极点配置控制器的设计法则(97)980707
控制系统的极点配置设计法
控制系统的极点配置设计法一、极点配置原理1.性能指标要求n s t ζω4=；当Δ=0.02时，。
ns t ζω3= 当Δ=0.05时,2.极点选择区域主导极点：2111cos tan ξβξξ---==3.其它极点配置原则系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。
极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即（此处，对应于极点s 1、s 2）；同时，极点n s s ξω5Re 5Re 13=≥ξn ωs 1、s 2的附近不存在系统的零点。
由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为1351451s n s t t =⨯≤ξω式中是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。
1s tn x o (t)（a ）（b系统极点的位置与阶跃响应的关系图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。
由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。
因为它衰减得最慢。
其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。
因此，对系统过渡过程进行近似分析时。
可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。
二、极点配置实例磁悬浮轴承控制系统设计1.1磁悬浮轴承系统工作原理图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。
主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。
设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。
（a）（b）图1 磁悬浮轴承系统的工作原理Fig.1 The magnetic suspension bearing system principledrawing假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
y(t) 2 1x(t)
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
举例----求解过程
解： 0
B 1
0 1 0 1 AB 6 51 5
rankS
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
极点配置法设计状态反馈控制器
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
自动化工程学院自动控制原理课程组制 2015年11月
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
主要内容
状态反馈控制系统 状态反馈控制器设计条件 用极点配置法设计状态反馈控制器 举例
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
1x(t)
F 7 1
基于极点配置的控制器设计与仿真
计算机控制理论与设计作业题目：基于极点配置方法的直流调速系统的控制器设计摘要本文目的是用极点配置方法对连续的被控对象设计控制器。
基本思路是对连续系统进行数学建模，将连续模型进行离散化，针对离散的被控对象，用极点配置的方法分别在用状态方程和传递函数两种描述方法下设计前馈和反馈控制器，并用MATLAB仿真。
文中具体以直流调速系统作为研究对象，对直流调速系统的组成和结构进行了分析，把各个部分进行数学建模，求出其传递函数，组成系统结构框图，利用自控原理的知识对结构图化简，求出被控对象的传递函数和状态方程，进一步得将其离散化。
第一种是通过极点配置设计方法的原理，用状态方程设计被控对象的控制律，因为直流调速系统存在噪声，实际状态不可测，故选择了全阶的观测器，又因为采样时间小于计算延时，所以选择了预报观测器。
利用所学知识对此闭环系统设计前馈和反馈控制器[1]。
第二种利用传统的离散传递函数，从代数多项式的角度进行复合控制器的设计，在保证系统稳定的情况下，分析系统的可实现性，稳定性，静态指标，动态指标，抗干扰等方面性能研究前馈反馈相结合控制器设计。
重点是保证被控对象的不稳定的零极点不能被抵消。
最后利用MATLAB的Simulink进行仿真，观察系统的输出的y和u和收敛性，并加入扰动看其抗干扰性能，得出结论。
经研究分析，对于直流调速系统，基于极点配置设计的前馈反馈相结合的控制器，具有良好的稳定性能和抗干扰性能。
运行结果符合实际情况。
关键词：极点配置；状态方程；直流调速系统；代数多项式；Matlab；1绪论1.1论文的背景及意义在工业生产和日常生活中，自动控制系统分为确定性系统和不确定性系统两类，确定性系统是指系统的结构和参数是确定的，确定的输入下，输出也确定的一类系统。
确定性系统相对于不确定性系统而言的。
在确定的系统中所用的变量都可用确切的函数关系来描述，系统的运动特性可以完全确定。
以确定性系统为研究对象的控制理论称为确定性控制理论。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理
这两个多项式的系数相等，可得出：
0 0
1
1
n n1
i中含F阵系数fij
当F阵为1 n时
n个方程可解n个系数 fi
(i 1,2,...,n)
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
设系统期望的闭环极点为s1、s2、sn ,则其
闭环特征式为s s1 s s2 s s3 s sn
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
ห้องสมุดไป่ตู้
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
s
1
0
0
0
0
s
1
0
0
0
0
0
s
1
a0 f1 a1 f2 a2 f3 an2 fn1 an1 fn s
sn (an1 fn )sn1 a1 f2 s a0 f1
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
解：
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
设： F f1 f2
F 7 1
w
u+
x2 ∫
--
++ -5
x2 x1
∫ x1
-
F 7 1
1
+
2
+
y
-6 1
7
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
(完整版)控制系统的极点配置设计法
控制系统的极点配置设计法一、极点配置原理1.性能指标要求2.极点选择区域主导极点：2111cos tanξβξξ---==图3.22 系统在S平面上满足时域性能指标的范围nstζω4=；当Δ=0.02时，。
nstζω3=当Δ=0.05时,3.其它极点配置原则系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。
极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即n s s ξω5Re 5Re 13=≥（此处ξ，n ω对应于极点s 1、s 2）；同时，极点s 1、s 2的附近不存在系统的零点。
由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为1351451s n s t t =⨯≤ξω 式中1s t 是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。
图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。
由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。
因为它衰减得最慢。
其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5 所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。
因此，对系统过渡过程进行近似分析时。
可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。
n x o (t)（a ）（b ）系统极点的位置与阶跃响应的关系二、极点配置实例磁悬浮轴承控制系统设计1.1磁悬浮轴承系统工作原理图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。
主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。
设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。
（a）（b）图1 磁悬浮轴承系统的工作原理Fig.1 The magnetic suspension bearing system principledrawing假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。
现代控制理论 极点配置
−
=
=
,
−
= −
1 1
18 −14
（6）状态反馈增益
ഥ − = − 25 9
=
−
1
18
1
−14
−3
= −5.6
24
7.8
−3
24
5.2
极点配置问题
算法2 给定线性定常系统 ሶ =A+B 和一组期望的闭环极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ 确定状
⋱
…
⋯
ഥ
ഥ = =
取
ഥ
ഥ− = ∗ −
⋯
ഥ = − A
0
⋮
1
−−1
0
ഥ = − = ⋮
0
1
∗ −
ഥ = =
⋯ ∗− − −
⋯
−
5.2
极点配置问题
于是
0
ഥ −
ഥ
ഥ= ⋮
3.计算由期望极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ 所确定的特征多项式
∗ = ෑ − ∗ = + ∗− − + ⋯ + ∗ + ∗
=
ഥ = ∗ − ∗ − ⋯ ∗− − −
4. 计算变换为能控标准型后系统的状态反馈矩阵：
0
−0
1
⋮
0
−1
⋯
⋱
…
⋯
0
⋮
1
−−1
0
− ⋮ ∗ −
0
1
∗ −
⋯ ∗− − −
0
⋮
= 0
极点配置的原理
极点配置的原理今天来聊聊极点配置的原理。
我不是一开始就接触到极点配置这个概念的，之前做项目的时候遇到了控制系统的性能优化问题，就开始研究起它来了。
极点配置就像是给控制系统这个大机器调音一样。
咱们先从生活现象说起，想象一下开车。
汽车有个速度控制系统，我们想要汽车的速度按照我们期望的方式变化，比如说快速稳定地达到一个设定速度，并且在遇到一些小干扰（像路面有点小坡度）的时候还能保持稳定。
这个时候极点配置就像调整汽车的“脾气秉性”的工具一样。
在控制系统里，系统的特性跟极点的位置密切相关。
从原理上讲呢，极点就是系统传递函数分母等于零的根。
我记得第一次接触这个理论公式的时候，觉得满脑袋都是浆糊。
比如说一个简单的二阶系统，它的极点会影响系统的响应速度和稳定性，就像一个跷跷板，两个极点要处于一个合适的位置，系统才会又快又稳。
这可是我琢磨了好久才有点理解的地方。
说到这里，你可能会问，这个极点怎么才能配置到我们想要的位置呢？这就要用到反馈控制理论了。
就像我们在训练宠物一样，通过反馈（知道宠物做的好不好，然后奖惩）来让系统的特性符合我们的要求。
比如说，通过调整反馈增益，就可以改变极点的位置。
老实说，我一开始也不明白极点配置到底为啥这么重要。
后来遇到好多实际例子才恍然大悟。
实际在航空航天领域，飞行器的姿态控制系统要很精确才行，极点配置就大有用武之地。
合理的极点配置能让飞行器快速准确地调整姿态且保持稳定，就像杂技演员总能在高空钢丝上保持平衡一样。
再讲讲相关的注意事项吧。
极点配置虽然很强大，但并不是随心所欲的，要考虑系统的物理可实现性以及对于外部干扰和不确定性的鲁棒性。
比如说，不能要求汽车做到像火箭那样的加速能力，因为汽车有它的物理限制。
这就像我们人一样，虽然有潜力可以挖掘，但是也有自身的极限。
我觉得极点配置这个原理还有很多可以延伸思考的地方。
比如如何在更加复杂多变的环境下进行适当地极点配置，这就像在不断变化的天气下管理一个大农场，要根据不同情况调整策略。
第4章 极点配置设计课件
Wc和 Wc 分别是系统(4.2)式和(4.5)式的能达性矩阵。
注 意：
注1：方程(4.14)称为阿克曼(Ackerman)公式。
注2：把上述极点配置问题形式化为下面的抽象问题：
给定矩阵和，寻找一个矩阵L以便使得矩阵 -L有
规定的特征值。
注3：根据式(4.11)和(4.12)，可得：
T 1 ( Γ Φ Γ a 1 ΓΦ n 1 Γ a 1 Φ n 2 Γ a n - 1 Γ )( 4 . 1 5 )
u (k 1)
C Γ u (k 1)
y (k n 1)
Yk
y(k
n
2
)
y (k )
把方程(4.24)写成：
Y k W o x ( k n 1 ) W u U k 1
其中矩阵Wo和Wu由下式给出：
C
0
0
0
CΦ
CΓ
0
0
Wo CΦ2 Wu CΦΓ
CΓ
0
CΦn1
CΦn2 Γ CΦn3Γ
CΓ
如 果 系 统 是 能 观 测 的 ， 矩 阵 Wo 就 是 可 逆 的 ， 就 能 解 出 x(k-n+1)，反复利用方程(4.23)，得到：
典型的例子是阶跃，斜坡和正弦信号。
过程的不确定性
用状态空间描述可以处理矩阵A和B中各元素的不确定性， 但是状态空间描述不便于处理其他形式的未建模动力学特 性。因此，当建立更合适的工具之后，我们再来讨论过程 的不确定性。
性能准则
➢ 调节问题 受扰之后，其性能准则是力图使状态归零。 在极点配置表达中，这种状态衰减速率是通过规定闭
P ( z ) z n p 1 z n 1 p n( 4 . 8 )
极点配置状态反馈控制器的设计
极点配置状态反馈控制器的设计王俊伟于新海(河套学院机电工程系)摘要围绕双级倒立摆案例，对极点配置状态反馈控制器的设计方法展开讨论，对最终的计算结果进行仿真,并通过仿真结果分析了系统的稳定性、动态性能和稳态误差情况。
倒立摆的开环系统状态空间模型状态不稳定且动态性能较差，通过引进极点配置状态反馈控制器，倒立摆的闭环系统状态达到稳定，而且动态性能得到改善。
关键词状态反馈控制器双级倒立摆极点配置能控标准型爱克曼公式动态特性稳态误差中图分类号TH865文献标识码B文章编号1000-3932(2021)01-0015-05极点配置状态反馈控制器设计得好坏直接决定了控制系统动态性能的优劣！配置极点的目的不仅是使系统稳定还要使系统的动态性能满足控制要求[1]!在配置状态反馈控制器时，根据被控制对象的要求，可以采用3种方法实现:极点配置状态反馈控制器的直接法、极点配置状态反馈控制器的变换法和爱克曼公式[2]'这3种方法仅适用于单输入系统，优点是只要系统能控，就可以实现极点配置的状态反馈，缺点是不能用于多输入系统的极点配置状态反馈控制器。
对于单输入系统，如果系统能控可以实现极点的任意配置,改善动态性能，但有可能使闭环控制系统的稳态误差变大[3]!1极点配置状态反馈控制器的直接法线性时不变系统如下:x=Ax+Bu(])'=Cx其中,X是系统的*维状态向量;*是状态向量对时间的导数;u是状态反馈控制律；#、B和C是适当维数的已知常数矩阵;'是系统的输出。
采用的状态反馈控制律是:u=-kx+v(2)其中，-是一维外部输入;k是反馈增益矩阵。
将式(2)代入式(1)得到闭环系统状态方程：*二(.-Bk)x+B-(3)极点配置状态反馈控制器的直接法分5步实现⑷。
第1步,检验系统(1)的能控性,如果系统能控,进行第2步。
第2步，计算闭环系统特征多项式：)et[!0—(#—Bk)]二！*+(3*_]+k*_14!*i1--------(3]+k])!+30+,0(4)其中，！是闭环极点。
控制系统的极点配置设计法
3其它极点配置原则
系统传递函数极点在s平面上的分布如图（a）所示。极点S3距
虚轴距离不小于共轭复数极点Si、S2距虚轴距离的5倍，即
Res^| 5Resi5n（此处，n对应于极点Si、S2）；同时，极点Si、
S2的附近不存在系统的零点。由以上条件可算出与极点S3所对应的过
渡过程分量的调整时间为
°N2A I
式中，o为真空磁导率，N为线圈匝数，A为铁心与气隙的横截面面 积，I为电流，x为气隙大小.
设转子处于平衡位置时的气隙为go，当转子离开平衡位置向电磁 铁方向产生偏移量x，则通过减小流进绕组的电流i来调节使转子回 复到平衡位置，把电流表示成I 10i。在转子位移变化很小（xvvg。） 时，将其线性化得
FxKxx Kii（2）
3222
式中，Kx0A'1。为位移刚度系数；KiOAN2I0为电流刚度系数。
2g°2g°
其拉普拉斯变换为：
Fx(s) KxX(s) Kil(s)
2.电磁绕组端电压方程
由于常导电磁轴承的转子位移变化时，其自感系数也要变化，即
常导电磁轴承的线圈的电感系数是转子位移x的函数，因此其端电压
、极点配置原理
控制系统的极点配置设计法
1•性能指标要求
Mp=占七x100%
当2 0.05时,ts
;当A=0.02时，tsFra bibliotek2.极点选择区域
K
_!VX
L
—gs0
J
1
1
1
1
1
J”
MM,
^2
0<f< L
* Jwd
主导极点:
s=coa
= lasjd
图3.22系统在S平面上满足
极点配置控制器的设计法则(97)980707
報告人：郭洲成 日 期：1998/7/7
報告內容：
第一部份
極點配置控制器的介紹
V
強健性的設計：
觀念：系統對任何的步階干擾輸入的響應都能
消為零，則系統有抗步階干擾的能力。 lim y p t 0 設計 A 0 0
t
Ps Y p s
H s
Y p s H s Ps
N s As a D p s X s s
T
-1
k k
simplify
k 1 k K k 1 y k 1 - x T k 1 k
How to choose the initial values
Take the first k data points and solve k and p k directly Set 0 arbitrarily and p0 I where
How to choose
X s
依據系統抗干擾能力及 系統的強健性來做判斷
自由參數的選擇：
• 我們必頇知道： X s 的選擇（1）並不影響系統的輸出
（2）也不影響系統驅動信號的大小
P
+
Vref
Ls
+
A -1s
+
Cout
Gs
V
9第九章_基于状态空间模型的极点配置设计方法
= y ( k ) Cx ( k ) + Du ( k )
u ( k ) ：输入向量， m ×1
y ( k ) ：输出向量， p ×1
x ( k ) ：状态向量，
F ：系统矩阵， n × n G ：输入矩阵， n × m C ：输出矩阵， p × n D ：传输矩阵， p × m
D
u (k )
G
+ +
（a）
若将上式左边的行列式展开，并比较两边 z 的同次幂的系数，则一共可得到 n 个 代数方程。对于多输入的情况（ m > 1 ），反馈系数阵 K 共有 m × n 个未知元素， 而总共只有 n 个方程，因此仅仅根据上式并不能完全确定 K ，这时需同时附加其 它的限制条件（如状态解耦、干扰解耦）才能完全确定 K 。对于单输入的情况 （ m = 1） ， K 中未知元素的个数与方程的个数相等， 因此一般情况下可获得 K 的 唯一解。下面讨论单输入的情况（ m = 1 ）。 可以证明， 对于任意的极点配置， K 具有唯一解的充分必要条件是控制对象 完全能控，即： n −1 rank G FG F G =n 这个结论的物理意义也是很明显的：只有当系统的所有状态都是能控的，才 能通过适当的状态反馈使得系统的极点放置到任意指定的位置上。 按极点配置设计控制规律的关键在于如何根据对系统性能的要求来合适地给 定闭环系统的极点，以及如何根据式（a）方便地计算出 K 。 可以在 S 平面确定极点，然后再映射到 Z 平面，也可以直接在 Z 平面确定极 点。需要注意的是，极点的确定主要靠设计者的经验以及反复地试凑，设计方法 只能保证将极点设置在所要求的位置。 上述直接求解 K 的方法原理上比较简单，但只适用于低阶系统，对于高阶系 统的计算是十分困难的。因此，需要推导出适于计算机求解的算法。 对离散状态方程进行非奇异变换，可以得到求解的 K 算式： n −1 K = [ 0 0 1] G FG F G βc ( F )
极点配置
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2
an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x
极点配置状态反馈控制器设计方法
极点配置状态反馈控制器设计方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊极点配置状态反馈控制器设计方法。
这玩意儿啊，就像是给一个系统装上了精准的导航仪，能让它乖乖地按照咱的想法走。
你看啊，一个系统就好比是一辆汽车，而极点配置状态反馈控制器就是那个掌握方向盘的司机。
咱得通过巧妙的设计，让这个司机能精准地操控汽车，该加速的时候加速，该转弯的时候转弯，不能有一点儿含糊。
设计这个控制器就像是搭积木，一块一块地拼凑起来。
咱得先了解系统的特性，就像了解汽车的性能一样。
然后呢，根据这些特性来选择合适的参数，这可不能马虎，得仔细琢磨。
比如说，要是参数没选好，那可就糟糕啦！就像司机开车老是开歪一样，系统也会变得不稳定，那可不行！咱得让系统稳稳当当的，该干啥干啥。
这其中的学问可大着呢！就好像做菜一样，各种调料得搭配得恰到好处，才能做出美味的菜肴。
极点配置状态反馈控制器的设计也是如此，每个环节都得精心处理。
而且哦，这个设计方法可不是一成不变的。
不同的系统就像不同口味的人，得用不同的方法去对待。
有时候得灵活一点，不能太死板啦。
想想看，如果所有系统都用一种方法去设计控制器，那多无趣啊！就像所有人都穿一样的衣服，那还有啥意思呢？咱得根据实际情况来调整，找到最适合的方案。
在实际应用中，这可真是帮了大忙啦！它能让那些复杂的系统乖乖听话，按照我们的要求运行。
这多厉害呀！难道不是吗？
所以啊，极点配置状态反馈控制器设计方法可真是个宝贝！咱可得好好研究，好好利用。
让它为我们的各种系统服务，让它们变得更智能、更高效。
怎么样，是不是觉得很有意思呢？别犹豫啦，赶紧去试试吧！。
状态空间极点配置设计
从而
s z 1 T
s z 1 zT
s 2 z 1 T z 1
（前向差分法/欧拉法）（4.4） （后向差分法） （ 4.5 ） （双线性变换法） （ 4.6 ）
G(z)G(s)
（4.4）式由s平面到z平面的映射
（4.5）式由s平面到z平面的映射
（4.6）式由s平面到z平面的映射
状态空间极点配置 设计
状态反馈极点配置问题，可以分成为两个部分： 首先假定系统的全部状态都可能用于反馈，设计一个 全状态反馈的控制系统；然后，再设计一个状态观测 器，用来估计状态反馈要用的状态变量。设计中依据 的参数为期望的闭环极点的位置和采样周期T。
4.2 状态反馈极点配置
假设系统的全部状态变量都可以量测，并且都能用 于反馈。如果系统是完全状态可控的，那么，用状态 反馈的方法，适当地选择状态反馈增益矩阵，可以将 闭环系统的极点配置在z平面的任何期望的位置。
积分控制的作用是，只要系统有误差存在，积分控制器就不断 地积累，输出控制量，以消除误差。因而，只要有足够的时间， 积分控制将能完全消除误差，使系统误差为零，从而消除稳态 误差。积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。
微分控制可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高， 同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统 的动态性能。
u(t)Kpe(t)
比例+积分（PI）控制器
u(t)Kp[e(t)T1I
te()d]
0
和比例+积分+微分（PID）控制器
式中
u(t)K p[e(t)T 1 I 0 te()dT Dd(d e(t)t]) （5.23）
KP—比例放大系数； TI—积分时间； TD—微分时间。
控制系统的极点配置设计法
控制系统的极点配置设计法一、极点配置原理1.性能指标要求2.极点选择区域主导极点：nstζω4=；当Δ=0.02时，。
nstζω3=当Δ=0.05时,3.其它极点配置原则系统传递函数极点在s 平面上的分布如图（a ）所示。
极点s 3距虚轴距离不小于共轭复数极点s 1、s 2距虚轴距离的5倍，即n s s ξω5Re 5Re 13=≥（此处ξ，n ω对应于极点s 1、s 2）；同时，极点s 1、s 2的附近不存在系统的零点。
由以上条件可算出与极点s 3所对应的过渡过程分量的调整时间为1351451s n s t t =⨯≤ξω式中1s t 是极点s 1、s 2所对应过渡过程的调整时间。
图（b ）表示图（a ）所示的单位阶跃响应函数的分量。
由图可知，由共轭复数极点s 1、s 2确定的分量在该系统的单位阶跃响应函数中起主导作用，即主导极点。
因为它衰减得最慢。
其它远离虚轴的极点s 3、s 4、s 5 所对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。
因此，对系统过渡过程进行近似分析时。
可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。
n x o (t)（a ）（b ）系统极点的位置与阶跃响应的关系二、极点配置实例磁悬浮轴承控制系统设计1.1磁悬浮轴承系统工作原理图1是一个主动控制的磁悬浮轴承系统原理图。
主要由被悬浮转子、传感器、控制器和执行器(包括电磁铁和功率放大器)四大部分组成。
设电磁铁绕组上的电流为I0，它对转子产生的吸力F和转子的重力mg相平衡，转子处于悬浮的平衡位置，这个位置称为参考位置。
（a）（b）图1 磁悬浮轴承系统的工作原理Fig.1 The magnetic suspension bearing system principledrawing假设在参考位置上，转子受到一个向下的扰动，转子就会偏离其参考位置向下运动，此时传感器检测出转子偏离其参考位置的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，功率放大器又将该控制信号变换成控制电流I0+i，控制电流由I0增加到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动转子返回到原来的平衡位置。
零极点配置控制器及其在随机参数液压系统中的应用
零极点配置控制器及其在随机参数液压系统中的应用引言随机参数液压系统是一类具有参数不确定性的液压系统，主要由于液压元件的制造误差、工作环境的变化以及材料的老化等原因引起。
这种参数的不确定性会导致系统的不稳定性，降低系统的控制性能和可靠性。
为了克服这一问题，零极点配置控制器被引入到随机参数液压系统中，以实现对系统稳定性和控制性能的改善。
零极点配置控制器的原理零极点配置控制器是一种基于状态反馈的控制策略，其主要思想是通过调整系统的极点和零点位置，使系统的闭环传递函数符合预先设计的要求。
具体来说，零极点配置控制器通过在系统中添加一个具有可调参数的控制器来改变系统的极点和零点位置，并通过对这些参数的优化来实现系统的稳定性和控制性能的改善。
零极点配置控制器在随机参数液压系统中的应用参数不确定性的表征在随机参数液压系统中，参数不确定性通常通过概率分布来进行描述。
常见的参数不确定性表征方法有概率密度函数、累积分布函数和特征函数等。
这些方法可以用来描述液压系统中各个参数的分布特性，为后续的控制器设计提供依据。
确定性零极点配置控制器确定性零极点配置控制器是一种不考虑参数不确定性的控制器设计方法。
它根据系统的数学模型和设计要求，通过选择适当的控制器参数来实现系统的稳定性和控制性能的优化。
确定性零极点配置控制器在液压系统中的应用受到参数不确定性的限制，通常需要对系统进行线性化处理，以忽略非线性因素的影响。
随机参数零极点配置控制器随机参数零极点配置控制器是一种考虑参数不确定性的控制器设计方法。
它通过将参数不确定性考虑到控制器设计中，通过优化设计参数来使系统的稳定性和控制性能对参数不确定性具有鲁棒性。
随机参数零极点配置控制器可以通过随机优化算法来获取最优的设计参数，在实际应用中具有较高的可靠性和鲁棒性。
随机参数液压系统中零极点配置控制器的实现方法随机参数传递函数模型的建立在实际应用中，为了实现随机参数液压系统的控制，首先需要建立起系统的随机参数传递函数模型。
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12 10
Position(mm)
8 6 4 2 0 0
PID控制器： Kp=21 Ki=0.5 Kd=0.5
0.1
0.2 0.3 time(SEC)
0.4
0.5
Real-Time Estimation of Induction Motor Parameters by LSE
內容：
主旨 感應馬達模型 狀態變數濾波器
N s Ls As D s M s N s
ＰＰ控制器設計步驟：
利用 As Ds M s N s D p s X s F s 順利解出控制器的參數
How to choose
X s
依據系統抗干擾能力及 系統的強健性來做判斷
a0 1 Ts Tr
- isd - isq
Lr Rr
dv sd v sq r dt dv sq - v sd r dt
a1 v sd a 0 b v sq 1 b 0
V
強健性的設計：
觀念：系統對任何的步階干擾輸入的響應都能
消為零，則系統有抗步階干擾的能力。 lim y p t 0 設計 A 0 0
t
Ps Y p s
H s
Y p s H s Ps
N s As a D p s X s s
4-th order Butterworth lowpass filter
z Az Bu u F Cz
C 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 A 0 0 1 0 - a F0 - a F1 - a F2 - a F3
LSE演算法
主旨
A application Least Square Estimation
algorithm to the identification of the induction machine parameters. Advantage It is possible to estimate the four fundamental parameters of an induction machine at the same time.
規格：使用ITAE最佳化設計閉迴路特徵方程式
並且設計系統速度閉迴路頻寬為30赫茲。 自由參數：X s 則以系統抗干擾能力做為準則 挑選 X s ( s 620)2 A0 0
s 4 2.1o s 3 3.4o 2 s 2 2.7o3s o 4
速度步階命令：800 mm/s
Four Identified Parameters
Stator resistance :
due to temperature change
Stator inductance :
due to difference input signal frequency
Rotor time constant
Total leakage factor : 磁損
The Induction Motor Model
由於三相感應馬達之數學模型為一複雜
且相互耦合的，一般可透過一些座標轉 換式將方程式簡化[1] 馬達電壓或電流之三相交流表示式，不 如用二相交流表示式簡單。更進一步仍 可用二軸直流表示[2]
[1]劉竟成, “交流調速系統”, 上海交通大學出版社, 1984 [2]姚武松, “縫紉機用之感應馬達全數位伺服控制器研製”, 國立成功大學機械工程學系碩士論文, 1997
is a very large positive scalar, and I
is the identity matrix. They apply the LSE with 0 put to zero during a locked rotor test
In fact, at motor standstill with zero rotor speed, the identification of parameters is easier thanks to the linearity of IM equations
-1 T x k yk
Fresh experimental data are continuously in supply
y k 1 xT k 1
Combine
y k 1 x k 1
To achieve the identification algorithm (LSE)
Ts
Ls Rs
Tr
b0
The measured variables • Stator currents • Stator voltages
1 1 a1 Ts Tr
c0 a 0 b1 1 b0 Ts
1 Ls Tr
b1
1 Ls
• Rotor angular speed
பைடு நூலகம்
N s As a aN 0 A0 lim y p t lim s D p 0 X 0 t s 0 D p s X s s
實例模擬結果：
3621 .51 4 2 1800 7.5 mm s ＰＬＡＮＴ： s 371.16 254.76 j s 371.16 - 254.76 j Volt
-1 T
x k 1 p k
Let
K k 1 p k x k 1 I x k 1p k x k 1
T
Then
p k p k 1 I - K k 1x k 1p k k 1 p k 1 x T y x k 1 y k 1
IM Equations
disq d 2isd disd isq r c0 2 r dt dt dt 2 disd d isq - disq dt 2 - r dt - isd r c0 dt
M2 1 Ls Lr
ＰＰ控制器設計步驟：
• step 2
選擇自由參數 X s ，使得 degD p s X s 的階數 至少為2Ｎ＋1次 極零點相消
N s N p s D p s N s N p s X s D p s X s
• step 3
G f s
自由參數的選擇：
• 我們必頇知道： X s 的選擇（1）並不影響系統的輸出
（2）也不影響系統驅動信號的大小
P
+
Vref
Ls
+
A -1s
+
Cout
Gs
V
Ms
± ¨ ¹ î ¾
s G s N s As H s -1 P s 1 G s M s A s DP X s
T
-1
k k
simplify
k 1 k K k 1 y k 1 - x T k 1 k
How to choose the initial values
Take the first k data points and solve k and p k directly Set 0 arbitrarily and p0 I where
報告人：郭洲成 日 期：1998/7/7
報告內容：
第一部份
極點配置控制器的介紹
控制器設計流程
強健性的設計
實例模擬結果
第二部份
感應馬達參數的判認
極點配置控制器的介紹：
F Vref
+ +
傳統的架構
1 S
+
KI KP 極點配置控制器 ＰＤＦＦ Pole-Placement控制器是設計者依據
G(s)
V
PDF控制器 (ID控制器)
PDFF控制器 所要的系統性能（performance），例 F=0 如系統慣量或欲設計的閉迴路系統頻寬 F=1 來決定控制器的參數 PI控制器
ＰＰ控制器設計步驟：
• 已知：
N s 系統的轉移函數 G s D s
• 要求規格：
使用ＩＴＡＥ最佳化設計閉迴路特 徵方程式，並給定系統閉迴路頻寬
• 自由參數的選擇：
以系統的強健性作為選擇的準則
ＰＰ控制器設計步驟：
• 實現架構：
Vref
Ls
+
A -1s
Cout
Gs
V
Ms
± ¨ ¾ î ¹
• step 1
計算 N s D s N s D s f p
G f s
N f s
N p s
LSE ( Recursive Form )
yk
T x k ek
They choose a State Variable Filter (SVF) of the 4-th order to improve the filtering properties and identifier performance.
速度迴路 As s 4 252.04s 3 58016.49s 2 2001183.57 s
Ls 7.27s 2 9011.57s 2793586.79 M s 66.94s 2 46185.09 s 2793586.79
1000 800
Velocity(mm/s)
System Identification