非线性物理1-1

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非线性物理学概论

非线性科学概要为《非线性物理概论》一书写的序言汪秉宏上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。

牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。

当深入到微观尺度（<10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（～10 10cm/s），则相对论是正确的。

非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。

非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。

它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。

非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，恰恰相反，刚好说明它具有广泛的应用性。

从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。

非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和复杂系统。

而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。

一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。

例如一个介电晶体，当其输出光强不再与输入光强成正比，就成为非线性介电晶体。

例如弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。

又例如单摆，仅当其角位移很小时，行为才是线性的。

实际上，自然科学或社会科学中的几乎所有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。

因此，非线性系统远比线性系统多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。

任何系统在线性区和非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。

例如单摆的振荡周期在线性区不依赖于振幅，但在非线性区，单摆的振荡周期是随振幅而变的。

从数学上看，非线性系统的特征是迭加原理不再成立。

迭加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。

非线性物理

非线性物理基础一、孤立波1. 孤立水波孤立波是一种在水面上传播的具有特殊性质的波动，其形状是一个孤立的波峰，传播过保持形状不变。

孤立波不同于水波，水波在传播过程会弥散开去而不能保持其形状。

2.孤立水波的发现1834年，J S Russell（英国）在爱丁堡格拉斯哥运河旁观看船的行驶，偶然观察到孤立波这一奇特现象。

3.水槽实验重物从水槽的一端掉下，观察水波的激起情况。

Russell 速度公式：v2 = g ( h + a )h表示水深，a 为水波的振幅。

水波越高，传播越快。

4.用不可压缩流体观点导出Russell公式Boussinesg （1871年）和Rayleigh（1876年）假设孤立水波有一个比水深大得多的长度范围，根据非粘滞不可压缩流体的运动方程推导了Russell的公式，同时得到“波包”公式：u（x, t）= a sech2 [β( x －v t ) ]v2 = g ( h + a )β－2 = 4 h2 ( h + a )/3a其中a > 0, 且a << h 才成立。

u(x, t) 是何种微分方程的解？5.水波方程的建立1895年，D J Korteweg 在G de Vrise 的指导下，撰写博士论文，选择了水槽中孤立波的数学描述问题。

u t + αu u x + u xxx = 0u 为波的振幅，α为常数。

这个方程称为KdV方程。

u(x,t) = (12/α)sech2(x – 4 t)在KdV方程中，第二项是非线性的，该项为零时，化为齐次波动方程，其解代表色散解。

只有当非线性项和色散项调配适合时，才会出现孤立波。

二、孤立子1．孤立子的“由来”1834年发现孤立水波（J S Russell）1895年建立水波方程（KdV方程）1955年揭示除水外，其它介质中也可存在非线性孤立波（Fermi, Pasta, and Ulam）（64个质点用非线性弹簧相连，研究能量分布）1965年研究等离子体中非线性孤波的相互碰撞过程，孤波不会改变其形状，Zabusky and Kruskal 首次引入了“孤立子”概念。

非线性物理引言01

2015年6月26日
PLD Lab, LSSMS
非线性物理：引言
非线性的基本印象：
1. 我们看到，简单的单摆问题在描
述方程是非线性的情况下变得很
复杂，其背后的数学问题在于叠加原理破缺。
2. 另一种情况是描述系统的微分方
程是线性的，但是边界条件却是不确定的。我们举粘性指问题为例说明。 3. 粘性指问题的背景。。。
非线性物理：引言
非线性的外貌：
1. 分界线将系统动力学分成单摆与圆周运动两个区域： H<02 时
来回摆动， H>02 时，圆周运动。
2. 摆动初始位置 x0，摆动周期越长，除非给定初速：H>02。
2015年6月26日 PLD Lab, LSSMS
非线性物理：引言
非线性的外貌：
1. 事实上，可以将运动方程中 sin(x) 项级数展开看：
授课：
1. 只讲授一些基本现象和概念 2. 某些问题可能深入到研究前沿 3. 听课时保持安静，听不听随便 4. 作业要作 5. 可以课后通过email、小百合 bbs讨论问题 6. 可以进行课外论文研究
2015年6月26日
作业和考试：
1. 一共六个章节，每章一个作业，书面上交 2. 作业两人一组，以小论文形式
2015年6月26日 PLD Lab, LSSMS
非线性物理：引言
非线性的基本印象：
1. 这是一个流体力学问题。如果考虑流体流动很缓慢，而且粘度
不是很高，那么两种流体内部都满足线性微分方程 2P=0。
2. 问题是求解这个微分方程需要空间边界条件。遗憾的是两种流体边界是随时间演化的，从而导致边界失稳，是典型的非线性问题。
。要求A4纸撰写或打印。

物理学中的非线性和混沌现象

物理学中的非线性和混沌现象在自然界中，很多现象都具有非线性和难以预测的混沌特性。

而在物理学中，研究非线性和混沌现象也成为一门重要的学科。

本文将对非线性和混沌现象进行介绍和讨论。

一、什么是非线性？所谓非线性，就是指物理系统的变化不遵循线性关系。

简单来说，就是当输入变化时，输出不是简单地按比例变化。

举个例子，我们可以拿弹簧来说明。

在弹簧的弹性范围内，当我们给它施加一个力时，它的伸长量就是线性关系。

但是，当受力超过了弹性范围，弹簧就会变形。

这时，伸长量和受力之间的关系就不再是线性的了。

也就是说，非线性就是指当系统受到的输入越来越大时，输出会出现不同的反应，而且这种反应不是线性的。

二、什么是混沌？所谓混沌，就是指物理系统表现出的不规则、难以预测的运动。

混沌系统的特征是微小输入的差异可能导致系统演化发生巨大的变化，不同初始条件下的演化轨迹可能发生分叉，最终导致输出完全不同。

混沌系统看似无序，但实际上却有一定的规律性可循。

三、非线性和混沌的联系非线性和混沌之间有着紧密的联系。

在物理学中，混沌现象往往与非线性密切相关。

当系统呈现出非线性的特征时，它很容易出现混沌现象。

在一些物理系统中，只要其非线性程度足够高，就会出现混沌现象。

三个著名的混沌系统被称为洛伦兹吸引子、哈特曼-赫劳-曼吸引子和拉蒙诺夫吸引子。

这些吸引子的形状都很奇特，非常像一些有趣的图形。

四、物理系统中的非线性和混沌现象现在我们将介绍一些常见的物理系统中存在的非线性和混沌现象。

1.非线性振动非线性振动是指振动系统中存在的非线性项所导致的现象。

在简单振动中，振动的周期只依赖于振动系统的特性，而与振幅无关。

但是，当振幅超过一定范围时，振动系统就会呈现出非线性特性，出现倍周期振动、基频振幅受限振动、合频振动等现象。

2.混沌系统混沌系统是指那些表现出混沌特性的物理系统，比如双摆、电路、混沌发生器等。

混沌系统中往往会存在大量的非线性和未知因素，使得它们产生不可复制的运动轨迹。

非线性物理概论

非线性物理概论引言非线性物理是研究非线性动力学现象的分支学科，其研究对象包括各种物理系统，如流体力学、光学、电磁学和力学等。

非线性物理的研究涉及到复杂的数学工具和方法，用以描述和解释这些系统的行为。

本文将介绍非线性物理的基本概念和主要研究内容，从而帮助读者对该领域有更全面的了解。

一、非线性动力学非线性动力学是非线性物理的核心内容，它涉及到描述和研究非线性系统行为的数学模型和方法。

在非线性动力学中，系统的演化是通过非线性方程来描述的，通常需要借助计算机模拟等方法来研究系统的演化行为。

非线性动力学的一个重要概念是混沌现象。

混沌现象指的是在一些非线性系统中，微小扰动可能导致系统演化轨迹的完全改变，而且这种改变是随机的。

混沌现象在自然界和人类生活中都有广泛的应用和影响。

二、非线性光学非线性光学是非线性物理的一个重要分支领域，主要研究介质对光的非线性响应和光的非线性效应。

非线性光学现象包括光的自聚焦、光的非线性散射和非线性吸收等。

在非线性光学中，光传播过程中通过介质的非线性响应导致了光的非线性效应，这些效应在激光技术、光通信和光信息处理等领域有广泛的应用。

三、非线性流体力学非线性流体力学研究复杂流体系统中非线性效应的性质和行为。

在非线性流体力学中，流体的运动是由非线性流体方程描述的，其中包含了非线性项。

非线性流体力学通过对流体力学方程进行数学分析和数值模拟，研究流体运动的稳定性、湍流现象和流体动力学行为。

非线性流体力学在石油工程、大气科学和环境工程等领域有重要的应用。

四、非线性电磁学非线性电磁学研究材料中的非线性电磁响应和电磁场的非线性效应。

在非线性电磁学中，电磁场的行为由非线性电磁方程描述，其中包含了非线性项。

非线性电磁学对于设计和开发新型电磁材料和器件具有重要意义，也在光电通信、雷达系统和无线电频谱分析等领域有广泛应用。

五、总结非线性物理作为一门跨学科的研究领域，涉及到多个物理学分支和数学工具的应用。

非线性_精品文档

非线性什么是非线性？在数学和物理学中，非线性是一个重要的概念。

线性是指满足线性定律的关系，即两个变量之间的关系可以用一个直线来表示。

而非线性则指的是不满足线性关系的情况，无法用一个简单的直线来描述两个变量之间的关系。

非线性方程非线性方程是指其中至少有一个未知数的幂次大于1的方程。

与线性方程相比，非线性方程的求解通常更加困难，因为非线性方程的解没有特定的形式。

常见的非线性方程包括二次方程、三次方程、指数方程和对数方程等。

这些方程的求解方法一般需要借助数值方法，如牛顿迭代法或二分法等。

非线性系统非线性系统是指其中至少有一个方程是非线性方程的系统。

非线性系统的行为往往比线性系统更加复杂，常常出现非周期的振荡、混沌、周期倍增等现象。

非线性系统在自然界和工程领域中广泛存在。

例如，电力系统、化学反应系统、生态系统等都可以用非线性系统来描述。

非线性应用非线性理论在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的非线性应用领域：力学在力学中，非线性方程被广泛用于物体的变形、振动、力的传递等问题的求解。

例如，非线性变形理论可以用于解决弯曲、扭转和弹性稳定性问题。

控制系统非线性控制系统广泛应用于工程和科学领域，用于解决对非线性系统的控制问题。

非线性控制系统可以更好地处理系统的不确定性、非线性和复杂性。

金融学金融市场中的价格变动通常呈现出非线性的特征。

非线性金融模型可以更准确地预测和解释金融市场的行为。

生物学生物学中的许多现象都具有非线性特征，例如生物系统中的生物体的增长、反应网络和遗传网络等。

非线性方法可以被应用于生物学问题的建模和分析。

计算机图形学计算机图形学中的许多问题都可以归结为非线性优化问题，例如曲面拟合、物体形变和图像处理等。

非线性优化方法在计算机图形学中有广泛的应用。

总结非线性是一种重要的数学和物理概念。

非线性方程和非线性系统在各个领域都有广泛的应用，包括力学、控制系统、金融学、生物学和计算机图形学等。

非线性的特性使得非线性问题的求解更加复杂，但也使得非线性方法在解决实际问题中具有更高的准确性和适用性。

例谈非线性物理问题的解决方法

例谈非线性物理问题的解决方法
非线性物理问题是我们面对现实生活中最重要的一类问题，它包括微观和宏观两类。

一般来说，非线性物理问题的解决方法大致可以分为两类:理论分析法和计算机模拟法。

一、理论分析
理论分析法是根据物理现象的基本规律，运用数学知识和计算方法，从而根据几何特征和物理条件分析和求解非线性物理问题，进而提出解决之策。

例如，利用一阶泰勒展开、高阶多项式插值方法等数学方程和计算方法可以进行精细分析，从而对微观现象形成有效的分析模型。

例如，下腔静脉进入肝脏的流动机制可以通过蒙特卡洛模拟、伯努利方程实现分析和求解，从而得到下腔静脉的流入速度。

二、计算机模拟
计算机模拟法是指通过数值计算方法，利用科学的数值技术构建出物理过程的模型，并对模型参数进行不断的精确推演，最终求出合理的解决方案。

例如，计算机模拟可以模拟汽车行驶过程中运动规律受空气阻力影响，分析汽车在复杂道路上的运动状态，从而得出行车安全性能的综合分析结果。

总而言之，非线性物理问题严谨、有效的求解和分析是我们进行各种研究和设计的必要前提，理论分析和计算机模拟是推动非线性物理问题的有效解决的关键。

未来，随着信息技术的迅猛发展，非线性物理问题的研究将会有更多的解决方案形成，从而更清晰地构建出世界真实物理现象。

《非线性物理》课件

非线性物理中的数学工具
分形几何
分形几何是用分形的概念和方法来研究各种几何对象，具有广泛的应用前景。
随机过程
随机过程广泛应用于自然科学和技术领域，如物理、化学、生物学、经济学、社会学等。
神经网络模型
神经网络模型被应用于物理学、化学、生物学、环境科学、神经科学等领域。
复杂网络在非线性物理中的研究
复杂网络的定义
化工
非线性动力学方法在化工领域可用于研究热力学平衡、化工反应中的振荡现象等。
自然灾害
飓风、火山喷发、地震等天灾预测和监测需应用非线性物理理论和方法。
节能环保
非线性物理理论可用于压缩和放松过程中制冷剂的温度、密度的变化以及涡量特性的研究。
解决非线性问题的数值方法
数值方法是针对非线性问题的各种特定性质精心设计的、用于在计算机上模拟动力学现象的方法。
自相似性与尺度不变性
1
常见的复杂现象
2
自相似性和尺度不变性在非线性物理中
是极为重要的概念，与还原现象、分形
体系等密切相关。
3
定义与形式
物体本身在不同比例下有着相同的性质和形状，是自相似性的一种体现。
实际应用
自相似性和尺度不变性不仅用于探索复杂系统的本质，还可以帮助人们解决各种实际应用问题。
混沌现象的定义和特征
脑图像重建
非线性动力学方法在脑图像重建、功能分析以及计算机模拟等领域的应用也越来越广泛。
神经元模型
非线性物理与现代技术的结合
非线性物理的研究已产生非常广泛的社会应用，如飞行器、新能源、材料科学、医疗设备、通信技术等等。
1 集成电路
非线性动力学的相关理论和分析方法可用于研究电路噪声、误码率等关键应用指标。

物理学中的非线性现象研究

物理学中的非线性现象研究在我们所熟悉的物理世界中，线性现象常常被认为是简单和易于理解的。

例如，当我们施加一个力时，物体按照一定的比例加速运动，这种关系是线性的。

然而，自然界中更多的现象实际上是非线性的，它们复杂、多变，充满了未知和挑战，也为物理学的研究带来了无尽的魅力。

非线性现象广泛存在于各个物理领域。

在流体力学中，我们能看到湍流这一典型的非线性现象。

当流体的流速超过一定阈值时，原本平稳的流动会变得紊乱无序，形成复杂的漩涡和涡流结构。

这种湍流现象不仅在江河湖海的水流中出现，也在飞机翅膀周围的气流以及血液在血管中的流动中存在。

在光学领域，非线性光学现象同样引人注目。

传统的线性光学遵循着诸如折射、反射和吸收等简单规律。

但在强光作用下，物质的光学性质会发生显著改变，出现诸如倍频、和频、差频等非线性光学效应。

这些效应为激光技术的发展提供了重要的理论基础，使得我们能够制造出更加高效、多样化的激光光源。

非线性现象的一个重要特点是其对初始条件的极度敏感性。

这一特点最著名的例子就是“蝴蝶效应”。

在气象学中，一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。

虽然这是一种夸张的说法，但它形象地说明了非线性系统中微小的初始差异可能会在后续的演化过程中被极大地放大，从而导致截然不同的结果。

这种敏感性使得对非线性系统的预测变得极为困难。

与线性系统可以通过简单的数学方法进行精确预测不同，非线性系统往往需要借助复杂的数值模拟和实验研究来理解其行为。

然而，这并不意味着我们无法对非线性系统进行任何有效的研究和控制。

混沌理论是研究非线性现象的一个重要分支。

混沌系统虽然看似随机和无序，但实际上具有内在的确定性规律。

通过对混沌系统的深入研究，我们发现了一些奇怪吸引子的存在。

这些吸引子具有分形的结构，展现出了极其复杂的几何形态。

例如，在洛伦兹吸引子中，系统的状态在相空间中形成了一个类似蝴蝶翅膀的复杂图形。

非线性现象在物理学中的另一个重要表现是孤子的存在。

非线性物理(单摆杜芬方程)讲义

面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转动。

非线性物理

C2=0.08μ F
C2=0.1μ F
G调制与C调制
• 改变电导G、电容C都可以改变系统的混沌状态。 • 在一个区间内，微小改变R和C就能使系统从一个态变到另一个态。而当系统进入双吸引子状态后，微小改变G或C对系统的状态变化不大。 • 由周期状态到阵发混沌再到吸引子状态，G增大， C1减小，C2增大。 • 在实验中，调节R可以小幅改变G，相比C的小幅改变更加容易。
方程组的求解
方程组的求解
• 难以求出解析解，采用数值求解 • 四阶Runge-Kuuta法
MATLAB程序
MATLAB数值模拟
•
R=2090Ω
R=2081Ω
MATLAB数值模拟
•
R=2079Ω
R=2078.4Ω
MATLAB数值模拟
•
R=2077Ω
R=2076Ω
MATLAB数值模拟
• R=2063Ω • 单吸引子、双吸引子
g(U ) G bU
Gb Ga
2
(| U E | | U E |)
非线性负阻I-V特性
• 理想非线性负阻 • 实验得到I-V特性
方程组的求解
dU1 C1 dt G (U 2 U 1 ) g (U 1 ) dU 2 G (U 1 U 2 ) I L C2 dt dIL L dt U 2
• 系统总体稳定性和局部不稳定性共同作用的产物 • 在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
双吸引子
• “The Double Scroll” • 形状依赖于元件的配置
电路元件的参数测量

物理学中的非线性特性及其应用

物理学中的非线性特性及其应用物理学中的非线性特性是指材料或系统在受到外部环境的影响下，不再呈线性关系时的特性。

在物理学领域中，非线性特性的研究发展非常迅速，并且得到了非常广泛的应用。

非线性特性的类型在物理学领域中，非线性特性主要可以分为两种类型：光学非线性和力学非线性。

光学非线性是指光在介质中传递时，由于材料的特性而产生的非线性效应。

其中最为重要的是Kerr效应和自相位调制效应。

在光纤通信和光学计算等领域，光学非线性已经被广泛使用。

力学非线性是指物体在受到外力作用下，出现的非线性效应。

例如，弹性变形、塑性变形等等。

力学非线性的研究已经应用到许多领域，如机械工程、材料科学等。

非线性特性在应用中的作用非线性特性在许多领域中都有重要的应用，下面我们来看一下其中的几个。

1.光学计算光学计算是利用光做为信息传输的载体进行通信或计算。

利用光进行计算具有高速度、高效率的特点，而光学非线性效应则是光学计算的基础。

其中，自相位调制是目前应用最广泛的光学非线性效应，已经被广泛应用于光纤通信和光学计算等领域。

2.材料科学材料科学是研究材料的性质、结构和制备方法的科学。

在材料科学中，非线性效应常被应用于材料的成型、加工和设计。

例如，利用力学非线性现象可以制作弯曲度较小的弹性体，有利于减少材料的成本和重量。

3.医学医学中，利用光学非线性效应可以进行皮肤成像和癌症检测等研究。

例如，利用二次谐波成像扫描技术，可以在皮肤表层获得高分辨率的像像，为皮肤疾病的诊断和治疗提供了支持。

总结在物理学中，非线性特性的研究已经非常深入，并且在许多领域中的应用也得到了广泛的发展。

这些非线性效应为我们创造了新的科技和更好的生活。

随着科学的不断进步，非线性特性的应用也将会越来越广泛。

中学物理中非线性物理量的处理策略及应用

中学物理中非线性物理量的处理策略及应用一、问题的提出物理现象中物理量之间存在着相互制约关系，根据这种关系可总结验证物理定律、定理及物理公式．有些物理量之间存在着线性关系，有些物理量之间存在着非线性关系. 通常图象法是解决上述问题的一个比较直观的途径，但图象法在解题过程中遇到非线性变化关系时，就只能定性研究而难以定量计算. 实际上在处理这样的一些非线性数据或问题时，我们可以采用转化的思想，可以将非线性变化关系转化为线性变化关系，将曲线变化规律转化为直线变化规律，这样有助于分析问题和定量求解.二、非线性转化为线性的处理策略在物理实验和解题时，常常会遇到一些非线性的两个物理量，若直接以这两个物理量为坐标，所得的图象为曲线，此时我们无法找到两个物理量之间的定量关系. 这时我们就需要去寻找呈线性关系的自变量和因变量. 再以这两个变量为坐标，将图象由曲线转变为直线. 那么如何去转化？其策略是：从物理规律和实验原理出发，找出非线性的两个物理量的关系式，并通过数学移项变形，找到合适的线性关系，然后利用其斜率和截距来求解. 比如力学实验中通常需要测量的数据是位移s和时间t，而在很多情景中，这两个物理量成非线性关系，下面我们就在具体的问题中来探讨其转化的策略.三、非线性转化为线性策略的应用1. 转化为■-t图象例1利用如图1所示的装置可测量滑块在斜面上运动的加速度. 一斜面上安装有两个光电门，其中光电门乙固定在斜面上靠近底端处，光电门甲的位置可移动，当一带有遮光片的滑块自斜面上滑下时，与两个光电门都相连的计时器可以显示出遮光片从光电门甲至乙所用的时间t. 改变光电门甲的位置进行多次测量，每次都使滑块从同一点由静止开始下滑，并用米尺测量甲、乙之间的距离s，记下相应的t值；所得数据如下表所示.完成下列填空和作图：（1）若滑块所受摩擦力为一常量，滑块加速度的大小a、滑块经过光电门乙时的瞬时速度vt、测量值s和t四个物理量之间所满足的关系式是；（2）根据表中给出的数据，在图2给出的坐标纸上画出■-t图线；（3）由所画出的■-t图线，得出滑块加速度的大小a= m/s2（保留2位有效数字）.解析：本题是利用光电门的装置在斜面上测物体运动的加速度，实验中，用米尺测量甲、乙之间的距离s，并用计时器显示出遮光片从光电门甲至乙所用的时间t，设加速度为a，光电门乙时的瞬时速度vt，则由运动学公式可得s=vtt-■at2，由公式可知s和t成二次关系，作s-t图象是曲线，为了研究问题，处理的策略是：作■-t，即表达式：■=-■at+vt，作出图象是直线，成线性关系，其中图象的斜率k=-■a，截距b=vt.2. 转化为s-t2图象例2图3是“研究匀变速直线运动”实验中获得的一条纸带，O、A、B、C、D和E为纸带上六个计数点，加速度大小用a表示.①OD间的距离为cm.②图4是根据实验数据绘出的s-t2图线（s为各计数点至同一起点的距离），斜率表示，其大小为m/s2（保留三位有效数字）.解析：本题是利用打点计时器研究匀变速直线运动，利用毫米刻度尺测出A、B、C、D、E到O点的距离s，再根据打点计时器打出的计数点计算出距O点的时间t，则由运动学公式可得s=■at2，可知s和t成二次关系，作s-t图象是曲线，为了研究问题，处理的策略是：作s-t2图象是直线. 其中图象的斜率k=■a.3. 转化为■-s图象例3现要通过实验验证机械能守恒定律. 实验装置如图5所示：水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨；导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的砝码相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点有一光电门，可以测量遮光片经过光电门时的挡光时间t，用d表示A点到导轨底端C点的距离，h表示A与C的高度差，b 表示遮光片的宽度，s表示A、B两点间的距离，将遮光片通过光电门的平均速度看做滑块通过B点时的瞬时速度. 用g表示重力加速度.完成下列填空和作图.（1）若将滑块自A点由静止释放，则在滑块从A运动至B的过程中，滑块、遮光片与砝码组成的系统重力势能的减小量可表示为. 动能的增加量可表示为. 若在运动过程中机械能守恒，■与s的关系式为■=.（2）多次改变光电门的位置，每次均令滑块自同一点（A点）下滑，测量相应的s与t值，结果如下表所示：以s为横坐标，■为纵坐标，在答题卡上对应图6位置的坐标纸中描出第1和第5个数据点；根据5个数据点作直线，求得该直线的斜率k=×104m-1·s-2（保留3位有效数字）. 由测得的h、d、b、M和m数值可以计算出■-s直线的斜率k0，将k和k0进行比较，若其差值在试验允许的范围内，则可认为此实验验证了机械能守恒定律.解析：本题是利用光电门和气垫导轨的装置来验证机械能守恒定律. 实验中s表示A 、B 两点间的距离导轨上，B点有一光电门，可以测量遮光片经过光电门时的挡光时间t. 多次改变光电门的位置，测量相应的s与t值. 由机械能守恒定律可得Mgs■-mgs=■（M+m）（■）2，由公式可知：s和t成二次幂函数关系，作s-t图象是曲线，为了研究问题，处理的策略是：作■-s，即■=■s，作图象是直线，成线性关系，其中图象的斜率k=■.四、结束语通过上述的具体应用，我们发现在处理策略的过程中，线性物理量和转化前的非线性物理量之间的关系：有比值关系，如■-t；有平方关系，如s-t2；有平方倒数关系，如■-s，…. 当然在不同的情景中还会有更多其他的关系. 可见这种处理策略充分体现了对物理规律和实验原理的迁移创新能力. 因此在平时的教学过程中，要培养学生利用图象解决问题的意识，当物理量成非线性关系时，应洞察两个物理量的变化关系，掌握这类问题的处理策略，从线性关系角度建立合适的坐标，来解决相关的物理问题.■。

非线性物理和系统和混沌现象

非线性物理和系统和混沌现象物理学是自然科学的一个重要分支，涉及到各种物质和现象的研究。

在物理学的发展过程中，人们逐渐认识到线性系统和非线性系统的区别。

线性系统是指系统的输入与输出之间呈现出线性关系。

而非线性系统则是指系统的输入与输出之间呈现出非线性关系。

近年来，非线性物理和系统和混沌现象的研究成为了物理学中一个重要的研究领域。

一、非线性物理和系统非线性物理和系统的研究对象主要是非线性系统，包括混沌系统、非线性振动系统、非线性光学系统等。

相对于线性系统，非线性系统更加复杂，但性质也更加丰富多彩。

非线性系统的研究是为了深入理解物质和现象的本质，进一步推动物理学的发展。

非线性系统的行为是由相互作用体系的非线性因素所决定的。

对于非线性系统的行为，人们往往采用数值模拟方法进行研究。

随着计算机技术的不断发展，数值模拟方法已经成为了非线性物理和系统研究的常用工具。

二、混沌现象混沌现象是指在非线性系统中出现的一种非周期、无序、随机的运动行为。

混沌现象最初是在天体物理中被观察到的。

由于天体运动的复杂性，天体运动在某些情况下呈现出了混沌现象。

随后，人们将混沌现象引入到物理学的其他领域中，研究非线性振动系统、非线性光学系统等中出现的混沌现象。

混沌现象的一个重要特征是灵敏依赖。

假设有一个小幅度扰动加在混沌系统中，随着时间的推移，原始运动轨迹与扰动轨迹之间的差距将不断扩大，最终形成两条完全不同的运动轨迹。

这意味着混沌现象对初始条件的微小变化具有极强的灵敏度，而这种灵敏度也是混沌现象的一个重要特征和表现形式。

三、应用前景非线性物理和系统和混沌现象的研究已经在很多领域中得到了广泛应用。

尤其是在自然界中，非线性系统和混沌现象的存在极为普遍。

比如地球的自然灾害，就包括了许多混沌现象，如地震、洪水等。

此外，在工程领域中，非线性物理和系统和混沌现象的研究也具有很高的应用价值。

比如，人们可以通过非线性振动系统和混沌现象来分析和控制结构的振动，加强工程结构的耐震能力，以应对自然灾害的影响。

物理学中的非线性

物理学中的非线性物理学是研究自然界规律的科学领域，它探讨了能量、物质、力量和运动等基本概念，是人类认识和理解宇宙的重要手段之一。

在物理学的研究中，非线性现象在一些特定领域中起着重要的作用。

非线性描述了某些系统中，输入与输出之间不是简单的线性关系。

本文将介绍物理学中的非线性现象、其应用以及相关的研究方法。

一、非线性现象的概念非线性现象是指某些系统的响应不符合线性关系的特征。

在线性系统中，输入与输出之间存在着简单的比例关系。

然而，在许多自然界和工程实践中，非线性关系很常见。

非线性现象可能涉及多个因素的复杂相互作用，导致系统的行为不可预测或难以描述。

这为物理学领域带来了更加复杂和有趣的研究内容。

二、物理学中的非线性现象1. 混沌现象混沌现象是非线性系统中的一个重要方面。

当系统对初始条件极其敏感，并且微小的变动会导致系统行为的巨大变化时，就出现了混沌现象。

由于外界条件的微小扰动和系统内部的非线性相互作用，混沌现象导致了长期的不可预测性。

混沌理论在天气预测、流体力学和量子力学等领域中有广泛的应用。

2. 自旋玻璃现象自旋玻璃是一种由非线性效应引起的复杂的玻璃性质。

在某些材料中，原子之间的相互作用会导致自旋的不规则排列，形成自旋玻璃态。

自旋玻璃现象在凝聚态物理学、磁学和材料科学等领域中得到广泛研究，并且对于理解高温超导和自发电流等现象具有重要意义。

3. 力学系统中的非线性在力学系统中，非线性现象也非常常见。

例如，简单的摆钟对初始条件极度敏感，会产生复杂的周期运动；非线性振动器在共振点附近表现出特殊的动力学行为；非线性材料的弹性性质也具有一些特殊的非线性特性。

力学系统中的非线性研究对于理解物体的运动、结构和振动等现象具有重要的意义。

三、非线性研究方法1. 数值模拟数值模拟是研究非线性系统的重要手段之一。

通过建立物理方程的数值解，可以模拟和预测非线性系统的行为。

数值模拟在研究混沌现象、复杂流体力学和天体力学等领域中发挥着重要作用。

非线性力学导论

3.5699,4中还会有其它周
的窗口有无穷多个，但没有复盖整个
11
例1.2
Logistic方程
n0 e at n , b b 1 Байду номын сангаасn0 n0 e at a a
dn an bn 2 (a, b 0) dt
可视为生物界的繁殖方程。解得
a lim n t b
非线性力学导论
第 1讲绪论
课程概述
本课程的主要目的是通过力学介绍非线性系统所特有的现象。迄今为止，我们处理的极大多数问题是线性或接近线性（有时称为弱非线性）的问题。线性问题比较容易处理，再加上线性问题解的迭加原理成立，所以当问题的维数增加时，原则上很多定性是不会改变的。而非线性问题却不同，它可以出现很多线性
3
例1.1
差分方程(Logistic映射)
xn1 xn (1 xn ),
由条件可知，当
0,4, x0 0,1
（1.1）
x0 0,1 xn 0,1 。λ称为系统的控制参数。
4
例1.1
差分方程(Logistic映射)
A. 内在的随机性
初值的敏感（依赖）性导致内在的随机性，即不稳定性。一般来说，上述问题中如果有100位二进制初值，经过100次迭代后就无任何初值信息保留下来。
从而周期为2的解是下述方程的定态解
1 (1 )1 (1 )(1 ) 0
这是四次代数方程，与 1 (1 ) 0 对应的是原问题的不动点，而
1 (1 )(1 ) 0
对应的就是周期为2的解
(1.3)
1,2
所以当 f ( x ) 1, xn x ；当

物理非线性关系问题

专题06 非线性关系问题目录一、数形结合法 (1)二、数学解析法 (8)两个物理量之间的关系是一次函数关系，其图象是一条直线。

比如加速度与合外力关系，电压与电流的关系。

如果两个物理量不是一次函数关系，其图象是各种各样的曲线，它们是非线性关系。

非线性关系问题是中学物理教学中的难点，也是每年全国各地高考物理试题中的热点。

按解题方法把这些问题进行梳理分类，大致可分为数形结合法、数学解析法等几种类型。

通过解析，以期对高三物理复习教学工作有所启迪。

一、数形结合法数形结合法是定性分析非线性关系问题的最基本方法。

这是因为在高中物理中，非线性关系问题的研究重点是定性分析。

解决这类问题首先要定性地画出所要求的物理量与相关量的函数图象，按曲线所体现的物理意义来解释具体的物理问题，曲线的物理意义主要包括：曲线纵坐标随横坐标变化的物理意义，坐标值正负的物理意义，曲线与横轴、纵轴交点的物理意义，曲线上任意一点切线斜率的物理意义，曲线与横轴所围面积的物理意义等方面。

典例1.（19年全国2卷）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。

某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图像如图（b）所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。

则（）A. 第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小B. 第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大C. 第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度比第一次的大D. 竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大【答案】BD【解析】A ．由v -t 图面积易知第二次面积大于等于第一次面积，故第二次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以，A 错误；B ．由于第二次竖直方向下落距离大，由于位移方向不变，故第二次水平方向位移大，故B 正确C ．由于v -t 斜率知第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由0v v a t-=易知a 1>a 2，故C 错误 D ．由图像斜率，速度为v 1时，第一次图像陡峭，第二次图像相对平缓，故a 1>a 2，由G -f y =ma ，可知，f y 1<f y 2，故D 正确【总结与点评】v -t 图面积表示下落的纵向位移，可以数格子比较两种情况下的位移大小，纵向的阻力与纵向速度正相关，两种情况由于运动员姿势不同，受力面不同，因此正相关系数不同，导致纵向的速度时间图象不同。

物理学中的非线性效应

物理学中的非线性效应物理学是一门自然科学，主要研究物质的本质和性质，以及它们之间的相互作用和变化规律。

其中，非线性效应是一个非常重要的研究领域，它包含了许多复杂的现象和现象机理。

本文将介绍什么是非线性效应，以及它在不同领域中的应用。

非线性系统在理解非线性效应之前，我们需要先了解什么是非线性系统。

简单来说，线性系统的输出和输入成比例，意味着增大输入信号会导致同样的输出变化。

而非线性系统则不是这样，随着输入信号的增加，输出信号也会变化，但不是成比例的。

这就是非线性效应存在的原因。

非线性效应的定义在物理学中，非线性效应是指系统对输入信号的响应不是成比例的，而是具有非线性关系。

它是一种数学上的概念，其中非线性的内容包括幂、指数和三角函数等，这些函数是非线性的。

非线性效应的分类根据效应的大小，非线性效应可以分为弱非线性和强非线性。

弱非线性是非线性效应的一种较小变化，而强非线性则是一种非常复杂的现象，包括了诸如混沌和相位转移等许多现象。

非线性效应的应用非线性效应在许多物理学领域中得到了广泛的应用，例如：1. 激光技术激光技术是非线性效应的一个许多应用的领域之一。

许多非线性效应可以被用来增强激光的功率和频率，例如自相互作用、光学压缩和谐波发生器等。

2. 电子学在电子学中，非线性效应可以用来创造更复杂的电路，例如产生更复杂的波形和频率。

此外，非线性效应还可以用于电光调制和光电效应等。

3. 材料科学非线性效应可以通过对材料的表面和界面进行修饰来改变其电学、光学和磁学等特性。

这种效应还常常被用于制造电池、电子器件和其他形式的电子元件。

4. 天文学天文学家们利用非线性效应来模拟和预测星球、流星和彗星的运动。

尤其是在理解和探索太阳系和银河系的过程中，这种效应是非常重要的。

总结非线性效应是一个非常广泛的物理学领域，它可以被应用到许多不同的领域中，包括激光技术、电子学、材料科学和天文学等等。

可以说，非线性效应是一个非常复杂的领域，但它也是非常重要的。

非线性物理

非线性物理
非线性物理是指研究物体对外力的非线性反应，以及它们引发的种种现象，有时这些现象可能是不可预见的。

它是研究物理现象的一种方法或技术，它的历史可以追溯到19世纪的19世纪中期。

近年来，非线性物理学在许多科学领域得到了广泛的应用，包括力学、声学、电磁学、凝聚态物理学、自动控制、生物物理学以及计算机科学等等。

非线性物理学的研究既可以涉及到原子分子层面的物理学问题，也可以涉及到宏观尺度的物理学问题。

非线性物理有多种不同的研究方法，其中最常用的方法是基于数学模型的分析，例如拉普拉斯方程、谱估计和李雅普诺夫方程等等。

这些数学模型可以用来描述物理现象，是研究非线性物理的基础。

除了基于数学模型的分析外，非线性物理学还包括实验室实验，在实验室实验中，研究者可以采用各种各样的研究方法，例如激光劈裂、非线性光学、固体态物理学和量子力学等。

这些实验将帮助研究者对现有的非线性物理理论进行验证和检验，也可能帮助提出新的非线性物理理论。

此外，非线性物理学还包括计算物理学的研究，通过计算物理学，研究者可以借助计算机来模拟物理实验，以及对非线性物理理论进行分析和模拟。

总之，非线性物理学是一门非常广泛的学科，研究不同层次的物理现象，从原子分子到力学等。

它是定量分析和模拟物理系统非常重要的一门学科，也是一门非常有趣的学科，为研究物理学提供了重要
的理论指导。

物理学中的非线性方程

物理学中的非线性方程非线性方程是指未能表达为未知量的一次方的方程，或者说含有未知量的幂或乘法运算的方程。

在物理学中，非线性方程广泛应用于描述许多复杂的自然现象。

下面将介绍物理学中的一些重要的非线性方程。

1. 克努森堆积方程（Knudsen堆积方程）克努森堆积方程描述了气体流过孔洞或狭缝时的气体流动行为。

它是由物理学家克努森（Martin Knudsen）于1909年提出的。

该方程是一个非线性的积分方程，可以用来计算气体分子在孔洞或狭缝内的流动速度与压强之间的关系。

2.庞加莱－洛伦兹方程庞加莱－洛伦兹方程是描述相对论性粒子运动的非线性微分方程。

这个方程由法国物理学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）在19世纪末提出的。

该方程描述了质子、电子等带电粒子在电磁场中的受力和运动。

光学非线性方程是用于描述光在非线性介质中传播时的行为的方程。

光在非线性介质中传播时会产生光的自相互作用，如自聚焦、自调制等现象。

这些现象可以通过非线性方程来描述。

常见的光学非线性方程包括光波方程、改正的光波方程、Kerr方程等。

4.斯托克斯方程斯托克斯方程是描述流体力学中粘性流体运动的基本方程。

它是由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）在19世纪提出的。

斯托克斯方程是一组非线性的偏微分方程，描述了流体的速度场和压力场之间的关系。

斯托克斯方程在描述微观尺度上的流体运动中尤为重要。

5.薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子的运动和状态演化的基本方程。

它是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）于1926年提出的。

薛定谔方程是一个非线性偏微分方程，描述了微观粒子的波函数与能量之间的关系。

它是量子力学的基础，被广泛应用于描述原子、分子和凝聚态物理等领域。