六年级奥数-重叠问题

(小学奥数)容斥原理之重叠问题(二)

1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-2.容斥原理之重疊問題（二）1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．模組一、三量重疊問題【例 1】一棟居民樓裏的住戶每戶都訂了2份不同的報紙。

小学奥数教程：几何中的重叠问题_全国通用(含答案)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-3.几何中的重叠问题1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长3853487+-=(厘米)．【答案】87厘米【巩固】把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：2337357+-=(厘米)．【答案】57厘米【例 2】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图32厘米4厘米【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个42⨯的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，被覆盖面积4222212=⨯⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】12厘米【巩固】如图3，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答图3468【解析】两个图形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用长方形和正方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在长方形和正方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积+正方形面积-重叠部分．于是，组合图形的面积：86664468⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】68平方厘米【巩固】一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】1星【题型】解答106412【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)，重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如例题精讲果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分．于是，组合图形的面积12810644140=⨯+⨯-⨯=(平方厘米)．【答案】140平方厘米【例 3】三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答CBA10 【解析】将图中的三个圆标上A 、B 、C ．根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积=(A 圆面积B +圆面积C +圆面积-）（A 与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积+）三个纸片共同重叠的面积，得：100505050A =++-（）（与B 重合部分面积A +与C 重合部分面积B +与C 重合部分面积10+），得到A 、B 、C 三个圆两两重合面积之和为：16010060-=平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：60103=⨯+阴影部分面积，则阴影部分面积为：603030-=(平方厘米)．【答案】30平方厘米【巩固】如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．【考点】几何中的重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】设甲圆组成集合A ，乙圆组成集合B ，丙圆组成集合C ． A B C ===30，A B =6，B C =8，A C =5，A B C =73，而A B C =A B C +--A B B C A C A B C --+.有73=30×3-6-8-5+AB C ，即A B C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积(⑧部分面积)为2．那么只是甲与乙(④)，乙与丙(⑥)，甲与丙(⑤)的公共的面积依次为6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有阴影部分(①、②、③部分之和)的面积为73-4-6-3-2=58．【答案】58【例 4】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】阴部分的面积60310040220=⨯--÷=（）(平方厘米)．【答案】20平方厘米【巩固】如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？【考点】几何中的重叠问题【难度】3星【题型】解答【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873x---+，这就是三张纸片覆盖的面积．根据上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【答案】6。

小学奥数容斥原理之重叠问题(一) 精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

小学奥数专题-重叠问题(精华版)

小学奥数专题-重叠问题(精华版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

数学重叠问题的解题技巧

数学重叠问题的解题技巧重叠问题在数学中是一个常见的问题类型，它涉及到两个或多个集合，以及这些集合之间的交集和并集。

解决重叠问题的关键是理解集合的概念，以及如何计算交集和并集。

以下是一些解决重叠问题的技巧：1. 明确集合的定义：首先，你需要明确每个集合的定义。

这通常涉及到确定每个集合的元素。

2. 识别重叠部分：找出两个或多个集合之间的共同元素。

这些共同元素构成了重叠部分。

3. 使用集合的运算：交集：表示两个集合共有的部分。

使用符号∩表示交集。

例如，A∩B 表示集合A和集合B的交集。

并集：表示两个集合的所有元素，包括重复的元素。

使用符号∪表示并集。

例如，A∪B表示集合A和集合B的并集。

4. 避免重复计数：当计算交集时，要注意不要重复计数。

例如，如果集合A 和集合B有3个共同的元素，那么在计算A∩B时，这3个元素只应计算一次。

5. 使用图形表示：有时，使用图形（如韦恩图）来表示集合和它们的重叠部分可以帮助理解问题。

6. 应用公式：对于一些特定的问题，可能存在特定的公式或方法来快速解决。

例如，在计算组合数时，有时可以使用“插空法”或“隔板法”。

7. 逐步解决问题：将问题分解为更小的步骤，每一步只处理一个集合或一个交集/并集的计算。

这有助于避免混淆和错误。

8. 检查答案：完成计算后，检查答案是否符合预期。

这可以通过比较答案与原始问题的关系来完成。

通过遵循这些步骤和技巧，你应该能够解决大多数重叠问题。

记住，重叠问题主要考察的是对集合概念的理解和应用，因此理解这些基本概念是解决这类问题的关键。

六年级奥数-重叠问题

第十二讲重叠问题姓名容斥道理就是：在计数时,为了使重叠部分不被反复盘算,人们研讨出一种新的计数办法,这种办法的根本思惟是：先不斟酌重叠的情形,把包含于某内容中的所有对象的数量先盘算出来,然后再把计数时反复盘算的数量排挤出去,使得盘算的成果既无漏掉又无反复,这种计数的办法称为容斥道理.公式法：应用容斥道理一：C＝A＋B－AB,这一公式可盘算出两个聚集圈的有关问题（C暗示两个聚集的并集,A.B暗示两个聚集,AB暗示两个聚集的交集）.应用容斥道理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC,这一公式可盘算出三个聚集的有关问题.（D暗示三个聚集的并集,A.B.C暗示三个不合的聚集,AB.AC.BC暗示两个不合聚集的交集,ABC暗示三个聚集的交集）图象法：依据题意绘图,并借助图形帮忙剖析,逐个地盘算出各个部分,从而解答问题.例1：某班40位同窗在一次数学磨练中,答对第一题的有23人,答对第二题的有27人,两题都答对的有17人,问有几个同窗两题都不合错误？例2：某班有学生48人,个中21人介入数学比赛,13人介入作文比赛,有7人既介入数学比赛又介入作文比赛.那么（1）只介入数学比赛的有若干人？（2）介入比赛的一共有若干人？（3）没有介入比赛的一共有若干人？例3：某校有三个兴致小组,体育.书法和美术.已知介入这三个兴致小组的学生人数分离是25人.24人和30人.同时介入体育.书法兴致小组的有5人,同时介入体育.美术兴致小组的有2人,同时介入书法.美术兴致小组的有4人,有1人同时介入了这三个兴致小组,问：共有若干人介入兴致小组？例4：某校订五年级100名同窗进行进修兴致查询拜访,成果有58人爱好语文,有38人爱好数学,有52人爱好外语.并且爱好语文和数学(但不爱好外语)的有6人,爱好数学和外语(但不爱好语文)的有4人,三科都爱好的有12人,并且每人至少爱好一科.问有若干同窗只爱好语文？例5：分母是1001的最简真分数有若干个？它们的和是若干？例6：某市肆查询拜访该市肆出售的A.B两种商品发卖情形,在被查询拜访的家庭对象中,有1/3不必A商品,有4/7不必B商品,别的有22家既用A商品也用B商品,有1/6的家庭则两种产品都没有效,问该市肆共查询拜访了若干户家庭？例7：某班学生中78%爱好泅水,80%爱好玩游戏机,84%爱好下棋,88%爱好看小说.该班学生中同时有四种快活爱好的学生所占的最小百分比应是若干？演习1.一批教师中,会英语的有65人,会俄语的有58人,会日语的有51人,既会英语又会俄语的有21人,既会英语又会日语的有19人,既会俄语又会日语的有17人,三种都邑的有5人,三种都不会的有8人.这批教师共有若干人？2.某班有36个同窗,在一次磨练中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人,那么两题都不合错误的有若干人？3.分母是105的最简真分数,共有若干个？4、在1～1000的天然数中,不克不及被5或7整除的数共有若干个？5.六年级100逻辑学生,每人至少快活爱好体育.文艺和科学三项中的一项.个中,快活爱好体育的有55人,快活爱好文艺的56人,快活爱好科学的51人,三项都快活爱好的15人,只快活爱好体育和科学的 4人,只快活爱好体育和文艺的17人. 问:有若干人只快活爱好科学和文艺两项?只快活爱好体育的有若干人?人?。

小学奥数计数题库容斥原理之重叠问题(一).学生版

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

(完整版)小学奥数重叠问题1

知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。

[ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。

三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。

[ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。

可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。

[ 例3 ] 有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。

现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。

算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。

[ 例4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？22人8人分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。

算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。

[ 例5 ] 四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。

一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6厘米，32-6=26，现在这根长绳是26厘米。

重叠问题知识要点

重叠问题是指在概率统计中，多个事件之间存在共同发生的可能性。

解决重叠问题的关键是正确计算相互影响的事件发生的概率。

主要知识点包括：
1. 重叠事件的概率计算：重叠事件A和B同时发生的概率P(A∩B)可以通过公式P(A∩B)=P(A)P(B|A)计算，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

2. 独立事件：如果两个事件A和B相互独立，那么事件A发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)。

独立事件的重叠概率P(A∩B)=P(A)P(B)。

3. 互斥事件：如果两个事件A和B互斥，那么它们不可能同时发生，即P(A∩B)=0。

4. 一般重叠问题的求解方法：对于一般重叠问题，可以采用先分类后分步的方法，将问题拆分为多个互斥事件的和，然后分别计算每个互斥事件的概率，最后将这些概率相加得到结果。

5. 重叠问题的实际应用：重叠问题在实际生活中有很多应用，如保险、排队理论、可靠性工程等领域。

掌握重叠问题的解决方法对于解决实际问题具有重要意义。

小学奥数专题-重叠问题(精华版)

小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

..容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

..一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

小学奥数容斥原理之重叠问题一精选例题练习习题含知识点拨

教学目标1 . 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2 .掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A U B = A + B - A 「B （其中符号“、.”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“•'” 读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理,图示如下A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A^B ,即阴影面积.图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A PI B ,即阴影面积. 先包含——A + B重叠部分A^B 计算了 2次，多加了 1次;2.再排除——A + B — A p|B把多加了 1次的重叠部分A^B 减去.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A U B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求A + B （意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C = A A B （意思是“排除”了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+ B 类元素个数+ C 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为：A U B U C = A + B + C — A p|B — B Pl C — A p|C + A^B^C .图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数.1 .先包含：A + B + C重叠部分A PI B 、B PI C 、C PI A 重叠了 2次，多加了 1次.2 .再排除：A + B + C — A p|B — B A C — A p|C重叠部分A^B^C 重叠了 3次，但是在进行A + B + C - A^B — B^C —A Q C 计算时都被减掉了.3 .再包含：A + B + C — A p|B — B p|C — A p|C + A[}B[yC .在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）4V例题精靛讲两量重叠问题【例1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。

小学奥数几何中的重叠问题

重叠问题
目
1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.
目
一、两量重叠问题
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算•求两个集合并集的元素的个数，不能简单地
把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个
数，用式子可表示成：AUB A B AI B（其中符号U”读作并”，相当于中文和”或者或”的意思；符号“I”读作交”，相当于中文且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AI B,即阴影面积•图示如下：
二、三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数.用符号表示为：AU BUC A B C AI B BI C AI C AI BI C.图示如下：
另一个长方形长10厘米宽厘米它们中间重叠的部分是个边长4厘米的正几何中的重叠问题两个长方形如图摆放时出现了重叠见图中的阴影部分重叠部分恰好是边长为厘米的正方形如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次而实际上这部分只需计算一次就可以了
数学竞赛
小学奥数几何中的
几何中的重叠问题
【难度】2星【题型】解答
将图中的三个圆标上圆面积C圆面积）纸片共同重叠的面积，
A、B、C•根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积（A圆面积B
（A与B重合部分面积A与C重合部分面积B与C重合部分面积）三个

第20讲重叠问题含解题思路和参考答案

第20讲重叠问题仁解题思路与参考答案）一、解题方法1 .解答重叠问题，要用到数学中一个重要原理一一包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计算，应从他们的和中排除重复部分。

2 .解答重叠问题的应用题，必须从条入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次，明确要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3 .在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合与集合之间的关系，这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

例题1.两块一样长的木板搭在一起共长160厘米，中间重叠部分是20厘米，如图，这两块木板各长多少厘米?解题思路: 把等长的两块木板的一端搭起来，搭在一起的长度就是重叠部分，重叠部分20 厘米，所以这两块木板的总长度是160+20 = 180 （厘米），每块木板的长度是180-2 =90 （厘米）答：这两块木板各长90厘米。

巩固练习1.把两根同样长的绳子的一端捆绑在一起，共长120厘米，两根绳子捆在一起的重叠部分长12厘米，原来两根绳子各长多少厘米？4 .两块一样长的红条幅缝在一起，变成一块长条幅，现在这两块条幅共长 22米，中间重叠部分长6分米，原来两块条幅各长多少分米？5 . 一根长80厘米的木棍，不小心被折成了长短不一的两段，现在把两段接起来，其中重叠部分长6厘米，两根木棍接起来后共长多少厘米？解题过程:解：（160+20）-2= 180-2 =90 （厘米）例题2.三（2）班同学排队做操，每行人数相同，亮亮的位置从左数起是第5 个，巩固练习1.同学们排队表演节目，每行人数同样多，小林的位置从左数是第6个，从右数是第1个，从前数是第3个，从后数狮第2个。

表演的同学共有多少人？2 .小红在一张方格纸上练字，它每行、每列写的同样多，“国"字的位置从上是第4个，从下数第5个，从左数、右数都是第3个。

小红一共写了多少个字？3 .同学们排队做操，每行、每列人数同样多，小兰的位置无论从前数，从后数，从左数、从右数都是第5个，做操的共有多少人？例题3.三（4）班有学生48人，写完语文作业的有23人，写完数学作业的有 29巩固练习1.三(1)班有60人，每人都参加了航模或书法课外兴趣小组，参加航模小组的有34人，参加书法小组的有40人。

多个量之间的重叠问题，听说难倒不少人，其实只需看懂这5张图！

多个量之间的重叠问题，听说难倒不少⼈，其实只需看懂这5张图！多个量之间的重叠问题前两节的内容我们讲的重叠问题时⽐较基础的⼀般只涉及两个集合之间的计数，这节的内容我们把难度上升，来讲解多个量之间的重叠问题。

这⾥有⼀个重点就是韦恩图的画法和集合之间的关系，所以⼀定要好好理解，这节的内容也是⽐较重要的，是奥数中常考的题型。

经典例题1、对全班同学作⽂、数学、科学这三门功课进⾏调查，其中有20⼈喜欢作⽂，32⼈喜欢数学，34⼈喜欢科学，12⼈既喜欢作⽂⼜喜欢数学，9⼈既喜欢作⽂⼜喜欢科学，20⼈既喜欢数学⼜喜欢科学，5⼈这三门可都喜欢，另外有3⼈这门功课都不喜欢。

这个班⼀共有多少⼈？这道题就是⾮常典型的多个量之间的重叠问题，题⽬中的数量关系⾮常多，我们来画图分析，如下图：我们先来看12个⼈既喜欢作⽂⼜喜欢数学说的是D+G这个部分等于12，D本⾝表⽰只喜欢作⽂和数学，G表⽰三种都喜欢，那么这12个⼈说的是既喜欢作⽂⼜喜欢数学，所以包含D+G=12，我们有⼜知道G=5，所以可以得到如下图：那么同样的道理有9个⼈既喜欢作⽂⼜喜欢科学，也就是说G+E=9，题⽬中已经告诉我们G=5了，所以E=4，如下图：很显然既喜欢科学⼜喜欢数学的⼈有20个，那么G+F=20，G=5，所以F=20-5=15⼈，得到如下图：那么接下来我们再分别求出A、B、C就可以了，A代表的是只喜欢作⽂，题⽬中告诉我们有20⼈喜欢作⽂，我们那么A=20-7-4-5=4⼈，同样的道理求出B=5⼈，C=10⼈，如下图：那么全班的⼈数就是把图中的7个部分，再加上3个三项都不喜欢的⼈数：4+5+10+7+4+15+5+3=53⼈。

解决这类题⽬⼀定要学会画韦恩图，就是我们上⾯这种画图的⽅式。

典型考题2、学⽣⾷堂的管理⼈员做了⼀个调查：全班50⼈，爱吃鸡腿的有40⼈，爱吃鱼的有32⼈，爱吃蔬菜的有40⼈，既爱吃鸡腿⼜爱吃鱼的28⼈，既爱吃鱼⼜爱吃蔬菜的有22⼈，既爱吃鸡腿⼜爱吃蔬菜的有30⼈，那么鸡腿、鱼、蔬菜都爱吃的有多少⼈？我们先来看鸡腿40⼈的部分包含①+④+⑤+⑥=40，鱼的部分包含②+④+⑤+⑥=32，蔬菜的部分包含③+⑤+⑥+⑦=40。

六年级奥数-重叠问题

六年级奥数-重叠问题容斥原理就是：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

公式法：运用容斥原理一：C＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题《C表示两个集合的并集，A；B表示两个集合，AB表示两个集合的交集》。

运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合的有关问题。

《D表示三个集合的并集，A；B；C表示三个不同的集合，AB；AC；BC表示两个不同集合的交集，ABC表示三个集合的交集》图象法：根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题。

例1：某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？例2：某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛。

那么《1》只参加数学竞赛的有多少人？《2》参加竞赛的一共有多少人？《3》没有参加竞赛的一共有多少人？例3：某校有三个兴趣小组，体育；书法和美术。

已知参加这三个兴趣小组的学生人数分别是25人；24人和30人。

同时参加体育；书法兴趣小组的有5人，同时参加体育；美术兴趣小组的有2人，同时参加书法；美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加了这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？例4：某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语。

而且喜欢语文和数学(但不喜欢外语)的有6人，喜欢数学和外语(但不喜欢语文)的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科。

问有多少同学只喜欢语文？例5：分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？例6：某商店调查该商店出售的A；B两种商品销售情况，在被调查的家庭对象中，有1/3不用A商品，有4/7不用B商品，另外有22家既用A商品也用B商品，有1/6的家庭则两种产品都没有用，问该商店共调查了多少户家庭？例7：某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说。

小学奥数专题-重叠问题(精华版)

小学奥数重叠问题专题日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。

重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。

学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。

下面小编给大家分享解决重叠的方法。

1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。

明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。

这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。

这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。

5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。

容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。

一、重叠问题之长度：（1）拼接（对接）（2）搭接（3）打结题目1：（搭接正问题：求总长度）把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度）把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。

这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度）两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。

六年级奥数-重叠问题

第十二道沉叠问题姓名之阳早格格创做容斥本理便是：正在计数时，为了使沉叠部分不被沉复估计，人们钻研出一种新的计数要领，那种要领的基础思维是：先不思量沉叠的情况，把包罗于某实质中的所有对于象的数目先估计出去，而后再把计数时沉复估计的数目排斥进去，使得估计的截止既无遗漏又无沉复，那种计数的要领称为容斥本理.公式法：使用容斥本理一：C＝A＋B－AB，那一公式可估计出二个集中圈的有闭问题（C表示二个集中的并集，A、B表示二个集中，AB表示二个集中的接集）.使用容斥本理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，那一公式可估计出三个集中的有闭问题.（D表示三个集中的并集，A、B、C表示三个分歧的集中，AB、AC、BC表示二个分歧集中的接集，ABC表示三个集中的接集）图象法：根据题意绘图，并借帮图形帮闲分解，逐个天估计出各个部分，进而解问问题.例1：某班40位共教正在一次数教考验中，问对于第一题的有23人，问对于第二题的有27人，二题皆问对于的有17人，问有几个共教二题皆分歧过失？例2：某班有教死48人，其中21人介进数教竞赛，13人介进做文竞赛，有7人既介进数教竞赛又介进做文竞赛.那么（1）只介进数教竞赛的有几人？（2）介进竞赛的一公有几人？（3）不介进竞赛的一公有几人？例3：某校有三个兴趣小组，体育、书籍法战好术.已知介进那三个兴趣小组的教死人数分别是25人、24人战30人.共时介进体育、书籍法兴趣小组的有5人，共时介进体育、好术兴趣小组的有2人，共时介进书籍法、好术兴趣小组的有4人，有1人共时介进了那三个兴趣小组，问：公有几人介进兴趣小组？例4：某校对于五年级100名共教举止教习兴趣考察，截止有58人喜欢语文，有38人喜欢数教，有52人喜欢中语.而且喜欢语文战数教(但是不喜欢中语)的有6人，喜欢数教战中语(但是不喜欢语文)的有4人，三科皆喜欢的有12人，而且每人起码喜欢一科.问有几共教只喜欢语文？例5：分母是1001的最简实分数有几个？它们的战是几？例6：某商店考察该商店出卖的A、B二种商品出卖情况，正在被考察的家庭对于象中，有1/3不必A商品，有4/7不必B商品，其余有22家既用A商品也用B商品，有1/6的家庭则二种产品皆不用，问该商店共考察了几户家庭？例7：某班教死中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢瞅小道.该班教死中共时有四种快乐喜爱的教死所占的最小百分比应是几？训练1、一批西席中，会英语的有65人，会俄语的有58人，会日语的有51人，既会英语又会俄语的有21人，既会英语又会日语的有19人，既会俄语又会日语的有17人，三种皆市的有5人，三种皆不会的有8人.那批西席公有几人？2、某班有36个共教，正在一次考验中，问对于第一题的有25人，问对于第二题的有23人，二题皆问对于的有15人，那么二题皆分歧过失的有几人？3、分母是105的最简实分数，公有几个？4、正在1～1000的自然数中，不克不迭被5或者7整除的数公有几个？5、六年级100名教死，每人起码快乐喜爱体育、文艺战科教三项中的一项.其中，快乐喜爱体育的有55人，快乐喜爱文艺的56人，快乐喜爱科教的51人，三项皆快乐喜爱的15人，只快乐喜爱体育战科教的4人，只快乐喜爱体育战文艺的17人. 问:有几人只快乐喜爱科教战文艺二项?只快乐喜爱体育的有几人?人?。

小学数学重叠问题

重叠问题例1. 区分“几个”和“第几”（1）小明前面有5人，从前往后数他是第几？小红后面有4人，从后往前数，她是第几？画图：列式：5＋1＝6 4＋1＝5思考：为什么要加1 ？因为前面有几人，后面有几人，不包括他自己，所以要加1 。

（2）从左往右数小丽排第5，她左边有几人？从右往左数阳阳排第6，他右边有几人？画图：列式：5－1＝4（人）6－1＝5（人）思考：为什么要减1 ？因为第几，数到他自己了。

所以要减1。

例2. 重叠问题（课本74页，智慧广场）冬天来了，一群大雁排成一队飞向南方，有一只穿花衣服的大雁非常漂亮。

从前面数，它排第6,；从后面数它排第3。

一共有多少只大雁？画图：列式：6＋3－1＝8（只）9思考：为什么要减1 ？因为穿花衣服的大雁被重复数了两次，所以要减1。

例3.（课本74页，自主练习第1题）鸭妈妈领着自己的孩子在池塘里学游泳，它前面有4只鸭子，后面有3只鸭子。

一共有几只鸭子？画图：列式：4＋3＋1＝8（只）7思考：为什么要加1 ？因为前面的4只鸭子和后面的3只鸭子，都没有数到鸭妈妈。

例4.（课本75页，自主练习第4题）画图：列式：6＋4＝10（人）排队上车的有多少人？思考：想一想，怎么区分“例2、例3、例4”三种情况？做题要求：先要读清楚题目（读三遍），分清楚“几个”和“第几”；然后画图分析；最后列式解答。

1.①小动物们排队做操，小猴前面有8只小动物，从前往后数它是第（）个。

画图：列式：②从后往前数小羊排第5，它后面有（）只小动物。

画图：列式：③小鸭子排队学游泳，从左往右数小鸭贝贝是第6个，它的左边有（）只小鸭子。

画图：列式：④小鸭丫丫右边有7只小鸭子，从右往左数它是第（）个。

画图：列式：2.一共有几只小动物？画图：列式：3.森林里举行赛跑比赛，小兔子从前面排第3，从后面排第6，一共有几只小动物参加比赛？画图：列式：4.小亮坐在缆车上，他发现在他前面有3辆车，后面也有3辆车。

请问，一共有几辆缆车？画图：列式：5.小朋友排队玩滑梯，小华前面有4个人，后面有5个人，一共有几个小朋友？画图：列式：6.小朋友们排队买电影票，亮亮排第4，后面有5个小朋友。

六年级奥数-重叠问题

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