垂径定理学案、教学设计
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理 （共21张PPT）学案
3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案： 当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
垂径定理教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
垂径定理教学设计一、教学目标：1. 理解垂径定理的定义和几何意义；2. 掌握垂径定理的基本运用；3. 培养学生的几何思维和逻辑推理能力。
二、教学内容：垂径定理是平面几何中的重要定理，它为解决与圆相关的问题提供了有力的工具。
垂径定理是指，如果一个直径的两个端点与圆上的两点相连，并且这两条线段相互垂直，则这两条线段的中点一定在圆上。
三、教学过程：1. 理论讲解（15分钟）a. 引入垂径定理的概念，解释定理的定义和意义；b. 对与垂径定理相关的基本术语进行解释，如直径、垂直等；c. 展示垂径定理的证明过程，说明定理的正确性和普适性。
2. 实例演示（20分钟）a. 通过几个具体的实例，演示垂径定理的运用方法；b. 教师可以将实例分为直接应用和间接应用两种情况，让学生思考不同情况下如何运用垂径定理解决问题；c. 引导学生进行讨论和解答，帮助他们理解垂径定理的应用。
3. 案例分析（25分钟）a. 布置几个与垂径定理相关的问题；b. 学生以小组形式进行分析和解答，并展示他们的思路和解题过程；c. 教师根据学生的表现和分析结果，对解题思路进行点评和指导。
4. 提升拓展（20分钟）a. 强化学生对垂径定理的理解，通过练习题检验学生的掌握程度；b. 针对高阶问题和拓展思考，引导学生运用垂径定理解决更复杂的几何问题；c. 鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的逻辑推理能力和创新思维。
四、教学评价：1. 在教学过程中，教师可以通过观察学生的参与度和回答问题的准确度，进行个别或整体评价；2. 在案例分析环节，教师可以根据学生的表现，评价他们的分析能力和解题思路；3. 练习题的考查结果可以用来评价学生对垂径定理掌握的程度。
五、教学反思：垂径定理是一个相对简单但重要的定理，通过教学设计和教学过程的安排，可以提高学生对该定理的理解和应用能力。
在教学中，要注意引导学生进行思辨和探究，并关注学生的自主学习能力的培养。
此外，可增加一些趣味性的教学方法，如游戏、实验等，以激发学生的学习兴趣和主动性。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
垂径定理优秀教学设计(教案)
垂径定理优秀教学设计(教案)一、教学内容本节课为人教版数学四年级下册第七单元《几何图形》中的“垂径定理”。
教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理，并运用该定理解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生通过观察、操作、探究，掌握垂径定理，提高空间想象能力。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：掌握垂径定理及运用。
难点：理解并证明垂径定理。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：圆、直尺、三角板、圆规。
五、教学过程1. 情境引入：利用PPT展示生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆的性质。
提问：“你们知道圆有哪些性质吗？”2. 自主探究：3. 小组交流：4. 例题讲解：利用PPT展示例题，如：“在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
”让学生独立思考，然后讲解解题思路，引导学生运用垂径定理解决问题。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，如：“已知圆的直径为10cm，求证：垂直于直径的线段也是10cm。
”学生独立完成练习，教师巡回指导，及时纠正错误。
6. 巩固提高：出示拓展题目，如：“在圆中，已知一条弦长为8cm，求证：垂直于该弦的线段也是8cm。
”学生分组讨论，运用垂径定理解决问题。
7. 课堂小结：六、板书设计板书垂径定理板书内容：1. 圆的性质：圆中心到圆上任意一点的距离相等。
2. 垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
七、作业设计1. 请用文字和图形描述垂径定理。
答案：垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
答案：略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理。
在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、观察能力和空间想象能力。
课堂练习和拓展延伸环节，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
1.2 过程与方法：通过观察、猜想、证明的过程，让学生体验数学的探究过程。
运用图形计算器或信息技术工具，帮助学生更好地理解垂径定理。
1.3 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心。
培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：分析教材中关于垂径定理的定义、证明和应用。
理解垂径定理在圆的性质和几何图形中的应用。
2.2 学情分析：了解学生对圆的基本知识和垂线的概念。
了解学生对几何证明的掌握程度，为学生提供必要的支持。
第三章：教学重难点3.1 教学重点：让学生掌握垂径定理的证明过程和定理的内容。
能够运用垂径定理解决相关的几何问题。
3.2 教学难点：理解并证明垂径定理。
灵活运用垂径定理解决实际问题。
第四章：教学方法与手段4.1 教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、猜想、证明。
运用小组合作学习，鼓励学生互相交流、讨论。
4.2 教学手段：使用图形计算器或信息技术工具，展示几何图形，帮助学生更好地理解垂径定理。
提供相关的练习题和案例，供学生实践和应用垂径定理。
第五章：教学过程5.1 导入：通过引入实际问题或情境，激发学生的兴趣和好奇心。
引导学生观察和猜想垂径定理的内容。
5.2 探究与证明：引导学生进行小组合作学习，共同探究垂径定理的证明过程。
引导学生运用几何知识和证明方法，进行逻辑推理和证明。
5.3 应用与练习：提供相关的练习题和案例，让学生运用垂径定理解决问题。
引导学生进行自主学习和合作交流，解答练习题和案例。
鼓励学生反思自己的学习过程，提出问题和建议，为后续学习做好准备。
1. 导入新课通过展示实际问题，引入垂径定理的概念和意义。
提供具体的垂径定理案例，让学生观察和分析，引导学生猜想垂径定理的内容。
第五章：垂径定理的证明通过引导学生运用已有知识，尝试证明垂径定理。
《垂径定理》优秀教学设计
《垂径定理》教学设计一、教学目标1.利用轴对称探索垂径定理的有关性质，掌握垂径定理的证明；2.掌握垂径定理的简单应用；3.让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力.二、教学重难点1.教学重点：垂径定理的性质及其应用.2.教学难点：（1）垂径定理的证明；（2）垂径定理的题设与结论的区分.三、教学流程教学程序教学活动学生活动设计意图（一）情境引入1. 播放视频1：赵州桥介绍视频.2. 视频结束，情境问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？学生观看视频.学生自主思考教师提出的问题.让学生从视频中感受数学源于生活，而高于生活.（二）新知探究探究1：请同学们拿出自己手中的圆形纸片，先折出圆的一条弦，再对折，最后展开圆形纸片.你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧：_____=______；_____=______.垂径定理：（1）文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
（2）几何语言：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB∴学生提前准备好圆形纸片，动手操作，得出结论.学生推理、证明，归纳得出结论.自己动手操作，加深印象.让学生直观的得出结论，再上升到理论上.挑战第一关：下列图形是否具备垂径定理的条件？探究2：在⊙O 中，直径CD与弦AB (不是直径) 相交于点E.（1）若AE = BE，那么CD与AB垂直吗？（2）追问：为什么要强调弦AB 是非直径的弦？探究3：五个元素：①过圆心（直径或直径的一部分）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论吗？追问：你可以写出相应的命题吗?归纳总结：知二推三学生独立思考、回答问题.学生思考、推理、证明，得出结论.学生通过画图、举出反例.学生分小组证明“知二推三”.学生思考、回答.让学生明白垂径定理的“径”：满足过圆心，可能是直径、半径、直径的一部分.当命题的条件和结论不止一项时，只需交换条件和结论中的一项，就可以得到一个逆命题.经过证明后的真命题可以当作“垂径定理的逆定理”直接使用.巩固提高对定理的认识.（三）知识应用挑战第二关：半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。
垂径定理学案
BACOM 3.2.1圆的对称性（垂径定理）课标转述：1、经历探索圆的对称性及相关性质的过程。
2、理解圆的对称性及相关性质。
3、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
学习目标１、知道圆是轴对称图形．２、能说出弧、弦、直径等和圆有关的定义，并能说出他们之间的区别和联系． 3、能背诵垂径定理的的内容，并会对垂径定理进行推导证明．4、能熟练运用垂径定理解决有关弦、弧以及半径之间的证明和计算问题． 学习过程一、自学教材96—98页，弄懂下列问题： 1、（回忆）：点与圆有哪几种位置关系？2、什么是圆？圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？3、快速填空弧： 弦： 直径： 优弧： ，如右图，记作： 劣弧： ，如右图，记作： 弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
4、垂径定理的的内容是什么？（背诵） 二、探究一：研究圆的对称性，完成“目标一”1、你是用什么方法解决上面第2个问题的？与同伴交流并在班里展示 结论：圆是 图形，对称轴是 ．针对训练：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）注意：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．三、探究二：牢记与圆有关的定义，并能区分它们之间的区别和联系，完成“目标二”： 根据弧、弦、直径的定义，讨论以下问题 1）直径和弦的关系是什么？ 2）半圆和弧的关系是什么？ 3）半圆是优弧吗？是劣弧吗？结论： ； ； ； 四、探究三：牢记并证明垂径定理，完成“目标三” 如图：1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 你能用所学过的几何知识进行证明吗？先在小组内交流，然后在班级展示。
垂径定理（文字语言）： 。
垂径定理（几何语言）：五、例题讲解，完成“目标四” 【例1】自学课本P99例1【例2】 已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 解：小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的 主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB -=．弦长、半径、弦心距 三个量中已知两个，就可以求出第三个． 六、当堂训练1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．2．如下左图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（ ） A ．3 B ．6cm C ． cm D ．9cm注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。
第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
垂径定理教学设计
垂径定理教学设计教学设计：垂径定理教学目标：1.理解垂径定理的定义和原理；2.掌握应用垂径定理解决问题的方法；3.培养学生的逻辑思维和证明能力。
教学步骤：一、导入（15分钟）1.通过提问的方式，引出垂径定理的概念和作用，激发学生对该定理的兴趣。
2.给学生展示一些实际生活中使用垂径定理的例子，如建筑设计、地理测量等，说明学习垂径定理的重要性。
二、理解垂径定理（30分钟）1.引导学生观察和发现：在一个圆内，以圆心为端点的半径与圆上条切线之间的关系。
2.引导学生总结并给出垂径定理的定义：在一个圆内，以圆心为端点的半径与圆上的切线垂直。
3.通过给出几个具体的案例，帮助学生理解垂径定理的意义和应用。
三、应用垂径定理解决问题（30分钟）1.给学生出示一些具体问题，引导他们应用垂径定理解决问题。
2.阐述解决问题的一般步骤：根据问题条件，确定圆心、半径和切线，应用垂径定理判断是否垂直。
3.给学生分组讨论解决问题的方法，并在黑板上进行总结和讨论。
四、拓展练习（30分钟）1.给学生分发一些练习题，让他们独立或小组完成，并在课堂上进行讲解和讨论。
2.引导学生思考问题的多个解法和证明的不同方法，培养他们的思考能力和证明能力。
3.鼓励学生提出疑问和讨论，引导他们思考如何应用垂径定理解决更复杂的问题。
五、总结（15分钟）1.综合学生的讨论和解答，总结垂径定理的定义、应用和解决问题的方法。
2.提出作业：让学生写一篇500字以上的短文，总结垂径定理的原理和应用，并分析具体案例。
3.回顾整个课堂内容，引导学生思考学习垂径定理的感受和收获。
教学资源：1.教师准备的课件，包括垂径定理的定义、案例和应用；2.练习题，用于课堂练习和讨论；3.学生课本和笔记本，用于记录课堂内容和思考问题。
教学评价：1.在课堂上观察学生的参与情况，检查他们对垂径定理的理解和应用；2.根据学生的讨论和解答，评价他们的思考能力和证明能力；3.根据学生的作业，评价他们对垂径定理的理解和总结能力。
垂径定理课堂教学设计
垂径定理课堂教学设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握并理解垂径定理的概念和应用，能够准确运用垂径定理解题。
二、教学内容1. 垂径定理的概念介绍和基本性质2. 垂径定理的应用实例三、教学过程1. 导入新知识（5分钟）学生在上一节课已学过勾股定理的内容，通过复习勾股定理的概念和应用，引入今天的课程内容。
教师可以提出一个问题，如：“如何求一个等腰直角三角形的高？”，并引导学生思考和讨论。
2. 引入垂径定理（10分钟）教师通过给出一个具体的图形示例，如一个半径为r的圆，和一个直线段AB与圆相交于两个点C和D，其中CD是直径。
教师向学生解释CD是直径的概念，并引导学生观察并发现CD的特性。
教师提问：在这个图形中，你们观察到了什么特点？学生通过观察和思考，发现CD是一个垂线段。
教师提出问题：我们能否得出结论，对于任意与圆相交于两个点的直线段AB，它的中垂线也必然与圆相交于两个点，并且这两个点与原直线段的交点构成的线段也是直径？3. 垂径定理的概念和证明（15分钟）教师向学生介绍垂径定理的概念和基本性质，同时告知学生本定理的证明过程。
教师可以通过画图和数学推理的方式来展示垂径定理的证明过程，并引导学生思考和理解。
垂径定理：对于任意与圆相交于两个点的直线段AB，它的中垂线也必然与圆相交于两个点，并且这两个点与原直线段的交点构成的线段也是直径。
教师带领学生进行垂径定理的证明过程，教师可以通过提问引导学生思考和推理。
4. 垂径定理的应用实例（15分钟）教师通过给出具体的题目例子，来让学生运用垂径定理解题。
教师可以设计一些有趣的题目，如：“已知一个圆的半径为5cm，且一个直线段与圆相交于两个点，这个直线段的长度是8cm，请问这个直线段的中点到这个圆心的距离是多少？”教师引导学生利用垂径定理解决这个问题，并指导学生解答过程。
5. 总结和讨论（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生讨论垂径定理的实际应用和拓展思考。
3.3垂径定理-(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了垂径定理及其在实际问题中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出与生活密切相关的问题，激发了学生的兴趣。这种方法有助于吸引学生的注意力，使他们更快地进入学习状态。在今后的教学中，我将继续采用这种导入方式，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们认为垂径定理在建筑设计中有哪些应用？”
-理解垂径定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理过程往往感到困难。
-作图的准确性：学生在作图时难以精确地表示出直径垂直于弦，以及弦被平分的情况。
-弦、弦心距、半径之间数量关应用于不同题型。
-解决实际问题时构建数学模型的能力：学生需要学会将实际问题转化为数学问题，并运用垂径定理进行解决。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指出，圆的直径垂直于其所在的弦，并且平分这条弦。这个定理在几何学中非常重要，它不仅揭示了圆的内在性质，还在解决实际问题中有着广泛的应用。
《垂径定理》教学设计教案完整版
圆的性质包括圆心到圆上任意一点 的距离都等于半径，以及圆上任意 两点间的弧长与这两点间所夹圆心 角的大小成正比。
直径、半径和弧的概念
直径是穿过圆心、连 接圆上任意两点的线 段，其长度等于两倍 的半径。
弧是圆上两点间的部 分，根据圆心角的大 小可分为优弧、劣弧 和半圆。
半径是从圆心到圆上 任意一点的线段，其 长度等于圆的半径。
分享交流探究成果
分享方式
每个小组选派一名代表， 向全班展示他们的探究 过程和成果，可以通过 口头报告、PPT演示、 板书等方式进行。
交流内容
包括问题背景、解决方 法、遇到的困难、取得 的成果以及心得体会等。
互动环节
其他小组可以提问、补 充或发表不同看法，促 进全班范围内的深入交 流和讨论。
教师点评与总结
布置适量练习题，让学生独立完 成，检验学生的学习效果。
课程引入（5分钟）
通过实例引入垂径定理的概念， 激发学生的学习兴趣。
课程总结（5分钟）
回顾本课所学内容，总结垂径定 理及其逆定理的应用方法，鼓励 学生课后继续探究相关问题。
02 基础知识回顾
圆的性质与定义
01
圆是平面上所有与定点（圆心）距 离等于定长（半径）的点的集合。
05 学生自主探究活动
分组探究垂径定理的应用
分组
将全班学生分成若干小组，每组4-6人，确保每组学生具有不同 的数学能力和背景。
探究任务
给每个小组分配一个与垂径定理相关的数学问题或应用场景，例 如求解圆的弦长、判断点与圆的位置关系等。
探究过程
学生小组内进行讨论、分析、尝试解决问题，并记录探究过程和 结果。
垂径定理的表述
在平面内，垂直于弦的直 径平分这条弦，并且平分 弦所对的两条弧。
3.1.1垂径定理【学案】
3.1.1圆的对称性——垂径定理学习目标：1.学生能通过折叠的方法，明确圆是轴对称图形，95%的学生能准确描述对称轴.2.经历观察、猜想、证明的过程，90%学生能准确叙述垂径定理的内容，并能结合图形准确书写符号语言.3.通过例题建立并强化垂径定理的计算模型，体会垂径定理在实际生活中的应用,增强应用数学知识解决实际问题的意识.一、前置检测1.什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴对称图形？2.复习圆的相关概念：弧、半圆、优弧、劣弧；弦、直径；二、新知探究1.说一说圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？O你能找到多少条对称轴？你是用什么方法找到它的对称轴的？2.想一想在直径AB上取一点E，过点E作直径AB的垂线，交⊙O于点C、D两点，则线段CD是⊙O的一条，将⊙O沿AB折叠，你发现：⑴AC与弧AD有什么关系？⑵弧BC与弧BD有什么关系？⑶段CE与DE有什么关系？3.议一议除了用轴对称的方式得出CE=ED，你还可以用什么方法来证明CE=ED？垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的两条弧.归纳：如图是垂径定理的基本图形，试写出几何语言：（已知）∵（结论）∴基础练习：1.判断：（1）圆的对称轴是直径（）（2）垂直于弦的直线一定平分这条弦（）（3）平分弦的直线一定垂直于这条弦（）2.在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？3.如上图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.三、典例剖析例1 一桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为30m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为5m，你能求出此桥主桥拱的半径吗？【总结】弦长、半径、弦心距、弓形高，知2求2.例2 如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD.求证：OA＝OB.变式1.已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，OD垂直于AB，DC长2cm，求⊙O的半径。
变式2.如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且OA=OB.求证：AC=BD.变式3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，AB=300m,CD=50m,OC ⊥AB，垂足为D，则这段弯路的半径是_________m．四、课堂小结1.这节课你有哪些收获？2.学习到了哪些知识？3.哪些数学思想方法？五、课堂检测一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于多少？六、中考链接1.（潍坊）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP : AP=1: 5.则CD的长为（）A．B．C．D．3.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．。
垂径定理教学设计(共19篇)
垂径定理教学设计〔共19篇〕篇1：垂径定理教学反思垂径定理教学反思本节课的教学目的是使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。
垂径定理是圆的轴对称性的重要表达，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要根据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。
垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比拟，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点。
这节课我通过七个环节来完本钱节课的教学目的，采用了类比，启发等教学方法。
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
这点学生理解的很好。
根据这个性质先按课本进展合作学习1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探究的根底上，得出结论：〔先介绍弧相等的概念〕①EA=EB；②AC=BC，AD=BD.理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。
∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的`弧。
垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB〔OC⊥AB〕∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.在学生掌握了垂径定理后，及时应用定理画图和解决实际问题，练习由根底到进步，层层深化，学生很有兴趣。
做完题目后总计解题的主要方法：〔1〕画弦心距是圆中常见的辅助线；〔2〕半径〔r〕、半弦、弦心距〔d〕组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长本节课缺乏之处是在处理垂径定理的推论时，应归纳相关垂径定理的五个元素：直径、弦中点、垂直、优弧中点、劣弧中点的规律：“知二得三”。
垂径定理学案
AD=BD AC=BC 垂径定理学案学习目标：1，经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
学习重点：掌握垂径定理、垂径定理的推论，记住垂径定理及推论的题设和结论。
学习难点：对垂径定理及推论的探索和证明，并能应用垂径定理及推论进行简单计算或证明。
学习过程：一，复习回顾二，实践探究（垂径定理）1，活动一： 观察两直径的位置关系思考：当非直径的弦AB 与直径CD 有什么位置关系时，弦AB 有可能被直径CD 平分？（猜想）：__________________________（检验）活动二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．沿着直径CD 折一折，你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ （证明）：已知：在⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，C D ⊥AB求证：AE=EB, 得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2定理理解：3定理辨析 4引申定理：定理中的垂径可以是______________________________，从而得到垂径定理的变式： ① ________得到 ① __________ 一条直线具有：② ________ ② ____________________三，例题与练习例1．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．变式练习：以下两圆为同心圆变式1：AC 、BD 有什么关系？ 变式2：AC ＝BD 依然成立吗？变式3：隐去（变式1）中的大圆，得下图，连接OA ，OB ，设OA=OB ，AC 、BD 有什么关系？为什么？变式（4）隐去（变式1）中的大圆，得下图，连接OC ，OD ，设OC=OD ，AC 、BD 有什么关系？为什么？（变式1图） （变式2图） （变式3图） （变式4图） 跟踪练习：如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证四边形ADOE 是正方形 证明：四，拓展练习1，如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A 、B ）上移动，则OM 的取值范围是_____________3，如图直径为52cm 的圆柱体油槽的横截面，装入油后，油深CD 为16cm ，那么油面宽度AB ＝_____cm.2，如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，BE ＝4cm ，CD ＝16cm ，求⊙O 的半径.4，已知：如图，∠PAC=030，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长。
垂径定理的教学设计
垂径定理的教学设计垂径定理是高中数学中的一个重要定理，也是平面几何中的基本定理之一。
教学设计的目的是帮助学生深入理解和掌握垂径定理的概念、性质和应用。
下面是一份针对高中数学教学的垂径定理教学设计，内容包括教学目标、教学过程、教学方法和评估方式。
一、教学目标1. 理解垂径定理的概念和性质。
2. 学会运用垂径定理解决相关几何问题。
3. 培养学生的几何思维能力和证明能力。
二、教学过程1. 导入（10分钟）通过引入“垂径定理”的实际例子（如建筑物中的立柱与地面），激发学生对该定理的兴趣，并询问学生是否了解或听说过垂径定理，并请学生描述该定理的内容。
2. 理解定理（15分钟）教师通过使用动态展示或示意图等形式，引导学生观察和思考，进一步深入理解垂径定理的内涵。
教师可以给出几个实际问题来引导学生思考，并共同探究垂径定理的性质。
3. 探究和发现（30分钟）教师组织学生小组活动，以小组合作的形式让学生们自主探究，发现垂径定理的相关性质。
教师可以引导学生做出以下观察和猜想：观察：a) 直线与平行线的关系；b) 垂直和平行线的关系；c) 任意一条线段和平行线的关系。
猜想：a) 如果两条线段互相垂直，这两段线段的长度是否存在某种关系？b) 如果两条平行线与一条直线相交，这三条线段的长度是否存在某种关系？c) 是否存在一个定理可以总结上述关系？学生小组进行讨论和研究，最后每个小组进行展示和总结。
4.定理的表述和证明（30分钟）通过学生小组的讨论和总结，教师向学生介绍垂径定理的准确表述，并给出该定理的证明过程。
教师可以使用带有图像的演示或幻灯片，以直观的方式向学生展示证明过程。
5. 练习和应用（25分钟）为了巩固学生对垂径定理的理解和掌握，教师提供相关的练习题和应用题，让学生进行个人或小组完成。
练习题可以包括直接运用垂径定理解决问题的计算题，也可以包括应用题例如证明题、选择题或证明前提题等。
6. 总结和拓展（15分钟）教师与学生共同总结垂径定理的概念和性质，对学生的提问进行回答，检查学生对该定理的理解和掌握程度。
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3
冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》教学设计3一. 教材分析冀教版数学九年级上册《28.4 垂径定理》是本册教材中的一个重要内容，它主要介绍了垂径定理及其应用。
垂径定理是指：圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一节内容是在学生学习了圆的基本概念、圆的性质、弧、弦、圆心角等知识的基础上进行讲授的，为后续学习圆的其它定理和性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的基本概念和性质有了初步的了解。
但是，对于垂径定理的证明和应用，部分学生可能会感到困难，因为这一定理涉及到空间几何的想象和理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作和几何推理，深入理解垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容和意义。
2.学会运用垂径定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的证明和应用。
2.原因：垂径定理涉及到空间几何的想象和理解，对于部分学生来说可能会感到困难。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探索，发现垂径定理。
2.利用几何画板软件，直观展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
3.结合实际例子，让学生运用垂径定理解决实际问题，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备几何画板软件，用于展示垂径定理的证明过程。
2.准备相关实际例子，用于引导学生应用垂径定理解决问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板软件，展示一个圆和一条弦，引导学生思考：如何找到一个点，使得这个点到弦的两端点的距离相等？2.呈现（10分钟）引导学生通过实际操作，发现垂直于弦的直径可以平分这条弦。
然后，给出垂径定理的定义和证明过程。
3.操练（10分钟）让学生利用垂径定理，解决一些实际问题，如：给定一个圆和一条弦，求证这条弦的中点到圆心的距离等于弦的一半。
4.巩固（10分钟）让学生自主完成教材中的练习题，巩固对垂径定理的理解和应用。
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24.1.2垂直于弦的直径导学案
广水市实验中学张运才
【学习目标】
1.理解圆的轴对称性．
2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题．
【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明．
【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．
【学习过程】
【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题：
（一）情景导入：观看赵州桥视频。
聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？
（二）自主探究：先自主探究，后小组交流。
探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？
我发现：
（1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆．
（2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴．
探究二：请同学们按下面的步骤做一做：
第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD；
第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足；
第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？
（2）你能用一句话概括上述结论吗？
（3）请作出图形并用符号语言表述这个结论．
练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？
【交流学】先独立完成，后小组交流。
1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论：
（1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？
（2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？
思考：你能用一句话概括上述结论吗？
推论：
如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？
发现：
2.解决问题：同学们，现在能求出赵州桥所在圆的半径了吗？
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，
D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高．你能求出半径R吗？
3．典型例题：
如图，D是⊙O的弦BC的中点，A是⊙O上一点，OA与BC
交于点E，已知AO=8，BC=12.
（1）求线段OD的长；
（2）当EO=2BE时，求ED的长.
【学后思】
（一）课堂小结：同学们，通过本节课的学习,你有哪些收获?
（二）巩固练习
1．判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×”）
①垂直于弦的直线平分这条弦（）
②平分弦的直线，平分弦所对的这条弧（）
③垂直于弦的直径平分这条弦（）
④平分弦的直径垂直于这条弦（）
2.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【师生评】
（一）课后作业：
1.教材89页习题24.1第9、12题
2.拓展练习：
(1) 教材89页习题24.1第10题
(2)直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB．AC
与BD相等吗？说说你的理由．
（二）课后反思
C
O
E D
A
B
课题：24.1.2垂直于弦的直径
第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD如图．
教师提出以下问题：
（1）在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
（2）你能用一句话概括上述结论吗？（板书定理内容）
（3）你能用符号语言表达这个结论吗？（板书）
引导学生对定理的文字叙述、符号语言进行条件和结论的划分（两个条件推出三个结论）
练习：如下图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
【合作交流】
教师引导学生分析垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论: ③AE=BE④弧AC= 弧BC⑤弧AD=弧BD.
如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？
从学生组合的新结论中挑选出：
条件：①直径CD过圆心O③AE=BE
结论：②CD⊥AB④AC= BC⑤AD=BD.
进行探讨、交流，看结论是否成立.
探究：如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？
如果弦AB是直径，结论还成立吗？它的对称轴或
经过圆心的直
线是圆的对称
轴．
【探究2】
学生通过动手
操作，观察操
作结果，在老
师的引导下，
小组合作，分
析、归纳归纳
垂直于弦的直
径的性质．
练习旨在熟练
垂径定理的基
本模型．
【合作交流】
学生在教师的
引导下，小组
合作探讨，分
析、归纳垂直
于弦的直径的
性质推论.
学生动手操作，
观察操作结果，
教师通过层层
递进的提问，引
导学生探究出
垂直于弦的直
径的性质，并让
学生在合作探
究中对垂径定
理的文字语言、
符号语言、图形
语言三种语言
的相互转化进
行探究，形成整
体，进而熟练掌
握.这样设计培
养了学生的观
察能力和归纳、
概括的思维能
力，并使学生领
略到圆的对称
美，同时发展了
学生的符号感，
思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 三、学以致用：
回到情境引入中求赵州桥主桥拱所在圆的半径问题： 1．解决问题:如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点D ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高．半径R 即为所求． （幻灯片展示解题过程）
2典型例题：如图，D 是⊙O 的弦BC 的中点，A 是⊙O 上一点，OA 与BC 交于点E ，已知AO=8，BC=12.
（1）求线段OD 的长；
（2）当EO=2BE 时，求ED 的长.
四、课堂小结：学生归纳本节课的收获；
五、巩固练习：
1：判断下面的论述是否正确（在相应的题号后面正确的标“√”错误的标或“×” ）
①圆的每一条直径都是它的对称轴（ ） ②垂直于弦的直线平分这条弦（ ） ③平分弦的直径垂直于这条弦（ ）
老师引导学生画出图形，用垂径定理的基本模型解决问题.学生在教师的引导下理解拱高
老师引导学生结合图形，分析利用垂径定理的基本模型解决问题的方法.
学生思考、归纳总结本节课的收获．
巩固练习由小组所有成员共同完成，完成后小组交流展
分化了难点．
【合作交流】 垂径定理的推论较多且为考察的重点，本节主要探究垂径定理及其推论的内容和应用．通过以上三个探究活动，学生经历了实际抽象、猜想探索、一般验证的探究过程，实现了从特殊到一般的思维跨越． 通过解决这一数学实际问题，
C
O
E D A B
④平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（）
2：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
六、课后作业：
1.教材89页习题24.1第9、12题
2.拓展练习：
（1）教材89页习题24.1第10题
（2）如图，直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB．AC 与BD相等吗？说说你的理由．
七、板书设计：
24.1.2垂直于弦的直径
一、圆的对称性：
二、垂径定理：
定理内容：
图形：
符号语言：
推论：
三、例题：
四、小结：示．巩固练习
1旨在让学生
熟练掌握圆的
对称性、垂径
定理及其推
论．巩固练习
2旨在让学生
熟练垂径定理
的运用．
课后作业第1
题为课后作
业，学生课后
完成．第2
题为拓展练
习，供学有余
力的同学钻
研，其中（1）
题应用垂径定
理求出弦心
距，从而求出
两平行线间的
距离.注意考
虑弦在圆心同
侧和异侧两种
情况，渗透分
类讨论的思
使学生感受数
学的灵活与精
巧，体会垂径定
理中蕴含的历
史和文化．
培养学生的观
察能力、分析能
力，进一步体会
和理解研究几
何图形的各种
方法；培养学生
合作交流的精
神.
让学生通过归
纳总结，使知识。