基本不等式(完整版)

证明： (a b)2 0 a2 2ab b2 0 a2 b2 2ab
推论： ab a2 b2 （ a,b R ）. 2
2、如果 a 0 ， b 0 ,则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“=”）.
推论： ab
(a b )2 （ a
a2 0 ，b 0 ）；
1＋y2 x2 2 2 ≤
2
x2＋
1＋y2 22
.又 x2＋
1＋y2 22
＝
x2＋y2 2
2
＋1＝3.所以 x 1＋y2≤ 2×3＝3 2，当且仅当 x2 ＝1＋y2 ，即 x ＝ 3时，等号成立．故
22
22 4
22
2
(x 1＋y2)max＝342.
【例 3】若 a，b 都是正数，且 a+b＝1，则（a+1）（b+1）的最大值为（ ）
变式 2：函数 y=2﹣x﹣ （x＞0）的最大值为
．
解析：y=2﹣x﹣ =2﹣（x+ ）
=2﹣4=﹣2，当且仅当 x=2 时取等号．
所以函数 y=2﹣x﹣ （x＞0）的最大值为﹣2．故答案为：﹣2． 转化符 号：若含变 量的项是负数，则提取 负号，将其转 化为正数，再利用“公式”求
最值．
【例 2】(2015·高考湖南卷)若实数 a，b 满足1＋2＝ ab，则 ab 的最小值为( ) ab
A. 2
B．2
C．2 2
D．4
解析：由1＋2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1＋2≥2 2 ，即 ab≥2 2，
ab
ab
ab
1＝2，
ab 当且仅当 1＋2＝
即 a＝4 2，b＝2 4 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 ab，
2.故选 C
ab
变式 1：若实数 x、y 满足 2x+2y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ）
．
故选：C．
二、连续放缩
利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连 续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件 的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步 骤，也是检验转换是否有误的一种方法。
利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则： (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是p2.(简记：和定积最大)
4
4、几个重要的不等式
1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；
A．
B．2
C．
D．4
解析：由题意，可知：（a+1）（b+1）≤（
）2＝（ ）2＝ ．故选：C．
【例 4】若实数 x，y 满足 x+y＝8，则 x2+y2 的最小值是（ ）
A．8
B．32
C．16
解：因为
，当且仅当 x＝y 时等号成立，
因为 x+y＝8，所以
，
所以 x2+y2≥32， 故 x2+y2 的最小值是 32， 故选：B ．
当且仅当 a＋1＝b＋3 时取等号，此时 a＝7，b＝3. 22
所以 tmax＝ 18＝3 2. 乘方:若目标函数 带有根号，则先乘 方后配凑为和为定 值．
【例 6】已知实数 a，b 满足 ab＞0，则
来自百度文库
A．2﹣
B．2+
﹣
的最大值为（ ）
C．3﹣2
D．3+2
解：∵ab＞0，
则﹣
＝
＝
＝
＝3
，
当且仅当
时取等号，此时取得最大值为 3
变式 1：已知函数 f(x)＝4x＋a(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝__________. x
解析：因为 x ＞0，a＞0，所以 f(x)＝4x ＋a≥2 4x·a＝4 a，当且仅当 4x＝a，即 4x2＝a
x
x
x
时，f(x)取得最小值．又因为 f(x)在 x＝3 时取得最小值，所以 a＝4×32＝36.
D．4
【例 5】设 a，b＞0，a＋b＝5，则 a＋1＋ b＋3的最大值为________．
答案：3 2 解 析 ： 令 t ＝ a＋1 ＋ b＋3 ， 则 t2 ＝ a ＋ 1 ＋ b ＋ 3 ＋ 2 （a＋1）（b＋3） ＝ 9 ＋ 2 （a＋1）（b＋3）≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
C．x（1﹣x）≤（
）2 ＝
D．sinx+
（0＜x＜π）的最小值是 2
解：A：当 x＜0 时，不满足题意；B：
C：由基本不等式可得，x（1﹣x） 等号，故 C 符合题意； D：当 0＜x＜π时，0＜sinx≤1，则 故选：C．
＝2，不符合题意； ＝ ，当且仅当 x＝1﹣x 即 x＝ 时取
，等号取不到，故 D 不符合题意．
A．（﹣∞，﹣2] B．[0，2]
C．[﹣2，+∞） D．[﹣2，0]
解析：由实数 x、y 满足 2x+2y＝1，根据基本不等式得，
1＝2x +2y≥2
，故 x+y≤﹣2．故选：A．
变式 2：已知 x 为正实数，且 x2＋y2＝1，则 x 1＋y2的最大值为________． 2
解析：因为 x>0，所以 x 1＋y2＝ 2
2b＋a≥2，ab>0； ab
a＋b 3ab≤ 2 2，a，b∈R；
当且仅当 a＝b 时 等号成立.
4a2＋b2≥
a＋b 2
2，a，b∈R
2
（5） 2 ab a b a2 b2 (a 0,b 0) .
11
2
2
ab
一、直接法
【例 1】以下结论，正确的是（ ） A．y＝x+ ≥4
B．ex+ ＞2
利用基本不等式求最值
——最全方法总结
主讲：陈鑫城
常用方法： 一、直接法 二、连续放缩 三、配凑法 四、常数代换法 五、整体换元 六、消元法 七、转化为不等式 八、拆（添）项 九、齐次化 十、确定主次元 十一、基本不等式与其他知识交汇
知识概要
1、如果 a,b R ，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a b 时取等号“=”）.
b2
(a b )2
.
2
2
2
3、基本不等式 ab≤a＋b 2
(1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋b，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为： 2
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (3)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． ◆注：在利用基本不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说 每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的 值相等时，等号成立．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的 一致性和不等号方向的 一致性．