九年级数学上册全章热门考点整合应用(A)

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九年级数学上册考点归纳

九年级数学上册考点归纳德国数学家康托尔首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，提出了实无穷的思想，为以后的数学发展作出了不可估计的奉献。

今天作者在这给大家整理了一些九年级数学上册考点归纳，我们一起来看看吧!九年级数学上册考点归纳定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半判定定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形九年级数学考点归纳1.单项式：由数字和字母乘积组成的式子。

系数，单项式的次数。

单项式指的是数或字母的积的代数式。

单唯一个数或一个字母也是单项式。

因此，判定代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式。

九年级数学上册(全章)热门考点整合应用含答案

(第9题)
一个作图——作一个图形的位似图形 10．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形(△A B C )．
(第10题)
一个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧 11．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与△ABC的外角∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，连接AM，求证：PM2＝CM·BM.
(第3题)
位似图形 4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的图形是 △A B C.设点B的对应点B 的坐标是(a，b)，求点B的坐标．
(第4题)
两个性质平行线分线段成比例的性质 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x s，AE的长为y. (1)求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？
(第4题) 5．解：(1)∵DE∥BC，∴＝. ∴＝. ∴y＝－x＋6(0≤x≤4)． (2)∵S△BDE＝·2x·y＝·2x·＝－(x－2)2＋6，且－(x－2)2≤0， ∴－(x－2)2＋6≤6. ∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6. 6．(1)证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC， ∴EB＝EC.∴∠B＝∠1. 又∵AD＝AC，∴∠ACB＝∠2. ∴△ABC∽△FCD.

新人教版九年级上册初中数学全章热门考点聚焦重点习题课件-pptx

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华师版九年级数学上册《一元二次方程》全章热门考点整合应用共32页

华师版九年级数学上册《一元二次方程》全章热门考点整合应用
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不见其增，日有所长。
•5Biblioteka 、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结，箪瓢屡空，晏如也。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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九年级数学上册热门考点整合应用

全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图像、性质是历年来中考的热点，既有与本学科知识的综合，也有与其他学科知识的综合，题型既有选择、填空，也有解答类型．其热门考点可概括为：一个概念，两个方法，两个应用及一个技巧．一个概念——反比例函数1．若y ＝(m －1)x |m|－2是反比例函数，则m 的取值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．某学校到县城的路程为5 km ，一同学骑车从学校到县城的平均速度v(km /h )与所用时间t(h )之间的函数表达式是( )A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝5tD ．v ＝t 53．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－13；②y ＝5－x ；③y ＝－25x ；④y ＝2ax (a 为常数且a ≠0)．其中________是反比例函数．(填序号)两个方法：方法1 画反比例函数图像的方法 4．已知y 与x 的部分取值如下表： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1234 5 6 … y…11.21.5236－6 －3 －2－1.5－1.2－1…(1)试猜想y 与x 的函数关系可能是你学过的哪类函数，并写出这个函数的表达式； (2)画出这个函数的图像．方法2 求反比例函数表达式的方法5．已知反比例函数y ＝kx 的图像与一次函数y ＝x ＋b 的图像在第一象限内相交于点A(1，－k＋4)．试确定这两个函数的表达式．6．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图像和反比例函数y ＝mx 的图像的两个交点．求：(1)反比例函数和一次函数的表达式；(2)直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)方程kx ＋b －mx ＝0的解(请直接写出答案)；(4)不等式kx ＋b －mx0的解集(请直接写出答案)．(第6题)两个应用应用1反比例函数图像和性质的应用7．画出反比例函数y＝6x的图像，并根据图像回答问题：(1)根据图像指出当y＝－2时x的值；(2)根据图像指出当－2x1且x≠0时y的取值范围；(3)根据图像指出当－3y2且y≠0时x的取值范围．【导学号：83182098】应用2反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料，按原计划每小时消耗2 t，可用60 h．由于技术革新，实际生产能力有所提高，即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x(单位：t)，库存的原料可使用的时间为y(单位：h)．(1)写出y关于x的函数表达式，并求出自变量的取值范围．(2)若恰好经过24 h才有新的原料进厂，为了使机器不停止运转，则x应控制在什么范围内？一个技巧——用k 的几何性质巧求图形的面积9．【中考·眉山】如图，A ，B 是双曲线y ＝kx (k ≠0)上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C.若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为( )A .43B .83C ．3D ．4 (第9题)(第10题)10．如图，过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝2x (x ＞0)和y ＝－4x (x＞0)的图像于A ，B 两点，C 是y 轴上任意一点，则△ABC 的面积为________．11．【中考·东营】如图是函数y ＝3x 与函数y ＝6x 在第一象限内的图像，点P 是y ＝6x 的图像上一动点，PA ⊥x 轴于点A ，交y ＝3x 的图像于点C ，PB ⊥y 轴于点B ，交y ＝3x的图像于点D.(1)求证：D 是BP 的中点；(2)求四边形ODPC 的面积．【导学号：83182099】(第11题)答案1．B 2.C 3.①③④4．解：(1)反比例函数，函数的表达式为y ＝－6x .(2)如图．(第4题)5．解：∵反比例函数y ＝kx 的图像经过点A(1，－k ＋4)，∴－k ＋4＝k1，即－k ＋4＝k.∴k ＝2.∴A(1，2)．∵一次函数y ＝x ＋b 的图像经过点A(1，2)， ∴2＝1＋b.∴b ＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝2x ，一次函数的表达式为y ＝x ＋1.6．解：(1)将B(2，－4)的坐标代入y ＝m x ，得－4＝m2，解得m ＝－8.∴反比例函数的表达式为y ＝－8x. ∵点A(－4，n)在双曲线y ＝－8x上， ∴n ＝2.∴A(－4，2)．把A(－4，2)，B(2，－4)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－2. ∴一次函数的表达式为y ＝－x －2. (2)令y ＝0，则－x －2＝0，x ＝－2. ∴C(－2，0)．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×2＋12×2×4＝6.(3)x 1＝－4，x 2＝2. (4)－4x0或x2. 7．解：如图．(第7题)(1)当y ＝－2时，x ＝－3； (2)当－2x1且x ≠0时，y －3或y6； (3)当－3y2且y ≠0时，x －2或x3.8．解：(1)库存原料为2×60＝120(t )，根据题意可知y 关于x 的函数表达式为y ＝120x. 由于生产能力提高，每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量，所以自变量的取值范围是x2.(2)根据题意，得y ≥24，所以120x≥24.解不等式，得x ≤5，即每小时消耗的原料量应控制在大于2 t 且不大于5 t 的范围内．点拨：(1)由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数表达式．(2)要使机器不停止运转，需y ≥24，解不等式即可．9．B 点拨：如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵D 为OB 的中点，∴CD 是△OBE 的中位线，则CD ＝12BE.设A ⎝⎛⎭⎫x ，k x ，易得B ⎝⎛⎭⎫2x ，k 2x ，∴CD ＝k 4x .∴AD ＝k x －k4x .∵△ADO 的面积为1，∴12AD·OC ＝1，即12⎝⎛⎭⎫k x －k 4x ·x ＝1.解得k ＝83.(第9题)10．3 点拨：连接AO ，BO ，由题可得S △ABC ＝S △ABO ＝S △APO ＋S △BPO ，又易知S △APO ＝12×2＝1，S △BPO ＝12×|－4|＝2，∴S △ABC ＝3.故答案为3.11．(1)证明：∵点P 在双曲线y ＝6x 上，∴设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫6m ，m .∵点D 在双曲线y ＝3x 上，BP ∥x 轴，D 在BP 上，∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫3m ，m .∴BD ＝3m ，BP ＝6m . ∴D 是BP 的中点．(2)解：由题意可知S △BOD ＝32，S △AOC ＝32，S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－32－32＝3.--------------------- 赠予---------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世--------------------- 谢谢喜欢--------------------。

九年级上册数学各章节知识点总结(最新最全)

九年级上册数学各章节知识点总结(最新
最全)
1. 有理数与整式有理数与整式
- 有理数的概念及表示方法
- 有理数的大小比较
- 有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则
- 整式的定义和基本运算
2. 方程与不等式方程与不等式
- 一元一次方程的概念、解法及应用
- 恒等方程和条件方程
- 一元一次不等式的概念及解法
- 一元一次方程与不等式的综合应用
3. 函数与图像函数与图像
- 函数的概念及表示
- 函数的增减性和奇偶性
- 函数的概率和函数的平移、翻折、对称变换
- 函数图像的特点和简单的函数图像绘制
4. 图形的性质图形的性质
- 平行线与相交线
- 三角形的定义及分类
- 三角形的性质与判定
- 常见四边形的性质及判定
5. 相似与全等相似与全等
- 相似的概念及相似三角形的判定
- 相似比的计算
- 全等的概念及全等三角形的判定
- 全等三角形的性质和应用
6. 三角函数三角函数
- 角的概念及角的度量
- 反义函数、同角三角函数特殊值
- 三角函数的图像
- 三角函数的性质及简单的计算与应用7. 圆圆
- 圆的定义和性质
- 圆上的弧和弦
- 切线与圆的位置关系
- 圆的周长和面积的计算
以上是九年级上册数学各章节知识点的总结，请根据具体情况进行查阅和复习。

初三数学上册知识点汇总(文库)

初三数学上册必背知识点默写版+解析版专题01一元二次方程（解析版）知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．知识要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.知识要点： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.知识要点：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.专题02二次函数（解析版）知识点01：二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.知识要点：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.知识点02：二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．知识点03：二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解知识要点二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.知识点04：利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.知识要点常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.专题03旋转（解析版）知识点01：旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.知识要点：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C知识要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．知识要点：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.知识点02：特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．知识要点：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．知识要点：（1）中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.知识点03：平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．专题04圆（解析版）知识点01：圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.知识要点：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.知识要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点02：与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内.知识要点：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1、A2...An在同一个圆上的方法当时，在⊙O上.3．直线和圆的位置关系设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点03：三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.知识要点：(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点04：圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R 的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即。

人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)

−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理（完整版）第二十一章一元二次方程一、一元二次方程的有关概念（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（二）一元二次方程的一般形式：ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中：二次项为ax 2；二次项系数为 a ；一次项为 bx ，一次项系数为 b ；常数项为 c 。

特殊形式：（三）一元二次方程中“未知数的最高次数是 2，二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。

（四）一元二次方程的解（根）1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根。

3、关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。

（2）a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。

（3）c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。

二、解一元二次方程（一）直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

2、方程x 2 = p 的根（1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ，x 2 =− p 。

（2）当 p=0 时，方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。

（3）当 p<0 时，因为对任意实数 x ，都有x 2≥0，所以方程x 2 = p 无实数根。

北师大版九年级数学上册课件：第一章全章热门考点整合应用 (共57张PPT)

设AF＝x，则DF＝BF＝16－x.
在Rt△DAF中，AD2＋AF2＝DF2，
即122＋x2＝(16－x)2.整理得32x＝112.
∴x＝ 7 .
2
∴DF＝
25 2
.
∵在Rt△ABD中，DB2＝AD2＋AB2＝122＋162＝400，
DB＝20. DO＝ 1 DB＝10. 2
在Rt△DOF中，
别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D 分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1
处，求阴影部分图形的周长．
解： ∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5. 又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
过点E作EN⊥AB于点N，如图，∵EP＝
1 2
EF，
∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝
1 2
EF·EN＝
1 2
S四边形EFBM.
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考点 2 三个图形（矩形） 3．感知：如图①，在矩形ABCD中，点E是边BC的中
点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的点F处，连接AF并延长，交CD于点G，连接FC，易证∠GCF＝∠GFC.
(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四
边形？请说明理由．
解：四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD. ∵CE＝AD，∴BD＝CE. 又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD. ∴四边形BECD是菱形．
∵点E是边BC的中点， ∴EC＝BE. ∵EF＝BE，∴EC＝EF. ∴∠ECF＝∠EFC. ∴∠ECG－∠ECF＝∠EFG－∠EFC. ∴∠GCF＝∠GFC.

沪科版九年级数学上册第22章全章热门考点整合应用

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解：如图②，过点 P 作 GH∥BC 交 AB 于 G，交 CD 于 H，则四边形 AGHD 是矩形． ∵E 为 AB 的中点，∴AE＝EB＝12AB＝4.
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设 EG＝x，则 BG＝4－x. 由折叠可知，AE＝PE＝4，AD＝PD＝12. ∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°， ∴∠EPG＋∠DPH＝90°，∠DPH＋∠PDH＝90°. ∴∠EPG＝∠PDH.∴△EGP∽△PHD. ∴EPHG＝DPGH＝PEDP＝142＝13.∴PH＝3EG＝3x.
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(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．解：如图，过点 A 作 AM⊥CB 于点 M. ∵D 是 BC 边上的中点，∴BC＝2CD. 由(1)知△ ABC∽△FCD， ∴SS△△FACBDC＝CBDC2＝4.
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又∵S△ FCD＝5，∴S△ ABC＝20.∵S△ ABC＝12BC·AM， ∴AM＝2SB△CABC＝2×1020＝4.∵DE⊥BC，AM⊥BC， ∴DE∥AM.∴△BDE∽△BMA.∴ADME ＝BBMD . ∵AD＝AC，AM⊥BC，∴DM＝12CD＝14BC＝52. 又∵BD＝12BC＝12×10＝5，∴D4E＝5＋5 52.∴DE＝83.
沪科版九年级上
第22章相似形
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1 下列各组线段，是成比例线段的是( C ) A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C．3 cm，9 cm，6 cm，1.8 dm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
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3 如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2 倍，记所得的图形是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，则点B的坐标为 __－__a_＋_2_3_，__－__b2____．

九年级上册数学考点整理

九年级上册数学考点整理中考加油!亲爱的朋友，平和一下自己的心态，控制自己的情绪，以平常心态应考，考完一门忘一门，让自己尽量放松，好好休息。

希望你一举高中喔!下面是小编给大家带来的九年级上册数学考点，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!初三上学期数学知识点归纳【篇一】1、圆的有关概念：(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。

(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。

②经过圆心的弦叫做直径。

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。

⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。

⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。

⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。

⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

2、圆的有关性质(1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

(3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90。

九年级数学上册热门考点整合及应用

全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义、锐角三角函数值、解直角三角形以及解直角三角形的实际应用．重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：两个概念，一个运算，两个应用，两个技巧．两个概念概念1 锐角三角函数1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的三个三角函数值．(第1题)概念2 解直角三角形2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．(第2题)一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算3．计算：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°；(2)14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan 45°cos 60°－sin 40°cos 50°.【导学号：83182083】两个应用应用1 解直角三角形在学科内应用4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE ⊥AP ，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长； (2)当a ＝3时，连接DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由；(3)当tan ∠PAE ＝12时，求a 的值．【导学号：83182084】(第4题)应用2解直角三角形的实际应用5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由．(2)求A，B间的距离(参考数据：cos 41°≈0.75)．【导学号：83182085】(第5题)6.【中考·泰州】如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)．(第6题)两个技巧技巧1“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝32，AC＝23，求AB的长．(第7题)技巧2“割补法”构造直角三角形求解的技巧8．如图，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积(要求：用分割法和补形法两种方法求解)．(第8题)答案1．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°. ∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10， ∴sin ∠BCD ＝sin A ＝BC AB ＝45，cos ∠BCD ＝cos A ＝AC AB ＝35，tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝43.点拨：运用三角函数的定义解题的关键：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的定义．本题也可利用相似求出BD ，DC ，再利用三角函数的定义直接求解．2．解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k ， ∴CB ＝8k.∴AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.∴k ＝1. ∴DE ＝3，DB ＝5.∴BE ＝52－32＝4. 如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则CF ∥DE.∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，求得CF ＝245，BF ＝325. ∴EF ＝BF －BE ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255. 点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．(第2题)3．解：(1)原式＝33×32＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫222×1＝12＋34－12＝34.(2)原式＝14×12＋1⎝⎛⎭⎫122－3×⎝⎛⎭⎫322＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3.4．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y.∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°.∴∠APB ＋∠CPE ＝90°. ∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP. ∴△ABP ∽△PCE.∴BP CE ＝ABPC .∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形．理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32.∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BF.∴△AED ∽△FEC. ∴AD FC ＝DECE.∴FC ＝3. ∵BP ＝3，BC ＝5，∴PC ＝BC －BP ＝2. ∴PF ＝PC ＋FC ＝2＋3＝5. ∴PF ＝AD.又∵AD ∥PF ， ∴四边形APFD 是平行四边形．在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°， ∴AP ＝5＝PF.∴四边形APFD 是菱形． (3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE ＝2.由(1)得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，∴a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或a ＝7.5．解：(1)相等．理由如下：由已知条件易知，∠BPQ ＝65.5°，∠PQB ＝49°， ∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°. ∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ. (2)由(1)得BQ ＝PQ ＝1 200 m .由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°.在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m )．又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，∴在Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m )． ∴A ，B 间的距离约是2 000 m .6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第6题)设铁塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m ，AB ＝(x ＋56) m . 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ，则CF ＝AFtan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m )．在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ，则BD ＝AB ＝(x ＋56)m .∵CF ＝BD ，∴x ＋56＝43x ＋1163，解得x ＝52.即该铁塔的高AE 约为52 m .7．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.(第7题)在Rt △ACD 中，∵AC ＝23，∠A ＝30°， ∴CD ＝12AC ＝3，AD ＝AC·cos 30°＝23×32＝3. 在Rt △BCD 中，CD DB ＝tan B ＝32，∴DB ＝2CD 3＝233＝2.∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋2＝5., 方法总结)：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数值、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，作辅助线的技巧是解此类题目的关键．8．解：方法一：如图①，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF ＝AB ，AF ＝BE.∵∠ABC ＝120°，∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°. 在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×33＝50. 在Rt △DEF 中， DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130.∴S 四边形ABCD ＝S 梯形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC·EC ＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第8题)方法二：如图②，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90， BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3.∴CE ＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3. 在Rt △DCE 中，DC ＝CE·tan 30°＝1103×33＝110. ∴S 四边形ABCD ＝S △DCE －S △ABE ＝12DC·CE －12AB·AE ＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.点拨：不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补形，把不规则四边形化为直角三角形．--------------------- 赠予---------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世--------------------- 谢谢喜欢--------------------。

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最新版人教版九年级数学全册知识点第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特色：(1)只含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程能否为一元二次方程，先看它能否为整式方程，若是，再对它进行整理．假如能整理为2的形式，ax +bx+c=0(a≠0)则这个方程就为一元二次方程．（ 4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0 时，应知足（ a≠0）21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是经过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程，其解为x=± m.直接开平方法就是平方的逆运算. 往常用根号表示其运算结果.2、配方法经过配成完好平方式的方法，获取一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依照是完好平方公式。

1.转变：将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式）2.系数化 1：将二次项系数化为 13.移项：将常数项移到等号右边4.配方：等号左右两边同时加前一次项系数一半的平方5.变形：将等号左侧的代数式写成完好平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可获取原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，而后计算鉴别式△的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 便可获取方程的根。

=b2-4ac的值，当b2- 4ac≥0时，把各项系数a, b, c因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，获取两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所获取的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

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2020-2021学年
全章热门考点整合应用
名师点金：本章知识是中考的考点之一，在本章中，平行投影与中心投影的性质、三视图与几何体的相互转化，以及侧面展开图、面积、体积等与三视图有关的计算等，是中考命题的热点内容．其热门考点可概括为：三个概念、两个解法、三个画法、两个应用．
三个概念
平行投影
1．在一个晴朗的上午，赵丽颖拿着一块矩形木板放在阳光下，矩形木板在地面上形成的投影不可能是( )
中心投影
2．如图，一建筑物A高为BC，光源位于点O处，用一把刻度尺EF(长22 cm)在光源前适当地移动，使其影子长刚好等于BC，这时量得O和刻度尺之间的距离MN为10 cm，O距建筑物的距离MB 为20 m，问：建筑物A有多高．(刻度尺与建筑物平行)
(第2题)
三视图
3．如图是由一些棱长都为1 cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)该几何体的表面积为________；
(2)该几何体的主视图如图中阴影部分所示，请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图．
(第3题)
两个解法
由三视图还原几何体
4．如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是( )
(第4题)
分解图形法
5．某种含盖的玻璃容器(透明)的外形如图所示，请你画出它的三视图．。

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