概率论与数理统计习题第七章

概率论与数理统计习题

部分习题简答

习题七

2．

解 =1α(),E X λ=由X A ==11ˆα

参数λ的矩估计量为.X λΛ

=

3．

解 由()()12

2

1

()3E X xf x dx x

x dx α

αααα

+∞

-∞

===-=⎰⎰ ，得 13αα=, 由X A ==11ˆα

, 所以α的矩估计量 3.X αΛ

=

4．

解()()1

111

1

,n n

n n

i i

i i i i L f x x x θθθθθθ

--======∏∏C ,()1ln ln (1)ln n

i i L n x θθθ==+-∑，

令 ()1ln ln 0n

i i d n

x d θθθ==+=∑,所以，θ的极大似然估计值为 1ln n

i i n x θΛ

=⎛⎫ ⎪ ⎪=-

⎪ ⎪⎝⎭

∑. 5．

解 ()111122n

i

i

i x x n

n n i L e e

σ

σσσ

σ=--=∑⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭

∏ ，()1ln ln 2ln n

i

n

i x L n σσσ==---∑,

令

()1

2

ln 0n

i

i x

d n

d σσ

σ

σ==-

+

=∑ ，得1

1n

i i x n σ==∑ ，

所以，σ的极大似然估计量为 1

1n

i i X n σΛ

==∑.

6．

解 (1) 由=1α()22()12213(1)32,E X θθθθθ=⨯+⨯-+-=- 可得2

31

αθ-=

由X A ==11ˆα

, 所以θ的矩估计量为3-,2

X

θΛ

= 根据给定的样本观测值计算得到 14

(121).33

x =++=

所以6

5234

3ˆ=-

=θ

,即θ的矩估计值为5.6θΛ=

(2) 对于给定的样本观察值，似然函数为

()2252(1)2(1)L θθθθθθθ=⨯-⨯=- ，()ln ln 25ln ln(1)L θθθ=++-,

令 ()ln 5

101d d θθ

θ

θ-=

+

=-，得56θΛ=.即θ的极大似然估计值为5

.6

θΛ= 7.

证 =)(X E 11111

()n n i i i i E X E X n n n n

μμ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑,所以样本均值X 是μ的无偏估计量

但是，22

2

22()()().E X D X E X n

σμμ=+=+≠所以2

X 不是2μ的无偏估计量

8.

解 ()()()

()()()22111E CX C S CE X C E S C C λλλ+-=+-=+-= 所以，2(1)C X C S +-均是λ的无偏估计． 9.

证 ()()()2121212

3333

E g E X E X μμμ=+=+=，可证，()1E g μ=，()3E g μ=

()()()212145999D g D X D X =+= ， 31292517

()()()646432

D g D X D X =+=

， ()()()112111

442

D g D X D X =

+=， 231()()()D g D g D g >>，所以，11211

22

g X X =

+估计μ最有效.

10.

解 13,T T 是θ的无偏估计量；3T 更有效。

因为，2112341111

15()()()22,();636

318E T E X X X X D T θθθθ⎡⎤=+++=⨯+⨯==⎢⎥⎣⎦

21

()(10)2,5

E T θθ=⨯= 233111

()4,

()().44

E T D T D T θθθ=⨯==<

11. 设随机变量X 的概率密度函数为1

,0()0,

x

e

x f x θ

θ

-

⎧≥⎪

=⎨

⎪⎩

，其它

(θ为未知参数)，

(1) 求参数θ的极大似然估计量ˆθ； (2) ˆθ是否是θ的无偏估计量； (3)求ˆ()D θ

. 解：(1)似然函数1

1

1(),n

i

i n

x

L e

θθθ=-∑⎛⎫

= ⎪⎝⎭

1

1ln ()ln ,n

i i L n x θθθ==--∑

两边关于θ求导数，21

ln ()10,n

i i L n x d θθθθ=-=+=∑ 得1

ˆn

i

i X

X n

θ

===∑;

(2) 0

1ˆ()()()x

E E X E X x e d θθθθθ

-+∞====⎰

, 所以ˆθ是否是θ的无偏估计量； (3)()ˆ()(),D X D D X n

θ

== 而22

2

2220

1

()()()2,x

D X

E X EX x

e

θ

θθθθ

-

+∞=-==-=⎰

所以2

ˆ().D n

θθ

=