概率论与数理统计(理工类-第四版)吴赣昌主编课后习题答案第六章

第六章参数估计

6.1 点估计问题概述

习题1

总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则下列估计量θ̂是θ的一致估计是().

(A)θ̂=Xn; (B)θ̂=2Xn;

(C)θ̂=X¯=1n∑i=1nXi; (D)θ̂=Max{X1,X2,⋯,Xn}.

解答：

应选(D).

由一致估计的定义，对任意ɛ>0,

P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣<ɛ)

=P(-ɛ+θ

=F(ɛ+θ)-F(-ɛ+θ).

因为

FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ,及F(x)=FMax{X1,X2,⋯,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)⋯FXn(x),所以

F(ɛ+θ)=1, F(-ɛ+θ)=P(Max{X1,X2,⋯,Xn}<-ɛ+θ)=(1-xθ)n,

故

P(∣Max{X1,X2,⋯,Xn}-θ∣<ɛ)=1-(1-xθ)n→1(n→+∞).

习题2

设σ是总体X的标准差，X1,X2,⋯,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的().

(A)矩估计量； (B)最大似然估计量； (C)无偏估计量； (D)相合估计量.

解答：

应选(D).

因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量.

习题3

设总体X的数学期望为μ,X1,X2,⋯,Xn是来自X的样本，a1,a2,⋯,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai(∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量.

解答：

E(X)=μ,

E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai⋅∑i=1naiE(Xi)(E(Xi)=E(X)=μ)

=μ∑i=1nai∑i=1n=μ,

综上所证，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量.

习题4

设θ̂是参数θ的无偏估计，且有D(θ̂)>0, 试证θ̂2=(θ̂)2不是θ2的无偏估计.

解答：

因为D(θ̂)=E(θ̂2)-[E(θ̂)]2, 所以

E(θ̂2)=D(θ̂)+[E(θ̂)]2=θ2+D(θ̂)>θ2,

故(θ̂)2不是θ2的无偏估计.

习题5

设X1,X2,⋯,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计量.解答：

因X服从参数为λ的泊松分布，故

D(X)=λ,E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2,

于是E(X2)-E(X)=λ2,即E(X2-X)=λ2.

用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=X¯代替相应的总体矩E(X2),E(X), 便得λ2的无偏估计量

λ̂2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-X¯.

习题6

设X1,X2,⋯,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量.

解答：

因总体X∼b(n,p), 故

E(X)=np,

E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2

=np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2,

E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2,

于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量

p̂2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi).

习题7

设总体X服从均值为θ的指数分布，其概率密度为

f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0,

其中参数θ>0未知. 又设X1,X2,⋯,Xn是来自该总体的样本，试证：X¯和

n(min(X1,X2,⋯,Xn))都是θ的无偏估计量，并比较哪个更有效.

解答：

因为E(X)=θ,而E(X¯)=E(X),所以E(X¯)=θ,X¯是θ的无偏估计量.设

Z=min(X1,X2,⋯,Xn),

因为

FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0,

FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,

所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0,这是参数为nθ的指数分布，故知E(Z)=θn,而

E(nZ)=E[n(min(X1,X2,⋯,Xn)]=θ,

所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小.

由于D(X)=θ2,故D(X¯)=θ2n.

又由于D(Z)=(θn)2,故有

D(nZ)=n2D(Z)=n2⋅θ2n2=θ2.

当n>1时，D(nZ)>D(X¯),故X¯较nZ有效.

习题8

设总体X服从正态分布N(m,1),X1,X2是总体X的子样，试验证

m1̂=23X1+13X2, m2̂=14X1+34X2, m3̂=12X1+12X2,

都是m的无偏估计量；并问哪一个估计量的方差最小?

解答：

因为X服从N(m,1), 有

E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),

得

E(m1̂)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m,

D(m1̂)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,

同理可得：E(m2̂)=m,D(m2̂)=58, E(m3̂)=m,D(m3̂)=12.

所以，m1̂,m2̂,m3̂都是m的无偏估计量，并且在m1̂,m2̂,m3̂中，以m3̂的方差为最小.

习题9

设有k台仪器. 已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1,2,⋯,k), 用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,X2,⋯,Xk. 设仪器都没有系统误差，即E(Xi)=θ(i=1,2,⋯,k), 问a1,a2,⋯,ak应取何值，方能使用θ̂=∑i=1kaiXi估计θ时，θ̂是无偏的，并且D(θ̂)最小？

解答：

因为E(Xi)=θ(i=1,2,⋯,k), 故

E(θ̂)=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai,

欲使E(θ̂)=θ,则要∑i=1kai=1.

因此，当∑i=1kai=1时，θ̂=∑i=1kaiXi为θ的无偏估计, D(θ̂)=∑i=1kai2σi2, 要在

∑i=1kai=1的条件下D(θ̂)最小，采用拉格朗日乘数法.

令

L(a1,a2,⋯,ak)=D(θ̂)+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai),