随机过程期末试题答案A卷(10年12月)
《应用随机过程》A卷及其参考答案
，求
E
X
X
c；
2、（15 分，选做一题）（1）设 Xi E i ， i 1, 2 ，且 X1, X 2 独立，试
由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求
E IX1X2 X1 X 2 t P X1 X 2 X1 X 2 t ，t 0 ；（2）设 X1, X 2 , , X n 独
T 2 t dt 0
，令
Z
t
exp
t
0
u
dW
u
1 2
t 0
2
u
du
，则
dZ
t
t
Z
t
dW
t
，
从而Z t ,0 t T 是一个连续鞅。
1
三、计算证明题（共 60 分）
得分
1、（13 分）假设 X～E ，给定 c 0 ，试分别由指数分布的无记忆性、
条件密度和 E X
A
E
P
XI A
A
x
0
，且
q
x
dx
1
；（b）存在
a
0
，使得
p q
x x
a（当
p
x
0
时），令 r x a qpxx（当 p x 0 时，规定 r x 0 ）；又记 M U r X ，
3
试证明：
P
X
z
M
z
q
x dx
，即
X
在
M
发生的条件下的条件密度
函数恰是 q x ；（2）设有 SDE：dXt (aXt b
（2） ___________________________________________________；
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
2010-2011学年北京交通大学第一学期随机过程期末考试试卷
北 京 交 通 大 学2010-2011学年第一学期随机过程期末考试试卷（A 卷）学院___________ 专业___________________ 班级____________学号___________ 姓名__________一．（本题满分8分） 一．（本题满分20分）请写出下列概念的定义（每道小题4分）： ⑴ 计数过程(){}t N 的平稳增量性；⑵ T 是随机序列{}n X 的停时；⑶ 更新函数；⑷ 马氏链的正常返状态；⑸ 马氏链的遍历状态二．（本题满分12分）如果计数过程(){}t N 满足：⑴ ()00=N ；⑵ (){}t N 具有独立增量性和平稳增量性；⑶ (){}t N 具有普通性：即对于任何0≥t ，当0+→h 时，有()()()h o h t N P +==λ1，()()()h o t N P =≥2，其中0>λ为常数．证明：(){}t N 是强度为λ的Poisson 过程．探险家不幸落入漆黑的溶洞，有两条路供随机选择：沿第一条路摸索2小时可以走出溶洞，沿第二条路摸索1小时返回原地．回到原地后只能再次进行随机选择．用T表示他走出溶洞所用的时间，使用更新间隔和停时描述T，并计算他走出溶洞平均需要的时间．设(){}t N 是更新过程，{}n X 是其更新间隔，若以()1+t N S 是t 以后的第一个更新时刻．证明：⑴ 对于任何t ，()1+=t N T 是随机序列{}n X 的停时；⑵ 当()+∞<=1X E μ时，有()()()()11+=+t m S E t N μ，其中()t m 是更新函数．设{}n X 是马氏链，证明：⑴ i 是常返状态的充要条件是()+∞=∑∞=0n n ii p ；⑵ 如果i 是常返状态，j i →，则j i ↔，且j 也是常返状态．对于马氏链{}n X ，如果j 不是正常返状态，则对任何状态i ，有()0l i m =∞→n ij n p ．。
概率统计随机过程-期末试卷-参考答案
7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
2 2 2
又由
15 S 2
2
4
即
152
2 15 S 2 (15) 知 D 2 2 15
D S 2 2 15
2
得 D S
2 15
4
五、解:
数理统计
1 2 3 (1) 先求二步转移概率矩阵 1 1/ 2 1/ 4 1/ 4 2 P (2) [ P (1)] 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4 3 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 P{ X 2 2} P X 0 iP X 2 2 | X 0 i
数理统计
《概率统计与随机过程》期末试卷二 参考答案 一、填空题
1. F (1, n)
2. P X 1 x1 ,..., X n xn p i 1 (1 p) 其中xi 0或1;
1 n 3. X , Xi X n i 1
xi
n
n
xi
i 1
n
,
E ( S 2 ) p(1 - p)
六、解:
a2 (3) 因 RX ( t , t ) cos 0 , 2 i 故 S X R e d X
2 a i cos( ) e d 0 2 2 a cos(0 )e i d 2 a2 0 0 2
p1 (0) P12 (2) p2 (0) P22 (2) p3 (0) P32 (2) 1 1 1 1 1 ( ) 3 4 2 4 3 (2) P{ X 2 2, X 3 2 | X 0 1}
随机过程第一、二章测验题答案(2010)
随机过程测试题一答案每题10分1. 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。
其一是紧固三只螺栓，其二是焊接两处焊点。
以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目，以Y 表示由机器人焊接的焊点不良的数目。
据积累资料知),(Y X 具有分布律： Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 20.0100.0050.0040.001(1)求EX ;(2)求]|[j Y X E =，2,1,0=j ;(3)验证 ∑====2}{]|[j j Y P j Y X E EX .解: (1) X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.9100.0450.0320.013148.0=EX .(2) Y 的分布律为 Y 0 1 2 P0.9000.0800.0200=Y 时，X 的条件分布律为X|0=Y 0 123P0.840/0.90.030/0.90.020/0.90.010/0.991]0|[==Y X E ;1=Y 时，X 的条件分布律为X|1=Y 0 123P0.060/0.080.010/0.080.008/0.080.002/0.084.0]1|[==Y X E ;2=Y 时，X 的条件分布律为X|2=Y0 1 2 3P 0.010/0.02 0.005/0.02 0.004/0.02 0.001/0.028.0]2|[==Y X E .(3) EX j Y P j Y X E j ==⨯+⨯+⨯===∑=148.002.08.008.04.09.091}{]|[2.2．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,00,),(其他，y x e y x f y(1)求EX;(2)对任意0>y ,求]|[y Y X E =;(3)验证⎰+∞==0)(]|[dy y f y Y X E EX Y .解: (1)当0>x 时, X 的概率密度为x xy xX e dy e dy y x f x f -+∞-+∞===⎰⎰),()(.1)(0===⎰⎰+∞-+∞dx xe dx x xf EX x X .(2) 对任意0>y , Y 的概率密度为y yy yY ye dx e dx y x f y f --===⎰⎰0),()(.⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,0,1)(),()|(|其他y x y y f y x f y x f Y Y X21)|(]|[0|ydx y xdx y x f x y Y X E yY X ====⎰⎰+∞ (3)EX dy ye y dy y f y Y X E y Y ==Γ=⋅==⎰⎰+∞-+∞1)3(212)(]|[03．写出六种常见分布（退化、二项、泊松、均匀、指数、正态）的特征函数．分布 记号 概率密度或分布律)x (f特征函数)t (ψ退化 {c} 1}{==c X Pict e0-1 b(1,p) .1,0,}{1===-x q p x X P x x q pe it +二项b(n,p) 独立同分布于b(1,p)的n 个r.v.的和..,,1,0,}{1n x q p C x X P x x x n ===-n it q pe )(+泊松 )(P λ.,2,1,0,!}{ ===-x e x x X P xλλ)1(-it e eλ均匀U(a,b))(1)(),(x I ab x f b a -=t a b i e e iatibt )(--标准正态 N(0,1)2221)(x e x f -=π22t e-正态),(N 2σμ222)(21)(σμσπ--=x e x f2)(2t t i eσμ-指数 )(E λ)()(),0(x I e x f x +∞-=λλit-λλ4．关于独立随机变量序列}{n X ，下列哪些命题是正确的． (1)若 ,2,1,||=+∞<k X E k ，则∏∏===nk k nk k EX X E 11；(2) 若 ,2,1,2=+∞<k EX k ，则∑∑===nk k n k n VarX X Var 11)(；(3) 设)(t f k 为k X 的特征函数，)(t f n S 为∑==nk k n X S 1的特征函数，则∏==nk k S t f t f n 1)()(．(4) 设)(t k φ为k X 的矩母函数，)(t n S φ为∑==nk k n X S 1的矩母函数，则∑==nk k S t t n1)()(φφ．解：（4）错，应为 ∏==nk k S t t 1)()(φφ．5．设ηξ,是相互独立，且都为均值0，方差1的随机变量，令t t X ηξ+=)(，求随机过程}0),({≥t t X 的均值函数和相关函数. 解：;0)()()]([)(=+==ηξμtE E t X E t X;1)()()()]([)(222t D t D t D t X D t x +=+=+==ηξηξσ.1)()()()()()]()([),(22ts E E s t tsE E s X t X E s t R x +=+++==ηξηξ6．X (t )=Y cos(t )+Z sin(t ), t >0，Y , Z 相互独立，且 EY =EZ =0，DY =DZ =σ2. 讨论随机过程{X (t ), t >0}的平稳性.解： 0sin cos )]([)(=+==tEZ tEY t X E t X μ；)]()([),(s X t X E s t R X =).cos(sin sin cos cos )()cos sin sin (cos sin sin cos cos 22222s t EZ s t EY s t YZ E s t s t EZ s t EY s t -=⋅+⋅=++⋅+⋅=σ因)(t X μ为常数，),(s t R X 仅与s t -=τ有关，故)}({t X 是宽平稳过程.7．在电报信号)(t X 的传输过程中，信号由不同的电流符号A A -,给出，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流符号的转换是随机的. 设)(t X 在],0(t 时间内的变号次数)(t N 是参数为λ的泊松过程，且可以表示为)()1)(0()(t N X t X -=，又设)0(X 与}0),({≥t t N 独立，且5.0})0({})0({=-===A X P A X P ，求}0),({≥t t X 的均值函数.解：=)]([t X E 0.8．考虑电子管中的电子发射问题，设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的泊松分布. 每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 ,,21X X 已知}{k X 与N 独立，}{k X 之间互不相关并且具有相同的均值和方差2,σμ==k k DX EX . 单位时间内阳极接收到的能量为∑==Nk kXS 1. 求S 的均值.解：∑∑+∞=====1}{]|[n Nk kn N P n N XE ES∑∑+∞====01}{][n nk k n N P X E ∑+∞===01}{n n N P nEX∑+∞===01}{n n N nP EX λμ=⋅=1EX EN .9．随机过程}0),({≥t t W 称为参数为2σ的维纳过程, 如果 (1) 0)0(=W ；(2),0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ；(3) ,0v u t s <<<≤∀ 增量)()(s W t W -与)()(u W v W -相互独立．(1)求}0),({≥t t W 的均值函数)]([t W E 和相关函数)]()([s W t W E . (2)}0),({≥t t W 是否为宽平稳过程？证明：(1),0≥∀t ),0(~)(2t N t W σ, 故0)]([)(==t W E t W μ；又,0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ, 且增量)()(s W t W -与)(s W 相互独立，故)]()([)]())()([()]()([),(s W s W E s W s W t W E s W t W E s t R W +-==s s W D s W E s W t W E 2)]([)]([)]()([σ=+-=从而),min(),(2s t s t R W σ=.(2)由于),(s t R W 与出发时刻),min(s t 有关，因而}0),({≥t t W 不是宽平稳过程.10． 下面四个随机过程中哪些不是宽平稳过程(A) 随机相位正弦波过程：}0),cos()({≥Φ+=t t t X λ，其中),(~ππ-ΦU ，λ是常数. (B) 白噪声序列: },1,0,{ =n X n 是一列两两互不相关（即m n X EX m n ≠=,0）的随机变量序列，且满足2,0σ==n n DX EX . (C) 移动平均序列：},2,1,0,{11 ±±==∑=-+n a X ki in i n ε，其中},2,1,0,{ ±±=n n ε为白噪声序列，k a a a ,,,21 为任意实数.(D) 强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N ，其中)(t N 表示到时刻t 为止事件A 发生的次数. 解: D .。
09-10下学期随机过程A卷及答案
初
始
分
布
为
P ( X 0) 0.3
.
,
P( X 1) 0.4
,
P ( X 2) 0.3
,
则
P ( X 0 0, X 1 1, X 2 2)
8.
设 { X n , n 0,1, 2,} 是 一 状 态 空 间 为 的 时 齐 Markov 链 , 以
fij 表 示 从 状 态 i 出 发 经 有 限 步 达 到 状 态 j 的 概 率 , 则 i j 的 充
(
)
5. 对于时齐离散时间 Markov 链 { X n , n 0,1, 2,} 来说, 若状态 i j , 且 i 为常返
状态, 则 j 也为常返状态.
( ( (
) ) )
6. 平稳过程必有功率谱密度函数. 7. Poisson 过程是时齐连续时间 Markov 链.
8. 设 Ti 是时齐连续时间 Markov 链 { X (t ), t 0} 从 X (0) i 起始在状态 i 逗留的时间,
是一强度为的poisson过程则发生第评卷人云南财经大学20092010学年第二学期随机过程课程期末考试试卷步转移概率矩阵p之间的关系是是一状态空间为01其转移概率矩阵为0102070901010801要条件是ij是一强度为的poisson过程下列随机变量互相独立的是的平均常返时有限时齐markov链状态间的可达性不具有则在时刻m之后返回常返状态i对于gauss过程来说其严平稳性与宽平稳性是为一brown运动则对任意正整数n及任意服从n元正态分布
云南财经大学 2009 至 《随机过程》
一 得分 院（系） ： 二 三
2010
学年
专升本《随机过程》_试卷_答案
专升本《随机过程》一、（共52题，共151分)1。
描述随机过程的数字特征包括自相关函数。
方差函数.均值函数以及(）（2分) A.协方差函数 B。
样本函数； C.特征函数标准答案：A2. 对于维纳过程以下说法正确的是（) （2分）A.是平稳过程 B。
是正交增量过程;C。
是马尔科夫过程。
标准答案:B3。
对于非齐次泊松过程，以下说法正确的是（） (2分）A.单位时间内事件发生的平均次数是随时间变化的函数；B。
单位时间内事件发生的时刻是随时间变化的函数;C。
单位时间内事件发生的平均时间间隔是随时间变化的函数;。
标准答案：A4. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是(）（2分）A.独立增量过程; B。
遍历；C。
各态历经； D。
严平稳标准答案：D5. 随机过程是正交增量过程的充要条件是(） (2分）A.，都有；B。
，都有；C.，都有.D.，都有；标准答案：D6. 高斯过程通过线性系统后输出为，那么它必是（) （2分）A。
严平稳； B。
高斯过程； C。
各态历经 D。
以上均不对标准答案：B7。
假设是参数为的泊松过程,那么复合泊松过程的方差函数可以表示为() (2分) A。
B.；C.D.标准答案：A8. 若是相互独立的随机变量,那么的特征函数描述，正确的是（）（2分）A.；B。
；C。
;D.以上均不对。
标准答案：B9. 讨论某随机过程的各态历经性，前提条件是该随机过程必须() (2分)A.严平稳；B.宽平稳；C。
非平稳 D.正交增量过程。
标准答案:B10。
以下条件可以作为判断马尔科夫链遍历的充分条件() （2分）A.，存在整数，使得；B。
，存在整数,使得；C。
，存在整数，使得D。
以上均不对标准答案：B11。
随机过程一般可以理解为二元函数,变量分别为(）（3分）A。
随机变量；B.随机模型;C。
时间；D.某常数标准答案：A，C12。
以下哪些自相关函数能够作为平稳过程的自相关函数（) （3分)A。
；B.；C.;D.。
标准答案：B，D13。
随机过程考试试题及答案详解
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。
故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
最新-期末随机过程试题及答案资料
《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程期末试题及答案
随机过程期末试题及答案一、选择题1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？A. 属于随机现象。
B. 具有随机变量。
C. 具有时间集合。
D. 具有马尔可夫性质。
答案：D2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？A. 泊松过程。
B. 布朗运动。
C. 维纳过程。
D. 马尔可夫链。
答案：D3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？A. 随机过程的概率分布不随时间变化。
B. 随机过程的均值不随时间变化。
C. 随机过程的方差不随时间变化。
D. 随机过程的偏度不随时间变化。
答案：A4. 下列哪个是离散时间的随机过程？A. 随机游走。
B. 指数分布过程。
C. 广义强度过程。
D. 随机驱动过程。
答案：A二、填空题1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。
2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。
3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。
4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。
三、解答题1. 试述随机过程的定义及其要素。
随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。
它由两个基本要素组成：时间集合和取值集合。
时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。
取值集合是指随机过程在每个时间点上可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。
2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。
时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。
即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。
例如，离散时间的随机游走就是一个时间齐次随机过程。
在随机游走中，每次移动的概率分布不随时间变化，且每次移动的步长独立同分布。
3. 什么是马尔可夫链？它有哪些性质？马尔可夫链是一种离散时间的随机过程，具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫链的性质包括：首先，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关。
2011-2012学年北京交通大学第一学期随机过程期末考试试卷答案
北 京 交 通 大 学2011~2012学年第一学期随机过程期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分30分）写出以下概念的定义（共6道小题，每道小题满分5分） (1) 函数()x g 在区间[]b a ,上关于()x F 的Riemann-Stieltjes 积分；(2) 计数过程(){}0≥t t N ，是强度函数为()0>t λ()0≥t 的非齐次Poisson 过程； (3) 计数过程(){}0≥t t N ：为更新过程； (4) 更新方程；(5) Markov 链中的状态i 是零常返状态；(6) 随机变量T 是关于随机变量序列{}0≥n X n ，的停时． 解：(1) 设()x g 与()x F 都是有限区间[]b a ,上的实值函数，b x x x a n =<<<= 10为区间[]b a ,上的一个分割，令()()()1--=∆i i i x F x F x F ，[]i i i x x ,1-∈ξ，()n i ≤≤1，()11max -≤≤-=i i ni x x λ，如果当0→λ时，极限()()∑=→∆ni i i x F g 10lim ξλ存在，而且其极限值与区间[]b a ,上的分割以及[]i i i x x ,1-∈ξ的取法无关，则称该极限值为函数()x g 关于()x F 在区间[]b a ,上的Riemann-Stieltjes 积分，记为()()()()∑⎰=→∆=ni iibax F g x dF x g 1lim ξλ． (2) 计数过程(){}0≥t t N ，称作强度函数为()0>t λ()0≥t 的非齐次Poisson 过程，如果 ⑴ ()00=N ； ⑵ 过程有独立增量；⑶ 对任意的实数0≥t ，0≥s ，()()t N s t N -+为具有参数()()()⎰+=-+st tdu u t m s t m λ的Poisson 过程．(3) 设{} ,2,1=n X n ：是一串独立同分布的非负随机变量，分布函数为()x F ，令∑==ni i n X T 1，()1≥n ，00=T ．我们把由(){}t T n t N n ≤=：sup定义的计数过程称为更新过程．(4) 称如下形式的积分方程为更新方程：()()()()⎰-+=ts dF s t K t H t K 0，其中()t H ，()t F 为已知，且当0<t 时，()t H ，()t F 均为0．(5) 设i 是Markov 链{}n X 中的一个状态，以()n ij f 记从i 出发，经过n 步后首次到达j 的概率，()∑∞==1n n ij ij f f ，如果1=jj f ，称状态j 为常返状态．对于常返状态i ，记()∑∞==1n n ii i nf μ，若+∞=i μ，则称i 为零常返状态．(6) 设{}0≥n X n ：是一个随机变量序列，T 是一个随机变量，如果T 的取值范围是{}∞+,,2,1,0 ， 而且对于每一个0≥n ，{}()n X X X n T ,,,10 σ∈=．二．（本题满分10分）已知随机过程(){}T t t X ∈：的均值函数()t X μ和协方差函数()21,t t X γ，再设()t ϕ是一个非随机的函数，试求随机过程()()(){}t t X t Y ϕ+=的均值函数和协方差函数． 解：三．（本题满分10分）设(){}t N 是参数为λ的Poisson 过程，再设10<<i p ，()2,1=i ，且121=+p p ．当每次事件发生时，甲、乙两人分别以概率1p 与2p 独立地进行记录，并且每一事件发生与被记录之间也相互独立．令()t N 1表示到t 时刻甲记录的事件数目，()t N 2表示到t 时刻乙记录的事件数目．证明：(){}t N 1与(){}t N 2是相互独立的参数分别是1p λ与2p λ的Poisson 过程． 证明：四．（本题满分10分）设(){}0≥t t N ，是一个更新过程，{}1≥n X n ，是其更新间隔，{}1≥n T n ，是其更新时刻，1X 的分布函数为()x F ，更新函数为()t M ，证明：(){}()()()⎰-+=≤st N y dM y t F t F s T P 0，其中(){}t X P t F >=1． 证明：()t N T 表示t 时刻之前最后一次更新的时刻，因此对任意的0≥≥s t ，有 (){}(){}()(){}∑∞==≤==≤0n t N t N n t N s T P n t N P s T P()(){}∑∞==<=0,n t N n t N s T P{}(){}∑∞=+><+>≤=1110,,n n t N t T s T P t T s T P {}(){}∑∞=+><+>=111,n n t N t T s T P t X P(){}()∑⎰∞=+∞+=><+=101,n n n n n y dF y T t T s T P t F(){}()∑⎰∞=+∞+->-<+=101,n n n n n y dF y t T T s T P t F(){}()∑⎰∞=->+=101n sn y dF y t X P t F()()()∑⎰∞=-+=10n sn y dF y t F t F()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑⎰∞=10n n sy F d y t F t F()()()y dM y t F t F s⎰-+=0．五．（本题满分10分）设(){}0≥t t N ：是一个更新过程，{}1≥n X n ，是其更新间隔，{}1≥n T n ，是其更新时刻，1X 的分布函数为()x F ，()+∞<=μ1X E ．再令()()t T t r t N -=+1，⑴ 解释()t r 的意义；⑵ 求极限分布(){}y t r P t >+∞→lim ．解：设：()(){}y t r P t R y >=，对第一次更新时刻1X 取条件，则有(){}()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<+>==>t x x t R y t x t yt x x X y t r P y0011 ．由全概率公式，得 ()(){}y t r P t R y >=(){}()⎰+∞=>=01x dF x X y t r P(){}()(){}()(){}()⎰⎰⎰+∞++=>+=>+=>=yt yt t t x dF x X yt r P x dF x X yt r P x dF x X y t r P 1101()()()()⎰⎰⎰+∞++⋅+⋅+-=yt yt tty x dF x dF x dF x t R 100()()()⎰-++-=ty x dF x t R y t F 01这是一个更新方程．它的解为()()()()()⎰-+-++-=ty x dM x y t F y t F t R 011．由假设，()+∞<=1X E μ，得()()()⎰⎰+∞+∞-==1dx x F x xdF μ，所以有，()()()()+∞<-=+-⎰⎰+∞+∞ydz z F dt y t F 110，因此()y t F +-1满足关键更新定理的条件．于是 (){}()()()⎰+∞+∞→+∞→-==>yy t t dz z F t R y t r P 11lim lim μ．六．（本题满分10分）设i 与j 是Markov 链中的两个状态，而且j i ↔，则i 与j 同为常返状态或非常返状态． 解：因为j i ↔，所以存在正整数m 与n ，使得()0>m ij p 及()0>n ji p成立．所以，对任何自然数l ，由C-K 方程，得()()()()n ji l jj m ij n l m ii p p p p ≥++， ()()()()m ij l ii n ji m l n jj p p p p ≥++，上面两个式子分别对l 求和，有()()()()()()()∑∑∑∞=∞=∞=++=≥000l ljjn jim ij l n ji l jj m ij l n l m iip p p p p p p，()()()()()()()∑∑∑∞=∞=∞=++=≥00l l ii m ijn ji l m ij l ii n ji l m l n jjp p p p p p p ，上式表明级数()∑∞=0l l jj p 与()∑∞=0l l ii p 相互控制，因此级数()∑∞=0l l jj p 与()∑∞=0l l ii p 同为无穷或者有限．而状态i 为常返状态的充分必要条件是级数()+∞=∑∞=0l l jj p ，因此状态i 与j 同为常返状态或者同为非常返状态．七．（本题满分10分）设一Markov 链的转移矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03.01.06.02.03.04.01.04.04.02.005.0005.0P ，试求该Markov 链的不变分布． 解：八．（本题满分10分）设{}n X 是一独立的随机变量序列，而且对每一个n ，()0=n X E ．再设00=S ，∑==nk k n X S 1，证明：{}n S 是关于{}n X 的鞅． 解：。
随机过程期末试题答案A卷(10年12月)
一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为itbitaeei(b-a)t-。
2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:则X (t)的数学期望为2sint 。
3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从参数为n 与λ的___Γ___分布。
5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P ()=3ω，21P ()=3ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，则j p (n )=(n)iiji Ip p∈∑7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ijn=1f f∞=∑，若ii f 1=，称状态i 为_常返____________。
9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。
10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)ij n lim p →∞=__0_____，i I ∀∈。
期末随机过程试题及答案
《随机过程期末考试 卷》1设随机变量X 服从参数为的 泊松分布，贝U X 的特征函数为。
2 •设随机过程X(t)二Acos( t+ )，- <t< 其中为 率P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )，三者之间的关系为。
8•设｛X(t),t0｝是泊松过程，且对于任意 t 2 t i 0 则P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝—正常数，A 和是相互独立的随机变 量，且A 和服从在区间0,1上的 均匀分布，则X(t)的数学期望为。
3. 强度为入的泊松过程的点间间 距是相互独立的随机变量，且服从均 值为的同一指数分布。
9. 更新方程tK t H t K t sdF s 解的0 一般形式为。
10. 记EX n ,对一切a 0,当t 时，M。
4道小题，每题8分，共32分)列，则W n 服从分布5. 袋中放有一个白球，两个红球， 每隔单位时间从袋中任取一球，取后 放回，对每一个确定的t 对应随机变则这个随机过程的状态空间。
6. 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，二者之间的关系为。
7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明 条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。
2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔 科夫过程。
3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态 空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l <n 和i, j I ,n 步转移概率4. 设N(t),t 0是强度为的泊松间I ，初始概率p i P(X 0=i)，绝对概科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意 义。
4.X(t,n 1是与泊松过程评卷人 二、证明题(本大题共 ),t 0对应的一个等待时间序 t +a M t量 X(t)丄3 t e ,如果t 时取得红球 如果t 时取得白球(n)P ijp ik )p j )，称此式为切普曼一k I分布随机变量，且与 N(t),t 0独N(t)立，令X(t)= Y k ,t 0，证明：若k=1E(Y I 12V )，则 E X(t) tE Y i 。
随机过程试题及答案
一．填空题（每空2分，共20分）分）1．设随机变量X 服从参数为l 的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)el 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<w F ¥¥ 其中w 为正常数，A 和F 是相互独立的随机变量，且A 和F 服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sin t)2w w 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1l的同一指数分布。
的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1³是与泊松过程{}X(t),t 0³对应的一个等待时间序列，则n W 服从G 分布。
分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量ïîïíì=时取得白球如果时取得红球如果t t te tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间212t,t,;e,e 33ìüíýîþ。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为(n)nP P =。
7．设{}n X ,n 0³为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p Î=×å。
8．在马氏链{}n X ,n 0³中，记中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=¹££==³ (n)ij ij n=1f f ¥=å，若ii f 1<，称状态i 为非常返的。
随机过程期末题
20111.（8分）设随机过程X 具有概率分布： X 0 1 2Pk 1/2 1/3 1/6试求其特征函数)(t g x 。
2.（8分）设随机变量X 的特征函数为itt g x -=11)(，试求X 的数学期望E(X)和方差D(X)。
3.（8分）设迷宫中某处有三个出口。
若选择路口1，则3小时可走出迷宫；若选择路口2，则5小时后又回到原处；若选择路口3，则7小时后又回到原处；并设每次选择各个路口的概率是等可能的。
求走出迷宫所需时间的期望值。
4.（8分）设},2,1,{ =i X i 是一独立随机变量序列，且有相同的两点分布i X 0 1 i p1/32/3令∑==ni in X Y 1；试求随机过程},2,1,{ =n Yn的均值函数和相关函数。
5.（8分）设}0),({≥t t X 是一参数为λ的泊松过程，若t s <<0，对n k <<0，求})(|)({n t X k s X P ==6.（10分）设齐次马氏链},2,1,{ =n X n 的状态空间为}4,3,2,1{=I ，其初始分布和转移概率矩阵为：4,3,2,1,4/1}{0====i i X P p i⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P 试求}41,1|4{103<<==X X X P7.（10分）设有随机相位过程ωω,),cos()(a t a t X Θ+=为常数，Θ为)2,0(π上服从均匀分布的随机变量。
试证明随机过程)(t X 为各态历经过程。
8.（10分）一质点在1，2，3点上做随机游动。
若在时刻t 质点位于这三点之一，则在),[h t t +内，它以概率)(21h o h +分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫向前方程、转移概率)(t p ij 及平稳分布。
9.（10分）设随机过程0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X ，其中，Z Y ,是相互独立的随机变量，且2,0σ====DZ DY EZ EY 。
随机过程课后试题答案
随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中，样本空间通常表示为：A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案：A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的，则该过程是：A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案：B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这一性质不适用于：A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案：D4. 在随机过程中，如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积，则这两个随机变量是：A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案：A5. 随机游走的期望步长是：A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案：D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。
答案：实值或随机2. 在随机过程中，如果给定当前状态，下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态，那么该过程是一个_________过程。
答案：马尔可夫3. 随机过程的均值函数（或称数学期望函数）是描述过程长期行为的重要工具，它是一个关于_________的函数。
答案：时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程，其样本轨迹具有_________性质。
答案：无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程，其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。
答案：相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链，其状态转移矩阵为：\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布，给定初始状态概率分布为：\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解：首先计算\( P^2 \)，即状态转移矩阵的二次幂，然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。
2010级随机过程考试题及答案
2010级随机过程考试题及答案页脚内容9 2010级硕士生《随机过程》考试题页脚内容9解：状态转移概率如下图所示：，，（1）由图可知： 状态空间S 可分为C1：{1 ,2,3}，C2：{4,5}，C3：{6}三个不可约闭集，三个集合中的状态同类，全是正常返；周期全为1。
（2）21)1(11=f 2723132312131313221)4(11=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=f页脚内容9（3）由于三个集合都是闭集，所以平稳分布分布在各个闭集中求解。
平稳分布的计算公式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥==∑∑∈∈I j j j I i ij i j p 0,1ππππ对C1：{1 ,2,3}⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+=+=1323132213121321323212311ππππππππππππ解得：838341321===πππ，，对C2：{4 ,5}⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=12121212154545544ππππππππ解得：2154==ππ页脚内容9对C3：{6}易得：16=π（4）C1：{1 ,2,3}中，各状态的平均返回时间分别是：4111==πμ 38122==πμ 38133==πμC2：{4 ,5}中，2144==πμ 2155==πμC3：{6}中，1166==πμ页脚内容91.5. 设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动，到达0点或者4点后以概率1停留在原处，在其他整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或者停留在原处，画出转移概率图并求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。
解：转移概率图如下：二步概率转移矩阵为页脚内容910.页脚内容9页脚内容9页脚内容9 3 . 设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
1. 设在[0,t]内事件A 已经发生n 次，且0<s<t ，对于0<k<n ，求})(|)({n t X k s X P ==.解：利用条件概率及泊松分布，得})({})(,)({})(|)({n t X P n t X k s X P n t X k s X P ====== })({})()(,)({n t X P k n s X t X k s X P =-=-==!)()!()]([!)()(n t e k n s t e k s en t k n s t k s λλλλλλ-------=k n k k n t s t s C -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=12. 设电话总机在(0,t]内接到电话呼叫数)(t X 是具有强度（每分钟）为λ的泊松分布，求：（1）两分钟内接到3次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第三次呼叫”的概率。
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一．填空题（每空2分，共20分）
1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为
itb
ita
e
e
i(b-a)t
-。
2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:
则X (t)的数学期望为2sint 。
3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量
n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥
是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，
则n W 服从参数为n 与λ的
___Γ___分布。
5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且
12P ()=
3
ω，21P ()=
3
ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。
6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步
转移概率(n)
ij p ，则j p (n )=
(n)i
ij
i I
p p
∈∑
7．设{}
n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥
(n)
ij ij
n=1
f f
∞
=
∑，若ii f 1=，称状态i 为_常返____________。
9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。
10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)
ij n lim p →∞
=__0_____，i I ∀∈。
二．证明题（每题6分，共24分）
1.概率空间(,,P)ΩF ，事件序列{}n E ,n 1≥单调，证明：n n n n lim P(E )=P(lim E )→∞
→∞。
证明：不妨设{}n E ,n 1≥单调增加，则n n n n=1
lim E E ∞
→∞
=⋃，令11F =E ，n n n-1F =E E -（n 2≥）,
有
n n
n=1
n=1F E ∞∞
⋃=⋃，
且
n
F 互不相
容，
则
n
n P
(
l i
m E )=
→∞
n n n=1
n=1
P{E }P{F }∞
∞
⋃=⋃=
n
n
k
n n=1
k=1
P(F
)=lim
P(F
)
∞
→∞
∑∑n
n
k k n n n n k=1
k=1
lim P(F )=lim P(E )lim P(E )→∞
→∞
→∞
==
2.设A,B,C 为三个随机事件，证明：P(AC B )=P(A B )P(C AB )。
证明：左边=
P(A BC)P(A BC)P(A B)P(A B )P(C A B )P(B)
P(A B)
P(B)
=
==右边
3.设{}X (t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，对任意的[)t,s 0,,∈∞且s<t,证明：X R (s,t)s(t+1)λλ=。
证明：[][]X R (s,t)E X (s)X (t)E X (s)[X (t)-X (s)+X (s)]s(t+1)λλ===
4.设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，证明：(n)
()
(n-)
ij ik
kj
k I
p p
p l l ∈=
∑。
证明：{}(n)
ij k I
P P X (n)=j X (0)=i P X (n)=j,X (l)=k X (0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩
⎭
={}k I
P X (n)=j,X (l)=k X (0)=i ∈∑
={}{}k I
P X (l)=k X (0)=i P X (n)=j X (l)=k,X (0)=i ∈∑ =(l)(n-l)
ik kj P P ∑
三．计算题（每题10分，共50分）
1.设X(t)=Vcos t,α ,t T=[0,+)∈∞，振幅V 是在区间（0,1）上均匀分布的随机变量，α为常数。
（1）画出其中二条样本函数的图形；（2）求当t=
4π
α
时，X(t)的概率密度函数。
解：（1）取V=11,23
；（2
）X ()=V 4π
α4X ()p 0 πα∴=⎪⎩
其它
2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求：（1）在5分钟内顾客数的平均数；（2）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率。
解：设N (t)表示[)0,t 内顾客到达的数目，{}k
-10
(25)P N (5)=k e
k!
⨯=
，k=0,1,2,
故知（1）{}E N(5)10;=（2）{}{}-10
P N(5)1P N(5)=01e
≥==-
3.设质点只能停留在1、2、3、4个点上作随机游动。
移动的规则是：移动前若在2或3上，则均以
13
的概率向右或向左移动一个单位，或者停留原处；移动前若在1点上，则以概率1移到2点；
移动前若在4点上则以概率1移到3点上。
设n X 表示时刻n 质点所处的位置。
（1）写出其状态空间，说明此系统是一齐次马氏链；（2）求出一步转移概率矩阵；（3）求出二步转移概率矩阵。
解：（1）{}I=1,2,3,4；
（2）1113
33111
3
3
3
1
00
P=00
01
0⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ （3）1
1
13
3351219999
(2)2512199991113
330P P 0
⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4.设有状态空间{}I=0,1,2的马氏链，一步转移概率矩阵0.50.40.1P=0.3
0.40.30.2
0.3
0.5⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，试求它的极限分布。
解：由一步转移概率矩阵知，此马氏链是不可约的遍历链，它的平稳分布就是极限分布，设极限分布为012X =(x ,x ,x )，由X=XP ，得
00121
012201201
2x =0.5x +0.3x +0.2x x =0.4x +0.4x +0.3x
x =0.1x +0.3x +0.5x x +x + x 1
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪=⎩
解上述线性方程组，得012212318x =
,x =
,x 62
6262
=
5.设有状态空间{}I=0123,4,5,6，，，的马氏链，它的一步转移概率矩阵1
1
22112
21122
1122112
2
11111117
7
7
7
7
7
70
00000000000
0000000P=0000000
1
0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（１）画出状态转移图；（２）对状态进行分类，并将状态空间进行分解。
解：（1）（图略）；
（2）123I=D C C C ，其中D={6}为非常返状态集，{}{}{}123C =0,1,2,C =3,4,C 5=均为正常返闭集。
四.简答题（6分）随机过程与函数、随机变量有何不同？ 答：（略）。