二次函数第四卷解析
九年级数学人教版第二十二章二次函数整章知识详解(同步课本知识图文结合例题详解)
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
九年级数学第22章二次函数
问题2： 多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n ＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相 邻的各顶点，可作＿（＿n-＿3＿）条对角线.因此，n边形的对角 线总数＿d＿= 12＿n2 ＿ 32＿n 此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系， 对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
我们来画最简单的二次函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 y=x2 … 9 4 1 0 1 4
∴y=30x2+10x
九年级数学第22章二次函数
5.（哈尔滨中考）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30 米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB 的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方 米）． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值 范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时 AB的长.
为什么a≠0呢?
九年级数学第22章二次函数
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之 间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数 关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积S（cm2） 与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米， 宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关 系式． 【解析】 (1)y=x2
九年及数学中考专题(数与代数)-第二十二讲《二次函数(4)》课件(北师大版)共22页
答：8000元不是最大利润，最大利润是 9000元，此时篮球售价为70元.
四.典型例题
例2（2006年·青海）如图，已知y=x2－ax+a+2 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0，8)，直 线CD平行于x轴，交抛物线于另一点C.动点P以 每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运 动.同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出 发，沿A→B运动.连接PQ、CB，设点P的运动时 间t秒.(0<t<2) (1)求a的值； (2)当t为何值时， PQ平行于y轴； (3)当四边形PQBC的面 积等于14时，求t的值.
∴6－2 t＝2＋t，得
；
对(3)由面积可得t＝1.t5. 4 知识考查：考查二次函数3 有关性质在几何问题中
的综合应用 .
四.典型例题
例3（2006年·河北）利达经销店为某工厂代销一种建筑材 料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后 再进行结算，未售出的由厂家负责处理）.当每吨售价为 260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准 备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价 下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素， 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每 吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）.
解:(4)我认为，小静说的不对.
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元， 而对于月销售额来说，
当W x为 1x 6 04 元 时52 ，1 月6 0 销x0 售7.额5 W最4 3 大x . 16 2 0 19200
二次函数的图象和性质(含详细参考答案10页)
2013年中考数学专题复习 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向 ，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向 当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2+k ，对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x2-7x+152，若自变量x分别取x1，x2，x 3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=12（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．【聚焦中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是A． B． C． D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-38．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：旋钮角度（度）20 50 70 80 90所用燃气量（升）73 67 83 97 115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32．（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞33．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤34．（2012•北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）A．（-2，-1） B．（2，1）C．（2，-1） D．（-2，1）5．（2012•广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-26．（2012•西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A.当x=0时，y的值大于1B.当x=3时，y的值小于0C.当x=1时，y的值大于1D.y的最大值小于06．（2012•巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-17．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个8．（2012•乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜19．（2012•扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-210．（2012•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）11．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．6二、填空题12．（2012•玉林）二次函数y=-（x-2）2+94的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．13．（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．14．（2012•孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．15．（2012•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．16．（2012•成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．17．（2012•上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．18．（2012•宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．19．（2012•贵港）若直线y=m （m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．19．（2012•广安）如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题20．（2012•柳州）已知：抛物线y=34（x-1）2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．21．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi0 1 2 3 4 5 …yi0 1 4 9 16 25 …y i+1﹣yi1 3 5 7 9 11 …由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取2时所对应的点离对称轴最近，∴y3＞y2＞y1．故选B．1．（2012•衢州）解：∵二次函数y=12-x2-7x+152，∴此函数的对称轴为：x=2ba-=7712()2--=-⨯-，∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：A．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x 的增大而减小，∴函数的对称轴x=-22m --≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则22m--≥1，即m ≥1，故本选项错误；③将m=-1代入解析式，得y=x 2+2x-3，当y=0时，得x 2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x 1=1，x 2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=420082+=1006，则22m--=1006，m=1006，原函数可化为y=x 2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）． 对应训练2．（2012•河北）解：①∵抛物线y 2=12（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，故本小题正确；②把A （1，3）代入，抛物线y 1=a （x+2）2-3得，3=a （1+2）2-3，解得a=23，故本小题错误；③由两函数图象可知，抛物线y 1=a （x+2）2-3过原点，当x=0时，y 2=12（0-3）2+1=112，故y 2-y 1=112，故本小题错误；④∵物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），∴y 1的对称轴为x=-2，y 2的对称轴为x=3，∴B （-5，3），C （5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC ，故本小题正确．故选D ． 考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x=2ba-=1，∴2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且2b a -=1，及b a -=2，∴x 1+x 2=ba-=2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C 对应训练3．（2012•重庆）解：A 、∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交与负半轴，∴c ＜0，∵对称轴在y 轴左侧，∴2ba-＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故本选项错误；B 、∵对称轴：x=2b a -=12-，∴a=b ，故本选项错误；C 、当x=1时，a+b+c=2b+c ＜0，故本选项错误；D 、∵对称轴为x=12-，与x 轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2，∴当x=-2时，4a-2b+c ＜0，即4a+c ＜2b ，故本选项正确．故选D ． 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）解：∵A 在直线y=x 上，∴设A （m ，m ），∵OA=2，∴m 2+m 2=（2）2，解得：m=±1（m=-1舍去），m=1，∴A （1，1），∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，故选：C ． 对应训练4．（2012•南京）解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．故答案为：①③．【聚焦中考】1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ． 2．解：A 、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y 的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B 、由图象知，当x=0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 轴的交点在（1，1）点的左边，故y ＜1；故本选项错误；C 、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y 的值小于x=-1时，y 的值1，即当x=-1时，y 的值小于1；故本选项错误；D 、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y 的值小于0；故本选项正确．故选D ． 3．解：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=2ba-＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数ay x=位于第二四象限，纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ． 4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A ′是（0，y 1），那么点A ′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ． 6．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，选项①正确；又对称轴为直线x=1，即2ba-=1，可得2a+b=0（i ），选项②错误；∵-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，选项③错误；∵-1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii ），联立（i ）（ii ）可得：b=-2a ，c=-3a ，∴a ：b ：c=a ：（-2a ）：（-3a ）=-1：2：3，选项④正确，则正确的选项有：①④．故选D ． 7．A8．解：（1）若设y=kx+b （k ≠0），由7320 6750k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1577k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以y=15-x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；若设k y x =（k ≠0），由73=20k ，解得k=1460，所以y=1460x，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；若设y=ax 2+bx+c ， 则由7340020 67250050 83490070a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1 508 597a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以y=150x 2-85x+97（18≤x ≤90），把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．所以二次函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律； （2）由（1）得：y=150x 2-85x+97=150（x-40）2+65，所以当x=40时，y 取得最小值65．即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升） 设该家庭以前每月平均用气量为a 立方米，则由题意得：50115a=10，解得a=23（立方米），即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．【备考真题过关】1．C 2．D 解：根据题意得：y=|ax 2+bx+c|的图象如右图：所以若|ax 2+bx+c|=k （k ≠0）有两个不相等的实数根，则k ＞3，故选D ．3．B 解：∵当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c ≤0②，①②联立解得：c ≥3，故选B ． 4．B 5．C6.解：由图可知，当x ＞﹣1时，函数值y 随x 的增大而减小，A 、当x=0时，y 的值小于1，故本选项错误；B 、当x=3时，y 的值小于0，故本选项正确；C 、当x=1时，y 的值小于1，故本选项错误；D 、y 的最大值不小于1，故本选项错误．6．C 解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，A 、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确； D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．故选C ． 7．B 解：根据图象可得：a ＞0，c ＜0，对称轴：2bx a=-＞0，①∵它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴2ba-=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a ＞0，∴b ＜0，∵c ＜0，∴abc ＞0，故②错误；③∵a-b+c=0，∴c=b-a ，∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a ）=2b-3a ，又由①得b=-2a ，∴a-2b+4c=-7a ＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y ＞0，∴16a+4b+c ＞0，由①知，b=-2a ，∴8a+c ＞0；故④正确；故正确为：③④两个．8．B 解：∵二次函数y=ax 2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（-1，0），∴易得：a-b+1=0，a ＜0，b ＞0，由a=b-1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，所以0＜b ＜1①，由b=a+1＞0得到a ＞-1，结合上面a ＜0，所以-1＜a ＜0②，∴由①②得：-1＜a+b ＜1，且c=1，得到0＜a+b+1＜2，∴0＜t ＜2．故选：B ． 9．B 10．D 11．B 解：当x=0时，y=-6，故函数与y 轴交于C （0，-6），当y=0时，x 2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得x=-2或x=3，即A （-2，0），B （3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2． 二、填空题12．7 解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，94），当y=0时，-（x-2）2+94=0，解得x 1=12，得x 2=72．可画出草图为：（右图）图象与x 轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．13．解：∵抛物线y=a （x-3）2+k 的对称轴为x=3，且AB ∥x 轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC 的周长=3×6=18．故答案为：18． 14．①②③ 解：根据图象可得：a ＜0，c ＞0，对称轴：x=2b a -=1，2b a=-1，b=-2a ，∵a ＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；把x=-1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a-b+c ，由图象可以看出当x=-1时，y ＜0，∴a-b+c ＜0，故②正确；∵b=-2a ，∴a-（-2a ）+c ＜0，即：3a+c ＜0，故③正确；由图形可以直接看出④错误．故答案为：①②③． 15．y 1＞y 2 解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞． 16．37解：∵x 2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴[-2（a-1）]2-4a （a-3）＞0，∴a ＞-1，将（1，0）代入y=x 2-（a 2+1）x-a+2得，a 2+a-2=0，解得（a-1）（a+2）=0，a 1=1，a 2=-2．可见，符合要求的点为0，2，3．∴P=3 7 ．故答案为37． 17．y=x 2+x-2 18．y=-（x+1）2-2 解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．故答案为：y=-（x+1）2-2．18 解：分段函数y=的图象如图：故要使直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m 的取值范围为0＜m ＜2，故答案为：0＜m ＜2．19．272解：如图，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （-6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，得出二次函数解析式为：y=12（x+3）2+h ，将（-6，0）代入得出：0=12（-6+3）2+h ，解得：h=92-，∴点P 的坐标是（-3，92-），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=|-3|×|92-|=272．故答案为：272．三、解答题20．解：（1）抛物线y=34（x-1）2-3，∵a=34＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=1； （2）∵a=34＞0，∴函数y 有最小值，最小值为-3； （3）令x=0，则y=34（0-1）2-3=94-，所以，点P 的坐标为（0，94-），令y=0，则34（x-1）2-3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，点Q 的坐标为（-1，0）或（3，0），当点P （0，94-），Q （-1，0）时，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，则940b k b ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得9494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线PQ的解析式为y=94-x94-，当P（0，94-），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n ，则9430nm n⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得3494mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，直线PQ的解析式为y=34x94-，综上所述，直线PQ的解析式为y=94-x94-或y=34x94-．3．（2012•佛山）解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…。
2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−−2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2ky x=的图象如图所示，当（ ）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（ ） A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（ ） A ．918a ≤< B ．302a << C ．908a <<D ．312a ≤<6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A ．图象的开口向上B ．当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，抛物线与y 轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（ ） A ．0a <B ．0c <C ．2a b c −+=−D ．240b ac −=8．（2024·广东·中考真题）若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（ ） A ．321y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >>9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（ ）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）①0abc >； ②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．411．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．414．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（ ）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是316．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（ ）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1m n= 21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）；24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ．26．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是 ．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为 ．28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是 （填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是 （请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为 ．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标．32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上． （ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值； （ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值．33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围. 34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M 37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线L ：()2230y ax ax a a =−−>与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），其顶点为C ，D 是抛物线第四象限上一点．(1)求线段AB 的长；(2)当1a =时，若ACD 的面积与ABD △的面积相等，求tan ABD ∠的值；(3)延长CD 交x 轴于点E ，当AD DE =时，将ADB 沿DE 方向平移得到A EB ''．将抛物线L 平移得到抛物线L '，使得点A '，B '都落在抛物线L '上．试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．38．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()2,3P −在二次函数()230y ax bx a =+−>的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线x m =． (1)求m 的值；(2)若点(),4Q m −在23y ax bx =+−的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当04x ≤≤时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设23y ax bx =+−的图像与x 轴交点为()1,0x ，()()212,0x x x <．若2146x x <−<，求a 的取值范围． 39．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线222y ax ax a =−+（a 为常数且0a >）与y 轴交于点A ．(1)若1a=，求抛物线的顶点坐标；(2)若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；=交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，(3)若抛物线与直线y x求a的取值范围．2024年中考数学真题汇编专题14 二次函数的图象与性质+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A ．()213y x =+− B ．()=+−2y x 12C ．()213y x =−−D ．()212y x =−− 【答案】A【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为222y x x =+−，再把222y x x =+−化为顶点式即可．【详解】解：抛物线22y x x =+向下平移2个单位后，则抛物线变为222y x x =+−，∴222y x x =+−化成顶点式则为 ()213y x =+−，故选：A ．2．（2024·广东广州·中考真题）函数21y ax bx c =++与2k y x=的图象如图所示，当（ ）时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小．A ．1x <−B ．10x −<<C ．02x <<D ．1x >【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于在一、三象限内，且2y 均随着x 的增大而减小，据此即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，当1x >时，1y 随着x 的增大而减小；2y 位于一、三象限内，且在每一象限内2y 均随着x 的增大而减小，∴当1x >时，1y ，2y 均随着x 的增大而减小，故选：D ．3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线()2213y x c =−+经过()()1235202y y y ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，，，，三点，则123y y y ，，的大小关系正确的是（ ）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >>4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）A ．1b c +>B ．2b =C ．240b c +<D ．0c <【答案】A【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <，依题意，121,1x x <>，根据题意抛物线开口向下，当1x =时，0y >，即可判断A 选项，根据对称轴即可判断B 选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C 选项，无条件判断D 选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <依题意，121,1x x <>∵10a =−<，抛物线开口向下，∴当1x =时，0y >，即10b c −++>5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数()2231y ax a x a =+−+−（x 是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．918a ≤<B ．302a <<C ．908a <<D ．312a ≤< 【详解】解：二次函数6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表，则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大C ．图象经过第二、三、四象限D ．图象的对称轴是直线1x =7．（2024·湖北·中考真题）抛物线2y ax bx c =++的顶点为1,2−−，抛物线与轴的交点位于x 轴上方．以下结论正确的是（ ）A ．0a <B ．0c <C ．2a b c −+=−D ．240b ac −= 【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．【详解】解：根据题意画出函数2y ax bx c =++的图像，如图所示：∵开口向上，与y 轴的交点位于x 轴上方，∴0a >，0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=−>，∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()1,2−−，∴2a b c −+=−，观察四个选项，选项C 符合题意，故选：C ．8．（2024·广东·中考真题）若点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，则（ ）A ．321y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．312y y y >> 【答案】A【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y 轴（直线0x =），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，再比较即可．【详解】解∶ 二次函数2y x =的对称轴为y 轴，开口向上， ∴当0x >时， y 随x 的增大而增大，∵点()()()1230,,1,,2,y y y 都在二次函数2y x =的图象上，且012<<， ∴321y y y >>，故选∶A ．9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数24y x n =−+，二次函数2(1)3y x n x =+−−，反比例函数1n y x+=在同一直角坐标系中图象如图所示，则n 的取值范围是（ ）A ．1n >−B ．2n >C ．11n −<<D ．12n <<【答案】C10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的对称轴为直线=1x −，且该抛物线与x 轴交于点()1,0A ，与y 轴的交点B 在()0,2−，()0,3−之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）①0abc >；②930a b c −+≥；③213a <<； ④若方程21ax bx c x +=++两根为(),m n m n <，则31m n −<<<．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得0a >，20b a =>，32c −<<−，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为()3,0−，即可判断②错误；将c 和b 用a 表示，即可得到332a −<−<−，即可判断③正确；结合抛物线2y ax bx c =++和直线1y x =+与x 轴得交点，即可判断④正确．【详解】解：由图可知0a >，11．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a<0）的顶点为(1,2)．小烨同学得出以下结论：①0abc <；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③若20ax bx c ++=的一个根为3，则12a =−；④抛物线22y ax =+是由抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B0a <，02b ∴−<即a bc ++2c a ∴=−c ∴的值可正也可负，a<2,b a =−∴抛物线为09a =−12a ∴=−，故③正确；抛物线12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）的图象与x 轴交于点3,02A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，对称轴是直线12x =−，有以下结论：①0abc <；②若点()11,y −和点()22,y 都在抛物线上，则12y y <；③21142am bm a b +≤−（m 为任意实数）；④340a c +=．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 <02b a−，<0b ∴.>0abc ∴.故①错误；对称轴是直线而(1−−−−故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线1x =，下列四个结论：①0bc <；②320a c +<；③2ax bx a b +≥+；④若21c −<<−，则8433a b c −<++<−，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【详解】解：①函数图象开口方向向上，对称轴在②二次函数2b a =−，1x ∴=−时，a b c ∴−+3a c ∴+=③对称轴为直线④2c −<<∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得3c a =−，23a ∴−<−<−1233a <<，2b a =−，a bc ∴++83a ∴−<+故④正确；综上所述，正确的有②③④，14．（2024·福建·中考真题）已知二次函数()220y x ax a a =−+≠的图象经过1,2a A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()23,B a y 两点，则下列判断正确的是（ ）A ．可以找到一个实数a ，使得1y a >B ．无论实数a 取什么值，都有1y a >C ．可以找到一个实数a ，使得20y <D ．无论实数a 取什么值，都有20y <【详解】解：二次函数解析式为当15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的部分图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，顶点坐标为()1,4−，则下列说法正确的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线1x =B ．二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是2C ．当1x <−时，y 随x 的增大而减小D ．二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3 【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A 、B 、C ，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y 轴的交点坐标即可判定选项D ．【详解】解∶ ∵二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为()1,4−， ∴二次函数图象的对称轴是直线=1x −，故选项A 错误；∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的一个交点的横坐标是3−，对称轴是直线=1x −， ∴二次函数图象与x 轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B 错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线=1x −，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，故选项C 错误； 设二次函数解析式为()214y a x =++， 把()3,0−代入，得()20314a =−++，解得1a =−， ∴()214y x =−++，当0x =时，()20143y =−++=，∴二次函数图象与y 轴的交点的纵坐标是3，故选项D 正确， 故选D ．16．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数()2211y x x x t =−−≤≤−，当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，则t 的取值范围是（ ）A ．02t <≤B ．04t <≤C ．24t ≤≤D ．2t ≥【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由()22211y x x x =−=−−，可知图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，，当=1x −时，3y =，即()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，，由当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值，可得113t ≤−≤，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵()22211y x x x =−=−−，∴图象开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()11−，， 当=1x −时，3y =，∴()13−，关于对称轴对称的点坐标为()33，， ∵当=1x −时，函数取得最大值；当1x =时，函数取得最小值， ∴113t ≤−≤， 解得，24t ≤≤，故选：C ．17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x −，则下列结论中： ①0bc> ②2am bm a b +≤−（m 为任意实数） ③31a c +< ④若()1,M x y 、()2,N x y 是抛物线上不同的两个点，则123x x +≤−．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,2C −与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，且110x −<<，223x <<，则下列结论：①<0a b c −+；②方程220ax bx c +++=有两个不相等的实数根； ③0a b +>； ④23a >； ⑤2244b ac a −>．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【详解】解：①抛物线开口向上，∴2244b ac a −>，故⑤符合题意； 故选：C ．19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B两点，()()3,0,1,0A B −，与y 轴交点C 的纵坐标在3−～2−之间，根据图象判断以下结论：①20abc >；②423b <<；③若221122ax bx ax bx −=−且12x x ≠，则122x x +=−；④直线56y cx c =−+与抛物线2y ax bx c =++的一个交点(,)(0)m n m ≠，则12m =．其中正确的结论是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =−+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（ ）A ．1m n +=B ．1m n −=C ．1mn =D ．1mn= 先证明(AAS)ANB DMA ≌2)4n +．(2m n E +，4b +−，AM m =，四边形AC ∴、BD 互相平分，AB =90BAN DAM ∴∠+∠=︒，DAM ∠BAN ADM ∴∠=∠．90BNA AMD ∠=∠=︒，BA (AAS)ANB DMA ∴≌．AM NB ∴=，DMAN =．点A 、C 的横坐标分别为24(,)A m m ∴+−，(C (m n E +∴，2m n −−点21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++<的图象交x 轴于点()3,0A −、()1,0B ，交y 轴于点C ．以下结论：①0a b c ++=；②320a b c ++<；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，c =3c =时，在AOC 内有一动点P ，若2OP =，则23CP AP +．其中正确结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个3⎝⎭∴42323 OHOP==，∵23 OPOA=，∴OH OP OP OA=，又∵HOP POA∠=∠，Rt OCH 中，由勾股定理得∴正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数()220y ax bx a =++≠的图象与x 轴交于()1,0−，1(,0)x ，其中123x <<．结合图象给出下列结论：①0ab >；②2a b −=−；③当1x >时，y 随x 的增大而减小；④关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠的另一个根是2a−；⑤b 的取值范围为413b <<．其中正确结论的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5该函数图象与该图象中，当2b a =+∴关于x 的一元二次方程b x −±=0a <，(1a x −∴=∴④正确；123x <<解得1−<a b −=−1b ∴−<−413b ∴<<∴⑤正确．综上，②③④⑤正确，共二、填空题23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ，点()12,P y ，()23,Q y 在抛物线C 上，则1y 2y （填“＞”或“＜”）； 【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线C 的解析式为()21y x =+，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：()22211y x x x =−+=−，∵二次函数221y x x =−+的图象向左平移两个单位得到抛物线C ， ∴抛物线C 的解析式为()21y x =+， ∴抛物线开口向上，对称轴为=1x −， ∴当1x >−时，y 随x 的增大而增大， ∵23<， ∴12y y <， 故答案为：<．24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =−+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后，经过点()24,−，则637a b −−= ． 【答案】2【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到23a b −=，再整体代入变形后代数式即可．【详解】解：抛物线23y ax bx =++向下平移5个单位长度后得到22352y ax bx ax bx =++−=+−， 把点()24,−代入得到，()24222a b =⨯−−−，得到23a b −=，∴()6373273372a b a b −−=−−=⨯−=， 故答案为：226．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 是二次函数241y x x =−+−图象上三点．若101x <<，24x >，则1y 2y （填“>”或“<”）；若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，323m x m +<<+，存在132y y y <<，则m 的取值范围是 ．27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数2()y a x m k =−+（0a ≠）中存在一点(),P x y ''，使得0x m y k '−='−≠，则称2x m '−为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线211323y x x =−++“开口大小”为 ．y 28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过()1,1−，(),1m 两点，且01m <<．下列四个结论： ①0b >；②若01x <<，则()()2111a x b x c −+−+>；③若1a =−，则关于x 的一元二次方程 22ax bx c ++=无实数解；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若1212x x +>−，12x x >，总有12y y <，则102m <≤．其中正确的是 （填写序号）．29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是 （请填写序号）．30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程29ax bx c ++=有两个相等的实数根；③当41x −<<时，y 的取值范围为<<0y 5；④若点()1,m y ，()22,m y −−均在二次函数图象上，则12y y =；⑤满足()212ax b x c +++<的x 的取值范围是<2x −或3x >．其中正确结论的序号为 ．【答案】①②④由2228y x y x x =−+⎧⎨=−−+⎩，解得1120x y =⎧⎨=⎩，2235x y =−⎧⎨=⎩， ∴()2,0A ，()3,5B −，由图形可得，当3x <−或2x >时，2282x x x −−+<−+，即()212ax b x c +++<，故⑤错误；综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④．三、解答题31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =−++的图像与x 轴交于(2,0)A −，(1,0)B 两点．(1)求b c 、的值；(2)若点P 在该二次函数的图像上，且PAB 的面积为6，求点P 的坐标． 【答案】(1)12b c =−=，(2)122434()()P P −−−，，，【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是1PABS=4n =，4n =±，32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线2y x bx =−+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =−+的顶点横坐标大1． (1)求b 的值；(2)点()11,A x y 在抛物线22y x x =−+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =−+上． （ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值； （ⅱ）若11x t =−，求h 的最大值． 【答案】(1)4b =33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2220=−≠y ax a x a .(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点.若对于13x a =，234x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围.综上，当01a <<或4a <−，都有12y y <．34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图象经过点(2,5)A −，对称轴为直线12x =−．(1)求二次函数的表达式；(2)若点(1,7)B 向上平移2个单位长度，向左平移m （0m >）个单位长度后，恰好落在2y x bx c =++的图象上，求m 的值；(3)当2x n −≤≤时，二次函数2y x bx c =++的最大值与最小值的差为94，求n 的取值范围．35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x 的二次函数223y x ax a =++−的最值问题展开探究．【经典回顾】二次函数求最值的方法．（1）老师给出4a =−，求二次函数223y x ax a =++−的最小值． ①请你写出对应的函数解析式；②求当x 取何值时，函数y 有最小值，并写出此时的y 值；【举一反三】老师给出更多a 的值，同学们即求出对应的函数在x 取何值时，y 的最小值．记录结果，并整理成下表：注：*为②的计算结果．【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a 值后，我们只要取x a =−，就能得到y 的最小值．”乙同学：“我发现，y 的最小值随a 值的变化而变化，当a 由小变大时，y 的最小值先增大后减小，所以我猜想y 的最小值中存在最大值．”（2）请结合函数解析式223y x ax a =++−，解释甲同学的说法是否合理？（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线21y x bx =+−的对称轴是直线32x =．设m 是抛物线21y x bx =+−与x 轴交点的横坐标，记533109m M −=．(1)求b 的值；(2)比较M。
二次函数的图象与性质(4页,含解析)
题型十 第10题二次函数的图象与性质(2010～2019.10)1. 已知关于x 的二次函数y ＝－x 2＋2x －3的图象上有两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若x 1＜1＜x 2且x 1＋x 2＝2，则y 1与y 2的大小关系是( )A. y 1＜y 2B. y 1＞y 2C. y 1＝y 2D. 不能确定2. (2019西安铁一中模拟)已知抛物线y ＝ax 2＋(a ＋c )x ＋c (a ＜0)交y 轴的正半轴于点C ，交x 轴于A 、B 两点．若AB ＝4，则该抛物线的对称轴是( )A. 直线x ＝－3B. 直线x ＝12C. 直线x ＝1D. 直线x ＝323. (2019西安高新一中模拟)平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋4ax ＋4a －4的图象经过四个象限，则a 的取值范围是( )A. a ＜1B. 0<a <1C. a ≥1D. －1<a <04. 关于x 的二次函数y ＝x 2－4ax ＋4a 2－a (a ≠0)的图象的顶点一定在( ) A. 直线x ＝－1上 B. 直线y ＝14a －1上C. 函数y ＝－12x 的图象上D. 函数y ＝－12x的图象上5. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象过点(1，0)，且顶点在第二象限，设P ＝a －b ，则P 的取值范围是( )A. －1<P <0B. －1<P <1C. 0<P <1D. 1<P <26. (2019西安高新一中模拟)已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(a 为常数且a ≠0)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为( )A. 1B. ±2C. 2D. 1或－27. 若将抛物线L 1向左平移3个单位，再向下平移1个单位所得的抛物线L 2的表达式为y ＝－2x 2－4x ＋1，则将L 1沿y 轴翻折后所得的新抛物线对应的函数表达式为( )A. y ＝－2(x －2)2＋4B. y ＝2(x －2)2－4C. y ＝－2(x ＋2)2＋4D. y ＝－2(x ＋2)2－4针对训练8. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(3，3)，将抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋3沿水平方向或竖直方向平移，使其经过点P ，则平移的最短距离为( )A. 1B. 32C. 5D. 39. 如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．已知抛物线C 1：y ＝12x 2－x －32，点P 的坐标为(t ，－1)，将抛物线绕点P 旋转180°得到抛物线C 2(此处我们称点P 为旋转点)，若抛物线C 1与C 2关联，则t 的值为( )A. 0或2B. 0或－2C. 0D. 0或±210. 已知二次函数y ＝mx 2－3mx －4m (m ≠0)的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且∠ACB ＝90°，则m 的值可能为( )A. －2B. 4C. －12D. 1411. (2019西工大附中模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过点(1，0)，对称轴l 如图所示，若M ＝a ＋b －c ，N ＝2a －b ，P ＝a ＋c ，则M 、N 、P 中，值小于0的数有 ( )个．A. 2B. 1C. 0D. 3第11题图12. 已知二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m ＋n 的值为( )A. 2B. 12C. 32D. 5213. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)中x 与y 的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有( )x －1 0 1 3 y－1353①ac <0；②当x >1时，y 的值随x 值的增大而减小；③ 4是方程ax 2＋(b －2)x ＋c ＋9＝0的一个根；④当－1<x <3时，ax 2＋(b －1)x ＋c >0.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个参考答案题型十 第10题二次函数的图象与性质1. C 【解析】二次函数的对称轴为直线x ＝－22×（－1）＝1，∵x 1＜1＜x 2且x 1＋x 2＝2，∴点A 、B关于直线x ＝1对称，∴y 1＝y 2.2. C 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋(a ＋c )x ＋c (a ＜0)交y 轴正半轴于点C ，∴c ＞0.又∵抛物线交x 轴于A 、B 两点，且AB ＝4，令y ＝0，则(ax ＋c )(x ＋1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－c a ＞0，则－ca ＋1＝4，解得c ＝－3a ，则该抛物线的对称轴是直线x ＝－a ＋c 2a ＝－a －3a2a＝1.3. B 【解析】∵y ＝ax 2＋4ax ＋4a －4＝a (x ＋2)2－4，∴顶点坐标是(－2，－4)，∵二次函数y ＝ax 2＋4ax ＋4a －4的图象经过四个象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞04a －4＜0，解得0＜a ＜1.4. C 【解析】由y ＝x 2－4ax ＋4a 2－a ＝(x －2a )2－a ，∴该二次函数图象的顶点坐标为(2a ，－a )，将x ＝2a 代入y ＝－12x ，得y ＝－a ，∴该二次函数图象的顶点一定在函数y ＝－12x 的图象上．5. B 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象过点(1，0)，且顶点在第二象限，∴a ＋b ＋1＝0，a ＜0，－b2a <0，∴b ＜0，a ＝－b －1＜0，∴b ＞－1，结合b ＜0，可得－1＜b ＜0，即0＜－b ＜1，∵a ＝－b－1，∴－1＜a ＜0，∴－1＜a －b ＜1，即－1＜P ＜1.6. A 【解析】二次函数图象的对称轴为x ＝－2a2a ＝－1，∵当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∴二次函数图象开口向上，∵－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，∴x ＝1时，y 取得最大值9，将x ＝1代入y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3，得a ＋2a ＋3a 2＋3＝9，解得a ＝1或a ＝－2(负值舍去)．7. C 【解析】∵将抛物线L 1向左平移3个单位，再向下平移1个单位所得到的抛物线L 2的表达式为y ＝－2x 2－4x ＋1，即y ＝－2(x ＋1)2＋3，∴L 1的表达式为y ＝－2(x －2)2＋4，顶点坐标为(2，4)，∴将L 1沿y 轴翻折后所得的新抛物线的顶点坐标为(－2，4)，故新抛物线对应的函数表达式为y ＝－2(x ＋2)2＋4.8. A 【解析】当沿水平方向平移时，纵坐标和点P 的纵坐标相同，将y ＝3代入，得3＝－12x 2＋2x ＋3，解得x ＝4或x ＝0，当x ＝4时，平移距离是4－3＝1；当x ＝0时，平移距离是3－0＝3；当沿竖直方向平移时，横坐标和点P 的横坐标相同，将x ＝3代入，得y ＝－12×32＋2×3＋3＝92，平移的距离是92－3＝32，∵3>32＞1，∴平移的最短距离是1.9. A 【解析】抛物线C 1：y ＝12x 2－x －32的顶点是(1，－2)，由于抛物线C 2是抛物线C 1绕点P (t ，－1)旋转180°所得，∴抛物线C 1与抛物线C 2的顶点关于点P 对称，∴抛物线C 2的顶点是(2t －1，0)，∴抛物线C 2：y ＝－12(x －2t ＋1)2，∵抛物线C 1与C 2关联，∴点(1，－2)在y ＝－12(x －2t ＋1)2上，∴－2＝－12(1－2t ＋1)2，解得t ＝0或t ＝2.10. C 【解析】令y ＝0，则mx 2－3mx －4m ＝0，解得x ＝4或x ＝－1，∵点A 在点B 的左侧，∴OA ＝1，OB ＝4，令x ＝0，则y ＝－4m ，∴OC ＝|－4m |，∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∠CAO ＋∠ACO ＝90°，∴∠CAO ＝∠BCO ，又∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，∴△AOC ∽△COB ，∴OA OC ＝OCOB ，即OC 2＝OA ·OB ，即16m 2＝4，解得m ＝±12，∴m 的值可能为－12.11. A 【解析】∵图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴在y 轴的左侧，∴a ，b 同号，∵图象经过y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴M ＝a ＋b －c ＜0；∵0＞－b2a ＞－1，∴0＞b ＞2a ，∴2a －b ＜0；∵函数图象经过(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，∵b ＜0，∴a ＋c ＞0.故小于0的个数为2个．12. B 【解析】如解图为二次函数y ＝－(x －1)2＋5的图象，∵m ≤x ≤n 且mn ＜0，∴n ＞m ，n ＞0，m ＜0.∴①当m ≤x ≤n ＜1时，当x ＝m 时，y 取最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5，解得m ＝－2或m ＝2(舍去)，当x ＝n 时，y 取最大值，即2n ＝－(n －1)2＋5，解得n ＝2或n ＝－2(均不合题意，舍去)；②当m ≤x ≤1≤n 时，当x ＝1时，y 取最大值，即2n ＝－(1－1)2＋5，解得n ＝52，此时，当x ＝m 或x ＝n 时，取得最小值为2m ，当x ＝m 时，y 取最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5，解得m ＝－2或m ＝2(舍去)，当x ＝n 时，y 取最小值，即2m ＝－(52－1)2＋5＞0(不合题意，舍去)．综上所述，m ＝－2，n ＝52，∴m ＋n ＝－2＋52＝12.第12题解图13. B 【解析】将点(－1，－1)，(0，3)，(1，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝a －b ＋c 3＝c 5＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝3b ＝3，∴二次函数解析式为y ＝－x 2＋3x ＋3.∴ac <0，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝32，∴当x >32时，y的值随x 值的增大而减小，故②错误；方程ax 2＋(b －2)x ＋c ＋9＝－x 2＋x ＋12＝0的一个根是4，故③正确；方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝－x 2＋2x ＋3＝0的两个根是－1和3，∴当－1<x <3时，ax 2＋(b －1)x ＋c >0，故④正 确．综上所述，①③④正确，故正确的个数有3个．。
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
二次函数基础知识详细讲解（附例题与答案）
二次函数基础知识详细讲解（附例题与答案）一、什么是二次函数？【引例】一个正方体的棱长为a，它的表面积为S，于是我们可以得到函数关系式：S=6a²，这里a是自变量，S是a的函数，因为这里自变量的最高次数是2，所以我们把它称为二次函数我们可以以图表的形式把对应关系表示出来(不考虑实际意义)：我们根据列表绘制出它的图像：我们发现：二次函数的图像是一条抛物线二、二次函数的图象研究刚才我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线，那么这条抛物线有什么特点那？二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c（a≠0）（1）我们先来研究a与抛物线y=ax²+bx+c图像的联系我们发现：当a>0时，抛物线开口向上；当a<>观察上面的抛物线我们发现：当a>0，a越大，开口越小当a<>即|a|越大，开口越小（2）抛物线与y轴的交点对于y=ax²+bx+c，令x=0，得y=c，即抛物线与y轴的交点为(0,c)（3）抛物线与x轴的交点对于y=ax²+bx+c，令y=0，就转化成了一元二次方程ax²+bx+c=0我们知道这个方程根的个数可以用判别式△=b²-4ac来判断，①当△>0时，方程有两个不相等的实根②当△=0时，方程有两个相等的实根③当△<>而一元二次方程ax²+bx+c=0的实根个数和抛物线y=ax²+bx+c 与x轴的交点个数是相对应的①当△>0时，抛物线与x轴有两个交点所以，当给出两个交点时，我们也可以把函数关系式写成：我们也把这个关系式叫做交点式②当△=0时，抛物线与x轴有一个交点③当△<>（4）抛物线的顶点及对称性不难发现，抛物线是个轴对称图形，那么它的对称轴是什么那？我们随便找一个二次函数y=2x²-4x+1，我们对它进行配方，得到y=2(x-1)²-1我们利用列表法描点：根据图像我们发现：此函数图像的对称轴为x=1当x<>当x>1，即在对称轴右侧时，抛物线呈增强趋势；当x=1，即在对称轴上时，y=-1，而(1,-1)即为抛物线y=2(x-1)²-1的顶点下面我们对一般情况进行分析：对二次函数一般形式y=ax²+bx+c进行配方得：因此抛物线y=ax²+bx+c的对称轴：顶点坐标：所以我们也把称为顶点式（5）抛物线的增减性与最值观察图像，我们发现：①若a>0②若a<>三、二次函数图象分析常用图四、二次函数题型归纳及做题技巧类型一二次函数的概念【知识点】判断二次函数解析式的三个特征：①整式；②a≠0；③化简后x的最高次数是2 例题1 下列函数中属于二次函数的是（）A. y = 2x + 1 B. y = (x - 1)² - x²C. y = 2x²D.【提示】根据二次函数解析式三个特征例题2 已知是y关于x的二次函数，那么m的值为（）A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0【提示】根据二次函数解析式三个特征类型二二次函数的图像和性质【知识点】二次函数y=ax²+bx+c图像性质1、根据a判断开口方向，|a|判断开口大小①a>0，开口向上；a<>②|a|越大开口越小，|a|相等，抛物线的开口大小，形状相同2、根据c判断与y轴的交点位置①c>0，交于y轴正半轴②c<>③c=0，抛物线经过原点3、根据△判断交点个数①△>0，与x轴有2个交点②△=0，与x轴有1个交点③△<>4、对称轴对称轴是直线x = -b/2a①b=0时，对称轴为y轴②b/a>0（即a、b同号），对称轴在y轴左侧③b/a<>5、根据开口方向和对称轴判断增减性①a>0，对称轴左侧递减，右侧递增②a<>6、看图象判定代数式的值或范围①判断a，b，c的符号和取值根据开口方向及大小，对称轴在y轴哪侧，与y轴交点判断②如何得到a±b+c的值或范围x取±1时可得出③如何得到2a±b的值或范围比较对称轴-b/2a与±1的大小关系得出④如何得到b²-4ac的大小根据图象与x轴的交点个数⑤如何得到a，b，c的关系式试试经过的点代入⑥碰到特殊的技巧和规律就积累下来例题3 函数y= - x² + 1的图象大致为（）【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图象例题4 关于抛物线y = x² - 2x +1，下列说法错误的是（）A. 开口向上B. 与x轴有两个重合的交点C. 对称轴是直线x = 1D. 当x>1时，y随x的增大而减小【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴和y轴的交点可得相关图像，或直接画出图象例题5 下列图像中，有一个可能是函数y = ax² + bx + a + b （a≠0）的图象，它是（）【提示】根据y = ax² + bx + a + b（a≠0），对a，b的正负进行分类讨论，把一定错误的排除掉即可得到正确选项例题6 已知函数y = ax² + bx +a + c，当y > 0时，-1/3 < x="">< 1/2，则函数y="cx²" -="" bx="" +="">【提示】根据a，b，c分别对图象的影响或利用根与系数的关系例题7 如图，已知二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）的图像与x 轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x = 1.下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac-b²＜8a ④1/3 < a="">< 2/3="" ="">其中含所有正确结论的选项是（）A. ①③B. ①③④C. ②④⑤D. ①③④⑤【提示】根据对称轴及图象开口方向向上可判断出a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），从而判断②；根据图像经过（-1，0）可得到a，b，c之间的关系，从而判断③⑤；从图像与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间，从而判断c的大小，进而判断④类型三利用二次函数的对称性解题【知识点】1、若抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称如上图，经过抛物线的A、B两点的纵坐标都是2，那么它们一定关于对称轴对称2、若抛物线上A、B两点关于对称轴对称，且它们的横坐标分别为m、n，则对称轴为x=(m+n)/2例题8 二次函数y = ax² + bx +c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A. 抛物线开口向下B. 当x＞-3时，y随x的增大而增大C. 二次函数的最小值是-2D. 抛物线的对称轴是x=-5/2【提示】注意表格中给出的y值，有三对相同的数字，而它们都是图象上点的纵坐标，抛物线上的点，纵坐标相同，它们一定关于对称轴对称，再根据二次函数的性质逐项判断例题9【提示】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，关于对称轴对称，即可判断例题10 如图，抛物线y = x² - bx + c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x = 2（1）求抛物线的解析式（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB 的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【提示】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，求出b，c即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质连接BC 与x=2交于点P，点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可类型四根据条件确定二次函数的解析式【知识点】注：有顶点信息用顶点式，有交点信息用交点式，没特殊信息用一般式例题11 已知某二次函数的图象如图，则这个二次函数的解析式为（）A. y = - 3（x - 1）² + 3B. y = 3（x - 1）² + 3C. y = - 3（x + 1）² + 3D. y = 3（x + 1）² + 3【提示】有顶点信息，用顶点式例题12 已知二次函数的图象经过（-1，-5），（0，-4），（1，1），则这个二次函数的表达式为（）A. y = - 6x² + 3x + 4B. y = - 2x² + 3x - 4C. y = x² + 2x - 4D. y = 2x² + 3x - 4【提示】无特殊信息，用一般式例题13 已知二次函数图象经过（1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数图象的关系式是_____________________.【提示】有交点信息，用交点式类型五利用二次函数解决实际问题例题14 在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是y cm²，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是（）A. y = (60+2x)(40+2x)B. y = (60+x)(40+x)C. y = (60+2x)(40+x)D. y = (60+x)(40+2x)【提示】挂图面积 = 长×宽 =(60+2x)(40+2x)例题15 某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价5元出售，其销量将减少100件.（1）求售价为70元时的销售量及销售利润（2）求销售利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系，并求售价为多少元时获得最大利润；（3）如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装的定价是多少元？【提示】可参考（九年级第5讲）一元二次方程的实际应用【参考答案】例题1：C例题2：A例题3：B例题4：D例题5：C例题6：D例题7：D例题8：D例题9：D例题10：（1）解析式为：y=x²- 4x + 3（2）点P的坐标为（2，1）例题11：A例题12：D例题13：y= x² - 3x + 2例题14：A例题15：（1）销售量：600（件），销售利润：12000（元）（2）关系式：y= -20(x-75)² + 12500最大利润：12500元（3）定价为70元或80元时这批服装可获利12000元。
2022-2023学年人教版九年级数学上册二次函数专题含解析
2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》解答综合练习题（附答案）1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x… ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …y … ﹣ 0 0 ﹣ …（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出此二次函数的图象；（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x ＜0时，y 的取值范围 ．2．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 经过点（5，），（0，﹣1）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．（2）点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在抛物线上，且x 2＝x 1+3，若y 1，y 2始终小于0，求x 1的取值范围．3．如图，已知抛物线过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），且3AB ＝4OC ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的关系式，并求出这个二次函数的最大值．4．平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝a 2+bx +c 的顶点为（，﹣），它的图象与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x＜5时，写出该二次函数y的取值范围；（3）将抛物线向上平移m个单位长度，当抛物线与坐标轴有且只有2个公共点，求m 的值；（4）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．5．已知：二次函数y＝x2﹣（a+3）x+a+2（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点（非原点），求a的值；（2）若该函数图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜x2，与y轴相交于点C（0，c），c＞0，且满足x12+x22﹣x1x2＝7．①求抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P AC是以AC为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于D点．（1）当点B、D都在坐标系的正半轴，且△BOD为等腰三角形，求二次函数解析式；（2）当m＝﹣2时，将函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω．当直线y＝2x+n与图象Ω仅有两个公共点时，求实数n的取值范围．7．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象经过怎样的一次平移，可使平移后所得图象与坐标轴只有两个交点？8．已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．9．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C 点，且CD∥x轴，求抛物线解析式．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣m交x轴于点B，交y轴于点C，且OA＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第三象限抛物线上一点，连接BP、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点C作CD∥x轴交BP的延长线于点D，连接AD，若∠ADB+∠DCB＝180°，求t的值．11．已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式．12．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．13．抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，已知OA＝2OB＝2OC＝4．（1）求抛物线解析式：（2）若腰长为4的等腰直角三角形BDE的一直角边在x轴上，请问抛物线平移后能否同时经过D，E两点？若能，请说明平移方式；若不能，请说明理由．14．抛物线y＝ax2﹣2ax+m经过点A（﹣1，0），与x轴另一交点为B，交y轴负半轴于C 点，且S△CAB＝6（1）求抛物线的解析式；（2）若在y轴右侧的抛物线上有一点M，使△AMC的面积为9，请求出M点的坐标．15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于C．（1）求抛物线解析式；（2）求P为对称轴上一点，要使P A+PC最小，求点P的坐标．16．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为．17．已知y关于x的二次函数y＝x2﹣bx+b2+b﹣5的图象与x轴有两个公共点．（1）求b的取值范围；（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6﹣2m，求m，n的值；（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．18．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．（1）当b＝﹣2时，①若c＝4，求该函数最小值；②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．19．已知抛物线F：y＝x2+bx+c（b、c为常数）．（1）当b＝﹣2，c＝2，且m≤x≤m+1时，求函数y的最小值和最大值（用含m的代数式表示）；（2）若抛物线过（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，函数的最小值为﹣4，求函数解析式；（3）当c＝b2，且b≤x≤b+3时，最小值为21，求函数解析式；（4）若抛物线过点A（0，﹣2）、B（3，1），设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点D纵坐标t的取值范围；（5）把函数F沿着直线y＝c翻折，得到的函数x＜0的部分记作F1，原函数F的x≥0的部分记作F2，F1和F2合起来组成函数W，若b＝﹣4，且c﹣1≤x≤c时函数W的最大值为1，则c的值为．20．已知二次函数y＝x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c＝3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c＝4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．21．已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）试说明该函数的图象与x轴始终有交点；（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．22．已知二次函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1（m为常数）．（1）若函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，则关于x的方程4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的根是；（2）若不论m取何值，该函数图象的顶点都在一个新的二次函数图象上，求此新函数的解析式；（3）若该函数的顶点纵坐标的取值范围是﹣5≤y＜﹣2时，求m的取值范围．23．已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t 的取值范围．（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC 于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．参考答案1．解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵二次函数经过点（﹣2，），∴﹣3a＝，∴a＝﹣，∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，顶点为（﹣1，2），描点、连线，画出图形如图所示：（3）观察函数图象可知：当﹣4≤x＜0时，y的取值范围是﹣≤y≤2，故答案为：﹣≤y≤2．2．解：（1）把点（5，），（0，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax+c得：，解得：，∴y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣）；（2）y＝x2﹣x﹣1＝（x2﹣2x﹣8）＝（x﹣4）（x+2），∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且x2＝x1+3，∴y1＝（x1﹣4）（x1+2），y2＝（x2﹣4）（x2+2）＝（x1﹣1）（x1+5），∵y1，y2始终小于0，∴（x1﹣4）（x1+2）＜0，（x1﹣1）（x1+5）＜0，∴﹣2＜x1＜4，﹣5＜x1＜1，∴﹣2＜x1＜1．3．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵3AB＝4OC，∴OC＝3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝﹣＝1时，y最大值＝＝4．4．解：（1）由题意得＝，即x A+x B＝3，x A﹣x B＝5，联立方程，解得，∴点A坐标为（4，0），点B坐标为（﹣1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣）2﹣，把（4，0）代入得0＝a﹣，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y取最小值为﹣，∵5﹣＞﹣（﹣1），∴当x＝5时，用取最大值，把x＝5代入y＝x2﹣3x﹣4得y＝6．故答案为：﹣≤y＜6．（3）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴有2个交点，与y轴有一个交点，∴抛物线向上移动至顶点落在x轴上满足题意，∴﹣+m＝0，解得m＝，抛物线向上移动至经过原点时满足题意，即﹣4+m＝0，解得m＝4，综上所述，m＝或m＝4．（4）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x与x+4所对应y值相等时，＝，∴x＝﹣，∴x＞﹣满足题意．5．解：（1）∵抛物线与y一定有一个交点，而抛物线与坐标轴只有两个交点，∴抛物线与x轴只有一个公共点，∴△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝0，整理得a2+2a+1＝0，解得a1＝a2＝﹣1，即a的值为﹣1；（2）①根据根与系数的关系得x1+x2＝a+3，x1•x2＝a+2，而x12+x22﹣x1x2＝7，∴（x1+x2）2﹣3x1•x2＝7，∴（a+3）2﹣3（a+2）＝7，整理得a2+3a﹣4＝0，解得a1＝﹣4，a2＝1，而c＞0，即a+2＞0，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；②存在．当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则A（1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则C（0，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），如图，AC＝＝，当AP＝AC时，P1（2，3）；当CP＝CA时，CP2＝，而CP1＝2，则P2P1＝＝，则P2（2，3+），同样方法得到P1P3＝，所以P3（2，3﹣），∴满足条件的P点坐标为（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．6．解：（1）令y＝0得x2﹣2mx+m2﹣4＝0，解得x1＝m﹣2，x2＝m+2，∴A（m﹣2，0），B（m+2，0），D（0，m2﹣4），∵点D在y轴正半轴，∴m2﹣4＞0，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，则BO＝OD，即|m+2|＝m2﹣4，①当m+2＞0时，m2﹣4＝m+2，解得m＝3或m＝﹣2（舍去）；②当m+2＜0时，m2﹣4+m+2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（都舍去）；③当m+2＝0时，点O、B、D重合，不合题意，舍去；综上所述，m＝3．故二次函数解析式为：y＝x2﹣6x+5．（2）当m＝﹣2时，y＝x2+4x，则A（﹣4，0），B（0，0）顶点为（﹣2，﹣4），因为直线y＝2x+n与图象Ω有两个公共点，则当直线y＝2x+n过A点时n＝8，当直线y＝2x+n过B（0，0）时，n＝0，当直线y＝2x+n与y＝﹣x2﹣4x只有一个公共点时，n＝9，根据图象，可得0＜n＜8或n＞9．7．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，由题意，得∴0＝a（3﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．（2）∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝1，当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点是（﹣1，0）或（3，0）∴由抛物线的图象特征可以得出将抛物线向左平移3个单位时，抛物线对称轴的右侧经过原点；所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向右平移1个单位时，抛物线的对称轴左侧经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移3个单位时，抛物线经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移4个单位时，抛物线的顶点在x轴上，所得图象与坐标轴只有两个交点．8．解：（1）当m＝﹣2，n＝﹣4时，y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5∴当x＝1时，y最小值＝﹣5；（2）当n＝3时，y＝x2+mx+3，令y＝1，则x2+mx+3＝1，由题意知，x2+mx+3＝1有两个相等的实数根，则△＝m2﹣8＝0，∴m＝；（3）由3m+4＜0，可知m，∴m≤x≤m+2，抛物线y＝x2+mx+m2的对称轴为x＝，∵m，∴，∴对称轴为x＝，∴在m≤x≤m+2时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+2，y有最小值为13，∴（m+2）2+m（m+2）+m2＝13，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，而m，∴m＝﹣3，此时，y＝x2﹣3x+9．9．解：如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点，∴a﹣4a+b＝0，∴b＝3a，由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b），∵CD∥x轴，∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b，∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2，∴D（﹣4，b），∵点D在直线y＝﹣x﹣1上，∴b＝4﹣1＝3，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6与y轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∵直线y＝x﹣m交y轴于点C，∴﹣m＝﹣6∴m＝6，∴直线y＝x﹣6，∴当y＝0时，x＝6，∴点B（6，0），∴OB＝6∵OA＝OB，∴OA＝7，∴点A（﹣7，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）如图1，过点P作PH∥AB交BC于点H，∵点P的横坐标为t，∴点P（t，t2+t﹣6）∴t2+t﹣6＝x﹣6，∴x＝t2+t∴S＝×6×（t2+t﹣t）＝t2﹣t；（3）如图2，作抛物线的对称轴交x轴于E，BF平分∠ABC，交对称轴于点F，连接AF，DF，∵点C（0，﹣6），点A（﹣7，0），点B（6，0），∵OB＝6，OC＝6，AB＝13，∴∠OBC＝60°，∵DC∥AB，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∴∠DCB＝120°，∵∠ADB+∠DCB＝180°，∴∠ADB＝60°，∵抛物线y＝x2+x﹣6的对称轴为x＝﹣；∴点E坐标为（﹣，0），AF＝BF，BE＝＝AE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝30°，且AF＝BF，∴∠F AB＝30°，EF⊥AB，∴∠AFB＝180°﹣∠F AB﹣∠FBA＝120°，EF＝，BF＝，∴∠AFB＝2∠ADB∴点D在以点F为圆心，BF为半径的圆上，设点D（x，﹣6）∴DF＝BF∴（﹣﹣x）2+（6﹣）2＝（）2，∴x＝﹣4，∴点D（﹣4，﹣6），且点B（6，0）∴BD解析式为：y＝x﹣，∴解得（舍去），∴t＝﹣11．解：∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵函数有最大值为2，∴抛物线的顶点坐标为（，2），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把（，2）代入得a×（+2）（﹣3）＝2，解得a＝﹣，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）•（x﹣3）＝﹣x2+x+．12．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，得，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，∵y＝2x2﹣x﹣3＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）；（2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x＝，∴N（1，y2）关于直线x＝的对称点为（，﹣2），∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2，∴﹣≤x1≤1．13．解：（1）∵OA＝2OB＝2OC＝4，∴OB＝OC＝2，∴A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2），将A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入抛物线y＝ax2+bx+c得：，解之得a＝﹣，b＝﹣，c＝2，∴y＝﹣，（2）抛物线平移后能同时经过点D、E两点，理由如下：∵BD＝BE＝4，∴E（2，4），D（6，0），设抛物线平移后的解析式为；y＝，将E、D坐标代入得，解之得m＝2，k＝4，∴平移后抛物线顶点为（2，4），∵原抛物线顶点为（﹣1，），∴将原来抛物线向右平移3个单位，再向上平移个单位后能同时经过D、E两点．14．解：（1）设B的坐标为（x，0），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+m，A（﹣1，0），当y＝0时，ax2﹣2ax+m＝0，∴﹣1+x＝2，∴x＝3，∴B（3，0），∴AB＝1+3＝4，∵S△CAB＝×4•×OC＝6，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+m得：，解得：a＝1，m＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设M的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分别过点A、M作y轴的平行线，过C作x轴的平行线，交前面平行线于D、E，连接AM，如图所示：则△AMC的面积＝梯形ADEM 的面积﹣△ACD的面积﹣△CEM的面积＝（3+x2﹣2x﹣3+3）（1+x）﹣×3×3﹣x （x2﹣2x﹣3+3）＝9，解得：x＝（负值舍去），∴x2﹣2x﹣3＝，∴M点的坐标为（，）．15．解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∵点A与点B是抛物线的对称点，而AB＝2，∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3；（2）连接BC，交直线x＝2于点P，则P A＝PB，∴P A+PC＝PB+PC＝BC，∴此时P A+PC最小，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣3），B（3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝2时，y＝x﹣3＝2﹣3＝﹣1，∴P点坐标为（2，﹣1）．16．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．17．解：（1）由题意知，Δ＞0，即，∴﹣4b+20＞0，解得：b＜5；（2）由题意，b＝4，代入得：y＝x2﹣4x+3，∴对称轴为直线，又∵a＝1＞0，函数图象开口向上，∴当m≤x≤时，y随x的增大而减小，∴当x＝时，y＝n＝；当x＝m时，y＝6﹣2m＝m2﹣4m+3，m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）；∴m＝﹣1，n＝；（3）∵，∴对称轴为x＝0.5b，开口向上，∴①当b≤0.5b≤b+3，即﹣6≤b≤0时，函数y在顶点处取得最小值，有b﹣5＝，∴b＝（不合题意，舍去）；②当b+3＜0.5b，即b＜﹣6时，取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝b+3时，y最小值＝，代入得：，b2+16b+15＝0，解得：b1＝﹣15，b2＝﹣1（不合题意，舍去），∴此时二次函数的解析式为：；③当0.5b＜b，即b＞0时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y最小值＝，代入得：，b2+4b﹣21＝0，解得：b1＝﹣7（不合题意，舍去），b2＝3，∴此时二次函数的解析式为：．综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或．18．解：（1）①由题意，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴函数的最小值为3．②∵y＝x2﹣2x+c，∴对称轴是直线x＝1，∵2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，∴x＝2时，y＝5，∴5＝4﹣4+c，∴c＝5．（2）当c＝2b时，y＝x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+2b＝2b2+2b最小值，∴2b2+2b＝12，解得，b1＝﹣3（舍去），b2＝2；②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，∴x＝﹣，y的值最小，∴b2﹣+2b＝12，方程无解．③当﹣＞b+2，即b＜﹣，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+2时，y＝（b+2）2+b（b+2）+2b＝2b2+8b+4为最小值，∴2b2+8b+4＝12．解得，b1＝﹣2+2（舍去），b2＝﹣2﹣2；综上所述，满足条件的b的值为2或﹣2﹣2．19．解：（1）∵b＝﹣2，c＝2，∴y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，开口向上，对称轴为x＝1，①当m+1＜1时即m＜0，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（m+1）＝m2+1，②当0≤m＜时，1≤m+1＜，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（1）＝1，③当＜m≤1时，＜m+1≤2，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（1）＝1，④当m＞1时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（m）＝m2+2m+2，（2）∵抛物线过（﹣3，0），∴9﹣3b+c＝0，∵当﹣3≤x≤0时函数最小值为﹣4，抛物线对称轴为，∴（﹣3，0）点在对称轴的左侧，不能在对称轴的右侧，①当﹣3＜＜0时，即0＜b＜6时，y min＝f（）＝+c＝﹣4，∴b＝2，c＝﹣3，y＝x2+2x﹣3，②当＞0时，即b＜0，y min＝f（0）＝c＝﹣4，∴b＝（不符合舍去），故函数解析式为y＝x2+2x﹣3，（3）∵c＝b2，∴y＝x2+bx+b2，抛物线对称轴为，①当b+3≤时，即b≤﹣2，∴y min＝f（b+3）＝3b2+9b+9＝21，∴b＝﹣4，c＝16，y＝x2﹣4x+16，②当b＜＜b+3时，即﹣2＜b＜0时，∴f（b）＝3b2，f（b+3）＝3b2+9b+9，f（b+3）＞f（b），f（b）＝21，b＝（舍去），f（b+3）＜f（b），f（b+3）＝21，b＝﹣4或者b＝1（舍去），∴y＝x2﹣4x+16，③当b＞时，即b＞0时，∴y min＝f（b）＝3b2＝21，∴b＝或（舍去），∴c＝7，y＝x2+x+7，∴综上所述解析式y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，故函数解析式为y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，（4）∵抛物线过A、B点，∴b＝﹣2，c＝﹣2，y＝x2﹣2x﹣2，∵点B和点C关于原点对称，B（3，1），∴C（﹣3，﹣1），∴设D（1，t），CD所在的直线为L CD，①L CD过点B（与G刚好有交点），设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），B（3，1）代入y＝kx+b，得y＝x，∴t＝，②L CD与G相切，即与图象只有一个交点，设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），D（1，t）代入y＝kx+b，得y＝x+，联立直线和抛物线解析式得，得x2﹣＝0，∴Δ＝﹣4×＝0∴t＝﹣33﹣16，∴（﹣33﹣16）≤t≤，故答案为：（﹣33﹣16）≤t≤，（5）∵b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，抛物线对称轴x＝2，则函数W仍为原函数，①当c＜2时，y max＝f（c﹣1）＝1，∴c＝1，②当2＜c＜3时，f（c﹣1）＝c2﹣5c+5，f（c）＝c2﹣3c，f（c﹣1）＞f（c），c＜，f（c﹣1）＝1，c＝1或c＝4（舍去），f（c﹣1）＜f（c），c≤，f（c）1，c＝（舍去），③c≥3，y max＝f（c）＝1，∴c＝或c＝（舍去），∴综上所述c＝1 或者c＝，故答案为：1或者．20．解：（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴x＝﹣1在﹣2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为﹣4，（Ⅱ）y＝x2+2bx+3，的对称轴为x＝﹣b，①若﹣b＜0，即b＞0时，当x＝0时，y有最小值为3，②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0时，当x＝﹣b时，y有最小值﹣b2+3；③若﹣b＞4，即b＜﹣4时，当x＝4时，y有最小值为8b+19，（Ⅲ）当c＝4b2时，二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x＝﹣b的抛物线，①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，∴当x＝2b时，y＝（2b）2+2b×2b+（2b）2＝12b2为最小值，∴12b2＝21，∴b＝或b＝﹣（舍）∴二次函数的解析式为y＝x2+x+7，②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，当x＝﹣b时，代入y＝x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，∴3b2＝21∴b＝﹣（舍）或b＝（舍），③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，∴当x＝2b+3时，代入二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，∴12b2+18b+9＝21，∴b＝﹣2或b＝（舍），∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+16．综上所述，b＝或b＝﹣2，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16 21．解：（1）∵函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），∴△＝（m﹣1）2+4m＝（m+1）2≥0，∴该函数的图象与x轴始终有交点；（2）y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x﹣）2+，把x＝代入y＝（x+1）2得：y＝（+1）2＝，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）设函数z＝，当m＝﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m＝﹣2时，z＝；当m＝3时，z＝4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤≤4．22．解：（1）∵抛物线y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，∴x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的解为x＝﹣1或x＝，由4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0得（2x）2+2（m﹣1）•2x﹣4m﹣1＝0，∴2x＝﹣1或2x＝，∴x1＝﹣，x2＝．故答案为：x1＝﹣，x2＝．（2）∵y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝x2+2（m﹣1）x+（m﹣1）2﹣（m﹣1）2﹣4m﹣1＝（x+m﹣1）2﹣m2﹣2m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（﹣m+1，﹣m2﹣2m﹣2），令﹣m+1＝x，﹣m2﹣2m﹣2＝y，则y＝﹣x2+4x﹣5，∴抛物线顶点所在抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣5．（3）由题意得﹣5≤﹣m2﹣2m﹣2＜﹣2，∵令y＝﹣m2﹣2m﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为值m＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1），把y＝﹣5代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣5＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝1或m＝﹣3，把y＝﹣2代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝0或m＝﹣2，∴﹣5≤y＜﹣2时，﹣3≤m＜﹣2或0＜m≤1．23．（1）证明：∵抛物线C1的解析式为y1＝a（x﹣h）2+2，∴抛物线的顶点为（h，2）．当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，∴直线l恒过抛物线C1的顶点．（2）解：∵a＞0，h＝1，∴当x＝1时，y1＝a（x﹣h）2+2取得最小值2．又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，∴，∴﹣2≤t≤1．（3）解：令y1＝y2，则a（x﹣h）2+2＝k（x﹣h）+2，解得：x1＝h，x2＝h+．∵线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，∴＞1或＜﹣1．∵k＞0，∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0．又∵1≤k≤3，∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．24．解：（1）法一：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法二：依题意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），将C（0，4）坐标代入得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法三：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，延长DM交x轴于点H，∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y轴交AC于点M，∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，∵DN⊥AC于点N，∴∠AMH＝∠DMN＝45°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴．设直线AC的解析式为y＝kx+b'（k≠0），将A（4，0）、C（0，4）两点坐标代入得，解得，所以直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，DM最大值为4，此时D（2，6），∵△DMN是等腰直角三角形，∴△DMN周长＝，∴△DMN周长的最大值为，此时D（2，6）．（3）如图2，设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），∴．设直线OP的解析式为y＝kx（k≠0），将Q（m，﹣m+4）点代入得，∴直线OP的解析式，将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入得，，所以，化简得，∴，∵∴当n＝2时，的最大值为1．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．∴当x＝1时，a﹣2a﹣1＝﹣2，解得：a＝1．∴y＝x2﹣2x﹣1；（2）由（1）知，抛物线为y＝（x﹣1）2﹣2．∵当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，∴y不能取最小值﹣2，即n，n+1在对称轴x＝1的同侧．分两种情况讨论：①n+1＜1，即n＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+4，解得：n＝﹣1或n＝5，当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+1，解得：n＝﹣1或n＝3，∵n＜0，∴n＝﹣1．②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+1，整理得：n2﹣4n﹣2＝0．当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+4，整理得：n2﹣2n﹣6＝0．∵n2﹣4n﹣2＝0与n2﹣2n﹣6＝0不一致，∴不合题意，舍去．综上所述，当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4时，n＝﹣1．。
二次函数知识点、考点、典型试题集锦（带详细解析答案）
⼆次函数知识点、考点、典型试题集锦（带详细解析答案）⼆次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)⼀、中考要求：1．经历探索、分析和建⽴两个变量之间的⼆次函数关系的过程，进⼀步体验如何⽤数学的⽅法描述变量之间的数量关系．2．能⽤表格、表达式、图象表⽰变量之间的⼆次函数关系，发展有条理的思考和语⾔表达能⼒；能根据具体问题，选取适当的⽅法表⽰变量之间的⼆次函数关系．3．会作⼆次函数的图象，并能根据图象对⼆次函数的性质进⾏分析，逐步积累研究函数性质的经验．4．能根据⼆次函数的表达式确定⼆次函数的开⼝⽅向，对称轴和顶点坐标．5．理解⼀元⼆次⽅程与⼆次函数的关系，并能利⽤⼆次函数的图象求⼀元⼆次⽅程的近似根．6．能利⽤⼆次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进⾏预测．⼆、中考卷研究(⼀)中考对知识点的考查：:(⼆)中考热点：⼆次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查⼆次函数的概念、图象、性质及应⽤，这些知识是考查学⽣综合能⼒，解决实际问题的能⼒．因此函数的实际应⽤是中考的热点，和⼏何、⽅程所组成的综合题是中考的热点问题．三、中考命题趋势及复习对策⼆次函数是数学中最重要的内容之⼀，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，⼜有中档的解答题，更有⼤量的综合题，近⼏年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近⽣活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应⽤题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和⽅法，全⾯地考查学⽣的计算能⼒，逻辑思维能⼒，空间想象能⼒和创造能⼒。
针对中考命题趋势，在复习时应⾸先理解⼆次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应⽤以及⼆次函数与⼏何图形的联系，此外对各种函数的综合应⽤还应多加练习. ★★★(I)考点突破★★★考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为⼆次函数． 2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是⼀条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a 越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
2022年中考数学二次函数(解析版)
热点05 二次函数在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。
而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。
其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
1. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式：根据已知条件，选择合适的表达式求解；一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y ＝a （x-m ）2+h （a ≠0）求其表达式；③若（x 1，0）(x 2，0)是抛物线与x 轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式y ＝a （x-x 1）(x-x 2)（a ≠0）求其表达式；2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象及其性质：牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；其中：二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a 、b 、c 单个字母的判断，a 由开口判断，b 由对称轴判断（左同右异），c 由图象与y 轴交点判断;②含有a 、b 两个字母时，考虑对称轴;③含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系，给x 取值，结合图像判断， 另：含有 a 、b 、c 三个字母，a 和b 系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b 2和 4ac ，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。
3.二次函数的简单应用：认真审题、分清问题类型、注意计算；利润最大化问题与二次函数模型：两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。
二次函数江苏版含解析答案(word版,含答案)
二次函数的图像与性质考点3年考频 常考题型分析二次函数的图像和性质★★★选择、填空、解答三种题型均会出现，其中以选择题、填空题的形式出现时，直接运用性质即可解答，以解答题的形式出现时，需要计算与推理.确定二次函数的表达式★★以填空题的形式出现时，一般根据函数的定义和性质解答，在解答题中一般用待定系数法求解. 抛物线与一元二次方程的关系★★以选择题、填空题的形式出现时，直接运用概念即可解答，以解答题的形式出现时，需要计算与推理.梳理·考点清单 / KAO DIAN QING DAN考点一 二次函数的图像和性质一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，且a A 1）的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.1. 顶点与对称轴：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像的顶点坐标是 A 2，对称轴是经过点 A 3且与y 轴平行的直线.2. y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c 和图像之间的关系： （1）二次项系数a 确定抛物线的开口方向：当a ＞0时，抛物线开口 A 4；当a ＜0时，抛物线开口 A 5，反过来也成立.（2）常数项c 确定抛物线与y 轴交点的位置：当c ＝0时，抛物线经过 A 6；当c ＞0时，抛物线与y 轴正半轴相交；当c ＜0时，抛物线与y 轴负半轴相交，反过来也成立. （3）确定抛物线对称轴的位置：当a ，b 同号时，抛物线的对称轴在y 轴左侧；当a ，b 异号时，抛物线的对称轴在y 轴右侧；当b ＝0时，抛物线的对称轴就是 A 7，反过来也成立.3. 增减性与最值：（1）a ＞0时：①当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而增大.②抛物线有最低点，当x ＝－b 2a 时，y 有最 A 8值，y 最小值＝4ac －b 24a.（2）a ＜0时：①当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而减小.②抛物线有最高点，当x ＝－b 2a 时，y 有最 A 9值，y 最大值＝4ac －b 24a.【拓展】二次函数图像平移的变化规律（1）上、下平移：当抛物线y ＝a （x －h ）2＋k 向上（或向下）平移m （m ＞0）个单位后，所得的抛物线的表达式为 A 10（或 A 11）.（2）左、右平移：当抛物线y ＝a （x －h ）2＋k 向左（或向右）平移n （n ＞0）个单位后，所得的抛物线的表达式为 A 12（或 A 13）.考点二 确定二次函数的表达式1. 二次函数的表达式有三种：（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （适用条件：一般仅已知三点坐标）.（2）顶点式：y ＝a （x －m ）2＋n ，其中（m ，n ）为顶点坐标（适用条件：一般已知顶点及另一个点坐标）.（3）交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2），其中（x 1，0），（x 2，0）为抛物线与 A 14轴的交点（适用条件：一般已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点的坐标）.2. 用待定系数法求函数表达式的步骤：（1）设出含有待定系数的表达式；（2）根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组；（3）解方程（组），求出待定系数的值；（4）将求出的待定系数代入所设的表达式.考点三 抛物线与一元二次方程的关系抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点的个数可以由对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的 A 15确定： （1）有两个公共点2－4ac ＞方程有A 16；（2）有一个公共点（顶点在x 轴上） 2－4ac ＝A 17； （3）没有公共点2－4ac ＜ A 18. 方程、不等式与二次函数的联系：已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）分类当y＝0时，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0当y＞0时，得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0当y＜0时，得一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0图形抛物线与x轴的交点图像位于x轴的上方图像位于x轴的下方解集方程的根不等式的解集不等式的解集当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴A19图像数形结合方程的两个根是抛物线与x轴的交点的横坐标，即：x1，2＝A20不等式的解集是抛物线位于x轴上方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，x＜x1或x＞x2；当a＜0时，A21不等式的解集是抛物线位于x轴下方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，x1＜x＜x2；当a＜0时，A22当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴A23图像数形结合方程的根是抛物线与x轴的交点的横坐标，即：x1＝x2＝A24不等式的解集是抛物线位于x轴上方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，x≠－b2a；当a＜0时，无解不等式的解集是抛物线位于x轴下方的自变量的取值范围，即：当a＞0时，无解；当a＜0时，x≠－b2a当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴A25图像数形结合方程无解当a＞0时，x取一切实数；当a＜0时，无解当a＞0时，无解；当a＜0时，x取一切实数突破·重点难点/ ZHONG DIAN NAN DIAN突破一同一坐标系下二次函数与其他函数图像的共存问题在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（）【点评】本题是对直线和二次函数图像形状及位置的判别，对m的值进行分类讨论，根据m的不同取值范围，利用一次函数图像的性质，结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一判断.突破二 二次函数的图像的平移（2018·淮安模拟）在平面直角坐标系中，将表达式为y＝2x 2的图像沿着x 轴方向向左平移4个单位，再沿着y 轴方向向下平移3个单位，此时图像的表达式为 . 【思路点拨】 抛物线平移与其表达式的变化规律可以概括为：左加右减，上加下减.左右平移表达式变化在二次项内部（括号内部），上下平移表达式变化在二次项外部（括号外部），根据该规律可得到平移后的函数表达式.突破三 二次函数的图像特征与系数的关系的应用（2018·毕节）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＞0；③b 2－4ac ＞0；④a －b ＋c ＞0.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【思路点拨】 由抛物线的对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断.【点评】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数的符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定.已知二次函数y ＝（m －1）x 2＋（m －3）x －2（m 为常数，且m ≠1）.（1）求证：不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有交点； （2）当函数图像的对称轴为直线x ＝1时，把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，求此时抛物线与y 轴的交点； （3）在（2）的情况下，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积.【思路点拨】 （1）二次函数的图像与x 轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题；（2）利用配方法求出抛物线顶点坐标，转化为顶点平移问题；（3）利用平移的性质，将围成的图形面积转化成四边形的面积.【点评】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点和一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根之间的关系：b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数. b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点.突破四 二次函数与几何图形的综合运用如图，直线y ＝－3x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B.抛物线y ＝a （x －2）2＋k 经过点A ，B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P.（1）求a ，k 的值.（2）在图中求一点Q ，使以Q ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q 的坐标.（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周长；若不存在，请说明理由. （4）抛物线的对称轴上是否存在一点N ，使△ABN 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】 （1）由条件可先求得A ，B 两点的坐标，代入抛物线表达式可求得a ，k 的值；（2）过点B 作平行于x 轴的直线，在B 点两侧分别截取线段BQ 1＝BQ 2＝AC ；过点C 作平行于AB 的直线，在C 点两侧分别截取CQ 3＝CQ 4＝AB.则Q 1，Q 2，Q 3，Q 4四点到x 轴的距离都等于B 点到x 轴的距离，可分别求得满足条件的Q 点的坐标；（3）连接BC 交对称轴于点M ，根据“将军饮马”模型，可知点M 即为所求；（4）可设N 点坐标为（2，n ），可分别表示出AB 2，AN 2，BN 2，由勾股定理可得到关于n 的方程，可求得N 点的坐标.（2016·新疆）如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A （6，0）和B （0，－4）. （1）求抛物线表达式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；（3）当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形.【思路点拨】（1）根据对称轴、A，B两点的坐标，可得方程组，解方程组可得表达式中的系数和常数项，配方成顶点式可得顶点坐标；（2）根据平行四边形的性质，S＝S△AEO＋S△AFO＝2S△AEO，求出点E的纵坐标，易求关系式；（3）根据（2）中的关系式，可得面积为24时，E点的坐标，根据菱形的判定，可得答案.分类练习考点一二次函数的图像和性质1. （2017·连云港）已知抛物线y＝ax2（a＞0），过A（－2，y1），B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A. y1＞0＞y2B. y2＞0＞y1C. y1＞y2＞0D. y2＞y1＞02. （2015·常州）已知二次函数y＝x2＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A. m＝－1B. m＝3C. m≤－1D. m≥－13. （2017·宿迁）将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A. y＝（x＋2）2＋1B. y＝（x＋2）2－1C. y＝（x－2）2＋1D. y＝（x－2）2－14. （2017·盐城）如图，将函数y＝12（x－2）2＋1的图像沿y轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是（）A. y＝12（x－2）2－2B. y＝12（x－2）2＋7C. y＝12（x－2）2－5D. y＝12（x－2）2＋45. （2017·扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0），C（2，1），若二次函数y＝x2＋bx＋1的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A. b≤－2 B. b＜－2C. b≥－2D. b＞－26. （2017·宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动.若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A. 20 cmB. 18 cmC. 2 5 cmD. 3 2 cm7. （2018·淮安）将二次函数y＝x2－1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是.8. （2016·镇江）a，b，c是实数，点A（a＋1，b），B（a＋2，c）在二次函数y＝x2－2ax＋3的图像上，则b，c的大小关系是b c.（用“＞”或“＜”填空）9. （2016·泰州）二次函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图像上，则点C的坐标为.10. （2018·宁波）已知抛物线y＝－12x2＋bx＋c经过点（1，0），()0，32.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y＝－12x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.11. （2018·南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2（k－1）x＋k2－52k（k为常数）.（1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值；（2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x ≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－32，求k 的值考点二 确定二次函数的表达式12. （2018·宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝（x －a ）（x －3）的图像与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ，过其顶点C 作直线CP ⊥x 轴，垂足为点P ，连接AD ，BC.（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）若△AOD 与△BPC 相似，求a 的值；（3）点D ，O ，C ，B 能否在同一个圆上？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由.13. （2018·盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A （－1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP ，DQ.①若点P 的横坐标为－12，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标；②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.14. （2018·镇江）如图，二次函数y ＝x 2－3x 的图像经过O （0，0），A （4，4），B （3，0）三点，以点O 为位似中心，在y 轴的右侧将△OAB 按相似比2∶1放大，得到△OA′B′，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像经过O ，A′，B′三点.（1）画出△OA′B′，试求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的表达式；（2）点P （m ，n ）在二次函数y ＝x 2－3x 的图像上，m ≠0，直线OP 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像交于点Q （异于点O ）.①求点Q 的坐标；（横、纵坐标均用含m 的代数式表示） ②连接AP ，若2AP ＞OQ ，求m 的取值范围；③当点Q 在第一象限内时，过点Q 作QQ′平行于x 轴，与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像交于另一点Q′，与二次函数y ＝x 2－3x 的图像交于点M ，N （M 在N 的左侧），直线OQ′与二次函数y ＝x 2－3x 的图像交于点P′.△Q′P′M △QB′N ，则线段NQ 的长度等于.考点三 抛物线与一元二次方程的关系15. （2017·徐州）若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图像与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ） A. b ＜1且b ≠0 B. b ＞1 C. 0＜b ＜1 D. b ＜116. （2016·宿迁）若二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图像经过点（－1，0），则方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为（ ） A. x 1＝－3，x 2＝－1 B. x 1＝1，x 2＝3 C. x 1＝－1，x 2＝3 D. x 1＝－3，x 2＝117. （2017·苏州）若二次函数y ＝ax 2＋1的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程a （x －2）2＋1＝0的实数根为（ ） A. x 1＝0，x 2＝4 B. x 1＝－2，x 2＝6 C. x 1＝32，x 2＝52D. x 1＝－4，x 2＝018. （2017·镇江）若二次函数y ＝x 2－4x ＋n 的图像与x 轴只有一个公共点，则实数n ＝ .19. （2018·南京）已知二次函数y＝2（x－1）（x－m－3）（m 为常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？20. （2017·南京）已知函数y＝－x2＋（m－1）x＋m（m为常数）. （1）该函数的图像与x轴公共点的个数是.A. 0B. 1C. 2D. 1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y ＝（x＋1）2的图像上；（3）当－2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.二次函数的应用解读·考试说明/ KAO SHI SHUO MING考点3年考频常考题型分析二次函数的实际应用★★★多以解答题的形式出现，常与方程、不等式结合考查，综合性较强，难度稍大. 梳理·考点清单/ KAO DIAN QING DAN考点二次函数的实际应用1. 最大利润问题用二次函数解答的利润问题，涉及的主要关系式为“总利润＝每件利润×销售量”，根据该关系式列出二次函数的表达式，然后结合实际意义求解.2. 拱桥问题关于拱桥问题，常用下面两种方法建立直角坐标系解答：一是以拱桥的跨度所在直线作为x轴，拱高所在直线作为y轴（如图①）；二是以拱桥顶点作为坐标原点（如图②）. 3. 抛物线高度问题把二次函数化为y＝a（x－h）2＋k的形式，一般地，顶点纵坐标的值就是物体能够达到的最大高度.如果根据实际意义顶点的横坐标x＝h不在自变量的取值范围内，还需要根据实际意义结合图像确定物体的最大高度.4. 与几何图形有关的最大面积问题如果几何图形面积涉及两个变量，并且两个变量都可以用含有同一个未知数的式子表示，那么面积可以表示为这个未知数的二次函数，把所得函数表达式化为y＝a（x－h）2＋k的形式，并结合具体情境中自变量的取值进行求解.5. 以抛物线为载体判断图形形状和存在性问题这类问题涉及抛物线的内容主要是计算顶点坐标和抛物线与坐标轴或其他图形的交点坐标.解答这类问题，需要对所涉及的数学知识全面掌握.突破·重点难点/ ZHONG DIAN NAN DIAN突破一利用二次函数求最大利润九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元.（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果.【思路点拨】（1）根据（售价－进价）×销量＝利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4 800，一次函数值大于或等于4 800，可得不等式，解不等式组可得.突破二利用二次函数求最大面积为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC 的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【思路点拨】 （1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD 的面积是矩形BCFE 面积的2倍，可得出AE ＝2BE ，设BE ＝a ，则AE ＝2a ，从而AB ＝3a ，根据围网的总长是80 m ，可得2a ＋2×3a ＋2x ＝80，解得a ＝－14x ＋10，则3a ＝－34x ＋30，进而表示出y 与x 的关系式，并求出x 的范围即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可.突破三 利用二次函数解决抛物线问题（2018·衢州）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度. 【解答】【思路点拨】 （1）由题意知，抛物线的顶点为（3，5）且过（8，0），可先设二次函数的顶点式，再代入点（8，0）即可；（2）令y ＝1.8，求出符合题意的x 的值即可；（3）求出原抛物线与y 轴的交点坐标，由形状不变，可得二次函数表达式的二次项系数不变，直径扩大到32米，可知抛物线过点（16，0）.然后用待定系数法求出抛物线的表达式，再利用配方法将所求出的二次函数表达式变形为顶点式，即可确定水柱的最大高度.分类练习考点二次函数的应用1. （2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是（）A. 点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B. 点火后24 s火箭落于地面C. 点火后10 s的升空高度为139 mD. 火箭升空的最大高度为145 m2. （2018·贺州）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元.3. （2016·扬州）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）.未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件.在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为.4. （2018·绵阳）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加m.5. （2018·淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润.6. （2017·泰州）怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1 120元，总利润为280元.（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？7. （2016·徐州）某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与房价x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如下表：x/元180 260 280 300y/间100 60 50 40（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每间空置的客房，宾馆每日需支出各种费用60元.当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大利润.（宾馆当日利润＝当日房费收入－当日支出）8. （2016·宿迁）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元. （1）求y 关于x 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围.9. （2016·南京）如图是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4 m ，从O ，A 两处观测P 处，仰角分别为α，β，且tan α＝12，tan β＝32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系.（1）求点P 的坐标；（2）水面上升1 m ，水面宽多少？（2取1.41，结果精确到0.1 m ）10. （2017·扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p （千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x/（元/千克） 30 35404550日销售量p/千克600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a 元（a ＞0）的相关费用，当40≤x ≤45时，农经公司的日获利的最大值为2 430元，求a 的值.（日获利＝日销售利润－日支出费用）11. （2018·荆门）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10 000 kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166 000元，放养30天的总成本为178 000元.设这批小龙虾放养t 天后的质量为a kg ，销售单价为y 元/kg ，根据往年的行情预测，a 与t 的函数关系为a ＝⎩⎨⎧10 000（0≤t ≤20），100t ＋8 000（20<t ≤50），y 与t 的函数关系如图所示.（1）设每天的养殖成本为m 元，收购成本为n 元，求m 与n 的值； （2）求y 与t 的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本）答案梳理·考点清单__/__KAO__DIAN__QING__DAN______ A1. ≠0A2. ⎝⎛⎭⎫－ b 2a，4ac －b 24aA3.()－ b 2a ，0(说明：填写(－b 2a ，4ac －b 24a)也可) A4. 向上 A5. 向下 A6. 原点 A7. y 轴 A8. 小A9. 大 A10. y ＝a(x －h)2＋k ＋m A11. y ＝a(x －h)2＋k －m A12. y ＝a(x －h ＋n)2＋k A13. y ＝a(x －h －n)2＋k A14. x A15. 根的判别式 A16. 两个不相等的实数根 A17. 方程有两个相等的实数根 A18. 方程没有实数根A19. 有两个交点 A20. －b±b 2－4ac2aA21. x 1＜x ＜x 2 A22. x ＜x 1或x ＞x 2 A23. 有一个交点 A24.－b2aA25. 没有交点 突破·重点难点__/__ZHONG__DIAN__NAN__DIAN____例1. D 解析：当m ＞0时，直线y ＝mx ＋m 的图像经过第一、二、三象限，二次函数图像开口方向向下，C 错误；当m ＜0时，直线y ＝mx ＋m 的图像经过第二、三、四象限，二次函数图像开口方向向上，且对称轴x ＝1m＜0，A ，B 错误，D 正确．例2. y ＝2(x ＋4)2－3例3. D 解析：①∵抛物线对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0. ∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，x ＝－b2a＜1，∴－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，故③正确； ④当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，故④正确． 故选D.例4. (1)∵b 2－4ac ＝(m －3)2－4(m －1)×(－2)＝(m ＋1)2≥0， ∴不论m 为何值，该函数的图像与x 轴总有交点．(2)∵－b 2a ＝3－m 2（m －1） ＝1，解得m ＝53，∴y ＝23x 2－43x －2＝23(x －1)2－83.∴顶点M ()1，－83向上平移83个单位得Q(1，0).∴原抛物线与y 轴交点为N(0，－2)，平移后得P ()0，23.(3)如图，围成的图形面积利用平移可转化成四边形PQMN 的面积，∴两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积为1×83＝83.例5. (1)在y ＝－3x ＋3中，令y ＝0，可求得x ＝1， 令x ＝0，可求得y ＝3，∴A (1，0)，B (0，3)．把A (1，0)，B (0，3)分别代入y ＝a (x －2)2＋k 中，得⎩⎨⎧a ＋k ＝0，4a ＋k ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，k ＝－1.(2)由(1)可知抛物线的表达式为y ＝(x －2)2－1，令y ＝0，可求得x ＝1或x ＝3，∴C (3，0)，∴AC ＝3－1＝2，AB ＝10.过点B 作平行于x 轴的直线，在B 点两侧分别截取线段BQ 1＝BQ 2＝AC ＝2，如图①.∵B (0，3)，∴Q 1(－2，3)，Q2(2，3)．过点C作AB的平行线，在C点两侧分别截取线段CQ3＝CQ4＝AB＝10，如图②.∵B(0，3)，∴Q3，Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离，即为3，且到直线x＝3的距离为1，∴Q3(2，3)，Q4(4，－3)．综上可知，满足条件的Q点的坐标为(－2，3)或(2，3)或(4，－3)．(3)存在．连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图③.由于AB长度不变，则MA＋MB最小时，△MAB的周长最小．∵A，C两点关于对称轴直线x＝2对称，∴AM＝MC，∴BM＋AM＝BC时最小，△ABM的周长最小．设直线BC的表达式为y＝kx＋b.把B(0，3)，C(3，0)代入，得⎩⎨⎧b＝3，3k＋b＝0，解得⎩⎨⎧k＝－1，b＝3.∴直线BC的表达式为y＝－x＋3，当x＝2时，可得y＝1，∴M(2，1)，∴存在满足条件的点M(2，1)，使△ABM的周长最小，此时BM＋AM＝BC＝32，且AB＝10，∴△ABM的周长的最小值为32＋10.(4)存在．由题意可设N点的坐标为(2，n)，则NB2＝22＋(n－3)2＝n2－6n＋13，NA2＝(2－1)2＋n2＝1＋n2，且AB2＝10，当△ABN是以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2＋NA2＝AB2，∴n2－6n＋13＋1＋n2＝10，解得n＝1或n＝2，即N点的坐标为(2，1)或(2，2)，综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为(2，1)或(2，2)．例6. (1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，∵对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)，∴⎩⎨⎧－b2a＝72，36a＋6b＋c＝0，c＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－23，b＝143，c＝－4.∴抛物线的表达式为y＝－23x2＋143x－4，配方，得y＝－23()x－722＋256，∴抛物线的顶点坐标为()72，256.。
二次函数含答案
二次函数一、 知识梳理1.二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2. 二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称 3. 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.(×)(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (4)当n >0时，幂函数y ＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f (x )＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±22.(×)(6)已知f (x )＝x 2－4x ＋5，x ∈[0,3)，则f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (3)＝2.(×)二、 基础自测1．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为()A.－1－52B.－1＋52C ．1D ．－1答案 D解析 因为b >0，故对称轴不可能为y 轴，由给出的图可知对称轴在y 轴右侧，故a <0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a 2－1＝0，a ＝±1，又a <0，所以a ＝－1，故选D.2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值X 围为________． 答案 [1,2]解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1.当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数．∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2.∴m ＝1与m <1矛盾，舍去．当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2，y max ＝f (0)＝3.当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3，∴m ＝0或m ＝2，与m >2矛盾，舍去．综上所述，1≤m ≤2.3. (2014·)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．答案 (－22，0) 解析 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎨⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.三、 典型例题题型一 二次函数的图象和性质例1已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)XX 数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．【思维升华】 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 变式1 求函数在[0,2]上的值域.变式2 (1)已知函数在区间上有最小值3,求.(2)已知二次函数,若在上的最小值为,求的表达式.变式3 (1)如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．(2)若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值X 围是________．答案 (1)5(2)(－∞，－3] 解析 (1)由题意知 ⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. (2)∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]．题型二 二次函数的应用例2 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的X 围． 解 (1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值X 围为(－∞，1)．【思维升华】 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点． 变式已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)XX 数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值X 围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．分类讨论思想在二次函数最值中的应用例3已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．【思维点拨】 参数a 的值确定f (x )图象的形状；a ≠0时，函数f (x )的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2.[2分] (2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]，∴f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增．∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.[6分]②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[9分](3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[11分]综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.【提示】 (1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论． (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论. 变式求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1) 当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a(2)当0≤a 1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1(4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；(2)当0≤a 1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；(3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1 【课堂总结】 方法与技巧1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解 【失误与防X 】1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.专项训练（A 组）1．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是()A ．a ≥8B ．a ≤8C ．a ≥4D ．a ≥－4答案 A解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象可能是()答案 C解析若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.3．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于()A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.4. 对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值X 围是________．答案 (－4,4)解析 由题意得⎩⎨⎧5－a >0，36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.5. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]，应进行讨论． 当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减． 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ， －2<a <1，－1，a ≥1.6. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间．解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0， ∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①式得f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋65，∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3]，单调减区间是[－3，＋∞)．专项训练（B 组）7．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值X围是()A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x∈[0,1]，所以a >0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.8.对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ， a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则m 的取值X 围是________． 答案 (0，14)解析 由题意得f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)， x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x >0. 即222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <14.9.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值X 围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x ) ＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0. 故b 的取值X 围是[－2,0]．10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是()答案 D解析 由A ，B ，C ，D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝ca＝1，比较四个选项，可知选项D 的-- - x1<－1，x2<－1，所以D不满足．- - 优质资料。
人教版九年级数学专题《二次函数图像和性质》(含答案及解析)
专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。
其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。
3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。
②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。
③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。
二次函数练习题及答案解析
二次函数练习题及答案解析二次函数练习题及答案解析（初三数学）学好数学要多做练习、上课认真听讲、不会的题要问老师、做作业要当做考试来看待、不要在心理上抵触数学、平时多抽出一些时间来练习数学，下面是我为大家整理的二次函数练习题及答案解析，希望对您有所帮助!二次函数练习题及答案解析一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab0，c0B ab0，c0C ab0，c0D ab0，c06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P 3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛 B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大答案与解析：一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C 6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx 的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元九年级数学二次函数练习题一、填空题：(每空2分，共40分)1、一般地，如果，那么y叫做x的二次函数，它的图象是一条。
部编数学九年级上册22.4二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质(知识讲解)(人教版)含答案(1)
专题22.4 二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1、准确掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点的坐标；2、经历用描点法画函数图象的过程,感受数形结合的思想和方法,能够由图像直观地观察得到函数的性质；【要点梳理】【知识点一】二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象（1）按步骤列表、描点、连线。
（2）用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。
通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。
实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。
连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。
【知识点2】二次函数y=ax2(a≠0)的性质（1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线。
我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2(a≠0)。
（2）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。
（3）当a>0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；当a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0；当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x的增大而减小，函数y 的值，当x=0时最大，最大值是0。
2021学年初中数学《二次函数》单元测试(四)含答案及解析.docx
2021学年初中数学《二次函数》单元测试（四）含答案及解析一、填空题（共8题） 1、如图所示的抛物线是二次函数的图像，且过原点0,那么该抛物线与 x轴的另一个交点的坐标是。
2、抛物线J^X2+4X =3的顶点坐标是.3、抛物线y = 7（/+2矽-2的顶点坐标为.4、如图，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴£负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C,且tanZAC0=2, CO=BO, AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 .5、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特征：甲：对称轴是直线舟2;乙:与 x轴两个交点的横坐标的积是3;丙:与y轴交点的纵坐标是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3,写出满足上述所有特征的二次函数的表达式为6、二次函数y=(x — 3)(x+2)的图象的对称轴是.7、一次函数J-(2m-6)x+5中，y随x增大而减小，则〃的取值范围是.8、已知抛物线了 = 若点p (一2, 5)与点口关于该抛物线的对称轴对称，则点富的坐标是.二、选择题(共10题)1、有三个二次函数，甲：y = 乙：y = 丙：= 则下列叙述中正确的是( )A.甲的图形经过适当的平移后，可以与乙的图形重合B.乙的图形经过适当的平移后，可以与丙的图形重合C.甲的图形经过适当的平移后，可以与丙的图形重合D.甲，乙，丙三个图形经过适当的平移后，都可以重合2、二次函数》=祝/+&寄+疔的图象如图，下列结论(l)c<0 (2)b>0 (3)4a+2b+c>0 (4) (a+c)2<0 其中正确的是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3、二次函数y = 图像如图所示，则点A (ac, be)在(A,第一象限四象限4、如图所示，二次函数尹=£+故+冷部）的图像经过点（一1, 2）,且与才轴交点的横其中一2《明<-1, 0 <x 2 <1,下列结论:③ c < 2 ； ④& ° > 4ac 其中正确的有（）为、力、外的大小关系是（）®4a-2b+c <0 ；A. 个B. 2个 D. 4个5、 二次函数的图像可能是（6、若 TT'J1二次函数y —¥ — 4x + 5的图像上的三点，则 7、若二次函数y = ajP+bx+a 2-2 （盘, &为常数）的图象如下，则。
2020-2021初中数学二次函数解析
2020-2021初中数学二次函数解析一、选择题1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-2ba=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）A．-1 B．1 C．-3 D．-4【答案】A【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值．【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，其顶点坐标为(0，a2)，而a2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0，y=ax2+a2，a2=3，而当y=0时，x2=−a，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a2+b=0，所以a=−1；若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a2+b=0①；令x=−2，y=0，则4a−2b+a2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 【详解】∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴 ∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a- =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C ． 【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．5．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( ) A ．0ac < B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根；C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>【答案】C 【解析】 【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知： 当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-， 当0x =时，3y =，即3c =， 当1x =时，5y =，即5a b c ++=，联立以上方程：135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴233y x x =-++；A 、1330=-⨯=-<ac ，故本选项正确；B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=，将3x =代入得：232339630-+⨯+=-++=，∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确；C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321()24=--+y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下，∴当32x >时，y 的值随x 值的增大而减小；当32x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误；D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++，由二次函数的图象可得：当0y >时，13x -<<，故本选项正确； 故选：C ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．6．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1-m ，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ） A ．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83） B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点D ．当m<0时，函数在x>14时，y 随x 的增大而减小 【答案】D 【解析】分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答． 详解：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]； A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m， |x 2﹣x 1|=32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的． 故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．7．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B 【解析】 【分析】B ，C 分别是顶点，A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO 的面积. 【详解】抛物线y ＝x 2﹣4x +1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y 轴上,此时顶点B(0,-3)，点A 是抛物线与x 轴的一个交点，连接OC ，AB ， 如图，阴影部分的面积就是ABCO 的面积，S=2×3=6； 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．8．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ．9．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则52c =；其中正确的结论的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据“抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④． 【详解】解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，∴1642(2)0c ∆=-⨯⨯->，解得：4c <，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上， ∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形， 则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半， ∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ， ∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c ∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），将（c-3,2）代入224y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+=解得：72c =或4c = ∵4c <，∴72c =，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．10．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A 5B 453C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】【详解】过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ， ∴BF ∥DE ∥CM ． ∵OD=AD=3，DE ⊥OA ， ∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：5设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ， ∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ． ∴BF OF CM AMDE OE DE AE ==，x 2x 2255-，，解得：)52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴5． 故选A ．11．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：y=a （x 2-2x-3） =a （x-3）（x+1）令y=0，∴x=3或x=-1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B成立；∴抛物线的对称轴为：x=1，令x=1代入y=ax2-2ax-3a，∴y=a-2a-3a=-4a，∴顶点坐标为（1，-4a），故A成立；由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．12．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－1 2x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝12x刻画，下列结论错误的是( )A．斜坡的坡度为1: 2B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5y=时，x的值，判定D．【详解】解：214212y x xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．13．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a *b ＝ab ﹣a +b ，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）A ．不等式（﹣2）*（3﹣x ）＜2的解集是x ＜3B ．函数y ＝（x +2）*x 的图象与x 轴有两个交点C ．在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数D ．方程（x ﹣2）*3＝5的解是x ＝5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A ；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B ；根据题目中所给的运算法则可得a *（a +1）＝a （a +1）﹣a +（a +1）＝a 2+a +1＝（a +12）2+34＞0，由此即可判定选项C ；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】∵a *b ＝ab ﹣a +b ，∴（﹣2）*（3﹣x ）＝（﹣2）×（3﹣x ）﹣（﹣2）+（3﹣x ）＝x ﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x ）＜2，∴x ﹣1＜2，解得x ＜3，故选项A 正确；∵y ＝（x +2）*x ＝（x +2）x ﹣（x +2）+x ＝x 2+2x ﹣2，∴当y ＝0时，x 2+2x ﹣2＝0，解得，x 1＝﹣1+3，x 2＝﹣1﹣3，故选项B 正确； ∵a *（a +1）＝a （a +1）﹣a +（a +1）＝a 2+a +1＝（a +12）2+34＞0， ∴在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数，故选项C 正确； ∵（x ﹣2）*3＝5，∴（x ﹣2）×3﹣（x ﹣2）+3＝5，解得，x ＝3，故选项D 错误；故选D ．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.14．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D【解析】【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2，∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．15．若二次函数y ＝x 2﹣2x+2在自变量x 满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m 的值为（ ）A ．5,5,15,12-+-B ．5,51-+C ．1D ．5,15--【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m ＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m 的方程，可求得m 的值．【详解】∵y ＝x 2﹣2x+2＝（x ﹣1）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，当m ＞1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝m 时，y 有最小值，∴m 2﹣2m+2＝6，解得m ＝1+5或m ＝1﹣5（舍去），当m+1＜1时，可知当自变量x 满足m≤x≤m+1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝m+1时，y 有最小值，∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m ＝5（舍去）或m ＝﹣5，综上可知m 的值为1+5或﹣5．故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，用m 表示出其最小值是解题的关键．16．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选B ．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．17．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm /s 的速度沿折线A →C →B 运动，点Q 从点A 出发以vcm /s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sin B ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（ ）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y＝12AP•AQ•sin A，即可解答②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可③把sin B＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba时，y最大＝2512【详解】①当点P在AC上运动时，y＝12AP•AQ•sin A＝12×2x•vx＝vx2，当x＝1，y＝12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y＝12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y＝43时，代入解得sin B＝13，故此选项正确；③∵sin B＝13，∴当P在BC上时y＝12•x（10﹣2x）×13＝﹣13x2+53x，∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+53x，故此选项不正确；④∵y＝﹣13x2+53x，∴当x ＝﹣522b a =时，y 最大＝2512， 故此选项不正确；故选A ．【点睛】 此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解18．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ）A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移32个单位，再向下平移92个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】 通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可．【详解】解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意；由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2），当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意；由C 选项可得L '为：239()22y x =+-， 则顶点为（-32，-92），顶点（-32，-92）关于原点的对称点为（32，92）， 当x ＝32时，y ＝92，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2(3)9y x =+-，则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】 试题解析：①由开口向下，可得0,a <又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ，故①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确；③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< (1)当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)（1）+（2）×2得，630a c +<，即20a c +<，又因为0,a <所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+>所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22().a c b +<故④正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B ．20．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论：①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】 由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b a＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确； ②已知x=﹣2b a＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a ＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选：C ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．。
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§3.4二次函数复习目标1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：（1）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a-），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2ba ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2ba ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而增大．（2）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当x =－2ba 时，函数有最大值244ac b a -3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=a(x －h)2＋k 的图象． 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． 4. 二次函数的图象与系数的关系：(1) a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；物线开口向下，则a ＜0．（2）b 的符号出的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若对称轴在y 轴左侧，则－2ba ＜0即2ba ＞0，则a 、b 为同号；若对称轴在y 轴右侧，则－2ba ＞0，即2ba ＜0．则a 、b 异号．即“左同右异”．（3）c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半轴，则 c ＞0，抛物线交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．（4）△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0；没有交点，则△＜0 ． 5．二次函数表达式的求法：⑴若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2；⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)对称轴为直线x=h ；⑶若已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可采用交点式：12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0） 6．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根．（3）当二次函数c bx ax y ++=2的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2+ bx+c的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2没有实数根．典例精析【例1】(1) 已知抛物线21(4)33y x =-- 的部分图象如图，则 再次与x 轴相交时的坐标是（ ）A ．（5，0）B 。
（6，0）C ．（7，0）D 。
（8，0）（2）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0【分析】（1）由21(4)33y x =--，可知其对称轴为x=4,而图象与x 轴已交于(1，0)，则与x 轴的另一交点为(7，0)。
（2）由抛物线开口向下可知a ＜0；与y 轴交于正半轴可知c ＞0；抛物线的对称轴在y 轴左侧，可知－2ba＜0．则b ＜0．故选A ．【解答】（1）C （2）A【例2】（2006宁波）如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴相交于B （1，0）、C （-3，0），且过点A （3，6）。
（1） 求a ，b ，c 的值。
（2） 设抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，连结CP 、PB 、BQ 。
试求四边形PBQC 的面积。
【分析】本题第（1）小题考察用待定系数法求抛物线的解析式，结合条件可以考虑用交点式。
第（2）小题关键是求出Q 点的坐标，因为它是对称轴与线段AC 的交点，所以要先求出直线AC 的解析式。
【解答】（1）由题意可设：)3)(1(+-=x x a y ，把点A （3，6）坐标代入可得 21=a 所以)3)(1(21+-=x x y ， 即23212-+=x x y所以23,1,21-===c b a（2） 顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴是直线1-=x而直线AC 的解析式为3+=x y所以对称轴与线段AC 的交点Q 的坐标为（-1，2）设对称轴与x 轴相交于点D ，则可得：DP=DB=DQ=DC=2所以四边形PBQC 的面积为8。
【例3】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
【分析】①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。
【解答】可设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）∴1)521(02+-+=a ，解得41-=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(412+--=x y 【例4】如图是抛物线型的拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽64米，水位上升3米就达到警戒水位线CD ，这时水面宽34米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？【分析】本题关键是建立合适的直角坐标系。
【解答】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点M 在y 轴上，且A （62-，0），B （62，0），C （32-，3），D （32，3），设抛物线的解析式为)62)(62(-+=x x a y ，代入D 点得6412+-=x y ，顶点M （0，6），所以1225.0)36(=÷-（小时）【例5】已抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
【分析】抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。
【解答】（1）由已知有⎩⎨⎧>=∆≠-0012m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）又∵1-=∆=m m a AB例2图∴2112121=⋅-⋅=⋅⋅=∆m m OC AB S ABC ∴34=m 或54=m ∴132312--=x x y 或156512---=x x y课内巩固1. （2006临安）抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（-1，-1）D ．（1，-1）2．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2B 、1C 、3D 、43．二次函数c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ） A 、6、4 B 、－8、14C 、4、6D 、－8、－14 4．（2006湖州）已知二次函数y=x 2－bx+1（－1≤b ≤1），当b 从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。
下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ）A 、先往左上方移动，再往左下方移动;B 、先往左下方移动，再往左上方移动;C 、先往右上方移动，再往右下方移动;D 、先往右下方移动，再往右上方移动5．（2006诸暨）抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 ( ) A ．（12 ，0）； B ．（1， 0）；C ．（2， 0）；D ．（3， 0）6．已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________。
7．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示：（1）这个二次函数的解析式是y=__________．（2）当x=_______时，y=3；（3）根据图象回答：当x______时，y ＞0．8．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。
根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？9．四边形DEFH 为△ABC 的内接矩形，AM 为BC 边上的高且长为8厘米，BC 长为12厘米，DE 长为x ，矩形的面积为y ，请写出y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是关于x 的二次函数.课外拓展A 组1. （2006舟山）二次函数y=x 2+10x-5的最小值为（ ）． A ．-35 B ．-30 C ．-5 D ．202. （2006绍兴）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=21 3.55x -+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( ) A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m3. 函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4）D.（0，－4）4.（2006苏州）抛物线y ＝2x 2+4x+5的对称轴是x=_________ ．5.（2006浙江）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴．（1）给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0 其中正确的结论的序号是 ．（２）给出四个结论：①abc ＜0；②2a+b ＞0；③a+c=1； ④a ＞1．其中正确的结论的序号是 。