导数竞赛辅导

x 0 x0
x 0 x0
例2. f (x)， g(x) 在 R 上定义，f( s t) f( s ) g ( t) f( t) g ( s )
f( 0 ) 0 ,g ( 0 ) 1 ,f ( 0 ) 1 ,g ( 0 ) 0
证明：在 R 上 f(x)g(x)
证
f (x) limf(xh)f(x) lim f(x )g (h )f(h )g (x )f(x )
2
)
(3)
( 1 )(n) xa
((x1)an)nn!1
k(k1) (kn1)xkn, nk
(4) (xk)(n) n!
nk
0
nk
（k为正整数。）
2.高阶导数的运算法则 设函数 uu(x)及 vv(x) 都有 n 阶导数 , 则
(1) (uv)(n)u(n)v(n) (2) (Cu)(n) Cu(n) (C为常数)
h 0 h
h 0 h
例3.对任意 x 1 ,x 2 有 f( x 1 x 2 ) f( x 1 ) f ( x 2 ) 2 x 1 x 2
解
且 f(0)1 ,求 f(x)
f (x) limf(xh)f(x)
h0
h
h l im 0 f(x)f(h )h 2xhf(x)lhi m 0 fh(h)lhi m 02hxh
二、判定函数在某点是否可导的主要方法
1.根据可导的定义
直接由定义考虑
lim
xx0
f(x) f(x0) xx0
或Hale Waihona Puke Baidu
lhi m 0f(x0hh)f(x0)是否存在
2.根据可导的充要条件
考虑左右导数 f (x0),f (x0)是否都存在且相等
3.根据可导的必要条件
考虑是否不连续
（连续不一定可导，但不连续一定不可导！）
由 f( x 1 x 2 ) f( x 1 ) f( x 2 ) 2 x 1 x 2 f(0 0 )f(0 ) f(0 ) 0
f (0) 0
f (x) limf(h)f(0)2xf(0)2x12x
h0
h
f (x) xx2C
C 0
f (x) x x2
例4. f ( x ) 是偶函数，在 x 0 处可导，求 f ( 0 )
下列解法错误： f ( x ) 的导数 f ( x ) 是奇函数 f(x) f (x)
x 0 代入
f (0) f (0)
＿＿＿非分段点处按法则求导，分段点处按定义求导．
六、 导数的几何意义
f (x0 )
y f (x) 在点 (x0 , y0) 的切线斜率 y y f (x)
注： 切线方程:
C
y y 0 f( x 0 )x (x 0 ) o
. (x0 , y0) x
法线方程: yy0f(1x0)(xx0)
七、求高阶导数的主要方法
h0
h
h 0
h
lim f(x )[g (h ) 1 ] lim f(h )g (x )
h 0
h
h 0 h
f(x )lim g (h ) 1 g (x )lim f(h )
h 0 h
h 0 h
g(x)
f( x ) l i m g ( h ) g ( 0 ) g ( x ) l i m f( h ) f( 0 ) f( x ) g ( 0 ) g ( x ) f( 0 )
特别地： ( x ) 1 2x
1 x
1 x2
(sixn)coxs
(cox)ssixn
(taxn)sec2 x
(cox)tcs2cx
(sexc)sextcaxn (csxc)csxcoxt
(ax ) ax lna
(loaxg)x
1 ln
a
(arcxs)in 1
1 x2
(arcxt)an
1
1
x
2
(ex ) e x
(lnx) 1
x
(ln| x|)1
x
(arccx)os 1
1 x2
(acrc ox)t
1
1 x
2
五、求导数的主要法则
1. 导数的 + 、-、×、÷ 运算法则． 2. 复合函数的求导法则． 3. 反函数的求导法则． 4. 隐函数的求导法则． 5. 由参数方程所确定的函数的求导法则． 6. 对数求导法． 7. 分段函数的求导法．
三、必须用定义求导数的情形
1. 分段函数在分段点处的导数． 2. 含有绝对值符号的函数在绝对值为零的点处的导数． 3. 仅知函数 f (在x )一点可导，
不知在该点的附近（一个邻域）是否可导． 【注】 某些“乘积型”的复杂函数用定义求导较方便。
四、常数和基本初等函数的求导公式
(C) 0
(x ) x1
(3) (uv)(n) u ( n ) v C n 1 u ( n 1 ) v C n 2 u ( n 2 ) v u v ( n )
上式称为莱布尼兹(Leibniz) 公式。
八、可微、可导、连续、极限的关系
可微 可导
连续
极限存在
九、奇函数、偶函数、周期函数的导数
可导奇函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) 是偶函数 可导偶函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) 是奇函数 可导周期函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) 是周期函数
导数
一、导数定义式的几种等价形式
f
(x0)
lim
x x
0
f (x) f (x0) x x0
lim f(x0x)f(x0) lim y
x 0
x
x0 x
lim f(x0h)f(x0)
h 0
h
左导数、右导数：
f (x0)xl im x0 f(xx) x f0(x0) f (x0)xl im x0 f(xx) x f0(x0)
（1）逐次求导归纳法； （2）n 阶导数的公式及求导法则；
注：求一点处高阶导数 f (n) (x的0 )好方法
------函数的幂级数展开（以后学）
１．常用的 n 阶导数公式 （a 为常数）
(1) (eax)(n)aneax
(2)
(sin a x)(n ) a nsin (a xn
2
)
(c o sa x )(n ) a nc o s(a xn
且 f ( x ) 与 f ( x ) 有相同的周期． 【注】 单调函数的导数不一定是单调函数。
例1 f ( x ) 在 (,)有定义. f(x 1 )2f(x)
当 0x1时， f(x)x(1x2) 问 f(x)在 x0处 是否可导？
lim f (x) f (x0)
x x 0 x x0
l i m f (x) f (0) ？ l i m f (x) f (0)