江苏省盐城中学高三数学月考试卷 苏教版
2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。
1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题
第1页，总17页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………江苏省盐城市盐城中学2020届高三上学期第一次月考数学试题题号 一 二 总分 得分评卷人 得分一、填空题 本大题共14道小题。
1.如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===为BC 中点，若·4AB AC =，则·AE BC =_______________．答案及解析：1.132-【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()((0,0,4,0,2,2,A B C m C 则 ()(4,0,,2AB AC m ==， 故 44,1AB AC m m ⋅==∴=，即(2C ，则522E ⎛ ⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.答案第2页，总17页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2.设向量(sin 2,cos )a θθ=，(cos ,1)b θ=，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .答案及解析：2.必要不充分【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件考点：向量共线 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．答案及解析：3.24 【分析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值.【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24。
江苏省盐城市盐城中学2024届高三11月月考数学试题
江苏省盐城市盐城中学2024届高三11月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________2sin x x．．C ．D ．222log 2log 1a ba b +<++，则（）()ln 210b a -+<B ．()ln 210b a -+>ln 20a b ->D ．ln 20a b -<二、多选题A ．异面直线AB 与B ．三棱柱ABC -C ．当点P 是线段D ．PE PF +的最小值是三、填空题13．已知t 为实数，a = 14．已知622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为15．某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为最小值为.16．已知函数()2f x x =的取值范围是.四、解答题17．设等差数列{}n a 的前比数列{}n b 满足13b b ＋(1)求n S ；(2)设1nn i i i T S b ==⋅∑，求证：18．某研究性学习小组对某植物种子的发芽率(1)证明：AM BD⊥；(2)当AM为何值时，直线AM与平面20．某人花了a元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的a元门票未成功时，系统自动使他进入元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有获得其他两张门票中的每一张的概率均是(1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率；(2)假设这个人获得门票总张数是XP x y21．已知曲线C上任意一点(,。
江苏省盐城市东台高三数学上学期月月考试卷(含解析)苏教版
高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分，请把答案填写在答题纸相应位置上）1．（5分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（C R N）= （0，1）．＞0”的否定是∃x∈（0，+∞），x+x+1≤0．3．（5分）已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= 1 ．4．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．：πP=故答案为：5．（5分）（2012•福建）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于﹣3 ．6．（5分）（1999•广东）设椭圆的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的率心率是，点﹣=，∴=故答案为：．7．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为 1 ．解：因为==18．（5分）（2010•江苏模拟）设是奇函数，则a+b的取值范围是．=，=，则有=要使函数有意义，则＞解得：﹣，即函数，）（﹣，）＜a+b≤﹣，即所求的范围是故答案为：9．（5分）（2012•江西模拟）已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为﹣．，π，π，，﹣==＜则，，π﹣，解得d=+=﹣；10．（5分）关于x的不等式x2+25+|x3﹣5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，10] ．a≤x++|x+|xa≤x++|x≥2+|x211．（5分）已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+的最小值是12 ．，）+12．（5分）已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b，其中a，b∈R．若函数f（x）仅在x=0处有极值，则a的取值范围是．＜＜的取值范围是故答案为：13．（5分）（2011•深圳模拟）已知a，b，c（a＜b＜c）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数成等比数列，则的值为20 ．14．（5分）如图，用一块形状为半椭圆（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则S的最大值是．（y≥0）（|y|=（在椭圆上知（y≥0）S=|y|=，时，；当x=x=；x=故答案为：二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，＜C＜，且．（1）判断△ABC的形状（2）若，求的取值范围、，又由因为）由值范围，进而求出））因为16．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？．由此能够证明的重心，．17．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M．问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值．则=1）∵椭圆+=1）的离心率为），即，解得的方程为=1，则+﹣＜．==﹣18．（15分）（2008•江苏二模）如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q 为停车场，PQ=5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．（Ⅰ）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．．，（由已知得：，，km/h=，…（．；当时，满足19．（16分）（2011•江苏二模）已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差d不等于0，设a1，a3，a k是公比为q的等比数列{b n}的前三项，（1）若k=7，a1=2；（i）求数列{a n b n}的前n项和T n；（ii）将数列{a n}和{b n}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n}，设其前n项和为S n，求的值（2）若存在m＞k，m∈N*使得a1，a3，a k，a m成等比数列，求证k为奇数．项的和，所以计算得到，所以d≠0，所以，所以所以中，所以20．（16分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．，得或，，，即最大值为，求导得，，即，则三、数学（附加题）本大题共4小题，每小题满分0分，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知矩阵，（1）计算AB；（2）若矩阵B把直线l：x+y+2=0变为直线l'，求直线l'的方程．）由题意，代入22．（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．的普通方程为．的距离的距离23．（2012•浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．（1）求X的分布列；（2）求X的数学期望E（X）．；=3 4 5 6）=3×+4×+5×+6×=24．（2011•扬州三模）理科附加题：已知展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（Ⅱ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）．，，所以=。
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B =I （ ）A ．{3,4}B ．{0,1}C ．{}1,0,1-D ．{2,3,4}2．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知0x >，0y >，则（ ） A ．ln ln ln ln 777x y x y +=+ B ．()ln ln ln 777x y x y +=⋅ C ．ln ln ln ln 777x y x y ⋅=+D ．()ln ln ln 777xy x y =⋅4．若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A B C ．D ．25．已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（ ）A ．16B ．13C ．12D ．236．若函数()()12,152lg ,1a x x f x x x ⎧-+≤=⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)6,1-B ．(),1-∞C ．()6,1-D ．(),6-∞-7．已知函数()()sin cos 06f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多选题9．下列导数运算正确的是（ ） A ．'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()e e x x --='C ．21(tan )cos x x =' D ．1(lg )ln10x x =' 10．已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()g x 的图象没有对称轴11．已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（ ）A ．ab 的最小值为9B ．22a b +的最小值为18C ．3111a b +--D ．4a b +的最小值为12三、填空题12．命题“2024,lg x x ∀…的否定为.13．若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =． 14．已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑．四、解答题15．已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--． （1）求f (x )的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的最小值以及取得最小值时x 的集合．16．已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域； (2)解不等式：()()2231f x f x +≤+.17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值； (2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值． 18．已知函数()()12ln ,f x x g x ax x =+=.(1)求()f x 的单调区间；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19．设集合A 为非空数集，定义{}{},,,|,,A xx a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈∣. (1)若集合{}1,1A =-，直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{}02024,A xx x ⊆≤≤∈N ∣且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.。
2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1 •已知集合A= x 1 x 1 , B 1,0,3 ，则AI B ___________________ 【答案】0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集•【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故 A B 0 .故答案为：0【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题2•设幕函数f （x）kx a的图像经过点（4,2），则k3【答案】-21【解析】由题意得k 1,2 4 丄k3223 .若命题“ ？t € R, t2 - a v 0”是真命题，则实数a的取值范围是【答案】（0,）【解析】命题"t R, t2- a v 0 ”是真命题,a>0,则实数a的取值范围是（0,）故答案为（0, + ）•4 .函数f(x) In(x 1) 42x的定义域为__________【答案】（1,2]【解析】【详解】由｛X 1 0可得，1 x 2，所以函数f （x） ln（x 1）、厂的定义域为1,2 2x0，故答案为1,2V 0-4( - a)> 0故答案为: 【点睛】【答案】24【解析】 首先根据等差数列的前 n 项和公式和等差中项，即可求出 差数列的通项公式和 89 30，即可求出a g ，进而求出cll 2的值.【详解】因为 S n 132，所以，=132，即 11 a 6 = 132，所以，a 6 = 122又 a 6 a 9 30，所以，8g = 18，因为 86 812 2a g ，所以，可求得： 3i 2 = 24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前 n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键 . 7.定义在R 上的奇函数f(x)，当x 0时，f(x) 2xx 2，则f( 1) = _________ .【答案】 1【解析】由f x 为奇函数可得:5.已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P 1,2 ,则 sin2 【答案】【解析】 5根据三角函数定义求 cos和sin，最后代入公式sin 22sin cos 求【详解】 解：由题意可得OPcos品i,sin5y 2 2、57 5 ，sin22sin cos本题主要考查任意角的三角函数的定义, 属于基础题. 6 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ,S n132,a6a930, 则a i2的值为a 6的值，再根据等1 f 12 1 1，故答案为1.依题意,0,时，f xe x lnx 1x0恒成立，即也即aln x 1_在 x0,上恒成立，构造函数0，则，所以函数 h x 在区间0,1上递减，在区间1,上递增，在8 •已知函数f(x) 2sin(2 x )(0)的最大值与最小正周期相同，贝y 函数f(x)在 4［1,1］上的单调增区间为 _________ •1 3 【答案】［丄，二4 4【解析】试题分析：条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要” ).【答案】必要不充分 【解析】【详解】试题分析：r r 2 a //b (sin 2 ,cos ) / /(cos ,1) sin 2 cos cos 0或 2sin cos1r r1cos 0或tan，所以“ a//b ”是“ tan- ”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10 •已知函数f(x) e x lnx ae x (a R),若f x 在0, 上单调递增，贝U 实数a的取值范围是 ______ . 【答案】,11构造函数h x In x — x 0，利用导数求得h x 的最小值，进而求得 a 的取值范x围• 【详解】由题意可知，函数 f (x) 2sin( x1 32k x -2k, k Z ，又x44上的单调递增区间为 [1 ,3].-)，令一2k 4 21[1,1]，所以 x4x 2k ，解得4 23，所以函数f(x)在［1,1］49 .设向量 a (sin2 ,cos ) , b(cos ,1)，则“ ；//b ”是 “ tan£ ”成立的【解析】对函数f x 求导，根据函数在 0,上单调递增列不等式， 分离常数a 后,4 4【考点】三角函数的图象与性质取得极小值也即是最小值，故h x h 1 1,所以a 1.故答案为： ,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性， 考查不等式恒成立问题的求解策略， 属于中档题• 11•如下图，在直角梯形 ABCD 中，AB//CD, ADC 90°, AB 4, AD ,2, E 为uuv umv nrt uuv uuuvBC 中点，若 AB AC 4，贝V AE BCuuuruuir得：A 0,0 ,B 4,0 ,C m, .2 ,C 0, ,2 ,则 AB 4,0 ,AC【答案】13 2【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设CD m m 0，结合题意可uuu uuur 故AB AC 4m 4, m1，即 C 1, 2，则 E5 V 2 2, 2uuiu 5 uuLT据此有AE —,— ,BC2 2 uuiu uuu 3/2 ,AE BC22第5页共15页依题意, 由正弦定理得 b c ma ，由余弦定理得cosA2 2b c 2 2bc a 2m a2bc2bc2a2—2m 3，由于A 为锐x ax 012 •若函数y {，在区间2,2上有两个零点，则实数 a 的取值范x a ln x, x 0围为 ___________ • 【答案】0,2 In 2【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数 的区间-..和区间--内分别有一个根:_ 」.■， - 与函数；--L J 在给定‘一仃兰0* 4 —a > 01 -a+hi2 > 0故答案0,2 In 2【考点】函数的图象及零点的确定. 【易错点晴】用问题•将问题等价转化为两个函数 .- 与函数；-二-吗■-芒:V 在给定的区间-^<0(-2,0］和区间(0=2〕内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组4-0 >0,通— a + lii 2 > 0 过解不等式组从而获得答案 •13 •在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是a , b , c ，已知sinB sinC msinA m R ，且a 2 4bc 0.且角A 为锐角，则 m 的取值范围是【详解】a >0,即^ <4a <2 2,所以本题设置了一道以分段函数的解析式a,x 0In x, x 背景的零点个数的综合应【解析】利用正弦定理化简 sinB sinC msinA m R ，利用余弦定理表示出 cosA ,根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围22 3 2 _角，所以0 cosA 1，所以o 2m 3 1，即—m 2，由于m为正数，故2— m 2.26 _故答案为：6 2 .2【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.114 •已知函数f(x) 2tx ln(x n 2), g(x) t，若函数xh(x) 4x3 nx2 (1 n)x n 8在，上是增函数，且f x g x 0在定义3域上恒成立，则实数t的取值范围是_________ •1 2【答案】, U e22e【解析】根据h' x 0求得n的值，由此化简f x g x 0，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t的取值范围【详解】4 3 2由于函数h(x) x3 nx2(1 n)x n 8在3上是增函数，所以' 2h x 4x 2nx 1 n 0恒成立，故2 24n 16 1 n 0,即n 2 0,所以n2.故f x g x 0 即2tx l nx 2tx ln x02tx ln x 01 t0①，或1②. t 0x2t In xx由①得tx③,1构造函数m xx1-t 0在0, 上恒成立，等价于xln x 小ln x 1 十，x 0 , m x2,所以m xx x在0,e上m x 0 , m x递减，在e, 上m x 0 , m x递增，最小值为1-,所以③等价于e 1e，解得t丄2e【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题, 恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较 大，属于难题 二、解答题2 215 .已知集合 A x | x 3x 20，集合B y y x 2x a ，集合2C x|x ax 4 0，命题 p ： A B ，命题 q: A C .(1) 若命题P 为假命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题P q 为假命题，求实数 a 的取值范围.【答案】(1) a 3; (2) ( ,0) (3,)【解析】先求出集合A x 1 x 2和B {y | y a 1}；(1) 由题意得A B=，由集合的交集运算得 a 的取值范围；(2) 先求出P q 为真命题时a 的取值范围，从而求出 P q 为假命题时a 的范围.【详解】••• y2小 /x 2x a (x 1)2a 1 a 1 , •••集合B{y|y a 1},集合 A x x 2 3x 2x 1 x 2 ，集合Cx 2 x ax 4 0(1) 由命题P 是假命题，可得A B =即得a 1 2, • a 3.(2) 当Pq 为真命题时,p,q 都为真命题, 即 A B，且 AC ,2t由②得tIn xx④.由也2x1 解得x1 .根据m X 和y -的单调性可知，当e "且仅当t2e 时，④成立.综上所述, t 的取值范围是丄2e故答案为—U e 2 2e考查利用导数求解不等式a 1 2 a 3 1 a 4 0 a3，解得0a 3.22 2a 4 0a 0p q 为假命题时，a 0 或 a 3，••• a 的取值范围是：（,0） （3,）【点睛】 本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于 基础题•116. ABC 中，角A , B, C 所对边分别是 a 、b 、c ,且cos A -.3B C（1）求 sin 2cos2A 的值；2⑵若a ,3，求△ ABC 面积的最大值.【答案】（1）B C【解析】（1）将sin 2cos2A 化简代入数据得到答案•29（2）利用余弦定理和均值不等式计算 bc ，代入面积公式得到答案4则厶ABC 面积为IbcsinA 1 - 乙2 土22 2 43 43—时，△ ABC 的面积取得最大值 * •24【点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型,.2B C. 2A 1 sincos2A sin -222 A 2八 ,1 cosAcos2cos A 1 -22,11 -」2 1 1 -；29 9⑵由cosA1 ，可得si nA i 门392、2 3 < b 2 c 2 2be 2bc - bc -bc ,3 3 3即有bc < 3 a 249-，当且仅当bc 3，取得等号即有b【详解】由余弦定理可得a 2 b 2 c 22cos 2 A 12cos 2A 1UU UT UULT2 UUUAB31UUUTUULTACUUUAB1UULT一2 UUU 2一AB1 UUUUULT-AB AC3(2) UUUAB1 2 cos120UUUTtCDUULTCD13UUUAB3 'UUUCDUULTADUUUBCUUU Q CD 2 UUUCB3UULTUUU ABACUUT 2BCUU U CD 2 UUUCB328UUUUUUT Q AB CD UUU 2 UUU 2UULTAB AB AC3 3UUU2CD2 UUU 2-AB2 UUUTUUUAC AB3cos120 717 .如图，在ABC 中，BAC 120 , AB 2 , AC 1, D 是边BC 上一点, lur uuu DC 2 BD .uuu UULTLUUT(2)若AB tCD CD8 15【答案】（1）（2）t3 14UULT UUU UUU UUUT【解析】（1 ）将AD,BC都转化为用AB, AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求/ 曰UUUT UUU得AD BC的值•UUU UUTUULT UUU UUUT AB CD UUU （2）将原方程AB tCD CD 0转化为t LUU 2，同（1）的方法，将CD转化CDUUU UULT为用AB,AC为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t的值.【详解】UU UU（1）Q D是边BC上一点，DC2BDUU1UU1UUL UUUBD BC AC AB33UUL UU1UU UUU2AD AB1AC AB-AB330 ,求实数t的值.31 UUU T AC3制，和圆的直径，求得的取值范围.(2)利用导数求得 W 的单调区间，进而求得当 为何值时， W 取得最小值.【详解】(1)设C 为弧AB 的中点，连结OA , OC , OB ，则OA AD8 21 2 cos120 3 3 10 T15 14【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理, 数学思想方法，属于中档题 • 18 .某公园为了美化环境和方便顾客,考查向量数量积和模的运算， 考查化归与转化的计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图 所示，共包括圆弧形桥面 ACB 和两条长度相等的直线型路面 AD 、BE ,桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点 A 和B 处相切•设 ADO，已知直线型桥面每米修4a 一 兀•3W 元，求W 关于的函数(2)当为何值时，桥面修建总费用W 最低？【答案】 (1) 3cos W 2a 4sin【解析】 (1) 设C 为弧AB 的中点，连结OA , OC , OB ，通过解直角三角形以及弧长公式， 求得AD,A C 的长，由此计算出修建总费用 W 的表达式，根据 DE 长度的限在OAD 中，ADtan又因为 AOC ADO 3cossin，所以弧AC 长为I 3关系式; )的修建总费用为当孑3时，f，函数f 单调递减;当一，一时，fo ，函数f 单调递增;2 2所以当 时，函数f取得最小值，此时桥面修建总费用最低 •3【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值， 考查函数在在实际生活中的运用, 计算，属于中档题•X1 19•已知函数 f (x) axlnx (1 a)x a (a R).22(1) 当a 1时，求函数f x 在x 1处的切线方程； (2) 当a 0时，证明：函数 f x 只有一个零点； (3) 若函数f x 的极大值等于0 ,求实数a 的取值范围 【答案】(1) y 0 (2)证明见解析(3),1【解析】(1)求得函数在x 1处的导数，由此求得切线方程所以W4a ~3込 a 2a 4 sin 3cos sin当DE6时,2 ；当 DE12时,6，所以62a , 3cos4sin3_~2sin4sin 2；~2 sin3，令考查弧长的所以W(2)通过求f X的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数 f X的单调区间，由此证得函数f X只有一个零点•(3)当a 0时根据(2)的结论证得结论成立.当a 0，根据f x的二阶导数，对a分成0 a 1,a 1,a 1三种情况，利用f 的一阶导数，结合零点的存在性定理,求得实数a的取值范围.【详解】x2(1)当a 1 时，f x xl nx2In x 1所以f x在x 1处的切线方程为y0.(2) f x alnx x 1 x 0，令g x aln x x当a 0时, x在0, 上单调递减，又所以当x0,1 时，f x x单调递增，当x1,时，f单调递减所以0,所以f只有一个零点x 1 .(3)①当a 0时, 由(2)知, x的极大值为f 10，符合题意;②当a 0时，令g x 0,得a，当x 0,a 时,单调递增,a, 时, x单调递减，注意到(i)当01a1 时，g a g 1 0,又g e a1e a0.所以存在X10,a，使得g x1 0，当x 0,为时,单调递减，当x 为，1时，g x x单调递增，当x 1, 时, x 0 , f x单调递减，所以 f x的极大值为f 1 0，符合题意; (ii)当a 1 时，g x0恒成立，f x在0, 上单调递减, 无极值，不合题意;(iii)当a 1 时，g a g 1 0,又g 2 aa e 1，令2xX 1 0, x 在1,上单调递减，e 'X所以 x1-1，所以 g e a a 2 e a 1 0,e存在x 2 a,使得 g X 2 f X 2 0,当 x 0,1时,f x 0, f x 单调递减，当X 1,x 2 时，f x 0, f x 单调递增，当 X X 2,时，f x 0, f x 单调递减，所以f X 的极大值为f X 2 ,且f X 2 f 1 0,不合题意.综上可知， a 的取值范围是,1 .【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率， 考查利用导数研究函数的零点， 考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综 合性较强，属于难题•2 *20.已知正项数列 a n 的前n 项和为S n ，且a n 2a n 4S n 1 n N .和 5 , 4 , 3, 2 , 1.(2)由(1 )求得S n 的表达式，然后利用裂项求和法求得 较法证得数列 T n 递增，进而求得T n 的取值范围(3)先判断出数列 C n 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数•然后假设抽出的数列中(1) 求数列 a n 的通项公式;(2) 若b na n 1-，数列b n 的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围;S 2n 1 S 2n 1(3) 若C n1-a n 1 , n 为奇数*2n N ,从数列C n 中抽出部分项(奇数项与偶n22, n 为偶数数项均不少于两项)，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列 •当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列【答案】(1) a n 2n1( 2) T n1 (2n 1)22,丄(3) 1, 2 , 3, 4 , 59 4【解析】(1)利用a nS 1, n 1S nS n 1, n，求得数列a n 的通项公式•b n 的前n 项和T n .利用差比有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项 •进而证得奇数最多有 3项•由此求得所有满足条件的等差数列. 【详解】n, n 2k 1（3） C n n22, n 2k设奇数项取了 s 项，偶数项取了 k 项，其中s ，k N *，s 2，k 2.2 2 a n 1an22a n 1 2 a n 4a . 1，即 a n 12a n 2 a n 1 a n 0 ,即a n 1 a n2a n 1 a n因为数列 a n 各项均为正数,所以 a n 1 a n 0，所以 a n 1a n 2所以数列 a n 是以1为首项, 2为公差的等差数列•因此，a n1 2(n 1) 2n1，即数列a n 的通项公式为a n 2n 11，两式相减, 得12an 14Sn 由 a ； 2a n 4S n 1，得 a ； 12(1)当 n 1 时，由 a ； 2a n24S n 1，得 a 1 2a 1 4a 11，得 a i1，(2)由1） 知 a n2n 1，所以S nn(1 2n 1)2n所以b na n 1S2n 1 S2n 12n (2n 1)2(2 n 1)21 (2n 1)21 (2n 1)2所以T n2n(2n 1)2(2n1)21 1 3232(2n1(2n 1)2411 (2n 1)2令 f (n)(2n 1)2，则f(n 1)f(n) 1 2(2n 1)(2n 3)28(n 1)(2n 3)2(2n1)2 0 所以f n是单调递增数列，数列 T n 递增,所以T n T 1-，又T n -，所以T n 的取值范围为 9 4因为数列 c n 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数 假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ， 2j ， 2p 1 i j p ，2 j 2 P又2——— 2j 1 2P 1为奇数，而j 2， p 3，则2j 1与2P 1均为偶数，矛盾。
江苏省盐城中学高三年级阶段性考试教师版
江苏省盐城中学高三年级阶段性考试数学试卷（2020.8）一、单项选择题：本题共 8 小题.每小题 5 分.共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合 A = {x x 2≤ x }， B = ⎧x 1≥ 1⎫，则 A B = （）⎨ x ⎬A ． (0,1]⎩⎭B ． [0,1]C ． (-∞,1]D ． (-∞, 0) (0,1]【答案】A解： x 2≤ x ，∴ x 2- x ≤ 0 ⇒ x (x -1)≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1，∴ A = {x 0 ≤ x ≤ 1}.1 ≥ 1(x ≠ 0)，∴ 1 -1 ≥ 0 ⇒ 1 - x ≥ 0 ⇒ x (1 - x )≥ 0 ⇒ 0 < x ≤ 1，∴ B = {x 0 < x ≤ 1} x x x ∴ A B = {x 0 < x ≤ 1}，故本题选 A.1+ i2．已知i 为虚数单位 a , b ∈ R .复数 2 - i- i = a + bi .则a - bi =（） A ． 1 - 2 i5 5【答案】B B ． 1 + 2i5 5 C ． 2 - 1 i5 5 D ． 2 + 1i5 5解：1 + i - i = (1 + i )(2 + i ) - i = 2 + 3i -1 - i = 1 + 3i - i = 1 - 2i = a + bi2 - i 5 5 5 5 5 5 ∴a = 1 ， b = - 2 . ∴a - bi = 1 + 2i . 故本题选 B.5 5 5 53．将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ．12 种B ．24 种C ．36 种D ．48 种【答案】C解： C 2⋅ A 3= 6 ⨯ 6 = 36 ，故本题选 C.434．某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 N (105,σ2)(σ> 0).试卷满分 150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的 1.则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之5间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C6 解： P (X > 120)= 1 ，∴ P (X < 90)= 1 ，即 P (90 < X < 105)= 1 - 1 =3，数学考试成绩在 90 分到 1055 5 2 5 10分之间的人数约为 3⨯1000 = 300 .故本题选 C.105．在 ∆ABC 中， BD = DC ， AP = PD ，且 BP = λAB + μAC ，则λ+ μ= （ ）A ．1B ． 12 C ． - 12【答案】CD ． 13解： BP = BA + AP = - AB + 1 AD = - AB +1(AB + AC )= - 3 AB + 1 AC ，∴λ= - 3 ， μ= 124则λ+ μ= - 3 + 1 = - 1.故本题选 C.44444 4 2 x 2 y 2 6．设 F 1 , F 2 是双曲线C :-a2b2= 1(a > 0, b > 0 )的两个焦点， P 是C 上一点若 PF 1 + PF 2 = 6a ，且∆PF 1F 2 的最小内角为30︒，则C 的离心率为（）A ．6B ．C ．3D ．【答案】D⎧⎪PF 1 + PF 2 = 6a 解： ⎨ ⎩⎪PF 1 - PF 2 = 2a⎪⎧ PF 1 = 4a ⇒ ⎨⎪⎩PF 2 = 2a， 2a < 2c 且2a < 4a∴PF 2 所对的角∠PF 1F 2 最小∴ PF 2 = PF 2 + F F 2 - 2PF ⋅ F F⋅ c os 30︒ = 4a 2 = 16a 2 + 4c 2 - 2 ⋅ 4a ⋅ 2c ⋅ 32 1 1 21 12 2∴ c= a，即 e = 3 .故本题选 D. 7．已知函数 f (x )是偶函数定义域为 R ，单调增区间为[0, +∞)，且 f (1) = 0，则(x -1) f (x -1) ≤ 0的解集为（ ）A ． [-2, 0] 【答案】CB ． [-1,1]()C ． (-∞, 0] [1, 2]⎪⎧x > 1D ． (-∞, -1] [0,1]解：1︒当 x -1 > 0时， f x -1 ≤ 0，即 ⎨⎪⎩-1 ≤ x -1 ≤ 1⇒ 1 < x ≤ 2 33-x 2 - 2x n2︒当 x = 1时，满足( )⎧⎪x < 1 3︒当 x -1 < 0时， f x -1 ≥ 0，即 ⎨ ⎩⎪x -1 ≤ 1⇒ x ≤ 0 ，综上： x ∈ (- ∞ , 0] [1 , 2].故本题选 C.8．已知点 P (m , n )是函数 y =图像上的动点，则 4m + 3n - 21 的最小值是（ ）A ．25B ．21C ．20D ．4【答案】C解： y =≥ 0，∴ y 2 = - x 2 - 2x ⇒ (x + 1)2 + y 2 = 1P (m , n )在(x + 1)2 + y 2 = 1(y ≥ 0)半圆上，圆心为(-1 , 0)，半径为1⎧⎪m + 1 = cos θ 设 ⎨⎩⎪n = sin θ ⎧⎪m = cos θ-1⇒ ⎨ ⎪⎩n = sin θ，其中θ∈[0 ,π] 4m + 3n - 21 = 4 cos θ- 4 + 3sin θ- 21 = 4 cos θ+ 3sin θ- 25 = 5sin (θ+ϕ)- 25 = 25 - 5sin (θ+ϕ)（ 其中sin ϕ= 4 ， cos ϕ= 3）5 5当θ+ϕ= π时， 4m + 3n - 21 取最小值20 ，故本题选 C.2二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分.共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对 的 得 5 分 ， 部 分 选 对 的 得 3 分 ， 有 选 错 的 得 0 分 . 9．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n = 2a n - 2 .若存在两项 a m , a n ，使得 a m a n = 64 ，则下列结论正确的是（）A ．数列{a n }为等比数列B ．数列{a n }为等差数列C ． m + n 为定值D ．设数列{b }的前 n 项和为T ， b = log a ，则数列⎧T n ⎫为等差数列nnn2 n⎨ ⎬⎩ ⎭【答案】ACD解： S n = 2a n - 2，当 n = 1时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 ⇒ a 1 = 2 当n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2 - 2a n -1 + 2 = 2a n - 2a n -1- x 2- 2xn m n⎢ ⎥ 3 ∴a n = 2a n -1 (a 1 ≠ 0)∴ an a n -1 = 2，即{a n }是以2 为公比的等比数列，选项 A 正确；∴a = 2 ⋅ 2n -1= 2na a = 2m ⋅ 2n = 2m +n = 64 ⇒ m + n = 6，选项 C 正确；b = log 2n = n ，则T = n (n + 1) ⇒ T n = n + 1 n 2 n2 n 2T n +1 T n= n + 2 - n + 1 = 1 ，则 ⎧T n ⎫ 1Dn + 1 n22 2⎨ n ⎬是以 2为公差的等差数列，选项 正确；⎩ ⎭故本题选 ACD.10．将函数 f (x ) = sin ⎛2x + π⎫的图象向右平移π个单位长度得到 g (x )图象.则下列判断正确的是（）3 ⎪ 2⎝⎭A ．函数 g (x )在区间 ⎡ π ,π⎤上单调递增 ⎣12 2 ⎦B ．函数 g (x )图象关于直线 x = 7π对称12 C ．函数 g (x )在区间 ⎡- π,π⎤上单调递减⎣⎢ 6 3 ⎦⎥D ．函数 g (x )图象关于点⎛ π, 0 ⎫对称 3 ⎪ ⎝ ⎭【答案】ABD解： g (x )= f ⎛x -π⎫=⎡ ⎛ - π⎫ + π⎤ = sin ⎛ 2x - 2π⎫2 ⎪ sin ⎢2 x 2 ⎪3 ⎥ 3 ⎪对于 A ，⎝ - π ≤ 2x - 2 ⎭ ⎣ ⎝ 2π ≤ π ⇒ π 3 2 12 ⎭ ⎦ ⎝ ⎭ ≤ x ≤ 7π 12∴ g (x )的一个单调增区间为 ⎡ π , 7π⎤ ，∴ g (x )在区间 ⎡ π , π⎤上单调递增，正确；⎢⎣12 12 ⎥⎦ ⎣⎢12 2 ⎦⎥对于 B ， 2x - 2π = π+ k π⇒ x = 7π+ k π(k ∈ Z )，当 k = 0 时， g (x )的对称轴为 x = 7π，正确；3 2 12 2 12对于 C ，由 A 可知 g (x )在 ⎡ π , π⎤上单调增，错误； ⎣⎢12 2π 对于 D ， 2x - = k π⇒ x 3 ⎥⎦πk π(k ∈ Z )，当 k = 0 时， g (x )的对称中心为⎛π , 0⎫ ，正确；= + ⎪3 3 2 ⎝ ⎭故本题选ABD.511．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E ，F 分别是AB1 ，BC1 的中点，下列结论中正确的是（）A．EF 与BB1 垂直B．EF 与平面BCC1B1 垂直C．EF 与C1D 所成的角为45︒D．EF 平面ABCD【答案】AD解： F 为 BC1 中点，则 F 也为 B1C 中点， E 为 AB1 中点，∴EF 是 ∆B1 AC 中位线，∴EF // AC .对于A，BB1 ⊥平面ABCD ，BB1 ⊥AC ，∴BB1 ⊥EF ，正确；对于B，AC 与BC 不垂直，则EF 与BC 不垂直，则EF 与平面BCC1B1 不垂直，错误；对于C，EF // AC ，∴EF 与C1D 所成角就是AC 与C1D 所成角，也是A1C1 与C1D 所成角，A 1C1=C1D =A1D ，∴A1C1与C1D 所成角为60︒，不是45︒，错误对于D，EF // AC ，EF ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴EF // 平面ABCD ，故本题选AD.x 2 -y2 =12．已知P 是双曲线上25 161上右支上一点， F1是双曲线的左焦点， O 为原点，若 OP +OF1= 8 ，则下列结论正确的是（）A．双曲线的离心率为5 3B．双曲线的渐近线为 y =±4 x 5C．∆PF1F2 的面积为36D．点P 到该双曲线左焦点的距离是18【答案】BD解：取PF1 的中点为M ，设双曲线右焦点为F2 ，连接PF2 ，OM OP + = 8 ⇒ 2OM = 8 ⇒OM = 4，∴PF2 = 8PF1 -PF2= 2a = 10 ，PF1= 18，故选项D 正确；而双曲线的离心率为e = 41，故选项A 错误；5OF141 41 32 2 4110 = C 10 10 双曲线渐近线方程为 y = ± b x = ± 4x ，故选项 B 正确；设 P (x 0, y 0)，由 PF 1= ex a0 + a =541 x 5 0+ 5 = 18 ⇒ x 0 = 13⋅ 5= 65∴ y = ，∴ S = 1⋅ 2 41 ⋅32 2= 32，故选项 C 错误.0 ∆PF 1F 22 41故本题选 BD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知(x +1)10= a + a x + a x 2 + + a x 10 ，若数列 a , a , a , , a (1 ≤ k ≤ 11, k ∈ Z )是一个单调递增123111 2 3 k数列，则 k 的最大值是 .答案： 6解： (1 + x )10展开式中第 r + 1项为T = C r x r ，∴a n -11045 10= 210 ， a 6 5= 252 ， a 6 = 210 ∴a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < a 6 > a 7 > > a 11a 1 , a 2 , a 3 , , a k 是 一 个 单 调 递 增 数 列 ，∴k max = 6 .14．以抛物线 y 2= 2x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为.答案： ⎛ x - ⎝ 1 ⎫2⎪ ⎭+ y 2 = 1⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫2解：抛物线 y 2= 2x 的焦点为 , 0⎪ ，∴圆心C 为 , 0⎪ ，圆C 方程为 x - ⎪ + y 2 = r 2 ，⎝ 2 ⎭ 1⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎛1 ⎫2抛物线的准线为 x = - 2 圆C 与抛物线准线相切，∴r = 1，即圆C 的方程为： x - ⎝ ⎪ + y 2= 1.⎭15．某地区要建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形 ABCD ，腰与底边夹角为60︒（如图）考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9 平方米，且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米， 外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为 y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过 21米，则其腰长 x 的2取值范围为 .答案： [3, 4]2 3 3 r +1 = C = C = C 2 2 n a 73 3 6 6解：过 B 作 AD 的垂线，垂足为 E ，则 AE = x ， BE =23 x ，23 x ≥ 2⇒ x ≥ 29 =1(BC + BC + x )⋅3x ，则 BC = 18 - 12> 0(2 ≤ x < 6)2 2 x xy = BC + 2x = 18 + 3x ≤ 21，则3 ≤ x ≤ 4 ，x 2 2综上： x ∈[3 , 4].16．已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 ，其内有 2 个不同的小球，球O 1与三棱锥 A - CB 1D 1 的四个面都相切，球O 2 与三棱锥 A - CB 1D 1 的三个面和球O 1 都相切，则球O 1 的体积等于，球O 2 的表面积等于.【答案】4π；π3解：三棱锥 A - CB 1D 1 为正四面体， AC = 2 ，设球O 1 的半径为 r 1 ，由等体积法知V A -CB D = V O - ACB + V O - AB D + V O -CB D1 11111 111 1S ∆CB 1D 1 = 3 ⨯ (2 4 6 )2 = 6 ，正四面体高为 h =6 ⋅ 2 = 4 3∴ 1 ⨯ 6 3 ⨯ 4 = 1 ⨯ 3⨯ 24 ⨯ r ⨯ 4 ⇒ r = 13 34 1 1∴球O 的体积等于 4π13 = 4π.13 3正四面体的高 AQ = 4 ，∴ AO 1 = 4 -1 = 3设球O 的半径为 r ，如图AO 2 = O 2 N ⇒ 2 - r 2 = r 2 ⇒ r = 1AO 1 O 1M3 1 22 ∴球O 的表面积等于4π⋅ 1= π.24注释：设正四面体的棱长为 a ，则其高为6 a ，外接球的半径 R =36 a ，4内切球的半径 r =6a ，体积为 122 a3 . 12四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在① a sin C -3c cos B cos C = 3b cos 2 C ；② 5c cos B + 4b = 5a ；③ (2b - a )cos C = c cos A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目3 3 2 2在∆ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .且满足.（1）求sin C ；（2）已知 a + b = 5， ∆ABC 的外接圆半径为，求 ∆ABC 的边 AB 上的高 h注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）选条件①a sin C -3c cos B cos C = 3b cos 2 C 且正弦定理a = sin Ab sin B =csin C∴ sin A sin C - 3 sin C cos B cos C = 3 sin B cos 2 C即： sin A sin C = 3 cos C (sin C cos B + cos C sin B ) = 3 cos C sin(B + C )在 ∆ABC 中， A + B + C = π，∴ sin(B + C ) = sin A ，∴ sin A sin C =3 cos C sin A在 ∆ABC 中， A ∈ (0,π) ，∴ sin A ≠ 0 ，∴ sin C = 3 cos C若cos C = 0 ，则sin C = 0 ，此时与sin 2 C + cos 2 C = 1矛盾 ∴ cos C ≠ 0 ，∴ tan C = sin C= cos C在 ∆ABC 中， C ∈ (0,π) ，∴ C = π ，则sin C = sin π=3. 3 3 2选条件②5c cos B + 4b = 5a ，且正弦定理 a=b=csin A sin B sin C∴ 5sin C cos B + 4 sin B = 5sin A在 ∆ABC 中， A + B + C = π，∴ sin A = sin(B + C )∴ 5sin C cos B + 4 sin B = 5sin(B + C ) = 5sin B cos C + 5 cos B sin C ∴ 4 sin B = 5sin B cos C在 ∆ABC 中， B ∈ (0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ cos C = 45在 ∆ABC 中， C ∈ (0,π) ，∴ sin C > 0 ，∴ sin C = 选条件③1 - cos 2C = 3 .5 (2b - a ) cos C = c cos A 正弦定理a = sin Ab sin B =csin C∴ (2 sin B - sin A ) cos C = sin C cos A ，即 2 sin B cos C = sin A cos C + sin C cos A ∴ 2 sin B cos C = sin( A + C )4 333，则 ab在 ∆ABC 中， A + B + C = π，∴ sin( A + C ) = sin B ，∴ 2 sin B cos C = sin B 在 ∆ABC 中， B ∈ (0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ cos C = 12在 ∆ABC 中， C ∈ (0,π) ，∴ C = π ，则sin C = sin π=3. 3 3 2（2）选条件①或③时， C = π3由正弦定理得：c sin C = 2R ，且 ∆ABC 的外接圆半径 R = 4 3 ∴ c = 2R sin C = 8 3 ⨯ 3 3 3 = 42由余弦定理： cos C = a 2 + b 2 - c 2 2ab = (a + b )2 - 2ab - c 2 2ab ，且 a + b = 5 ，可得： 1 252 - 2ab - 42= ab = 32ab ∴由 ∆ABC 的面积 S = 1 ab sin C = 1 c ⋅ h ，得： 3 ⨯ 3 = 4h ，则 h = 3 3.2 2 2 8 选条件②时， sin C =3 ， cos C = 45 5由正弦定理得： c sin C = 2R ，且 ∆ABC 的外接圆半径 R = 4 3∴ c = 2R sin C = 8 33 ⨯ 3 =8 3 3 5 5 由余弦定理： cos C = a 2 + b 2 - c 2 2ab = (a + b )2 - 2ab - c 2 2ab ，且 a + b = 5 ，可得： 4 5= 52 - 2ab - 42 ，则 =52ab 2 ∴由 ∆ABC 的面积 S = 1 ab sin C = 1 c ⋅ h ，得： 5 ⨯ 3 = 8 3 h ，则 h = 5 3.2 2 2 5 5 16 18．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n = 2a n +1- n （1）求证：数列{a n +1}为等比数列；（2）设b n = n (a n +1)，求数列{b n }的 n 项和T n . 解：（1）证明：①当 n = 1时， S n = 2a n + 1 - n ，∴ a 1 = S 1 = 2a 1 + 1 - 1，∴ a 1 = 0 ，∴ a 1 + 1 = 1②当 n ≥ 2 时， S n = 2a n + 1 - n ，∴ S n -1 = 2a n -1 + 1 - (n - 1) = 2a n -1 + 2 - n∴ a n = S n - S n -1 = (2a n + 1 - n ) - (2a n -1 + 2 - n ) = 2a n - 2a n -1 - 1∴ a = 2a+ 1 ，则 a+ 1 = 2(a+ 1) ，即： a n + 1= 2nn -1nn -1a n -1 + 1∴ {a n + 1}是以1为首项， 2 为公比的等比数列 （2）由（1）可得： a n + 1 = (a 1 + 1) ⋅ 2n -1 = 2n -1∴ T n = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + 4 ⋅ 23 ⋅ ⋅ ⋅ +n ⋅ 2n -1 ①(n ∈ N * ) ，∴ b n = n (a n + 1) = n ⋅ 2n -1(n ∈ N * )2T n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅ ⋅ ⋅ + (n - 1) ⋅ 2n + n ⋅ 2n ②①减去②： - T n = (20+ 21 + 22+ ⋅ ⋅ ⋅ + 2n -1) - n ⋅ 2n= 20 ⋅ (1 - 2n ) 1 - 2- n ⋅ 2n= (1 - n )2n - 1∴ T n = (n - 1) ⋅ 2n + 1 .-13 33 3 3 ⎪ ⎩ 0 0 z ⋅ = - - = ⎩ 019．如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ⊥ 平面 ABCD ，AD ⊥ CD ，AD BC ，PA = AD = CD = 2，BC = 3，E 为 PD 的中点，点F 在 PC 上，且 PF PC = 1 .3（1）求证： CD ⊥ 平面 PAD ； （2）求二面角 F - AE - P 的余弦值； （3）设点G 在 PB 上，且 PG = 2，试判断直线 AG 是否在平面 AEF 内， PB 3请说明理由.解：（1）证明： PA ⊥ 平面 ABCD ， CD ⊂ 平面 ABCD ，∴ PA ⊥ CD又 CD ⊥ AD ， PA AD = A ，∴ CD ⊥ 平面 PAD . （2）过 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，如上图建立空间直角坐标系 则 F ⎛ 2 , 2 , 4 ⎫， E (0,1,1)， A (0, 0, 0) ⎝ ⎭ ∴ = ⎛ 2 2 4 ⎫ ， AE = (0,1,1) AF , , ⎪⎝ 3 3 3 ⎭设平面 AEF 的一个法向量为 n 1 = (x 0 , y 0 , z 0 )⎧ ⎧ 2 2 4⎧x 0 = 1 ∴ ⎪n 1 ⋅ AF = 0 ⇒ ⎪ 3 x 0 + 3 y 0 + 3 z 0 = 0 ⇒ ⎪y = 1 ，∴ n = (1,1, -1) ⎨ ⎨ ⎨ 0 1⎪⎩n 1 ⋅ AE = 0 ⎪ y + z = 0 ⎪ = -1而平面 AEP 的一个法向量 n 2 = (0, 0,1)，设 n 1, n 2 的夹角为ϕ∴二面角θ余弦值为cos θ= cos ϕ == . 3⎛ 4 2 2 ⎫⎛ 4 2 2 ⎫ （3） G 3 , - , ⎪ ，∴ A G = , - , ⎪⎝ 3 3 ⎭ ⎝ 3 3 3 ⎭ ∵ 4 2 20 ，∴ A G ⊥ nAG n 1 3 3 3 1∴ AG 在平面 AEF 内.20.水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数103040205 5C C3C C 632（1）若将频率视为概率，从这100 个水果中有放回地随机抽取4 个，求恰好有2 个水果是礼品果的概率；（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考方案1：不分类卖出，单价为20 元/个.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/个）16 18 22 24采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100 个水果中抽取10 个，再从抽取的10 个水果中随机地抽取3 个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望E(X ).解：（1）抽取一个抽到礼品果的概率20=1100 5⎛1 ⎫2 ⎛4 ⎫2 96故抽取4 个恰有2 个水果是礼品果的概率为C 2 ⋅⋅=.4 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 625（2）方案 2 水果售价的均值为16 ⨯10 +18⨯ 30 + 22 ⨯ 40 + 24 ⨯ 20 = 20.6100∵20.6 > 20 ，故应采用方案2.（3）用分层抽样抽取的10 个水果中标准果1 个，优质果3 个，精品果4 个，礼品果2 个再从这10 个水果中抽取3 个，抽取精品果的数量X 可以为0，1，2，3C3 1C1C 2 1 C 2C1 3P (X= 0)= 6 =，P (X=1)= 4 6 =，P (X= 2)= 4 6 =3 3 310 10 10P (X = 3)=4 =11030∴ X 的分布列如下：X0123P 1612310130E (X)= 0 ⨯1 +1⨯1 + 2 ⨯3 + 3⨯1 =6 .6 2 10 30 5C10+ a ⎨ 2 ⎛ ⎩22 2 221．已知椭圆C :x y = 1(a > b > 0 )的离心率为 1 ，其左右顶点分别为 A 1 , A 2 ，上下顶点分别为 B 2 , B 1 ， a b四边形 A 1B 1 A 2 B 2 的面积为 4 2，直线 m : x = 4 .（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线 n 与椭圆C 只有一个公共点 P ，直线 n 与直线 m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得∠PTQ = π恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.2⎧ c = 1 ⎪1⎧a = 2 解：（1）由题意知 ⎪⋅ 2a ⋅ 2b = 4 ⎪ ⎪a 2 = b 2 + c 2⎪⎩x 2 + y 2 =⎪ ⎨⎩⎪b = 故椭圆C 的方程为1.4 3（2）法一：设 P (x 0 , y 0 )，直线 PQ 的方程为x 0 x + y 0 y= 1，令 x = 4 ，得 4 3y =3(1 - x 0 ) (y 0 ≠ 0)，∴ Q 4, 3(1- x 0 ) ⎫ ⎪ y 0 ⎝y 0 ⎭ 假设存在定点T 满足∠PTQ =π2⎛3(1- x 0 ) ⎫ 设T (m , n )，∴ TP = (x 0 - m , y 0 - n )， TQ = 4 - m , ⎝ y 0- n ⎪⎭⎛ 3(1- x 0 ) ⎫ ∴ TP ⋅TQ = (x 0 - m )(4 - m )+ ( y 0 - m ) ⎝ y 0 - n ⎪ = 0⎭4x - mx - 4m + m 2+ 3 - 3x- ny - 3n (1 - x 0 )+ n 2 = 0 0 0 0 0(1- m ) x- ⎡ y + 3(1- x 0 )⎤ n + m 2 - 4m + 3 + n 2 = 0⎢ 0 ⎣⎥ y 0⎦⎧1- m = 0 对 x ∈(-2, 2)恒成立，故必有 ⎪n = 0 ⇒ ⎧m = 1⎨ ⎨n = 0⎪m 2 - 4m + 3 + n 2 = 0 ⎩ 故存在定点T (1, 0)使得∠PTQ = π恒成立.23 3 3 ⇒ 2y法二：设直线PQ 方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程14a (kx + m ) ⎩x 1 ( ) 2 2x + = 1 ⇒ (4k 2 + 3)x 2 + 8kmx + 4m 2 -12 = 04 3∆ = 0 ⇒ m 2 = 4k 2 + 3∴ x = -4km = -4k ， y =3m= m ，即 P ⎛ - 4k , 3 ⎫P4k 2 + 3mP4k 2 + 3 3m m ⎪ ⎝ ⎭当 x = 4 ， y = 4k + m ，所以Q (4, 4k + m )假设存在定点T (s , t )，使得∠PTQ = π⇒ ⋅ = 0 ⇒ ⎛ - 4k- s , 3 - t ⎫ ⋅ (4 - s , 4k + m - t ) = 0TP TQ 2 m m ⎪ ⎝ ⎭⇒ (s -1)(ms + 4k - 3m ) - t (m 2 + 4km - tm + 3) = 0 （*）， ⎧s -1 = 0∴当 ⎨t = 0 时，即 s = 1, t = 0 时，方程（*）恒成立 所以存在定点T (1, 0)，使得∠PTQ = π.2222．已知函数 f (x ) = - a ln x - 2 2, (a ∈ R )（1）若 f (x )> 0 在(1, +∞)上恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若函数 g (x ) = f (x )+ 2ax 有两个极值点 x , x ，当 g (x ) + g (x ) > ⎛ 2e +1 ⎫a 时，求实数 a 的取值范1212e ⎪ ⎝ ⎭围.解：（1）法一： f 'a x 2 - ax = x - =x x当 a ≤ 1时， f (x )在(1, +∞)上 ，故 f (x )> f (1) = 0 符合题意 当 a > 1时，令 f '(x )= 0得 x = 且当 x ∈ (1, a )时， f '(x ) < 0， f (x )单调递减 此时 f (x )< f (1) = 0 ，这与 f (x ) > 0 在(1, +∞)上恒成立矛盾，舍去综上： a 的取值范围为(-∞,1].法二：必要性探路由 f (1) = 0知 f (x )> f (1)在(1, +∞)上恒成立，故首先 f '(1) ≥ 0 而 f '(x ) = x - a，∴1- a ≥ 0 ⇒ a ≤ 1xx 21 x2 1下证充分性，当 a ≤ 1时， f (x ) =- a ln x - ≥ - ln x -2 2 2 216x 1 1 2x 2 1 '1 x2 -1令h (x ) = - ln x - ， h (x ) = x - = > 0，∴ h (x )在(1, +∞)上2 2 x x∴ h (x ) > h (1) = 0，故 a 的取值范围为(-∞,1].2（2） g (x ) = - a ln x - + 2ax 2 2'a x 2 + 2ax - ag (x ) = x + 2a - = ，xxg '(x ) = 0 ⇒ x 2 + 2ax - a = 0 有两个不相等的正数根 x , x⎧∆ = 4a 2 + 4a > 0∴ ⎪x + x = -2a > 0 ⇒ a < -1 ⎨ 1 2 ⎪x x = -a > 0⎩ 1 2x 21 x 21 g (x 1 ) + g (x2 ) = 1- a ln x 1 + 2ax 1 - + 2- a ln x 2 + 2ax 2 -2 2 2 2= 1 ⎡(x + x )2 - 2x x ⎤ + 2a (x + x ) - a ln x x -1 = 1 (4a 2 + 2a )+ 2a (-2a ) - a ln (-a ) -12 ⎣ 1 21 2 ⎦ 1 2 1 2 2 = -2a 2 + a - a ln (-a ) -1 > ⎛2e + 1 ⎫ ae ⎪ ⎝ ⎭∴ -2a +1- ln (-a ) - 1 < 2e + 1a e令G (a ) = -2a +1- ln (-a ) - 1 ， G '(a ) = -2 - 1 + 1= - (2a -1)(a +1) < 0a ∴ G (a )在(-∞, -1)上a a 2 a 2注意到G (a )< G (-e ) ⇒ a > -e . 综上： a 的取值范围为(-e , -1).。
2020届江苏省盐城市盐城中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城市盐城中学 高三上学期第一次月考数学试题一、填空题1．已知集合{}=11A x x -<<，{}1,0,3B =-，则A B =I __________． 【答案】{}0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故{}0A B ⋂=. 故答案为：{}0. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．设幂函数()af x kx =的图像经过点(4,2)，则k α+=__________． 【答案】32【解析】由题意得131,2422k k ααα==⇒=∴+= 3．若命题“∃t ∈R ，t 2﹣a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】0,+∞（）【解析】命题“20t R t a ∃∈，﹣＜”是真命题，040a ∴=V ﹣（﹣）＞ ． 0a ∴＞， 则实数a 的取值范围是0+∞（，）． 故答案为∞（0，+）．4．函数()ln(1)f x x =-的定义域为______． 【答案】(1,2] 【解析】【详解】由10{20x x ->-≥ 可得，12x <≤ ，所以函数()ln(1)f x x =-的定义域为(]1,2 ，故答案为(]1,2.5．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P -，则2sin α=______． 【答案】45-【解析】根据三角函数定义求cos α和sin α，最后代入公式sin 22sin cos ααα=求值. 【详解】解：由题意可得1x =-，2y =，r OP ==5x cos r α∴===-，5y sin r α===， 4225sin sin cos ααα∴==-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n 项和公式和等差中项，即可求出6a 的值，再根据等差数列的通项公式和6930a a +=，即可求出9a ，进而求出12a 的值. 【详解】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n 项的公式是解决本题的关键.7．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，2()2x f x x =-，则(1)f -=＝________．【答案】1-【解析】由()f x 为奇函数可得：()()()11211f f -=-=--=-，故答案为1-.8．已知函数()2sin(2)(0)4f x x πωω=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ．【答案】13[,]44-【解析】试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.【考点】三角函数的图象与性质.9．设向量(sin 2,cos )a θθ=r ，(cos ,1)b θ=r，则“//a b r r”是“1tan 2θ=”成立的 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 【答案】必要不充分 【解析】【详解】试题分析：2//(sin 2,cos )//(cos ,1)sin 2cos cos 02sin cos a b θθθθθθθθ⇔⇔=⇔==r r或1cos 0tan 2θθ⇔==或，所以“//a b r r ”是“1tan 2θ=”成立的必要不充分条件【考点】向量共线10．已知函数()ln ()x xf x e x ae a R =-∈,若()f x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】(],1-∞【解析】对函数()f x 求导，根据函数在()0,∞+上单调递增列不等式，分离常数a 后，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得a 的取值范围. 【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()'1ln 0x f x e x a x ⎛⎫=+-≥⎪⎝⎭恒成立，即1ln 0x a x +-≥，也即1ln a x x ≤+在()0,∞+上恒成立，构造函数()()1ln 0h x x x x=+>，则()'21x h x x-=，所以函数()h x 在区间()0,1上递减，在区间()1,+∞上递增，在1x =处取得极小值也即是最小值，故()()11h x h ≥=，所以1a ≤. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.11．如下图，在直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AB CD ADC AB AD E ∠===o 为BC 中点，若·4AB AC =u u u v u u u v ，则·AE BC u u u v u u u v=_______________．【答案】132-【解析】【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设()0CD m m =>，结合题意可得：()()()()0,0,4,0,,2,0,2,A B C m C 则 ()()4,0,,2AB AC m ==u u u r u u u r，故 44,1AB AC m m ⋅==∴=u u u r u u u r，即()1,2C ，则52,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，据此有()521513,,3,2,12222AE BC AE BC u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫==-⋅=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.12．若函数2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>，在区间()2,2-上有两个零点，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,2ln 2+【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根, ,即,所以,故答案[)0,2ln 2+.【考点】函数的图象及零点的确定． 【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0{ln ,0x a x y x a x x -≤=-+>背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()sin sin sin B C m A m R +=∈，且240a bc -=.且角A 为锐角，则m 的取值范围是_______． 【答案】62⎝ 【解析】利用正弦定理化简()sin sin sin B C m A m R +=∈，利用余弦定理表示出cos A ，根据A 为锐角列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】依题意，由正弦定理得b c ma +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=()2222b c bc a bc+--=2222222a m a a a --=223m =-，由于A 为锐角，所以0cos 1A <<，所以20231m <-<，即2322m <<，由于m为正数，故m <<故答案为：2⎛ ⎝.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．已知函数()2ln(2)f x tx x n =+-+，1()g x t x=-，若函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，且()()0f x g x ≤在定义域上恒成立，则实数t 的取值范围是______． 【答案】{}21,2e e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦U 【解析】根据()'0h x ≥求得n 的值，由此化简()()0f x g x ≤，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】 由于函数324()(1)83h x x nx n x n =---+-在(),-∞+∞上是增函数，所以()()'24210h x x nx n =---≥恒成立，故()241610n n ∆=+-≤，即()220n -≤，所以2n =.故()()0f x g x ≤即()12ln 0tx x t x ⎛⎫+-≤⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，等价于2ln 010tx x t x +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩①，或2ln 010tx x t x+≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩②. 由①得ln 21x t xt x⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩③，构造函数()()ln 0x m x x x =->，()'2ln 1x m x x -=，所以()m x 在()0,e 上()'0m x <，()m x 递减，在(),e +∞上()'0m x >，()m x 递增，最小值为()1m e e =-，所以③等价于120t e t ⎧≤-⎪⎨⎪≤⎩，解得12t e ≤-.由②得ln 21x t xt x⎧≥-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩④.由ln 12x x x -=解得21x e =.根据()m x 和1y x =的单调性可知，当且仅当21t e x==时，④成立. 综上所述，t 的取值范围是{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U .故答案为{}21,2e e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦U . 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题15．已知集合{}2|320A x x x =-+≤，集合{}22B y y x x a ==-+，集合{}2|40C x x ax =--≤，命题:p A B φ⋂≠，命题:q A C ⊆.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3a >；（2）(,0)(3,)-∞⋃+∞【解析】先求出集合{}12A x x =≤≤和{|1}B y y a =≥-； （1）由题意得=A B φ⋂，由集合的交集运算得a 的取值范围；（2）先求出p q ∧为真命题时a 的取值范围，从而求出p q ∧为假命题时a 的范围. 【详解】∵222(1)11y x x a x a a =-+=-+-≥-，∴集合{|1}B y y a =≥-，集合{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤，集合{}240C x x ax =--≤. （1）由命题p 是假命题，可得=A B φ⋂，即得12a ->，∴3a >. （2）当p q ∧为真命题时，,p q 都为真命题，即A B φ⋂≠，且A C ⊆，∴2121402240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩330a a a ≤⎧⎪⇒≥-⎨⎪≥⎩，解得03a ≤≤. ∴当p q ∧为假命题时，0a <或3a >，∴a 的取值范围是：(,0)(3,)-∞⋃+∞ 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.16．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且1cos 3A =． (1)求2sincos 22B CA ++的值； (2)若a =ABC △面积的最大值．【答案】（1）19-；（2）4【解析】(1)将2sin cos22B CA ++化简代入数据得到答案. (2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc ≤，代入面积公式得到答案.【详解】()2221sin cos2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+- 2221cos cos2cos 12cos 122A A A A +=+-=+- 1111321299+=+⨯-=-； (2)由1cos 3A =，可得sin 3A ==， 由余弦定理可得222222242cos 2333a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=， 即有23944bc a =≤，当且仅当32b c ==，取得等号． 则ABC △面积为119sin 224bc A ≤⨯=． 即有32b c ==时，ABC △的面积取得最大值4． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.17．如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r .（1）求AD BC ⋅u u u r u u u r的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r，求实数t 的值.【答案】（1）83-（2）1514t = 【解析】（1）将,AD BC u u u r u u u r 都转化为用,AB AC u u u r u u u r为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅u u u r u u u r的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r 转化为2AB CD t CD⋅=u u u r u u u ru u u r ，同（1）的方法，将CD uuu r 转化为用,AB AC u u u r u u u r为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值. 【详解】（1）D Q 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r ()1133BD BC AC AB ∴==-u u u r u u u r u u u r u u u r()121333AD AB AC AB AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22121333AC AB AB AC =-+⋅u u ur u u u r u u u r u u u r18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=-u u u r u u u r （2）()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r Q ，2AB CDt CD⋅∴=u u u r u u u ru u u r ()2233CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=u u u r2222839CD CB ⎛⎫== ⎪⎝∴⎭u u u r u u u r 2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 22233AB AC AB=-⋅u u u r u u u r u u u r821012cos120333=-⨯⨯⨯︒= 1514t ∴=【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB 和两条长度相等的直线型路面AD 、BE ，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB 所在圆的半径为3米，圆心O 在水面DE 上，且AD 和BE 所在直线与圆O 分别在连结点A 和B 处相切.设ADO θ∠=，已知直线型桥面每米修建费用是a 元，弧形桥面每米修建费用是43a元.（1）若桥面（线段AD 、BE 和弧ACB ）的修建总费用为W 元，求W 关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，桥面修建总费用W 最低？ 【答案】（1）3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）3πθ= 【解析】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，通过解直角三角形以及弧长公式，求得»,AD AC 的长，由此计算出修建总费用W 的表达式，根据DE 长度的限制，和圆的直径，求得θ的取值范围.（2）利用导数求得W 的单调区间，进而求得当θ为何值时，W 取得最小值. 【详解】（1）设C 为弧AB 的中点，连结OA ，OC ，OB ，则OA AD ⊥ 在OAD ∆中，3cos tan sin OA AD θθθ==. 又因为AOC ADO θ∠=∠=，所以弧AC 长为3l θ=，所以423a W l AD a ⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝⎭43cos 233sin a a θθθ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭3cos 24sin a θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当6DE =时，2πθ=；当12DE =时，6πθ=，所以62ππθ≤<所以3cos 24sin W a θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，62ππθ≤<.（2）设()3cos 4sin f θθθθ=+，则()22234sin 34sin sin f θθθθ-'=-=，令()0f θ'=得,362πππθ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭当,63ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f θ'<，函数()f θ单调递减； 当,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f θ'>，函数()f θ单调递增； 所以当3πθ=时，函数()fθ取得最小值，此时桥面修建总费用最低.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.19．已知函数21()ln (1)()22x f x ax x a x a a R =-+-+-∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a ≤时，证明：函数()f x 只有一个零点； （3）若函数()f x 的极大值等于0，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）0y =（2）证明见解析（3）(),1-∞【解析】（1）求得函数在1x =处的导数，由此求得切线方程.（2）通过求()f x 的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得函数()f x 的单调区间，由此证得函数()f x 只有一个零点.（3）当0a ≤时根据（2）的结论证得结论成立.当0a >，根据()f x 的二阶导数，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况，利用()f x 的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()21ln 22x f x x x =-+，()ln 1f x x x '=+-，()10f '=，()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()()ln 10f x a x x x '=-+>，令()ln 1g x a x x =-+，()1a a xg x x x-'=-= 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在()0,∞+上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减所以()()10f x f ≤=，所以()f x 只有一个零点1x =.（3）①当0a ≤时，由（2）知，()f x 的极大值为()10f =，符合题意；②当0a >时，令()0g x '=，得x a =，当()0,x a ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x a ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，注意到()10g =，（ⅰ）当01a <<时，()()10g a g >=，又111110a a a g e e e ---⎛⎫=--+=-< ⎪⎝⎭.所以存在()10,x a ∈，使得()10g x =，当()10,x x ∈时， ()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，当()1,1x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0g x f x ='<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()10f =，符合题意；（ⅱ）当1a =时，()()()10g x f x g '=≤=恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递减，无极值，不合题意；（ⅲ）当1a >时，()()10g a g >=，又()21aag e a e =-+，令()()211xx x x eϕ+=>()()210xx x eϕ-'=-<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()()211x eϕϕ<=<，所以()210a a g e a e =-+<， 存在()2,x a ∈+∞，使得()()220g x f x '==，当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()21,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()2f x ，且()()210f x f >=，不合题意. 综上可知，a 的取值范围是(),1-∞. 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列. 【答案】（1）21n a n =-（2）n T 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦；21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）1，2，3，4，5和5，4，3，2，1.【解析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得n S 的表达式，然后利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .利用差比较法证得数列{}n T 递增，进而求得n T 的取值范围.（3）先判断出数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有3项.由此求得所有满足条件的等差数列. 【详解】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =， 由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L222222*********1433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增， 所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（3）2,212,2n n n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥.因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数. 假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数. 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i j i j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =. 又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾。
盐城中学高三年级数学月考试卷1
2n n nx2 y2江苏省盐城中学 2021 届高三年级第一次阶段性质量检测正确的有( )数学A.点P 的横坐标为20B.△PFF 的周长为803 1 2 3C.∠FPF小于πD.△PFF的内切圆半径为3无锡韩杰整理2020.09 1 2 3 1 2 4一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M = x|-1<x<2，N = x|1≤x≤3，则M∩N= ()A.-1,3B.-1,2C.1,2D.2,32.已知直线l:x-2y+a -1= 0与圆x-12+y+22= 9相交所得弦长为4，则a = ()A. 1 或2B. 1 或-9C. 1 或-2D. 1 或912.若存在实常数k和b，使得函数F x和G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：F x≥kx+b和G x≤kx+b恒成立，则称此直线y= kx+b为F x和G x的“隔离直线”，已知函数f x= x 2x∈R，g x=1x<0，h x= 2e ln x(e 为自然对数的底数)，则()xA.m x= f x-g x在x∈-1,0内单调递增；323.设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“+≤1”的()B.f x和g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-4；C.f x和g x之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是-4,1；16 9A.必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.关于二次函数y= 2x2+4x-1，下列说法正确的是()A.图像与y轴的交点坐标为0,1B.图像的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y 的最小值为-3D.f x和h x之间存在唯一的“隔离直线”y= 2 e x-e.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)= 2x f(e)+ln x，则f(e)等于．14.关于x的不等式x2-ax+b<0的解集为x|1<x<2，则不等式bx+a >5的解集为．5.在数列{a }中，a =1，a = 1-1(n≥2，n∈N)，则a= ( )15.已知F ，F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF>PF，线段PF 的垂直平分线过F ，n 1 2 n a n - 1+ 2020 1 2 1 2 1 2A.1B.2C. -1D. 2若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e1+e2的最小值为．22216.若ln x1-x1-y1+2= 0，x2+2y2-4-2ln2= 0，当x2= 时,(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.6.函数y= x -2ax-8a (a >0)，记y≤0的解集为A，若-1,1⊆A，则a 的取值范围()( 第一个空3 分，第二个空2 分)A.1,+∞B.1,+∞C.1,1D.1,12 4 4 2 4 2四、解答题：本题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.7.如果关于x的不等式x3-ax2+1≥0在-1,2上恒成立，则实数a 的取值范围为()17.已知二次函数f x= ax2+b-2x+3，且-1,3是函数f x的零点.A.a ≤322B. a ≤2C. a ≤0D. a ≤1(1)求f x 解析式；(2)解不等式f x≤3.8.过抛物线E:y2= x的焦点F任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点，则AB+4C D的最小值为()A. 4B. 9C. 5D. 8二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若等比数列a n的公比为q，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4 成等差数列，则q的值可能为()18.记S 为数列a的前n 项和，已知S = n2 + 2n．A.12B. 1C. 2D. 3(1)求数列a n 的通项公式；110.设正实数a,b满足a +b= 1，则()(2)若a n b n= 1，求满足b1b2+b2b3+⋯+b n b n+ 1<7的正整数n的最大值．111A.a+b有最小值4 B. ab 有最小值2221C. a + b 有最大值 2D. a + b 有最小值2211.已知点P 是双曲线E :16-29= 1的右支上一点，F1F2双曲线E的左、右焦点，△P F1F2的面积为20，则下列说法试卷来自网络图片，若有侵权，敬请联删19. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过点 A (1，0)，B (3，2) (1) 求圆 C 的标准方程； (2) 若直线 l 过点 P (0，2)，且与圆 C 相切，求直线 l 方程．21. 已知抛物线 C : y 2 = 2px (p > 0) 经过点 M (1，2). 点 P 在 y 轴左侧 ( 不含 y 轴 ). 抛物线 C 上存在不同的两点 A ,B 满足 PA ,PB 的中点均在 C 上。
江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()U A B ⋃=ð（ ） A ．{}2,3- B ．{}3,2,3- C ．{}3,2,3-- D ．{}3,2,1,0,2,3---2．若复数z 满足1ii z-=，则z =（ ）AB ．2C D ．13．“213x -≥”是“201x x -≥+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC V 中，2,CD DB AE ED ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则CE =u u u r（ ）A ．1163AB AC -u u ur u u u rB ．1263AB AC -u u ur u u u rC ．1536AB AC -u u ur u u u rD ．1133AB AC -u u ur u u u r5．在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为0W ，则经过t 秒后这段声音的声强变为()0e tW t W τ-=（τ为常数）．把混响时间()R T 定义为声音的声强衰减到讲话之初的610-倍所需时间，则R T 约为（ ）（参考数据ln 20.7≈，ln5 1.6≈） A ．4.2τB ．9.6τC ．13.8τD ．23τ6．化简cos20sin30cos40sin40cos60-=o o oo o（ ）A ．1BC ．2D 7．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对于任意的*n ∈N ，均有121n n a a +=+，()22log 11n n b a =+-.若在数列{}n b 中去掉{}n a 的项，余下的项组成数列{}n c ，则1220c c c +++=L （ ）A ．599B ．569C ．554D ．5688．已知函数11()221xf x =-+，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()0f x f x --= B ．()0f x '<C ．若120x x <<，则()()1221x f x x f x >D ．若120x x <<，则()()()1212f x f x f x x +>+二、多选题9．下列命题中，正确的是（ ）A ．在ABC V 中，若cos cos a A bB =，则ABC V 必是等腰直角三角形 B ．在锐角ABC V 中，不等式sin cos A B >恒成立 C ．在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >D ．在ABC V 中，若260,B b ac =︒=，则ABC V 必是等边三角形 10．已知0,0,2a b a b >>+=，则（ ）A ．1≥abB ．222a bb a +≥ C ．145aa b+≥ D ．224a b ab ++<11．已知函数()2ln 11f x x x =---，则下列结论正确的是（ ） A ．若0a b <<，则()()f a f b < B ．()()20242025log 2025log 20240f f +=C ．若()()()e 1,0,1,0,e 1b b f a b a b +=-∈∈+∞-，则e 1b a =D ．若()1,2,a ∈则()()1f a f a ->三、填空题12．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则sin C =. 13．已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为．14．已知函数32()f x x ax bx c =+++恰有两个零点12,x x 和一个极大值点()0102x x x x <<，且102,,x x x 成等比数列.若()0()f x f x >的解集为(5,)+∞，则0x =.四、解答题15．已知函数()ππsin 2cos cos 2cos 022f x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，对x ∀∈R ，有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． (1)求ϕ的值及()f x 的单调递增区间； (2)若()00π10,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦时，求0sin 2x ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112,34n n n a S S a ++=+=-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个实数，使这n +2个数依次组成公差为dn 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn17．在ABC V 中，AC =，且BC 边上的中线AD 长为1． (1)若5π6BAC ∠=，求BC 的长； (2)若2ABC DAC ∠=∠，求BC 的长． 18．设函数()e ,()ln x f x g x x ==．(1)已知e ln x kx x ≥≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围； (2)已知直线l 与曲线(),()f x g x 分别切于点()()()()1122,,,x f x x g x ，其中1>0x ． ①求证：212e e x --<<；②已知()21e 0xx x x λ-++≤对任意[)1,x x ∞∈+恒成立，求λ的最大值．19．若数列 a n 的各项均为正数，且对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足211t t t a a a -+≤，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足112t t t a a a -++≤则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列{}n c 是一个“凸数列”，且e n c na =，（其中e 为自然常数，*N n ∈），证明：数列 a n 是一个“对数性凸数列”；(2)若关于x 的函数231423()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 是一个“对数性凸数列”；(3)设正项数列01,,,n a a a L 是一个“对数性凸数列”证明：110101111111n n n n i j i j i j i j a a a a n n n n --====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑．。
江苏盐城五校联考2025届高三10月月考数学试题+答案
（总分150江苏盐城五校联考2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学试题分考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B = （）A.{3,4}B.{0,1}C.{}1,0,1- D.{2,3,4}2.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.83.已知0x >，0y >，则（）A .ln ln ln ln 777x y x y+=+ B.()ln ln ln 777x y x y +=⋅C.ln ln ln ln 777x y x y⋅=+ D.()ln ln ln 777xy x y=⋅4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）A.B.2C. D.25.已知()1sin 3αβ-=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ+=（）A.16B.13C.12D.236.若函数f （x ）=()12,152,1a x x lgx x ⎧-+≤⎨-->⎩是在R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.[)61-，B.()1-∞，C.()61-，D.()6-∞-，7.已知函数()()sin cos 06πf x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A ．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的必要条件但不是充分条件B.甲是乙的充分条件但不是必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．下列导数运算正确的是（）10.已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A.函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B.函数()g x 的最小正周期为2C.函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD.函数()g x 的图象没有对称轴11.已知实数a ，b 是方程()230x k x k --+=的两个根，且1a >，1b >，则（）A.ab 的最小值为9B.22a b +的最小值为18C.3111a b +-- D.4a b +的最小值为12三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.命题“2024,lg x x ∀≥<”的否定为__________.13.若过点()0,0的直线是曲线()210y x x =+>和曲线ln 1ay x a x =-++的公切线，则a =________．14.已知函数()21y f x =+-为定义在R 上的奇函数，则()405112024i f i =-=∑______．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题13分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的集合．16.（本题15分）已知定义在R 上的奇函数()221x x af x -=+，其中0a >.(1)求函数()f x 的值域；(2)解不等式：()()2231f x f x +≤+17.（本题15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角π2π023βαβ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．(1)求2πcos 22sin cos 2ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭+的值；(2)若63cos 65AOC ∠=-，求cos β的值．18.（本题17分）已知函数()12ln f x x x=+，()g x ax =．（1）求()f x 的单调区间；（2）当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围；19.（本题17分）设集合A 为非空数集，定义{|,,},{|,,}A x x a b a b A A x x a b a b A +-==+∈==-∈.(1)若集合{}1,1A =-,直接写出集合A +及A -；(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，求证1423x x x x +=+；(3)若集合{|02024,N}A x x x ⊆≤≤∈且A A +-⋂=∅，求A 中元素个数的最大值.2024/2025学年度第一学期联盟校第一次学情调研检测高三年级数学参考答案及评分标准1-8BBDADAAB 9-11ACD,ABD,ABC12-142024,lg x x ∃≥≥,4,405115.（1）44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π=+，7分故()f x 的最小正周期T π=；8分（2）由[0,]2x π∈可得2[44x ππ+∈，5]4π，10分当得24x ππ+=即38x π=时，函数取得最小值．所以38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，时()min f x =13分16.（1）()f x 为定义在上的奇函数，()0020021af -∴==+，1a ∴=，2分当1a =时，()()21122121x xx x f x f x -----===-++，符合题意，()21212121x x xf x --∴==+++，20x > ，22021x-\-<<+，()11f x ∴-<<，∴的值域为−1,1；7分（2）由（1）有()10f x +>，8分∴原不等式可化为()()()21231f x f x f x ⎡⎤⎡⎤⋅++≤+⎣⎦⎣⎦，令()f x t =，则2210t t --≤，112t ∴-≤≤，即1211221x --≤+≤+，12分123x ∴≥，21log 3x ∴≥，14分∴不等式的解集为21log ,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.15分17.（1）因为A 点的横坐标为35，且1OA =，A 点在第一象限，所以A 点纵坐标为45，所以3cos 5α=，4sin 5α=.2分所以2222πcos 2sin 22sin cos 2sin cos sin ααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=++-2422sin cos 2sin 853cos cos 35ααααα⨯====.7分（2）因为63cos 65AOC ∠=-，由图可知：16sin 65AOC ∠=.9分而2,k AOC k βπα-+=-∠∈Z ，故2πAOC k αβ+=∠+（Z k ∈）⇒2πAOC k βα=∠-+（Z k ∈），12分所以()()cos cos 2πcos AOC k AOC βαα=∠-+=∠-cos cos sin sin AOC AOC αα=∠+∠633164565565513⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.15分18.（1）由题意可知：()f x 的定义域为0,+∞，且()222121x f x x x x='-=-，2分令'>0，解得12x >；令'<0，解得102x <<；所以()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，单调递减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．6分（2）设()()()12ln h x g x f x ax x x=-=--，当[1,)x ∈+∞时，()()g x f x ≥，即()0h x ≥对任意[1,)x ∈+∞恒成立，取1x =，解得1a ≥；若1a ≥，则()112ln 2ln h x ax x x x x x=--≥--，设()12ln ,1m x x x x x =--≥，则()()22212110x m x x x x-='=-+≥，可知()m x 在[1,)+∞上单调递增，则()()10m x m ≥=，此时()0h x ≥，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为[1,)+∞．17分19.（1）由{}1,1A =-，112,110,112--=--+=+=，故{2,0,2}A +=-；|1(1)||11|0,|11||1(1)|2---=-=--=--=，故{0,2}A -=.3分（2）由于集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<且A A -=，所以A -中也只包含四个元素，即213141{0,,,}A x x x x x x -=---6分剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；7分（3）设{}12,,k A a a a = 满足题意，其中12,k a a a <<< 1121312312......2,k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<所以21,A k +≥-1121311...,k a a a a a a a a -<-<-<<-所以||A k -≥，因为,A A +-⋂=∅由容斥原理31,A A A A k +-+-⋃=+≥-A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2,k a 所以21,k A A a +-⋃≤+则()*31214049N ,k k a k -≤+≤∈所以1350k ≤，当{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，证明如下：设{,1,2,...,2024}A m m m =++且N m ∈，则{2,21,22,...,4048}A m m m +=++，{0,1,2,...,2024}A m -=-，依题意有2024202423m m m -<⇒>，故m 的最小值为675，于是当675m =时A 中元素最多，即{675,676,677,...,2024}A =时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.17分。
苏教版高三数学上学期开学月考试题(盐城中学)
苏教版高三数学上学期开学月考试题（盐城中学）苏教版2021届高三数学上学期开学月考试题〔盐城中学〕一、填空题：1.集合共有个真子集.2.假定双数是纯虚数，那么实数的值为 .3.执行如下图的顺序框图，假定输入的的值为31，那么图中判别框内①处应填的整数为 .(第3题图) (第4题图)4.函数是常数，的局部图象如下图，那么 .5.圆锥的母线长为，正面积为，那么此圆锥的体积为_________ .6.从这五个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率为 .7.设椭圆 ( ， )的右焦点与抛物线的焦点相反，离心率为，那么此椭圆的短轴长为 .8.如图，在中，，，，那么 =___________.(第8题图)9.曲线在它们的交点处的两条切线相互垂直，那么的值是 .10.设，假定那么的范围_________________.11. 直线与圆相交于M,N两点，假定，那么k的取值范围是________.12. 方程的解的个数为 .13.假定，且，那么的最小值是____________.14.无量数列中，是首项为10，公差为的等差数列; 是首项为，公比为的等比数列(其中 )，并且关于恣意的，都有成立.记数列的前项和为 ,那么使得的的取值集合为____________.二、解答题:15.在锐角中，内角、、所对的边区分为、、，向量，，且向量共线.(1)求角的大小; (2)假设，求的面积的最大值.16.四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，BAD=45，DEAB(如图1)。
现将△ADE沿DE折起，使得AEEB(如图2)，连结AC，AB，设M是AB的中点。
(1)求证：BC平面AEC;(2)判别直线EM能否平行于平面ACD，并说明理由.17.点点依次满足 , .(1)求点的轨迹;(2)过点作直线与以为焦点的椭圆交于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程.18.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面应用旧墙(应用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设应用的旧墙的长度为 (单位：元).(1)将表示为的函数：(2)试确定 ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.19. 数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且 .(1)求a1;(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式;(3)设 ,试问能否存在正整数p,q(其中120.函数，，，其中，且 .⑴当时，求函数的最大值;⑵求函数的单调区间;⑶设函数假定对恣意给定的非零实数，存在非零实数 ( )，使得成立，务实数的取值范围.盐城中学2021-2021学年高二年级期末考试数学(文科)答题纸2021、1一、填空题(145=70分)1、72、3、44、5、6、7、8、9、10、11、12、213、214、二、解答题(共90分)苏教版2021届高三数学上学期开学月考试题就分享到这里了，更多相关信息请继续关注高考数学试题栏目！。
2024-2025学年江苏省盐城市射阳中学高三(上)月考数学试卷(8月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省盐城市射阳中学高三（上）月考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x2−9x+20≤0}，B={x|log2(x−3)<1}，则A∪B=( )A. (−∞,5)B. [4,5)C. (−∞,5]D. (3,5]<m2+3m有解，则实数m的取值2.若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4范围是( )A. (−1,4)B. (−4,1)C. (−∞,−4)∪(1,+∞)D. (−∞,−3)∪(0,+∞)3.函数f(x)=ln(x+2)的图象大致是( )x−1A. B.C. D.4.已知函数f(x)=e(x−2)2，记a=f(3)，b=f(5)，c=f(7)，则( )A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<b<a5.已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2>−3成立，则实数a的取值范围是( )+x+2，若对任意的1<x1<x2<2，都有g(x1)−g(x2)x1−x2,+∞) D. [−4,+∞)A. [0,+∞)B. [−1,−0]C. [−346.函数f(x)=1+lnx与函数g(x)=e x−1公切线的纵截距为( )A. 1或0B. −1或0C. 1或eD. −1或e7.已知函数f(x)=log3(32x+1)−x，则满足f(2x−1)>f(x)的x的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (−∞,13)∪(1,+∞)C. (13,1]D. (−∞,−13)∪(1,+∞)8.已知函数f(x)={x 2+k,x ≤0 x −k,x >0，若f(f(x))=1恰有三个不同实根，则k 的取值范围是( )A. [−1,1− 52) B. [−1, 5−32) C. (3− 52,1] D. ( 5−12,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省盐城市重点中学2025届高三月考(七)数学试题
江苏省盐城市重点中学2025届高三月考（七）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线C ：221x y m -=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ） A ．49 B ．94 C ．23 D ．322．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥3．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( )A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 4．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112 C ．0.114 D ．0.1166．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则A B =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．228．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足2MA MO = ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,22⎡⎣C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎣ 9．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74 B ．94 C ．52 D ．210．设复数z 满足12z z z +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+B ．221y x =+C ．221x y =-D ．221y x =-11．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1x x f x e e-=--，若()1f a =，则()f a -=( ) A ．1- B ．1 C ．3 D ．3-12．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）A ．314B ．1114C ．114D ．27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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江苏省盐城中学2008届高三第二学期期中测试数 学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求１．本试卷共5页，包含［填空题（第1题～第12题，共60分）、选择题（第13题～第16题，共16分）、解答题（第17～22题，共84分）及加试题（共40分，物理方向考生作答）］。
本次考试时间历史方向考生120分钟，满分160分、物理方向考生150分钟，满分200分。
考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。
在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一．填空题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分。
）1．集合A 中的代表元素设为x ，集合B 中的代表元素设为y ，若B x ∈∃且A y ∈∀，则A 与B 的关系是 ▲ 。
2．已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= ▲ 。
3．已知复数z=x+yi,且2z -=yx的最大值 ▲ 。
4. 数列{}{}111,21,+c n n n n a a a a a +==+满足若数列恰为等比数列，则c 的值为 ▲ 。
5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y = f (x )的图像关于直线x =12对称，则f (1)+ f (2)+f (3)+ f (4) +f (5)= ▲ 。
6．设向量a ，b ，c 满足a +b +c =0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若│a │=1，则│a │+│b │+│c │的值是 ▲ 。
7．在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式成立且这两个自然数的和最小：)(9)(11+=。
8．二面角α—a —β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥a 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥a 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱a 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ▲ 。
9．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项为n2，则数列{n a }的前n 项和n S = ▲ 。
10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在 同一水平面内的两个测点C 与D ．测得 0153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060,则塔高AB= ▲ 。
11．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为 ▲ 和 ▲ 。
12．设()2x x e e f x -+=，()2x xe e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)fg g f g +-=_______，(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是 ▲ 。
二．选择题（本大题共有４小题，每小题4分，满分16分；每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．） 13．若集合{},,M a b c =中的元素是ABC ∆的三边长，则△ABC 一定不是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 14．设f ,g 都是由A 到B 的映射，其中对应法则（从上到下）如下表：表一 映射f 的对应法则 表二 映射g 的对应法则则与)]1([g f 相同的是A ．)]1([f gB ．)]2([f gC ．)]3([g fD ．]1)1([-g f15．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p +2)%征税，有一公司的实际缴税比例为 (p +0.25)%，则该公司的年收入是 A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元 D ．320万元 16那么方程22xx =有一个根位于下列区间的A ．( 1.6, 1.2)--B ．( 1.2,0.8)--C ．(0.8,0.6)--D ．(0.6,0.2)--三．解答题（本大题共有6题满分84分，解答下列各题必须写出必要的步骤．） 17．(本题满分12分)已知B A ,是ABC ∆的两个内角，a ＝2cos2B A +i ＋2sin BA -j （其中i ,j 是互相垂直的单位向量），若│a│＝26（1）试问B A tan tan ⋅是否为定值，若是定值，请求出,否则请说明理由; （2）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状.18．(本题满分13分)已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，且,bcZ ∈，记函数)(x f满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，求事件A 发生的概率。
19．(本题满分14分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时当顾客在该商场内消费满一定金额根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．如购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2+30=110（元）．设购买商品得到的优惠率计算公式为：试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率？20．(本题满分14分)已知数列{}12n n a -的前n 项和96n S n =-（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(3log ),3nn a b n =-求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和。
21．(本题满分15分)已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。
（1）求,a b 的值；购买商品获得的优惠额商品的标价（2）证明：函数)(x f 在R 上是减函数；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；22．（本题满分16分）设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a ·b 在[0，1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{n b }满足：1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb ． （1）求证：1+=n a n ； （2）求n b 的表达式；（3）n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论.加试题(满分40分)一、选择题：本大题共两小题，每小题5分，共10分.将答案填写在题后的括号内. 1.设n x x )3(2131+的二项展开式中各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若272=+t h ，则其二项展开式中2x 项的系数为 A.21B. 1C. 2D. 3 2.若20π<<x ，则4x 与x 3sin 的大小关系是A.4sin 3x x >B.4sin 3x x <C.4sin 3x x ≥D.与x 的值有关二、填空题：本大题共两小题，每小题5分，共10分. 将答案填写在题后的横线上.3.某中学拟于下学期在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课，在计划任教高一的10名数学教师中，有3人只能任教《矩阵与变换》，有2人只能任教《信息安全与密码》，另有3人只能任教《开关电路与布尔代数》，三门课都能任教的只有2人.现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门课的任课教师，且每门课安排3名教师任教.则不同的安排方案有 种.4.由曲线2613y x x =-+与直线3y x =+所围成的封闭区域的面积为 . 三、解答题：本大题共两小题，共20分.解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤.5. （本小题满分10分）已知2143M -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，4131N -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求二阶方阵X ，使MX N =.6. （本小题满分10分）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（2）求ξ的分布列和数学期望；（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20x bx c ++=有实根的概率．江苏省盐城中学2008届高三第二学期期中测试数学参考答案及评分标准一、填空题 (每题5分共60分)1．A B ⊆ 或A B ⋂≠∅ 2．1 3．3 4．1 5.0 6．4 7．)12(9)4(11+=8．269. 221-+n 10．AB = 11．4,02712．0, 0, ()()()()()0f x g y g x f y g x y +-+= 二、选择题(每题4分共16分) D A D C 三.解答题17．解：（1）由题意得232sin 2cos222=-++B A B A ， ……………… 2分 从而得232)cos(11)cos(=--+++B A B A ，0)cos()cos(2=--+B A B A ，……4分 化简得:cos cos 3sin sin 0A B A B ∙-∙=. 显然cos cos 0A B ⋅≠ B A tan tan ⋅=31……6分（2）由B A tan tan ⋅=31可知A 、B 都是锐角， ………………………………………7分)tan (tan 23)tan(tan B A B A C +-=+-= ………………………………………8分由B A tan tan +≥332tan tan 2=⋅B A 所以)tan (tan 23tan B A C +-=≤3-，当且仅当33tan tan ==B A 时取等号， ………………………………………………9分 所 以C tan 的最大值为3-， ………………………………………10分 这时三角形为有一顶角为0120的等腰三角形 ………………………………………12分18．由 ⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 得:282b c b c +≤⎧⎨-+≤⎩ 且 04,04b c ≤≤≤≤,b c Z ∈ ………2分 当b=0时c=0,1,2 ………………………………………………4分 当b=1时c=0,1,2,3 ………………………………………………………6分 当b=2时c=0,1,2,3,4 ………………………………………8分 当b=3时c=0,1,2 ………………………………………………10分 当b=4时c=0以上共16种情形 ………………………………………………………12分故事件A 发生的概率为16()25P A =………………………………………………13分 19．（1）解：顾客得到优惠率是%3310001302.01000=+⨯ ……………………………7分 （2）解：设商品的标价为x 元，则500≤x ≤800，消费额为400≤0.8x ≤640, …9分由已知得⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+5008.040031602.0x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+6408.0500311002.0x x x , 解得625≤x ≤750………………………………………13分 因此当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时，可得到不小于31的优惠率………14分20．（1）当n =1时，011123a S a =∴= ………………………………………2分当n ≥2时 112n n n n a S S --=-，得 232nn a -=-……………………………………5分即数列的通项公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-==-223132n n a n n ………………………………7分（2） 当n =1时，31log 321=-=b ……………………………………………9分 当2n ≥时)1()21log 3(22+=-=-n n n b n n故2n ≥时1111(1)1n b n n n n ==-++ ………………………………………11分 设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 n n b b b b T ++++= 321= 1111111.....323341n n +-+-++-=+ = 5161n -+ ………………………14分21．解：（1）因为()f x 是奇函数，且定义域为R ，所以0)0(=f ，∴111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ ………………………………………………3分 又)1()1(f f -=-，知11122 2.41a a a --=-⇒=++ …………………………………4分而当2,1a b ==时()f x 是奇函数 …………………………5分（2）证明：法一：由（Ⅰ）知11211()22221x x xf x +-==-+++，……………………6分 令21x x <，则21220x x <<，02212>-x x ………………………………………7分2112212222121)()(21x x x x x x x f x f +-=-=-＞０，即)()(21x f x f > ∴函数)(x f 在R 上为减函数 ………………………………………10分法二：由（Ⅰ）知11211()22221x x x f x +-==-+++，………………………………6分 2)12(2ln 2)(+⋅-='∴xx x f ， ………………………………7分 0)12(2ln 2,02ln ,02,2<+⋅-∴>>∴∈x x xR x ，即0)(<'∴x f ∴函数)(x f 在R 上为减函数．…10分 （3） ()f x 是奇函数，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为减函数， ………12分∴2222t t k t ->-，即2320t t k -->对一切t R ∈横成立，∴14120.3k k ∆=+<⇒<- ………………………………………………15分22．（1）证明：=y a ·b =2)4(2-++x n x ，因为对称轴24+-=n x ,所以在[0，1]上为增函数，∴1)3()2(+=++-=n n a n ………………………………………5分（2）解：由1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb 得1109)109()109()2()1(32121++++=++-+---- n n n b b n b n 两式相减得n n n n S b b b b ==++++--1121)109( ，………………………………7分 当1=n 时，111==S b ………………………………………8分 当n ≥2时，21)109(109---=-=n n n n S S b ………………………………………9分 即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=-21)109(10112n n b n n ………………………………………10分（3）解：由（1）与（2）得=⋅-=n n n b a c ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--21)109(10122n n n n ………………11分设存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立，当2,1=n 时，121201023c c c c >⇒>=- ………………………………12分 当n ≥2时，1008)109(21nc c n n n -⋅=--+，所以当8<n 时，n n c c >+1， ………………………………………13分 当8=n 时，n n c c =+1， ………………………………………14分 当8>n 时，n n c c <+1 ………………………………………15分所以存在正整数9=k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立．………16分 加试题1．B (5分) 2．A (5分) 3．16 (5分) 4． 92(5分) 5．解：设x y X z w ⎛⎫=⎪⎝⎭，按题意有21414331x y z w --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分根据矩阵乘法法则有2421433431x z y w x z y w -=⎧⎪-=-⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ ……6分解之得92151x y z w ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪=-⎪⎩ ……8分∴ 91251X ⎛⎫- ⎪=⎪-⎝⎭……10分 6．解:（1）基本事件总数为6636⨯=， ……1分若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =；当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =；当5c =时，5,6b =；当6c =时，5,6b =,目标事件个数为54332219,+++++= ……3分因此方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36 ……4分 (2)由题意知，0,1,2ξ=，则17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17(2)36P ξ==，……5分 故ξ的分布列为ξ0 1 2P1736 118 1736ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯= ……7分 (3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M ，“方程20ax bx c ++= 有实根” 为事件N ，则11()36P M =，7()36P MN =， ……9分 ()7()()11P MN P N M P M ==. ……10分。