等差数列重难点突破

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《等差数列》教案

《等差数列》教案一、教材分析本课是初中数学七年级下册的课程——等差数列。

本课程的教材分为四个部分，分别是引入、等差数列的概念及一些常用公式、等差数列的性质和等差数列的应用。

教材通过生动形象的例子和图示，让学生对等差数列有一个直观的感受，然后通过公式和性质的推倒，使学生真正理解等差数列的本质和规律，最后让学生通过同类型的应用题目来锻炼等差数列的应用能力。

二、教学目标1、知识目标：（1）了解等差数列的定义、性质、公式和应用。

（2）掌握判断数列是否等差、求等差数列的公式、求等差数列中某一项的值等基本技能。

2、能力目标：（1）能够进一步提高分析问题、解决问题的能力。

（2）培养学生的推理、判断、分析能力。

（3）能够在实际问题中应用等差数列的知识，解决经济和社会生活中的实际问题。

3、情感目标：（1）能够在学习中培养学生的探究精神，积极参与到学习中来。

（2）能够引导学生在学习过程中，锻炼自己的耐心和毅力。

（3）能够引导学生在学习过程中，理解等差数列的好处，认识数学在实际中的应用价值。

三、教学重点与难点（1）深入理解数列的概念和性质。

（2）对数列进行进一步推理并灵活使用公式和性质。

（3）把所学的知识运用于实际问题中。

四、教学策略1、激发学生学习兴趣，提高学生的自主学习能力。

2、灵活运用PBL教学策略，引导学生学会问题提出、研究和解决问题。

3、注重实际应用，使学生能够在实际问题中灵活地运用学过的知识。

4、采用互动式授课方式，让学生积极参与互动的环节，掌握知识并掌握解题技巧。

五、教学流程1、引入（1）通过三张幻灯片引入本课。

第一张幻灯片标题为《数列》，让学生去思考什么是数列。

第二张幻灯片标题为《等差数列》通过一句话引发学生对等差数列的思考。

第三张幻灯片标题为《数学的跨越》，让学生了解数学在现代社会的应用。

（2）通过一张PBL策略幻灯片，让学生提出所研究的问题，引导学生进一步理解等差数列的概念。

2、知识讲授（3）针对基本问题进行讲解。

等差数列说课稿

等差数列说课稿一、说教材本文“等差数列”在数学课程中具有重要的作用和地位。

它是高中数学的一个基础知识点，是学生接触数列概念的入门章节。

等差数列作为一种基本的数列形式，不仅在数学理论中具有广泛的应用，还与现实生活紧密相连，如工资增长、物价调整等方面。

通过学习等差数列，可以帮助学生建立良好的数学思维，提高解决问题的能力。

主要内容：1. 等差数列的定义及性质：等差数列是指数列中相邻两项的差值（公差）相等的数列。

2. 等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

3. 等差数列的前n项和公式：Sn=n/2*(a1+an)，其中Sn表示前n项和。

4. 等差数列的判定方法及其应用。

二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：1. 知识目标：理解并掌握等差数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式。

2. 能力目标：能够运用等差数列的知识解决实际问题，培养逻辑思维和解决问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨、踏实的科学态度。

三、说教学重难点1. 教学重点：等差数列的定义、通项公式及前n项和公式的推导和应用。

2. 教学难点：（1）等差数列性质的推导过程。

（2）等差数列在实际问题中的应用。

（3）如何引导学生从具体实例中抽象出等差数列的一般规律。

在教学过程中，要注意对重难点的详细讲解和反复强调，确保学生能够真正理解和掌握。

同时，通过举例、练习等方式，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。

四、说教法在教学等差数列这一部分时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高学生的理解和应用能力，同时凸显我的教学特色。

1. 启发法：- 通过现实生活中的实例引入等差数列的概念，例如存款利息的计算、阶梯电价的计算等，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

- 在讲解等差数列的性质时，设计问题引导学生思考，如“为什么等差数列的相邻两项之差是常数？”通过提问激发学生的探究欲望。

2. 问答法：- 在教学过程中，我将频繁使用提问的方式，检查学生对知识点的掌握情况，并及时给予反馈。

等差数列及其前n项和教案

等差数列及其前n项和教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。

2. 让学生掌握等差数列的前n项和公式，并能灵活运用。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 等差数列的概念：定义、性质。

2. 等差数列的通项公式：ar + (a1 a)d。

3. 等差数列的前n项和公式：S_n = n/2 (a1 + a_n) 或S_n = n/2 (2a1 + (n 1)d)。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念、通项公式、前n项和公式。

2. 教学难点：等差数列前n项和公式的推导及灵活运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索等差数列的性质。

2. 使用数形结合法，帮助学生直观理解等差数列的前n项和公式。

3. 利用实例分析，让学生学会解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如连续的自然数、等间隔的时间等，引导学生思考等差数列的特点。

2. 讲解：讲解等差数列的定义、性质，引导学生推导等差数列的通项公式。

3. 探讨：分组讨论等差数列的前n项和公式，引导学生运用归纳法进行推导。

4. 应用：通过例题，让学生学会运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

教案编辑专员：[[您的名字]]六、教学练习1. 让学生通过练习题加深对等差数列概念、通项公式和前n项和公式的理解。

2. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

练习题：（1）判断题：等差数列的任意两项之和等于这两项中间项的两倍。

（对/错）（2）填空题：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

（3）计算题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前5项的和。

七、拓展与应用1. 让学生了解等差数列在实际生活中的应用，如等差数列在统计、物理、经济学等领域中的应用。

2. 培养学生将所学知识运用到实际问题中的能力。

案例分析：分析现实生活中等差数列的应用实例，如连续奖金发放、等额本息还款等，引导学生运用等差数列的知识解决实际问题。

《等差数列前n项和》教案重点、难点分析

等差数列前n项和的重点、难点分析
教学重点是等差数列前n项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前n项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前n项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．
高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．。

数列知识点：等差数列的通项求和公式

数列知识点：等差数列的通项求和公式高中数列知识点：等差数列的通项求和公式学好数学的关键是公式的掌握，数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等，为了学好数学，下面是小编为大家整理的数列知识点：等差数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!等差数列的通项求和公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

抓基础就是要重视对教材的复习，尤其是要重视概念、公式、法则、定理的形成过程，运用时注意条件和结论的限制范围，理解教材中例题的典型作用，对教材中的练习题，不但要会做，还要深刻理解在解决问题时题目所体现的数学思维方法。

2、认真阅读考试说明，减少无用功在平时练习或进行模拟考试时,高中英语，要注意培养考试心境，养成良好的习惯。

首先认真对考试说明进行领会，并要按要求去做，对照说明后的题例，体会说明对知识点是如何考查的，了解说明对每个知识的要求，千万不要对知识的要求进行拔高训练。

3、抓住重点内容，注重能力培养高中数学主体内容是支撑整个高中数学最重要的部分，也是进入大学必须掌握的内容，这些内容都是每年必考且重点考的。

象关于函数(含三角函数)、平面向量、直线和圆锥曲线、线面关系、数列、概率、导数等，把它们作为复习中的重中之重来处理，要一个一个专题去落实，要通过对这些专题的复习向其他知识点辐射。

4、关心教育动态，注意题型变化由于新增内容是当前社会生活和生产中应用比较广泛的内容，而与大学接轨内容则是进入大学后必须具备的知识，因此它们都是高考必考的内容，因此一定要把诸如概率与统计、导数及其应用、推理与证明、算法初步与框图的基本要求有目的的进行复习与训练。

一定要用新的教学理念进行高三数学教学与复习，5、细心审题、耐心答题，规范准确，减少失误计算能力、逻辑推理能力是考试大纲中明确规定的两种培养的能力。

《等差数列》教学设计

《等差数列》教学设计一、教学目标：教学目标：知识与技能目标:（1）知识目标：理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等差数列；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，并能用通项公式解决一些简单的实际问题．（2）过程与方法目标:会判断一个数列是等差数列，会用等差数列通项公式，由an ，a1，n，d的三个量求另外一个量．经历等差数列的探究过程，发展学生观察分析、归纳总结能力，及知识、方法的迁移能力．（2）情感与态度目标：通过对等差数列定义的研究，养成学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯；通过对等差数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神．二、教学的重点、难点重点：1.等差数列的概念的理解与掌握.2.等差数列的通项公式的推导及应用.难点：1.理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；2.从方程的观点看通项公式并解决一些简单的实际问题．三、课型:新授课四、教具学具准备:多媒体、课件.五、教学方法:启发发现法、诱导思维法、类比分析法、分组讨论法、讲练结合法．六、教学过程：（一）创设情境引入课题(约2分钟)通过上节课学习内容，引入本节课.前面我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法—通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映了数列的特点，本节课我们来研究一个特殊的数列．幻灯片展示两则小故事，引导阅读两则小故事，激发学生学习的兴趣, 引入新课．1．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000 她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，…（问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）2．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只yes,no,you,me,he5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…（问：多少天后他的单词量达到3000？）学生仔细观察，认真思考．（板书课题）（教学设想：创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．）（二）、新课探究，推导公式1.等差数列的概念．(约10分钟)引导学生观察下面几组列数，并分析它们的共同特点，归纳出等差数列的定义．观察下面几组列数，并分析它们的共同特点：38,40,42,44,46,48,50,52,54,56.10500, 10000, 9500, 9000, 8500,8000,7500.2，2，2，2，2，2，2 ，2……学生积极思考，找出上述数列的共同特点．师生共同归纳出等差数列的定义．定义：一般地,如果一个数列从第２项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）师生共同分析等差数列的定义，对等差数列进一步的理解，培养学生的观察归纳能力．强调定义的理解：第二项起；每一项与它的前一项的差,不能颠倒；“同一个常数”，可以是整数，也可以是0和负数；求公差d时，可以用d=an–an－1 ，也可以用d=an+1–an；d =an–an－1或d=an+1–an是证明或判断等差数列的依据；公差d∈R，当d=0时，数列为常数列，d>0时,数列为递增数列，d<0时,数列为递减数列．练习：判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d.(1)3，0，-3，-6，-9；(2)(3)lg1，lg2，lg4，lg8，lg16；(4)(5)(6) –1，1，-1，1，–1，1．（教学设想：通过练习，加深对概念的理解）2．等差数列的通项公式：(约8分钟)方法一：不完全归纳法如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：即：即：即：……［提出问题］：如果等差数列｛an｝首项是a1，公差是d，那么这个等差数列的通项公式如何表示？由此可得：验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式.［教师此时指出］：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，学习后续有关知识后我们可对这个公式进行严格的证明］．在这里向大家介绍另外一种求数列通项公式的办法-叠加法：方法二：叠加法将这（n－1）个等式左右两边分别相加，则可得：an-a1=(n-1)d an=a1+(n-1)d验证：当n=1时,上式两边均等于a1，即等式也成立这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式.由此得到等差数列的通项式an=a1+(n-1)dan第n项a1首项n项数d公差强调理解：已知a1与d,可以求得数列中的任一项，也可以检验某数是否为该数列中的一项；在an，a1，n，d这四个变量中，知道其中三个量就可以求余下的一个量，即知三求一.（三）应用例解: (约15分钟)例1.(1)求等差数列8，5，2,……的第20项．(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13……的项？如果是，是第几项？(1) 分析：由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20，强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字．解：由题意得，a1=8,d=-3∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49(2) 分析：实际上是求一个方程的正整数解的问题．这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an =-401成立．解：由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+(n-1)d-401=-5+(n-1)×(-4)∴n=100∴-401是这个数列的第100项．例2.在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d．分析：等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系．当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量．解：由题意，即解之得a1=-2 d=3.思考: 已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组．现在能求出任一项吗？比如能求出a25吗？解：由上面所解得：若不求首项只求公差，能求出a25吗？这种题型有简便方法吗？通项公式的推广公式：思考：已知等差数列{an}中，am,d是常数，如何任一项an的值.试求an的值. 解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：- 得：an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d∴an=am +(n-m)d由此得到通项公式的推广公式：an=am +(n-m)d注意本公式当m≠n有一个变式：强调理解：已知等差数列的任意两项，可以确定数列的任意一项.例3.已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12和a3n.分析：已知等差数列中的a3和a9，可以先利用公式求出公差d，再用公式求出a12和a3n.解:由公式得：(四)．练习反馈强化目标(约8分钟)P113练习第1题和第2题．（要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问，教学设想：对学生进行基本技能训练,培养学生的计算速度和计算能力.）（五）归纳小结提炼精华(约2分钟)本节课我们主要学习了：1.等差数列的概念及数学表达式：an-an-1=d(n≥2)，要会由定义判定一个数列是否等差数列.2.等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d（n∈N*），能灵活应用通项公式（应用方程的思想，会知三求一）.3.还要注意对一个重要的推广公式an=am+(n-m)d的理解与应用．（六）课后作业运用巩固．（1）课本P114习题3.2 第1，2，3题．（2）预习课本P112-113.预习提纲：1. 例三，例四，如何由等差数列的定义及通项公式解决实际问题；2.什么是数列的等差中项，它有哪些性质？3.如何从函数观点来理解数列的通项公式?板书设计：§3.2等差数列1、定义2、数学表达式3、等差数列的通项公式4、推广公式例1（略）例2（略）例3（略）本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用，因此把强调的问题放在较醒目的位置，突出了重点，同时还给学生留有作题的地方，整个板面看上去自然、清晰、美观，还能充分表现出精讲多练的教学方法．。

等差数列》说课稿

等差数列》说课稿等差数列》说课稿各位专家、评委，大家好！我很高兴能够参加这次说课活动。

我将为大家介绍人教版高一数学（上）第三章第2节——等差数列第一课时。

我的教学设想将从教学内容的分析、教法与学法选择、教学过程设计和板书设计四个方面入手。

一、教学内容的分析1.教材的地位与作用数列是高中数学的重要内容，也是历年高考的热点和重点之一。

作为离散型函数，数列承前启后，既是前一章《函数》的延伸，也是数学归纳法、数列极限等后续课程的基础。

它不仅有着广泛的实际应用，而且对学生观察能力与应用能力的培养至关重要。

等差数列是本章两大核心内容之一，其第一课时是学生探究特殊数列的开始，是继续研究等差数列的基础，为等比数列概念的研究、通项公式的推导与应用提供了示范和模式。

2.教学目标的确定及依据1）教材分析从教学大纲和教材看，本节教材先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式进行有关计算。

因此，本节课的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力。

2）学情分析从学生知识层面看，学生已经对数列有了初步的认识，对方程、函数、数学公式的运用也有一定的基础，对方程、函数思想的体会也逐渐深刻。

从学生素质层面看，我注意到学生自主探究惯的养成。

现阶段，我的学生思维活跃，课堂参与意识较强，已经具有一定的分析、推理能力。

综合上述分析，我制定了本节课的教学目标和重点、难点如下：1）教学目标本节课的主要目标是知识目标和能力目标相结合。

知识目标：掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程；了解等差数列的函数特征；能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题。

能力目标：让学生亲身体验“从特殊入手，研究对象的性质，再逐步扩大到一般”的研究过程，培养他们观察、分析、归纳、推理的能力。

通过阶梯性的强化练，培养学生分析问题解决问题的能力。

2）重点难点重点：等差数列的概念的理解，通项公式的推导与应用。

等差数列的性质教案

等差数列的性质教案一、教学目标1.知识目标：了解等差数列的概念、性质及计算方法，掌握等差数列的通项公式和求和公式。

2.能力目标：能够分析等差数列的规律，利用等差数列的性质解决问题。

3.情感目标：培养学生对数列的兴趣，激发学生对数学的探索与思考能力。

二、教学重难点1.教学重点：等差数列的概念、性质及计算方法的学习和掌握。

2.教学难点：等差数列的分析和应用问题的解决。

三、教学过程1.导入新课（10分钟）引入数列的概念，回顾等差数列的定义和前两项的求法。

2.基础知识讲解（20分钟）（1）等差数列的概念：讲解等差数列的定义和特点。

（2）等差数列的通项公式：推导并解释通项公式的含义。

（3）等差数列的前n项和公式：推导并解释前n项和公式的含义。

3.例题引入（15分钟）给学生出一道例题：“一个等差数列的首项是10，公差是3，求第10项的值。

”通过让学生利用通项公式求解，引导学生掌握等差数列的通项公式和计算方法。

4.锻炼训练（20分钟）出一些类似的例题让学生在黑板上解答，并进行讲解。

5.巩固练习（20分钟）完成课后练习题，加深学生对等差数列的理解和掌握。

6.拓展延伸（10分钟）引导学生思考如何利用等差数列的性质解决实际问题，如何应用等差数列在生活中。

四、教学手段1.板书：绘制等差数列的概念、通项公式和前n项和公式。

2.多媒体演示：通过多媒体展示等差数列的相关例题和计算过程。

3.互动讨论：引导学生参与课堂讨论，积极提问和回答问题。

五、教学资源1.教材：提供教学内容和例题。

2.多媒体设备：展示教学内容和例题。

3.黑板、彩笔：辅助板书。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对等差数列的概念、性质和计算方法有了一定的认识和掌握。

课堂上的例题练习和讲解，培养了学生的分析和解决问题的能力。

同时，学生的主动参与和互动讨论，提高了教学效果。

在下节课中，将进一步引导学生应用等差数列的性质进行拓展和延伸。

等差数列说课稿

《等差数列》说课稿一、教材分析1.教材的地位和作用：《等差数列》是北师大版新课标教材《数学》必修5第一章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方式——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深切和拓展。

同时等差数列也为尔后学习等比数列提供了学习对照的依据。

另一方面,等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着普遍的实际应用。

2.教学目标：a.在知识上，要求学生明白得并把握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方式并能简单运用。

b.在能力上，注重培育学生观看、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方式迁移到研究数列上来，培育学生的知识、方式迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。

c.在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一样，又到特殊的熟悉事物的规律，培育学生勇于创新的科学精神。

3.教学重、难点：重点：①等差数列的概念。

②等差数列通项公式的推导进程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导。

②用数学思想解决实际问题。

二、学情分析关于高二的学生，知识体会已经比较丰硕，他们的智力进展已经到了形式运演时期，具有了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

三、教法、学法分析教法：本节课我采纳启发式、讨论式和讲练结合的教学方式，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立试探和彼此交流的形式，在教师的指导下发觉、分析并解决问题。

学法：在引导学生分析问题时，留出学生试探的余地，让学生去联想、探讨，鼓舞学生斗胆质疑，围绕等差数列那个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。

四、教学进程我把本节课的教学进程分为六个环节：（一）创设情境，提出问题1.咱们常常如此数数，从0开始，每隔5数一次，能够取得数列：0， 5 ，10 ，15 ，20 ，…①年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为竞赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）：48 ，53 ，58 ，63 ②3.水库的治理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用按期放水清库的方法清理水库中的杂鱼。

《等差数列》优秀教案

2．2 等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2021年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。

该项目共设置了7个级别。

其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：g）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。

如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。

《等差数列》教案

（等差数列）教案一、教学目标（知识与技能）能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。

（过程与方法）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。

（感情态度与价值观）通过对等差数列的研究，具备主动探究、勇于发觉的求知精神;养成细心观察、认真分析、特长总结的良好思维习惯。

二、教学重难点（重点）等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。

（难点）等差数列通项公式的推导。

三、教学过程环节一：创设情境、导入新课教师PPT展示几道题目：1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，252.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。

3.2022年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛工程，该工程共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63。

教师提问学生这几组数有什么特点学生答复从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。

环节二：师生互动、探究新知1.等差数列的概念学生阅读教材，同桌商量，类比等比数列总结出等差数列的概念如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢强调：“从第二项起〞满足条件;公差d肯定是由后项减前项所得;每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数〞);数学表达式：问题2：推断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

(1)9，8，7，6，5，4，……;(2)0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……;(3)0，0，0，0，0，0，……;引导学生发觉第—个数列公差小于0,第二个数列公差大于0，第三个数列公差等于0。

数学等差数列教案(优秀5篇)

数学等差数列教案（优秀5篇）高一数学等差数列教案篇一一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的`极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

三、设计思想1.教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑴分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑴讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2.学法引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力。

等差数列说课稿

等差数列说课稿一、教学目标1、知识与技能目标理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。

能够运用等差数列的通项公式解决相关问题。

2、过程与方法目标通过对等差数列实例的分析，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力。

引导学生经历等差数列通项公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思维方法。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

通过合作探究，培养学生的团队合作精神和创新意识。

二、教学重难点1、教学重点等差数列的概念及通项公式。

通项公式的推导及应用。

2、教学难点对等差数列概念的理解。

通项公式的灵活运用。

三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合。

四、教学过程1、导入新课通过列举生活中常见的等差数列实例，如银行存款利息计算、楼梯台阶高度等，引出等差数列的概念。

2、新课讲授给出等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。

引导学生观察等差数列的特点，通过实例分析，让学生理解等差数列的定义。

推导等差数列的通项公式：设等差数列{a<sub>n<／sub>｝的首项为 a<sub>1<／sub>，公差为 d，则 a<sub>n<／sub> ＝ a<sub>1<／sub> ＋（n 1)d 。

对通项公式进行分析，让学生理解公式中各字母的含义及公式的用途。

3、例题讲解通过典型例题，让学生掌握等差数列通项公式的应用，如求等差数列的某一项、求公差、判断一个数列是否为等差数列等。

4、课堂练习安排适量的课堂练习，让学生巩固所学知识，教师巡视并进行个别指导。

5、课堂小结回顾等差数列的概念和通项公式。

总结本节课的重点和难点。

6、布置作业布置适量的课后作业，包括书面作业和拓展性作业，以加深学生对知识的理解和应用。

等差数列教案第一课时市公开课一等奖教案省赛课金奖教案

等差数列教案第一课时一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和；3. 能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。

二、教学重点：1. 理解等差数列的概念，能够正确地列出等差数列的通项公式；2. 掌握等差数列的求和公式，能够用求和公式计算等差数列的和。

三、教学难点：能够应用等差数列的概念和公式解决实际问题。

四、教学过程：1. 导入（5分钟）教师可以通过提问的方式导入，例如：“小明种植了一排树木，第一棵树距离大门10米，第二棵树距离第一棵树20米，第三棵树距离第二棵树30米，以此类推，你能发现什么规律？这些数之间有什么特点？”2. 概念解释（15分钟）引导学生讨论并总结出等差数列的概念：“等差数列是指数之间的差值相等的数列。

在等差数列中，我们称这个差值为公差，用d表示。

”教师可以给出示例，如1, 3, 5, 7, ...等，并解释数列中的每个数依次加上公差d就可以得到下一个数。

3. 列出通项公式（15分钟）通过示例引导学生找出等差数列的通项公式。

以示例1, 3, 5, 7, ...为例，学生可以发现每个数都可以表示为a + (n-1)d的形式，其中a为第一个数，n为项数，d为公差。

因此，该等差数列的通项公式为an = a + (n-1)d。

4. 使用通项公式求值（15分钟）教师通过例题演示如何使用通项公式求等差数列中的某一项的值。

例如：“求等差数列1, 3, 5, 7, ...中第10项的值。

”学生可以利用通项公式an = a + (n-1)d，将a设为1，d设为2，n设为10，代入公式计算得到an的值为...5. 求等差数列的和（15分钟）引导学生思考如何求等差数列的和，并给出等差数列求和的公式：Sn = n/2 (2a + (n-1)d)，其中Sn表示等差数列的和。

教师通过例题演示如何使用求和公式计算等差数列的和。

高三数学必修五教案等差数列优秀4篇

高三数学必修五教案等差数列优秀4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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等差数列及其前n项和教案

等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够识别等差数列的通项公式。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。

3. 能够运用等差数列的性质解决实际问题。

二、教学内容：1. 等差数列的概念：定义、通项公式。

2. 等差数列的前n项和的计算方法：公式、性质。

3. 等差数列的应用：解决实际问题。

三、教学重点与难点：1. 重点：等差数列的概念、通项公式；等差数列的前n项和的计算方法。

2. 难点：等差数列的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解等差数列的概念、通项公式、前n项和的计算方法。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。

3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考等差数列的概念。

2. 讲解：讲解等差数列的概念、通项公式，引导学生理解等差数列的性质。

3. 练习：让学生自主完成等差数列的前n项和的计算，巩固所学知识。

4. 应用：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、通项公式和前n项和的计算方法。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，对教学方法进行调整，以提高教学效果。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对等差数列概念和前n项和计算方法的掌握程度。

3. 测验评价：进行等差数列相关知识的测验，评估学生的学习效果。

七、教学拓展：1. 等差数列的进一步研究：引导学生探讨等差数列的性质，如项数与项的关系、项的取值范围等。

2. 等差数列与其他数列的关系：介绍等差数列与等比数列等其他数列的联系和区别。

3. 等差数列在实际问题中的应用：举例说明等差数列在生活中的应用，如统计数据处理、财务计算等。

六年级《等差数列》奥数教案

六年级备课教员：第4讲等差数列一、教学目标： 1. 理解分数等差数列的意义。

2. 在原有基础上加深对于等差数列的认知。

3. 能够熟练运用等差公式准确计算。

二、教学重点：明白分数等差数列的意义并能够熟练运算。

三、教学难点：对于等差数列各种变式求法及分数乘除法的熟练运算。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分钟)师：同学们，老师前两天看了一篇关于哈雷彗星的文章，你们猜猜这篇文章里讲了什么内容？(PPT出示）生：……师：好了，同学们就开始瞎猜了，老师给一个范围，与它每次出现的时间有关？生：……师：刚刚有一位同学说对了一半，这篇文章告诉了哈雷彗星下次出现的时间，但为什么老师讲只说对了一半呢？看了下面这组数据你们就会明白了。

1682年 1758年 1834年 1910年 1986年同学们，这是在过去三百多年里，人们看到哈雷彗星的时间；看了之后你能说出哈雷彗星下次出现的时间吗？生：……师：有同学知道吗？其实当你们用后面一个数减去前面一个数时就会发现：1758 －1682=76、1834－1758=76、1910－1834=76、1986－1910=76；哈雷彗星每 76年才出现一次，那么下一次出现的时间就应该是：1986＋76=2062年。

师：像刚刚这种情况的数列我们叫做等差数列，相信大家都已经知道了，今天我们就来学有关分数的等差数列。

板书：等差数列（PPT出示)二、探索发现授课（40分钟）（一）例题一：（10分钟）已知一组等差数列的第1项是21，末项是412，公差是41。

这组等差数列有多少项？（PPT 出示)师：同学们，在题目中你得出了什么信息呢？生：……师：对的，题中首先告诉我们这是一组等差数列，而且还告诉了首项是21，公差是41，最后一项是412；那告诉了这么多，要求的是什么呢？有哪位同学可以告诉老师？生：要求的是这组等差数列一共有多少项。

师：是的，要求的是项数，那告诉这些条件对我们解题有什么帮助吗？想一想，等差数列的特征是什么？生：……师：是的，两项之间始终相差同一个数也就是公差，所以说首项加上一定的公差就会等于末项；你们知道怎么做了吗，有哪位同学可以说说你的想法？生：……师：对的，很棒，因为首项加上一定的公差就会等于末项也就说末项减去首项再除以公差就会得到项数，但算出来的就是这个数列的所有项数吗？生：……师：是的，算出来的答案再加上1就是这个等差数列的项数。

高二数学专题等差数列的概念(九个重难点突破)(解析版)

专题等差数列的概念知识点一等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.2.等差中项由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A a b =+.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，则递推公式为1n n a a d +-=，通项公式为()11n da a n =+-知识点二等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）()()*1n a dn a d n N =+-∈（2）()*(),n m a a n m d m n N=+-∈.（3）(* ,n ma a d m n N n m-=∈-,且)m n ≠.2.若{}{},n n a b 分别是公差为,d d '的等差数列,则有数列结论{}n c a +公差为d 的等差数列(c 为任一常数){}·n c a 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数){}n k an a ++公差为2d 的等差数列(k 为常数,*k N ∈){}n n pa qb +公差为pd qd +'的等差数列(p,q 为常数)3.下标性质在等差数列{}n a 中,若),(,,*m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+.特别的,若)2,(,*m n p m n p N +=∈,则有2m n pa a a +=重难点1利用定义判断等差数列1．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，则8a =.【答案】12-【分析】先判断得{}n a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】因为12n n a a +=-，所以数列{}n a 是等差数列，公差2d =-，又12a =，所以()82(81)212a =+-⨯-=-．故答案为：12-．2．已知数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】{}n a 一定是等差数列．【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列{}n a 中任意相邻两项n a 与()12n a n -≥，作差得()11n n a a pn q p n q p --=+--+=⎡⎤⎣⎦，它是一个与n 无关的常数，所以数列{}n a 一定是等差数列．3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)1,3,5,7----．【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为2-【分析】结合等差数列的定义判断即可；【详解】（1）因为371913251931256-=-=-=-=，所以是等差数列，且公差为6．（2）因为422,743-=-=，所以4274-≠-，因此不是等差数列．（3）因为3(1)5(3)7(5)2---=---=---=-，所以是等差数列，且公差为2-4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n ；(2)an=n2-n .【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（1）（2）根据等差数列的定义判断即可.【详解】（1）因为1[32(1)](32)2n n a a n n +-=-+--=-，是常数，所以数列{a n }是以2-为公差的等差数列．（2）因为221[(1)(1)]()2n n a a n n n n n +-=+-+--=，不是常数，所以数列{a n }不是等差数列．5．已知在数列{}n a 中，11a =，11112n n a a +=+，则10a 等于．【答案】211【分析】根据题意可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】解：因为11112n n a a +=+，所以11112n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，12为公差的等差数列，则()1111111222n n n a a =+-⨯=+，故101111110222a =⨯+=，所以10211a =．故答案为：211．6．（多选）若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）A ．{}n aB ．{}1n n a a +-C ．{}n pa q +(,p q 为常数)D ．{}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列1,1,3-是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A 不符合题意；对于选项B ，若{}n a 为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列1{}n n a a +-为常数列，故1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；对于选项C ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=为常数列，故{}n pa q +为等差数列，故选项C 符合题意；对于选项D ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则121221n n a n a n d +++--=+为常数，故{2}n a n +为等差数列，故选项D 符合题意，故选：BCD.重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（）A ．85n a n =+B ．85n a n =-C ．85n a n =--D ．85n a n =-+【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差1138d =-=，所以通项公式为()()1138185n a a n d n n =+-=+-=-.故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），则n a =．【答案】n【分析】由题意得到{}n a 为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），故{}n a 为等差数列，公差为1，所以()111n a n n =+-⨯=.故答案为：n9．在数列{}n a 中，1a ==，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】23n a n=可得为等差数列，从而可求{}na 的通项公式.，故为等差数列，()()11n n =-=-=，故23n a n =，故答案为：23n a n=10．已知数列{}n a 中，1231,4,9a a a ===，且{}1n n a a +-是等差数列，则6a =（）A ．36B ．37C ．38D ．39【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出{}1n n a a +-的通项公式，再利用累加法求6a .【详解】因为21323,5a a a a -=-=，所以()()32212a a a a ---=，又{}1n n a a +-是等差数列，故首项为3，公差为2，所以132(1)21n n a a n n +-=+-=+，所以()()()665542112(54321)5136a a a a a a a a =-+-++-+=++++++= ．故选：A.11．在数列{}n a 中，11a =1=，则n a =（）A ．nB ．2nC ．2n +D【答案】B1=1=，再由等差数列的定义即可求出通项公式.1=1=，令n b =11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以11b ==为首项，1为公差的等差数列，所以()111n b n n =+-⨯=n =，所以2n a n =.故选：B12．已知数列(){}2log 1n a -（*N n ∈）为等差数列，且13a =，39a =，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】21nn a =+【分析】根据等差数列的概念可得数列(){}2log 1n a -的通项公式，进而可得n a .【详解】设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，由13a =，39a =，得()()2321log 1log 12a a d -=-+，解得1d =，所以()()2log 1111n a n n -=+-⨯=，即21nn a =+，故答案为：21nn a =+.重难点3等差数列基本量的计算13．已知递增数列{}n a 是等差数列，若48a =，()26263a a a a +=⋅，则2024a =（）A ．2024B ．2023C ．4048D ．4046【答案】C【分析】设数列{}n a 的公差为d （0d >），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求1,a d ，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以4a 为中心求d ，即可得结果.【详解】解法一：设数列{}n a 的公差为d （0d >），因为48a =，()26263a a a a +=⋅，则()()()1111132355a d a d a d a d a d +=⎧⎨+++=++⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以()202422202414048a =+⨯-=；解法二：设数列{}n a 的公差为d （0d >），由()26263a a a a +=⋅得()()4443222a a d a d ⨯=-+，又因为48a =，即()()488282=-+d d ，解得2d =，所以()202442202448220204048a a =+⨯-=+⨯=.故选：C ．14．已知等差数列{}n a 中，624a =-，3048a =-，则首项1a 与公差d 分别为（）A ．18,2--B ．18,1--C ．19,2--D ．19,1--【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题得115242948a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1191a d =-⎧⎨=-⎩.故选：D15．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是．【答案】()2,+∞【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出8a 即可求出其取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 单调递增，所以0d >，由11019442a d a a =++=⇒，所以1499222d da -==-，则18957272222a a d d d d =+=-+=+>，所以8a 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足30a >，340a a +<，则1a d的取值范围是.【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据已知判断等差数列{}n a 先正后负，是递减数列，即可得出0d <，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.【详解】30a > ，340a a +<，40a ∴<，则0d <，31341120230a a d a a a d a d =+>⎧⎨+=+++<⎩解得11252a da d >-⎧⎪⎨<-⎪⎩，0d < ，1522a d ∴-<<-，即1a d 的取值范围是5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.17．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则11a =．【答案】20【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，进而列出方程求得1a ，d ，进而求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得10a =，2d =，则11110010220a a d =+=+⨯=.故答案为：20.18．已知等差数列{}n a 满足3681112a a a a +++=，则9112a a -的值为.【答案】3【分析】由等差数列通项公式得122441a d +=，即163a d +=，进而求出9111263a a a d -=+=【详解】由等差数列通项公式得11111225710d d d a a a d a ++++++=+，即122441a d +=，故163a d +=，()9111112281063a a a d a d a d -=+--=+=.故答案为：3重难点4等差中项及其应用19．一个直角三角形三边长a ，b ，c 成等差数列，面积为12，则它的周长是.【答案】【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c 为斜边，公差为d ，则a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，所以2221()12,2()(),b b d b d b b d ⎧-=⎪⎨⎪+=+-⎩解得b ＝，d，从而a ＝c ＝，a ＋b ＋c ＝.方法二：设c 为斜边，因为是直角三角形且三边长a ，b ，c 成等差数列，且面积为12，可得：2222,112,2,b a c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩故三角形的周长为a ＋b ＋c ＝.故答案为：.20．已知等差数列{}n a 满足213544,1a a a a =+=+，则7a =.【答案】2-【分析】由等差数列的性质可得3542a a a +=，代入条件式，可求得4a ，再根据1742a a a +=，可得解.【详解】在等差数列{}n a 中，23541a a a +=+ ，又3542a a a +=，24421a a ∴=+，解得41a =，又14a =，而1742a a a +=，解得72a =-.故答案为：2-.21．记等差数列{}n a 的公差为()0d d ≥，若22a 是21a 与232a -的等差中项，则d 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.【详解】等差数列{}n a 的公差为d ，由22a 是21a 与232a -的等差中项，得22223122a a a =+-，即2221112()(2)2a d a a d ++=-+，整理得21d =，而0d ≥，解得1d =，所以d 的值为1.故选：C22．有穷等差数列{}n a 的各项均为正数，若20233a =，则20002046212a a +的最小值是.【答案】34/0.75【分析】利用等差中项易知200020466a a +=，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由20232000204626a a a +==，且0n a >，则204620002000204620002046200020462000204622112115=()()()262622a a a a a a a a a a ++=+++153(624≥+=，当且仅当200020464,2a a ==时等号成立且满足题设.故答案为：3423．已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件，得14a a +=()221a +，即()()111321a a d a d ++=++，解得2d =.故答案为：2.24．已知数列{}n a 满足：11a =，()*2121211N 2n n n a n a a a ++==+∈，，则2015a =．【答案】12015【分析】由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可以求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出2015a 的值．【详解】解：由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又111a =，21111d a a =-=，∴1nn a =，∴1n a n =．∴201512015a =．故答案为12015．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解决本题的关键.重难点5等差数列的性质25．已知数列{}n a 为等差数列，则“4m =”是“2953m a a a a ++=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当4m =时，根据等差数列的性质可得()24915951955523a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=，故充分性成立；当{}n a 为常数列时，有1n a a =，由1293m a a a a ++=，529133m a a a a a ==++，此时*N m ∈即可，故必要性不成立．因此“4m =”是“2953m a a a a ++=”的充分不必要条件，故选：A ．26．已知正项等差数列{}n a ，若222985a a +=，3811a a +=，则n a =()A ．1B ．2C ．nD ．21n -【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出2a 和9a ，进而求出公差d 即可求解.【详解】在等差数列{}n a 中，依题意，293811a a a a +=+=，故()22929292121285a a a a a a +-=-=，解得，2918a a =，故2a 和9a 是211180x x -+=的两根，解得，12x =，29x =，因为{}n a 为正项等差数列，故公差0d ≥，从而22a =，99a =，则9277a a d -==，即1d =，所以2(2)1n a a n n =+-⨯=.故选：C .27．若{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22223456a a a a +=+，则该数列的前8项和8S =（）A ．10-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，根据题意求得34560a a a a +++=，然后利用等差数列的基本性质得出450a a +=，利用等差数列求和公式可求得8S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，22223456a a a a +=+ ，()()222253640a a a a ∴-+-=，即()()()()535364640a a a a a a a a -++-+=，()345620d a a a a ∴+++=，0d ≠ ，所以，34560a a a a +++=，由等差数列的基本性质可得()4520a a +=，即450a a +=，所以，()()188458402a a S a a +==+=.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.29．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =．【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：530．在等差数列{}n a 中，若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210122022a a a ++=．【答案】15【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，由韦达定理可得1202310a a +=，所以由等差数列的性质得:2202212023101210,210,a a a a a +=+==10122101220225,15a a a a ∴=∴++=．故答案为：15.重难点6等差数列的证明31．已知数列{an }满足1311n n n a a a +-=+，13a =，令11n n b a =-.(1)证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)21n a n=+【分析】（1）将递推关系代入1111n n n b b a ++-=-11n a --，利用定义证明{}n b 是等差数列；（2）由等差数列通项公式求n b ，进而得n a .【详解】（1）∵1111n n n b b a ++-=-11n a -=-1131111n n n a a a ----+11112131(1)12(1)2(1)2(1)2n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-=--==--+----，∴112n n b b +-=，又111112b a ==-，∴{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列．（2）由（1）知()111222n n b n =+-=，21n a n ∴-=，∴21,n a n n*=+∈N .32．已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a +=-（*n ∈N ），令11n n b a =-.(1)求23,a a 的值；(2)求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)232a =，343a =(2)证明见解析，1n n a n+=【分析】（1）采用迭代法，可求2a ，3a ;（2）将112n n a a +=-转化为111111n n a a +=+--，即可证明数列{}n b 是等差数列，算出数列{}n b 的通项公式后即可计算数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）因为12a =，且112n na a +=-，当1n =时，211322a a =-=，当2n =时，321423a a =-=.（2）因为112n na a +=-，所以11111n n n na a a a +--=-=，两边同时取倒数有：1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，令11n n b a =-，有11111b a ==-，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n b n =，所以1n n a n+=.33．已知{}n a 满足11a =，且()21133n n na n a n n +-+=+.(1)求23,a a ；(2)证明数列{}na n是等差数列，并求{}n a 的通项公式.【答案】(1)238,21a a ==(2)证明详见解析，232n a n n=-【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得n a .【详解】（1）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以，()1131n n n a a n n++=++，所以213223328,332112a a a a =+⨯==+⨯=.（2）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以131n n a a n n +-=+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为3的等差数列，所以()232,3232nn a n a n n n n n=-=-=-.34．数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.(1)求34,a a 的值；(2)设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列.【答案】(1)345,10a a ==(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.【详解】（1）数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+所以3212222125a a a =-+=⨯-+=，43222252210a a a =-+=⨯-+=（2）∵()()21112122n n n n n n n n n a a a b a a a b a ++++++---=+-=-=∴{}n b 为等差数列.35．已知数列{}n a 满足11a =，1144n na a +=-.(1)证明：121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)设12nn n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)332n nn T +=-【分析】(1)将已知表达式变形为11422n na a +-=-，通过配凑的方法可以得到121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)由第一问可以求得数列{}n a 的通项公式，代入{}n b ，用错位相减法可以求得前n 项和n T .【详解】（1）由题可知1211422n n n na a a a +--=-=，所以114221n n n a a a +=--，所以1221111121212121n n n n n n a a a a a a +-+===+----.所以11112121n n a a +-=--.又11121a =-，所以121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得()111121n n n a =+-⨯=-，所以111122n n a n n+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以1122n n n n na n b -+==.所以12323412222n n n T +=++++ .所以234112341222222n n n n n T ++=+++++L .两式相减，得111423111*********22122222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++++-=+-- 113113322222n n n n n ++++=--=-所以332n nn T +=-.36．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前n 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅>=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，由n n n n S T S T +=⋅，可得1n S ≠，所以1nn n S T S =-，当2n ≥时，111n n n S T S ---=．所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，即1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以1111111n n n n S S S S --+==+-，即11111n n S S +-=-，所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列．37．已知数列{}n a 的前n项和为11,1,1n n S a a +==+是等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用n a 与n S 的关系及等差数列的定义即可求解.【详解】因为11n n n a S S ++=-，11n a +=+，11n n S S +∴-=+)2111n n S S +=+=，1=1=，∴是1为首项，1为公差的等差数列．重难点7构造等差数列38．在数列{}n a 中，12211211,,23n n n n n n a a a a a a a a ++++===+，若135k a =，则k =（）A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】A【分析】由已知可得12211n n n a a a ++=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出1na ，进而可求得n a ，然后由135k a =可求得结果.【详解】由21122n n n n n n a a a a a a ++++=+且数列不存在为0的项，得12211n n na a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a =，公差为21112a a -=，所以()111221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-．由112135k a k ==-，得18k =，故选：A ．39．已知数列{}n a 满足()*123N n n a a n n ++=+∈，则12024a a +=（）A ．2023B ．2024C ．2027D ．4046【答案】C【分析】由123n n a a n ++=+可得2125n n a a n +++=+，进而可得22n n a a +-=，则有数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由123n n a a n ++=+①，得125a a +=，2125n n a a n +++=+②，由②-①得22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，则20242220242120222a a a ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭，所以1202412270220a a a a +=+=++=.故选：C.40．已知各项均不为0的数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，且112a =，则2023a =．【答案】12024/12024-【分析】将111n n n a a a +=+取倒数化简可得1111n na a +-=，即判断1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得{}n a 的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，即11n n n a a a +=+，即11111111,n n n na a a a ++=+∴-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是112a =，公差为1的等差数列，故112(1)11,1n n n n a n a =+-∴=⨯++=，故202312024a =，故答案为：1202441．已知数列{}n a 满足13a =，11n n a a +=+，则10a =.【答案】120【分析】根据11n n a a +=+，可得)2111n a ++=，从而可证得数列是等差数列，可求得数列{}n a 的通项，即可得解.【详解】因为11n n a a +=+，所以2111n a ++=+，即)2111n a ++=，1=1=，所以数列2=，公差为1的等差数列，()2111n n =+-⨯=+，所以22n a n n =+，所以2101020120a =+=.故答案为：120.42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11n n n S S a ++⋅=，则n a =．【答案】2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩【分析】题中所给式子无法直接根据1n n n a S S -=-进行转化，考虑使用11n n n a S S ++=-进行转化，先求出n S ，再求n a ．【详解】由11n n n S S a ++⋅=，得到11n n n n S S S S ++⋅=-，然后两边同除以1n n S S +⋅得到1111n n S S +-=，即1111n n S S +-=-，于是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1-的等差数列．而12a =，于是()1132122n n n S -=--=，进而得到232n S n=-，所以当2n ≥时，有()()122432522325n n n a S S n n n n -=-=-=----（2n ≥）．综上所述，2,14,2(23)(25)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪--⎩．故答案为：2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩43．已知数列{}n a 满足14a =，()()1121n n na n a n n +-+=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n n nn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)222n a n n=+(2)()111212n n T n +=-+【分析】（1）利用构造法，先求得n a n ，进而求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T .【详解】（1）由()()1121n n na n a n n +-+=+得：121n n a a n n +-=+，∵141a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列，所以()41222n a n n n =+-⨯=+，所以222n a n n =+；（2）()()112211221212n n n n n n n n b a n n n n ++++===-+⋅+，所以123n nT b b b b =++++ ()22334111111111122222323242212n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()111212n n +=-+.重难点8等差数列的实际应用44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{}n a （单位万元，n N *∈），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金1a 的3倍，已知221272a a +=．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A ．72万元B ．96万元C ．120万元D ．144万元【答案】C 【分析】本题可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据题意得出五年累计总投入资金为()1210a a +，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，五年累计总投入资金为：()12345111212532010101010a a a a a a a d a a a a +++++创=+=+=+，因为221272a a +=，所以()1210120a a +=£=，当且仅当12a a =时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n 苯结构简式……分子式108C H 1410C H 1812C H ……由此推断并十苯的分子式为.【答案】4224C H 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是：10,14,18 ，H 的下标分别是：8,10,12所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为：10(1)446n C n n =+-⋅=+，稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为：8(1)226n H n n =+-⋅=+，所以并n 苯的分子式为：42n C +24(2,)n H n n N *+≥∈，因此当10n =时，得到并十苯的分子式为：4224C H .故答案为：4224C H 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【答案】14；27.【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为{}n a ，显然大张在2021年第1,5,9, 天放假，所以有14(1)43n a n n =+-=-，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为{}n b ，则有17(1)76n b n n =+-=-，此时两数列的公共项为：1,29,57, ，首项为1，公差为28，末项为365，设共有m 项，所以有3651(1)2814m m =+-⋅⇒=；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为{}n c ，则有47(1)73n c n n =+-=-，此时两数列的公共项为：25,53,81, ，首项为1，公差为28，末项为361，设共有t 项，所以有36125(1)2813t t =+-⋅⇒=，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有141327+=天，故答案为：14；2747．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．【答案】1920.9<≤d 【分析】这台设备使用n 年后的价值构成一个数列{}n a ．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于2205%11⨯=万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{}n a 的通项公式列不等式求解．【详解】解：设使用n 年后，这台设备的价值为n a 万元，则可得数列{}n a ．由已知条件，得1(2)n n a a d n -=-≥．由于d 是与n 无关的常数，所以数列{}n a 是一个公差为d -的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以1220a d =-，于是1(1)()220n a a n d nd =+--=-．根据题意，得10112205%112205%11a a ≥⨯=⎧⎨<⨯=⎩，即22010112201111d d -≥⎧⎨-<⎩，解这个不等式组，得1920.9<≤d ．所以d 的取值范围为1920.9<≤d ．重难点9等差数列与数学文化的结合48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）A ．332尺B ．13尺C ．52尺D ．43尺【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，则由题意可得49.5a =，76a =，74736a a d -∴==-，则小满当日日影长11774464()63a a d =+=+⨯-=．故选：D ．49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A ．戊戌年B ．辛丑年C ．己亥年D ．庚子年【答案】D 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合1001010÷=，1001284÷= ，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于1001010÷=，余数为0，故100年后天干为庚，由于1001284÷= ，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：D.50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）A ．6766升B ．176升C ．10933升D ．1336升【答案】A【分析】设此等差数列为{}n a ，利用方程思想求出1a 和d ，再利用通项公式进行求解．【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，由题意可得123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，所以114633214a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113=227=66a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以511376744226666a a d =+=+⨯=，即第5节竹子的容积为6766升．故选：A ．51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A ．乙分到37文，丁分到31文B ．乙分到40文，丁分到34文C ．乙分到31文，丁分到37文D ．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以乙分得237a d -=（文），丁分得31a =（文），故选：A.52．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.【答案】12【分析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83d =，首项为11740a =的等差数列，所以1(1)174083(1)831657n a a n d n n =+-=+-=+，令20233000n a ≤≤，即20238316573000n ≤+≤，解得36613438383n ≤≤，又*n ∈N ，所以5n =、6、L 、16，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为165112-+=次.故答案为：12.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列最大项和最小项之和为．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则815(1)157n a n n =+-=-，令157200n -≤，解得13.8n ≤，则数列{}n a 的最大项为15137188⨯-=，所以该数列最大项和最小项之和为1888196+=．故答案为：196.。

五年级第10讲：等差数列

师：嗯,不错。

那么同学们知道了这个等差数列的通项公式：5)1(3⨯-+=n a n , 经过计算,可以写成：25-=n a n 。

怎么来求我们最后的问题呢？生：把数字代到n 里,就可以算了。

师：就是这样。

现在同学们一起来算一下最后答案是多少。

生：第38项是188,第69项是343。

师：最后我们可以写成18838=a ,34369=a 。

同学们都很棒,已经会利用等差数列了。

经过第一题的学习,同学们可以帮老师归纳一下,等差数列的问题应该怎么做了吗？同学们先讨论,然后告诉老师。

【给学生分组讨论,老师可走动询问各组的讨论结果】师：好了,老师刚刚问了几个同学,都很不错。

接下来呢,我们请一位同学来帮我们归纳一下,哪位同学自告奋勇。

生：我们可以先找到题目中给出的信息有哪些,比如这道题给出了首项、公差, 所以我们可以求出它的通项公式,然后再把数字代进去,就可以了。

师：大家掌声鼓励一下。

这位同学不仅学会了等差数列的基本知识,还能自己归纳方法了。

我们平时做题的时候也要这样,不断归纳,我们做题就能越来越快,越来越轻松。

我相信聪明的同学们应该都学会了,还有疑问的同学可以举手或者下课后问老师和同学,一定要把疑问解决。

【课件再次展示计算过程,老师可以把同学的归纳再整理一下】板书：1a =3,d =8-3=5,n a =1a +〈n-1〉d=3+〈n-1〉×5=5n-2,38a =5×38-2=188,69a =5×69-2=343答：第38项是188,第69项是343。

练习一：〈6分钟〉等差数列1,4,7,10,13,…的第20项和第89项。

分析：这个题目的题型和难度与例题相同,解题方法和上题也相同。

学生在听懂例题后再来做这道题,难度较小。

【课件出示练习题,挑选两位同学上台板演,教师走动指导。

然后讲解计算过程,重点指导一些不懂的学生】板书：1a =1,d=4-1=3,最低一级作为第15项,15a =100,正中间一级是第8项,8a =〈1a +15a 〉÷2=〈100+30〉÷2=65答：正中间一级的宽是65厘米。

《等差数列》重难点创新教学方法

人教A版高中数学必修5 第二章《2.2等差数列》重难点创新教学方法教学目标（三维目标）：（1）知识目标——①了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;②正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.（2）能力目标——①通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；②通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.（3）——情感态度目标通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.教学重难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题。

难点：概况通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

教学方法及手段：以启发式教学法为主，其它教学法为辅，通过设立问题让学生多思考，多做练习，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

本节课使用录播系统上课，充分使用多媒体辅助教学，提高了教学效率。

教学过程：一复习：1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数一般形式:a1 ，a2 ，a3 ，…，a n，…简记为{a n}2.数列的表示法：通项公式，列表法，图象法，递推公式二．新课引入(体验与质疑):阅读课本P36～P37引入问题：数数问题0，5，10，15，20，25，…．①举重问题48，53，58，63 ②水位问题18，15.5 ，13 ，10.5 ，8 ，5.5 ③储蓄问题10072，10144，10216，10288，10360. ④思考：观察上面数列,它们有什么共同特点?可以看到：对于数列①，从第二项起，每一项与前一项的差都是等于_____对于数列②，从第二项起，每一项与前一项的差都是等于_____对于数列③，从第二项起，每一项与前一项的差都是等于_____对于数列④，从第二项起，每一项与前一项的差都是等于_____答：共同特点是——从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

等差数列重难点突破

《等差数列》教案

等差数列说课稿

等差数列及其前n项和教案

《等差数列前n项和》教案 重点、难点分析

数列知识点：等差数列的通项求和公式

《等差数列》教学设计

等差数列》说课稿

等差数列的性质教案

等差数列说课稿

《等差数列》优秀教案

《等差数列》教案

数学等差数列教案(优秀5篇)

等差数列说课稿

等差数列教案第一课时市公开课一等奖教案省赛课金奖教案

高三数学必修五教案等差数列优秀4篇

等差数列及其前n项和教案

六年级《等差数列》奥数教案

高二数学 专题 等差数列的概念(九个重难点突破)(解析版)

五年级第10讲：等差数列

《等差数列》重难点创新教学方法

《等差数列前n项和》教案重点、难点分析

高二数学专题等差数列的概念(九个重难点突破)(解析版)