中考数学类比探究题

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类比探究与动点问题专项训练(二)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：想一想河南中考数学第22题常考类型有哪些？问题2：想一想河南中考数学第22题答题标准动作有哪些？问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？类比探究与动点问题专项训练（二）一、单选题(共6道，每道16分)1.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AD与AB重合．∵∠ABC=∠ABG=90°，∴∠EBG=180°，点E，B，G共线．根据___________，易证△AEF≌__________，得EF=BE+DF．（2）类比联想如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC，CD边上，且∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系___________时，仍有EF=BE+DF．（3）引申拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在BC边上，且∠DAE=45°．猜想BD，DE，EC之间满足的数量关系，并写出推理过程．（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的示范照片）（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG，可使AD与AB重合．∵∠ABC=∠ABG=90°，∴∠EBG=180°，点E，B，G共线．根据___________，易证△AEF≌__________，得EF=BE+DF．A.AAS，△AGEB.SAS，△AGEC.SAS，△AEGD.SSS，△AGE答案：C解题思路：见第3题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究2.（上接第1题）（2）类比联想如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在BC，CD边上，且∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_________时，仍有EF=BE+DF．( )A.∠B=∠DB.∠B+∠D=180°C.∠B-∠D=90°D.∠B=2∠D答案：B解题思路：见第3题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究3.（上接第1，2题）（3）引申拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在BC边上，且∠DAE=45°，则BD，DE，EC之间满足的数量关系为( )A.DE=BD+ECB.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于点E，设．（1）当时，求CE的长；（2）当时，①设，能够得到，求k的值；②连接CF，当的值最大时，求BE的长．（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的示范照片）（1）当α=60°时，EF的长为( )A.5B.C. D.答案：A解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中点结构5.（上接第4题）（2）①当时，设，能够得到，则k的值为( )A. B.C. D.3答案：D解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中点结构6.（上接第4，5题）（2）②连接CF，当的值最大时，BE的长为( )A. B.C. D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

类比探究题-中考数学专题训练

专题七类比探究题类型一线段数量关系问题(2018·河南)(1)问题发现如图①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC ，BD 交于点M.填空： ①ACBD的值为________； ②∠AMB 的度数为________； (2)类比探究如图②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断ACBD 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．【分析】 (1)①证明△COA≌△DOB(SAS)，得AC ＝BD ，比值为1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理，得∠AMB＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°；(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则AC BD ＝OCOD ＝3，由全等三角形的性质得∠AMB 的度数；(3)正确画出图形，当点C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得△AOC∽△BOD，则∠AMB ＝90°，ACBD ＝3，可得AC 的长．【自主解答】解：(1)问题发现①1【解法提示】∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA＝∠DOB. ∵OC＝OD ，OA ＝OB ， ∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ， ∴ACBD＝1. ②40°【解法提示】∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO. ∵∠AOB＝40°， ∴∠OAB＋∠ABO＝140°，在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)类比探究ACBD＝3，∠AMB＝90°，理由如下：在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴OD OC ＝tan 30°＝33，同理，得OB OA ＝tan 30°＝33，∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝BOD ， ∴△AOC∽△BOD， ∴AC BD ＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO. ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB－MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①，同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△COD 中，∵∠OCD＝30°，OD ＝1， ∴CD＝2， ∴BC＝x －2.在Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB ＝7. ∴AB＝2OB ＝27，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2，即( 3 x)2＋(x －2)2＝(27)2，解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)， ∴AC＝33；②点C 与点M 重合时，如解图②，同理得：∠AMB＝90°，ACBD ＝3，设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△AMB 中，由勾股定理，得AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2解得x 1＝－3，解得x 2＝2(舍去)． ∴AC＝2 3.综上所述，AC 的长为33或2 3.图①图② 例1题解图1．(2016·河南) (1)发现如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于________________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________(用含a ，b 的式子表示)． (2)应用点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1，如图②所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值． (3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，PM ＝PB ，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．2．(2015·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝2；②当α＝180°时，AE BD ＝2；(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD 的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．(3)解决问题当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．3．(2014·河南) (1)问题发现如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB 的度数为__________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为______________． (2)拓展探究如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．4．(2018·南阳二模)在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC.(1)操作发现若AB＝AC，∠BAC＝90°，当D在线段BC上时(不与点B重合)，如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是______________，______________；(2)猜想论证在(1)的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断(1)中结论是否成立，并证明你的判断．(3)拓展延伸如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C，E重合除外)？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝32时，请直接写出线段CF的长的最大值是____．5．已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图①，OFEC＝_______；②将△AED 绕点A 逆时针旋转45°，如图②，OFEC ＝_______；(2)类比延伸将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出OFEC 的值，并说明理由．(3)拓展探究将图①中△AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD ＝2，△AED 在旋转过程中，存在△ACD 为直角三角形，请直接写出线段CD 的长．类型二图形面积关系问题(2017·河南)如图①，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． (1)观察猜想图①中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________； (2)探究证明把△AD E 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图①图② 例2题图【分析】 (1)利用三角形的中位线定理得出PM ＝12CE ，PN ＝12BD ，进而判断出BD ＝CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD ＝CE ，同(1)的方法得出PM ＝12BD ，PN ＝12BD ，即可得出PM ＝PN ，同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大＝AM ＋AN ，最后用面积公式即可得出结论．【自主解答】解：(1)∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN ＝12BD.∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM ＝12CE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴BD ＝CE ， ∴PM＝PN. ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，(2)由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC ，AD ＝AE ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD ＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理，得PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，同(1)的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE，同(1)的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD ＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴当MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN ，连接AM ，AN ，在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE＝90°，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52， ∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492.1．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E ＝30°. (1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是______________． (2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想． (3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE∥AB 交BC 于点E(如图④)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．2．已知Rt△ABC 中，BC ＝AC ，∠C＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF＝90°，将∠EDF 绕点D 旋转，它的两边分别交AC ，CB(或它们的延长线)于E ，F.当∠EDF 绕点D 旋转到DE⊥AC 于E 时，如图①所示，试证明S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC .(1)当∠EDF 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由．(2)直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系．3．(2018·郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG. (1)图中∠DCE＋∠BCG＝__________°；设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________；猜想论证：(2)如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠B＝30°，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD 平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长．4．(2018·驻马店一模)如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是______________，位置关系是______________；(2)探究证明将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．参考答案类型一针对训练1．解：(1)∵点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b ，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC ＋AB ＝a ＋b. (2)①CD＝BE ，理由：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形， ∴AD＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ∠CAD＝∠EAB AC ＝AE ，∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.②∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值，由(1)知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴线段BE 长的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4；(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，如解图①，则△APN 是等腰直角三角形， ∴PN＝PA ＝2，BN ＝AM.∵点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)， ∴OA＝2，OB ＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM的长最大值为22＋3.如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2，∴P(2－2，2)．图①图②第1题解图2．解：(1)①当α＝0°时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝（8÷2）2＋82＝4 5.∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝45÷2＝25，BD＝8÷2＝4，∴AEBD＝254＝52.②如解图①，当α＝180°时，得可得AB∥DE，∵ACAE＝BCBD，∴AEBD＝ACBC＝458＝52.(2)当0°≤α≤360°时，AEBD的大小没有变化．∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA∽△DCB， ∴AE BD ＝EC DC ＝52.图①图②图③ 第2题解图(3)①如解图②，∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵AD＝BC ，AB ＝DC ，∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD＝AC ＝4 5.③如解图③，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P ， ∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴A D ＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8， ∵点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点， ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6，由(2)，可得AE BD ＝52，∴BD＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255. 3．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝120°， ∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°. ②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE. (2)∠AEB＝90°，AE ＝BE ＋2CM. 理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ∠ACD＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴AD＝BE ，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CD E ＝∠CED＝45°. ∵点A ，D ，E 在同一直线上， ∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°. ∵CD＝CE ，CM⊥DE，∴DM＝ME. ∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME ＝CM ， ∴AE＝AD ＋DE ＝BE ＋2CM.(3)∵PD＝1，∴点P 在以点D 为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．①当点P在如解图①所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝ 3.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°.∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得：BP＝2AH＋PD，∴3＝2AH＋1，∴AH＝3－1 2；②当点P在如解图②所示位置时，连接PD、PB、PA、作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，同理可得：BP＝2AH－PD，∴3＝2AH－1，∴AH＝3＋1 2.综上所述，点A到BP的距离为3－12或3＋12.图①图② 第3题解图4．解：(1)①∵AB＝AC ，∠BAC＝90°，线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AD＝AE ，∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE＝BD ，∠ACE ＝∠B， ∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：如解图①，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴AE＝AD ，∠DAE＝90°. ∵AB＝AC ，∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△ACE≌△ABD， ∴CE＝BD ，∠ACE＝∠B， ∴∠BCE＝90°，∴线段CE ，BD 之间的位置关系和数量关系为CE ＝BD ，CE⊥BD； (3)45°；34.过A 作AM⊥BC 于M ，过点E 作EN⊥MA 交MA 的延长线于N ，如解图②. ∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ， ∴∠DAE＝90°，AD ＝AE ，∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA， ∴NE＝AM.∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE＝90°， ∴四边形MCEN 为矩形， ∴NE＝MC ，∴AM＝MC ， ∴∠ACB＝45°. ∵四边形MCEN 为矩形， ∴Rt△AMD∽Rt△DCF， ∴MD CF ＝AMDC，设DC ＝x ， ∵在Rt△AMC 中，∠ACB＝45°，AC ＝32，∴AM＝CM ＝3，MD ＝3－x ，∴3－x CF ＝3x ，∴CF＝－13x 2＋x ＝－13(x －32)2＋34，∴当x ＝32时，CF 有最大值，最大值为34.故答案为45°，34；图①图② 第4题解图5．解：(1)①∵△A BC ，△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC.∵O 为BC 的中点，F 为AD 的中点， ∴AF＝OC.∵∠BAC＝∠AED＝90°，AB ＝AC ，AE ＝DE ， ∴∠DAE＝∠CBA＝45°， ∴AD∥BC，∴四边形AFOC 是平行四边形， ∴OF＝AC ＝22EC ，∴OF EC ＝22；故答案：22； ②∵AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°，∠DAE＝45°， ∴∠DAE＝∠CAO. ∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC，∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22；故答案：22. (2)OF ＝22EC. 理由：在等腰直角△ADE 中，F 为AD 的中点， ∴AF＝12AD ＝22AE.在等腰直角△ABC 中，O 为BC 的中点，如解图①，连接AO ， ∴AO＝22AC ，∠BAO＝∠CAO＝45°. ∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAO，即∠DAO＝∠CAE. ∵AE＝AC ， ∴AF＝AO ， ∴AF AE ＝AO AC， ∴△AFO∽△AEC， ∴OF EC ＝AO AC ＝22； (3)∵△ABC 和△AED 是两个全等的等腰直角三角形， ∴AD＝BC ＝2， ∴ED＝AE ＝AB ＝AC ＝1，当△ACD 为直角三角形时，分两种情况：图①图②图③ 第5题解图①当AD 与AB 重合时，如解图②，连接CD. 当△ACD 为直角三角形时，AD⊥AC，即将△ADE 绕点A 逆时针旋转45°. ∵AD＝2，AC ＝1，∴由勾股定理可得CD ＝（2）2＋12＝3； ②当AE 与AC 重合时，如解图③，当△ACD 为直角三角形时，AC⊥CD，即将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°，此时CD ＝AC ＝1. 综上所述，CD 的长为3或1. 类型二针对训练1．解：(1)①△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上， ∴AC＝CD.∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°. ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴CD＝AC ＝12AB ，∴BD＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC ，AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2； (2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到， ∴BC＝CE ，AC ＝CD ，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∵∠ACN＋∠ACE＝180°， ∴∠ACN＝∠DCM.在△ACN 和△DCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACN＝∠DCM，∠N＝∠CMD＝90°，AC ＝CD∴△ACN≌△DCM(AAS)， ∴AN＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；第1题解图(3)如解图，过点D 作DF 1∥BE 交BA 于点F 1，易求得四边形BEDF 1是菱形，∴BE＝DF 1，且BE ，DF 1边上的高相等，此时S△DCF 1＝S △BDE ；过点D 作DF 2⊥BD.∵∠ABC＝60°，F 1D∥BE 交BA 于点F 2， ∴∠F 2F 1D ＝∠ABC＝60°.∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝12∠ABC＝30°，∠F 2DB ＝90°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC＝60° ∴△DF 1F 2是等边三角形， ∴DF 1＝DF 2.∵BD＝CD ，∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点， ∴DBC＝∠DCB＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－∠BCD＝180°－30°＝150°， ∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°， ∴∠CDF 1＝∠CDF 2. 在△CDF 1和△CDF 2中， ⎩⎪⎨⎪⎧DF 1＝DF 2∠CDF 1＝∠CDF 2CD ＝CD， ∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS)，∴点F 2也是所求的点． ∵∠ABC＝60°，点D 是角平分线上一点，DE∥AB， ∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝12×60°＝30°.又∵BD＝4，∴BE＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833.故BF 的长为433或833.2．解：当∠EDF 绕D 点旋转到DE⊥AC 时，四边形CEDF 是正方形；设△ABC 的边长AC ＝BC ＝a ，则正方形CEDF 的边长为12a ，∴S △ABC ＝12a 2，S 正方形CEDF ＝(12a)2＝14a 2，即S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC ；(1)上述结论成立；理由如下：连接CD ，如解图①所示．∵AC＝BC ，∠ACB＝90°，D 为AB 中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝12∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD ＝12AB ＝BD ，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90° ∵∠EDF＝90°， ∴∠1＝∠2，在△CDE 和△BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2CD ＝BD∠DCE＝∠B， ∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴S △DEF ＋S △CEF ＝S △ADE ＋S △BDF ＝12S △ABC ；图①图② 第2题解图(2)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC ；理由如下：连接CD ，如解图②所示，同(1)得：△DEC≌△DFB，∠DCE＝∠DBF ＝135°， ∴S △DEF ＝S 五边形DBFEC ， S △CFE ＋S △DBC ，＝S △CFE ＋12S △ABC ，∴S △DEF －S △CFE ＝12S △ABC .∴S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的关系是S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC .3．解：(1)如解图①中，∵四边形ABCD 、EFGC 都是正方形， ∴∠BCD＝∠ECG＝90°.∵∠BCG＋∠BCD＋∠DCE＋∠ECG＝360°， ∴∠BCG＋∠ECD＝180°.图①图②图③ 第3题解图如解图①，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点G 作GN⊥BN 交BN 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵四边形ABCD 和四边形ECGF 均为正方形， ∴∠BCD＝∠DCN＝∠ECG＝90°，CB ＝CD ，CE ＝CG ，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2， ∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠GNC ∠1＝∠3EC ＝CG， ∴△CME≌△CNG(ASA)， ∴EM＝GN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CB·GN，∴S 1＝S 2；故答案为180°，S 1＝S 2； (2)猜想：S 1＝S 2，证明：如解图②，过点E 作EM⊥DC 于点M ，过点B 作BN⊥GC 交GC 的延长线于点N ， ∴∠EMC＝∠N＝90°.∵矩形CGFE 由矩形ABCD 旋转得到的， ∴CE＝CB ，CG ＝CD ，∵∠ECG＝∠ECN＝∠BCD＝90°，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3. 在△CME 和△CNB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EMC＝∠BNC ∠1＝∠3EC ＝CB， ∴△CME≌△CNB(AAS)． ∴EM＝BN.又∵S 1＝12CD·EM，S 2＝12CG ·BN ，∴S 1＝S 2;(3)如解图③，作DM⊥AC 于M ，延长BA ，交EC 于N ， ∵AB＝AC ＝10 cm ，∠B＝30°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝120°，根据翻折的性质，得∠ACE＝∠ACB＝30°， ∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE＝30°， ∴∠BAD＝90°，DM ＝12AD ，∴BN⊥EC.∵AD＝tan∠ABD·AB，AB ＝10 cm ， ∴AD＝tan 30°×10＝103 3 (cm)，∴DM＝12×1033＝533(cm)．∵S △ABP ＝12AB·PN，S △ADC ＝12AC·DM，S △ABP ＝S △ADC ，AB ＝AC ，∴PN＝DM ＝533.在Rt△ANC 中，∠ACN＝30°，AC ＝10 (cm)， ∴NC＝cos∠ACN·AC＝cos 30°×10＝53(cm)． ∵在EC 上到N 的距离等于533的点有两个，∴P′C＝103 3 cm ，P ″C ＝203 3 cm.∴CP 的长为103 3 cm 或203 3 cm.4．解：(1)PM ＝PN ，PM⊥PN，理由如下：如解图①，延长AE 交BD 于O ， ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠ACB＝∠ECD＝90°. 在△ACE 和△BCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE＝BD ，∠EAC＝∠CBD，∵∠EAC＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEO， ∴∠CBD＋∠BEO＝90°， ∴∠BOE ＝90°，即AE⊥BD，∵点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点，点P 为AD 的中点， ∴PM＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM＝PN.∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∠EAC＋∠BDC＝90°， ∴∠MPA＋∠NPC＝90°，∴∠MPN＝90°，即PM⊥PN.图①图② 第4题解图(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下：如解图②，设AE 交BC 于点O. ∵△ACB 和△ECD 是等腰直角三角形， ∴AC＝BC ，EC ＝CD ，∠AC B ＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD， ∴∠BHO＝∠ACO＝90°.∵点P ，M ，N 分别为AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM＝12BD ，PM∥BD，PN ＝12AE ，PN∥AE，∴PM＝PN ，∴∠MGE＋∠BHA＝180°， ∴∠MGE＝90°， ∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN，即△PMN 为等腰直角三角形．(3)由(2)可知△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝12BD ，∴当BD 的值最大时，PM 的值最大，△PMN 的面积最大， ∴当B ，C ，D 共线时，BD 的最大值为BC ＋CD ＝6， ∴PM＝PN ＝3，∴△PMN 面积的最大值为12×3×3＝92.。

2021年中考数学总复习直线形综合类比探究型专题训练(不用相似)(含答案与解析)

类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）【类型1】通过位置变化（图形变换）进行类比探究〖例1〗已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝；此时△COD是三角形（填特殊三角形的名称）．（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜β≤360°）．①求证：AC＝BD；②当旋转角β为何值时，OC∥AB，并说明理由；③当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长．〖例2〗现有与菱形有关的三幅图，如图：（1）（感知）如图①，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连结AE、EF、AF．若AC＝2，则CE+CF的长为．（2）（探究）如图②，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连结EF．若BC＝2，求CE+CF的长．（3）（应用）在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC延长线上的点，连结AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD延长线于点F，连结EF．若BC＝2，EF⊥BC时，借助图③求△AEF的周长．〖尝试练习〗1．如图1，等边△ABC与等边△BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB＝2√2，BD＝2．现将等边△BDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2，直线AD、CE相交于点P．（1）在等边△BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，并说明理由；（2）在等边△BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；（3）在等边△BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长．2．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD 为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）探究猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC、CD、CF之间的数量关系为：；（2）深入思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2√2，CD＝14BC，请求出OC的长．3．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A，且正方形AEFG的边AE，AG分别在正方形ABCD的边AB，AD上，显然BE＝DG，BE⊥DG．（1）将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置．求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；（2）如图3，若点D，G，E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，求BE的长．【类型2】通过形状变化进行类比探究〖例3〗如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α，得到AE，连接DE，CE．（1）求证：CE＝BD；（2）若α＝60°，其他条件不变，如图2．请猜测线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）若α＝90°，其他条件不变，如图3，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．〖例4〗如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PC＝PE，PF交CD于点F．（1）求证：∠PCD＝∠PED；（2）连接EC，求证：EC＝√2AP；（3）如图2，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他条件不变，当∠DAB＝60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系．〖尝试练习〗4．已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D，C点在DE上，且∠ADC＝∠EDG，连接AE，CG，如图1．（1）试猜想AE与CG有怎样的数量关系（直接写出关系，不用证明）；（2）将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果∠ADC＝∠EDG＝90°，如图3，你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．5．已知在平行四边形ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O，联结DE．（1）如图1，求证：AC∥DE；（2）如图2，如果∠B＝90°，AB＝√3，BC＝√6，求△OAC的面积；（3）如果∠B＝30°，AB＝2√3，当△AED是直角三角形时，求BC的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）求证：四边形ECFG是菱形；（2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长．【自主反馈】7．如图1，△ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD＝AE，AD与CE交于点F．（1）求∠DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．①补全图形（图2中完成）；②用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．8．已知△ABC是等腰三角形．（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．①求∠AED的度数；②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D．（1）如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；（2）如图2，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：DF＝BE；（3）如图3，点B、C的坐标分别是（0，0），（0，2），点Q是线段AC上的一个动点，点M是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得△CQM为等腰三角形且△AQM为直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图②，B'E与AC交于点F，DB'∥BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；②连接B'C，则△B'FC的形状为；（3）如图③，则△CEF的周长为．11．已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．12．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求CG的长．（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．13．我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．重温定理，识别图形（1）如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF”，此时DE与DF在同一直线上且DE＝12DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与DF的关系是，于是推导出了“DE∥BC，DE＝12BC”．寻找图形，完成证明（2）如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH＝90°，连接CF、CH．求证CF＝√2BE．构造图形，解决问题（3）如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC＝∠AEF＝120°，连接BE、CF．直接写出CF与BE的数量关系．类比探究型几何综合题专题训练（不用相似）答案与解析〖例1〗解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，∴△COD是等边三角形，答案为：60°，等边；（2）①∵△COD是等边三角形，∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，如图2﹣1，当点C在点O的下方时，若OC∥AB，∴∠ABO＝∠BOC＝60°，∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，综上所述：β＝60°或240°；③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA 中点，∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∵OE⊥CD，OC＝OD，∴CE＝DE＝1，∴OE＝√OC2−CE2＝√3，∴AE＝√OA2−OE2＝√13，∴AC＝AE+CE＝1+√13＝BD；如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝√13，∴AC＝BD＝√13﹣1，综上所述：BD＝√13+1或√13﹣1．〖例2〗解：（1）感知：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AB＝2，∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴CE＝12BC，CF＝12CD＝1，∴CE+CF＝2．故答案为：2．（2）探究：如图，连结AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴CE+CF＝BC＝2．（3）应用：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠CAD＝∠B＝60°．∵∠EAF＝60°，∴∠CAD﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE．∴∠CAE＝∠DAF．∵∠ACE＝∠ADF，AC＝AD∴△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形，∵EF⊥BC，∠ECF＝60°，∴CF＝2CE，∵CD＝BC＝2，∴CE＝2，∴EF=√CF2−CE2=2√3，∴△AEF的周长为6√3．〖尝试练习〗1．解：（1）AD＝CE，理由：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∴△ABD ≌△CBE （SAS ），∴AD ＝CE ；（2）如图2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，在Rt △BHD 中，BD ＞BH ，∴当点D ，H 重合时，BD ＝BH ，∴BH ≤BD ，∴当BD ⊥AD 时，点B 到直线AD 的距离最大，∴∠EDP ＝90°﹣∠BDE ＝30°，同（1）的方法得，△ABD ≌△CBE （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BDA ＝90°，EC ＝AD ，在Rt △ABD 中，BD ＝2，AB ＝2√2，根据勾股定理得，AD ＝√AB 2−BD 2＝2， ∴CE ＝2，∵∠BEC ＝90°，∠BED ＝60°， ∴∠DEP ＝90°﹣60°＝30°＝∠EDP ，∴DP ＝EP ，如图2﹣1，过点P 作PQ ⊥DE 于Q ， ∴EQ ＝12DE ＝1，在Rt △EQP 中，∠PEQ ＝30°， ∴EP ＝EQcos ∠DEP ＝2√33， ∴PC ＝2−2√33；（3）①当点D 在AE 上时，如图3，∴∠ADB ＝180°﹣∠BDE ＝120°，∴∠BDE ＝60°，过点B 作BF ⊥AE 于F ，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，BD ＝2， ∴DF ＝1，BF ＝√3，在Rt △ABF 中，根据勾股定理得，AF ＝√AB 2−BF 2＝√5，AD ＝AF ﹣DF ＝√5﹣1，∴CE ＝AD ＝√5﹣1； ②当点D 在AE 的延长线上时，如图4，同①的方法得，AF ＝√5，DF ＝1，∴AD ＝AF +DF ＝√5+1，∴CE ＝AD ＝√5+1，即满足条件的CE 的长为√5+1和√5﹣1． 2．解：（1）①正方形ADEF 中，AD ＝AF ， ∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ACB +∠ACF ═45°+45°＝90°，即BC ⊥CF ；②△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD +CD ， ∴BC ＝CF +CD ；故答案为：BC ＝CF +CD ；（2）CF ⊥BC 成立；BC ＝CD +CF 不成立，CD ＝CF +BC ．理由如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB=AC ， ∴△DAB ≌△FAC （SAS ），∴∠ABD ＝∠ACF ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°．∴∠ABD ＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝135°﹣45°＝90°，∴CF ⊥BC ．∵CD ＝DB +BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF +BC ．（3）过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ， ∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2√2， ∴BC ＝4，∴CD ＝14BC ＝1，∴BD ＝5，由（2）同理可证得△DAB ≌△FAC ，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴OD ＝OF ，∵∠DCF ＝90°，∴DF ＝√CD 2+CF 2＝√26，∴OC ＝√262．3．证明：（1）如图2，延长DG交BE于H，∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AG＝AE，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠C+∠CBA+∠ABE+∠BHD+∠CDH＝360°，∴90°+90°+∠ADG+∠CDH+∠BHD＝360°，∴∠BHD＝90°，∴DG⊥BE；（2）如图3，连接BD，∵正方形ABCD的边长是4√2，正方形AEFG的边长为3√2，∴BD＝√2AD＝8，GE＝√2AE＝6，∵BD2＝DE2+BE2，∴64＝（6+BE）2+BE2，∴BE＝√23﹣3．〖例3〗证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转α，∴AD＝AE，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE；（2）AC＝CD+CE，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，由（1）可知：BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CD+CE；（3）∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△BAD≌△CAE∴∠ACE＝∠ABC＝45°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2．〖例4〗（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，又∵PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠PAD＝∠PCD，AP＝CP，∵PC＝PE，∴AP＝PE，∴∠PAD＝∠PED，∴∠PCD＝∠PED；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，由（1）知，∠PCD＝∠PED，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠CFP﹣∠PCD＝180°﹣∠EFD﹣∠PED，即∠CPF＝∠EDF＝90°，∵PC＝PE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC＝√2CP，由（1）知，AP＝CP，∴EC＝√2AP；（3）解：AP＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP ＝60°，∠BAD＝∠BCD，∠EDC＝∠DAB＝60°，又∵PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA ＝PC，∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PC＝PE，∴PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP，∴∠DCP ＝∠AEP，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠CFP﹣∠PCF＝180°﹣∠EFD﹣∠AEP，即∠CPF＝∠EDF＝60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC＝EC，∴EC＝AP，〖尝试练习〗4．解：（1）AE＝CG，理由如下：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，∴DA＝DC，DE＝DG，又∵∠ADE=∠CDG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（2）成立，理由如下：∵∠ADC＝∠EDG，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDG﹣∠EDC，即∠ADE＝∠CDG，又∵DA＝DC，DE＝DG，∴△DAE≌△DCG（SAS），∴AE＝CG；（3）AE⊥CG，理由如下：延长线段AE、GC交于点H，∵AD∥BC，∴∠CEH＝∠DAE，由（2）可知，△DAE ≌△DCG ，∴∠DAE ＝∠DCG ，∴∠CEH ＝∠DCG ， ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠ECH +∠DCG ＝90°，∴∠ECH +∠CEH ＝90°，∴∠CHE ＝90°，∴AE ⊥CG ． 5．（1）证明：由折叠的性质得：△ABC ≌△△ AEC ，∴∠ACB ＝∠ACE ，BC ＝EC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ．∴EC ＝AD ，∠ACB ＝∠CAD ，∴∠ACE ＝∠CAD ，∴OA ＝OC ，∴OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED ，∵∠AOC ＝∠DOE ，∴∠CAD ＝∠ACE ＝∠OED ＝∠ODE ，∴AC ∥DE ；（2）解：∵平行四边形ABCD 中，∠B ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠CDO ＝90°，CD ＝AB ＝√3，AD ＝BC ＝√6，由（1）得：OA ＝OC ，设OA ＝OC ＝x ，则OD ＝√6﹣x ，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：（√3）2+（√6﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝3√64，∴OA ＝3√64， ∴△OAC 的面积＝12OA ×CD ＝12×3√64×√3＝9√28；（3）解：分两种情况：①如图3，当∠EAD ＝90°时，延长EA 交BC 于G ，∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ， ∵AD ∥BC ，∠EAD ＝90°，∴∠EGC ＝90°， ∵∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴∠AEC ＝30°， ∴GC ＝12EC ＝12BC ，∴G 是BC 的中点，在Rt △ABG中，BG ＝√32AB ＝3，∴BC ＝2BG ＝6；②如图4，当∠AED ＝90°时∵AD ＝BC ，BC ＝EC ，∴AD ＝EC ，由折叠的性质得：AE ＝AB ，∴AE ＝CD ，又∵AC=AC ，∴△ACE ≌△CAD （SSS ）， ∴∠ECA ＝∠DAC ，∴OA ＝OC ，∴OE ＝OD ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AED ＝∠CDE ， ∵∠AED ＝90°，∴∠CDE ＝90°，∴AE ∥CD ，又∵AB ∥CD ，∴B ，A ，E 在同一直线上， ∴∠BAC ＝∠EAC ＝90°，∵Rt △ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝2√3，∴AC ＝√33AB ＝2，BC ＝2AC ＝4；综上所述，当△AED 是直角三角形时，BC 的长为4或6．6．证明：（1）∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠CFE ，∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CE ＝CF ，又∵四边形ECFG 是平行四边形， ∴四边形ECFG 为菱形；（2）△BDG 是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∠BCF ＝120°，由（1）知，四边形CEGF 是菱形，∴CE ＝GE ，∠BCG ＝12∠BCF ＝60°，∴CG ＝GE ＝CE ，∠DCG ＝120°，∵EG ∥DF ，∴∠BEG ＝120°＝∠DCG ，∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，∵AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，∴∠BAE ＝∠AEB ，∴AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴△BEG ≌△DCG （SAS ），∴BG ＝DG ，∠BGE ＝∠DGC ，∴∠BGD ＝∠CGE ，∵CG ＝GE ＝CE ，∴△CEG 是等边三角形， ∴∠CGE ＝60°，∴∠BGD ＝60°，∵BG ＝DG ， ∴△BDG 是等边三角形；（3）如图2中，连接BM ，MC ，∵∠ABC ＝90°，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝10，AD＝24，∴BD＝√AB2+AD2＝26，∴DM＝√22BD＝13√2．【自主反馈】7．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，∵∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DFC＝∠ACE+∠DAC＝60°；（2）①根据题意补全图形如图2所示：②线段BE与CQ的数量关系为：CQ＝12BE；理由如下：∵CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，∴CE＝CP，∠ECP＝120°，∵∠DFC＝60°，∴AD∥CP，∴∠ADC＝∠DCP，∵△ABD≌△CAE，∴CE＝AD，∴AD＝CP，∴△ADQ≌△PCQ（AAS），∴CQ＝DQ＝12CD，∵AB＝BC，BD＝AE，∴BE＝CD，∴CQ＝12BE．8．解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，∴∠D＝12（180°﹣∠BAD）＝15°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝30°，∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；②BD＝2CE+√2AE；证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CE，过点A作AF⊥AE交DE于F，∴∠EAF＝90°，由旋转知，∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAF，由①知，∠AED＝45°，∴∠AFE＝45°＝∠AEF，∴AE＝AF，∴EF＝√2AE，∵AC＝AD，∴△ACE≌△ADF（SAS），∴DF＝CE，∴BD＝BE+EF+DF＝CE+√2AE+CE ＝2CE+√2AE．9．解：（1）∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°﹣30°）＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠EDA＝15°；（2）连接BF，∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝12AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE ＝BF ，延长BF 交AE 于点G ，则∠BGE ＝∠GBA +∠BAG ＝90°， ∴∠BGE ＝∠DEA ，∴BF ∥ED ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DF ＝BE ；（3）∵点B 、C 的坐标分别是（0，0），（0，2）， ∴BC ＝2，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°， ∴AC ＝4，AB ＝2√3，若∠QMA ＝90°，CQ ＝MQ 时，如图3，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°，∴AQ ＝2x ，AM ＝√3x ， ∴AC ＝x +2x ＝3x ＝4，∴x ＝43，∴AM ＝43√3，∴BM ＝AB ﹣AM ＝2√3﹣4√33＝2√33，∴点M （2√33，0）；若∠AQM ＝90°，CQ ＝QM 时，如图4，设CQ ＝QM ＝x ，∠CAB ＝30°， ∴AQ ＝√3x ，AM ＝2x ， ∴AC ＝x +√3x ＝4，∴x ＝2√3﹣2，∴AM ＝4√3﹣4， ∴BM ＝2√3﹣（4√3﹣4）＝4﹣2√3， ∴点M （4﹣2√3，0）；综上所述：M （2√33，0）或（4﹣2√3，0）．10．（1）解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5（2）①证明：由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，B 'E ＝BE ，∠B 'DE ＝∠BDE ，∵DB '∥BC ，∴∠B 'DE ＝∠BED ，∴∠BDE ＝∠BED ，∴BD ＝BE ，∴B 'D ＝BE ，∴四边形BDB 'E 是平行四边形，又∵B 'D ＝BD ，∴四边形BDB 'E 为菱形；②解：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝BD ，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵DB '∥BC ，∴DB '⊥AC ，∴∠ACB '＝90°﹣∠DB 'C ，由①得：四边形BDB 'E 为菱形， ∴AB ∥B 'E ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥B 'E ，∴∠EB 'C ＝90°﹣∠DCB '，∴∠ACB '＝∠EB 'C ， ∴FB '＝FC ，即△B 'FC 为等腰三角形；（3）解：连接B 'C ，如图③所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，∴BC ＝√22AB ＝5√2，∠B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，∠ACD ＝12∠ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，∠B '＝∠B ＝45°，∴CD ＝B 'D ，∴∠DCB '＝∠DB 'C ，∴∠FCB '＝∠FB 'C ，∴CF ＝B 'F ，∴△CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝5√2； 11．解：（1）BH ⊥HE ，BH ＝HE ；理由如下：延长EH 交AB 于M ，如图1所示： ∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴AB ∥CD ∥EF ，AB ＝BC ，CE ＝FE ，∠ABC ＝90°，∴∠AMH ＝∠FEH ，∵H 是AF 的中点，∴AH ＝FH ，∴△AMH ≌△FEH （AAS ）， ∴AM ＝FE ＝CE ，MH ＝EH ，∴BM ＝BE ， ∵∠ABC ＝90°，∴BH ⊥HE ，BH ＝12ME ＝HE ；（2）结论仍然成立．BH ⊥HE ，BH ＝HE ．理由如下：延长EH 交BA 的延长线于点M ，如图2所示：∵四边形ABCD 是正方形，四边形EFGC 是正方形，∴∠ABE ＝∠BEF ＝90°，AB ＝BC ，AB ∥CD ∥EF ，CE ＝FE ，∴∠HAM ＝∠HFE ，∴△AHM ≌△FHE （ASA ），∴HM ＝HE ，AM ＝EF ＝CE ，∴BM ＝BE ，∵∠ABE ＝90°， ∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝EH ；（3）延长EH 到M ，使得MH ＝EH ，连接AH 、BH ，如图3所示：同（2）得：△AMH ≌△FEH （SAS ），∴AM ＝FE ＝CE ，∠MAH ＝∠EFH ， ∴AM ∥BF ，∴∠BAM +∠ABE ＝180°，∴∠BAM +∠CBE ＝90°，∵∠BCE +∠CBE ＝90°∴∠BAM ＝∠BCE ，∴△ABM ≌△CBE （SAS ），∴BM ＝BE ，∠ABM ＝∠CBE ，∴∠MBE ＝∠ABC ＝90°，∵MH ＝EH ，∴BH ⊥EH ，BH ＝12EM ＝MH ＝EH ，在Rt △CBE 中，BE ＝√CB 2−CE 2＝12，∵BH ＝EH ，BH ⊥EH ，∴BH ＝√22BE ＝6√2．12．解：（1）GF ＝GC ．理由如下：如图1，连接GE ， ∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠B ＝90°，∴∠EFG ＝90°，∴Rt △GFE ≌Rt △GCE （HL ），∴GF ＝GC ；（2）设GC ＝x ，则AG ＝4+x ，DG ＝4﹣x ，在Rt △ADG 中，62+（4﹣x ）2＝（4+x ）2，解得x ＝94．∴GC ＝94；（3）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接FC ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∠B ＝∠AFE ，∴EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠ECF ，∵矩形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ， ∵∠ECD ＝180°﹣∠D ，∠EFG ＝180°﹣∠AFE ＝180°﹣∠B ＝180°﹣∠D ，∴∠ECD ＝∠EFG ，∴∠GFC ＝∠GFE ﹣∠EFC ＝∠ECG ﹣∠ECF ＝∠GCF ，∴∠GFC ＝∠GCF ，∴FG ＝CG ；即（1）中的结论仍然成立．13．解：（1）∵AE ＝CE ，DE ＝EF ，∠AED ＝∠CEF ，∴△AED ≌△CEF （SAS ）， ∴AD ＝CF ，∠ADE ＝∠F ，∴BD ∥CF ，∵AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴DF ＝BC ，DF ∥BC ，（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，即∠ABE +∠CBE ＝90° ∵△BEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝2BE ＝2BH ，∠BEH ＝∠BHE ＝45°， ∠EBH ＝90°，即∠CBH +∠CBE ＝90° ∴∠ABE ＝∠CBH ， ∴△ABE ≌△CBH （SAS ）， ∴AE ＝CH ，∠AEB ＝∠CHB ，∴∠CHE ＝∠CHB ﹣∠BHE ＝∠CHB ﹣45°＝∠AEB ﹣45°， ∵四边形AEFG 是正方形， ∴AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，∴EF ＝HC ，∠FEH ＝360°﹣∠AEF ﹣∠AEB ﹣∠BEH ＝225°﹣∠AEB ， ∴∠CHE +∠FEH ＝∠AEB ﹣45°+225°﹣∠AEB ＝180°， ∴EF ∥HC 且 EF ＝HC ， ∴四边形EFCH 是平行四边形， ∴CF ＝EH ＝√2BE ；（3）CF＝√3BE，如图，过点B作BH，使∠EBH＝120°，且BH＝BE，连接EH、CH，则∠BHE＝∠BEH＝30°，∵∠ABC＝∠EBH＝120°，∴∠ABE＝∠CBH，∵AB＝BC，BE＝BH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，∵∠CHE＝∠CHB﹣∠BHE＝∠AEB﹣30°，∠FEH＝360°﹣∠AEF﹣∠AEB﹣∠BEH＝210°﹣∠AEB，∴∠CHE+∠FEH＝180°，∴CH∥EF且CH＝EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴CF＝EH，过B作BN⊥EH于N，在△EBH中，∠EBH＝120°，BH＝BE，∴∠BEN＝30°，EH＝2EN，BE，∴EN＝√32∴EH＝√3BE，∴CF＝EH＝√3BE．。

类比探究

B N
1 BP BN AM PN 2 2
M
C
2012年河南中考22题（10分）
类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于
AF CD 点G。若 3，求的值 . EF CG
学习目标
1.通过对2014年中考22题第1、2问的分析，能抓住前两问之间的联系，利用相同的几何模型，能对边角关系进行正确的转化； 2.通过对2014年中考22题第3问的分析,能运用类比的方法，变未知为已知.
一、引例已知：如图， ∠AOB= ∠COD, AO=BO, CO=DO, 根据已知条件你能得出哪些相等的线段和角？并说明理由.
如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1) 中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 △BDC和△AEC 中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.
2013年河南中考22题（10分）
课堂小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？
作业布置：
完成2012年和2013年中考22题的书面详解.
同学们，只要你们认真审题，分析条件，仔细观察图形之间存在的联系，从而找到正确的解题思路和规律，类比探究这个“拦路虎”在你们中考的路上就会成为一个“纸老虎”，相信通过不断地练习与反思总结，你们一定能提高做题的准确率和速度！祝你们成功！
变式：等腰三角形，
AC=BC,DC=EC, （1）问题发现 ∠ACB=∠DCE，如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、 D、E在同一直线上，连接BE.

数学中考类比探究解析

类比探究一．解答题（共10小题）1．（2011•南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．2．（2015•河北模拟）问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE=AD ，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G ，如图所示，有=，=，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S四边形ABEC与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．3．（2014•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．4．（2014•汕头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC 上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．5．（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．6．（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t ＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．7．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．8．（2012•烟台）（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）9．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA 交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．卷类比探究参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2011•南平）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的性质．专题：压轴题．分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF，∠B=∠EFA，利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG，即可得出答案；（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．解答：解：（1）猜想线段GF=GC，证明：连接EG，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，∴△ECG≌△EFG（HL），∴FG=CG；（2）（1）中的结论仍然成立．证明：连接EG，FC，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∠B=∠AFE，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵矩形ABCD改为平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECD=180°﹣∠D，∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D，∴∠ECD=∠EFG，∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF，∴∠GFC=∠GCF，∴FG=CG；即（1）中的结论仍然成立．点评：此题主要考查了矩形的性质与平行四边形的性质以及翻折变换、全等三角形的判定等知识，根据已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解决问题的关键．2．（2015•河北模拟）问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE=AD ，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有=，=，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S 四边形ABEC与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．考点：面积及等积变换．分析：问题引入：由D是BC上一点，AE=AD，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得：，，继而求得答案；尝试探究：由AF⊥BC，EG⊥BC，易证得△EDG∽△ADB ，然后由相似三角形的性质，求得的值，再利用等底三角形的面积比等于对应高的比，即可求得的值，继而求得的值；类比延伸：由E为AD上的任一点，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得=，=，继而求得答案；拓展应用：由==，同理可得=，=，继而求得答案．解答：解：问题引入：∵在△ABC中，D是BC上一点，AE=AD，∴，，∴==；尝试探究：∵AE=AD，∴=，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△EDG∽△ADB，∴=；∵===，∴=1﹣=；故答案为：，，；类比延伸：=，∵E为AD上的一点，∴=，=，∴==；拓展应用：∵==，同理：=，=，∴==2．点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2014•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）易得点P的坐标是（2，1），即可得到PA的长．（2）易证∠AOB=45°，由角平分线的性质可得PM=PN，然后通过证明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．（3）可分点P在线段OB的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．易证PA：PC=PN：PM，设OA=x，只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出PA：PC的值．解答：解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1），∴点P的坐标是（2，1）．∴PA的长为2；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示．∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等，∴OA=AB．∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．∵∠AOC=90°，∴∠POC=45°．∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．∵∠APC=90°．∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．在△ANP和△CMP中，，∴△ANP≌△CMP．∴PA=PC．∴PA：PC的值为1：1；（3）①若点P在线段OB的延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图2所示．∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴．∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．∵AP⊥PC，∴EP=CP．∵PM∥y轴，∴AF=CF，OM=CM．∴FM=OA．设OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴，∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM=x．∴PM=x．∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．∵∠AOC=90°，∴OC=x．∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四边形PMON是矩形．∴PN=OM=x．∴PA：PC=PN：PM=x ：x=．②若点P在线段OB的反向延长线上，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，PM与直线AC的交点为F，如图3所示．同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．∴PN=OM=OC=x．∴PA：PC=PN：PM=x ：x=．综上所述：PA：PC 的值为或．点评：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，综合性非常强．4．（2014•汕头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC 上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t ＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．专题：几何综合题；压轴题；动点型．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得：EF=10﹣t．S△PEF =EF•DH=（10﹣t）•2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t ＜），∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．（3）解：存在．理由如下：①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t．∵PF∥AD，∴，即，解得t=；③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴，即，解得BM=t，∴PM=BP﹣BM=3t ﹣t=t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2．∵FN∥AD，∴，即，解得CN=t，∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t ﹣t=10﹣t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣t）2=t2﹣85t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣t）2=（t2）+（t2﹣85t+100）化简得：t2﹣35t=0，解得：t=或t=0（舍去）∴t=．综上所述，当t=秒或t=秒时，△PEF为直角三角形．点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．5．（2014•宁夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．考点：相似形综合题；二次函数的最值；三角形的面积；全等三角形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）利用“两角法”可以证得△PBQ与△ABC相似；（2）设BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出S与x 的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值；（3）利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2﹣AC2，易求得：BC=AC，则λ=．解答：解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B∴△PBQ∽△ABC；（2）设BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得AB=5∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，∴，即∴，S△APQ ===∴当x=时，△APQ 的面积最大，最大值是；（3）存在．∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC又∵Rt△AQP≌Rt△BQP∴AQ=QB∴AQ=QB=AC在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2﹣AC2∴BC=AC∴λ=时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式以及二次函数的最值的求法等知识点．难度较大．注意，在证明三角形相似时，充分利用公共角，在利用全等三角形的性质时，要找准对应边．6．（2014•武汉）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t ＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．考点：相似形综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC 时，=，当△BPQ∽△BCA 时，=，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出=，代入计算即可；（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8﹣CM=8﹣4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上．解答：解：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB==10cm，①当△BPQ∽△BAC时，∵=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴=，∴t=1；②当△BPQ∽△BCA时，∵=，∴=，∴t=，∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8﹣4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP，∴=，∴=，解得：t=；（3）如图，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，∵∠ACB=90°，∴DF为梯形PECQ的中位线，∴DF=，∵QC=4t，PE=8﹣BM=8﹣4t，∴DF==4，∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC=DF=4成立，∴D在过R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质等，关键是画出图形作出辅助线构造相似三角形，注意分两种情况讨论．7．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF 时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．解答：证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．8．（2012•烟台）（1）问题探究如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质；正多边形和圆．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据正方形的每一个角都是90°可以证明∠AHK=90°，然后利用平角等于180°以及直角三角形的两锐角互余证明∠D1CK=∠HAC，再利用“角角边”证明△ACH和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得D1M=CH，同理可证D2N=CH，从而得证；（2）①过点C作CG⊥AB，垂足为点G，根据三角形的内角和等于180°和平角等于180°证明得到∠H1AC=∠D1CM，然后利用“角角边”证明△ACG和△CD1M全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=D1M，同理可证CG=D2N，从而得证；②结论仍然成立，与①的证明方法相同．解答：（1）D1M=D2N ．证明：∵∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠D1CK=180°﹣90°=90°，∵∠AHK=∠ACD1=90°，∴∠ACH+∠HAC=90°，∴∠D1CK=∠HAC，在△ACH和△CD1M中，，∴△ACH≌△CD1M（AAS），∴D1M=CH，同理可证D2N=CH，∴D1M=D2N；（2）①证明：D1M=D2N成立．过点C作CG⊥AB，垂足为点G，∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180°，∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°，∠AH1C=∠ACD1，∴∠H1AC=∠D1CM，在△ACG和△CD1M中，，∴△ACG≌△CD1M（AAS），∴CG=D1M，同理可证CG=D2N，∴D1M=D2N；②作图正确．D1M=D2N还成立．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正多边形的性质，读懂题意，证明得到∠D1CK=∠HAC（或∠H1AC=∠D1CM）是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点与突破口．9．（2014•漳州）阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）（1）【理解与应用】如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF 的值为．（2）【类比与推理】如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA 交BD于点F，求PE+PF的值；（3）【拓展与延伸】如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH ，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：圆的综合题；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；探究型．分析：（1）易证：OA=OB，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．（2）易证：OA=OB=OC=0D=，然后由条件PE∥OB，PF∥AO可证△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA，从而可得==1，进而求出EP+FP=．（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF是定值．解答：解：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．∵AB=BC=2，∴AC=2．∴OA=．∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE+PF=OA=．（2）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF 的值为．（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4∵DG与⊙O相切，∴∠GDA=∠ABD．∵∠ADG=30°，∴∠ABD=30°．∴∠AOD=2∠ABD=60°．∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD=OA=4．同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．∴==1．∴=1．∴PE+PF=4．∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．点评：本题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了类比联想的能力，由一定的综合性．要求PE+PF的值，想到将相似所得的比式相加是解决本题的关键．10．（2014•河南）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE ．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质；圆周角定理．专题：综合题；压轴题；探究型．第11页（共13页）分析：（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．解答：解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）点A到BP 的距离为或．理由如下：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴AH=．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．∴=2AH﹣1．∴AH=．综上所述：点A到BP 的距离为或．第12页（共13页）点评：本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键．第13页（共13页）。

七年级下册数学中考数学类比探究实战演练(含答案)

中考数学类比探究实战演练1.（本小题4分）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE（不必证明）．（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交CD，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由．（2）如图3，在△ABC中，，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△AGD形状，并说明理由．（1）中△OMN的形状为( )∙ B.等边三角形∙ C.等腰直角三角形∙ D.含30°角的直角三角形知识点：中考数学几何中的类比探究解题思路见第2题中解析2.（本小题6分）（上接第1题）（2）中△AGD的形状为( )∙ A.等腰三角形∙ B.等边三角形∙ D.含30°角的直角三角形知识点：中考数学几何中的类比探究解题思路3.（本小题7分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：（1）问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连接AE 并延长，交BC的延长线于点F，求证：（S表示面积）．（2）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P，过点P任意作一条直线，分别交射线OA，OB于点M，N．小明在直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？并说明理由．（3）实际应用：如图3，若在道路OA，OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA，OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，）（2）中当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？( )∙ A.当直线MN旋转到与OA垂直的位置时∙ B.当直线MN旋转到与OP垂直的位置时∙ C.当直线MN旋转到与OB垂直的位置时知识点：中考数学几何中的类比探究解题思路见第4题中解析4.（本小题3分）（上接第3题）（3）中△MON的面积为( )∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.正确答案： C 你的答案：C，回答正确答题总人数：497该试题正确率：39.03%平均用时：50秒实际用时：2分37秒知识点：中考数学几何中的类比探究解题思路。

九年级类比探究

中考数学类比探究实战演练（一）三、解答题22. （10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B作BM ⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ；（2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，请直接写出AN 与CN 之间的数量关系．图1NM E DCBAADM N 图2图3N M E DCBA中考数学类比探究实战演练（二）三、解答题22. （10分）（1）【发现问题】如图1，将△AEC 旋转到△ABD ，连接BE ，CD ．求证：△EAB ∽△CAD ．（2）【问题探究】如图2，锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰三角形ABE 和等腰三角形ACD ，使AE=AB ，AD=AC ，∠BAE =∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由．（3）【解决问题】如图3，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =7cm ，BC =3cm ，以点A 为直角顶点作等腰直角三角形DAC ，连接BD ，请直接写出BD 的长．图1EDCBAACDE图2C BA图3ABC备用图图1FE DCBA中考数学类比探究实战演练（三）三、解答题22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____（用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE 的长．图3DCBA中考数学类比探究实战演练（四）图2E DCA22. （10分）已知：在△AOB 与△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°．（1）如图1，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是_________．（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）．连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点，请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．中考数学类比探究实战演练（五）O图1M D C BAO图2MD CBA图322.（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．E(A)B CDFG图1GFDCBAEEACDFG(B)图1图2图3图2EACDFG(B)图2图3图3中考数学类比探究实战演练（六）22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接MD ，MB ．（1）探究线段MD ，MB 的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDCBA图1M DCBA图2ABCDME图3中考数学类比探究实战演练（八）三、解答题22. （10分）在△ABC 中，∠A =90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE与AB 相交于点F ．（1）如图1，若点D 与点C 重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系.（2）如图2，若点D 与点C 不重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若点D 与点C 不重合，AB =kAC ，求BEFD的值（用含k 的式子表示）．C (D )AFE图1CBD AF E图2C BDAFE图3中考数学类比探究实战演练（九）三、解答题22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．mnAF CB Emn A F E CBB CEF A图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十)三、解答题22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接P A ，PB ，PC ，求P A +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，P A +PB +PC 的最小值为________．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题： ①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接P A ，PB ，PC ，求P A +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接P A ，PC ，请直接写出P A +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBEPA图2P 图3DCBA中考数学类比探究实战演练（十二）三、解答题图2图1CBD A FEM N CB DA FEMN11中考数学类比探究实战演练（七）三、解答题22. （10分）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =∠CEF =45°．（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图1）．求证：△AEG ≌△AEF ．（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图2）．求证：EF 2=ME 2+NF 2．（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．图1G FEDCB AN图2MF E DC BA 图3FEDCB A。

中考专题数学解答组与旋转有关的类比探究题

几何综合——旋转+线段1.已知∠ACD=90∘，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB.(1)问题发现如图(1)，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为，BD、AB、CB之间的数量关系为.(2)拓展探究当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想，并给予证明。

(3)解决问题当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C. D在直线MN两侧),若此时∠BCD=30∘，BD=2时，CB= .解答：(1)如图1,过点CE作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠ACB,∠BCD=90∘−∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴在四边形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360∘，∴∠BAC+∠D=180∘，∵∠CE+∠BAC=180∘，∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE+AB=DB+AB，(2)如图2,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘+∠ACB,∠BCD=90∘+∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFB,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AE−AB=DB−AB，(3)如图3,过点C作⊥CB交MN于点E，∵∠ACD=90∘，∴∠ACE=90∘−∠DCE，∠BCD=90∘−∠DCE，∴∠ACE=∠BCD，∵DB⊥MN，∴∠CAE=90∘−∠AFC,∠D=90∘−∠CFD，∵∠AFB=∠BFD，∴∠CAE=∠D，∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∵∠ECB=90∘，∴△ECB是等腰直角三角形，∴BE=AB−AE=AB−DB，∵△BCE为等腰直角三角形，∴∠BEC=∠CBE=45∘，∵∠ABD=90∘，∴∠DBH=45∘过点D作DH⊥BC，∴△DHB是等腰直角三角形，2.如图所示,平行四边形ABCD中,∠B=60∘,将一块含60∘的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转,且60∘角的顶点始终与点C重合,角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F(不包括线段的端点).(1)问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系，请证明你的猜想。

专题10类比拓展探究题-2022年中考数学母题题源解密(原卷版)

专题10 类比、拓展探究题考向1 图形旋转引起的探究【母题来源】2021年中考日照卷【母题题文】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①；②直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．【试题解析】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DG DE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面积AE×DG；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积AE×DG；故答案为：或．【命题意图】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力。

中考复习数学--类比探究专题

类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________；（2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想；（3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°．（2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由．（3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________．（2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1．（3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________．（2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数．（3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补．（1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°．（1）问题发现： AGBE的值为__________．（2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________；探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。

2020年中考数学一轮复习题型09几何类比、拓展、探究题(原卷版)

题型09 几何类比、拓展、探究题一、解答题1．如图1，ABC ∆（12AC BC AC <<）绕点C 顺时针旋转得DEC ∆，射线AB 交射线DE 于点F ．（1）AFD ∠与BCE ∠的关系是；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D ，点B 与线段AC 的中点O 恰好在同一直线上，延长DO 至点G ，使OG OD =，连接GC ．①AFD ∠与GCD ∠的关系是，请说明理由；②如图3，连接,AE BE ，若45ACB ∠=o ，4CE =，求线段AE 的长度．2．（问题）如图1，在Rt ABC V 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A B 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．3．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形PQMN的边长．(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结B N′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．(3)推理：证明图2 中的四边形PQMN是正方形．(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图 3)．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为 1 的小正方形，其中a≥2 ，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4 种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2 个位置不同的2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2 ×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4 个棱长为1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2 ，b≥2 ，c≥2 ，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．5．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=;6．如图，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且2AB BC =，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ．（1）试证明DM MG ⊥，并求MBMG的值．（2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设()2090EAB αα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．7．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：()1如图1，点A B C ，，在O e 上，ABC ∠的平分线交O e 于点D ，连接AD CD ，．求证：四边形ABCD 是等补四边形；探究：()2如图2，在等补四边形ABCD 中AB AD ，＝，连接AC AC ，是否平分?BCD ∠请说明理由．运用：()3如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ＝，其外角EAD ∠的平分线交CD 的延长线于点105F CD AF ，＝，＝，求DF 的长．8．已知V ABC 内接于O e ，BAC ∠的平分线交O e 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=o 时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当90BAC ∠=o 时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC =5，BD =4，求ADAB AC+ 的值．9．如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 交于点F ，BH AB ⊥于点B ，点M 是BC 的中点，连接FM 并延长交BH 于点H ．（1）如图①所示，若30ABC ∠=o ，求证：DF BH +=；（2）如图②所示，若45ABC ∠=o ，如图③所示，若60ABC ∠=o （点M 与点D 重合），猜想线段DF 、BH 与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．10．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）11．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC BD ⊥．试证明：2222AB CD AD BC +=+；(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB V 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．12．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP FD =．（1）求AFAP的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM EB =，连接MF ，求证：MF PF =；（3）如图2，过点E 作EN CD ⊥于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ AP =，连接BQ ，BN ．将AQB ∆绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点'Q 落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点'B 是否落在线段BN 上，并说明理由．14．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，ABn BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q . ①如图2，若1n =，求证：CP BMPQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）15．⑴如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是； ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.⑵当四边形ABCD 为菱形，ADC 60∠=o ，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段上时，请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ；若 BE 1,AB 2==,直接写出线段GM 的长度.16．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD Y 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD Y 为正方形，且6AB =，则OF 的长为．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD Y 的面积为．17．如图1，在矩形ABCD 中，BC =3，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称'PAB ∆，设点P 的运动时间为()t s（1）若AB =①如图2，当点B ’落在AC 上时，显然△PCB ’是直角三角形，求此时t 的值②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB ’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB ’与直线CD 相交于点M ，且当t ＜3时存在某一时刻有结论∠P AM =45°成立，试探究：对于t ＞3的任意时刻，结论∠P AM =45°是否总是成立？请说明理由.18．在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，作CM AB ⊥交AB 于点M ，BN AC ⊥交AC 于点N ．（1）在图1中，求证：BMC CNB ∆≅∆；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作//PE AB 交CM 于点E ，作//PF AC 交BN 于点F ，求证：PE PF BM +=；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ，作//PF AC 交NB 的延长线于点F ，求证：···AM PF OM BN AM PE +=．19．问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．20．箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠∠+∠∠+∠+∠＝＝．．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠∠+∠+∠＝”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．②如图3，ABE ACE ∠∠、的2等分线（即角平分线）BF CF 、交于点F ，已知12050BEC BAC ∠=∠=o o ，，则BFC ∠=③如图4，i i BO CO 、分别为ABO ACO ∠∠、的2019等分线12320172018i =⋯（，，，，，）．它们的交点从上到下依次为1232018O O O O ⋯、、、、．已知BOC m BAC n ∠=∠=o o ，，则1000BO C ∠= 度（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，2BC CD BCD BAD =∠=∠，．O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：四边形OBCD 是菱形．21．如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当0α︒=时，AEBD= ；② 当时，AEBD= （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.22．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，.CD）24．（1）（探究发现）如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是．（2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=o 的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=o 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）（拓展延伸）如图3，120BOD =o ∠，34OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，AB =且2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=o ，求OC 的长．25．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题） ③两个大小不同的正方形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，111111AB BC CDA B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFDE 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．26．在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CFAE AF+=；（2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．如图，在等腰Rt ABC V 中，90,ACB AB ∠==o 点D ,E 分别在边AB ,BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1，若AD BD =，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =．（2）已知点G 为AF 的中点．①如图2，若,2AD BD CE ==，求DG 的长．②若6AD BD =，是否存在点E ，使得DEG △是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由．28．(1)方法选择如图①，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+. 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM …小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O e 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．29．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GF AE的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长．30．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．。

中考数学题型二类比、拓展探究题

类型1 “手拉手”模型
如图(2),当点M,C在OA下侧重合时,在Rt△ABC 中,AB2=AC2+BC2,∴(2 )2=( x)2+(x-2)2, 解得x1=-2(不合题意,舍去),x2=3,∴AC= x=3 . 综上所述,AC的长为2 或3 .
类型1 “手拉手”模型
例2 在△ABC中,∠BAC=60°. (1)如图(1),AB=AC,点P在△ABC内,且∠APC=150°,PA=3,PC=4.以AP为一边,在AP右侧作等边三角形APD,连接CD. ①依题意补全图(1);②直接写出PB的长. (2)如图(2),若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数. (3)如图(3),若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA= ,PB=5,∠APC=120°,直接写出PC的长.
类型1 “手拉手”模型
(3)PC=2.
解法提示:在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,易得∠ACB=90°,∠ABC=30°.如图(3),将
AP绕点A逆时针旋转60°,得到AE,在AE上截取AD= AP,连接DP,DC,
(根据“手拉手”相似模型4补形,已知△ABC和“拉手线”BP,补充与它相似的△APD和
类型1 “手拉手”模型
(2)如图(2), 以AP为一边,在AP的左上方作等边三角形APD,连接DC,(根据“手拉手”全等模型2补形, 已知等边三角形ABC和“拉手线”BP,补充等边三角形APD和“拉手线”CD) 可得DP=AD=AP=3,∠PAD=∠DPA=60°=∠BAC, ∴∠BAP=∠CAD, 又AB=AC,∴△APB≌△ADC, ∴CD=BP=5. 在△DPC中,DP2+CP2=32+42=52=CD2, ∴∠DPC=90°, ∴∠APC=∠DPC-∠DPA=90°-60°=30°.

类比探究—平行结构(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型①根据题干条件，结合___________________先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．结合所求目标，依据_____________，大胆猜测、尝试、验证问题2：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究属于几何综合题，类比（，，）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的．若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型①根据题干条件，结合先解决第一问．②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找．结合所求目标，依据，大胆猜测、尝试、验证答：问题2：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？答：类比探究—平行结构一、单选题(共6道，每道16分)1.现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q，则BP:PQ:QR等于( )A.3:2:1B.3:2:4C.3:1:2D.2:1:2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题2.（上接第1题）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于点P，Q，R，则BP:PQ:QR:RS等于( )A.5:1:3:2B.4:1:3:2C.5:1:4:2D.3:1:3:2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题3.（上接第1，2题）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于点P，Q，R，S，则BP:PQ:QR:RS:ST等于( )A.5:1:4:2:3B.5:1:5:2:3C.4:1:4:2:3D.5:1:4:3:2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：类比探究问题4.问题背景：已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试：如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，则HF，AH，CF之间的数量关系为( )A.HF=AH+CFB.C.HF=2AH+CFD.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质5.（上接第4题）（2）类比探究：如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC= 30°，且点D，E的运动速度之比是，则的值为( )A. B.C.2D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质6.（上接第4，5题）（3）延伸拓展：如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记，且点D，E的运动速度相等，则的值为( )（用含m的代数式表示）A.2B.C.3mD.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。

中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)

中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)类型1 类比探究的几何综合题类型2 与图形变换有关的几何综合题类型3 与动点有关的几何综合题类型4 与实际操作有关的几何综合题类型5 其他类型的几何综合题类型1 类比探究的几何综合题（2018苏州）（2018烟台）（2018东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO：CO=1:3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°， BO：OD=1:3，求DC的长．（2018长春）(第24题图1) (第24题图2) (第24题图3)（2018陕西）（2018齐齐哈尔）（2018河南）（2018仙桃）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．（2018襄阳）如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；的值为；②推断：AGBE(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图(2)所示，试探究线段AG与BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC= ．（2018淮安）（2018咸宁）（2018黄石）在△ABC 中，E 、F 分别为线段AB 、AC 上的点（不与A 、B 、C 重合）. （1）如图1，若EF ∥BC ，求证：AEF ABC S AE AFS AB AC∆∆= （2）如图2，若EF 不与BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心，34AE AB =,求AEFABC S S ∆∆的值.BBB（2018山西）（2018盐城）【发现】如图①，已知等边ABC ，将直角三角形的60角顶点D 任意放在BC 边上（点D 不与点B 、C 重合），使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F .（1）若6AB=，4AE=，2BD=，则CF=_______；（2）求证：EBD DCF∆∆.【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分BEF∠且FD平分CFE∠？若存在，求出BDBC的值；若不存在，请说明理由.【探索】如图③，在等腰ABC∆中，AB AC=，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中MON B∠=∠），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与ABC∆的顶点重合），连接EF.设Bα∠=，则AEF∆与ABC∆的周长之比为________（用含α的表达式表示）.（2018绍兴）（2018达州）（2018菏泽）（2018扬州）问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN与EC相交于点P，求tan CPN∠的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中CPN∠不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N，可得∠就变换到中Rt DMN∆.∠=∠，连接DM，那么CPNMN EC，则DNM CPN//问题解决（1）直接写出图1中tan CPN ∠的值为_________；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P ，求cos CPN ∠的值；思维拓展（3）如图3，AB BC ⊥，4AB BC =，点M 在AB 上，且AM BC =，延长CB 到N ，使2BN BC =，连接AN 交CM 的延长线于点P ，用上述方法构造网格求CPN ∠的度数.（2018常德）已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE ⊥于H ,设直线DH 交AC 于N .（1）如图14，当M 在线段BO 上时，求证：MO NO =；（2）如图15，当M 在线段OD 上，连接NE ,当//EN BD 时，求证：BM AB =；（3）在图16，当M 在线段OD 上，连接NE ,当NE EC ⊥时，求证：2AN NC AC =⋅.（2018滨州）（2018湖州）（2018自贡）如图，已知AOB 60∠=,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA OB 、相交于点D E 、 .⑴当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE OD +与OC 的数量关系，并说明理由；⑵当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD OE 、与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（2018嘉兴、舟山）O BOO B图3.（2018淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB AC =，在ABC ∆的外侧分别以,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ACE ，，分别取,BD CE ，BC 的中点,,M N G ，连接,GM GN .小明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是；位置关系是 . （2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB AC >，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由. （3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究.向ABC ∆的内侧分别作等腰直角三角形,ABD ACE ，其它条件不变，试判断GMN ∆的形状，并给与证明.类型2 与图形变换有关的几何综合题（2018宜昌）在矩形ABCD 中，12AB =，P 是边AB 上一点，把PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是点G ，过点B 作BE CG ⊥，垂足为E 且在AD 上，BE 交PC 于点F . (1)如图1，若点E 是AD 的中点，求证:AEB DEC ∆∆≌； (2) 如图2，①求证: BP BF =；②当AD 25=，且AE DE <时，求cos PCB ∠的值； ③当BP 9=时，求BE EF 的值.图1 图2 图2备用图 23.(1)证明：在矩形ABCD 中，90,A D AB DC ∠=∠==, 如图1，又AE DE =，图1∆≅∆,ABE DCE(2)如图2，图2①在矩形ABCD中，90∠=,ABC∆沿PC折叠得到GPC∆BPC∠=∠∴∠=∠=,BPC GPC PGC PBC90⊥BE CG∴,BE PG//∴∠=∠GPF PFBBPF BFP∴∠=∠∴=BP BFAD=时，②当25∠=BEC90∴∠+∠=,90AEB CED90AEB ABE ∠+∠=,CED ABE ∴∠=∠ 又90A D ∠=∠=,ABE DEC ∴∆∆∽AB DEAE CD∴=∴设AE x =，则25DE x =-，122512xx -∴=，解得19x =，216x =AE DE <9,16AE DE ∴==, 20,15CE BE ∴==,由折叠得BP PG =，BP BF PG ∴==,//BE PG , ECF GCP ∴∆∆∽EF CEPG CG∴=设BP BF PG y ===，152025y y -∴=253y ∴=则253BP = 在Rt PBC ∆中，PC =,cos 10BC PCB PC ∠=== ③若9BP =,解法一：连接GF ，（如图3）90GEF BAE ∠=∠=, //,BF PG BF PG =∴四边形BPGF 是平行四边形BP BF =,∴平行四边形BPGF 是菱形//BP GF ∴, GFE ABE ∴∠=∠, GEF EAB ∴∆∆∽EF ABGF BE∴=129108BE EF AB GF ∴==⨯= 解法二：如图2，90FEC PBC ∠=∠=,EFC PFB BPF ∠=∠=∠, EFC BPC ∴∆∆∽EF CEBP CB∴=又90BEC A ∠=∠=, 由//AD BC 得AEB EBC ∠=∠,AEB EBC ∴∆∆∽AB CEBE CB∴=AE EFBE BP∴=129108BE EF AE BP ∴==⨯=解法三：（如图4）过点F 作FH BC ⊥，垂足为HBPF PFEGS BF BFS EF PG BE∆==+四边形图41212BFC BEC S BF EF BC EFBE S BC ∆∆⋅===⨯ 912EFBE ∴=129108BE EF ∴=⨯=（2018邵阳）（2018永州）（2018无锡）（2018包头）（2018赤峰）（2018昆明）（2018岳阳）（2018宿迁）（2018绵阳）（2018南充）（2018徐州）类型3 与动点有关的几何综合题（2018吉林）（2018黑龙江龙东）（2018黑龙江龙东）（2018广东）已知Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o，如图25-1图，连接BC.（1）填空：∠OBC=_______o；（2）如图25-1图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图25-2图，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？（结果可保留根号）（2018衡阳）（2018黔东南）如图1，已知矩形AOCB，6cm s的AB cm=，动点P从点A出发，以3/=，16BC cm速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以2/cm s的速度向点B运动，与点P同时结束运动.（1）点P 到达终点O 的运动时间是________s ，此时点Q 的运动距离是________cm ；（2）当运动时间为2s 时，P 、Q 两点的距离为________cm ；（3）请你计算出发多久时，点P 和点Q 之间的距离是10cm ；（4）如图2，以点O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系，连结AC ，与PQ 相交于点D ，若双曲线ky x=过点D ，问k 的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出k 的值.（2018青岛）已知：如图，四边形ABCD ，//,AB DC CB AB ⊥，16,6,8AB cm BC cm CD cm ===，动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2/cm s .点P 和点Q 同时出发，以QA QP 、为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为()t s ，05t <<.根据题意解答下列问题：（1）用含t 的代数式表示AP ；（2）设四边形CPQB 的面积为()2S cm ，求S 与t 的函数关系式；（3）当QP BD ⊥时，求t 的值；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点E 在ABD ∠的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.（2018广州）如图12，在四边形ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数（2）连接BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系，并说明理由。

中考数学专题复习《类比探究题》

典例解析：(2015' 河南)
如图1，在RtΔABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的
中点，连接DE.将ΔDEC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为ɑ.
（1）问题发现 AE
①当ɑ=0°时，BD
；
②当
ɑ=180°时,
AE BD
.
（2）拓展探究
AE
试判断：当0°≤ ɑ <360°时，BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形
给出证明.
（3）问题解决
当ΔDEC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
A E
A
E
D
B 图1 D
CB
图2
C
A
A B
B
C
E
D
D
E
C
解决类比探究问题的一般方法：
1.根据题干条件，结合分支条件，先解决第一问； 2.用解决第一问的方法类比解决第二问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法； 3.如果有第三问，要充分利用第二问的结论以及前两问的方法类比解决第三问.
证ΔAFG≌
，故EF,BE,DF之间的数量关系
为
.
B
A
E
CF
DG
图1
（2）类比引申：如图2，点E,F分别在正
方形ABCD的边CB,DC的延长线上， ∠EAF=45°，连接EF，试猜想EF,BE,DF 之间的数量关系，并给出证明.
E
B
A
F
C
GD
图2
（3）联想拓展：如图3，在∆ABC中，
∠BAC=90°，AB=AC,点D,E均在边BC

中考数学复习课件练习：专题复习六几何综合题有答案

中考数学复习课件+练习：专题复习(六) 几何综合题（有答案）专题复习(六)几何综合题类型1类比探究的几何综合题1．(2019·岳阳)问题背景：已知∠EDF的顶点D 在△ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N.记△ADM的面积为S1，△BND 的面积为S2.(1)初步尝试：如图1，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD ＝2时，则S1·S2＝12；(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图2所示位置，求S1·S2的值；(3)延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α.(Ⅰ)如图3，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1·S2的表达式(结果用a，b和α的三角函数表示)；(Ⅱ)如图4，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．解：(1)在图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CB＝AC＝6，∠A＝∠B＝60°. ∵DE∥BC，∠EDF＝∠A＝60°，∴∠BND＝∠EDF＝60°.∴∠BDN＝∠ADM＝60°.∴△ADM，△BDN都是等边三角形．∴S1＝34×22＝3，S2＝34×42＝4 3.∴S1S2＝12.(2)在图2中，设AM＝x，BN＝y.∵∠MDB＝∠MDN＋∠NDB＝∠A＋∠AMD，∠MDN＝∠A，∴∠AMD＝∠NDB.∵∠A＝∠B，∴△AMD∽△BDN.∴AMBD＝ADBN.∴x2＝4y.∴xy＝8.∵S1＝12AD·AM sin60°＝3x，S2＝12DB·BN sin60°＝32y，∴S 1S 2＝3x·32y ＝32xy ＝12. (3)(Ⅰ)在图3中，设AM ＝x ，BN ＝y ，同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy ＝ab.∵S 1＝12AD·AM sin α＝12ax sin α， S 2＝12DB·BN sin α＝12by sin α， ∴S 1S 2＝14(ab)2sin 2α. (Ⅱ)在图4中，设AM ＝x ，BN ＝y ，同法可证△AMD ∽△BDN ，可得xy ＝ab ，∵S 1＝12AD·AM sin α＝12ax sin α， S 2＝12DB·BN sin α＝12by sin α， ∴S 1S 2＝14(ab)2sin 2α. 2．(2019·自贡)如图，已知∠AOB ＝60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA ，OB 相交于点D ，E.(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE＋OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．图1图2图3解：(1)∵OM是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝30°.∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°.∴∠OCD＝60°.∴∠OCE＝∠DCE－∠OCD＝60°.在Rt△OCD中，OD＝OC·cos30°＝32OC，同理，OE＝32OC.∴OD＋OE＝3OC.(2)(1)中的结论仍然成立．理由：过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°.∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°.同(1)的方法得OF＝32OC，OG＝32OC.∴OF＋OG＝3OC.∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB 的平分线OM上一点，∴CF＝CG.∵∠DCE＝∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG.∴△CFD≌△CGE.∴DF＝EG.∴OF＝OD＋DF＝OD＋EG，OG＝OE－EG.∴OF＋OG＝OD＋EG＋OE－EG＝OD＋OE.∴OD＋OE＝3OC.(3)(1)中的结论不成立，结论为OE－OD＝3OC.3．(2019·东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC 上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO∶CO＝1∶3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2)．请回答：∠ADB＝75°，AB＝43；(2)请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝33，∠ABC ＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求DC的长．图1图2 图3解：过点B作BE∥AD交AC于点E.∵AC⊥AD，∴∠DAO ＝∠BEO＝90°.∵∠AOD ＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB.∴BODO＝EOAO＝BEDA.∵BO∶OD＝1∶3，∴EOAO＝BEDA＝13.∵AO＝33，∴EO＝ 3.∴AE＝4 3. ∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC.∴AB＝AC＝AEcos30°＝8.∴BE＝12AB＝4，AD＝3BE＝12.在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，即82＋122＝CD2，得CD＝413. 4．(2019·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．图1图2图3图4(1)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是AD⊥CE；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理)；(3)如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE.若AB＝23，BE＝219，求四边形ADPE的面积．解：(1)提示：连接AC，延长CE交AD于点H，证明△ABP≌△ACE.(2)结论仍然成立．理由：选图2，连接AC交BD于点O，设CE交AD于点H.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD ＝∠CBD＝30°.∴AB＝AC.∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠BAC＝∠PAE＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE.∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵∠CAH＝60°，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD.(3)连接AC交BD于点O，连接CE交AD 于点H.由(2)可知，EC⊥AD，CE＝BP.在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC.∵BC＝AB＝23，BE＝219，在Rt△BCE中，EC＝（219）2－（23）2＝8.∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD. ∴BD＝2BO＝2AB·cos30°＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝8－6＝2.∴OP＝OD＋DP＝5.在Rt△AOP中，AP＝AO2＋OP2＝27，∴S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋34×(27)2＝8 3.5．(2019·烟台)【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，PC＝11，求∠APB的度数．图1图2解：【问题解决】思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，AP′＝CP＝3.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝2，∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2 BP＝2 2.∵AP＝1，∴AP2＋PP′2＝1＋8＝9.∵AP′2＝32＝9，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝90°＋45°＝135°.【类比探究】将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，∴△ABP′≌△CBP.∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1，AP′＝CP＝11.在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝1，∴∠BPP′＝45°，根据勾股定理，得PP′＝2 BP＝ 2.∵AP＝3，∴AP2＋PP′2＝9＋2＝11.∵AP′2＝(11)2＝11，∴AP2＋PP′2＝AP′2.∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°.∴∠APB＝∠APP′－∠BPP′＝90°－45°＝45°.6．(2019·黄石)在△ABC中，E，F分别为线段AB，AC上的点(不与A，B，C重合)．(1)如图1，若EF∥BC，求证：S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC；(2)如图2，若EF不与BC平行，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；(3)如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB＝34，求S△AEFS△ABC的值．图1图2图3 解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴AEAB＝AFAC.∴S△AEFS△ABC＝(AEAB)2＝AEAB·AFAC＝AE·AFAB·AC.(2)若EF不与BC平行，(1)中的结论仍然成立．分别过点F，C作AB的垂线，垂足分别为N，H.∵FN⊥AB，CH⊥AB，∴FN∥CH.∴△AFN∽△ACH.∴FNCH＝AFAC.∴S△AEFS△ABC＝12AE·FN12AB·CH＝AE·AFAB·AC.(3)连接AG并延长，交BC于点M，连接BG并延长，交AC于点N，连接M，N，则M，N分别是BC，AC的中点，∴MN∥AB，且MN＝12AB.∴GM GA ＝GN GB ＝12，且S △ABM ＝S △ACM . ∴AG AM ＝23. 设AF AC＝a ，由(2)知，S △AEG S △ABM＝AE·AG AB·AM ＝34×23＝12， S △AFG S △ACM ＝AG·AF AM·AC ＝23a ，则S △AEF S △ABC ＝S △AEG ＋S △AFG 2S △ACM ＝S △AEG 2S △ABM ＋S △AFG 2S △ACM＝14＋13a. 而S △AEF S △ABC ＝AE·AF AB·AC ＝34a ， ∴14＋13a ＝34a ，解得a ＝35. ∴S △AEF S △ABC ＝34×35＝920. 7．(2019·河南)(1)问题发现如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 相交于点M.填空：①AC BD的值为1； ②∠AMB 的度数为40°；(2)类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M.若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．图1图2 图3解：(2)AC BD＝3，∠AMB ＝90°. 理由如下：∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD＝30°，∴CODO＝AOBO＝3，∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.∴△AOC∽△BOD.∴ACBD＝CODO＝3，∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝90°，∴∠DBO＋∠ABD＋∠BAO＝90°.∴∠CAO＋∠ABD＋∠BAO＝90°.∴∠AMB＝90°.(3)AC的长为23或3 3.提示：在△OCD旋转的过程中，(2)中的结论仍然成立，即ACBD＝3，∠AMB＝90°.如图所示，点C与点M重合，AC1，AC2的长即为所求．8．(2019·淄博)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG＝NG；位置关系是MG⊥NG；(2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由；(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN 的形状，并给予证明．图1图2图3解：(1)连接BE，CD相交于点H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°.∴∠CAD＝∠BAE.∴△ACD≌△AEB(SAS)．∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE.∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°.∴∠BHD＝90°.∴CD⊥BE.∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG//12CD.同理NG//12BE.∴MG＝NG，MG⊥NG.故答案为MG＝NG，MG⊥NG.(2)连接CD，BE，相交于点H，同(1)的方法得，MG＝NG，MG⊥NG.(3)连接EB，DC，延长线相交于点H，同(1)的方法得，△ABE≌△ADC，MG＝NG.∴∠AEB＝∠ACD.∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°.∴∠DHE＝90°.同(1)的方法得，MG⊥NG.类型2与图形变换有关的几何综合题1．(2019·襄阳)如图1，已知点G在正方形ABCD 的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD, 垂足为F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为2；(2)探究与证明：将四边形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：四边形CEGF在旋转过程中，当B，E，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝22，则BC＝35．图1图2图3解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°.∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG ＝45°.∴EG＝EC.∴四边形CEGF是正方形．(2)连接CG，由旋转性质可知，∠BCE＝∠ACG＝α.在Rt△CEG和Rt△CBA中，CECG＝cos45°＝22，CBCA＝cos45°＝22.∴CGCE＝CACB＝ 2.又∵∠ECG＝∠ECA＝∠ACB－∠ECA，即∠ACG＝∠BCE，∴△ACG∽△BCE.∴AGBE＝CACB＝ 2.∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝2BE.2．(2019·仙桃)问题：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC＋EC；探索：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段AD ，BD ，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°.若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．图1图2 图3解：探索：BD 2＋CD 2＝2AD 2.连接CE.∵∠BAD ＋∠DAC ＝90°＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE.∵Rt △ABC 与Rt △ADE 是等腰直角三角形，∴DE 2＝2AD 2.∴∠B ＝45°.∴∠ACB ＋∠ACE ＝45°＋45°＝90°.∴∠DCE＝90°.∴DC2＋CE2＝DE2，即BD2＋CD2＝2AD2.应用：以AD为腰作等腰Rt△ADE，连接CE，由“探索”可知，△ABD≌△ACE(SAS)．∴CE＝BD＝9.∵∠ADC＝∠ADE＝45°，∴∠EDC＝90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE＝92－32＝6 2.在等腰Rt△ADE中，AD＝22DE＝6.3．(2019·宜昌)在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F.(1)如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；(2)如图2，①求证：BP＝BF；②当AD＝25，且AE＜DE时，求cos∠PCB 的值；③当BP＝9时，求BE·EF的值．图1 图2 图2备用图解：(1)证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，∵点E 是AD 中点，∴AE ＝DE.在△AEB 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠A ＝∠D ＝90°，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC(SAS )．(2)①证明：在矩形ABCD 中，∠ABC ＝90°. ∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC. ∵BE ⊥CG ，∴BE ∥PG.∴∠GPF ＝∠PFB.∴∠BPF ＝∠PFB.∴BP ＝BF.②当AD ＝25时，∵∠BEC ＝90°，∴∠AEB ＋∠PEC ＝90°. ∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∴∠DEC ＝∠ABE.∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DEC.∴AB AE ＝DE DC.设AE＝x，则DE＝25－x，∴12x＝25－x12.∴x＝9或x＝16.∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16.∴由勾股定理，得CE＝20，BE＝15.由折叠得，BP＝PG，BC＝GC，∴BP＝BF ＝PG.∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP.∴EFGP＝CECG.设BP＝BF＝PG＝y，∴15－yy＝2025.∴y＝253，即BP＝253.在Rt△PBC中，由勾股定理，得PC＝25103，cos∠PCB＝BCPC＝31010.③连接FG，∵∠GEF＝∠G＝90°，∴BE∥PG. ∵BF∥PG，BF＝PG＝BP，∴四边形BPGF是菱形．∴BP∥GF，且BP＝GF.∴∠GFE＝∠EBA. ∴△GEF∽△EAB.∴EFGF＝ABEB.∴BE·EF＝AB·GF＝AB·BP＝12×9＝108. 4．(2019·永州)如图1，在△ABC中，矩形EFGH 的一边EF在AB上，顶点G，H分别在BC，AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I.若CI＝4，HI＝3，AD＝92，矩形DFGI恰好为正方形．图1图2图3(1)求正方形DFGI的边长；(2)如图2，延长AB至P，使得AC＝CP.将矩形EFGH沿BP的方向平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？(3)如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG，DB相交于点M，N，求△MN G′的周长．解：(1)∵HI∥AD，∴HIAD＝CICD.∴392＝4CD.∴CD＝6.∴ID＝CD－CI＝2.∴正方形的边长为2.(2)如图2，设点G落在PC上时对应的点为点G′，点F的对应点为点F′.∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P.∵HG′∥PA，∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P.∴∠CHG′＝∠CG′H.∴CH＝CG′.∴IH＝IG′＝DF′＝3.∵IG∥DB，∴IGDB＝CICD.∴2DB＝46.∴DB＝3.∴DB＝DF′＝3.∴点B与点F′重合．∴移动后的矩形与△CBP重叠部分是三角形，即△BGG′.(3)将△DMI′绕点D顺时针旋转90°得到△DRF′，此时N，F′，R共线．∴∠MDR＝90°.∵∠NDM＝45°，∠NDM＋∠NDR＝90°，∴∠NDM＝∠NDR＝45°.∵DN＝DN，DM＝DR，∴△NDM≌△NDR.∴MN＝NR＝NF′＋RF′＝NF′＋MI′.∴△MNG′的周长＝MN＋MG′＋NG′＝NF′＋NG′＋MI′＝F′G′＋I′G′＝2I′G′＝4. 5．(2019·岳阳)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD 所在的直线对折，使点B落在点B′处，连接AB′，BB′，延长CD交BB′于点E，设∠ABC＝2α.(0°＜α＜45°)(1)如图1，若AB＝AC，求证：CD＝2BE；(2)如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系；(用含α的式子表示)(3)如图3，将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α＋45°)，得到线段FC，连接EF交BC 于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求S1S2.(用含α的式子表示)图1图2图3解：(1)证明：∵点B，B′关于EC对称，∴BB′⊥EC，BE＝EB′.∴∠DEB＝∠DAC＝90°.∵∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACD.∵AB＝AC，∠BAB′＝∠CAD＝90°，∴△BAB′≌△CAD.∴CD＝BB′＝2BE.(2)如图2，结论：CD＝2BE·tan2α.理由：由(1)可知，∠ABB′＝∠ACD，∠BAB′＝∠CAD＝90°，∴△BAB′∽△CAD.∴BB′CD＝ABAC＝1tan2α.∴2BECD＝1tan2α.∴CD＝2BE·tan2α.(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°－2α.∵EC平分∠ACB，∴∠ECB＝12(90°－2α)＝45°－α.∵∠BCF＝45°＋α，∴∠ECF＝45°－α＋45°＋α＝90°. ∴∠BEC＋∠ECF＝180°.∴BB′∥CF.∴△BEO∽△CFO.∴EOFO＝BECF＝BEBC＝sin(45°－α)．∵S1S2＝EOFO，∴S1S2＝sin(45°－α)．6．(2019·潍坊)如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB 于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB 于点F，AB＝6，DH＝4，BF∶FA＝1∶5.(1)如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B.①求四边形BHMM′的面积；②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值；(2)如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．图1图2图3解：(1)①在▱ABCD中，AB＝6，直线EF 垂直平分CD，∴DE＝FH＝3.又BF∶FA＝1∶5，∴BF＝1，FA＝5.∴AH＝2.∵Rt△AHD∽Rt△MHF，∴HMFH＝HAHD.∴HM3＝24.∴HM＝3 2.根据平移的性质，得MM′＝CD＝6，∴S四边形BHMM′＝S△BMM′＋S△BHM＝12×6×32＋12×4×32＝15 2.②连接CM交直线EF于点N，连接DN. ∴CN＝DN.∵MH＝32，∴DM＝52.在Rt△CDM中，MC2＝DC2＋DM2.∴MC2＝62＋(52)2，即MC＝132.∵MN＋DN的最小值＝MN＋CN＝MC，∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE，∴△DNM周长的最小值为9.(2)∵BF∥CE，∴QFQF＋4＝BFCE＝13.∴QF＝2.∴PK＝PK′＝6.过点K′作E′F′∥EF，分别交CD于点E′，交QK于点F′.当点P在线段CE上时，在Rt△PK′E′中，PE′2＝PK′2－E′K′2，∴PE′＝2 5.∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q，∴PE′K′F′＝E′K′F′Q.∴252＝4F′Q.∴F′Q＝45 5.∴PE＝PE′－EE′＝25－455＝655.∴CP＝CE－PE＝15－655.同理可得，当点P在线段ED上时，CP＝15＋655.综上可得，CP的长为15－655或15＋655.类型3与动点有关的几何综合题1．(2019·黄冈)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C 在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长度的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长度的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB 于点P，交对角线OB于点Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t＝2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．解：(1)当t＝2时，OM＝2，在Rt△OPM中，∠POM＝60°，∴PM＝OM·tan60°＝2 3.在Rt△OMQ中，∠QOM＝30°，∴QM＝OM·tan30°＝23 3.∴PQ ＝PM －QM ＝23－233＝433. (2)由题意，得8＋(t －4)＋2t ＝24，解得t ＝203. (3)①当0＜t ＜4时，S ＝12·2t·43＝43t ； ②当4≤t ＜203时，S ＝12×[8－(t －4)－(2t －8)]×43＝403－63t ；③当203≤t ＜8时，S ＝12×[(t －4)＋(2t －8)－8]×43＝63t －403；④当8≤t ≤12时，S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △PCN＝323－12(24－2t)×43－12×[8－(t －4)]×43－12(t －4)×32[8－(24－2t)] ＝－32t 2＋123t －56 3. 综上，S ＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧43t ；（0＜t ＜4）403－63t ；（4≤t ＜203）63t －403；（203≤t ＜8）－32t 2＋123t －56 3.（8≤t ≤12） 2．(2019·青岛)已知：如图，四边形ABCD ，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm ，CD ＝8 cm .动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动，动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm /s .点P 和点Q 同时出发，以QA ，QP 为边作平行四边形AQPE ，设运动的时间为t(s )，0＜t ＜5.根据题意解答下列问题：(1)用含t 的代数式表示AP ；(2)设四边形CPQB 的面积为S(cm 2)，求S 与t 的函数关系式；(3)当QP ⊥BD 时，求t 的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点E 在∠ABD 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则四边形DHBC 是矩形，∴CD ＝BH ＝8，DH ＝BC ＝6.∴AH ＝AB －BH ＝8，AD ＝DH 2＋AH 2＝10，BD ＝CD 2＋BC 2＝10.∴AP ＝AD －DP ＝10－2t.(2)过点P 作PN ⊥AB 于点N ，连接PB. 在Rt △APN 中，PA ＝10－2t ，∴PN ＝PA·sin ∠DAH ＝35(10－2t)，AN ＝PA·cos ∠DAH ＝45(10－2t)． ∴BN ＝16－AN ＝16－45(10－2t)， S ＝S △PQB ＋S △BCP ＝12·(16－2t)·35(10－2t)＋12×6×[16－45(10－2t)]＝65t 2－545t ＋72(0＜t ＜5)． (3)当PQ ⊥BD 时，∠PQN ＋∠DBA ＝90°， ∵∠QPN ＋∠PQN ＝90°，∴∠QPN ＝∠DBA.∴tan ∠QPN ＝QN PN ＝34.∴45（10－2t）－2t35（10－2t）＝34.解得t＝3527.经检验，t＝3527是分式方程的解，∴当t＝3527s时，PQ⊥BD.(4)存在．理由：连接BE交DH于点K，过点K作KM⊥BD于点M.当BE平分∠ABD时，△KBH≌△KBM，∴KH＝KM，BH＝BM＝8.设KH＝KM＝x，在Rt△DKM中，(6－x)2＝22＋x2，解得x＝8 3.过点E作EF⊥AB于点F，则△AEF≌△QPN，∴EF＝PN＝35(10－2t)，AF＝QN＝45(10－2t)－2t，∴BF ＝16－[45(10－2t)－2t]． ∵KH ∥EF ，∴KH EF ＝BH BF. ∴8335（10－2t ）＝816－[45（10－2t ）－2t].解得t ＝2518. 经检验，t ＝2518是分式方程的解． ∴当t ＝2518s 时，点E 在∠ABD 的平分线上．3．(2019·绵阳)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(－3，0)．动点M ，N 同时从A 点出发，M 沿A →C ，N 沿折线A →B →C ，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C 时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t 秒，连接MN.(1)求直线BC 的解析式；(2)移动过程中，将△AMN 沿直线MN 翻折，点A 恰好落在BC 边上点D 处，求此时t 值及点D 的坐标；(3)当点M ，N 移动时，记△ABC 在直线MN 右侧部分的面积为S ，求S 关于时间t 的函数关系式．备用图解：(1)设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧b ＝4，－3k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝4.∴直线BC 的解析式为y ＝43x ＋4. 图1(2)如图1，连接AD 交MN 于点O′.由题意可知，四边形AMDN 是菱形，M(3－t ，0)，N(3－35t ，45t)， ∴O′(3－45t ，25t)，D(3－38t ，45t)． ∵点D 在BC 上，∴45t ＝43×(3－85t)＋4，解得t ＝3011. ∴t ＝3011s 时，点A 恰好落在BC 边上点D 处，此时D(－1511，2411)．图2(3)如图2，当0＜t ≤5时，△ABC 在直线MN 右侧部分是△AMN ，S ＝12×t ×45t ＝25t 2；如图3，当5＜t ≤6时，△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.图3S ＝S △ABC －S △CMN ＝12×6×4－12×(6－t)×[4－45(t －5)]＝－25t 2＋325t －12. 4．(2019·广东)已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°，如图1，连接BC.(1)填空：∠OBC ＝60°；(2)如图1，连接AC ，作OP ⊥AC ，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止．已知点M的运动速度为单位长度/秒，点N的运动速度为1单位长度/秒．设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时，y取得最大值？最大值为多少？(结果可保留根号)图1图2备用图解：(2)∵OB＝4，∠ABO＝30°，∴OA＝12OB＝2，AB＝3OA＝2 3.∴S△AOC ＝12OA·AB＝12×2×23＝2 3.∵△BOC是等边三角形，∴BC＝BO＝4.∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO＋∠OBC ＝90°.∴AC＝AB2＋BC2＝27.∴OP＝2S△AOCAC＝4327＝2217.(3)①当0＜x ≤83时，点M 在OC 上运动，点N 在OB 上运动，此时过点N 作NE ⊥OC 且交OC 于点E.则NE ＝ON·sin 60°＝32x ， ∴y ＝12OM·NE ＝12××32x ，即y ＝338x 2. ∴当x ＝83时，y 有最大值，最大值为833. ②当83＜x ≤4时，点M 在BC 上运动，点N 在OB 上运动．图3过点M 作MH ⊥OB 于点H.则BM ＝8－，MH ＝BM·sin 60°＝32(8－1.5x)， ∴y ＝12ON·MH ＝－338x 2＋23x. ∵当x ＝83时，y 取最大值，∴y ＜833. ③当4＜x ≤时，点M ，N 都在BC 上运动，过点O作OG⊥BC于点G.则MN＝12－，OG＝AB＝23，图4∴y＝12MN·OG＝123－532x.∵当x＝4时，y有最大值，∴y＜2 3.综上所述，y有最大值，最大值为83 3.类型4与实践操作有关的几何综合题1．(2019·齐齐哈尔)折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动，确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观．折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C 和AD相交于点E，连接B′D.图1图2解决问题(1)在图1中．①B′D和AC的位置关系为B′D∥AC(互相平行)；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；(2)若图1中的矩形变为平行四边形(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长和宽之比为1∶1或3∶1．拓展应用(4)在图2中，若∠B＝30°，AB＝43，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为4或6或8或12．解：结果仍成立．①选择结论①证明．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.∴∠DAC＝∠BCA.由折叠性质，得BC＝B′C，∠BCA＝∠ACB′，∴∠DAC＝∠ACB′，B′C＝AD.∴AE＝CE，∴B′E＝DE.∴∠CB′D＝ADB′.∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD，∴∠ADB′＝∠DAC.∴B′D∥AC.②选择结论②证明．设点E的对应为点F，连接AF.由折叠性质，得AE＝AF，CE＝CF.由①知AE＝CE，∴AE＝CE＝AF＝CF.∴四边形AECF是菱形．2.(2019·山西)综合性实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM，试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB.∵AD＝2AB，∴AD＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴EMDM＝EBAB.(依据1)∵BE＝AB，∴EMDM＝1.∴EM＝DM，即AM是△ADE的DE边上的中线．又∵AD＝AE，∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.反思交流：(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE 的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图3，连接CE，以CE为一边在CE 的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B 都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．图1图2 图3解：(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)．②点A在线段GF的垂直平分线上．(2)证明：过点G作GH⊥BC于点H.∵四边形ABCD为矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°.∴∠BCE＋∠BEC＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90°.∴∠BCE＋∠BCG＝90°.∴∠BEC＝∠BCG.∴△GHC≌△CBE(AAS)．∴HC＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC.∴HC＝BH.∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上．(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上)．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°.∴四边形BENM 为矩形．∴BM＝EN，∠CEB＋∠CEN＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°.∴∠CEN＋∠FEN＝90°.∴∠CEB＝∠FEN.∴△ENF≌△EBC(AAS)．∴NE＝BE.∴BM＝BE.。