3.3幂函数教案

§3.3 幂函数

【学习要求】

1.了解幂函数的概念.

2.会画幂函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x －

1,y ＝x 的图象. 3.理解幂函数的性质. 【学法指导】

类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性,体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法,进一步渗透数形结合与类比的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数称为幂函数,其中 α 为常数.

2.幂函数的性质:(1)所有的幂函数在 (0,＋∞) 上都有定义,并且图象都过点 (1,1) ;

(2)若α>0,则幂函数的图象通过 原点 ,并且在区间 [0,＋∞) 上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;

(3)如果α<0,则幂函数在区间 (0,＋∞) 上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 我们知道对于N ＝a b ,N 随b 的变化而变化,我们建立了指数函数y ＝a x ;如果a 一定,b 随N 的变化而变化,我们建立了对数函数y ＝log a x.设想:如果b 一定,N 随a 的变化而变化,是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题.

探究点一 幂函数的概念

问题1：函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1

x

分别是哪种类型的函数？

答：分别是一次函数,二次函数,反比例函数.

问题2这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？ 答：幂的底数是自变量,指数是常数,一般形式为y ＝x α.

问题3 函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1

x

都是幂函数.怎样定义幂函数？

答：幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数叫做幂函数,其中α是常数. 问题4判断一个函数是幂函数的标准是什么？

答：幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x,

指数为一常数这三个条件时,才是幂函数.如: y ＝3x 2, y ＝(2x)3, y ＝⎝⎛⎭⎫x 2 4

都不是幂函数.

例1在函数y ＝1

x

2,y ＝2x 2,y ＝x 2＋x,y ＝1中,幂函数的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析 ∵y ＝1x

2＝x －

2,所以是幂函数;y ＝2x 2由于出现系数2,因此不是幂函数;y ＝x 2＋x 是两项和的形式,不是幂函数;

常函数y ＝1不是幂函数.

小结：只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子,才是幂函数,否则就不是.

跟踪训练1已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－

1＋2n －3是定义域为R 的幂函数,求m,n 的值.

解：由题意得m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0 解得m ＝－3,n ＝3

2

.

探究点二 幂函数的图象和性质

导引为了研究幂函数的性质,如下图,在同一坐标系内作出函数 (1)y ＝x; (2)y ＝x 1

2 ; (3)y ＝x 2;

(4)y ＝x －

1; (5)y ＝x 3的图象,思考 下列问题:

问题1你能从这五个具体的函数图象中,发现什么规律？

答：(1)所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);

(2)若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;

(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,＋∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.

问题2函数y ＝x 2与y ＝x 1

2 在第一象限的图象有什么关系？出现这种关系的原因是什么？

答：函数y ＝x 2与y ＝x 12 在第一象限的图象关于直线y ＝x 对称,因为y ＝x 2与y ＝x 1

2

互为反函数.

问题3你能把问题2中两个函数图象的关系推广到什么范围？

答：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称.

问题4在第一象限,作直线x ＝a(a>1),它同各幂函数图象都相交,若按交点从下到上的顺序,对应的幂指数有什么规律？

答：幂指数按从小到大的顺序排列.

问题5

答：

例2 (1) (a ＋1)1.5

, a 1.5

; (2) (2＋a 2

)

－

23,

2－

2

3.

解： (1)考察幂函数y ＝x 1.5,在区间[0,＋∞)上是单调增函数. 因为a ＋1>a,所以(a ＋1)1.5 > a 1.5. (2)考察幂函数y ＝x －

2

3,在区间[0,＋∞)上是单调减函数.因为2＋a 2≥2,所以(2＋a 2

)

－

23

≤ 2－

2

3

小结：比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点,指数相同底数不同时,要利用幂函数的单调性比较,底数相同而指数不同时,要利用指数函数的单调性比较,指数与底数都不同时,要通过增加一个数起桥梁作用进行比较. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小:

(1)－8－78 和 －⎝⎛⎭⎫19 78 ; (2)(－2)－3 和 (－2.5)－3; (3)(1.1)－0.1 和 (1.2)－0.1; (4)(4.1) 25 ,(3.8) －23 和 (－1.9) 35. 解：(1)－8－

78＝－⎝⎛⎭⎫1878 , 函数y ＝x 78 在(0,＋∞)上为增函数,又 18>19

, 则 ⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫19 78, 从而 －8－78 <－⎝⎛⎭⎫19 7

8 . (2)幂函数y ＝x －

3在(－∞,0)和(0,＋∞)上为减函数, 又∵－2>－2.5,∴(－2)－

3<(－2.5)－

3.

(3)幂函数y ＝x －0.1在(0,＋∞)上为减函数, 又∵1.1<1.2,∴1.1－0.1>1.2－

0.1.

(4)(4.1) 25>12

5＝1;0<(3.8)－

2

3<1－

23＝1; (－1.9) 35<0,∴(－1.9) 3

5<(3.8)

－

2

3<(4.1) 2

5.

例3讨论函数y ＝x 2

3的定义域、奇偶性,作出它的图象.并根据图象说明函数的增减性.

解：函数y ＝x 2

3

＝

3x 2,定义域是实数集R. 因为f(－x)＝(－x)

2

3＝[(－x)2]

1

3＝(x 2)

13＝x 2

3 ,

所以函数

y ＝x 23

是偶函数.因此函数的图象关于

y 轴对称.列出函数在[0,＋∞)上的对应值表:

作出这个函数在[0,＋

出它在(－∞,0]上的图象,如图:由它的图象可以看出, 这个函数在区间(－∞,0]上是减函数,在区间[0,＋∞)上是增函数. 小结：讨论幂函数的性质时,若幂函数的指数是分数的形式,一般把幂函数写成根式的形式,这样不仅容易求出函数的定义域、值域,也容易考察函数的奇偶性;画幂函数的图象,只需弄清楚幂函数在第一象限的图象,再借助于奇偶函数的图象性质,即可画出整个函数的图象.