三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结
高考三角函数知识点总结
高考三角函数知识点总结一、基本概念和性质1.弧度制：单位圆上的弧所对应的圆心角的大小定义为该弧的弧度。
1弧度等于圆周的1/2π。
2. 三角函数：正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。
3.三角恒等式：包括同角三角恒等式、余角三角恒等式、反三角函数同角恒等式等。
4.周期性：正弦函数、余弦函数、正割函数和余割函数的周期都是2π；正切函数和余切函数的周期是π。
二、基本关系式1.正弦函数：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角三角形，三角形的对边和斜边的比值。
- sin(x) = a / c，其中a是对边，c是斜边。
- sin(x) = y / r，其中y是斜边在y轴上的投影，r是半径。
2.余弦函数：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角三角形，三角形的邻边和斜边的比值。
- cos(x) = b / c，其中b是邻边，c是斜边。
- cos(x) = x / r，其中x是斜边在x轴上的投影，r是半径。
3.正切函数：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角三角形，三角形的对边和邻边的比值。
- tan(x) = a / b，其中a是对边，b是邻边。
- tan(x) = y / x，其中y是斜边在y轴上的投影，x是斜边在x轴上的投影。
4.余切函数：余切函数是正切函数的倒数。
- cot(x) = 1 / tan(x)。
5.正割函数：在直角三角形中，正割函数是指对于一个锐角三角形，三角形的斜边和邻边的比值的倒数。
- sec(x) = 1 / cos(x)。
6.余割函数：在直角三角形中，余割函数是指对于一个锐角三角形，三角形的斜边和对边的比值的倒数。
- csc(x) = 1 / sin(x)。
三、平面内角与弧度制之间的关系1.弧度制与度数之间的转换：-弧度=度数×π/180-度数=弧度×180/π2.弧度制下的角的性质：-一个圆上的圆心角的弧度数等于该弧所对应的弧的弧度数。
三角函数和反三角函数图像性质、知识点总结(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】三角函数1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值2. 角度制与弧度制设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S角a 的弧度数公式2π×(a /360°)角度与弧度的换算①360°=2π rad ②1°=π/180rad③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3°弧长公式 l a R =扇形的面积公式 12s lR =3.诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ）所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注：①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了 4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①：三角函数 xy sin =x y cos = xy tan = cot y x=函 数 图 象定义域 R R 2x k ππ≠+x k π≠值域 [-1,1][-1,1]RR周期2π2πππ奇偶性 奇 偶奇非奇非偶单 调 性2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦ []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓,22k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦ [],k k πππ+↓对 称 性 :2x k ππ=+对称轴对称中心:(,0)k π :x k π=对称轴:对称中心(+,0)2k ππ:对称中心(,0)2k π零值点 πk x = 2ππ+=k xπk x =2ππ+=k x最 值 点2ππ+=k x ,1max=y2ππ-=k x ,1min -=yπk x 2=，1max =y ；2y k ππ=+，1min -=y)sin(ϕω+=x A y （1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ=T5.三角函数尺度变换sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）的步骤（先平移后伸缩）：1sin sin sin sin y x y x y x y x ϖϕϖϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍向左或向右纵坐标不变平移个单位纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变（）A （）6.三角函数的对称变换：① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）7.反三角函数的图像与性质：性质图像定义域 ［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域 ［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π)(0，π)单调性 []1,1- 增函数 []1,1- 减函数 (),-∞+∞增函数 (),-∞+∞减函数 奇偶性arcsin()arcsin θθ-=-arccos()arccos θπθ-=-arctan()arctan θθ-=-arccot()arccot θπθ-=-周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数7.三角函数公式：（1）倒数关系： （2）平方关系：tan cot 1sin csc 1cos sec 1αααααα⋅=⋅=⋅= 222222sin cos 11tan sec 1cot csc αααααα+=+=+=（3）三角和与差公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++=-++=- sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ-=--=+--=+（4）二倍角公式：()22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα==-=-=-=-升幂公式22221cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-⎫=⎪⎧-=⎪⎪⇒⎬⎨++=⎪⎩⎪=⎪⎭降幂公式） （5）三角函数的和差化积公式 （6）三角函数的积化和差公式sin sin 2sin cos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+-- 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
(完整版)三角和反三角函数图像性质总结
arc cot x
arcsin x arccos x
2
, x [ 1,1]
2
x
R
三角函数的图像和性质
kZysin x
ycosxytan x
一个周
．．．11
3
期的图
2
426
．
O
2
2
像-1-1
-2
定义域R
值域
[ 1,1]
奇偶性奇函数
周期2
对
称直线xk，kZ
2
对轴
称
对
性
称
点(k,0)，kZ
22
无减区间
22
y arctanx
定义域
1,1
1,1
R
值域
2
,
[0，π]
,
2
2
2
在
1,1
上单一递加
在1,1上单一递减在R上单递加单一性无减区间
无减区间
无增区间
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
2
图象
运算公
式1
运算公
式2
运算公
式3
运算公
式4
2
3
2
1
2
1
-1
2
2
2
4
6
-2
8
2
4
O
1
1
-1
-1
-2
-
1
2
-2
6
-1
O
4
-2
2
反三角函数的图像和性质arcsin定义域111111上单调递增无减区间11上单调递减无增区间上单调递增无减区间奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数12122arcsinarccosarctancottan一个周12121232奇偶性奇函数偶函数奇函数周期
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
千里之行，始于足下。
三角函数及反三角函数图像性质、学问点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。
下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的学问点总结。
一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。
6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。
二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。
6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。
三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2. 值域：正切函数的值域为全体实数。
3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。
6. 最值点：正切函数没有最值点。
四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。
2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。
3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。
三角函数及反三角函数的图像及性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1.正弦与余函数的图像与性质ycosx函数ysinx图像定域义RR值域1,11,1最值x2k时,y1，kZ最大2 x2k,y1kZ时，最大x2k时,y1，kZ最小x2k时,y1，kZ最小2单调性在每个[2k,2k]上递增22 在每个[2k,2k]上递增在每个[2k,2k]上递减3在每个[2k,2k]上递减22kZkZ奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期对称性对称中心(k,0)，对称中心(,0)k，2对称轴:xk,(kZ)对称轴2:x k,(kZ)2.正切与余切函数的图像与性质函数ytanxycotx图像定域义{x|xR且xk,kZ}{x|xR且xk,k Z}2值域RR单调性在每个(k,k)上递增在每个(,)上递减kk22kZkZ奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期对称性k对称中心(,0)2k 对称中心(,0)2二、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反余弦函数yarccosx函数反正弦函数yarcsinx是ycosx，x0,的反函数是sin,yx，x的反函数22图像定域义1,11,1值域0,,22单调性在[1,1]上递增在[1,1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)22.反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数yarctanx反余切函数yarccotx是ycotx，x0,的反函数是tan(,)yx，x的反函数22图像定域义(,,)(,,)值域,0,22单调性在(,,)上递增在(,,)上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)2。
三角函数与反三角函数的图像与性质
在每个［-亍十2k兀，y+2k兀］上递增
在每个H+2^ι,-+2^ ］上递减
2 2
"Z
在每个［-兀+2kτc,2kτc］上递增 在每个［2k兀，兀+2k兀］上递减
"Z
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
是周期函数，2皿为最小正周期
是周期函数，2兀为最小正周期
对称性
对称中心(gθ)，
对称轴：x =±+k兀,(k^z)
三角函数与反三角函数的图像与性质
一、三角函数的图像和性质
1.正弦与余函数的图像与性质
函数
y = sin X
y = CoSX
图像
K.必
1∖/、
厂f∖/、
≡∖"/晋a'J
∖√
-t
定域义
R
R
值域
1-1,1]
1-1,1]
最值
x=^∙+2k兀时，y最大=1，k^Z
X^-+2k兀时，y最小=—1, kEZ 2
x = 2k^时，y最大=1, ^Z χ = n+2k兀时，y最小=_1,Z
是y =sinχ,的反函数
1 2 2J
反余弦函数y = arccos X
是y =cosx, X壬［0,兀］的反函数
图像
I I
I
I
I||
I
I
I
I
I
I
I
I
4
2
y
πk
!2
V= ≡WC CoSX
—1 I
厂
μ:!
I
I
I
V
I
」O
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
千里之行，始于足下。
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结三角函数是数学中的重要概念，它研究角和三角形之间的关系。
在解决各种几何和物理问题时，三角函数经常被用于描述和计算角度的大小和位置，具有广泛的应用。
而反三角函数则是对三角函数的运算结果进行逆运算，可以将三角函数的值转化为角度的大小。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像性质对于理解和使用三角函数非常重要。
首先，正弦函数的图像为一条连续的曲线，其振幅为1，但其值域在[-1, 1]之间变化。
在0到2π的区间上，正弦函数的图像呈现周期性变化，即在每个周期内重复出现相同的形状。
正弦函数在0、π、2π等处的值为0，而在π/2和3π/2等处的值达到最大值1和最小值-1。
余弦函数的图像与正弦函数非常相似，也是连续的曲线，振幅为1，值域在[-1, 1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数在0处达到最大值1，在π/2和3π/2处达到最小值-1，并且在π处到达最小值-1时的斜率大于其他点。
正切函数的图像则比正弦函数和余弦函数复杂一些。
正切函数的值在整个实数轴上变化，但在某些点上出现垂直渐近线。
正切函数在0处为0，并且在π/2处存在一个不可取的点，其他点上的斜率变化也比较剧烈。
反三角函数是三角函数的逆运算。
对于给定的角度值，反三角函数可以计算出与之对应的三角函数的值。
反正弦函数、反余弦函数和反正切函数是最常用的反三角函数。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
反正弦函数的图像是一段弧线，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
在定义域范围内的每个值，它的反正弦函数都会返回一组对应的弧度值。
反余弦函数的图像也是一段弧线，其定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
与反正弦函数不同，反余弦函数的值域比较大，因此可以返回更多的角度值。
反正切函数的图像是一条连续的曲线，其定义域为整个实数轴，值域为(-π/2, π/2)。
反正切函数的图像在x轴与正y轴的交点是原点，其斜率在各点上的变化没有正切函数那么剧烈。
三角函数最全知识点总结
三角函数最全知识点总结三角函数是高中数学中的重要内容，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
下面将对这些三角函数的定义、性质以及常用的解题方法进行总结。
一、正弦函数（sin）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的纵坐标y即为θ的正弦值，记作sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，sin(θ+π)=-sinθ。
其中π为圆周率。
3. 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，即正弦函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，sinθ>0；当θ为钝角时，sinθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，sinθ从0增加到1，然后再从1减小到0。
二、余弦函数（cos）：1. 定义：在单位圆上，任选一点P与x轴正方向的夹角为θ，P点的横坐标x即为θ的余弦值，记作cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 周期性：cos(θ+2π)=cosθ，cos(θ+π)=-cosθ。
3. 奇偶性：cos(-θ)=cosθ，即余弦函数关于y轴对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，cosθ>0；当θ为钝角时，cosθ<0。
5. 值域变化：当θ从0增加到π/2时，cosθ从1减小到0。
三、正切函数（tan）：1. 定义：正切值tanθ等于θ的正弦值除以θ的余弦值，即tanθ=sinθ/cosθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为实数集。
2. 周期性：tan(θ+π)=tanθ。
3. 奇偶性：tan(-θ)=-tanθ，即正切函数关于原点对称。
4. 正负性：当θ为锐角时，tanθ>0；当θ为钝角时，tanθ<0。
四、反三角函数：1. 反正弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[-π/2，π/2]。
记作arcsin x或sin⁻¹x。
2. 反余弦函数：定义域为[-1,1]，值域为[0,π]。
(完整版)三角和反三角函数图像性质总结
在 上单调递减
无增区间
在R上单调递增
无减区间
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
图象
运算公式1
运算公式2
运算公式3
运算公式4
三角函数的图像和性质
一个周期的图像
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期
对称性
对称轴
直线 ，
，
点 ，
单调性
在 上
在 上
在 上
在 上
在 上
无减区间
反三角函数的图像和性质arcsin定义域111111上单调递增无减区间11上单调递减无增区间上单调递增无减区间奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数12122arcsinarccosarctancottan一个周12121232奇偶性奇函数偶函数奇函数周期
反三角函数的图像和性质
定义域
R
值域
[0，π]
单调性
在 上单调递增
三角函数与反三角函数总结 简洁版
二、反三ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数:
函数 反正弦 反余弦 反正切 反余切 反正割 反余割
表示（与三角函数一一对应) 若 x sin y ，则 y arc sin x 若 x cos y ，则 y arc cos x 若 x tan y ，则 y arc tanx 若 x cot y ，则 y arc cotx 若 x sec y ，则 y arcsec x 若 x cscy ，则 y arccscx
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
5、二倍角公式：
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2
tan 2 2 tan 1 tan 2
6、降幂公式：
三角函数与反三角函数
一、三角函数：
1、定义：
名称
正弦
定
sin
义
对边 斜边
y r
余弦
cos
邻边 斜边
x r
正切
tan
对边 邻边
y x
余切
cot
邻边 对边
x y
正割
sec
斜边 邻边
r x
余割
csc
斜边 对边
r y
2、正六边形法则：
图形结构：
上弦、中切、下割； 左正、右余、中间 1
图形关系：
tan cot 1 (1)倒数关系： SinCsc 1
2
sin
1 cos 2
2
2
cos
1
cos 2
2
7、辅助角公式：
a sin x b cos x a2 b2 sin(x )
三角函数的反函数与反三角函数
三角函数的反函数与反三角函数三角函数是数学中的重要概念，它在几何和物理问题的解决中起着重要的作用。
在三角函数的学习过程中，我们经常会接触到它的反函数和反三角函数。
本文将详细介绍三角函数的反函数与反三角函数的性质和应用。
一、三角函数的反函数1. 反函数定义在数学中，如果一个函数f(x)在定义域D上是一对一（即每个自变量对应唯一的因变量）的并且在其值域R上连续，则我们可以定义其反函数f^(-1)(y)，其中y∈R。
反函数是将原函数的自变量和因变量交换后所得到的函数。
2. 反函数性质对于三角函数而言，正弦函数、余弦函数和正切函数都具有反函数。
它们的反函数分别记为sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)和tan^(-1)(x)，也可以记作arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)。
这些反函数的定义域为[-1,1]，值域为[-π/2,π/2]（对于反正弦和反余弦函数）或者(-π/2,π/2)（对于反正切函数）。
3. 反函数的图像通过绘制函数及其反函数的图像，我们可以发现反函数和原函数关于直线y=x对称。
这意味着，如果在直角坐标系中绘制出原函数的图像，则反函数的图像可以通过将原函数的图像绕y=x旋转得到。
4. 反函数的性质反函数具有以下几个性质：- 反函数与原函数的复合，即f^(-1)(f(x))=x，以及f(f^(-1)(x))=x。
这意味着反函数是原函数的“逆操作”。
- 反函数的导数等于原函数的导数的倒数，即(f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x))。
二、反三角函数1. 反三角函数定义反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义和性质与上述三角函数反函数相似。
常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，分别表示为sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)和tan^(-1)(x)。
2. 反三角函数的值域反三角函数的值域为角度值，通常以弧度为单位。
三角函数与反三角函数的图像与性质
三角函数与反三角函数的图像与性质本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1. 正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Z x k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时， 单调性[2,2]223[2,2]22Z k k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减 奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质 函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且{|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域 RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π二、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质 函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数 反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数 图像定域义 []1,1-[]1,1- 值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质 函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数 反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域 ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性(,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π。
三角函数与反三角函数的图像与性质
三角函数与反三角函数的图像与性质一、三角函数的图像和性质1. 正弦与余函数的图像与性质 函数 x y sin =x y cos =图像定域义 RR值域 []1,1-[]1,1-最值2,1 22,1 2x k y k Zx k y k Zππππ=+=∈=-+=-∈最大最小时，时，2, 1 2,1x k y k Zx k y k Z πππ==∈=+=-∈最大最小时，时， 单调性[2,2]223[2,2]22Zk k k k k ππππππππ-++++∈在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2] Zk k k k k ππππππ-++∈在每个上递增在每个上递减 奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数，2π为最小正周期 是周期函数，2π为最小正周期 对称性对称中心(,0)k π，:,()2x k k Z ππ=+∈对称轴 对称中心(,0)2k ππ+，:,()x k k Z π=∈对称轴2. 正切与余切函数的图像与性质函数 x y tan = x y cot =图像定域义 {|,}2x x R x k k Z ππ∈≠+∈且 {|,}x x R x k k Z ππ∈≠+∈且值域 RR单调性(,)22Zk k k ππππ-++∈在每个上递增(,) Zk k k πππ+∈在每个上递减奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数，π为最小正周期 是周期函数，π为最小正周期 对称性 对称中心(,0)2k π 对称中心(,0)2k π二、反三角函数的图像与性质1. 反正弦与反余函数的图像与性质 函数反正弦函数arcsin y x =是sin ,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，的反函数 反余弦函数arccos y x =是[]cos 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 []1,1-[]1,1- 值域 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]0,π单调性 [1,1]-+在上递增[1,1]-+在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π2. 反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数arctan y x = 是tan (,)22y x x ππ=∈-，的反函数 反余切函数arccot y x = 是()cot 0,y x x π=∈，的反函数图像定域义 (,,)-∞+∞(,,)-∞+∞值域 ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,π单调性 (,,)-∞+∞在上递增(,,)-∞+∞在上递减奇偶性 奇函数 非奇非偶 周期性 无无对称性 对称中心(0,0)对称中心(0,)2π友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值
2.
角度制与弧度制
设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S
角a 的弧度数公式 2π×(a /360°)
角度与弧度的换算
①360°=2π r ad ②1°=π/180rad
③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3°
弧长公式 l a R =
扇形的面积公式 12
s lR =
3.
诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ）
所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注：
①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了
4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈）
①：
三角函数 x y sin = x y cos =
x y tan = cot y x
=
函 数 图 象
定义域 R R 2
x k π
π≠+
x k π
≠
值域 [-1,1]
[-1,1]
R
R
周期 2π
2π
π
π
奇偶性 奇
偶
奇
非奇非偶
单 调 性 2,222k k ππππ⎡
⎤-+↑⎢⎥⎣⎦2,222k k ππππ⎡⎤-+↑⎢⎥⎣⎦
[]2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓
,22k k ππππ⎡
⎤-+↑⎢⎥⎣⎦
[],k k πππ+↓
对 称 性 :2
x k π
π=+
对称轴
对称中心:(,0)k π
:x k π
=对称轴
:
对称中心(+
,0)
2k π
π
:
对称中心(
,0)2
k π
零值点 πk x =
2
π
π+
=k x
πk x =
2
π
π+
=k x
最 值 点
2
π
π+
=k x ,1max
=y
2
π
π-
=k x ,1min
-=y
πk x 2=，1max =y ；
2y k ππ=+，1min -=y
②：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：
（1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π2=T
（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π=T
5.三角函数尺度变换
sin y x =经过变换变为sin y x ϖϕ=+A （）
的步骤（先平移后伸缩）： 1
sin sin sin sin y x y x y x y x ϖ
ϕ
ϖ
ϖϖϕϖϕ=−−−−−−−→=−−−−−→=+−−−−−−−→=+横坐标变为原来的倍
向左或向右纵坐标不变
平移个单位
纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变
（）A （）
6.三角函数的对称变换：
① )()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
② )()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
③ )()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④ )()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局
部翻动）
7.反三角函数的图像与性质：
名称y=arsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx
定义y=sinx
((,))
22
x
ππ
∈-的
反函数，叫做反
正弦函数
y=cosx
((0,))
xπ
∈的反
函数，叫做反余
弦函数
y=tanx
((,))
22
x
ππ
∈-的反
函数，叫做反正切
函数
y=cotx((0,))
xπ
∈
的反函数，叫做反
余切函数
性质图像
定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)
值域［-
2
π，
2
π］
［0，π］(-
2
π，
2
π) (0，π)
单调性[]
1,1
-增函数[]1,1
-减函数()
,
-∞+∞增函数()
,
-∞+∞减函数奇偶性arcsin()arcsin
θθ
-=-
arccos()arccos
θπθ
-=-
arctan()arctan
θθ
-=-
arccot()arccot
θπθ
-=-
周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数
7.三角函数公式：
（1）倒数关系： （2）平方关系：
tan cot 1
sin csc 1cos sec 1αααααα⋅=⋅=⋅= 22
22
22
sin cos 1
1tan sec 1cot csc αααααα
+=+=+=
（3）三角和与差公式：
sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
αβαβαβαβ
αβαβ
+=++=-++=
- sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ-=--=+--=+
（4）二倍角公式：
()22222
sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααα
αααααααα
==-=-=-=-升幂公式 22
2
21cos 2sin 1cos 22sin 2(1cos 21cos 22cos cos 2αααααααα-⎫
=
⎪⎧-=⎪⎪⇒⎬⎨++=⎪⎩⎪=⎪⎭降幂公式） （5）三角函数的和差化积公式 （6）三角函数的积化和差公式
sin sin 2sin cos
22sin sin 2cos sin
22cos cos 2cos cos
22cos cos 2sin sin
22
αβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅ [][]
[]
[]
1
sin cos sin()sin()21
cos sin sin()sin()2
1
cos cos cos()cos()21
sin sin cos()cos()2
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=
++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+-- 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”
8.正、余弦定理： ①正弦定理： 在ABC ∆中有:
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧
=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
面积公式：1
11sin sin sin 222
ABC S abs C ac B bc A ∆=== ②余弦定理： 在三角形ABC ∆中有:
222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C
⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪=
⎨⎪⎪+-=
⎪⎩。