中考数学类比探究题

1.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

2.如图①，在△ABC中,AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点, ED 为一边，作

∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F.

(1)求证:四边形ADEF为平行四边形；

(2)当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为；

(3)延长图①中的DE到点G, 使EＧ＝DE，连接AE,AG,FG得到图②若AD =AG, 判断四边形AEGF的形状，并说明理由.

3.【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

4,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为；

（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2√2，BC，请求出GE的长．

CD=1

4

5.如图，四边形ABCD 是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交CB，BA（或它们的延长线）于点E，F；

①当CE=AF 时，如图①，DE 与DF 的数量关系是；

②继续旋转三角形纸片，当CE≠AF 时，如图②，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

③再次旋转三角形纸片，当点E，F 分别在CB，BA 的延长线上时，如图③，请直接写出DE 与DF 的数量关系．

6.（1）问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系.小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上

述结论.

（2）（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足________关系时，仍有EF=BE+FD.

（3）（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（√3﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，√2=1.41，√3=1.73）

7.在菱形ABCD 中，∠ ABC=60° ，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△ APE ，点

E 的位置随着点P 的位置变化而变化．

（ 1 ）如图1 ，当点 E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是，CE 与AD 的位置关系是；

（ 2 ）当点E 在菱形ABCD 外部时，（ 1 ）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图 2 ，图3 中的一种情况予以证明或说理）；

（ 3 ）如图4 ，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB=2 ，BE=2 ，求四边

形ADPE 的面积

8,如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC 中点．

（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；

（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．