1979年全国高考数学(理科)试题、答案
1979年全国统一高考数学试卷(理科)
1979年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．2．（6分）（1979•北京）化简．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？4．（6分）叙述并证明勾股定理．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|P D|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．1979年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．考点：等差关系的确定．专题：证明题．分析：根据所给的等式进行整理，分解整理成符合完全平方形式，得到一个式子的完全平方等于0，则这个式子等于0，三个变量符合等差数列．解答：证明：∵（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=（x+z）2﹣2•2y（z+x）+4y2=（z+x﹣2y）2=0∴2y=x+z，∴x，y，z成等差数列．点评：本题考查等差数列和整式的整理，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．2．（6分）（1979•北京）化简．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由下向上依次运算，1﹣csc2x=﹣cot2x，1﹣=1+tan2x，1﹣=1﹣cos2x．解答：解：原式=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，繁分式的化简采用从下向上依次运算的顺序进行．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：溶质=溶液×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．解答：解：甲中含纯酒精（公斤），含水（公斤）乙中含纯酒精（公斤），含水（公斤）甲乙共含纯酒精=公斤甲乙共含水=公斤混合后，纯酒精与水比为：[m1v1（m2+n2）+m2v2（m1+n1）]：[n1v1（m2+n2）+n2v2（m1+n1）]．点评：考查函数模型的选择与应用，考查列代数式；得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键．4．（6分）叙述并证明勾股定理．考点：分析法和综合法．专题：证明题．分析：勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．解答：证明：如图左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式，化简得a2+b2=c2．下面是一个错误证法：解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．再做一个边长为c的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．过点Q作QP∥BC，交AC于点P．过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a2+b2=c2点评：勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC可分别表示出AC，BC，进而代入S=AC+BC 中，根据d的范围确定cotα+cotβ的范围．解答：解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d•cotα在直角三角形PC中，BC=d•cotβ∴S=AC+BC=d（cotα+cotβ）当d≤D，即cotα+cotβ≥时，应向外国船发出警告．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．考点：棱锥的结构特征；余弦定理的应用；三垂线定理．专题：计算题；证明题．分析：证一求出△ABC的三边，利用余弦定理验证即可．证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．解答：解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．由余弦定理：∴∠CAB为锐角．同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：根据题设条件，年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．然后取自然对数求出年增长率x．解答：解：年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．取自然对数有40ln（1+x）=ln5．又lg5=1﹣0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln（1+x）≈x，则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四．点评：注意挖掘题设中的隐含条件，寻找数量间的等量关系，能够准确求解．8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：做出辅助线，根据一个圆周角是直角，得到圆周角所对的弦是直径，根据连接圆心与切点的直线垂直，得到直角，在直角三角形中应用射影定理，得到线段成比例，通过变形得到要征得结论．解答：解：证连接CD，∵∠CFD=90°，∴CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB，又在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA∴又因BD2=BC•BF，AD2=AC•AE∴由（1）与（2）得点评：本题是一个与圆有关的比例线段问题，这是一个平面几何问题，在解题时所应用的方法在立体几何中也会用到，是一个综合题．9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）考点：数列的求和；对数的运算性质．分析：根据题意得该数列的第k项的通项a k，得到这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数，得到a k≥0且a k+1＜0，解得k的取值范围，求出正整数解得到k的值，然后利用等差数列的前k项和的公式得到和的最大值即可．解答：解：该数列的第k项为：所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应适合下列条件：解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2又k∈N，∴k=14取k=14，前14项的和点评：此题考查学生会进行对数的运算，会根据要使数列前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数列出不等式求出数列和的最大值．10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），由题意知|OP|=，|PD|=xsinθ﹣ycosθ，|PF|=xsinθ+ycosθ，由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0，由此可知，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．（2）由题意知x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，所以5y3cos2θ=x2sin2θ，y=，由此入手可以推出所求点P的坐标．解答：解：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），则|OP|=|PD|=|OP|sin（θ﹣α）=|OP|（sinθcosα﹣cosθsinα）=xsinθ﹣ycosθ|PF|=|OP|sin（θ+α）=|OP|（sinθcosα+cosθsinα）=xsinθ+ycosθ由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2sin2θ﹣y2cos2θ=（h﹣x）2（1）即x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0除以cos2θ≠0得即这是以为中心，以为半径的圆，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分，注意：在A作直线AE′⊥OA，则OE′=，E′是圆的中心AE′=是圆的半径，A是圆上一点，而且圆在A的切线是OA．（2）由条件|PD|+|PE|=|PF|得xsinθ﹣ycosθ+h﹣x=xsinθ+ycosθ即x+ycosθ=h （2）此直线通过（h，0）点及（0，）点，由（1），（2）得x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，∴5y3cos2θ=x2sin2θ，y=由|PD|+|PE|=|PF|可知y＞0，所以这里右端取正号，代入（2）得=h，∴=，=，所求点P的坐标为（）．点评：本题二圆锥曲线知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．。
一九七九年全国高等学校招生考试数学副题及解答(理科)
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解 法2 原 式
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1979年高考数学全国卷(理科)及其参考答案-推荐下载
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1979年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(文 理)
1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一．（本题满分9分）求函数y=2x 2-2x+1的极小值解略：x=21时，y 取最小值21. 二．（本题满分9分）化简[（1+sin 2θ)2-cos 4θ][(1+cos 2θ)2-sin 4θ]解：原式=(1+sin 2θ+cos 2θ)(1+sin 2θ-cos 2θ)·(1+cos 2θ+sin 2θ)(1+cos 2θ-sin 2θ) =4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin 2 2θ三．（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精V 1公斤，乙有V 2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？111111112222222211221122221111221122:(),(),(),()()()()()m v n vm n m n m v n vm n m n m v m v m v m n m v m n m n m n m n m n ++++++++=++++解甲中含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲乙共含纯酒精公斤112211222211112211221122221111222211()()()(),[()()]:[()()]n v n v n v m n n v m n m n m n m n m n m v m n m v m n n v m n n v m n ++++=++++++++++甲乙共含水公斤混合后纯酒精与水之比为四．（本题满分9分） 叙述并且证明勾股定理解：略五．（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域设A及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ， 在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg β∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告六．（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有P A B Cx ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四七．（本题满分18分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33ACBC AE BF = 证：连接CD 因∠CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB 又在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∴AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA 又因 BD 2=BC ·BF ，AD 2=AC ·AE由（1）与（2）得 八．（本题满分14分）过原点O 作圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P 1，P 2两点求P 1P 2的中点P 的轨迹A B D(1) .22ACBC AD BD =∴(2) 22AE AC BF BC AD BD ⋅⋅=∴3344AC BC AE BF AC BC AE AC BF BC =∴=⋅⋅解：设割线OP 1P 2的直线方程为 y=kx 代入圆的方程，得： x 2+k 2x 2-2x-4kx+4=0 即(1+k 2)x 2-2(1+2k)x+4=0 设两根为x 1，x 2即直线与圆的两交点的横坐标;由韦达定理得： 又设P 点的坐标是（x,y)P 是P 1P 2的中点，所以2211212kkx x x ++=+=又P 点在直线y=kx 上，2222222.121(),1()12215((1)241(,1),.22.yk x y y x x y x x y y x x y x yx x x y ∴=+=+++=++=+-+-=代入上式得两端乘以得即这是一个以点为中心内的一段弧Y2211)21(2k k x x ++=+1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z 成等差数列证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y 2=(z+x-2y)2=0∴2y=x+z,所以，x,y,z 成等差数列二．（本题满分6分）xxx x tg xctg x222222csc sin 1csc 111111111111:.csc 111111:==-=+-=---=---原式解化简三．（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V 1公斤，乙有V 2公斤水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？11111111222222221122112222111122112211221122221111221122:(),(),(),()()()()()()()()(m v n vm n m n m v n vm n m n m v m v m v m n m v m n m n m n m n m n n v n v n v m n n v m n m n m n m n m n ++++++++=++++++++=++++解甲中含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲乙共含纯酒精公斤甲乙共含水),公斤混合后纯酒精与水之比为1122221111222211[()()]:[()()]m v m n m v m n n v m n n v m n ++++++四．（本题满6分） 叙述并证明勾股定理证：略五．（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域设A 及B是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=βα及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ， 在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg βP A B C∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告六．（本题满分10分）设三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角求证：△ABC 是锐角三角形证一：设VA=a ，VB=b ，VC=c ，AB=p ，BC=q ，CA=r于是p 2=a 2+b 2, q 2=b 2+c 2, r 2=c 2+a 2 由余弦定理：2222222cos 0.CAB CAB ∠==>∴∠为锐角同理，∠ABC ，∠BCA 也是锐角证二：作VD ⊥BC ，D 为垂足因VA 垂直于平面VAC ，所以VA ⊥BC 又BC ⊥VD ，所以BC 垂直于平面VAD ，从而BC ⊥AD 及在△ABC 中，A 在BC 边上的垂足D 介于B 和C 之间因此，∠B 和∠C 都是锐角，同理可证∠A 也是锐角七．（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.CA B取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四八．（本题满分12分） 设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33ACBC AE BF =证：连接CD 因∠CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB 又在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∴AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA (1) .22ACBC AD BD =∴又因 BD 2=BC ·BF ，AD 2=AC ·AE(2) 22AEAC BF BC AD BD ⋅⋅=∴由（1）与（2）得3344AC BC AE BF AC BC AE AC BF BC =∴=⋅⋅ C E B九．（本题满分14分）试问数列)4sin 100lg(,),4sin 100lg(),4sin 100lg(,100lg 12πππ-n 前多少项的和的值最大？并求这最大值（lg2=0.301)解：该数列的第k 项为：2lg )1(212)4sin 100lg(1--==-k a n k π所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2要使前k 项的和最大，必须前k 项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k 应适合下列条件：11412(1)lg 20, (1)212[(1)1]lg 20, (2)2:(1)14.2(2)13.2,1414,149114280.301014.30.22k k k k k N k k a a S ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---<⎪⎩≤>∈∴==+=⨯=-⨯≈解此不等式组由得由得又取前项的和十．（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2求P 点的轨迹2．在上述轨迹中定出点P 的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|YA解：设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x,y）,则0,.(2)(1)1PD PE PF yhx h xyPθθθ+=>+=∴==+==由可知所以这里右端取正号代入得所求点的坐标为xtgyxyyyxhyxyxxhyxPFPEPDOAAAhEAEhEOOAEAAhhhyhxhyxhxhyhxxxhyxPEPFPDyxOPOPPFyxOPOPPDyxOP⋅θ=θ=θ∴θ=θ-θθ=θ+θ+θ=-+θ-θ=+θθ=''θ='⊥'θθθθθ=+θ-=θ++θ-≠θ=+θ+-θ-=θ-θ=⋅θ+θ=αθ+αθ=α+θ=θ-θ=αθ-αθ=α-θ=+=51,sincos5cos4cossin)2(),1()2cosh(0,(h,0)(2).cos2cossincossin.2.,,.cossin.cos.:.cossin,)0,cos()cossin()cos(coscos2coscos2cos(1),)(cossincossin)sincoscos(sin)sin(cossin)sincoscos(sin)sin(.22222222222222222222222222222222222222得由点点及此直线通过即得由条件的切线是而且圆在是圆上一点的半径是圆是圆的中心则作直线在注意等腰三角形内的一部分所求轨迹是此圆在所给为半径的圆以为中心这是以即得除以即得由条件。
七九年高考数学试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2.5B. -1/3C. √4D. √22. 如果一个等差数列的前三项分别是1，3，5，那么这个数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （3，-2）4. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = 2xC. y = x^3D. y = |x|5. 若log2(x-1) = 3，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共20分）6. 如果等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，那么第10项an = _______。
7. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = _______。
8. 已知函数y = 2x - 1在x = 3时的函数值为5，那么该函数的斜率k =_______。
9. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x > 3xB. 3x > 2xC. 2x = 3xD. 2x ≠ 3x10. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，那么第5项bn = _______。
三、解答题（共60分）11. （15分）已知数列{an}是等差数列，且a1 = 1，d = 2，求：（1）数列{an}的前n项和Sn；（2）数列{an}的第10项an。
12. （15分）在直角坐标系中，点P（3，4）到直线y = 2x + 1的距离为d，求d 的值。
13. （15分）已知函数y = kx - 2，其中k为常数，且该函数的图像过点（2，3），求k的值。
14. （15分）解下列不等式组：（1）x - 2 > 3（2）2x + 1 ≤ 515. （15分）已知等比数列{cn}的首项c1 = 1，公比q = -2，求：（1）数列{cn}的前n项和Sn；（2）数列{cn}的第10项cn。
1979年高考数学试题
1979年高考数学试题一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，求f(1)的值。
A. 0B. -1C. 1D. 22. 若a, b, c是等差数列的连续三项，且a + c = 2b，则下列哪个等式成立？A. a = bB. a = 2bC. b = 2cD. c = 2a3. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点坐标为：A. (-2,3)B. (2,-3)C. (-2,-3)D. (2,3)4. 已知圆的半径为r，圆心为O(0,0)，点P(3,4)在圆上，那么r的值为：A. 5B. 2C. 1D. 45. 若log_a b = 3，则a^3 * b的值为：A. a^3B. a^6C. b^3D. b^6二、填空题6. 已知等比数列{an}的前三项分别为a1 = 2, a2 = 6, 则a3 =_______。
7. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为 _______。
8. 一个圆的周长为12π，那么这个圆的面积为 _______。
9. 函数g(x) = x^2 + 2x + 1的最小值为 _______。
10. 若sin θ = 3/5，且θ在第四象限，那么cos θ = - _______。
三、解答题11. 设函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求h(x)的单调区间。
12. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，求圆C的圆心和半径。
13. 已知一个等差数列的前五项和为50，公差为2，求该等差数列的前三项。
14. 求证：在任意三角形ABC中，有sin A : sin B : sin C = a :b : c，其中a、b、c分别为对应角A、B、C的边长。
15. 一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边长。
16. 已知一个等比数列的前四项之和为30，第一项为2，公比为3，求该等比数列的第四项。
1979高考数学试题
1979高考数学试题一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，求f(1)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 点A(2,3)与点B(4,5)之间的距离为：A. 2B. 2√2C. √10D. 53. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为：A. (-1,0)B. (1,0)C. (-3,0)D. (3,0)4. 已知三角形ABC，其中∠A=90°-∠B，∠C=90°-∠A，若AB=3，AC=4，则BC的长度为：A. 5B. 3C. 4D. √75. 圆的周长与直径的比值，称为圆周率，用π表示，π的近似值为：A. 3.14B. 3.14159C. 22/7D. 1/π二、填空题6. 已知等差数列的前三项分别为a_1, a_2, a_3，公差为d，若a_1 + a_3 = 10，a_2 = 5，则a_1 = _______。
7. 一个圆的半径为r，圆心为O，点P在圆上，OP的长度为_______。
8. 在坐标系中，点P(x,y)关于y轴的对称点坐标为_______。
9. 已知函数g(x) = x^2 + 2x + 1，求g(-1)的值，结果为_______。
10. 一个等腰直角三角形的斜边长为5，其面积为_______。
三、解答题11. 已知函数h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求h(x)的极值点。
12. 一个长方体的长、宽、高分别为a, b, c，已知a:b = 3:4，b:c= 5:6，且a + b + c = 180，求长方体的体积。
13. 一个圆的半径为r，求圆内接正方形的面积。
14. 已知数列{an}满足a1 = 2，an = 3an-1 - 2(n ≥ 2)，求a5的值。
15. 一个梯形的上底为a，下底为b，高为h，求梯形的面积。
四、证明题16. 证明：在任意一个三角形中，两边之和大于第三边。
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取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.
又 lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61
利用 ln(1+x)≈x,则有
x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%
答：每年约增长百分之四。
八．（本题满分 12 分）
设 CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过 D 作该圆的切线与 CE 的延
2
Aα
A
V
P
C
βB C
D
B
VA= a ，VB=b，VC=c，AB=p，BC=q，CA=r。 于是 p2= a 2+b2, q2=b2+c2, r2=c2+ a 2。 由余弦定理：
cos CAB a 2 b2 c 2 a 2 (b2 c 2 )
CAB为锐角.
2 a2 b2 c2 a2
同理，∠ABC，∠BCA 也是锐角。
证二：作 VD⊥BC，D 为垂足。因 VA 垂直于平面 VAC，所以
VA⊥BC 又 BC⊥VD，所以 BC 垂直于平面 VAD，从而 BC⊥AD
及在△ABC 中，A 在 BC 边上的垂足 D 介于 B 和 C 之间。因此，
∠B 和∠C 都是锐角，同理可证∠A 也是锐角。
4
2
1 (k 2
1) lg 2
所以这个数列是递减等差数列，且其首项为 2。要使前 k 项的和
最大，必须前 k 项都是正数或 0，而从第 k+1 项起以后都是负数。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1979年高考数学试卷
选择题：1. 若一个等差数列的首项是3，公差是5，第7项是多少？A) 25B) 30C) 32D) 352. 若一个角的补角是60度，那么这个角是多少度？A) 30B) 60C) 90D) 1203. 若一个数加上它的三倍等于40，这个数是多少？A) 8B) 10C) 12D) 154. 若一个线段的中点坐标为(3, 4)，且其中一端点坐标为(1, 2)，另一端点坐标为(x, y)，求(x, y)的值。
A) (5, 6)B) (2, 3)C) (4, 5)D) (6, 7)5. 已知sin(β) = 3/5，且β为第二象限角，求cos(β)的值。
A) -4/5B) -3/5C) -2/5D) -1/5填空题：6. 若对数log₄(x) = 2，求x的值。
7. 一个直角三角形的斜边长为10，一直角边长为6，求另一直角边的长。
8. 已知一个数比它的三分之一小5，求这个数。
9. 若一条钢筋长20米，悬吊在两栋高度相等的大楼之间，两端离地的高度分别是6米和10米，求这两栋大楼之间的距离。
10. 若一个正方形的对角线长为5，求其边长。
应用题：11. 一位父亲比他的儿子多岁，现在父亲30岁，求儿子多大了？12. 一个长方形花坛的长是宽的3倍，且周长为24米，求它的长和宽。
13. 一架飞机从A地到B地飞行了1小时20分钟，半路上遭遇强风，因此返回A地总共用了2小时40分钟，求AB两地的距离和飞机的速度。
14. 一块土地呈长方形，长边长为20米，短边长为15米，四周围有一条宽度为2米的小路，求这片土地的面积。
15. 一个球的直径为6厘米，一个圆柱的底面直径也是6厘米，求这个圆柱的高度，如果它包裹着该球，半球的突出部分的体积是多少？。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试79
高考数学普通高等学校招生全国统一考试79理科数学（必修+选修II ）第I 卷（共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立；那么()()()P A B P A P B ⋅=一．选择题：本大题共12小题；每题5分；共60分；在每小题给出的四个选项中；选择一个符合题目要求的选项.（1）2211(1)(1)i ii i -++=+-（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-（2）函数1(0)xy x x-=≠的反函数图像大致是（A ） （B ） （C ） （D ）（3）已知函数sin()cos()1212y x x ππ=--；则下列判断正确的是（A ）此函数的最小周期为2π；其图像的一个对称中心是(,0)12π （B ）此函数的最小周期为π；其图像的一个对称中心是(,0)12π（C ）此函数的最小周期为2π；其图像的一个对称中心是(,0)6π（D ）此函数的最小周期为π；其图像的一个对称中心是(,0)6π（4）下列函数既是奇函数；又在区间[]1,1-上单调递减的是（A ）()sin f x x = （B ）()1f x x =-+ （C ）1()()2x x f x a a -=+ （D ）2()ln 2x f x x-=+ （5）如果(3nx -的展开式中各项系数之和为128；则展开式中31x 的系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-（6）函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩；若(1)()2,f f a +=则a 的所有可能值为（A ）1 （B ）2-（C ）1,2- （D ）1,2（7）已知向量,a b ；且2,56AB a b BC a b =+=-+；72CD a b =-；则一定共线的三点是（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D（8）设地球的半径为R ；若甲地位于北纬45︒东经120︒；乙地位于南纬75︒东经120︒；则甲、乙两地的球面距离为（A（B ）6R π（C ）56R π （D ）23R π （9）10张奖券中只有3张有奖；5个人购买；至少有1人中奖的概率是（A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集；则A B ≠⊂是()U C A B U ⋃=的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件 （11）01a <<；下列不等式一定成立的是（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> （B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+>(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '；若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、；点P 为椭圆上的动点；则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第II 卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分.答案须填在题中横线上.（13）2222lim __________(1)n n nn C C n -→∞+=+. (14)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ；右准线l 与两条渐近线交于P 、Q两点；如果PQF ∆是直角三角形；则双曲线的离心率___________e =.(15)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是____________(16)已知m n 、是不同的直线；αβ、是不重合的平面；给出下列命题：①若//,m αβα⊂；n β⊂则//m n ；②若,,//,m n m αβ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥；则//αβ④,m n 是两条异面直线；若//,//,//,//m m n n αβαβ；则//αβ上面的命题中；真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题；共74分.解答写出文字说明；证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈；且825m n +=求A1A BCD1B F1C 1D Ecos()28θπ+的值.(18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球；甲先取；乙后取；然后甲再取……取后不放回；直到两人中有一人取到白球时既终止；每个球在每一次被取出的机会是等可能的；用ξ表示取球终止所需要的取球次数.（I ）求袋中原有白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率. （19）（本小题满分12分）已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点；其中,,0m n R m ∈<；（I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时；函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ；求m 的取值范围.(20)(本小题满分12分)如图；已知长方体1111,ABCD A BC D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒；AE 垂直BD 于E ；F 为11A B 的中点.（I ）求异面直线AE 与BF 所成的角；（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离. （21）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ；且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列； （II ）令212()n n f x a x a x a x =+++；求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.(22)(本小题满分14分)已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭；且与直线2p x =-相切；其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点；直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β；当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时；证明直线AB 恒过定点；并求出该定点的坐标.普通高等学校招生全国统一考试（试题参考答案）理科数学（必修+选修II ）一．选择题1． [答案] D[思路] 本题考查复数的概念和基本运算；()()221111iii i -++=+-111112222i i i ii i -+---++=+=--. 2． [答案] B[思路] 本题考查反函数的概念及函数的图象。
1979年全国高考数学试题
选择题：1. 以下哪个选项是二次函数的图像可能呈现的形状？a) 直线b) 抛物线c) 正弦曲线d) 指数曲线e) 对数曲线2. 对于方程2x - 3y = 6，以下哪个点是它的解？a) (2, 1)b) (-3, -1)c) (0, -2)d) (1, 4)e) (5, 2)3. 下列哪个函数是奇函数？a) y = x^2b) y = x^3c) y = sin(x)d) y = cos(x)e) y = e^x4. 以下哪个不是等差数列的通项公式？a) an = a1 + (n - 1)db) an = a1 + (n - 1)rc) an = a1 + (n - 1)bd) an = a1 + (n - 1)c^2e) an = a1 + (n - 1)k5. 在平面直角坐标系中，点(-2, 3) 在以下哪个象限？a) 第一象限b) 第二象限c) 第三象限d) 第四象限填空题：1. 三角函数中，正切函数的定义为________________________。
2. 在平面几何中，直角三角形中直角边与斜边的比值称为________________________。
3. 解方程x^2 - 4x + 3 = 0 的根为________________________。
4. 平行四边形的对角线相交的点叫做________________________。
5. 对于等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，其中a1 是首项，d 是公差，n 是第几项。
请问第5 项的通项公式为________________________。
应用题：1. 一条长方形花坛的长为4m，宽为2m。
如果要在花坛周围围上一圈石子，需要多少米的石子？2. 一列火车以每小时80km 的速度行驶，每隔2 小时有一次停车。
如果火车从早上8 点开始行驶，那么中午12 点时它已经停了几次？3. 高中班级里有男生和女生各若干人，男生人数比女生人数多4 人。
1978年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案
1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题六两题选做一题，不要求做第七题）一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x 2-4xy+4y 2-4z 2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为r ，则底面周长2πr=a则.42,2222πππππa a a a r a r =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅==体积3．求函数)2lg(x y +=的定义域解： ∵lg(2+x)≥0,∴2+x ≥1.故x ≥-1为其定义域4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22 5.化简： 二 .（本题满分14分）已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图.254:.)()1.0()4(41 21214323121b b a ab =⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----原式解解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y 轴上，半长轴=2，半短轴=k2;②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x 轴上，半长轴=k2，半短轴=22)k=0时，方程为y 2=4图形是两条平行于x 轴的直线2±=y如图 3）k<0时，方程为三．（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，Y Y YXX y=-214422=+-y k x求证：1)CD=CM=CN. 2)CD 2=AM ·BN 1)证：连CA ，CB ，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD ∴△AMC ≌△ADC∴CM=CD 同理CN=CD CD=CM=CN2）∵CD ⊥AB ，∠ACD=900∴ CD 2=AD ·DB 由1）知AM=AD ，BN=BD∴CD 2=AM ·BN四．（本题满分12分）18361818181836181818log 9(2),18 5.log 45.:185,log 5.log 59log 5log 9log 45.log 182log 18log 22b b a a b a ba=≠==∴=⋅++===⋅+-已知求解五．（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=32+求角A ，B ，C 的大小又已知顶点C 的对边c 上的高等于a ,b,c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）M C NA B D212:1802.60,1202tgA tgC (1-tgAtgC)tg(A C)3(1)(2)tgA,tgC x (320.:1,2,1,245,A B C B A C B A C tgAtgC x x x A C tgA tgC A C ++=︒=+∴=︒+=︒=++=+==-++===<==+∴=︒解又而由可知是的两根解这方程得设则得12045758;sin 60sin 45cos 45cos 60 4.c a b c AD DB b a =︒-︒=︒∴====︒︒=+=︒+︒=又知上的高等于六．（本题满分20分）22222224223sin 2sin 1,:3sin cos 2.33sin 22sin 20,:sin 2sin 23sin cos ..2sin 2cos 9sin cos 9sin 9sin 1.1sin ()3sin(2)sin cos 2cos sin 2sin (3sin )cos (3sin cos ) αβαβαββαααβαααααααβαβαβααααα+==-===∴+=+∴=∴=+=+=+由得由得为锐角22 3sin (sin cos )3sin 1.2ααααπαβ=+==∴+=七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x 2+(2m+1)x+m 2-1(m 为实数） 1）m 是什么数值时，y 的极值是0？2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论3）平行于L 1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任.22:0,2sin2-3sin2 ,1sin 2sin 3,,:22πβαβαβαβα=+==+求证且为锐角已知一条平行于L 1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等解：用配方法得：2214545.24450,450,421452.(,),242m 11455x -,,22443:..4,,,,m m m y x y m m m m m m y m x y m m +++⎛⎫=+-∴- ⎪⎝⎭+==-++--++==--=-=---=的极小值为所以当极值为时函数图象抛物线的顶点坐标为即二式相减得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程它的图象是一条直线方程中不含因此不论是什么值抛物线的顶点都在这条222.1,0,1,,115193(),(),().424242m x y y x y x y x =-+=-+=++=+直线上当时之间函数关系为图略 3.设L ：x-y=a 为任一条平行于L 1的直线与抛物线y=x 2+(2m+1)x+m 2-1方程联立求解，消去y ，得x 2+2mx+m 2-1+a =0∴（x+m)2=1-因而当1-a ≥0即a ≤1时，直线L 与抛物线相交，而a ＞1时，直线L 与抛物线不相交而这与m 无关因此直线L 被各抛物线截出的线段都相等一九七八年副题)1(222)]1()1[(45,1.1,1.1,1a a m a m L L a m a m L a m x a -=-----+-∴︒-+-----±-=≤于被抛物线截出的线段等直线它的倾斜角为的斜率为因直线为与抛物线两交点横坐标即直线时当1．（1）分解因式：x 2-2xy+y 2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3)(2)求的值65cos 4030sin 2ππ-+︒-︒ctgtg 解：原式=3/4（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅= .)35()9125(30)5001()52(10)5( 2121211的值计算+-+--解：原式=302．已知两数x 1 ,x 2满足下列条件：1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和求根为211,1x x 的方程 略解：x 1 +x 2=39，x 1x 2=-401/x 1+1/x 2=-39/401/x 1·1/x 2=-1/40所求方程为：40x 2+39x-1=0.3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：为所求之定义域且且解的定义域求函数12.01,0525:.1)525lg()3( -≠<∴≠+>-+-=x x x x y x xCDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积证：因为AD 是△ABC 的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD ∽△CAD22AC AB ACD ABC =∆∆∴的面积的面积 作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CDBDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB=BC=CA=CD=a ，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且∠BDM=α求证：ααααtg atg CN tg atg BM -=+=34,34证：作ME ⊥DC 于E ，由△ABC 是等边三角形，在直角△MBE 中，1,,22,122BE BM ME BM ME tg BM ED a BM α==∴==∴=-类似地，过N 作NF ⊥BC 于F ，在直角△NFC 中，可证：ααtg atg CN -=345．设有f(x)=4x 4-4px 3+4qx 2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p ≠0）求证：AB E F D1）如果f(x)的系数满足p 2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方2）如果f(x)与F(x)=(2x 2+a x+b)2表示同一个多项式，那么 p 2-4q-4(m+1)=0222432222222222222222224:1)1,444()4442()4444 (2x )(4)(2)()4444 (2x )2(2x )()444 (2x ).4()p qm p q p q f x x px qx p x p q p q px p q x px p q p q px px p q px f x -+=--∴=-++⋅+--=---+⋅+--=---⋅+-=--∴证等于一个二次三项4322224322222222)4442(1)(1)(2) 44(4)2,44(1)44(2)2(1)2(3)(1)(4)4(1)(2)4,(3x px qx p m m x ax b x ax a b x abx b p a q a b p m abm bq p a p b a b -+++++=++=-++++-=⎧⎪=+⎪∴⎨+=⎪⎪+=⎩-=-=式的平方由可得代入得将的表达式代入2224),2(1)2,4[44(1)]0.0,44(1)0.q p p m p p p q m p p q m -+=-⋅∴--+=≠∴--+=得6．已知：a sinx+bcosx =0.………………………………①Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②其中a ,b 不同时为0求证：2a bA+(b 2-a 2)B+(a 2+b 2)C=02222cos ,sin :ba a y ba b y +=+-=设证则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=k π(k 为整数)， ∴x=y+k π又sin2x=sin2(y+k π)=sin2y=2sinycosy= 222b a ab+-cos2x=cos2y=cos 2y-sin 2y=2222ba b a +-代入②，得22222222222(),2()()0.abA a b B C a b a babA b a B a b C --+=++∴+-++= 7．已知L 为过点P 23,233(--而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线设A 为L 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点1）写出直线L 、圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图2）写出线段PA 、圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式3）设P ＇、B ＇依次为从P 、B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段BB ＇、B ＇P ＇、P ＇P 、PA 所包含的面积解：1）直线L 、圆C 和抛物线Q的方程为222::1:x 2L y x C x y Q y =+==草图如图Y X2)由22121:(),(y A x x y PA f x x x ⎧=⎪=-⎨⎪+=⎩=≤≤解得点横坐标线段的函数表达式为2222321:()2:().(023)7.241.471().244y x B x x y AB f x x OB f x x POP OAB BOB ππ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩=≤≤=≤≤'∆=='∆==+解得点横坐标圆弧的函数表达式为抛物线上一段的函数表达式为的面积扇形的面积的面积故所求面积图中阴影部分YL。
1979年高考数学天下卷(理科)及其参考答案
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公斤，乙有
,乙中纯酒精与水之比为
1
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们社邓新。出寻始会小的邓（找终主平关小1一代义）坚键平种表的我2持在对能.1中本国把科人社9够国质社5发学才会从4先，会展社年，主更进是主作会，人义深生解义为主毛才本层产放制执义在的质次1力生度政理《成所.认社1的产还兴论论长作.识会 发发力刚国和十靠的社主 展展，刚的实大教概会义 才要发建第践关坚育括主本 是求展立一的系2持。，义质 硬、，生，要基》以人一，理 道发大产还务本重发才方从论 理展力力没是成要展资面而把 ，才促，有由果讲社的源强为我 把是进消完中，话会办是调中四们 发（硬先灭全国抓中主法第必国、对 展2道进剥建共住提三义解一）须的科社 生理生削立产“出、经决资采解社学会 产，产，党什（代济前源取放会技主 力是力消还的么1表基进。从和主术义 作）对的除不执是中础科低发义是1的 为吧社3发两完政社9国基的学级展.建第发认 社二国5会展极全地会先本问技到6生设一展识 会、内主，年分巩位主进建题术高产在生才提 主发外义是底化固所义生立，实级力改产是高 义1展一时中我，的决邓产的是力9，革力硬到 建是切间5国最思定怎小力同实和国另3开道了 设党积经共对终想年的样平的时行国家一放理一 的执极验产农达。1，建一发，改民资方中2，个 根政因教党业到（是设月再展我革教本面探是新 本兴素训站、共2对社，强要国开育主指索）适的 任国都的在手一同执会毛调求的放水义出出第创应科 务在的调深时工、富1政主泽，政以平的4了一三造.时学 ，社第动刻坚代.业发裕规义东中一治来，过2解条节性代水 符会一起总持前.和展。律”关社 国个领我始度放发、地主平 合阶要来结社列资才”认这于会 社公域们终形和展社提题。 马级务为。会，本是1识个总主 会有也党是式发更会9出变社 克二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化会 思6、系国义持道3深本线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要本 基.主变事所平化向业1也，整度 制，大要小国家的享本9义。质 本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任理 原6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务论 理第质同务题进与本会一党揭.述立 确共，。出社主社和社主基的 ，二理时的行社体主、实示：， 立同确苏“会义会目会3义本提 是节论，基关改会现义社现了.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛出 巩、的我本键造主和改会其社中当 使裕了二会明就会义。义、造盾， 固对重国方是。义根造之所会华代 占，中十主程是主基建中的和为 和第社要针这改本基一承主人中 世这国大义度在义本设国基两进 发一会意。靠不造要本本担义民国 界是共以财的国基制内成特本类一 展节主义的（自仅同求完质的本共一 人我产后富重家本度涵果色完矛步 社、义主2己保时。成理历质和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾推 会中本要的证并，论史，国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的进 主国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学改 义特理盾展2社。志五提需是立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采革 制色论也。会实着章）出要对，步 一持人出，和理立中够会建国，取开 度社的发的践中把。马到奠 的民要社支经，国社充经设强积放 的会提生稳证国解克社定 东民“会配济是历会分济道调极和 必主出了定明历放思会了 方主以下建4广史主体制路要引社 然义变，.史和主主把制 大专苏义的设大上义现度初严导会 要二建化而党上发义义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、主 求设。且坚长展的改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐义 。确道人极持达生重造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产大基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千力逐发本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年概步展完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的括实，成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶为现对，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级国于这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥家建是的度 会线治道富资列家变的一本变类中了成制迅主社削的设一改的 ，第制路。本重的革道、变化不国强立度速义会制社中个造建 这三主度。社大主，路社化，同这大，的发事主度的会国过结立 是节要。会义关人也，1会社性场的标重展业义的本主特.渡合极 世、内人主有系解和是奠主我会质巨思志大的的工结（质义色时起大 界社容民义初。决社2定义国主的大想着意需发业束30。工社期来地 社（会被民原级了会）世了基社义矛而武我义要展化，（业会。，提 会2主概则和3在生把纪理本会经盾深器国同），同实2化主党把高 主对义括专，高一产资中）论制的济，刻。新经遵改总时现新是义在对了 义手制为政第级个资本国强基度阶成在特的通民济循革之并了民党具这资工 运二七度“实一形以料主又调础的级分新别社过主文自4过，举由主在有个本人 动、届 业在一质是式农的.（义一消，初关已民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶 史新社二 的中化上发之民主1工次灭开步系占主要是变4收义不互集平方民（）义渡大渡义级 上民会中 社国三已展）分为人商划剥阔确也绝主正中革官能利中改针主3用社时的时工和 又主全 会的改成生坚。主）业时削了立发对义确国，僚命满、的造，主和会期理期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义平的论.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向赎五总和总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3买种路实路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会的经线践线成人 性理历中 ，化级是导的义后1农为巨极。√的会内体对革成本要的和如刻主）方济的意和为民 的论史国 党”专共、工的村自变分邓中主指部实生命的结建国初实的义积法成主义总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半的食。化小国义导矛际产在走社束状设家步现社的极改分体。任食积 大以验稳 政社；致步资业殖阶其们平社革。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民级力吐对1会命有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地和的出社第必制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半阶社了会二须已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农 了工表这方是、主封层会最主节级走成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建状主终义、构农为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.况义达本社成村我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转 领，制成采对业造东，劳到质会主包国领装已坏体武济阶成，互向发会基来业中质变人相劳点表变 导“度为取私的方制动共所主要围社导斗有，的装段为（助地展稳本，。国的中民当动的为 ，三、社循营社大定者同作义有城会中争的而半夺掌我1合方，定制走共国出长者社中工 稳改会序）会国正。富的改工市国。现且殖取握开国作分和，度互产营贫发的。会国业 步”主渐商必主里逐确裕理造人、经武成促民政了始社的权平促在助3党经穷，时主共国 前即义进业须义步的这论二道阶武济民.装结进半权主。会优和新过进我合领济落“期义产， 进对本的实把改行形阶一概、路级装基取斗论了封的要从越扩民渡生国作导、后统内改党由 的个质步行思造革成级社括党和、�
1979年高考数学全国卷(理科)及其参考答案
新疆 王新敞
奎屯
证：略 新疆 王新敞 奎屯
五．（本题满 10 分）
n1v1 (
m1 n1
n2v2 (
m2 n2
外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线 D 里以内的区域 设 A 及 新疆 王新敞 奎屯
B 是我们的观测站，A 及 B 间的距离为 S 里，海岸线是过 A，B 的直
线，一外国船在 P 点，在 A 站测得∠BAP=α 同时在 B 站测得
∠BAP=β 问 α 及 β 满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向 新疆 王新敞 奎屯
此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？
解：作 PC⊥AB 于 C，设 PC=d，
P
在直角三角形 PAC 中，
AC=d·ctgα 在直角三角形 PC 中，
sin 2 x
V2
公斤 甲中纯酒精 新疆 王新敞 奎屯
m2
新疆 王新敞
:n 问将二者 2奎屯
解甲: 中含纯酒精公斤m1含v1 水( 公斤), m1 n1
乙中含纯酒精公m斤2v含2 水( 公斤), m2 n2
甲乙共含纯酒精
m1v1 m2v2 m1v1(m2 n2 ) m2v2 (m1 n1) 公斤
m1 n1 m2 n2
甲乙共含水
(m1 n1)(m2 n2 )
n1v1 n2v2 n1v1(m2 n2 ) n2v2 (m1 n1) 公斤
m1 n1 m2 n2
混合后,纯酒精与水之比为
(m1 n1)(m2 n2 )
[m1v1(m2 n2 ) m2v2 (m1 n1)] :[n1v1(m2 n2 ) n2v2 (m1 n1)]
1979年全国高考数学试题及其解析
1979年全国高考数学试题及其解析理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.2.化简:3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?4.叙述并且证明勾股定理.5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证:△ABC是锐角三角形.7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.9.试问数列前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│.文史类一．（本题满分9分）求函数y=2x2-2x+1的极小值二．（本题满分9分）化简[（1+sin2θ)2-cos4θ][(1+cos2θ)2-sin4θ]三．（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有V1公斤，乙有V2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为m2:n2问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四．（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理五．（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域设A及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 六．（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 七．（本题满分18分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF的延长线相交于点B 求证：33ACBC AE BF八．（本题满分14分）过原点O 作圆x 2+y 2-2x-4y+4=0的任意割线交圆于P 1，P 2两点求P 1P 2的中点P 的轨迹1979年试题(理工农医类)答案1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0,∴z+x-2y=0即z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.∴a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.3.解:甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.4.解:略.(参考一般教科书)5.解:自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=d·ctgα.在直角三角形PBC中,BC=d·ctgβ.∴S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).当d≤D,即时,应向外国船发出警告.6.证法一:设V A=a,VB=b,VC=c,AB=p,BC=q,CA=r.于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.由余弦定理,所以∠CAB为锐角.同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因V A垂直于平面VBC,所以V A⊥BC又BC⊥VD,所以BC垂直于平面V AD,从而BC⊥AD即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,∠B和∠C都是锐角.同理可证∠A也是锐角.7.解:年增长率x应满足100(1+x)40=500,即(1+x)40=5,取自然对数有40ln(1+x)=ln5.答：每年约增长百分之四.8.证法一:连结CD.因∠CFD=90°,所以CD为圆O的直径.由于AB切圆O于D,∴CD⊥AB.又在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∴AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.证法二:由△BDF∽△ABC,得9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:解此不等式组:由(1)得k≤14.2由(2)得k>13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.9565>0,由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x>0.直线OA的方程为y=xtgθ,直线OB的方程为y=-xtgθ,直线AB的方程为x=h.又因为P点在∠AOB内,于是由条件│PD│·│PF│=│PE│2得x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2,(1)即x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.除以cos2θ(0≠)得(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,即x+2ycosθ=h. (Ⅱ)由(1),(Ⅱ)得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ∴5y2cos2θ=x2sin2θ,由│PD│+│PE││PF│可知y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则│PD │=│OP │sin(θ-α)=│OP │(sin θcos αθ-cos θsin α)=xsin θ-ycos θ,│PF │=│OP │sin(θ+α)=│OP │sin θcos αθ+cos θsin α=xsin θ+ycos θ.以下与上面的解法一相同。
一九七九年高考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x + 3在区间[1, 4]上是增函数，则函数f(x)的图像是：A. 上升的直线B. 下降的直线C. 平行于x轴的直线D. 抛物线2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an =：A. 19B. 20C. 21D. 223. 若等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = 2，则第5项bn =：A. 16B. 32C. 64D. 1284. 已知圆的方程x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆的半径是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若复数z = 3 + 4i，则|z| =：A. 5B. 7C. 9D. 116. 函数y = (x - 1)^2在x = 1处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 37. 若不等式x^2 - 4x + 3 < 0，则x的取值范围是：A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 3) ∪ (1, +∞)D. (1, +∞) ∪ (-∞, 3)8. 若log2(x + 3) = 3，则x =：A. 5B. 7C. 9D. 119. 若sinθ = 1/2，且θ在第二象限，则cosθ =：A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/210. 若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形二、填空题（每小题5分，共30分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = _______。
12. 若等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = -2，则第4项bn = _______。
13. 若复数z = 4 - 3i，则z的共轭复数是 _______。
14. 函数y = 2x^3 - 3x^2 + x在x = 0处的导数是 _______。
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1979年试题
理工农医类
1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.
2.化简:
3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?
4.叙述并且证明勾股定理.
5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得
∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?
6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.
求证:△ABC是锐角三角形.
7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).
8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.
9.试问数列
前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)
10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.
(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求P点的轨迹.
(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│.
参考答案1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)
=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2
=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2
=(z+x-2y)2
=0,
∴z+x-2y=0
即z-y=y-x,
所以,x,y,z成等差数列,
证法二：令x-y=a,y-z=b,则
x-z=x-y+y-z=a+b.
(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.
∴a=b.
即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.
3.解:
甲乙共含纯酒精
甲乙共含水
混合后,纯酒精与水之比为
〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.
4.解:略.(参考一般教科书)
5.解:
自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.
在直角三角形PAC中,AC=d·ctgα.
在直角三角形PBC中,BC=d·ctgβ.
∴S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).
当d≤D,即
时,应向外国船发出警告.
6.证法一:设V A=a,VB=b,VC=c,
AB=p,BC=q,CA=r.
于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.
由余弦定理,
所以∠CAB为锐角.
同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.
证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因V A垂直于平面VBC,所以
V A⊥BC
又BC⊥VD,所以BC垂直于平面V AD,从而
BC⊥AD
即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,∠B和∠C都是锐角.
同理可证∠A也是锐角.
7.解:年增长率x应满足
100(1+x)40=500,即(1+x)40=5,
取自然对数有40ln(1+x)=ln5.
答：每年约增长百分之四.
8.证法一:连结CD.因∠CFD=90°,
所以CD为圆O的直径.
由于AB切圆O于D,
∴CD⊥AB.
又在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,
∴AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.
证法二:由△BDF∽△ABC,得
9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为
所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:
解此不等式组:
由(1)得k≤14.2
由(2)得k>13.2
因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.
取k=14. 前14项的和
解法二:这数列的第k项(任意项)为
时,S有最大值.
因k表示项数,是自然数,在此,
=2-1.9565>0,
由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为
10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x>0.
直线OA的方程为
y=xtgθ,
直线OB的方程为
y=-xtgθ,
直线AB的方程为x=h.
又因为P点在∠AOB内,于是
由条件│PD│·│PF│=│PE│2得
x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2,(1)
即x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0.
除以cos2θ(0≠)得
(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得
xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,
即x+2ycosθ=h. (Ⅱ)
由(1),(Ⅱ)得
x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ
∴5y2cos2θ=x2sin2θ,
由│PD│+│PE││PF│可知y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得
解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则
│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα) =xsinθ-ycosθ,
│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα=xsinθ+ycosθ.
以下与上面的解法一相同。