函数证明问题专题训练

函数证明问题专题训练

⑴．代数论证问题

⑴．关于函数性质的论证

⑵．证明不等式

6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导数()f x '满足0＜()f x '＜1．设a 是方程()f x ＝x 的根．

（Ⅰ）当x ＞a 时，求证：()f x ＜x ；

（Ⅱ）求证：|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|（x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2）；

（Ⅲ）试举一个定义域为R 的函数()f x ，满足0＜()f x '＜1，且()f x '不为常数． 解：（Ⅰ）令g (x )=f (x ) －x ，则g`(x )=f `(x ) －1<0．故g (x )为减函数，又因为g (a )=f(a ）－a =0，所以当x >a 时，g (x )＜g (a )=0，所以f (x ) －x ＜0，即()f x

（Ⅱ）不妨设x 1＜x 2，由（Ⅰ）知g (x )为减函数，所以 g (x 2)＜g (x 1)，即f (x 2)－x 2＜f (x 1)－x 1，所以 f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1；又因为`()f x ＞0，所以()f x 为增函数，所以0＜f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，所以|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|．

（Ⅲ）本小题没有统一的答案，满足题设条件的函数有无穷多个．如f (x )=11sin 2

4

x x +

1．设函数

)

(x f 的定义域为Ｒ，对任意实数βα,有

()()2(

)(

)2

2

f f f f αβ

αβ

αβ+-+=，且1()3

2

f π=，0)2

(=πf ．

⑴．求证:)()()(x f x f x f --==-π

⑵．若02

x π

≤<

时，0)(>x f ，求证: )(x f 在],0[π上单调递减；

2．已知函数()f x 的定义域为R ，其导数()f x '满足0＜()f x '＜1．设a 是方程

()f x ＝x

的根．

⑴．当x ＞a 时，求证：()f x ＜x ；

⑵．求证：|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|（x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2）；

⑶．试举一个定义域为R 的函数()f x ，满足0＜()f x '＜1，且()f x '不为

常数．

解：⑴．令g (x )=f (x ) －x ，则g`(x )=f `(x ) －1<0．故g (x )为减函数，又g (a )=f(a ）－a =0，故当x >a 时，g (x )＜g (a )=0，故f (x ) －x ＜0，即()f x x <． ⑵．不妨设x 1＜x 2，由⑴知g (x )为减函数，故g (x 2)＜g (x 1)，即f (x 2)－x 2＜f (x 1)－x 1，故 f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1；又`()f x ＞0，故()f x 为增函数，故0＜f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，故|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|．

⑶．本小题没有统一的答案，满足题设条件的函数有无穷多个．如

11

()sin 24

f x x x =

+．

3．已知直线10x y --=为曲线()log a f x x b =+在点(1(1))f ,处的一条切线．

⑴．求a ，b 的值； ⑵．若函数()y f x =

的图象1C 与函数()n

g x mx x

=+

（n ＞0）的图象2C 交于

11()P x y ,，22()Q x y ,两点，其中1x ＜2x ，过

PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，

2C 于点M 、N ，设C 1在点M 处的切线的斜率为1k ，C 2在点N 处的切线的斜率为2k ，求证：1k ＜2k ．

解：⑴．直线10x y --=的斜率为1，且过(10),点，又1

()ln f x x a '=，故1

1ln log 10

a a

b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,故e 0a b ==,； ⑵．

PQ

的中点为

1212

(

)()ln 22x x y y f x x ++=,,，故1212

122(ln )x x x k x x x +='==

+，12

12222

1222()()()2

x x x x x x n

n n

k mx m m x x ++===+=-=-

，由210x x >>，故21212()2x x x x +>，则212

n k m x x >-

，则212122112()()()n x x x x k m x x x x -->--

2121()n n

mx mx x x =+-+21y y =-21ln ln x x =-2

1ln x x =，又

2211

211

212

12(1)

2()()1x

x x x x x k x x x ---==++

， 法一：令2(1)()ln 1t r t t t

-=-+，21x t x =＞1，则2

2

2

14(1)()(1)(1)t r t t t t t -'=-=++，因t ＞1时，()

r t '