主成分分析、因子分析步骤

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主成分、因子分析步骤

主成分分析、因子分析步骤因子分析1 【分析】→【降维】→【因子分析】（1）描述性统计量（Descriptives）对话框设置KMO和Bartlett的球形度检验（检验多变量正态性和原始变量是否适合作因子分析）。

（2）因子抽取（Extraction）对话框设置方法：默认主成分法。

主成分分析一定要选主成分法分析：主成分分析：相关性矩阵。

输出：为旋转的因子图抽取：默认选1.最大收敛性迭代次数：默认25.（3）因子旋转（Rotation）对话框设置因子旋转的方法，常选择“最大方差法”。

“输出”框中的“旋转解”。

（4）因子得分（Scores）对话框设置“保存为变量”，则可将新建立的因子得分储存至数据文件中，并产生新的变量名称。

（5）选项（Options）对话框设置2 结果分析（1）KMO及Bartlett’s检验KMO 和Bartlett 的检验取样足够度的Kaiser-Meyer-Olkin 度量。

.515Bartlett 的球形度检验近似卡方df6Sig..706当KMO值愈大时，表示变量间的共同因子愈多，愈适合作因子分析。

根据Kaiser的观点，当KMO＞（很棒）、KMO＞（很好）、KMO＞（中等）、KMO＞（普通）、KMO＞（粗劣）、KMO＜（不能接受）。

（2）公因子方差公因子方差起始撷取卫生.855饭量.846等待时间.819味道.919亲切.608撷取方法：主体元件分析。

Communalities（称共同度）表示公因子对各个变量能说明的程度，每个变量的初始公因子方差都为1，共同度越大，公因子对该变量说明的程度越大，也就是该变量对公因子的依赖程度越大。

共同度低说明在因子中的重要度低。

一般的基准是<就可以认为是比较低，这时变量在分析中去掉比较好。

（3）解释的总方差第二列统计的值是各因子的特征值，即各因子能解释的方差，一般的，特征值在1以上就是重要的因子；第三列%是各因子的特征值与所有因子的特征值总和的比，也称因子贡献率；第四列是因子累计贡献率。

因子分析步骤

因子分析步骤因子分析的核心问题有两个：一是如何构造因子变量；二是如何对因子变量进行命名解释。

因此，因子分析的基本步骤和解决思路就是围绕这两个核心问题展开的。

因子分析通常包括以下四个基本步骤。

1. 确定原有变量是否适合进行因子分析因子分析的目的，是从原有众多的变量中综合出少量具有代表意义的因子变量，这必定有一个潜在的前提要求，即原有变量之间应具有较强的相关关系。

不难理解，如果原有变量之间不存在较强的相关关系，那么根本无法从中综合出能够反映某些变量共同特性的几个较少的公因子变量来。

因此，一般在因子分析时，需要对原有变量进行相关分析。

最简单的方法是计算变量之间的相关系数矩阵并进行统计检验。

如果相关系数矩阵中的大部分相关系数都小于0.3且末通过统计检验，那么，这些变量就不适合作因子分析。

2. 确定因子变量构造因子变量是因子分析的关键步骤之一。

因子分析中有多种确定因子变量的方法，根据所依据的准则不同，一般可以分为两类：一类是基于主成分分析模型的主成分分析法，另一类是基于前面介绍的公因子模型的公因子分析法，包括主轴因子法、极大似然法、最小二乘法、alpha法等。

3. 因子变量的命名解释因子变量的命名解释是因子分析的另一个核心问题。

对上面计算得到的因子载荷u ij 进行观察，一般会发现这样的现象：u ij 的绝对值可能在某一行的许多列上都有较大的取值，或u ij 的绝对值可能在某一列的许多行上都有较大的取值。

这表明：某个观测变量x i 可能同时与几个因子变量都有比较大的相关关系。

也就是说，某个观测变量x i 的信息需要由若干个因子变量来共同解释；同时，虽然一个因子变量可能能够解释许多变量的信息，但它却只能解释某个变量的一少部分信息，不是任何一个变量的典型代表。

这样的情况必然使得某个因子变量的实际含义模糊不清。

而实际分析工作中，人们却希望对因子变量的含义有比较清楚的认识。

因此，希望通过某种手段便每个变量在尽可能少的因子上又有比较高的载荷，即：在理想状态下，让某个变量在某个因子上的载荷趋于1，而在其他因子上的载荷趋于0。

因子分析、主成分分析

通过主成分分析，可以研究多个变量之间的相关性，揭示变量
之间的内在联系。
多元回归分析
03
在多元回归分析中，主成分分析可以用来消除变量间的多重共
线性，提高回归分析的准确性和稳定性。
金融数据分析
风险评估
在金融数据分析中，主成分分析可以用来评估投资组合的风险，通过提取主要因子来反映市场的整体波动。
市场趋势分析
主成分分析案例：金融数据分析
总结词
主成分分析用于金融数据分析中，能够降低数据维度并揭示主要经济趋势。
VS
详细描述
在金融领域，主成分分析被广泛应用于股票、债券等资产组合的风险评估和优化。通过对大量金融数据进行主成分分析，可以提取出几个关键主成分，这些主成分代表了市场的主要经济趋势。投资者可以利用这些信息进行资产配置和风险管理。
特征提取
主成分分析能够提取出数据中的主要特征，突出数据中的主要变化方向，有助于揭示数据的内在规律。
数据可视化
降低数据维度后，数据的可视化变得更加容易，有助于直观地理解和分析数据。
多元统计
多元数据描述
01
主成分分析可以用来描述多元数据的总体特征，提供对多元数
据分布的整体理解。
多元相关分析
02
目的
通过找出影响观测变量的潜在结构，更好地理解数据的意义，简化复杂数据的分析，并解决诸如多重共线性等问题。
因子分析的原理
1 2 3
基于相关性
因子分析基于观测变量之间的相关性，通过找出这些相关性背后的公因子来解释变量之间的依赖关系。
降维
通过提取公因子，将多个观测变量的复杂关系简化为少数几个潜在因子的线性组合，实现数据的降维。

因子分析和主成分分析的方法步骤

因子分析和主成分分析的方法步骤
一、主成分分析
步骤（详细步骤见算法大全低二十九章：多元分析）
1）对原始数据进行标准化处理
2）计算相关系数矩阵R
3）计算特征值和特征向量
（要对特征向量进行正则化，即特征向量值/sqrt(对应的特征值)，这一步需要自己计算）
4）根据累计贡献率得到主成分P，计算综合评价值
5）②计算综合得分
二、因子分析
步骤（详细步骤见算法大全低二十九章：多元分析）
1．选择分析的变量
2．计算所选原始变量的相关系数矩阵
3．提出公共因子
4．因子旋转
5．计算因子得分
用SPSS解决步骤：
注：以上为主成分分析和因子分析对应的操作步骤，对得到的结果进行相应的分析可以参考《SPSS 统计分析高级教程》中的主成分分析和因子分析。

主成分分析因子分析

主成分分析因子分析主成分分析和因子分析是很重要的统计分析方法。

两者都是用于对一组同质或异质的变量进行数据探索研究的技术，它们都可以提供有价值的结论，增强数据有意义的理解。

1. 主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是从一大组变量中提取具有代表性的正交变量，组成一个新的变量集合。

PCA通过减少变量数量，减少多变量间相关性带来的重复性，从而提升数据分析的准确性和有效性。

注意减少变量数量不是减少观测样本数量，而是把原先高维度的变量合并成一组较低维度的变量。

PCA算法的基本思想是：它分析原始数据集中的变异，并从中提取主要的变量，然后将这些变量的组合（叫做主成分）用推断法来重新构建原来的数据集，最后能够说明原始变量的结构，对被研究的变量结构有系统的解释。

2. 因子分析因子分析（Factor Analysis，简称FA）是一种用来探索相关变量之间潜在关系的统计分析方法。

这一方法注重的是把一系列的变量映射到一个尽可能少的多个隐变量的过程。

其中，这些隐变量就是“因子”，它们是原来变量的代表性变量，且变量之间有因果或相关的结构关系。

FA的基本思想是，将一组变量之间的复杂的相关关系映射到一组基本关系，即因子上。

然后，当每个变量映射到一个或几个因子上后，只需要解释因子就能够完全解释自变量变化的原因。

常用的因子模型有因子旋转、因子分层、因子波动等。

相比较，主成分分析和因子分析都有各自的专业领域，它们都有不同的数据需求和分析方法，在不同的数据处理中也表现出各自的优势和劣势。

主成分分析处理比较复杂的数据，可以根据原始变量的关系构建视图，但不涉及因果关系的推断；而因子分析可以推导出被研究的变量之间的关系，进而探索或验证其原因。

卫生统计学：主成分分析与因子分析

〔factor loading〕矩阵
通常先对x作标准化处理，使其均值为零，方差为１．这样就有
x i a i1 f1 a i2 f2 a im fm e i
假定〔１〕fi的均数为 i22 ０，方差为１；〔２〕ei的均数为０，方差为δi；〔３〕 fi与ei相互独立．
那么称x为具有m个公共因子的因子模型
〔２〕δi称为特殊方差〔specific variance〕，是不能由公共因子解释的局部
▪ 因子载荷〔负荷〕aij是随机变量xi与公共因子fj的相关系数。
▪设
p
g
2 j
a
2 ij
i1
j 1, 2 ,..., m
▪ 称gj2为公共因子fj对x的“奉献〞，是衡量公共因子fj重要性的一个指标。
根本思想：使公共因子的相对负荷〔lij/hi2〕的方差之和最大，且保持原公共因子的正交性和公共方差总和不变。
可使每个因子上的具有最大载荷的变量数最小，因此可以简化对因子的解释。
〔2〕斜交旋转〔oblique rotation〕
因子斜交旋转后，各因子负荷发生了较大变化，出现了两极分化。各因子间不再相互独立，而彼此相关。各因子对各变量的奉献的总和也发生了改变。
ai2j
g
2 j
i1
▪ 极大似然法〔maximum likelihood factor〕
▪ 假定原变量服从正态分布，公共因子和特殊因子也服从正态分布，构造因子负荷和特殊方差的似然函数，求其极大，得 factor〕
▪ 设原变量的相关矩阵为 R=(rij)，其逆矩阵为R-1=(rij)。各变量特征方差的初始值取为逆相关矩阵对角线元素的倒数， δi’=1/rii。那么共同度的初始值为(hi’) 。

数据分析中的因子分析和主成分分析

数据分析中的因子分析和主成分分析在数据分析领域，因子分析和主成分分析是两种常用的多变量分析方法。

它们可以用来处理大量的数据，找出数据的内在规律，并将数据简化为更少的变量。

本文将介绍因子分析和主成分分析的定义、应用以及它们在数据分析中的区别和联系。

一、因子分析因子分析是一种用于研究多个变量之间的潜在因素结构及其影响的统计方法。

它通过将多个观测变量转化为少数几个无关的因子，来解释变量之间的相关性。

因子分析的基本思想是将多个相关观测变量归因于少数几个潜在因子，这些潜在因子不能被观测到，但可以通过观测变量的变化来间接地推断出来。

因子分析通常包括两个主要步骤：提取因子和旋转因子。

提取因子是指确定能够解释原始变量方差的主要共性因子，常用的方法有主成分分析法和最大似然估计法。

旋转因子是为了减少因子之间的相关性，使得因子更易于解释。

常用的旋转方法有正交旋转和斜交旋转。

因子分析的应用非常广泛，可以用于市场研究、社会科学调查、心理学、金融等领域。

例如，在市场研究中，因子分析可以用来确定消费者购买行为背后的潜在因素，从而更好地理解市场需求。

二、主成分分析主成分分析是一种通过线性变换将原始变量转化为一组线性无关的主成分的统计方法。

主成分是原始变量的线性组合，具有较大的方差，能够尽可能多地解释原始数据。

主成分分析的主要思想是将原始变量投影到一个新的坐标系中，使得新坐标系上的第一主成分具有最大方差，第二主成分具有次最大方差，以此类推。

通过选择解释原始数据方差较多的前几个主成分，我们可以实现数据的降维和主要信息提取。

主成分分析在数据降维、特征提取和数据可视化等领域有广泛的应用。

例如，在图像处理中，主成分分析可以用来压缩图像数据、提取重要特征，并且可以在保留图像主要信息的同时减少存储空间的需求。

三、因子分析和主成分分析的区别和联系因子分析和主成分分析在某些方面有相似之处，但也存在明显的区别。

首先，因子分析是用于研究多个观测变量之间的潜在因素结构，而主成分分析是通过线性变换将原始变量转化为一组线性无关的主成分。

主成分分析和因子分析(朱艳科)

主成分分析和因子分析法一、主成分分析概论主成分分析的工作对象是样本点×定量变量类型的数据表。

它的工作目标，就是要对这种多变量的平面数据表进行最佳综合简化。

也就是说，要在力保数据信息丢失最少的原则下，对高维变量空间进行降维处理。

很显然，识辨系统在一个低维空间要比一个高维空间容易得多。

英国统计学家斯格特（M.Scott ）在1961年对157个英国城镇发展水平进行调查时，原始测量的变量有57个。

而通过主成分分析发现，只需5个新的综合变量（它们是原变量的线性组合），就可以95%的精度表示原数据的变异情况，这样，对问题的研究一下子从57维降到5维。

可以想象，在5维空间中对系统进行任何分析，都比在57维中更加快捷、有效。

另一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(Stone)在1947年关于国民经济的研究。

他曾利用美国1929～1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息和外贸平衡等等。

在进行主成分分析后，竟以97.4%的精度，用三个新变量就取代了原17个变量。

根据经济学知识，斯通给这三个新变量要别命名为总收入1F 、总收入变化率2F 和经济发展或衰退的趋势3F （是时间t 的线性项）。

更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。

二、主成分分析的基本思想与理论1、主成分分析的基本思想在对某一事物进行实证研究中，为了更全面、准确地反映出事物的特征及其发展规律，人们往往要考虑与其有关系的多个指标，这些指标在多元统计中也称为变量。

这样就产生了如下问题：一方面人们为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标，而另一方面随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性，同时也由于各指标均是对同一事物的反映，不可避免地造成信息的大量重叠，这种信息有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律。

基于上述问题，人们就希望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。

主成分、因子分析步骤

主成分、因⼦分析步骤主成分、因⼦分析步骤主成分分析、因⼦分析步骤不同点主成分分析因⼦分析概念具有相关关系的p个变量，经过将原数据中多个可能相关的变量综合成少数⼏线性组合后成为k个不相关的新个不相关的可反映原始变量的绝⼤多数信息的变量综合变量主要减少变量个数，以较少的主成分找寻变量间的内部相关性及潜在的共同因素，⽬标来解释原有变量间的⼤部分变适合做数据结构检测异，适合于数据简化强调强调的是解释数据变异的能⼒，强调的是变量之间的相关性，以协⽅差为导向，重点以⽅差为导向，使⽅差达到最⼤关⼼每个变量与其他变量共同享有部分的⼤⼩最终结形成⼀个或数个总指标变量反映变量间潜在或观察不到的因素果应⽤变异解它将所有的变量的变异都考虑只考虑每⼀题与其他题⽬共同享有的变异，因释程度在内，因⽽没有误差项⽽有误差项，叫独特因素是否需主成分分析作综合指标⽤，因⼦分析需要经过旋转才能对因⼦作命名与解要旋转不需要旋转释是否有只是对数据作变换，故不需要假因⼦分析对资料要求需符合许多假设，如果假假设设设条件不符，则因⼦分析的结果将受到质疑因⼦分析1 【分析】?【降维】?【因⼦分析】(1)描述性统计量(Descriptives)对话框设置KMO和Bartlett的球形度检验(检验多变量正态性和原始变量是否适合作因⼦分析)。

(2)因⼦抽取(Extraction)对话框设置⽅法:默认主成分法。

主成分分析⼀定要选主成分法分析:主成分分析:相关性矩阵。

输出:为旋转的因⼦图抽取:默认选1.最⼤收敛性迭代次数:默认25.(3)因⼦旋转(Rotation)对话框设置因⼦旋转的⽅法，常选择“最⼤⽅差法”。

“输出”框中的“旋转解”。

(4)因⼦得分(Scores)对话框设置“保存为变量”，则可将新建⽴的因⼦得分储存⾄数据⽂件中，并产⽣新的变量名称。

(5)选项(Options)对话框设置2 结果分析(1)KMO及Bartlett’s检验KMO 和 Bartlett 的检验取样⾜够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。

主成分分析、因子分析

揭示潜在结构
这些方法可用于揭示数据中的潜在结构或模式，这些结构或模式可能不容易通过直接观察原始变量来发现。
辅助决策制定
通过识别最重要的变量和潜在因子，主成分分析和因子分析可以为决策制定提供有价值的见解。
主成分分析与因子分析概述
主成分分析（PCA）
一种线性降维技术，通过正交变换将原始特征空间中的线性相关变量转换为新的正交特征空间中的线性无关变量，称为主成分。
主成分分析优缺点
01
缺点
02
主成分解释性较差，不易于理解每个主成分的具体含义。
03
对异常值和缺失值敏感，可能导致结果的不稳定。
04
在某些情况下，主成分可能无法完全反映原始数据的所有信息。
02 因子分析
CHAPTER
因子分析原理
公共因子与特殊因
子
因子分析试图用少数几个公共因子和特殊因子描述原始变量的关系。公共因子对所有变量都有影响，而特殊因子只对个别变量起作用。
05 结论与展望
CHAPTER
研究结论
主成分分析能够有效降低数据维度，提取主要特征，简
化数据结构。
因子分析能够揭示变量之间的内在关系，发现潜在因子
，解释数据变异。
主成分分析与因子分析在数据处理、特征提取、模式识别等领域具有广泛应用价值。
研究不足与展望
在高维数据处理方面，主成分分析与因子分析的计算效率有待提高，可以研究更加高效的算
案例二：因子分析在市场细分中的应用
01 02 03
背景介绍
市场细分是企业根据消费者需求、购买行为等方面的差异，将整体市场划分为若干个具有相似特征的子市场的过程。因子分析是一种从多个变量中提取公共因子的统计方法，可以帮助我们更好地理解和描述市场细分的结构。

主成分分析与因子分析法

这就需要我们在相关分析的基础上，采用主成分分析法找到几个新的相互独立的综合指标，达到既减少指标数量、又能区分样本间差异的目的。
二、主成分分析的基本原理
（一）主成分分析的几何解释（二）主成分分析的基本思想
（一）主成分分析的几何解释
例中数据点是六维的；即每个观测值是6维空间中的一个点。希望把6维空间用低维空间表示。
（三）计算主成分贡献率及累计贡献率
主成分分析是把 p 个随机变量的总方差分解为 p 个不相关随机变量的方差之和1 ＋ 2 ＋…＋ P，则总方差中属于第 i 个主成分（被第 i 个主成分所解释）的比例为
i 1 2p
称为第 i 个主成分的贡献率。定义
m
p
j i
j1
i1
mp
称为前 m 个主成分的累积贡献率，衡量了前 m 个主成份对
主成分分析
因子分析
将主合
新变量的坐标维数p与原变量维数相同，它只是将一组有相关性的变量通过正交变换转成一组维数相同的独立变量，再按总方差误差的允许值大小来选定q个主成分
新变量数m小于原变量数p，它是要构造一个模型，将多变量减少为几个新因子，从而构造一个结构简单的模型
在各种线性组合中方差达到最大者。
满足上述约束得到的合成变量Y1, Y2, …, Yp分别称为原始变量的第一主成分、第二主成分、…、第 p 主成分，
而且各成分方差在总方差中占的比重依次递减。在实际研究
工作中，仅挑选前几个方差较大的主成分，以达到简化系统
结构的目的。
24
三、主成分分析的计算步骤
(一)计算相关系数矩阵 (二)计算特征值与特征向量 (三)计算主成分贡献率及累计贡献率 (四)计算主成分载荷

主成分分析与因子分析

在实际工作中，为了全面的分析问题，往往会收集很多变量，这些变量之间通常都会存在大量重复信息，如果直接用来分析，不但计算繁琐，模型复杂，而且还有一个更严重的问题就是共线性问题，前面提到过共线性问题会导致模型误差增大，失去意义。

当面对变量过多时，通常的处理方法是降维，即设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合成一组新的互相无关的综合变量，这些综合变量要尽可能多的反映原有变量的信息。

降维的方法有很多，其中最常用的就是主成分分析和因子分析一、主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)1.基本思路设有n个原始变量，如果将它们都用散点图表示，会发现一些变量是存在某种线性关系的，这就是共线性，我们可以利用这个特点，创建一个变量Yi，使它成为某些原始变量的线性组合结果Yi =β+β1x1+...βnxn，这样处理之后，n个原始变量就转化为i个新变量，这i个新变量不同程度的反映了原始变量的信息，并且互不相关，这就解决了共线性问题。

那么接下来的问题是，n个变量的线性组合有很多种，我们取哪种结果作为新变量呢？经典的方法就是根据方差来判断，方差越大，变异越大，而我们的目的并不是消除变异，而是用尽可能少的新变量表示大部分原始变量，因此变异信息也必须尽量完整的反映。

我们将新变量按照方差大小排序，最大者也就是包含变异最多的为第一主成分，以此类推，通常只取前面几个最大的主成分，这样虽然损失部分信息，但是抓住了主要变异，如果全都取的话是没有意义的，因为原则上有多少个原始变量，就可以提取多少个主成分，但是这样做违背了降维的目的，多数情况下，取钱2-3个主成分就可以代表90%以上的变异信息，其余的可以忽略不计。

2.计算过程前面讲了PCA的基本思路，现在用具体数学算法来加以实现<1>数据标准化由于每个变量都有自己的数量级和量纲，首先要对变量进行标准化处理以消除这方面的差异<2>计算协方差矩阵或相关系数矩阵对于一维数据，也就是一个变量的数据，我们可以用均值、方差、标准差来描述，而协方差用于衡量两个变量的总体误差，如果多于两个变量，那就要用协方差矩阵来表示。

主成分分析与因子分析

主成分分析与因⼦分析主成分分析，主成份是原始变量的线性组合，在考虑所有主成份的情况下主成份和原始变量间是可以逆转的。

即“简化变量”，将变量以不同的系数合起来，得到好⼏个复合变量，然后在从中挑⼏个能表⽰整体的复合变量就是主成份，然后计算得分。

因⼦分析，公共因⼦和原始变量的关系是不可逆转的，但是可以通过回归得到。

是将变量拆开，分成公共因⼦和特殊因⼦。

过程是：因⼦载荷计算，因⼦旋转，因⼦得分。

主成份分析主成份分析需要知道两变量之间的相关性，⽣成协⽅差举证和相关新矩阵，对应的⽣成的新向量矩阵Y还有特征值λi，对应是第I个新向量对总体信息的贡献率为λi/(λ1+λ2+...+λn),对应的还有⼀个累积贡献率。

确定主成份的个数的⽅法有：特征值⼤于1（要求原始数据的每⼀个变量⾄少能贡献1各单位的变异）、陡坡检验法（陡坡图中开始平坦的点之前的点的个数）、累积解释变异⽐例法（即（λ1+...+λi）/(λ1+λ2+...+λn)>70%）。

同时也可以知道主成分分析对应的⼏个难点①是使⽤协⽅差矩阵还是相关系数矩阵②如何确定主成份的个数。

当数据中不同变量的度量单位不同并且数值相差较⼤就⽤标准化后的相关系数矩阵，当数值相差不⼤并且指标的权重不⼀样时，考虑⽤协⽅差矩阵。

对于个数的确定就是我们⼀些边界问题是否1左右的也可以囊括进主成份中，是否难以确定开始变平坦的是那个点，是否70%不够。

等⼏个问题。

主成分分析可以⽤两个过程步完成PROC FACTORS 、PROC PRINCOMP。

后者能处理的数据量⼤⼀些，效率⾼⼀些，，前者输出的内容丰富些，还可以做旋转因⼦。

以下是主成分分析过程；proc princomp data=sashelp.cars out=car_component;var mpg_city mpg_highway weight wheelbase length;run;输出结果：先是输出统计结果，再是输出相关性矩阵，这⾥princomp步默认使⽤的是相关系数矩阵，实际应⽤过程中，可以通过cov选项来指定使⽤的矩阵。

主成分分析与因子分析法分解

ij
假定语文成绩
x2
（X1）和数学成
绩（X2）分别为标准化后的分数，右图为其散点图，椭圆倾斜为45度。
•• • • • • • • • • • • •• •• • • •• • • • •• • • • • •• • • • • • •
x1
如果将坐标轴 X1 和 X2 旋转45º ，那么点在新坐标
因子模型的表达式为：
x1 a11 F1 a12 F2 a1m Fm e1 x2 a21 F1 a22 F2 a2 m Fm e2 x p a p1 F1 a p 2 F2 a pm Fm e p
（二）因子分析法的模型

狭义的因子分析法常与主成分分析法在处理方法上有相类似之处，都要对变量规格化，并找出原始变量规格化后的相关矩阵。其主要不同点在于建立线性方程组时所考虑的方法，因子分析是以回归方程的形式将变量表示成因子的线性组合，而且要使因子数m小于原始变量维数p，从而简化了模型结构。其步骤为：将原始数据标准化→求标准化数据的相关矩阵→求相关矩阵的特征值和特征向量→计算方差贡献率与累计方差贡献率→确定因子→因子旋转→用原始的线性组合求各因子得分→求综合得分→得分排序

(一)计算相关系数矩阵 (二)计算特征值与特征向量 (三)计算主成分贡献率及累计贡献率 (四)计算主成分载荷
（一）计算相关系数矩阵
r11 r 21 R rp1 r12 r22 rp 2 r1 p r2 p rpp
(2)
22
且
var( Yi ) α i Σαi cov( Yi , Y j ) αi Σα j

浅谈主成分分析与因子分析-基本思想-主要性质-应用举例-计算步骤-主要区别

浅谈主成分分析与因子分析1、主成分分析主成分分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标，同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来指标的信息。

这种将多个指标化为少数互相无关的综合指标的统计方法叫做主成分分析，也是数学上处理降维的一种方法。

主成分分析的一般目的是：(1)变量的降维；(2)主成分的解释。

1.1基本思想主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。

通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。

最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。

因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1,F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。

这些主成分不仅不相关，而且他们的方差依次递减。

1.2计算步骤设有n个样品，每个样品观测P个指标，将原始数据写成矩阵。

（1）将原始数据标准化，即将每个指标的原始数据减去这个指标的均值后，再除以这个指标的标准差。

（2）建立变量的相关系数阵：。

（3）求R的特征根及相应的单位特征向量。

在解决实际问题时，一般不是取p个主成分，而是根据累计贡献率的大小取前k个，称第一主成分的贡献率为，这个值越大，表明第一主成分综合信息的能力越强。

前k 个主成分的累计贡献率达到85%，表明取前k 个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息。

1.3算法原理（1）对资料阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n p p x x x x x x X ...................................1221111标准化，得⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n p p a a a a a a A ................................1221111 其中2)(1/)(j ij j ij ij x x n X x a --= i=1,2……n, j=1,2,……P 。

数据分析中的主成分分析和因子分析比较

数据分析中的主成分分析和因子分析比较在数据分析领域，主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）和因子分析（Factor Analysis）是常用的降维技术。

它们可以帮助我们理解和处理高维数据，找到其中的主要特征与隐藏结构。

本文将对主成分分析和因子分析进行比较，并探讨它们的应用场景和优缺点。

一、主成分分析（PCA）主成分分析是一种广泛应用于数据降维的统计方法。

其主要目标是将原始变量转换为一组无关的主成分，这些主成分按重要性递减排列。

主成分分析的基本思想是通过线性变换，将原始变量映射到一个新的坐标系中，在新的坐标系下保留下最重要的特征。

主成分分析的步骤如下：1.标准化数据：将原始数据进行标准化处理，确保各变量具有相同的尺度和方差。

2.计算相关系数矩阵：计算标准化后的数据的相关系数矩阵，用于度量变量之间的线性关系。

3.计算特征值和特征向量：通过对相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：按照特征值降序排列，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

5.映射数据：将原始数据映射到主成分空间，得到降维后的数据。

主成分分析的优点包括：1.降维效果好：主成分分析能够有效地降低数据维度，减少冗余信息，保留主要特征。

2.无信息损失：主成分之间相互无关，不同主成分之间不会出现信息重叠。

3.易于解释：主成分分析的结果可以通过特征向量进行解释，帮助我们理解数据背后的规律和因果关系。

二、因子分析（Factor Analysis）因子分析是一种用于解释变量之间相关性的统计方法。

它假设多个观察变量共同受到一个或多个潜在因子的影响。

通过因子分析，我们可以发现隐藏在多个观察变量背后的共同因素，并将原始数据转换为更少数量的因子。

因子分析的基本思想是通过寻找协方差矩阵的特征值和特征向量，找到一组潜在因子，使得在这组因子下观察变量之间的协方差最小。

因子分析的步骤如下：1.设定因子个数：根据实际情况和需要，设定潜在因子的个数。

STATA中主成分分析与使用主成分法的因子分析的区别

STATA中主成分分析与使用主成分法的因子分析的区别STATA中主成分分析与使用主成分法的因子分析的区别问题描述：在使用因子分析factor命令中，抽取共因子的方法包括主成分法、主因子法、迭代因子以及最大似然法。

后三种不难理解。

但是在stata做主成分分析有一个直接命令pca，那么pca主成分分析与factor中使用主成分法是否是一致的。

这个问题在spss中更为明显和严重。

下面就用实例来说明这个问题。

一、主成分分析先将变量标准化：Egen z1=std(x1)……Egen z7=std(x7)分析过程：. pca x*,mineigen(1)Principal components/correlation Number of obs = 50 Number of comp. = 2Trace = 7Rotation: (unrotated = principal) Rho = 0.7649--------------------------------------------------------------------------Component Eigenvalue Difference Proportion Cumulative-------------+------------------------------------------------------------Comp1 4.1151 2.87617 0.5879 0.5879Comp2 1.23893 .51336 0.1770 0.7649Comp3 .725575 .409071 0.1037 0.8685Comp4 .316504 .0585356 0.0452 0.9137Comp5 .257968 .0359421 0.0369 0.9506Comp6 .222026 .098134 0.0317 0.9823Comp7 .123892 . 0.0177 1.0000--------------------------------------------------------------------------Principal components (eigenvectors) 主成分特征向量------------------------------------------------Vari Comp1 Comp2 Unexplained-------------+--------------------+-------------x1 0.3002 -0.6292 .1386x2 0.4318 -0.1694 .1973x3 0.3969 0.0423 .3496x4 0.3966 -0.3436 .2064x5 0.4402 0.2032 .1516x6 0.3574 0.4024 .2737x7 0.2952 0.5023 .3288------------------------------------------------. loadingplot. estat loading,cnorm(eigen)Principal component loadings (unrotated) 主成分负荷component normalization: sum of squares(column) = eigenvalue----------------------------------Comp1 Comp2-------------+--------------------x1 .6091 -.7003x2 .8758 -.1886x3 .8051 .04705x4 .8046 -.3825x5 .8929 .2262x6 .725 .4479x7 .5988 .5591----------------------------------注：主成分向量＝负荷/特征值的开方. estat kmo KMO检验Kaiser-Meyer-Olkin measure of sampling adequacy-----------------------Variable kmo-------------+---------x1 0.6759x2 0.8398x3 0.8517x4 0.8675x5 0.7961x6 0.6731x7 0.7318-------------+---------Overall 0.7836-----------------------. estat smcSquared multiple correlations of variables with all other variables-----------------------Variable smc-------------+---------x1 0.6093x2 0.7300x3 0.5951x4 0.6453x5 0.7948x6 0.7275x7 0.4858-----------------------. estat antiAnti-image correlation coefficients --- partialing out all other variables------------------------------------------------------------------------------------Va x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7-------------+----------------------------------------------------------------------x1 1.0000x2 -0.3698 1.0000x3 -0.2740 -0.0700 1.0000x4 -0.2669 -0.3694 -0.0779 1.0000x5 -0.1825 -0.0386 -0.1297 -0.2412 1.0000x6 0.4149 -0.3903 -0.0029 0.1277 -0.6471 1.0000x7 0.2781 -0.0107 -0.4681 0.0538 -0.2887 0.0757 1.0000------------------------------------------------------------------------------------注：KMO、SMC和ANTI结合判断是否适合做主成分分析。

主成分分析、因子分析步骤

主成分、因子分析步骤

因子分析步骤

因子分析、主成分分析

因子分析和主成分分析的方法步骤

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