高级中学奥赛-薛定谔方程及其求解方法
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解：子弹的动量为
p mv 0.01 200 2kg m s1
子弹的动量的不确定量为
p p 0.01% 2 104 kg m s1
由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为
x
h p
6.63 1034 2 104
3.32 1030 m
这个不确定范围是微不足道的，可见不确定关系对
宏观物体来说，实际上是不起作用的。
子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量 子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与 博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
* 玻恩对波函数的统计诠释
—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点
•玻恩假定 r,t描 述粒子在空间的概率 分布的“概率振幅”
相一致来得到证明。
3．具体的势场U
i
2
2
U (r,t)
t 2
二、定态薛定谔方程
能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的
力场不随时间改变，即势能U (r)中不显含时间t，将其代
入方程：
i
2
2
U (r )
t 2
波函数分离变量：
(r ,
t)
(r)
f
(t)
i
df (t)
1
2 [
2
U (r )](r )
E
f (t) dt (r ) 2
r,t 2 r,t * r,t 概率密度
例题2：光子自由平面波波函数
(rr,t,
t
) 2＝
i Ae ( p 常数
r
t
)
在空间各点发现光子的概率相同
用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：
E hn
p
h
n
l
p
Ae
i
( Etr p)
――自由粒子的波函数，描写动量为 p、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
§3.1 不确定关系
一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)
电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为l h ，经过
p
狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：
d sin l
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d 2
粒子动量的不确定度为 px psin
sin px
又
sin l l
l
复数形式
y(x, t)
Ae
i
2
nt
x
l
2、自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
n E/h l h/ p
波函数可以写成
x, t
e i 2 nt x / l
0
i 2 E t P x
x, t 0e h h
3、波函数的统计解释
内容：
薛定谔方程
1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例
1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态
薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961)
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x 0
x p x h / 2
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2 p / 2 E t / 2
不确定关系的数学表示与物理意义
2
2
E
p
p2 2
p
i p
t
2
2
2
p
――自由粒子的薛定谔方程。
2．一般粒子的薛定谔方程
i E
t
一般粒子常受到力场的约束，用 U r,t表示力场，则
Hale Waihona Puke Baidu
粒子在力场中受到的力为：F
U
(r ,
t)
，假设处于这种
力场中的微观粒子的波函数为（r,t) ，假设
(r , t )
仍满
足方程： E hv
2
x
h p
6.63 1034 1.8 1032
3.7 102 m
我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这 种情况下，电子位置的不确定范围比电子本身的大小要大 几亿倍以上。
不确定关系的应用
1、估算氢原子可能具有的最低能量
电子束缚在半径为r 的球内，所以
x r
按不确定关系
p / r
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
P
如速度v=5.0102m/s飞行的子 弹，质量为m=10-2Kg，对应的 德布罗意波长为：
如电子m=9.110-31Kg，速 度v=5.0107m/s, 对应的德 布罗意波长为：
l h 1.3 1025 nm
mv
太小测不到！
l h 1.4 102 nm
mv
X射线波段
X 射 线 衍 射
中 子 衍 射
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与 波函数模的平方成正比。
dW x, y, z, t 2dV
单缝
k
2×104个
105个
概率密度 dW / dV
加速电场
10个
E
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的
平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。
l h h 6.625 1034 6.625 1034 m
P mv 0.10 10
(2) 以 2.0 103m·s 1速度运动的质子。
l
h mv
6.625 1034 1.67 1027 2.0 103
1927年，海森堡首先推导出不确定关系： ：
x表示粒子在x方向上的位置的不确
x px
/2
定范围，px表示在x方向上动量的不 确定范围，其乘积不得小于一个常数。
t E
2
h
2
若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间 为无限长， t= 。
例题1：一颗质量为10g的子弹，具有200m/s的速度， 动量的不确定量为0.01%，问在确定该子弹的位置时， 有多大的不确定范围？
p p / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
p2
e2
E
2me 4 or
代入上式得：
2
e2
E 2mer 2 4 or
基态能应满足： dE 0 dr
2
e2
mer 3 4 or 2 0
由此得出基态氢原子半径：
ro
oh2 e 2 me
0.531010 m
基态氢原子的能量：
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
E为一常数
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
解出：
f
(t
)
Ce
i
Et
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r ,
t
)
*
(r ,
德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960)
法国物理学家，1929 年诺贝尔物理学奖获 得者，波动力学的创 始人，量子力学的奠 基人之一。
德布罗意原来学习历史，后来改学 理论物理学。他善于用历史的观点，用 对比的方法分析问题。
1923年，德布罗意试图把粒子性和 波动性统一起来。1924年，在博士论文 《关于量子理论的研究》中提出德布罗 意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实 验的想法。
例题2：一电子具有具有200m/s的速率，动量的不确定量为 0.01%，问在确定该电子的位置时，有多大的不确定范围？ 解：电子的动量为
p mv 9.11031 200 1.8 1028kg m s1
子弹的动量的不确定量为
p p 0.01% 1.8 1032kg m s1
由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
E hn
P＝ h
l
(p
h
n
k )
l
德布罗意 公式
l＝ h
学的重要奠基人之 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉
一，同时在固体的 克共获诺贝尔物理奖金。
比热、统计热力学、 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，
原子光谱及镭的放 1944年，他发表一本名为《什么是生命 —
射性等方面的研究 —活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗
都有很大成就。
传和信息方面来探讨生命的奥秘。
t
)
(r )
*
e
i
Et
(r )e
i
Et
(r)*(r)
3．
定态薛定谔方程
三、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态
(r , t )
在势
场U (r, t )中随时间变化
(r ,
t
)
的规律。
t
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基
本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果
Emin
与波尔理论结果一致。
e4me
8 o2h2
13.6eV
本例还说明：量子体系有所谓的零点能。
2、求一维谐振子的基态能量（P121：例3.5）
§3.3 波函数及其物理意义
一、波函数 概率密度
1、平面简谐波的波函数
一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数
为
y( x, t) Acos 2 nt x
薛定谔在德布罗意思想的基础上，于
1926年在《量子化就是本征值问题》的论
文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方
程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程
为基础的波动力学和量子力学的近似方法。
薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的
奥地利著名的理论 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的
物理学家，量子力 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献
2.0 1010 m
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子
EK
1 mv 2 2
P2 2m
P 2mEK
l3
h P
h 1.2 1010 m 2m EK
不确定关系 海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976）
德国理论物理学家。他于1925年为量 子力学的创立作出了最早的贡献，而 于25岁时提出的不确定关系则与物质 波的概率解释一起奠定了量子力学的 基础。为此，他于1932年获得诺贝尔 物理学奖金。
量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。
2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的 总几率应当为1：
p2 2
但此时
E
p2
U (r , t)
2
则有：i 2 2 U (r,t) ――处在以势能表征的力
t 2
场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程
p2
E U(r,t)
2
• 把E和P看做如下算符：
Eˆ ih , t
pˆ ih
然后作用于
波函数
(r , t )
上，就可得到薛定谔方程
p
d 2x
px l
p 2x
2x px lp h x px h / 2
x px h / 2
狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝
宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了
变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子
的坐标，又能避免动量发生变化。 如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量
p
p
y
i
p y
p
2 p
y2
i
py
p
y
p2y 2
p
p
z
i
pz p
2 p
z 2
i
pz
p
x
pz2 2
p
三者相加：
2 p
x2
2 p
y 2
2 p
z 2
1 2
( px2
p
2 y
pz2 ) p
拉普拉斯算符：2 2 2 2
x2 y 2 z 2
2
p
p2
2
p
自由粒子:
E 1 2 p2
(x, y, z,t) 2 dV 1
§3.2 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
Ae Ae
i
(
Et
r
p
)
i
(
Et
xpx
y
p
y
zp
z
)
p
对t求一次偏导：
p
t
i
E
p
i p
t
E
p
对x、y、z分别求二次偏导：
p
x
i
px
p
2 p
x 2
i
px
p
x
p2x 2
p mv 0.01 200 2kg m s1
子弹的动量的不确定量为
p p 0.01% 2 104 kg m s1
由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为
x
h p
6.63 1034 2 104
3.32 1030 m
这个不确定范围是微不足道的，可见不确定关系对
宏观物体来说，实际上是不起作用的。
子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量 子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与 博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
* 玻恩对波函数的统计诠释
—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点
•玻恩假定 r,t描 述粒子在空间的概率 分布的“概率振幅”
相一致来得到证明。
3．具体的势场U
i
2
2
U (r,t)
t 2
二、定态薛定谔方程
能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的
力场不随时间改变，即势能U (r)中不显含时间t，将其代
入方程：
i
2
2
U (r )
t 2
波函数分离变量：
(r ,
t)
(r)
f
(t)
i
df (t)
1
2 [
2
U (r )](r )
E
f (t) dt (r ) 2
r,t 2 r,t * r,t 概率密度
例题2：光子自由平面波波函数
(rr,t,
t
) 2＝
i Ae ( p 常数
r
t
)
在空间各点发现光子的概率相同
用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系：
E hn
p
h
n
l
p
Ae
i
( Etr p)
――自由粒子的波函数，描写动量为 p、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
§3.1 不确定关系
一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)
电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为l h ，经过
p
狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置：
d sin l
x方向上，粒子坐标的不确定度为
x d 2
粒子动量的不确定度为 px psin
sin px
又
sin l l
l
复数形式
y(x, t)
Ae
i
2
nt
x
l
2、自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
n E/h l h/ p
波函数可以写成
x, t
e i 2 nt x / l
0
i 2 E t P x
x, t 0e h h
3、波函数的统计解释
内容：
薛定谔方程
1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例
1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态
薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961)
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x 0
x p x h / 2
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2 p / 2 E t / 2
不确定关系的数学表示与物理意义
2
2
E
p
p2 2
p
i p
t
2
2
2
p
――自由粒子的薛定谔方程。
2．一般粒子的薛定谔方程
i E
t
一般粒子常受到力场的约束，用 U r,t表示力场，则
Hale Waihona Puke Baidu
粒子在力场中受到的力为：F
U
(r ,
t)
，假设处于这种
力场中的微观粒子的波函数为（r,t) ，假设
(r , t )
仍满
足方程： E hv
2
x
h p
6.63 1034 1.8 1032
3.7 102 m
我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这 种情况下，电子位置的不确定范围比电子本身的大小要大 几亿倍以上。
不确定关系的应用
1、估算氢原子可能具有的最低能量
电子束缚在半径为r 的球内，所以
x r
按不确定关系
p / r
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名 研究生便提出了非对易代数理论，而成为 量子力学的创立者之一。第二年提出全同 粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出 了电子的相对论性运动方程，奠定了相对 论性量子力学的基础，并由此预言了正负 电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的 存在，使人们对物质世界的认识更加深入。 他还有许多创见（如磁单极子等）都是当 代物理学中的基本问题。由于他对量子力 学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933 年诺贝尔物理学奖金。
P
如速度v=5.0102m/s飞行的子 弹，质量为m=10-2Kg，对应的 德布罗意波长为：
如电子m=9.110-31Kg，速 度v=5.0107m/s, 对应的德 布罗意波长为：
l h 1.3 1025 nm
mv
太小测不到！
l h 1.4 102 nm
mv
X射线波段
X 射 线 衍 射
中 子 衍 射
某一时刻出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与 波函数模的平方成正比。
dW x, y, z, t 2dV
单缝
k
2×104个
105个
概率密度 dW / dV
加速电场
10个
E
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的
平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒
例1. 计算下列运动物质的德布罗意波长
(1) 质量100g, v = 10m·s1运动的小球。
l h h 6.625 1034 6.625 1034 m
P mv 0.10 10
(2) 以 2.0 103m·s 1速度运动的质子。
l
h mv
6.625 1034 1.67 1027 2.0 103
1927年，海森堡首先推导出不确定关系： ：
x表示粒子在x方向上的位置的不确
x px
/2
定范围，px表示在x方向上动量的不 确定范围，其乘积不得小于一个常数。
t E
2
h
2
若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间 为无限长， t= 。
例题1：一颗质量为10g的子弹，具有200m/s的速度， 动量的不确定量为0.01%，问在确定该子弹的位置时， 有多大的不确定范围？
p p / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
p2
e2
E
2me 4 or
代入上式得：
2
e2
E 2mer 2 4 or
基态能应满足： dE 0 dr
2
e2
mer 3 4 or 2 0
由此得出基态氢原子半径：
ro
oh2 e 2 me
0.531010 m
基态氢原子的能量：
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2
E为一常数
i df (t) Ef (t) dt
df (t) f (t)
i
Edt
解出：
f
(t
)
Ce
i
Et
(r ,
t
)
(r )e
i
Et
――定态波函数
1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量
2．定态中粒子的几率密度不随时间变化
(r ,
t
)
*
(r ,
德布罗意 (Louis Victor due de Broglie, 1892-1960)
法国物理学家，1929 年诺贝尔物理学奖获 得者，波动力学的创 始人，量子力学的奠 基人之一。
德布罗意原来学习历史，后来改学 理论物理学。他善于用历史的观点，用 对比的方法分析问题。
1923年，德布罗意试图把粒子性和 波动性统一起来。1924年，在博士论文 《关于量子理论的研究》中提出德布罗 意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实 验的想法。
例题2：一电子具有具有200m/s的速率，动量的不确定量为 0.01%，问在确定该电子的位置时，有多大的不确定范围？ 解：电子的动量为
p mv 9.11031 200 1.8 1028kg m s1
子弹的动量的不确定量为
p p 0.01% 1.8 1032kg m s1
由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为
爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思 想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕 的一角”。
德布罗意假设
一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E
和动量P所描述的粒子性，也具有以频率n和波长l所描述的
波动性。 德布罗意波，也叫物质波。
E hn
P＝ h
l
(p
h
n
k )
l
德布罗意 公式
l＝ h
学的重要奠基人之 卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉
一，同时在固体的 克共获诺贝尔物理奖金。
比热、统计热力学、 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，
原子光谱及镭的放 1944年，他发表一本名为《什么是生命 —
射性等方面的研究 —活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗
都有很大成就。
传和信息方面来探讨生命的奥秘。
t
)
(r )
*
e
i
Et
(r )e
i
Et
(r)*(r)
3．
定态薛定谔方程
三、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态
(r , t )
在势
场U (r, t )中随时间变化
(r ,
t
)
的规律。
t
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基
本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果
Emin
与波尔理论结果一致。
e4me
8 o2h2
13.6eV
本例还说明：量子体系有所谓的零点能。
2、求一维谐振子的基态能量（P121：例3.5）
§3.3 波函数及其物理意义
一、波函数 概率密度
1、平面简谐波的波函数
一个频率为n ，波长为l 、沿x方向传播的单色平面波的波函数
为
y( x, t) Acos 2 nt x
薛定谔在德布罗意思想的基础上，于
1926年在《量子化就是本征值问题》的论
文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方
程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程
为基础的波动力学和量子力学的近似方法。
薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的
奥地利著名的理论 地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的
物理学家，量子力 价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献
2.0 1010 m
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子
EK
1 mv 2 2
P2 2m
P 2mEK
l3
h P
h 1.2 1010 m 2m EK
不确定关系 海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976）
德国理论物理学家。他于1925年为量 子力学的创立作出了最早的贡献，而 于25岁时提出的不确定关系则与物质 波的概率解释一起奠定了量子力学的 基础。为此，他于1932年获得诺贝尔 物理学奖金。
量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
三、波函数的标准条件及归一化
1．波函数必须单值、有限、连续。 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。
2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的 总几率应当为1：
p2 2
但此时
E
p2
U (r , t)
2
则有：i 2 2 U (r,t) ――处在以势能表征的力
t 2
场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程
p2
E U(r,t)
2
• 把E和P看做如下算符：
Eˆ ih , t
pˆ ih
然后作用于
波函数
(r , t )
上，就可得到薛定谔方程
p
d 2x
px l
p 2x
2x px lp h x px h / 2
x px h / 2
狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝
宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了
变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子
的坐标，又能避免动量发生变化。 如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量
p
p
y
i
p y
p
2 p
y2
i
py
p
y
p2y 2
p
p
z
i
pz p
2 p
z 2
i
pz
p
x
pz2 2
p
三者相加：
2 p
x2
2 p
y 2
2 p
z 2
1 2
( px2
p
2 y
pz2 ) p
拉普拉斯算符：2 2 2 2
x2 y 2 z 2
2
p
p2
2
p
自由粒子:
E 1 2 p2
(x, y, z,t) 2 dV 1
§3.2 薛定谔方程
一、薛定谔方程的建立
1．自由粒子的薛定谔方程
Ae Ae
i
(
Et
r
p
)
i
(
Et
xpx
y
p
y
zp
z
)
p
对t求一次偏导：
p
t
i
E
p
i p
t
E
p
对x、y、z分别求二次偏导：
p
x
i
px
p
2 p
x 2
i
px
p
x
p2x 2