]a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()()lim ()()bba aaf x dx F a F F x ττ+→=-=⎰（记住：a 是怎样代进去的？）（3）设()f x 在[,]a b 上只有全部的瑕点是12m x x x <<<。
第五节 广义积分
1 1
例2. 计算广义积分
2
x2 sin x dx.
解:
2
1 x2
sin 1 dx x
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b1
sin
2
x
d
1 x
lim
b
cos
1 b x 2
lim
b
t
f (x) d x
t
t a
例1. 计算广义积分
解:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
0
dx 1 x2
lim a
01 a 1 x2
dx lim b
b1 0 1 x2 dx
y
y
1 1 x2
lim a
基本问题： （1）将定积分的概念推广至积分区间 为无限区间； （2）考虑被积函数在积分区间上无界的情形。
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
lim
0
arcsin
x a
a
0
lim
0
arcsin
a
a
0
2
.
原式
arcsin x a
4-19.无界函数的广义积分
就称
广义积分 b f (x)dx 发散 a
（2）设函数 f(x)在区间[a b)上连续 而在点 b 的左邻域
t
内无界（称点 b 为 f(x)的瑕点），如果极限 lim f (x)dx 存在 则称 tb a
此极限为函数 f(x)在[a b)上的反常积分
仍然记作
b
f (x)dx
即
a
b
t
f (x)dx lim f (x)dx
内无界（称点 a 为 f(x)的瑕点），如果极限 lim b f (x)dx 存在 则称 ta t
此极限为函数 f(x)在[a b)上的广义积分
仍然记作
b
f (x)dx
a
即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
ta t
这时也称广义积分 b f (x)dx 收敛 a
如果上述极限不存在
xc
xc
例 1 计算广义积分 a 1 dx 0 a2 x2
（一级）
解 因为 lim 1 所以点 a 为被积函数的瑕点 xa a2 x2
a 0
1 a2 x2
dx
[arcsin
x]a a0
lim arcsin
xa
x a
0
2
例 2
讨论反常积分
1 1
1 x2
dx
的收敛性
（一级）
解
函数 1 x2
2、掌握无界函数的广义积分的计算
能力目标
1、培养学生对知识的延伸推广能力和分析问题的能力 2、培养学生的计算能力
时间分配
25 分钟 编撰 陈亮
校对 方玲玲 审核 王清玲
修订人
张云霞
广义积分
二、无界函数的广义积分
【例7】
二、无界函数的广义积分
【例8】
下列算式是否正确？
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
二、无界函数的广义积分
思考
(1)本节学习了几种不同类型的广义积分？它与定积分有何 区别与联系？
(2)为什么要学习广义积分？什么情况下要用广义积分？
谢谢聆听
广义积分
一、无穷区间的广义积分
定义1
设f(x)在区间［a,+∞)内连续，任取b>a，若极限 limb→+∞ 存在，则称此极限为f(x)在区间［a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞af(x ，即
(5-7) 此时称广义积分∫+∞af(x 存在或收敛；否则称广义积分 ∫+∞af(x 没有意义或发散． 类似地，可定义f(x)在区间(－∞,b］上的广义积分
一、无穷区间的广义积分
注意分
【例3】
这个广义积分的几何意义是：当a→－∞，b→+∞时，虽然 图5-8中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π．
图 5-8
二、无界函数的广义积分
定义3
此时称广义积分
存在或收敛；否则称广义积分
没有意义或发散．这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点．
类似地，可定义f(x)在区间［a,b)上的广义积分
二、无界函数的广义积分
定义4
否则，称其没有意义或发散．
二、无界函数的广义积分
【例4】
二、无界函数的广义积分
图 5-9
二、无界函数的广义积分
【例5】
注意
该题的结论一般要记住，可作为定理使用．
二、无界函数的广义积分
【例6】
5.广义积分
I I1 I 2
1
x dx 2 (1 x )(1 x )
1
1 dx 2 (1 x )(1 x )
1
1 dx 2 4 1 x
三、小结
无穷限的广义积分
f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
f ( x )dx
n x
dx （ n 为自然数 ） ；4、
2
dx (1 x )
2
0
；
5、 7、
2
xdx x1
1 0
1
；
6、
x ln x (1 x )
2 2
0
dx ；
ln n xdx .
b
三 、 求 当 k 为何值时 ， 广 义 积 分
dx
k
( x a) 收敛？又 k 为何值时 ，这广义积分发散？ 0 , x 0 1 四 、 已知 f ( x ) x , 0 x 2 ，试用分段函数表示 2 1 , 2 x
1 dx p x
1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
例 4 证明广义积分 当 p 0 时发散.
a
e
px
dx 当 p 0 时收敛，
px b
e 证 e dx lim e dx lim a b b a p a ap e e pa e pb p , p0 lim b p p , p0 即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
第06章02节无界函数的广义积分
第2节 无界函数的反常积分我们知道，在[,]a b 上可积的函数都在[,]a b 上有界。
下面我们考虑如果()f x 在某点[,]c a b ∈的附近无界，该怎么积分()ba f x dx ⎰？如果()f x 在c 的任意邻域内都无界，则c 称为()f x 的瑕点（反常点）。
分别如下3种情况。
（1）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点b ；又设[,)t a b ∀∈，()f x 在[,]a t 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bb a af x dx f x dx A A f x a b εε+-→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bb aaf x dx A f x dx εε+-→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在[,)a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()lim ()()()bba abf x dx F F a F x ττ-→=-=⎰（记住：b 是怎样代进去的？）（2）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点a ；又设(,]t a b ∀∈，()f x 在[,]t b 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bba a f x dx f x dx A A f x ab εε++→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bbaa f x dx A f x dx εε++→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在(,]a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则离 散数 学()()lim ()()bba aaf x dx F a F F x ττ+→=-=⎰（记住：a 是怎样代进去的？）（3）设()f x 在[,]a b 上只有全部的瑕点是12m x x x <<< 。
第七章第四节广义积分
t a 0 t
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b )上连续， 而在点b 的左邻域内无界.取 tb ，极限
t b 0 a
lim
t
f ( x )dx 称为函数
f ( x ) 在区间[a , b ) 上的广
二、无界函数的广义积分
设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，
则对任意a<t<b，f(x)在区 间[t,b]上连续。 所以积分下限函数
y
y f ( x)
b
t
f ( x )dx
O a t
t a 0 t
存在。 考虑它的极限
b x
lim
b
f ( x )dx
不妨记为
baf (Fra bibliotekx )dx lim arctan x a lim arctan x 0
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
例2 讨论广义积分 解
0
cos xdx 敛散性
由于 sin x是 cos x的一个原函数，
则 cos xdx sin a, 而 limsin a
0 a
a
极限不存在，所以广义积分发散
例3
解
计算广义积分
b
0
te
pt
dt （p是常数，且p>0）。
0
te
pt
1广义积分的概念与计算
第十一章 广义积分
2019/7/10
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时， 这广义积分取得最小值？
提示：
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
2019/7/10
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
2019/7/10
主讲人：陈志勇副教授
宁波大学教师教育学院
1
§1 广义积分的概念与计算
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
2019/7/10
宁波大学教师教育学院
2
一、无穷限的广义积分
引例. 曲线
和直线 及 x 轴所围成的开口曲
当k为何值时，这广义积分发散？又当k为何值时， 这广义积分取得最小值？
提示：
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
2019/7/10
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14
例6. 证明广义积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
x
a
b a
当 q≠1 时
(x a)1q 1 q
关于无界函数广义积分∫bafxdxa为奇点的两个性质
文献标识码：Ａ
文章编号：１ ６７１—９６９７（２００４）０６—００４０一０２
１．无穷限广义积分收敛的性质。
在【ｌ】、【２】中讨论了无穷限广义积分收敛的必要条件，本文从两类广义积分的关系出发，得出了无界函数的广义积分收 敛的两个性质。为了讨论问题的方便，先给出如下两个引理：
，’●ｏ
引理１：若无穷限广义积分Ｉ ｆ（ｘ）ａｘ收敛
由cauchy收敛准则x寸yeo350当o三万o工一口万a时有l压叫k因为?limf炉佃删上述及6醐啦00从而蝴堋单调性知t三邝渺型xafxa渺型xafx出半m刺?p似忡孚肌十一口掣lim一汀户
第２５卷第６期 ２００４年１１月
Ｊｏｕｒｎａｌ
零陵学院学报
ｏｆ ＬｉｎｇｌｉｎＯＶ．２００４
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ；Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；Ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ·
４１ 万方数据
关于无界函数广义积分∫baf(x)dx(a为奇点)的两个性质
万方数据
命题１：若无界函数广义积分Ｉ。ｆ（ｘ）ｄｘ收敛，函数，（工）当ｘ＿以＋时单调趋向于＋ｏｏ，则ｌｉｍ＋（ｘ—ｄ），（ｘ）＝０，
Ｊｎ
Ｊ—＇ａ
证明：由已知得ｘ：ａ为，（工）奇点。‘．‘ｆ。厂（Ｊ）出收敛＇．．由ｃａｕｃｈｙ收敛准则，Ｘ寸Ｙｅ＞Ｏ，３５＞０，当ｏ＜三≯＜万，ｏ＜工一口＜万
，ａ
‘
时，有ｌ压，（『）叫ⅢＫ因为…ｌｉｍ＋ｆ（炉佃删上述￡及６，醐啦００从而蝴堋单调性知ｔ
，函数，（ｘ）在【ｎ，扣）单调减少，则ｌｉｍ
ｘｆ（工）：０ ｍ引。
5-5 广义积分
0
解 先计算定积分
e sin x0 0 e x cos xdx
x A A
0
A
e sin xdx 0 sin xd e x
x A A A
0 e
A x
sin xdx
e sin A 0 cos xd e x
A x A
e sin A e cos x0 0 e sin xdx
0 t t
0
f ( x )dx
lim t f ( x )dx lim f ( x )dx . 0 t
两极限均存在称
有一个不存在称 f x dx发散.
上述各广义积分统称为无穷限的广义积分， 简称无穷积分. 2.说明 （1）设 F x f x ，则
B B
这里A与B是相互独立的.
3.例题 例1 解
x e 计算广义积分 dx . 0
e dx e
0 x
x 0
1.
这个广义积分值的几 何意义是,当t 时，图5－7中阴影部 分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
y
1
ye
x
t
图5－7
o
x
例2 计算广义积分 sin xdx .
f x dx 收敛，两极限至少
a f x dx lim F t F a F F a ； b f x dx F b lim F t F b F ；
t t
b
F t F b F a ； a f x dx F b lim t a
b
当 x a 为 f x 的瑕点时，
解 先计算定积分
e sin x0 0 e x cos xdx
x A A
0
A
e sin xdx 0 sin xd e x
x A A A
0 e
A x
sin xdx
e sin A 0 cos xd e x
A x A
e sin A e cos x0 0 e sin xdx
0 t t
0
f ( x )dx
lim t f ( x )dx lim f ( x )dx . 0 t
两极限均存在称
有一个不存在称 f x dx发散.
上述各广义积分统称为无穷限的广义积分， 简称无穷积分. 2.说明 （1）设 F x f x ，则
B B
这里A与B是相互独立的.
3.例题 例1 解
x e 计算广义积分 dx . 0
e dx e
0 x
x 0
1.
这个广义积分值的几 何意义是,当t 时，图5－7中阴影部 分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
y
1
ye
x
t
图5－7
o
x
例2 计算广义积分 sin xdx .
f x dx 收敛，两极限至少
a f x dx lim F t F a F F a ； b f x dx F b lim F t F b F ；
t t
b
F t F b F a ； a f x dx F b lim t a
b
当 x a 为 f x 的瑕点时，
4.4广义积分
2
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
b
+∞
∫−a f (x) dx a→+∞
a
v.p.∫ f (x) dx (c为瑕点, a < c < b)
a
c−ε f (x) dx + b f (x) dx = lim ∫ ∫c+ε + a ε →0
注意: 注意 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下 广义积分收敛 .
例题 试证
注意到: Γ(1) = ∫
+∞ −x e dx 0
=1
= L= n!Γ(1)
(2) 当s → 0+时, Γ(s) → +∞. 证:
Γ(s +1) Q Γ(s) = , Γ(1) = 1 s 且可证明Γ(s) 在s > 0连续,
∴s → 0 时, Γ(s) → +∞
(3) 余元公式:
+
当s = 1 时, 有 2
4.4 广义积分 广义积分
积分限有限 被积函数有界
常义积分
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分(瑕积分）
一、无穷限的广义积分 无穷限的广义积分 广义
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
b
+∞
∫−a f (x) dx a→+∞
a
v.p.∫ f (x) dx (c为瑕点, a < c < b)
a
c−ε f (x) dx + b f (x) dx = lim ∫ ∫c+ε + a ε →0
注意: 注意 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下 广义积分收敛 .
例题 试证
注意到: Γ(1) = ∫
+∞ −x e dx 0
=1
= L= n!Γ(1)
(2) 当s → 0+时, Γ(s) → +∞. 证:
Γ(s +1) Q Γ(s) = , Γ(1) = 1 s 且可证明Γ(s) 在s > 0连续,
∴s → 0 时, Γ(s) → +∞
(3) 余元公式:
+
当s = 1 时, 有 2
4.4 广义积分 广义积分
积分限有限 被积函数有界
常义积分
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分(瑕积分）
一、无穷限的广义积分 无穷限的广义积分 广义
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
高数 反常积分 知识点与例题精讲
例1
计算广义积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2
sin
1 x
d
1 x
lim
b
cos
1b x 2
lim
b
cos
1 b
cos
2
1.
例2
计算广义积分
1
dx x
2
.
解法1:
dx 1 x2
0
dx 1 x2
dx 0 1 x2
lim a
0
a1
1 x2
dx
lim
b
b1 0 1 x2 dx
lim arctan
1 p
0
e
pt
d
t
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二、无界函数的广义积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
所围成的
其含义可理解为
A
lim
0
1
dx x
lim
0
2
1 x
lim 2(1 ) 2
0
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注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质否, 则会出现错误 .
高等数学课件广义积分.ppt
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为
a 1 p ;
p1
当 p≤1 时, 广义积分发散 .
©
例5. 计算广义积分
解: 原式 t e pt p
1 e pt d t
p0
1 p2
e pt
1 p2
©
2002年考研数学(一)填空3分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
2
d
(x
) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
©
2.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
f 1
( x) f 2(x)
d
x
1
d
f f
(x) 2 (x)
arctan
f
(x)
C
]
]
2
2
©
( x a)1q 1q
b
a
1q
,
,
q1 q1
(b a)1q
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为
; 1q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
©
例9. 计算广义积分
3 dx
0
x
2
13
解:
3 dx
0
x
2
13
1 dx
0
x
广 义 积 分
广义积分
广义积分
前面介绍的定积分有两个限制条件：积分 区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某 些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在 有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以 推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间 的广义积分和无界函数的广义积分两类.
一、 无穷区间的广义积分
定义2
二、 无界函数的广义积分
【例35】
二、 无界函数的广义积分
【例36】
二、 无界函数的广义积分
【例37】
二、 无界函数的广义积分
【例38】
பைடு நூலகம்
二、 无界函数的广义积分
二、 无界函数的广义积分
由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整 数n
Γ(n+1)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)
以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.
(6-13)
二、 无界函数的广义积分
定义5
设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b) limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx 都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx; (6-14) 否则，称其没有意义或发散.
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx, (6-12) 此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分 ∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.
类似地，可定义f(x)在区间［a,b) ∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx
广义积分
前面介绍的定积分有两个限制条件：积分 区间有限和被积函数有界.实际问题中还需要某 些函数在无穷区间上的积分以及某些无界函数在 有限区间上的积分.因此要求将定积分概念加以 推广，这就是广义积分.广义积分包括无穷区间 的广义积分和无界函数的广义积分两类.
一、 无穷区间的广义积分
定义2
二、 无界函数的广义积分
【例35】
二、 无界函数的广义积分
【例36】
二、 无界函数的广义积分
【例37】
二、 无界函数的广义积分
【例38】
பைடு நூலகம்
二、 无界函数的广义积分
二、 无界函数的广义积分
由这个递推公式不难看出该积分收敛.特别地，对任何正整 数n
Γ(n+1)=n!
Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n－1)Γ(n－1)=…=n!Γ(1)
以及∫baf(x)dx收敛和发散的概念.
(6-13)
二、 无界函数的广义积分
定义5
设f(x)在区间［a,b］上除点c(a<c<b) limx→cf(x)=∞，如果两个广义积分∫caf(x)dx和∫bcf(x)dx 都收敛，则称广义积分∫baf(x)dx收敛
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx; (6-14) 否则，称其没有意义或发散.
∫baf(x)dx=limε→0+∫ba+εf(x)dx, (6-12) 此时称广义积分∫baf(x)dx存在或收敛；否则称广义积分 ∫baf(x)dx没有意义或发散.这种广义积分又称为瑕积分，a为瑕点.
类似地，可定义f(x)在区间［a,b) ∫baf(x)dx=limε→0+∫b－εaf(x)dx
11-1广义积分
2
.
无穷积分具有如下性质：
（1）若
a
f1 ( x)dx
与
a
f2 (x)dx
都收敛，k1, k2为
任意常数，则
a [k1 f1(x) k2 f2 (x)]dx
也收敛且有
a [k1 f1(x) k2 f2 (x)]dx k1
a f1(x)dx k2
第十一章 广义积分与含参变量的积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分（瑕积分）
含参变量的积分： I (t)
b
f (x,t)dx
a
1. 无穷积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
S dx
1 x2
1
0
1 xq
dx
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时广义积分收敛，其值为 1 ； 1q
当q 1时广义积分发散.
例7
计算广义积分
a dx
(a 0).
0 a2 x2
解
lim 1 ,
xa0 a2 x2
设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)
外连续，而在点c的邻域内无界（称 c 为瑕
点）。如果两个瑕积分
c
a
f
(
x)dx
和
b
c
f
( x)dx
都收敛，则定义
b
a
第五节 广义积分
cos
1 b
cos
2
1.
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
b
a
f
( x) dx
F (b) F (c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
例6. 计算广义积分
解: Q lim 1 , xa0 a2 x2
显然瑕点为 a , 所以
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0
a2 x2
lim
0
arcsin
当x
1时
,u 4
, 当x
时
, u
2
,
arctanx 1 x 2 dx
2
u
sec 2 u d u
4
tan 2 u
2 u csc 2udu
4
2
4
u
d cotu
[
u
cot
u
]
2
4
2 cot u d u
4
4
[ln
sinu
]
2
4
1 ln 2
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书面作业
P240-242
1 单数题，
2，
5，
6
A
0
x
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
)
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
三、 函数（定义与性质）
1. 定义
(s) xs1ex d x (s 0) 0
函数在 s 0 内收敛 .
是上述的两种广义积分的结合体.
2. 性质
b 1
lim 1 b
1 b
1
y
1 x2
A
1b
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无限区间上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F (a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b
)
F (a
则定义
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
第7节 广义积分
一、无限区间上的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、 函数（定义与性质）
一、无限区间上的广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
1 x
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
内容小结
积分区间无限 1. 广义积分 被积函数无界
2. 两个重要的广义积分
,
(
p
1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
内容小结
3. 函数的定义及性质 . 4. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项 使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 .
F(b) F() F() F()
二、无界函数的广义积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
若 f (x) C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F(x) F() F(a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)