3.3幂函数教案
2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
人教B版高中数学必修一教案3.3幂函数
人民教育出版高中数学B版必修一◆3.3《幂函数》教学设计一、教学目标学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等相关知识,初步掌握了研究函数的程序。
学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
但学生间存在差异，特别是动手操作的能力，观察、类比、分析、归纳总结的能力个体差异还比较明显。
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下三维教学目标：（一）知识与技能：理解幂函数的概念，掌握幂函数的图象与性质，学会利用幂函数的图象与性质来解决简单的问题。
（二）过程与方法：探究幂函数的图象与性质的过程，掌握由特殊到一般、类比、数形结合、分类讨论的数学思想方法。
（三）情感、态度与价值观：培养学生画图、识图、用图的思想意识，在问题面前要有勇于探索的精神品质。
二、教学重点、难点依据课程标准，在吃透教材基础上，确立如下的教学重点、难点。
（一）重点：幂函数的图象与性质，通过主题探究、例题设计、学生板演、课件展示等手段突出重点。
2.教学过程设计请学生根据观察出的图象特征，归纳出幂函数的性质。
学生小组合作完成下表，上台展示：函数)(R x y ∈=αα指数 1>α 10<<α 0<α图象过定点单调性函数值特点完善表格，形成知识脉络，突破难点.例1、 比较下列两个代数式值的大小 （1）5.15.1)1(a a +（2）21219.01.1--练习:比较下列两个代数式的大小：(1)119.08.0--（2）43434.23.2（3）22)43()32(-- （4）2121)31()21(学生思考，口头回答教师引导学生总结比较大小的方法。
幂函数概念的应用，加深幂函数性质的理解。
0<ααα>α=α 生成新知典例 剖 析六、板书设计§3.3 幂函数[设计意图]板书呈现整堂课的内容与方法，突出本节重难点，体现教学进程，启迪学生思维.设计理念：1.本节课以：“教什么”、“怎么教”，“为什么这样教”与学生的“学什么”、“怎么学”，“为什么这样学”的有机结合为教学设计出发点.2.在教学过程中，从实际问题入手，设置探究题，引导学生自主、合作学习，渗透数学思想方法为教学设计的落脚点.3.在问题解决过程中，以数学应用意识的培养，解决问题能力的提高为教学设计的最终目的.。
3.3幂函数-教学设计公开课
3.3幂函数【学习目标】1.了解幂函数的概念 2.结合函数的图像，了解它们的变化情况。
【学习重点】五个幂函数的图像与性质【学习目标】画出3y x =和12y x =的图像，通过5个幂函数的图像概括出它们的共性.一、学习过程实例导入(1) 如果张宏以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜w 千克，那么她需要支付w p =元，这里p 是w 的函数；(2) 如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2S a =，这里S 是a 的函数；(3) 如果立方体的棱长为b ，那么立方体的体积3V b =，这里V 是b 的函数；(4) 如果正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长c S =，这里c 是S 的函数；(5) 如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度1/v km s t=，即1v t-=，这里这里v 是t 的函数。
观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 二、新知学习要点定义符号幂函数一般地，函数__________的函数叫幂函数，其中__________是自变量，__________是常数注：幂函数的特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数α取值的不同而不同幂函数在第一象限的图象第三部分：智慧导学 证明幂函数()f x x =是增函数例2.比较下面大小：（1） 2.43.14、 2.4π与（2） 3.82()3-与 3.83()4- 例3.幂函数221()(33)m m f x m m x --=-+的图像不经过原点，求实数m 的值。
例4.已知幂函数()f x 的图象过1(8,)4点，试求：（1）()f x 的定义域（2）()f x 的奇偶性（3）()f x 的单调区间．课后巩固一、选择题1.下列函数：①y ＝x 3；②y ＝xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )几个常用幂函数的图象幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点__________； （2）幂函数是奇函数的有__________，幂函数是偶函数的有____________________ （3）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且函数在区间),0[+∞上是__________； （4）0<α时，幂函数的图象不过原点，幂函数在区间),0(+∞上是__________.当0<α时，x 轴与y 轴是幂图象的渐近线；（5）幂函数在第四象限无图象.A ．1B ．2C ．3D ．42已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2221，，则k ＋α等于( )A.B ．1C.D ．23.幂函数231223(5)m m y m m x --=+-的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为( )A ．2或－3B ．2C ．－3D ．04，如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( ) A.,－2,B.－2,, C.－2,,D.，,－2二、5在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －的图象可能是( )三、填空题6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．7．若12(1)a ＋<12(32)a －，则a 的取值范围是________．8．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则m 与n 的大小关系为________．9．已知幂函数f (x )的图象过点(9,3)，则)21(f ＝________，函数)11(-xf 的定义域为________．10．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．三、解答题 11．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x＋－，m为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．12．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1,3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．。
《幂函数》示范课教学设计【高中数学人教】
《3.3 幂函数》教学设计教学重点：5个幂函数的图象与性质．教学难点：画y ＝x 3 和 y ＝x 21的图象，通过5个幂函数的图象概括出它们的性质．用软件制作动画；PPT 课件．一、 导入新课问题1： 在前两个单元的学习中，我们为研究函数设定了一个基本框架，你能说说研究一个函数从哪些方面入手吗？答案：首先结合实际背景抽象出函数模型，能够用解析法、表格法、图象法恰当地表示函数，当厘清概念之后，着手研究函数的图象与性质，最后应用函数解决实际问题．问题2：观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？（1）如果张红以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜w kg ，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；（2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为b ，那么立方体的体积V ＝b 3，这里V 是b 的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长c ＝S ，这里c 是S 的函数；（5）如果某人t s 内骑车行进1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝1t ，这里v 是t 的函数．引导学生从解析式的结构特征去思考，发现这5个解析式的共同点．追问1：你还能举几个相同结构的函数的例子吗？（y ＝x 0，y ＝x 4，y ＝x －2，y ＝x 31等．） 预设的答案：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量．教师点拨：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数(power function )，其中x 为自变量，α为常数．（板书：幂函数）对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3，12，－1时的图象与性质．设计意图：问题1通过学生熟悉的实际问题引出课题，追问1帮助学生进一步熟悉幂函数的结构特征．二、探究新知 1．确定研究思路问题3：按照问题1中搭建的框架，接下来我们需要研究幂函数的图象与性质了，你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？师生活动：学生回忆函数的概念与性质的探究思路，老师在学生回答的基础上补充． 预设的答案：通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．设计意图：问题（1）帮助学生确立具体的研究目标，问题（2）是帮助学生确立研究方单调性师生活动：学生可以顺利画出y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x 的图象，但是在画y ＝x 3 和y ＝x 21的图象时会遇到困难，老师引导学生通过解析式先得到部分性质，比如定义域，奇偶性，甚至是单调性，然后学生再用描点法画图，最后老师借助画图软件作出图象再加以认识．预设的答案：如图1和表2．表2y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 21 y ＝1x 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减追问1：结合图1和表2，你能总结出这5个幂函数的共性吗？（图象都过点(1，1)，图象都经过第一象限．）追问2：这5个幂函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第三象限？（如果定义域为{x |x ≥0}，则不过第二、三象限，比如y ＝x 21；如果定义域包含(－∞，0)，可以图1结合奇偶性判断，如果为偶函数，则过第二象限，比如y ＝x 2；如果为奇函数，则过第三象限，比如y ＝x 和y ＝x 3．）追问3：在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？（y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近，其余均单调递增．y ＝x 的图象是一条直线，其余全是曲线，当0＜x ＜1时，y ＝x 21的图象位于该直线的上方；当x ＞1时，y ＝x 21的图象位于该直线的下方．y ＝x 2和y ＝x 3的图象与y ＝x 的图象的位置关系正好相反（如图2）且当0＜x ＜1时，y ＝x 2的图象位于y ＝x 3的图象的上方，当x ＞1时，y ＝x 2的图象位于y ＝＝x 3和y ＝x 21解析式的特点，对函数的定义域、单调性、奇偶性等进行初步判断，这样可以使学生提高取点的目的性，使图象更好地反映函数的特征，而且可以使学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．追问2，3，4引导学生体会不同幂函数的“个性”，尤其是体会不同幂函数的变化趋势的差异．∀x 1，x 2∈[0，+∞)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2 ＝x 1－x 2x 1＋x 2．因为x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)，即幂函数f (x )＝x 是增函数． 设计意图：由于之前幂函数的基本性质是由图象观察得来，本题弥补了由图象归纳性质的不严谨，同时也是对刚刚学习的一般函数单调性定义的应用，提升学生的逻辑推理和数学（1）(－1.5)3和(－1.4)3可看作函数y ＝x 3当x 分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值．y ＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，因为－1.5＜－1.4 ，所以(－1.5)3＜(－1.4)3．（2）1－1.5和1－1.4可看作函数y ＝1x 当x 分别取－1.5和－1.4时所对应的两个函数值.y＝1x 在(－∞，0)上单调递减，因为－1.5＜－1.4 ，所以1－1.5＞1－1.4． 设计意图：通过利用幂函数y ＝x 3和y ＝x －1的单调性比较大小，加深对幂函数性质的理解，提升学生的逻辑推理素养．四、归纳小结问题5：（1）你能用结构图的形式小结本单元的内容吗？（2）至此，本章的内容已经全部学习完毕，你能画一个思维导图梳理本章的研究内容和研究方法吗？师生活动：师生一起总结．预设的答案：答案：（1）本单元的结构图如图4；（2）本章的思维导图如图5．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确幂函数的定义和常见的5个幂函数的性质．。
高中数学新教材《3.3幂函数》说课稿(经典、完美)
9
引入概念:（5min）
（2）引导学生对幂函数做出定义：
一般地，函数 y xa 叫作幂函数，其中x是
自变量，a是常数。
10
• （3）引导学生用列表描点法，应用函数的性质
，如奇偶性，定义域等，在直角坐标系内作出幂
函数
1
y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
设计意图
使学生强化认识，更深刻地理解 球的体积和表面积的公式及其应用 并且逐渐地培养学生形成良好的个 性。
19
4、布置作业（2min） P79 1、2
设计意图：巩固知识并及时反馈教学信息，了解学生对幂函数图像 性质的掌握程度。
20板书设计：Fra bibliotek幂函数
1、幂函数定义
根据函数单调性判断
2、幂函数与指数
同指数的幂函数的大 小的方法
函数、的区别
3、幂函数的图像 及简单的性质
例一
练习1、2 作业
设计意图：简洁明了，重点突出，使学生更好地掌握这节课的重点知识。
21
22
的图像最后，
利用电脑软件画出以上几个函数的图像并展示给
学生：
(8min)
11
图像：
12
让同学们一起观察与谈论，共同得出各函数的定义 域，值域，奇偶性，单调性等，并填入表格：
13
(5min)
（5）让学生通过观察图像与表格，分组讨论，探究幂 函数的性质和图像的变化规律，引导学生得出幂函 数的性质：
1. 所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1， 1）
2. 如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞） 上是增函数．
3. 如果a＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象内， 当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当 ｘ趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地趋近x轴．
人教A版(2019)必修第一册3.3 幂函数 教案
【新教材】3.3幂函数（人教A 版）幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数. 问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数.21问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数. 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S ，这里a 是S 的函数.问题5：如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v =t －1km/s ，这里v 是t 的函数. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题 1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
《幂函数》教案
3.3幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成a x y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {}0|≠y y（0，+∞） 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 偶函数 单调性 递增（-∞，0）减 递增[0，+∞）增 （-∞，0）减 （-∞，0）增 （0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减定点（1，1）从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x 是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=《幂函数》教案说明教材：普通高中课程标准试验教科书 数学1（必修）B 版 人民教育出版社 章节：3.3幂函数 一、教学目标定位幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下教学目标：在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数性质的一般方法.在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.二、学情分析本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.三、教学诊断分析虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。
3.3幂函数教学设计2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019))必修第一册
目标：让学生了解幂函数的基本概念、组成部分和性质。
过程：
讲解幂函数的定义，包括一般形式及其主要组成元素。
详细介绍幂函数的图像特点、性质，使用图表或示意图帮助学生理解。
通过实例，让学生更好地理解幂函数在实际应用中的作用。
3.幂函数案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解幂函数的特性和重要性。
拓展与延伸
1.拓展阅读材料
-《数学分析》：选取与幂函数相关章节，深入理解幂函数的数学性质和图像特点。
-《高中数学读本》：阅读其中关于幂函数的实际应用案例，了解幂函数在自然科学、社会科学等领域的应用。
-《数学建模》：学习如何将幂函数应用于实际问题中，掌握数学建模的基本方法。
-《数学史》：了解幂函数的发展历程，认识历史上数学家们对幂函数的研究和贡献。
2.教学难点
-理解并区分不同底数的幂函数图像及其性质。
-对幂函数图像的变换，如平移、伸缩等操作的理解和应用。
-将幂函数的性质与实际情境相结合，解决具体问题。
举例：对于底数不同的幂函数，如f(x)=x^2和f(x)=(1/2)^x，通过对比分析其图像和性质，帮助学生理解底数变化对幂函数图像的影响。针对图像变换，通过具体示例，如将f(x)=x^2图像向右平移2个单位得到f(x)=(x-2)^2，讲解变换规则及其对函数性质的影响。在解决实际问题时，指导学生如何将现实问题抽象为幂函数模型，并运用所学知识进行解答。
过程：
选择几个典型的幂函数案例进行分析，如人口增长模型、衰减现象等。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解幂函数的多样性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用幂函数解决实际问题。
幂函数教学设计
3.3 幂函数教学设计一、单元内容和内容解析 1. 内容幂函数的定义，五个常见幂函数的图象与性质. 2. 内容解析幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数，在此之前学生已经学习了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，因此幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上展开的，主要是在归纳五个具体幂函数共性基础上的数学抽象.“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（定义、表示一图象与性质一应用），并体会如何在函数的概念及基本性质的指导下展开研究.因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂函数的概念、图象与性质. 二、单元目标和目标解析 1. 目标（1）通过具体实例，了解幂函数的定义，会画五个幂函数的图象，理解它们的性质；（2）通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法. 2. 目标解析（1）能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式；会利用 幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数；会画出五个具体幂函数的草图，结合图象研究它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质；能利用幂函数的性质解决一些简单的问题，如比较大小等.（2）结合对幂函数的研究，体会从定义、表示一图象与性质一应用的研究具体函数的方法. 三、单元教学问题诊断分析学生在初中已经学习过一些具体的幂函数，但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识，教学时应联系初中学习函数的经验，以及前面学习过的一般函数的概念和性质，让学生尝试构建本节课的学习思路，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法.画出3y x =和y =.教学时先引导学生观察函数解析式的特点，得出3y x =是奇函数，y =的定义域为[0,)+∞等；然后让他们思考如何取点，并利用描点法作图，分析五个函数图象的共性和差异性而得出性质.同时，还要加强信息技术的应用.在归纳性质时，学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑，教师要引导学生思考研究函数的一般方法及 所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳作好铺垫.基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函 数图象的内容和方法. 四、教学支持条件分析利用信息技术，可以将五个具体幂函数的图象画在同一个坐标系中，以利于观察、归纳出函数的性质. 五、教学过程设计 （一）、复习回顾问题1：前面我们学习了函数的概念，单调性，奇偶性，这是我们研究函数的一般路径。
2020-2021高中数学人教版第一册学案：3.3 幂函数含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.3 幂函数含解析3。
3 幂函数【素养目标】1．通过具体实例，理解幂的概念．（数学抽象)2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理）【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研究一般幂函数的图象和性质．必备知识·探新知基础知识知识点1幂函数的概念函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考1:幂函数的解析式有什么特征？提示:①系数为1；②底数x为自变量;③幂指数为常数．知识点2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2）幂函数的性质：幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0,＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞）值域R［0，＋∞）R ［0，＋∞）｛y｜y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性__增__x∈(0,＋∞）增;x∈(－∞,0) 减__增____增__x∈(0，＋∞）减;x∈(－∞，0)减公共点都经过点（1,1）α同特征？提示:图象都是从左向右逐渐上升．基础自测1．下列函数为幂函数的是(D）A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝错误!D．y＝x2[解析]y＝2x4中，x4的系数为2,故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式,故B不是幂函数；y＝错误!＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f（x）的图象过点（2,22)，则f（4)的值为(B)A．4 B．8C．2错误!D．错误![解析］设f(x）＝xα，∴2错误!＝2α，∴α＝错误!。
∴f（x)＝x错误!.∴f(4)＝4错误!＝（22）错误!＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数,则m＋n等于（C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意，得错误!，∴错误!∴m＋n＝3。
3.3幂函数教案
§3.3 幂函数【学习要求】1.了解幂函数的概念.2.会画幂函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x －1,y ＝x 的图象. 3.理解幂函数的性质. 【学法指导】类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性,体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法,进一步渗透数形结合与类比的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点1.幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数称为幂函数,其中 α 为常数.2.幂函数的性质:(1)所有的幂函数在 (0,＋∞) 上都有定义,并且图象都过点 (1,1) ;(2)若α>0,则幂函数的图象通过 原点 ,并且在区间 [0,＋∞) 上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;(3)如果α<0,则幂函数在区间 (0,＋∞) 上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 我们知道对于N ＝a b ,N 随b 的变化而变化,我们建立了指数函数y ＝a x ;如果a 一定,b 随N 的变化而变化,我们建立了对数函数y ＝log a x.设想:如果b 一定,N 随a 的变化而变化,是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题.探究点一 幂函数的概念问题1：函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1x分别是哪种类型的函数？答：分别是一次函数,二次函数,反比例函数.问题2这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？ 答：幂的底数是自变量,指数是常数,一般形式为y ＝x α.问题3 函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1x都是幂函数.怎样定义幂函数？答：幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数叫做幂函数,其中α是常数. 问题4判断一个函数是幂函数的标准是什么？答：幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x,指数为一常数这三个条件时,才是幂函数.如: y ＝3x 2, y ＝(2x)3, y ＝⎝⎛⎭⎫x 2 4都不是幂函数.例1在函数y ＝1x2,y ＝2x 2,y ＝x 2＋x,y ＝1中,幂函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 ∵y ＝1x2＝x －2,所以是幂函数;y ＝2x 2由于出现系数2,因此不是幂函数;y ＝x 2＋x 是两项和的形式,不是幂函数;常函数y ＝1不是幂函数.小结：只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子,才是幂函数,否则就不是.跟踪训练1已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－1＋2n －3是定义域为R 的幂函数,求m,n 的值.解：由题意得m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0 解得m ＝－3,n ＝32.探究点二 幂函数的图象和性质导引为了研究幂函数的性质,如下图,在同一坐标系内作出函数 (1)y ＝x; (2)y ＝x 12 ; (3)y ＝x 2;(4)y ＝x －1; (5)y ＝x 3的图象,思考 下列问题:问题1你能从这五个具体的函数图象中,发现什么规律？答：(1)所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);(2)若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,＋∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.问题2函数y ＝x 2与y ＝x 12 在第一象限的图象有什么关系？出现这种关系的原因是什么？答：函数y ＝x 2与y ＝x 12 在第一象限的图象关于直线y ＝x 对称,因为y ＝x 2与y ＝x 12互为反函数.问题3你能把问题2中两个函数图象的关系推广到什么范围？答：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称.问题4在第一象限,作直线x ＝a(a>1),它同各幂函数图象都相交,若按交点从下到上的顺序,对应的幂指数有什么规律？答：幂指数按从小到大的顺序排列.问题5答：例2 (1) (a ＋1)1.5, a 1.5; (2) (2＋a 2)－23,2－23.解： (1)考察幂函数y ＝x 1.5,在区间[0,＋∞)上是单调增函数. 因为a ＋1>a,所以(a ＋1)1.5 > a 1.5. (2)考察幂函数y ＝x －23,在区间[0,＋∞)上是单调减函数.因为2＋a 2≥2,所以(2＋a 2)－23≤ 2－23小结：比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点,指数相同底数不同时,要利用幂函数的单调性比较,底数相同而指数不同时,要利用指数函数的单调性比较,指数与底数都不同时,要通过增加一个数起桥梁作用进行比较. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小:(1)－8－78 和 －⎝⎛⎭⎫19 78 ; (2)(－2)－3 和 (－2.5)－3; (3)(1.1)－0.1 和 (1.2)－0.1; (4)(4.1) 25 ,(3.8) －23 和 (－1.9) 35. 解：(1)－8－78＝－⎝⎛⎭⎫1878 , 函数y ＝x 78 在(0,＋∞)上为增函数,又 18>19, 则 ⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫19 78, 从而 －8－78 <－⎝⎛⎭⎫19 78 . (2)幂函数y ＝x －3在(－∞,0)和(0,＋∞)上为减函数, 又∵－2>－2.5,∴(－2)－3<(－2.5)－3.(3)幂函数y ＝x －0.1在(0,＋∞)上为减函数, 又∵1.1<1.2,∴1.1－0.1>1.2－0.1.(4)(4.1) 25>125＝1;0<(3.8)－23<1－23＝1; (－1.9) 35<0,∴(－1.9) 35<(3.8)－23<(4.1) 25.例3讨论函数y ＝x 23的定义域、奇偶性,作出它的图象.并根据图象说明函数的增减性.解：函数y ＝x 23＝3x 2,定义域是实数集R. 因为f(－x)＝(－x)23＝[(－x)2]13＝(x 2)13＝x 23 ,所以函数y ＝x 23是偶函数.因此函数的图象关于y 轴对称.列出函数在[0,＋∞)上的对应值表:作出这个函数在[0,＋出它在(－∞,0]上的图象,如图:由它的图象可以看出, 这个函数在区间(－∞,0]上是减函数,在区间[0,＋∞)上是增函数. 小结：讨论幂函数的性质时,若幂函数的指数是分数的形式,一般把幂函数写成根式的形式,这样不仅容易求出函数的定义域、值域,也容易考察函数的奇偶性;画幂函数的图象,只需弄清楚幂函数在第一象限的图象,再借助于奇偶函数的图象性质,即可画出整个函数的图象.跟踪训练3 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. (1)y ＝x 25 ; (2)y ＝x －34; (3)y ＝x －2.解： (1)函数y ＝x 25 ,即y ＝5x 2,其定义域为R,是偶函数,它在[0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0]上单调递减. (2)函数y ＝x －34,即y ＝14x 3,其定义域为(0,＋∞),它既不是奇函数,也不是偶函数,它在(0,＋∞)上单调递减.(3)函数y ＝x －2,即y ＝1x2,其定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),是偶函数.它在区间(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.下列函数中不是幂函数的是 ( ) A.y ＝x B.y ＝x 3C.y ＝2xD.y ＝x －1解析：根据幂函数的定义:形如y ＝x α的函数称为幂函数,选项C 中自变量x 的系数是2,不符合幂函数的定义,所以C 不是幂函数.2.已知幂函数f(x)＝x α的图象经过点(2,22),则f(4)的值等于( )A. 16B. 116C. 2D. 12解析：由f(x)＝x α的图象经过点(2,22),得22＝2α,所以α＝－12,则f(4)＝4－12＝2－1＝12.3.设a ∈{－1,1,12,3),则使函数y ＝x a 的定义域为R 的所有a 的值为 ( )A. 1, 3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3 解析：y ＝x－1的定义域为{x|x≠0},y ＝x 12的定义域为{x|x>0},只有y ＝x, y ＝x 3的定义域为R.课堂小结：1.幂函数在第一象限内指数变化规律:在第一象限内直线x ＝1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小; 在直线x ＝1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m 是否为偶数;判断幂函数的奇偶性时要看指数n m 中的m 、n 是奇数还是偶数.y ＝x α,当α＝nm(m 、n ∈N ＋,m 、n 互质)时,有:。
人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》教学设计
引入
问题1：回忆指数函数概念
写出下列y关于x的函数解析式：
学生：独立完成
教师：引导定义.
设计意图：培养学生自主归纳性质.
新知
探究
问题2：以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,具有的共同特征？
(1)底数为自变量x，系数为1；(2)指数为常数；
(3)均是以自变量为底的幂.
定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数.
课题
幂函数
3.3.1幂函数
课型
新
课时
1
《3.3幂函数》教学设计
知识与技能：
掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
过程与方法：
加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。
情感态度与价值观：
（2）当α＞0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上Байду номын сангаас增函数（从左往右看,函数图象逐渐上升）.
（3）当α＜0时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数.在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.
学生：全体学生回答
2.比较大小
学生：独立完成
教师：让学生演示，并进行点评.
设计意图：结合概念和性质进行应用.
归纳
总结
本节课你都学会哪些知识？
（1）幂函数的定义；
（2）幂函数的图像和性质
学生：学生回忆
教师：教师补充
分层
作业
教材P110习题A中1，2和3；
3.3幂函数教学案
3.3 幂函数 教学案 2012.10.29备课教师：一、教学目标通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用。
二、教学重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
三、教学难点画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
四、上课时间： 五、教学过程（一）、教材·知识·研读 一、新课引入x y =，2x y =，1-=x y ，3x y =，21x y =观察上述五个函数，有什么共同特征？ 二、合作学习，共同探究 1、定义一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数.练习1：判断在函数xy 1=，22x y =，x x y -=3中，哪几个函数是幂函数？2、幂函数的图象作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）2x y =；（3）1-=x y ；（4）3x y =；（5）12y x =．3、幂函数的性质引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律： （Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （Ⅲ）0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数． 三 知识应用题型一 幂函数定义的理解【例1】已知函数m x m m x f m m ,)2()(122-++=为何值时，)(x f 是：（1） 正比例函数 （2） 反比例函数 （3） 二次函数 （4） 幂函数【变式训练】若将函数换为122)22()(-+-+=m m x m m x f ，试解决（3）（4）两问.题型二 幂函数的图像 【例2 】 已知幂函数1αx y =，2αx y =，3αx y =对应曲线C ，C ，C ，如图所示。
指出1α，2α，3α的大小关系。
【变式训练】下面6个幂函数的图像如图所示，试建立函数与图像之间的对应关系； （1）23x y = (2) 31xy =(3) 32xy =(4)2-=x y (5) 3-=x y (6) 21-=xy(A) (B) (C)(D) (E) (F)【题型三】利用单调性比较幂函数值的大小 【例3】 比较下列各组数的大小： （1）212.3与215.2； （2）231.0-与218.0-； （3）52)5(-与52)7(-【变式训练】（1）325.4与323.4； （2）253-与251.3-； （3）31)2(-与31)3(-【题型四】 求幂函数的定义域【例4】 写出下列函数的定义域：（1）3)(x x f =； （2）21)(x x f =； （3）2)(-=x x f【变式训练】（1）53)(x x f =；（2）5)(-=x x f ；（3）43)(-=x x f ；（4）32)(-=xx f题型五 综合应用【例6】已知)1()1(33232->+>a a ，求a 的取值范围。
高中数学：3.3幂函数教学设计课件新人教版必修1
高中数学：3.3幂函数教学设计课件新人教版必修1徐建强一、教材分析1．在教材中的地位与作用幂函数在老教材中出现过，后来又删，现在又重新出现，当然两次在教材中的地位不一样，这次分量较轻，只要一课时，所以控制难度是值得注意的地方。
幂函数选自必修1第2章第4节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质（定义域、值域、图像、奇偶性、单调性）研究一个函数的意识。
因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。
从概念到图象（12312,,,,y x y x y x y x y x-=====），利用这五个函数的图象探究其定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点，概括、归纳幂函数的性质，培养学生从特殊到一般再到特殊的一般认知规律。
从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究。
2．教材编排与课时安排幂函数的教学按照《教参》要求一个课时完成。
通过这一课时学习幂函数的定义，图像及性质，从而进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，并且为后面学习其他函数作好准备。
二、教学目标分析依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：[知识与技能]使学生了解幂函数的定义，会画常见幂函数的图象，掌握幂函数的图象和性质，初步学会运用幂函数解决问题，进一步体会数形结合的思想。
[过程与方法]引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法；通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣；对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力；运用性质解决问题时，进一步强化数形结合思想。
新教材3.3幂函数 教案
第三章 函数的概念与性质3．3 幂函数[目标] 1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点] 幂函数的定义、图象和性质． [难点] 利用幂函数的性质解决有关问题．知识点一 幂函数的概念[填一填]一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y ＝2x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝(x ＋1)3是幂函数吗？提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数． 知识点二 幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝的图象如下图．[答一答]2．幂函数y ＝x α的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y ＝x 2. (2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y ＝.(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如1y x -=. 3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x >0时，y ＝x α>0，不可能出现y <0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象． 知识点三 幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]4．对于幂函数y ＝x α(α是常数，x 是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？ 提示：α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数； α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数．类型一 幂函数的概念[例1] 下列函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋2x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x .其中幂函数的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1] (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( C )A.12 B ．1 C.32D ．2(2)已知函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，则m ＝－3或1，n ＝－3或1.解析：(1)由幂函数定义知k ＝1，把⎝⎛⎭⎫12，22代入y ＝x α得α＝12，∴k ＋α＝32.选C.(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m ＋2＋2n －3是幂函数，由幂函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得m ＝－3或1，n ＝32.类型二 幂函数的图象[例2] 下图是幂函数y ＝x m 、y ＝x n 与y ＝x－1在第一象限内的图象，则( B )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1[解析] 由y ＝x m 的图象是横卧抛物线形，知0<m <1；由y ＝x n的图象是双曲线，知n <0.作直线x ＝x 0(0<x 0<1)，与y ＝x n 、y ＝x －1的图象分别交于点A 、B ，由“点低指数大”知n <－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．[变式训练2]幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝的图象经过的区域对应的序号有( D )A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数12y x=的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数12y x=的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3]比较下列各组中三个数的大小．[分析]本题考查幂函数．比较幂值大小的方法分类比较对象方法指数相同，底数不同 1x α与2x α利用幂函数y x α=的单调性底数相同，指数不同 1x a 与2xa 利用不等式性质底数、指数都不同1x a 与2x b 寻找“中间量”2x a 或1x b 或1或0等[变式训练3] 比较下列各组中两个值的大小：1.下列所给出的函数中，是幂函数的是( B ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－12.如果幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f ⎝⎛⎭⎫116的值为( D ) A.12 B ．2 C ．1D ．4解析：设f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f (x )＝＝4.3.函数13y x =的图象是( B )解析：∵函数13y x =是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A ，D.当x >1,0<α<1时，y ＝x α在直线y ＝x 下方，排除C ，选B.4.幂函数1y x -=在[－4，－2]上的最小值为__－12__..解析：∵1y x -=在(－∞，0)上单调递减，∴1y x -=在[－4，－2]上递减，∴1y x -=在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：——本课须掌握的三大问题1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．幂函数课时作业(15分钟30分)1.下列结论正确的是( )A.幂函数图象一定过原点B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点(12,√2)，则k+α等于 ( )A.12B.1 C.32D.2【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点(12,√2)，所以k=1，f(12)=(12)α=√2，即α=-12，所以k+α=12.3.在下列四个图形中，y=x-12的图象大致是( )【解析】选D.函数y=x-12的定义域为(0，+∞)，是减函数.4.幂函数的图象过点(3，√3，则它的单调递增区间是( )A.[-1，+∞)B.[0，+∞)C.(-∞，+∞)D.(-∞，0)【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，√3)，所以f(3)=3α=√3=312，解得α=12，所以f(x)=x12，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=x a的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内 ( )A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)=x a的图象经过点(2，4)，所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.【补偿训练】已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.答案：(-∞，0)6.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(-2<m<2，m∈Z)满足：①在区间(0，+∞)上单调递增；②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,4]时，f(x)的值域.【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递增，所以-m2-2m+3>0，解得：-3<m<1.因为-2<m<2，m∈Z，所以m=-1或m=0.又因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题意，当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，所以f(x)=x4，所以f(x)在[0,4]上递增，所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，所以值域是[0,256].(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)x m2-3m+1是幂函数且为奇函数，则m的值为 ( )A.2B.3C.4D.2或4【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)x m2-3m+1为幂函数，所以m2-6m+9=1，所以m=2或m=4，当m=4时，f(x)=x5是奇函数，满足题意，当m=2时，f(x)=x-1是奇函数，满足题意；所以m=2或4.2.下列命题中，不正确的是( )A.幂函数y=x-1是奇函数B.幂函数y=x2是偶函数C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数D.y=x 12既不是奇函数，又不是偶函数【解析】选C.因为x-1=1x ，1-x=-1x，所以A正确；(-x)2=x2，所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=x 12定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=√x；⑤f(x)=1x.其中满足条件f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2(x1>x2>0)的函数的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解题指南】解决该题的关键是正确理解f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2(x1>x2>0)的含义.【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2；②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2；④函数f(x)=√x的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2；⑤在第一象限，函数f(x)=1x的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2.故仅有函数f(x)=√x满足当x1>x2>0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是( )A.y=x 13 B.y=x-12 C.y=x53 D.y=x23【解析】选A、B、C.A中y=x 13=√x3R；B中y=x-12=√x定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=x 53的定义域、值域也为R；D中y=x23=23定义域为R，而值域为[0，+∞).三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f(x)=(m2-m-1)x m2-2m-2是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)x m2-2m-2中，令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1；当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，在(0，+∞)上单调递减，满足题意；当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.答案：26.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.【解析】因为幂函数f(x)=x-m2-2m+3 (m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，所以m=-1，即f(x)=x4.所以f(2)=24=16. 答案：16 四、解答题7.(10分)已知幂函数f(x)=x(m 2+m )-1(m ∈N *)经过点(2，√2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a 的取值范围. 【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，√2)， 所以√2=2(m 2+m )-1，即212=2(m 2+m )-1.所以m 2+m=2.解得m=1或m=-2.又因为m ∈N *，所以m=1. 所以f(x)=x12，则函数的定义域为[0，+∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)，得{2-a ≥0,a -1≥0,2-a >a -1,解得1≤a<32.所以a 的取值范围为[1,32).。
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§3.3 幂函数【学习要求】1.了解幂函数的概念.2.会画幂函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x －1,y ＝x 的图象. 3.理解幂函数的性质. 【学法指导】类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性,体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法,进一步渗透数形结合与类比的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点1.幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数称为幂函数,其中 α 为常数.2.幂函数的性质:(1)所有的幂函数在 (0,＋∞) 上都有定义,并且图象都过点 (1,1) ;(2)若α>0,则幂函数的图象通过 原点 ,并且在区间 [0,＋∞) 上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;(3)如果α<0,则幂函数在区间 (0,＋∞) 上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 我们知道对于N ＝a b ,N 随b 的变化而变化,我们建立了指数函数y ＝a x ;如果a 一定,b 随N 的变化而变化,我们建立了对数函数y ＝log a x.设想:如果b 一定,N 随a 的变化而变化,是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题.探究点一 幂函数的概念问题1：函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1x分别是哪种类型的函数？答：分别是一次函数,二次函数,反比例函数.问题2这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？ 答：幂的底数是自变量,指数是常数,一般形式为y ＝x α.问题3 函数y ＝x,y ＝x 2,y ＝1x都是幂函数.怎样定义幂函数？答：幂函数的定义:一般地,形如y ＝x α (α∈R)的函数叫做幂函数,其中α是常数. 问题4判断一个函数是幂函数的标准是什么？答：幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为1,底数为自变量x,指数为一常数这三个条件时,才是幂函数.如: y ＝3x 2, y ＝(2x)3, y ＝⎝⎛⎭⎫x 2 4都不是幂函数.例1在函数y ＝1x2,y ＝2x 2,y ＝x 2＋x,y ＝1中,幂函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 ∵y ＝1x2＝x －2,所以是幂函数;y ＝2x 2由于出现系数2,因此不是幂函数;y ＝x 2＋x 是两项和的形式,不是幂函数;常函数y ＝1不是幂函数.小结：只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子,才是幂函数,否则就不是.跟踪训练1已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－1＋2n －3是定义域为R 的幂函数,求m,n 的值.解：由题意得m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0 解得m ＝－3,n ＝32.探究点二 幂函数的图象和性质导引为了研究幂函数的性质,如下图,在同一坐标系内作出函数 (1)y ＝x; (2)y ＝x 12 ; (3)y ＝x 2;(4)y ＝x －1; (5)y ＝x 3的图象,思考 下列问题:问题1你能从这五个具体的函数图象中,发现什么规律？答：(1)所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);(2)若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上是增函数.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸;(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,＋∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于＋∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.问题2函数y ＝x 2与y ＝x 12 在第一象限的图象有什么关系？出现这种关系的原因是什么？答：函数y ＝x 2与y ＝x 12 在第一象限的图象关于直线y ＝x 对称,因为y ＝x 2与y ＝x 12互为反函数.问题3你能把问题2中两个函数图象的关系推广到什么范围？答：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称.问题4在第一象限,作直线x ＝a(a>1),它同各幂函数图象都相交,若按交点从下到上的顺序,对应的幂指数有什么规律？答：幂指数按从小到大的顺序排列.问题5答：例2 (1) (a ＋1)1.5, a 1.5; (2) (2＋a 2)－23,2－23.解： (1)考察幂函数y ＝x 1.5,在区间[0,＋∞)上是单调增函数. 因为a ＋1>a,所以(a ＋1)1.5 > a 1.5. (2)考察幂函数y ＝x －23,在区间[0,＋∞)上是单调减函数.因为2＋a 2≥2,所以(2＋a 2)－23≤ 2－23小结：比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点,指数相同底数不同时,要利用幂函数的单调性比较,底数相同而指数不同时,要利用指数函数的单调性比较,指数与底数都不同时,要通过增加一个数起桥梁作用进行比较. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小:(1)－8－78 和 －⎝⎛⎭⎫19 78 ; (2)(－2)－3 和 (－2.5)－3; (3)(1.1)－0.1 和 (1.2)－0.1; (4)(4.1) 25 ,(3.8) －23 和 (－1.9) 35. 解：(1)－8－78＝－⎝⎛⎭⎫1878 , 函数y ＝x 78 在(0,＋∞)上为增函数,又 18>19, 则 ⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫19 78, 从而 －8－78 <－⎝⎛⎭⎫19 78 . (2)幂函数y ＝x －3在(－∞,0)和(0,＋∞)上为减函数, 又∵－2>－2.5,∴(－2)－3<(－2.5)－3.(3)幂函数y ＝x －0.1在(0,＋∞)上为减函数, 又∵1.1<1.2,∴1.1－0.1>1.2－0.1.(4)(4.1) 25>125＝1;0<(3.8)－23<1－23＝1; (－1.9) 35<0,∴(－1.9) 35<(3.8)－23<(4.1) 25.例3讨论函数y ＝x 23的定义域、奇偶性,作出它的图象.并根据图象说明函数的增减性.解：函数y ＝x 23＝3x 2,定义域是实数集R. 因为f(－x)＝(－x)23＝[(－x)2]13＝(x 2)13＝x 23 ,所以函数y ＝x 23是偶函数.因此函数的图象关于y 轴对称.列出函数在[0,＋∞)上的对应值表:作出这个函数在[0,＋出它在(－∞,0]上的图象,如图:由它的图象可以看出, 这个函数在区间(－∞,0]上是减函数,在区间[0,＋∞)上是增函数. 小结：讨论幂函数的性质时,若幂函数的指数是分数的形式,一般把幂函数写成根式的形式,这样不仅容易求出函数的定义域、值域,也容易考察函数的奇偶性;画幂函数的图象,只需弄清楚幂函数在第一象限的图象,再借助于奇偶函数的图象性质,即可画出整个函数的图象.跟踪训练3 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. (1)y ＝x 25 ; (2)y ＝x －34; (3)y ＝x －2.解： (1)函数y ＝x 25 ,即y ＝5x 2,其定义域为R,是偶函数,它在[0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0]上单调递减. (2)函数y ＝x －34,即y ＝14x 3,其定义域为(0,＋∞),它既不是奇函数,也不是偶函数,它在(0,＋∞)上单调递减.(3)函数y ＝x －2,即y ＝1x2,其定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),是偶函数.它在区间(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.下列函数中不是幂函数的是 ( ) A.y ＝x B.y ＝x 3C.y ＝2xD.y ＝x －1解析：根据幂函数的定义:形如y ＝x α的函数称为幂函数,选项C 中自变量x 的系数是2,不符合幂函数的定义,所以C 不是幂函数.2.已知幂函数f(x)＝x α的图象经过点(2,22),则f(4)的值等于( )A. 16B. 116C. 2D. 12解析：由f(x)＝x α的图象经过点(2,22),得22＝2α,所以α＝－12,则f(4)＝4－12＝2－1＝12.3.设a ∈{－1,1,12,3),则使函数y ＝x a 的定义域为R 的所有a 的值为 ( )A. 1, 3B.－1,1C.－1,3D.－1,1,3 解析：y ＝x－1的定义域为{x|x≠0},y ＝x 12的定义域为{x|x>0},只有y ＝x, y ＝x 3的定义域为R.课堂小结：1.幂函数在第一象限内指数变化规律:在第一象限内直线x ＝1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小; 在直线x ＝1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.2.求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m 是否为偶数;判断幂函数的奇偶性时要看指数n m 中的m 、n 是奇数还是偶数.y ＝x α,当α＝nm(m 、n ∈N ＋,m 、n 互质)时,有:。