数学复习课的例题选择

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直线和圆的方程高中数学-例题课后习题详解-选必一复习参考题 2

复习参考题2一.选择题.1.直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A.2.设直线l 的方程为x -y sin θ+2=0，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A.[0,π] B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,24ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】分sin 0θ=和sin 0θ≠两种情况讨论，当sin 0θ=时，2πα=；当sin 0θ≠时，结合sin θ的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角α的范围.【详解】直线l 的方程为sin 20x y θ-+=，当sin 0θ=时直线方程为2x =-，倾斜角2πα=当sin 0θ≠时，直线方程化为12sin sin y x θθ=+，斜率in 1s k θ=，因为[)(]sin 1,00,1θ∈- ，所以(][),11,k ∈-∞-+∞ ，即(][)tan ,11,α Î-¥-+¥，又因为[)0,απ∈，所以3,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C3.与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为（）A.3450x y +-=B.3450x y ++=C.3450x y -+= D.3450x y --=【答案】B【解析】【分析】把方程中y 换成y -，整理即得．【详解】直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为34()50x y --+=，即3450x y ++=．故选：B ．4.已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求a 的值：（1）23x y a +=，4630x y +-=；（2）210x ay +-=，(31)10a x ay ---=；（3）(1)2x a y a ++=-，2416ax y +=-．【答案】（1）32a ≠；（2）0a =或16a =；（3）1a =【解析】【分析】（1）根据平行得出23463a =≠可求；（2）可得0a =满足，0a ≠时，311121a a a ---=≠-；（3）可得0a =不满足，0a ≠时，1122416a a a +-=≠-.【详解】（1）若方程23x y a +=，4630x y +-=表示的直线平行，则23463a =≠，解得32a ≠；（2）当0a =时，方程210x ay +-=化为1x =，方程(31)10a x ay ---=化为1x =-，此时两直线平行，符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足311121a a a ---=≠-，解得16a =，这是0a =或16a =；（3）当0a =时，方程(1)2x a y a ++=-化为20x y +-=，方程2416ax y +=-化为4y =-，此时两直线不平行，不符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足1122416a a a +-=≠-，解得1a =，综上，1a =.5.已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直．求a 的值（1）41ax y +=，(1)1a x y -+=-；（2）22x ay +=，21ax y +=；（3）(32)(14)80a x a y ++-+=，(52)(4)70a x a y -++-=．【答案】（1）2a =±；（2）0a =；（3）0a =或1a =.【解析】【分析】当直线以一般方程形式给出时，两直线垂直，可利用公式12120A A B B +=，求实数a 的取值.【详解】（1）因为两直线垂直，所以()41110a a -+⨯=，即24410a a --=，解得：2a =±；（2）由条件可知，220a a +=，得0a =；（3）由条件可知，()()()()32521440a a a a +-+-+=，即20a a -=，解得：0a =或1a =.6.求平行于直线20x y --=，且与它的距离为【答案】20,60x y x y -+=--=【解析】【分析】设该直线为0x y c -+=,利用平行线间的距离公式可得结果.【详解】因为所求直线平行于直线20x y --=，所以可设该直线为0x y c -+=，又因为所求直线与直线20x y --=的距离为，=可得24c +=，解得2,6c c ==-，所以平行于直线20x y --=，且与它的距离为20,60x y x y -+=--=.【点睛】本题主要考查直线平行的性质以及平行线间的距离公式，意在考查对所学知识的掌握与应用，属于基础题./7.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，，且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】【详解】试题分析：依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,解得x=−34,y=74，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−34,74）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点，∴x 0−34=6,y 0+74=6，解得x 0=274,y 0=174，∴C （274,174）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3．∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0,由已知，直线AB 的斜率k AB =-1,∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．考点：1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.8.求下列各圆的方程：（1）圆心为()5,3M -且过点()8,1A --；（2）过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点；（3）圆心在直线350x y +-=上，且经过原点和点()3,1-.【答案】（1）()()225325x y ++-=（2）()2255x y +-=（3）2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，求得半径即可；（2）设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，将()2,4A -，()1,3B ，()2,6C ，代入求解；（3）先求得以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线，再与350x y +-=联立，求得圆心即可.【小问1详解】解：因为圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，所以圆的半径为5r ==，所以圆的方程为：()()225325x y ++-=；【小问2详解】设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，因为过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点，所以()()()()()()222222222241326a b r a b r a b r ⎧++-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得2055a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为：()2255x y +-=；【小问3详解】以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线为：350x y --=，又圆心在直线350x y +-=上，由350350x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得530x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以圆心为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为53r =，所以圆的方程为：2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.9.m 为何值时，方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆？并求半径最大时圆的方程．【答案】当()1,3m ∈-时，方程表示圆，当半径最大时，圆的方程为()()22214x y -++=.【解析】【分析】根据方程表示圆可得出关于实数m 的不等式，可解出实数m 的取值范围，求出圆的半径的表达式，利用二次函数的基本性质可求得圆的半径的最大值，求得此时m 的值，即可得出圆的方程.【详解】若方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆，则()()222244422148120m m m m m -+--+=-++>，整理得2230m m --<，解得13m -<<.设圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径为r ，则22r ==，所以，当1m =时，圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径取最大值，此时，圆的方程为224210x y x y +-++=，即()()22214x y -++=.10.判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=是否相切．【答案】是，两圆内切【解析】【分析】求出两圆圆心及半径，判断圆心距与半径和与差的关系来确定两圆的位置关系.【详解】2264120x y x y +-++=，即22(3)(2)1x y -++=，圆心为(3,2)-，半径为1；22142140x y x y +--+=，即22(7)(1)36x y -+-=，圆心为(7,1)，半径为6；圆心距为5d ===，半径之和为7，之差为5，故两圆内切.11.若函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象可以近似地看作线段，且a c b ≤≤，求证：[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--【答案】证明见详解．【解析】【分析】作图利用三角形相似，得比例CE AE BF AF=即可证明．【详解】证明：设()()()()()(),,,,,,A a f a B b f b C c f c 作AF BF ⊥如图所示：在AFB △中，有CE AE BF AF=，则()()()()f c f a c a f b f a b a --≈--所以[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--12.求点()2,1P --到直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=（λ为任意实数）的距离的最大值．13【解析】【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，得直线系恒过点()1,1A ，由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】解：∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=，∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，由此可得直线系恒过点()1,1A 则P 到直线l 的最近距离为A ，此时直线过P ．P 到直线l 的最远距离为PA ，此时直线垂直于PA ．∴max d PA ===．13.过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程．【答案】8240x y --=【解析】【分析】根据题意，设出直线l 1上的一点P 1，求出P 1关于点P 的对称点P 2；由P 2在直线l 2上，求出点P 1，即得所求的直线方程．【详解】方法一：若直线AB 无斜率，则其方程为x ＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P ，不合题意．所以直线AB 必有斜率，设为k (k ≠2且k ≠－1)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －3)．由3,220,y kx x y =-⎧⎨--=⎩解得y 1＝42k k -,由3,30,y kx x y =-⎧⎨++=⎩解得y 2＝61k k -+.据题意122y y +＝0，即42k k -＋61k k -+＝0，解得k ＝0或8.当k ＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P ，不符合题意，舍去．当k ＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P ，符合题意．∴直线AB 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.方法二：()()()20000,3,3,06-3l M x x M P N x x --∴+在直线上任取一点点关于的对称点，在直线1l 上，把()006-3N x x +点，代入1l 方程220x y --=，解得073x =716,33M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，16038733l k --∴==-，即直线1l 方程为：824y x =-.14.已知直线:280l x y --=和(2,0)A -，()2,4B 两点，若直线l 上存在点P 使得PA PB +最小，求点P 的坐标．【答案】(2,3)-【解析】【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求A 关于直线的对称点得解【详解】因为(208)(288)0----->，所以,A B 在直线同侧，设点(2,0)A -关于直线280x y --=对称的点坐标为(,)A a b '，则280222a b b a -⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，即(2,8)A '-，可知PA PB A B +≥'，即三点,,A P B '共线时，||||PA PB +最小，连接A B '交直线于点P ，点P 即为所求，A B ' 直线方程2x =，联立求得P 点坐标(2,3)-.15.求圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长．【答案】【解析】【分析】首先利用两圆相减，求公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解公共弦长.【详解】()()2222101005550x y x y x y +--=⇔-+-=，即圆心是()5,5，半径r =()()2222624003150x y x y x y +-+-=⇔-++=，圆心()3,1-，半径r =，=<+，两圆相交，两圆相减得3100x y +-=，此直线是两圆相交公共弦所在直线方程，()()2222101005550x y x y x y +--==-+-=，即圆心是()5,5，半径r =，圆心到直线3100x y +-=的距离d==所以公共弦长l ===.16.已知圆224x y +=与圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，求直线l 的方程．【答案】20x y -+=【解析】【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线l 斜率，从而求得直线l 的方程.【详解】解：圆221:4C x y +=，圆心为1C ()0,0，半径12r =圆222:4440C x y x y ++-+=，经整理为()()22224x y ++-=，其圆心为2C ()2,2-，半径22r =；故12C C 中点为()1,1C -，而1220120C C k -==---，由对称性知121l C C k k ⋅=-，1l k ∴=:11l y x ∴-=+即直线l 的方程为20x y -+=.17.求与圆C :22(2)(6)1x y ++-=关于直线3−4+5=0对称的圆的方程.【答案】22(4)(2)1x y -++=.【解析】【分析】利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求出对称圆的圆心即可得解.【详解】圆22:(2)(6)1C x y ++-=的圆心的坐标是()2,6-，半径长1r =．设所求圆C '的方程是22()()1x a y b -+-=,由圆C '与圆C 关于直线3450x y -+=对称知，直线3450x y -+=是两圆连心线的垂直平分线．所以有642326345022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⋅-⋅+=⎪⎩,解此方程组，得4,2a b ==-．所以与圆22:(2)(6)1C x y ++-=关于直线3450x y -+=对称的圆的方程是22(4)(2)1x y -++=.【点睛】关键点点睛：利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求解是解题关键.18.求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A(2,－1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的方程.【答案】圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2【解析】【详解】设圆心为S ，则k SA ＝1,∴SA 的方程为：y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，和y ＝－2x 联立解得x ＝1,y ＝－2，即圆心(1,－2)∴r故所求圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2\19.如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？【答案】对角线互相垂直【解析】【分析】设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= ，则由向量的运算规律得0BD AC ⋅= ．【详解】解：如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直．证明如下：设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= 则()()2222AB AD AC AC AB AD+--+= ∴AD AC AB AC ⋅=⋅ ，()0AD AB AC -⋅= ∴0BD AC ⋅=．即BD AC ⊥20.求由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积．【答案】2π+【解析】【分析】先看当0x ≥，0y ≥时整理曲线的方程，表示出图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，进而利用三角形面积公式和圆的面积公式求得二者的面积，相加即可．【详解】解：当0x ≥，0y ≥时，22111()()222x y -+-=，表示的图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆∴1114112222S ππ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭故围成的图形的面积为：2π+21.一条光线从点()2,3A -射出，经x 轴反射后，与圆22:(3)(2)1C x y -+-=相切，求反射后光线所在直线的方程【答案】3460x y --=或4310x y --=.【解析】【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程.【详解】点()2,3A -关于x 轴的对称点为()2,3--，设反射光线的斜率为k ，则可得出反射光线为()32y k x +=+，即230kx y k -+-=，因为反射光线与圆相切，则圆心()3,2到反射光线的距离d r =1=，解得43k =或34，则反射直线的方程为3460x y --=或4310x y --=.22.已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求证：直线l 恒过定点．（2）直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长．【答案】（1）证明见解析；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，此时34m =-，最短弦长为【解析】【分析】（1）直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，要使直线l 恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，易得定点；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，即得解.【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，联立27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩.所以直线恒过定点P (3,1).（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，直线l 的斜率为21121,1312CP m k k m +-=-==-+-由211(112m m +-⋅-=-+解得34m =-此时直线l 的方程是250x y --=圆心(1,2)C 到直线250x y --=的距离为d ==，||||AP BP ==，所以最短弦长是||2||AB AP ==。

高中同中数学复习课例题设置的思考——以“直线与方程的单元复习”为例

（２）中，可设所求直线方程为５ｘ一２ｙ＋ｍ＝ห้องสมุดไป่ตู้０，求出其在两坐ｌ标轴上的截距，再利用三角形的面积公式列出方程求解。
本例的教学形式可以采用先学生自主练习，然后学师根据学生的学习情况，自主进行遴选和组织，而例题的一生板演或用实物投影仪展示，也可以先让学生自主练习，
理解各部分内容之间的内在联系，以此达到螺旋上升的目的。
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与新授课不同，复习课采用的数学教学内容需要教ｌ安排，常常出现漫无目的和随意设置，造成复习教学低效Ｉ的现象。因此，精选数学复习课典型例题是一项十分重要ｌ的工作，对帮助学生查漏补缺、揭示解题规律、总结解题：方法、提高数学能力具有重要意义。下面以江苏教育出版Ｊ
《教学与管理》
２０１３年ｌ２月１日
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中数学复习课例题设置的思考
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以“ 直线与方程的单元复习” 为例
◎ 江苏省南京市教学研究室朱建明
数学复习课以系统复习所学知识为主要任务，把平ｌ时，例１（１）、（２）都有两种不同情况，是学生学习中的易
（２）与直线２ｘ＋５ｙ一１＝０垂直，且与两坐标轴围成的三ｌ
角形的面积为５。
ｌ
说明： “ 直线与方程”单元的教学内容包括： “ 直线的ｌ斜率” 、 “ 直线的方程” 、 “ 两条直线的平行与垂直” 、 “ 两条：
直线的交点” 、 “ 平面上两点之间的距离” 、 “ 点到直线的距ｌ

高三复习课如何选用习题

高三复习课如何选用习题摘要：一个好的教师绝不是让学生泛泛、无选择地做题，而应当根据教学的内容、目标，结合学情编制出科学合理的训练题或试题，还要根据学生的掌握情况有选择的讲解题目。

关键词：教学案例教学效果教学反思数学习题之于数学学习是很重要的，就像问题是数学的心脏。

但学生往往没有很好的甄别能力，需要我们教师能够从题海中把好题精选出来。

教师要精心挑选极具典型与知识技能紧扣的习题。

一个好的教师绝不是让学生泛泛、无选择地做题，而应当根据教学的内容、目标，结合学情编制出科学合理的训练题或试题，还要能根据学生的掌握情况有选择的讲解题目。

习题选择要体现知识的基础性，要体现知识的典型性和启发性，体现学生思维的整体性。

本文选取高三复习课的一个案例来阐述选取适合学生特点的习题，以期达到有效的复习。

《基本不等式》这节要求学生能利用基本不等式求最大（小）值问题；能应用基本不等式证明不等式的问题；能应用基本不等式解决实际问题；能应用基本不等式解决相关综合性问题；突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练。

训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。

在比较大小，求最值，求取值范围有重要的应用。

学生在使用的过程往往因为没有注意成立的条件随便使用或是不能灵活使用而造成解题的错误。

习题选择体现知识的基础性，高三复习课的目的在于使学生的基础知识和基本技能得到加强，尤其要给中差生更多的机会，使他们学懂、爱学，因此教师在进行习题选择和设计时，要明确习题的对象指向（即某一习题是针对哪一层次学生而提出的）和习题的目的指向（即拟定的习题的目的是什么），以基本的经典题型为例题和习题的主干，注重对易、中题的分析处理，将它们作为方法探讨、思维训练、规律总结的重头戏，让学生品尝成功的喜悦，以充分调动他们的学习积极性。

基本题并不是不假思索就能解决的题目。

为了突出基本不等式成立的条件的例题有：例题1：已知a>1,0<b<1，求logab+logba的取值范围。

2021年中考数学一轮复习课时训练：第16课时三角形与全等三角形

第16课时三角形与全等三角形【例题分析】【例1】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【例2】如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°【针对训练】1.（2020·宿迁中考）在△ABC中，AB＝1，BC＝5，下列选项中，可以作为AC长度的是（）A．2 B．4 C．5 D．62.（2020·包头中考）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB.若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（）A．50°B．55°C．70°D．75°3.△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4 B．4或5C．5或6 D．6【例3】如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．【针对训练】4.（2020·黄石中考）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC.【考点训练】1.下列图形具有稳定性的是（）2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6C．4，4，4 D．3，4，53.（源于沪科八上P73）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D4.（2020·丹东中考）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为（）A.100°B．110°C．125°D．135°5.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DB D．AB＝DC6.（源于沪科八上P109）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF ＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．15°C．25°D．20°7.（2020·龙东中考）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．8.（2019·梧州中考）如图，已知在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是cm.9.（2020·江西中考）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE 的度数为．10.（2019·桂林中考）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）求证：BE＝DE.11.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1＝65°，求∠B的大小．答案第16课时三角形与全等三角形【例题分析】【例1】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ C ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．11【解析】根据三角形的三边关系求解即可．设三角形第三边的长为x ，由题意得7－3＜x ＜7＋3，即4＜x ＜10，由此可选出满足条件的正确选项．【例2】如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD ，若∠A ＝60°，∠B ＝40°，则∠ECD 等于（ C ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°【解析】根据三角形外角性质求出∠ACD 的度数，根据角的平分线定义即可求出∠ECD 的度数． ∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝100°.∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝12∠ACD ＝50°.【针对训练】1.（2020·宿迁中考）在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝5 ，下列选项中，可以作为AC 长度的是（ A ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．62.（2020·包头中考）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE ∥AB .若∠ACB ＝75°，∠ECD ＝50°，则∠A 的度数为（ B ）A ．50°B ．55°C ．70°D ．75° 3.（2015·百色中考）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ B ） A ．4 B ．4或5 C ．5或6 D ．6【例3】如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF . （1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）若∠A ＝55°，∠B ＝88°，求∠F 的度数．【解析】（1）证出AC ＝DF ，结合已知条件根据“SSS ”就可以推出△ABC ≌△DEF ；（2）由（1）中结论利用全等三角形的性质得到∠F ＝∠ACB ，进而得出结果．【解答】（1）证明：∵AC ＝ AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ，∴AC ＝DF . 在△ABC 和△DEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；（2）解：由（1）可知，∠F ＝∠ACB .∵∠A ＝55°，∠B ＝88°，∴∠ACB ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－（55°＋88°）＝37°. ∴∠F ＝∠ACB ＝37°.【针对训练】4.（2020·黄石中考）如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠DAB ＝70°，∠E ＝40°. （1）求∠DAE 的度数；（2）若∠B ＝30°，求证：AD ＝BC .（1）解∵AB ∥DE ，∠E ＝40°， ∴∠EAB ＝∠E ＝40°. ∵∠DAB ＝70°， ∴∠DAE ＝30°；（2）证明：在△ADE 和△BCA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠B ＝30°，AE ＝BA ，∠E ＝∠BAC ，∴△ADE ≌△BCA （ASA ）. ∴AD ＝BC . 【考点训练】1.下列图形具有稳定性的是（ A ）2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ A ）A ．5，5，10B ．4，5，6C ．4，4，4D ．3，4，53.（源于沪科八上P 73）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ A ）A B C D 4.（2020·丹东中考）如图，CO 是△ABC 的角平分线，过点B 作BD ∥AC 交CO 延长线于点D ，若∠A ＝45°，∠AOD ＝80°，则∠CBD 的度数为（ B ）A.100° B ．110° C ．125° D ．135°5.（源于沪科八上P 102）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（ C ） A ．∠A ＝∠D B ．∠ACB ＝∠DBC C ．AC ＝DB D ．AB ＝DC6.（源于沪科八上P 109）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，∠CAD ＝25°，则∠ABE 的度数为（ D ）A ．30°B ．15°C ．25°D ．20°7.（2020·龙东中考）如图，Rt △ABC 和Rt △EDF 中，BC ∥DF ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB ＝ED （BC ＝DF 或AC ＝EF 或AE ＝CF 等），使Rt △ABC 和Rt △EDF 全等．8.（2019·梧州中考）如图，已知在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F ，G 分别是AD ，AE 的中点，且FG ＝2 cm ，则BC 的长度是 8 cm.9.（2020·江西中考）如图，AC 平分∠DCB ，CB ＝CD ，DA 的延长线交BC 于点E ，若∠EAC ＝49°，则∠BAE 的度数为 82° ．10.（2019·桂林中考）如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上．（1）求证：AC 平分∠BAD ；（2）求证：BE ＝DE .证明：（1）在△ABC 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）. ∴∠BAC ＝∠DAC ，即AC 平分∠BAD ；（2）由（1）知，∠BAE ＝∠DAE . 在△BAE 和△DAE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE （SAS ）. ∴BE ＝DE .11.已知平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD 且交AD 于点E ，AF ∥CE ，且交BC 于点F . （1）求证：△ABF ≌△CDE ；（2）如图，若∠1＝65°，求∠B 的大小．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝∠D .∴∠1＝∠ECB .∵AF ∥CE ，∴∠AFB ＝∠ECB . ∴∠AFB ＝∠1.在△ABF 和△CDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠AFB ＝∠1，AB ＝CD ，∴△ABF ≌△CDE （AAS ）；（2）解：由（1）知，∠1＝∠ECB . ∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠ECB . ∴∠1＝∠DCE ＝65°.∴∠B ＝∠D ＝180°－2×65°＝50°.。

沪教版数学(上海)六年级第二学期知识归纳与同步练习：6.4 一元一次方程的应用(3)

6.4 一元一次方程的应用(3)班级姓名学号【学习目标/难点重点】会解决有关行程问题的实际应用问题，一、课前复习：1.路程、速度、时间三者关系：路程＝，时间＝，速度= .2.相遇问题、追及问题相向而行相遇时的等量关系：快者的路程慢者的路程＝两人初相距的路程；同向而行追及时的等量关系：快者的路程慢者的路程＝两人初相距的路程.例题1：甲、乙两站间的路程为360㎞，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48㎞；一列快车从乙站开出，每小时行驶72㎞.1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时相练习1：甲、乙两人骑自行车同时从相距65㎞的两地相向而行，2小时相遇，甲比乙每小时多骑2.5㎞，求乙的速度？例题2：如右图：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？变式1：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点反向而跑，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？变式2：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟跑120米，两人同时由同一点出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？课课精炼一、填空题1.A、B两地相距320千米，甲、乙两车分别以32千米/小时和48千米/小时的速度同时从A、B两地相向出发，x小时后相遇，则列方程为 .2.一环形跑道长400米，甲练习跑步，平均每分钟跑120米；乙骑自行车，每分钟行驶280米.若两人同时同向从同地出发，经过x分钟相遇，则列方程为 .二、选择题3.甲、乙两人练习短距离赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑5米那么甲追上乙需（）A.15秒B.13秒C.10秒D.9秒三、应用题4.在800米圆形跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑220米，乙每分钟跑280米.1）若两人同时同地反向起跑，几分钟后第一次相遇？2）若两人同时同地同向起跑，几分钟后第一次相遇？5.甲、乙两地相距160km,一人骑自行车从甲地出发，速度为20km/h；另一人骑摩托车从乙城出发，速度是自行车速度的3倍，两人同时出发，相向而行，经过多少时间相遇？6.在航模比赛中，第一架飞机比第二架飞机少飞行480米，已知第一架飞机的速度比第二架飞机的速度快1米/秒，两架飞机在空中飞行的时间分别为12分和16分，求两架飞机的各飞行了多少距离？7.一队学生去校外进行野外长跑训练。

中考数学复习《整式》典型例题讲解PPT课件

中考数学复习《整式》典型例题讲解PPT课件
1.（2022·江苏宿迁）下列运算正确的是（）
A． 2m m 1 B． m2·m3 a6 C． mn2 m2n2
D． m3 2 m5
【答案】C 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答12．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”. 案．
A． 2x x 12
B． 2x x 12
C． x 2x 12
D． x 2x 12
【答案】A 【分析】
先提取公因式 2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可
【详解】
解： 2x3 4x2 2x 2x x2 2x 1 2x x 12
故答案选：A．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．
【详解】解： 2m m m ，故 A 不符合题意； m2 m3 m5 ，故 B 不符合题意；
mn2 m2n2 ，故 C 符合题意；
m3 2 m6 ，故 D 不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
A． (a2 ab) a a b B． a2 a a2 C． (a b)2 a2 b2 D． (a3 )2 a5
【答案】A 【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．【详解】解：

六年级数学上册典型例题系列之期中复习应用题部分(解析版)

六年级数学上册典型例题系列之期中复习应用题部分（解析版）编者的话：《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。

本专题是期中复习应用题部分，该部分内容主要是以分数乘除法应用题、比的应用题以及工程问题为主，题例一般以填空、应用题型为主，共分为八大考点，考点多是期中考试常考知识点和易错点，题例较为典型，有部分较难题型，欢迎使用。

【考点一】寻找单位“1”。

【方法点拨】1.在分率句中分率的前面或 “占”、“是”、“比”的后面2.写数量关系式：（1）“的” 相当于 “×” ；“占”、“是”、“比”相当于“ ÷ ” （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量【典型例题】解析：男生人数；男生人数×53=女生人数2.“九月份用水量比八月份节约了211”单位“1”是（），九月份用水量相当于八月份的()()。

【对应练习】甲数是乙数的52。

单位“1”是（）；数量关系是（）×（）=（）解析：乙数；乙数；52；甲数【考点二】分数乘法应用题部分。

【方法点拨】1. 分数乘法应用题部分：（1）类型一：单位“1”×对应的分率=分率所对应的数量（2）类型二：单位“1”×多的分率=多的数量；单位“1”×少的分率=少的数（3）类型三：单位“1”×（1+分率）=一个数；单位“1”×（1-分率）=一个数【典型例题】1. 54公顷的43是（）公顷。

解析：532. 比35的72多9的数是（）。

A.19B.14C.1解析：A3.一桶油重32千克，用去它的43，还剩下（）千克。

如果再用去43千克，还剩（）千克。

解析：8；7414.一个食堂，九月份烧煤770千克，十月份比九月份节约17，十月份烧煤千克。

2020-2021【名校提分专用】八年级数学下册复习课三4.1_4.3同步练习新版浙教版

复习课三（4.1—4.3）例题选讲例1 （1）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8（2）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=23，求BB′的长为．例2 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA. （1）求∠APB的度数；（2）如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．例3 问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：Ⅰ. 如图1，在正三角形△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN.Ⅱ. 如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN.任务要求：（1）请你从Ⅰ、Ⅱ两个命题中选择一个进行证明.（2）如图，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON=108°，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.例4 探究：已知平行四边形ABCD的面积为100，M是AB所在直线上的一点.（1）如图1：当点M与B重合时，S△DCM= ；（2）如图2：当点M与B与A均不重合时，S△DCM= ；（3）如图3：当点M在AB（或BA）的延长线上时，S△DCM= .推广：平行四边形ABCD的面积为a，E、F为两边DC、BC延长线上两点，连结DF、AF、AE、BE. 求出图4中阴影部分的面积，并简要说明理由.应用：如图5是某广场的一平行四边形绿地ABCD，PQ、MN分别平行DC、AD，PQ、MN交于O点，其中S四边形AMOP＝300m2，S四边形MBQO＝400m2，S四边形NCQO＝700m2. 现进行绿地改造，在绿地内部做一个三角形区域MQD，连结DM、QD、QM，（图中阴影部分）种植不同的花草，求三角形DMQ 区域的面积.课后练习1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）2. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形 B．五边形C．六边形 D．八边形3. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A． 2和3 B． 3和2C． 4和1 D． 1和44. 已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（）A． 18° B． 36° C． 72° D． 144°5．n边形的内角和为，外角和为 . 过n边形的一顶点可作条对角线，分成个三角形. n边形有条对角线.6．如图，已知平行四边形ABCD，（1）图中有对全等的三角形；（2）若AC＝8，BD＝10，则CD的取值范围：；（3）若△OBC的周长＝12，AD＝4，则AC＋BD＝；（4）若AC⊥AD，AD＝3，CD＝7，则BD＝ .7．如图，P为ABCD内一点，过点P分别作AB，AD的平行线交平行四边形的边于E，F，G，H四点. 若S AHPE＝3，S PFCG＝5，则S△PBD为 .8．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．9. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BE、CF平分∠B、∠C，交AD于E、F两点，求证：AF=DE.10．已知，如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，EF∥AC交BC于F，求证：BE＝FC.11. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD.（1）利用尺规作出△A′BD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE.12．如图，已知点E，F在 ABCD的对角线BD上，且BE=DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AE∥CF．13．探究与发现：（1）探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系.已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．（2）探究二：四边形的两个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系.已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由．（3）探究三：六边形的四个内角与另两个内角的平分线所夹的角之间的关系.已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B ＋∠E＋∠F的数量关系：．参考答案复习课三（4.1—4.3）【例题选讲】例1 （1）A （2）8例2 解：（1）∵四边形A BCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°. 又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB ＋∠PBA ＝21（∠DAB ＋∠CBA ）＝90°. ∴在△APB 中，∠APB ＝180°－（∠PAB ＋∠PBA ）＝90°.（2）∵AP 平分∠DAB 且AB ∥CD ，∴∠DAP ＝∠PAB ＝∠DPA ，∴△ADP 是等腰三角形，∴AD ＝DP ＝5cm. 同理PC ＝CB ＝5cm. ∴A B ＝DP ＋PC ＝10（cm ）．在Rt △APB 中，AB ＝10cm ，AP ＝8cm. ∴BP ＝22810 ＝6（cm ），∴△APB 的周长是6＋8＋10＝24（cm ）．例3 解：（1）选命题Ⅰ.证明：在图1中，∵△ABC 是正三角形，∴BC=CA ，∠BCM=∠CAN=60°. ∵∠BON =60°，∴∠CBM+∠BCN=60°. ∵∠BCN+∠ACN=60°，∴∠CBM=∠ACN. ∴△BCM ≌△CAN （ASA ）. ∴BM=CN. （2）BM=CN 成立.证明：在图3中，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC=CD ，∠BCM=∠CDN=108°. ∵∠BON=108°，∴∠CBM+∠BCN=108°. ∵∠BCN+∠DCN=108°，∴∠CBM=∠DCN. ∴△BCM ≌△CDN （ASA ）. ∴BM=CN.例4 解：（1）设平行四边形ABCD ，CD 边上的高为h ，则△DCM 边CD 的高也为h ，∵S 平行四边形ABCD=CD ×h ，∴S △DCM=21CD ×h=21S 平行四边形ABCD=50. （2）设平行四边形ABCD ，CD 边上的高为h ，则△DCM 边CD 的高也为h ，∵S 平行四边形ABCD=CD ×h ，∴S △DCM=21CD ×h=21S 平行四边形ABCD=50. （3）设平行四边形ABCD ，CD 边上的高为h ，则△DCM 边CD 的高也为h ，∵S 平行四边形ABCD=CD ×h ，∴S △DC M=21CD ×h=21S 平行四边形ABCD=50. 推广：阴影部分的面积为a ，设平行四边形ABCD 边AB 上的高为h ，AD 边上的高为H ，则S △ADF=21AD ×H=21S 平行四边形ABCD=21a ，S △ABE=21AB ×h=21S 平行四边形ABCD=21a ，故阴影部分的面积=S △ADF+S △ABE=a.应用：连结OD ，由推广的结论，有S △DO M=21S 平行四边形AMOP=150，S △DOQ=21S 平行四边形OQCN=350，S △MOQ=21S 平行四边形OMBQ=200，∴S △DMQ=S △DOM+S △DOQ+S △MOQ=150+350+200=700m2. 【课后练习】 1—4. AABB5. （n-2）×180° 360° （n-3）（n-2） 21n （n-3） 6. （1）4 （2）1＜CD ＜9 （3）16 （4）4 7. 1 【点拨】∵ABCD 中，EF ∥AB ，HG ∥BC ，∴S △ABD=S △BCD ，S △PDE=S △PDG ，S △PBH=S △PBF ，∵S AHPE=3，SPFCG=5，∴S △PBD=S △PDG+S △PBF+SPFCG-S △BCD=S △PDG+S △PBF+S PFCG-21S ABCD=S △PDG+S △PBF+S PFCG-21（2S △PDG+2S △PBF+S AHPE+PFCG ）=SPFCG-21（S AHPE+SPFCG ）=1.8. 11 1620°9. 证明：∵四边形ABC D 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB=DC. ∴∠AEB=∠EBC. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=EBC. ∴∠AEB=∠ABE. ∴AB=AE. 同理DC=DF. ∴AE=DF. ∴AE-FE=DF-FE ，即AF=ED. 10. 证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠EBD=∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠CBD=∠EDB ，∴∠EBD=∠EDB ，∴BE=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形DEFC 是平行四边形，∴DE=FC ，∴BE=FC. 11. （1）如图，△A ′BD 即为所求.（2）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A=∠C ，AB=CD ，又由作图可知∠A ′=∠C ，BA ′=DC ，在△BA ′E 和△DCE 中，∠A ′=∠A=∠C ，∠BEA ′=∠CED ，BA ′=DC ，∴△BA ′E ≌△DCE. 12. （1）在ABCD 中，AB ∥CD 且AB=CD ，∴∠ABE=∠CDF ，∵BE=DF ，∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△CDF ，∴∠AEB=∠CFD ，∴∠AEF=∠CFE ，∴AE ∥CF ．13. （（1）探究一：∵DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，∴∠PDC=21∠ADC ，∠PCD=21∠ACD ，∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=180°-21∠ADC-21∠ACD=180°-21（∠ADC+∠ACD ）=180°-21（180°-∠A ）=90°+21∠A ；（2）探究二：∵DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，∴∠PDC=21∠ADC ，∠PCD=21∠BCD ，∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=180°-21∠ADC-21∠BCD=180°-21（∠ADC+∠BCD ）=180°-21（360°-∠A-∠B ）=21（∠A+∠B ）；（3）探究三：六边形ABCDEF 的内角和为：（6-2）·180°=720°，∵DP 、CP 分别平分∠EDC 和∠BCD ，∴∠PDC=21∠EDC ，∠PCD=21∠BCD ，∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°-21∠EDC-21∠BCD=180°-21（∠EDC+∠BCD ）=180°-21（720°-∠A-∠B-∠E-∠F ）=21（∠A+∠B+∠E+∠F ）-180°，即∠P=21（∠A+∠B+∠E+∠F ）-180°．。

小学数学课程与教学论复习题及答案(完整版)

小学数学课程与教学论复习题及答案(完整版)小学数学课程与教学论复习题以及答案一、选择题1、数学的属性表现在：数学是一门既研究空间形式，又研究空间关系的科学。

既研究数量关系又研究数量形式的科学。

2、小学数学课程内容结构的呈现方式：1、螺旋递进式的体系组织 2、逻辑推理式的知识呈现3、模仿例题式的练习配套3、按照我国比较传统的认识，将数学能力结构分为：（1）运算能力。

（2）空间想象能力。

（3）数学观察能力。

（4）数学记忆能力。

（5）数学思维能力。

4、学习风格的构成要素分解为：环境、情绪、社会、生理和心理五大类。

有简单地分解为：生理、心理和社会三大类。

5、小学数学课堂教学活动的任务呈现方式：1、情景呈现2、复习导入 3、直接呈现6、小学数学课堂教学的基本组织形式：1)、环套式的组织形式 2）、回旋式的组织形式3）多项式的组织形式 4）、反推式的组织形式7、弗莱登塔尔认为，丰富的教学情景包括：（1）场所；（2）故事；（3）设计；（4）主题；（5）剪辑。

8、教学方法的基本类型：1、提示型的教学方法2、问题解决型的教学方法 3、自主型的教学方法9、教学设计的学习需要分析包括学习的：1、学生分析的内容 2、学生分析的任务10、我国《数学课程标准》由下列哪几部分组成：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合等四大领域。

11、设计教学方案的基本内容包括设计教学目标、设计教学内容、设计教学过程。

一般是从设计教学目标开始。

12、学习评价的价值：（1）导向价值；（2）反馈价值；（3）诊断价值；（4）激励价值；（5）研究价值。

13、教学过程的主要环节：（1）、前期组织准备（2）、任务提出（3）、理解数学（4）、学习评价。

14、课堂活动的构成要素：教师、学生、教材与环境四个要素所构成，四要素的构成方式具有动态性和生成性的特点。

15、数学概念引入的基本策略：1、生活化策略 2、操作性策略3、情境激疑策略4、知识迁移策略16、影响儿童概念学习的因素主要有：儿童的经验，儿童的语言发展，儿童的认知结构和认知方式，儿童的思维水平等等。

在新课程理念指导下初中数学总复习中怎样选择例题

在新课程理念指导下的初中数学总复习中怎样选择例题初中数学总复习是完成初中三年数学教学任务之后的一个系统、完善、深化所学内容的关键环节。

根据学生的实际情况，制订一套行之有效的复习计划，使学生能抓住重点、要点，全面、系统地掌握所学知识，这样有利于学生巩固、消化、归纳数学基础知识，提高分析、解决问题的能力。

一、例题难易要有层次，满足不同层次学生的需求进入初中以后，学生的学习水平、解题能力、认知能力等方面的差异更加明显。

新课标要求我们“尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要”。

再加上初三复习时间紧、内容多、要求高，因此，设计例题一定要考虑有层次性，循序渐进，分解难点，逐步引导学生将问题深化，揭示出解题规律，发展思维能力，使不同的学生各得其所，避免“吃不了”和“吃不饱”的现象发生。

例1.（1）若等腰三角形一个底角为55°，则其他两个角各是多少度？（2）若等腰三角形一个角为55°，则其他两个角各是多少度？（3）若等腰三角形一个角为x°，则其他两个角各是多少度？通过步步深入的引导，不但满足了各个层次学生的需要，加深了学生对知识的理解，还使学生在变化中找出解答这类题的规律和方法。

二、选择一题多种解法的题型，发散学生的多种思维一题多种解法能使知识不断延伸，是深化认识水平、提高思维能力、开发智力的一种较好方式。

在挑选例题时，应有意识地偏重于那些可用多种思路来完成的典型题，引导、鼓励学生不拘泥常规方法，要寻求变异，勇于创新。

例2.已知bc切⊙o于b，ce垂直半径ao交于e点，交bc于c 点，连结ab交ce于d点。

求证：cb=cd可证∠3=∠f从而证明∠1=∠2得出cb=cd证法三：由对角互补的四边形四点共圆得fedb四点共圆可证∠f=∠1，∠f=∠2从而证明∠1=∠2得出cb=cd证法四：过a作⊙o切线证法八：延长ao交⊙o于f，连结bf交ec的延长线于m，延长cb至n本例各种解法涉及几何多个知识点，对学生系统地回顾、疏理几何知识体系有一定的帮助作用。

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >．故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥，所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<．又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<，则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<．综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =，所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=，即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数，所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−，所以22ln(1)2x a x ≥−++，令2()2ln(1)2x g x x =−++，则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++，则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−，即12ln 22a ≥−，故选：A ．本课结束。

小学数学课程与教学论复习题及答案(完整版)3

小学数学课程与教学论复习题以及答案一、选择题1、数学的属性表现在：数学是一门既研究空间形式，又研究空间关系的科学。

既研究数量关系又研究数量形式的科学。

2、小学数学课程内容结构的呈现方式：1、螺旋递进式的体系组织 2、逻辑推理式的知识呈现 3、模仿例题式的练习配套3、按照我国比较传统的认识，将数学能力结构分为：（1）运算能力。

（2）空间想象能力。

（3）数学观察能力。

（4）数学记忆能力。

（5）数学思维能力。

4、学习风格的构成要素分解为：环境、情绪、社会、生理和心理五大类。

有简单地分解为：生理、心理和社会三大类。

11、设计教学方案的基本内容包括设计教学目标、设计教学内容、设计教学过程。

一般是从设计教学目标开始。

12、学习评价的价值：（1）导向价值；（2）反馈价值；（3）诊断价值；（4）激励价值；（5）研究价值。

13、教学过程的主要环节：（1）、前期组织准备（2）、任务提出（3）、理解数学（4）、学习评价。

14、课堂活动的构成要素：教师、学生、教材与环境四个要素所构成，四要素的构成方式具有动态性和生成性的特点。

数学小学知识点练习题及答案

数学小学知识点练习题及答案题目：小学数学知识点练习题及答案一、计算题1. 先乘后加：48 × 2 + 17 = _________2. 先减后乘：60 - 15 × 2 = _________3. 一个教室里有45个学生，已经有25个学生离开了，请问现在还有多少学生在教室里？_________二、填空题1. 在数轴上，数-3表示在0的 _________ 方向上。

2. 57 + 128 = _________3. 把三张1元纸币换成1元硬币，需要 _________ 枚硬币。

三、选择题1. 在五角星里，有多少条边？a. 3条b. 4条c. 5条d. 6条2. 当5个同学坐在一起时，他们可以组成 __________ 个小组。

a. 5个b. 4个c. 3个d. 2个3. 一个圆盘上有12块披萨，小明吃了1/3块，小红吃了1/4块，还剩下的披萨有多少块？a. 5块b. 6块c. 7块d. 8块四、解答题1. 小明有36本故事书，小华有30本。

请问，他们两个人一共有多少本故事书？答：_________2. 一根绳子长1米，小明用尺子量了一下，发现绳子的一部分长0.75米，请问剩下的部分有多长？答：_________五、应用题1. 小明去超市买东西，他手里有5张5元的纸币。

东西一共花费了多少钱？（假设商品价格都是整数）答：_________2. 机场距离小明家10公里，小明骑自行车每小时可以骑行8公里。

请问他需要多长时间才能到达机场？答：_________以上是关于小学数学的练习题及答案。

希望能帮助你巩固数学知识，如果还有其他问题，请随时提问。

大学数学期末复习专题：微积分问题经典例题解析

大学数学期末复习专题：微积分问题经典例题解析微积分作为数学的一个重要分支，是大学数学课程中的核心内容之一。

在期末复中，重点理解和掌握微积分的经典例题是非常重要的。

本文将对一些微积分经典例题进行解析，帮助同学们加深对这些题目的理解。

1.定积分问题例题1：已知函数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，求 $f(x)$ 在区间 $[0.2]$ 上的定积分 $\int_0^2 f(x) dx$。

解析通过积分的定义，我们可以得到：int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0)$$其中 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的原函数。

根据函数的求导规则，求得 $F(x)$ 的表达式为：F(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x + C$$将 $x$ 的取值代入 $F(x)$ 中，我们可得：F(2) - F(0) = (4 - 8 + 2 + C) - (0 - 0 + 0 + C) = -2$$所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0.2]$ 上的定积分为 $-2$。

例题2：已知函数 $f(x) = \sqrt{x+1}$，求 $f(x)$ 在区间 $[0.3]$ 上的定积分 $\int_0^3 f(x) dx$。

解析首先，我们可以直接计算函数 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ 如下：F(x) = \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + C$$将 $x$ 的取值代入 $F(x)$，可得：F(3) - F(0) = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1)$$经过计算，得出定积分 $\int_0^3 f(x) dx$ 的值为$\frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1)$。

2.导数和极值问题例题3：已知函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$，求函数 $f(x)$ 的极值点和极值。

专项复习一元二次方程春九年级数学下册习题课件PPT公开课

x ，下列结论正确的是( D ) (3)x1＝2(3)，x2＝－1.
∴关原于方x的程一的元根二为次：方x1程＝2x12，＋x(22＝k＋－11)x，＋xk32＝＋21，＝x04有＝两－个2. 不相等的实数根x1，x2.
A.x ＋x ＝1 (2)求方程的另一根.
若x1，x2为一元二次方程1x2＋2x2－1＝0的两个根，则xx2＋x1x的值为( )
2
C.
2
C.
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4.关于x的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的
取值范围是( B ) A.a＞－5B.a＞－5且a≠－1
C.a＜－5
D.a≥－5且a≠－1
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5.第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海举办.青浦区某街道为了迎接此次进博会，特制作了一批如图所示的长为80 cm、宽为50 cm的矩形宣传图.现需在宣传图的四周镶一条宽为x cm的金色边框，如果整个挂图的面积是5400 cm2，那么下列方程符合题意的是( D ) A.(50－x)(80－x)＝5400 B.(50－2x)(80－2x)＝5400 C.(50＋x)(80＋x)＝5400 D.(50＋2x)(80＋2x)＝5400
a＜－5
D.
如果关于x的方程x2－x＋k＝0(k为常数)有两个相等的实数根，那么k＝________.
青浦区某街道为了迎接此次进博会，特制作了一批如图所示的长为80 cm、宽为50 cm的矩形宣传图.
(2019·兰州)若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b的值为( )
(50＋2x)(80＋2x)＝5400
x1＋x2＝1
B.
4b的值为( A ) (50－2x)(80－2x)＝5400

高职考复习课数学例题选择

高职考复习课数学例题选择之我见摘要：一年一度的高职高考再过两个多月就要开锣了，现在全国各地的职业学校的复习备考也在紧锣密鼓地进行中，如何才能把握到高考的先决条件呢？我认为上好复习课就是先决条件，而上好复习课的关键内容就是教师组织的例题，例题如何选择，它不仅重要同时又是教师选择例题时费思难以作出取舍的问题。

笔者根据自己的教学情况，认为例题选择应该做到四点：“到点、到层、到位、到度”，只有这样才能轻松引领高考复习。

关键词：高职考复习；数学例题的选取复习课是高中各学科重要的教学课型，能进一步加深学生对知识的理解，加强知识的纵横联系，提升知识综合运用的能力，而复习课应该如何上？新的课程标准说：教材归根结底必须由教师自主编制或对现成的教材进行再加工。

在上高三数学复习课的时候，我时常思考“怎样组织复习的内容”才能达到事半功倍的目的？在时间紧、任务重的时候，显然不能照本宣科，应该根据所教学生的实际情况组织教学的内容，如：例题的选择就是一个非常重要的问题。

虽然人们常说教无定法，但教必须得法，只有教师有了正确选择，才能够较好地引领学生的复习，使学生轻松掌握好知识，适应高考，才能圆学生的大学梦。

下面我以“求函数的定义域”的教学内容来谈谈自己的几个见解：一、例题选择要紧扣高职高考的考试大纲高职高考的考试大纲是我们职业学校高职备考教学的纲要，是适应考试必须达到的要求，选择例题不能是广撒网例题越多越广越好，而应该是能正确地“选到点子上”，尽量的越精越少越好。

对于函数的定义域问题，大纲要求：“理解函数的概念、定义及记号，了解函数的三种表示法和分段函数”，从解读大纲中，可以知道，不仅要理解：什么是函数的定义域（函数中自变量的取值范围的集合）、给定的函数在什么情况下才有意义，而且还要能够解出其定义域。

如：求函数y=log2（3x-2）4-x的定义域。

解答时，抓住（1）对函数的分子的要求对数l og2 （3x-2）的真数3x-2必须要大于0，即3x-2>0才有意义；同时，对分母的要求二次根式4-x的被开方数4-x必须大于或等于0，又由于分母不等于0，即4-x>0才有意义。

五年级下期数学专项复习分数加减法应用题

分数加减法应用题分数加减法与整数加减法的意义完全相同，在应用题中的关系也有很多相同的地方。

分数加减法应用题的难点在于有时候分数表示与单位 1 相对应的分率。

比如：小明看了一本书的21 在这里把一本书看成单位 1 ，小明看了其中的 21，这里不代表具体多少页。

有时候分数又会代表具体的量。

比如：小明看一本书用了21小时在这里21小时也就是我们的半小时，30分钟，代表具体的量。

判断的标准是看有没有单位，注意单位1. 例题1 ：一块地，其中 31种大豆，52种高粱，其余的种玉米。

问玉米占这块地的几分之几？分析：在这里31 ，52都是分率，是把 “一块地”看成单位1。

解： 1 - 31 - 52 = 154(还有其它方法可以做吗？)答：玉米占了这块地的154。

典型习题：1、小智用一根绳子做跳绳，第一次用去了32，第二次用去了51，还剩几分之几？ 2、学校买来一批煤，第一周烧了总数的31，第二周烧了总数的278，两周一共用去了总数的几分之几？3、五年一班今天请病假和请事假的人数占了全班人数的486，其中病假的占了全班人数的485，事假占了全班人数的几分之几？例题2：一条公路，已经修了157千米，剩下的比已经修了的多52千米，这条公路有多长呢？分析：在这里157千米，52千米都表示具体的长度，即千米数。

可以把它们看成整数一样来做。

典型习题：1、食堂有一堆煤，第一天烧去了34吨，第二天比第一天少烧了34吨，问这两天一共烧了多少吨煤？如果已经知道总共原来有10吨煤，那你能求出还剩多少吨煤吗？2、方萍一家买了4千克苹果。

第一天吃了34千克，问剩下的比吃了的多多少千克？ 3、用一根2米的竹竿来测量一个鱼池的水深，插入泥中34，露出水面34米，水深多少呢？例题3：刘星身高57米，比夏雨高51米，夏雨比小雪矮52米，问小雪有多高？分析：此题三个分数都代表具体的数量，也就是身高数。

要求小雪的身高，我们就要知道夏雨的身高，但是题目没有给出，所以我们要先求出夏雨的身高。

对初中数学复习课例题选择的探讨

交点；当 △ ０即 ≠ ３时，次函数的图象与轴有两个＞，二交点．
ห้องสมุดไป่ตู้
证法３利用同圆中等弦的弦心距相等，明直径是：证
角平分线；
证法４利用同圆中等弦对等弧，出等弧所对的圆：导周角相等；
证法５利用垂径定理的推论来推导；：
（ｚ一１（）一２ｘ＋（４２（ｍ）－）ｚ一１）一０，
（１ｒ一２ｘ（ｚ一）（ｍ）＋ｍ＋２］．）一０
例题要针对重点内容与概念，固“ 巩双基” 提高能力．，
【１已知Ａ为（０的直例】Ｄ三）
‘ ．
ＡＢ — ＡＣ．
又ＡＤ— ＡＤ，
’
．
．
ＲｔＡＢＤＲｔ￣ △ ／ＡＣＤ．
ＢＡＤ一ＣＡＤ，
穷，是使学生正确理解、深刻体会知识的好方法．
【３已知二次函数 —ｚ＋（＋３＋３讨论例】），
．．
即ＡＤ平分ＢＡＣ
四、阔思路，题多解开一
一
题多解可以培养解题的思考能力和技能技巧，更
可以通过较少的题目复习较多的基础知识并激发学生的求知欲．【４有含盐８的盐水４例】Ｏ公斤，配成含盐要２的盐水，加盐多少公斤？０需解法１设需要加盐公斤，据加盐前后水的重量：根不变，则

如何选择数学复习课的例题

如何选择数学复习课的例题富平县淡村镇初级中学刘军柱二〇〇八年四月十七日如何选择数学复习课的例题【摘要】新课标下数学复习课的教学，要在传授知识的同时培养学生分析问题和解决问题的能力。

要想通过一道题的讲解而达到其目的，那么数学复习课例题的筛选就显得尤为重要。

例题选择要有代表性，典型性，示范性，这样在复习中既巩固了“双基”，又培养了学生的能力。

【关键词】:复习课筛选例题巩固双基提高能力复习课：难备课难上课，学生收效不明显。

那么，上好一堂数学复习课的关键之一就是例题的选择，通过一道代表性例题的复习，讲解和发挥，把某些基本概念和基本方法阐述得一清二楚，这样既强化“双基”又提高了能力。

因此所选的例题应具备有：典型性、延伸性、创造性和启发性。

本文通过以下几方面来展示例题选择的关键所在。

一、要结合新课标，培养学生提出问题和解决问题的能力。

能发现和提出问题，才能解决问题，才能使学生会用多种方法去解决问题。

由于不同学生在认识方法上存在差异，所以要鼓励学生从不同角度、不同途径来思考问题和解决问题，从而强化数学理解。

注重创新意识和实践能力的培养。

例：如图，半径为R的⊙O与半径为r的⊙O 1 外切于点T，AB为外公切线，PT 为内公切线，AB 与PT 相交与点P 。

据图中做给已知条件及线段设想一个正确结论，并加以证明。

让学生设想结论，首先让学生明确 “切线”的特征，两圆外切的特征，等基础知识，近而让学生去交流图中所熟悉的图形，提出问题，解决问题。

通过此题，培养学生既能提出问题，又能解决问题的能力。

如下结论：(1)PA=PB=PT (2) AT ⊥BT (3)∠BAT=∠TBO 1 (4) ∠OTA=∠PTB (5) ∠APT=∠BO 1T (6) ∠BPT=∠AOT (7)△OAT ∽△PBT (8) △APT ∽△BO 1T (9)PT ⒉＝Rr (10)AB ＝2Rr(11)S 梯AOO1B ＝21(R+r)Rr(12)以AB 为直经⊙OP 与直线OO 1相切与T 点。