等差数列重难点突破

6、若{an} 是等差数列 ， Sn , S2n Sn , S3n S2n ，…也成等差数列.
【方法总结】 1、等差数列基本运算的解题思路： （1）设基本量 a1 和公差 d． （2）列、解方程组：把条件转化为关于 a1 和 d 的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法.
即：____________________________或____________________________。
特别注意：证明或判断等差数列 ____________________________。
例 1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，
重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤”，若该金锤从头到尾
每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6 斤
B．7 斤
C．9 斤
D．1Βιβλιοθήκη Baidu 斤
【答案】D
【解析】因为每一尺的重量构成等差数列an ， a1 4 ， a5 2 ， a1 a5 6 ，
（2）通项公式法：
求使 an 0 ( an 0 )成立时最大的 n 值即可． 一般地，等差数列{an} 中，若 a1 0 ，且 S p Sq ( p q) ，
则①若
p q 为偶数，则当 n
pq 2
时， Sn 最大；
②若
p q 为奇数，则当 n
p q 1或n 2
p
q 2
1
时，
S
n
最大．
（3）不等式法：由
Sn
Sn
Sn1 Sn1
(n
2, n N* )
，解不等式组确定
n
的范围，进而确定
n
的值和
Sn
的最大值．
三、题型分析
(一) 等差数列的概念及其定义
一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那
么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示，
数列的前 5 项和为 S5
5 a1
a5 2
5 3 15 ．即金锤共重 15
斤，故选
D．
【名师点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于
基础题.求解时，直接利用等差数列的求和公式求解即可.
【变式训练 1】．等差数列 an 满足 a1 2, an2 an 3 ，则 a2 （
4、等差数列的前
n
和：
Sn
n(a1 2
an )
，
Sn
na1
n(n 1) 2
d
。
①前 n
和
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d 2
)n
是关于
n
的二次函数且常数项为
0.
5、等差中项：若 a, A,b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 A a b 。 2
①当 m n p q 时,则有 am an a p aq ，特别地，当 m n 2 p 时，则有 am an 2ap .
5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选 择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵
活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键
（2）前 n 项和法，即根据前 n 项和 Sn 与 an 的关系求解.
3、等差数列前 n 项和公式的应用方法：
根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用
Sn
=na1
n(n 1) 2
d
；
若已知通项公式，则使用 Sn =
n(a1 2
an )
，同时注意与性质“
a1
an
a2
an 1
a3
寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若 m n p q ，则 am an a p aq (m, n, p,
q N* ) ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前 n 项和 Sn 中的 n 为奇
数时，才有 Sn=na 中成立.
6、等差数列的前 n 项和的最值问题
an 2
”的结合使
用.
4、等差数列的判定与证明的方法：
① 定义法： an1 an d (n N* ) 或 an an1 d (n 2, n N* ) an 是等差数列；
② 定义变形法：验证是否满足 an1 an an an1(n 2, n N* ) ；
③ 等差中项法： 2an1 an an2 (n N* ) an 为等差数列； ④ 通项公式法：通项公式形如 an pn q( p,q 为常数 ) an 为等差数列； ⑤ 前 n 项和公式法： Sn pn2 qn( p, q 为常数 ) an 为等差数列．
（1）二次函数法：
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
d 2
[n
(1 2
a1 )]2 d
d 2
(1 2
a1 )2 d
，由二次函数的最大值、最小值的知识及
n N*
知，
当
n
取最接近
1 2
a1 d
的正整数时，Sn
取得最大（小）值．但应注意，最接近
1 2
a1 d
的正整数有
1
个或
2
个．注
意：自变量 n 为正整数这一隐含条件.
一、考情分析
等差数列重难点突破
二、经验分享
【基础知识】 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列 的通项公式也就是相应函数的解析式。
①等差数列定义：定义法 an1 an d(d为常数）或 an1 an an an1( n 2) 。 ②分类：若公差 d 0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差 d 0 ，则为常数 列。
2、等差数列的判断方法：定义法 an1 an d(d为常数）或 an1 an an an1( n 2)
3、等差数列的通项： an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d 。
①当 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d ；