近世代数习题解答(张禾瑞)四章
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2
近世代数课后习题参考答案第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3.而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→:ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
《近世代数基础》(修订本)张禾瑞[1].著__课后答案__PPt格式共42页
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61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
近世代数习题答案
近世代数习题答案近世代数习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对概念和定理的理解，提高解决问题的能力。
本文将给出一些近世代数习题的答案，并对其中的一些重要思想进行解析。
1. 习题：证明群的单位元是唯一的。
解答：设G是一个群，e和e'都是G的单位元。
根据单位元的定义，对于任意的元素g∈G，有eg=g=ge'。
将e'代入上式，得到e=ge'。
同理，将e代入上式，得到e'=ge。
由此可知，e=e'，即群的单位元是唯一的。
思考：这个习题通过对单位元的性质进行推理，展示了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要运用代数运算的基本法则，如等式的传递性和对称性等。
2. 习题：证明群的逆元是唯一的。
解答：设G是一个群，g∈G，且g有两个逆元g'和g''。
根据逆元的定义，有gg'=e和gg''=e。
将第一个等式两边都乘以g''，得到gg'g''=eg''=g''。
将第二个等式两边都乘以g'，得到gg'g''=g'。
由此可知，g''=g'。
即群的逆元是唯一的。
思考：这个习题通过对逆元的性质进行推理，进一步巩固了群的基本概念和性质。
在解答过程中，我们需要灵活运用等式的乘法和消去律，以及群运算的定义。
3. 习题：证明交换群的幂运算满足指数相加的性质。
解答：设G是一个交换群，a∈G，m和n是任意的整数。
我们要证明a^m * a^n = a^(m+n)。
当m和n都是非负整数时，根据幂运算的定义，这个等式成立。
当m和n都是负整数时，设-m=k，-n=l，其中k和l都是非负整数。
根据幂运算的定义，有a^m * a^n = a^(-k) * a^(-l) = (a^k)^(-1) * (a^l)^(-1) = (a^k * a^l)^(-1) = a^(-k-l) = a^(m+n)。
近世代数习题解答(张禾瑞)四章
就是单位矛盾
假定互素
令就是得最大公因子
则有即
就是得公因子
于就是就是单位
那么就是得最大公因子
3．假定就是一个整环,与就是得两个主理想
证明 当而且只当就是得相伴元得时候
证 假定
就是单位
所以就是 得相伴元
假定(单位)
故(
３主理想
１.假定就是一个主理想环,并且
证明 就是与得一个最大公因子,因此与得何最大公因子
此即中有一就是得相伴元
现在瞧得情形
可能得情形就是
显然
由(２)知得就是素元,故知５就是素元之积
(４)５得单一分解
均为单位
２唯一分解环
１.证明本节得推论
证 本节得推论就是;
一个唯一分解环得个元在里一定有最大公因子,
得两个最大公因子只能查一个单位因子。
用数学归纳法证
当时,由本节定理３知结论正确。
假定对个元素来说结论正确。
瞧得情形
设 有最大公因子为。
,得最大公因子为
即 而
又
故就是得公因子
假定
又
这就就是说,就是得最大公因子
若就是得最大公因子
那么 且
若 则
则即就是单位
故
２.假定在一个唯一分解环里
证明 当而且只当就是得一个最大公因子得时候,互素
证 假定就是得一个最大公因子
若 不互素
则有 而不就是单位
那么
这就就是说就是得公因子
证
不管就是得或!均使
3、证明本节得导数计算规则
证
ⅰ)
=
+
故有
(ⅱ)[
现在证明
用数学归纳法证
时,利用(ⅱ)使有
近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-1
近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-1近世代数课后习题参考答案第一章基本概念1 集合1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故BA =2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A,这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = ,2 映射1.A =}{100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象.3 代数运算1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是AA ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解?a b c aa b ca b cc a a a a a c c a b bd a aca a a4 结合律1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:bab a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 212)11(= , 2)21(1= ,从而)21(12)11( ≠.2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?解? 这个代数运算不适合结合律c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++=)()(c b a c b a ≠ 除非0=c .3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律?解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =.2.},,,{d c b a A =,由表a b c d a a b c d b b d a c c c a b d dd c a b所给出代数运算适合不适合交换律?a b c aa b cc a cc a b解? d d c = , a c d =从而c d d c ≠.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律假定:?⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊕?,适合两个分配律.证明)()()()(22122111b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕? )()()()(22211211b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕?= 证?)()()()(22122111b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕? =])[(])[(221121b a a b a a ?⊕⊕?⊕ =)()(2121b b a a ⊕?⊕=)]([)]([212211b b a b b a ⊕?⊕⊕?)()()()(22211211b a b a b a b a ?⊕?⊕?⊕?=7 一一映射、变换1.A ={所有0?的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-A 间的意义映射.证φ:a a a log =→-因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数即A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =?=.因此φ是A 到-A 的映射.又给了一个-A 的任意元-a ,一定有一个A 的元a ,满足-=a a log ,因此φ是A 到-A 的满射.a a a log =→-b b b l o g =→-若b a ≠, 则b a log log ≠.即 --≠?≠b a b a 因此φ又是A 到-A 的单射.总之,φ是A 到-A 的一一映射.2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-A 的满射. 证a a a s i n :=→-φ,容易验证φ是A 到-A 的满射.3.假定φ是A 与-A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1=-A φφ)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解? a a =-)]([1φφ, a a =-)]([1φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([11a a a a ==--φφφφ8 同态1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-A 的同态满射?x x a →) x x b 2)→ 2)x x c → x x d -→)证? )a 显然=-A {所有0≥的实数}.又由于y x xy xy =→ 可知x x →是A 到-A 的同态满射.)b 由于)2)(2(2y x xy xy ≠→ ( 除非0=xy )所以x x 2→不是A 到-A 的同态满射.)c 由于222)()()(y x xy xy =→,易知2x x →是A 到-A 的同态满射.这里-A ={所有0≥的实数}.)d 一般来说,))((y x xy --≠-,:所以x x -→不是A 到-A 的同态满射 .2. 假定A 和-A 对于代数运算ο和-ο来说同态，-A 和=A 对于代数运算-ο和=ο来说同态，证明 A 和=A 对于代数运算ο和=ο来说同态。
近史代数课后习题答案
近史代数课后习题答案近史代数课后习题答案近史代数是一门重要的数学学科，它不仅具有理论性，还有广泛的应用价值。
在学习近史代数的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要环节。
然而，习题的解答并不总是那么容易，有时会让人感到困惑。
在本文中，我将为大家提供一些近史代数课后习题的参考答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
一、多项式运算1. 计算多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 在 x = 2 时的值。
解答：将 x = 2 代入多项式 P(x) 中，得到 P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 7 = 16 - 20 + 6 - 7 = -5。
2. 将多项式 P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 与多项式 Q(x) = x^2 - 3x + 2相加，求和后的多项式。
解答：将 P(x) 与 Q(x) 相加，得到 P(x) + Q(x) = (3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1) + (x^2 - 3x + 2) = 3x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 7x + 3。
二、方程与不等式1. 解方程 2x - 5 = 3x + 1。
解答：将方程化简，得到 2x - 3x = 1 + 5，即 -x = 6，再将方程两边乘以 -1，得到 x = -6。
2. 解不等式 2x + 1 < 5x - 3。
解答：将不等式化简，得到 2x - 5x < -3 - 1，即 -3x < -4，再将不等式两边乘以 -1，注意不等号反向，得到 3x > 4，最后除以 3，得到 x > 4/3。
三、函数与图像1. 给定函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求函数的对称轴和顶点。
解答：对称轴的横坐标可以通过公式 x = -b/2a 求得，其中 a、b 分别是二次项系数和一次项系数。
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞) (1)
近世代数课后习题参考答案第二章群论1群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a =)(n m 〈 故 e a m n =- m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3.而1的阶是1.5变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 ……τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τb ax x +→:λd cx x +→:τλd cb cax d b ax c x ++=++→)(d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :εx x → (4) :τb ax +)(1:1ab x a x -+→-τ 而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x:2τx x 2→:21ττ)1(2+→x x :12ττ12+→x x故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ)(1a a τ→:2τ)(2a a τ→那么:21ττ)()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ==→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元:ε)(a a a ε=→:ετ)()]([a a a ττε=→τ:τε)()]([a a a τετ=→∴τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
近世代数习题答案
绪论部分：7.由1))((11111111121112121==----------a a a a a a a a a a a a a a m m m m m m m ,故11121121)(----=a a a a a a m m .对第2个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设121=⋅u a a a m ,则任意i ,1)(111=--u a a a a a m i i i ,故每个i a 有逆元素.注：直接根据逆元的定义和广义结合律证明.8.11)1(11)1)(1()1(=+-=-+-=-+-=+-=-ba ba ca ab b ba babca bca ba bca ba d babcababca ba ba bca ba d -+-=-+=-1)1)(1()1(.11)1(1=+-=-+-=ba ba a ab bc ba即1-ba 在R 内也可逆又由c abc cab c ab ab c =+=+=-=-11,1)1()1(得.故cab)ab(11abcab ab 1bca)b a(11adb 1++=++=++=+c abc =+=1.注：直接根据结合律和环中乘法对加法的分配律验证. 第一章： 第一节：5.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a A 0，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c d c B 0,其中a,b,c,d 都是复数,a ≠0且c ≠0,则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ac bc ad ac AB 0也和A,B 具有相同的形式. 显然, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001I 是单位元且⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a b ab a C 1012是A 的逆矩阵.又矩阵乘法满足结合律,故结论得证.注：根据群的定义直接验证,需要说明AB 也和A,B 具有相同的形式.7.对,G a ∈a 有右逆b.b 又有右逆a '，这时a 为b 的左逆.由ab e a b =='，得到()()a a ab a b a a '='='=，可知a a '=.这样e ab ba ==，即b 是a 的逆.12.设{}s g g G ,,1 =.由性质（2），G ag ag G a s ⊆∈∀},{,1 ,且是s 个不同的元，故G ag ag s =}{1 .同样由性质（3）可得，G a g a g s =},{1 。
高等代数(张禾瑞版)教案-第4章线性方程组
第四章 线 性 方 程 组4.1 消元法教学目的：1、掌握线性方程组的和等变换，矩阵的初等变换等概念。
理解线性方程组的和等变换是同解变换，以及线性方程组的初等变换可用增广矩阵的相应的行初等变换代替。
2、熟练地掌握用消元发解线性方程组，以及判断线性方程组有没有解和解的个数。
设方程组:a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1; a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2; (1) ……………………………… a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m . 1 线性方程组的初等变换: 例1解线性方程组:21 x 1 +31x 2 + x 3=1 (2) x 1+ 35x 2 +3 x 3=32x 1+34x 2+5 x 3=2从第一和第三方程分别减去第二个方程的21倍和2倍,来消去前两个方程中的未知量x 1(即把x 1的系数化为零).我们得到:-21 x 1 -21 x 3= -21 x 1+ 35x 2+3 x 3=3-2 x 2- x 3=-4为了计算的方便,我们把第一个方程乘以-2后,与第二个方程交换,得:x1+35x 2+3x 3= 3 x 2+ x 3= 1 -2x 2- x 3=-4把第二个方程的2倍加到第三个方程,来消去后一方程中的未知量x 2,我们得到:x 1+35x 2+3x 3= 3 x 2+ x 3= 1x 3=-2现在很容易求出方程组的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程(相当于把x 3的值-2代入第一和第二个方程),得x 1+35x 2=9 x 2=3 x 3=-2再从第一个方程减去第二个方程的35倍(相当于把x 2的值3代入第一个方程),得 x 1=4x 2=3 x 3=-2这样我们就求出了方程组(2)的解.分析一下以上的例子,我们看到,我们对方程组施行了三种变换: 1) 交换两个方程的位置;2) 用一个不等于零的数乘某一个方程; 3) 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 我们把这三种变换叫做线性方程组的初等变换. 由初等代数知道,以下定理成立.定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组边为一个与它同解的线性方程组. 2 矩阵： 利用线性方程组(1)的系数可以排成如下的一个表:(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n n............ (2)12222111211, 而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:(4) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b aaa b a a b a a a b a a a m mnm m nn ............... (2)133231222221111211.定义1 由st 个数c ij 排成一个s 行t 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c c c cc c c c c st s s t t212222111211叫作一个s 行t 列（或s ⨯t ）矩阵。
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近世代数习题解答第四章 整环里的因子分解1 素元、唯一分解1. 证明：0不是任何元的真因子。
证 当0≠a 时若b a 0=则0=a 故矛盾当0=a 时，有00ε= （ε 是单位）就是说0是它自己的相伴元2. 我们看以下的整环I ，I 刚好包含所有可以写成m m n(2是任意整数，0≥n 的整数） 形式的有理数，I 的哪些个元是单位，哪些个元是素元？证 １）I 的单位总可以把m 表为p p m k (2=是０或奇数，k 非负整数）我们说1±=p 时，即k m 2±=是单位，反之亦然２）I 的素元依然是k p p m k ,(2=的限制同上）我们要求ⅰ）0≠pⅱ）1±≠pⅲ）p k 2只有平凡因子满足ⅰ）—— ⅲ）的p 是奇素数故p m k 2=而p 是奇素数是nm 2是素元，反之亦然， ３．I 是刚好包含所有复数b a bi a ,(+整数）的整环，证明5不是I 的素元，5有没有唯一分解？证 （1）I 的元ε是单位，当而且只当12=ε时， 事实上，若bi a +=ε是单位则11-=εε 2'221εε= 即2'21εε= 但222b a +=ε是一正整数，同样2'ε也是正整数， 因此，只有12=ε反之，若1222=+=b a ε，则0,1=±=b a或1,0±==b a 这些显然均是单位此外，再没有一对整数b a ,满足122=+b a ，所以I 的单位只有i ±±,1。
（２）适合条件52=α的I 的元α一定是素元。
事实上，若52=α则0≠α又由α)1(也不是单位 若2225,λβαβλα=== 则12=β或52=βββ⇒=12是单位λαβλ⇒=⇒-12是α的相伴元λλβ⇒=⇒=1522是单位βαλβ⇒=⇒-1是α的相伴元不管哪种情形，α只有平凡因子，因而α是素元。
（３）I 的元5不是素元。
若βα=5则2225λβ= 这样，2β只可能是25,5,1 当52=β由)1(β是单位 当1522=⇒=λβ由)1(λ是单位此即λβ,中有一是5的相伴元 现在看52=β的情形5,222=+=+=b a bi a ββ可能的情形是⎩⎨⎧==21b a ⎩⎨⎧-=1b a ⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-=-=21ba⎩⎨⎧=1b a ⎩⎨⎧-==12b a ⎩⎨⎧=-=12b a ⎩⎨⎧-=1b a显然)2)(2(5i i -+= 由（２）知52=β的β是素元，故知５是素元之积（４）５的单一分解)21)(21(5i i -+=)21)(1)(21)(1(i i --+-=)21)()(21)(()21)()(21)((i i i i i i i i --+=-+-=i ±±,1均为单位２ 唯一分解环１．证明本节的推论证 本节的推论是；一个唯一分解环I 的 n 个元n a a a ,,21 在I 里一定有最大公因子，n a a a ,,21 的两个最大公因子只能查一个单位因子。
用数学归纳法证当2=n 时，由本节定理３知结论正确。
假定对1-n 个元素来说结论正确。
看n 的情形设 121,,-n a a a 有最大公因子为1-n d 。
1-n d ，n a 的最大公因子为d 即1-n d d 而a d n 1- i a d n i ⇒-=)1,,2,1( )1,,2,1(-=n i 又n a d故d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的公因子 假定i a d - n n i ,1,,2,1-=1--⇒n d d 又n a d - d d -⇒这就是说，d 是n n a a a a ,,1,2,1- 的最大公因子若'd 是n n a a a ,11- 的最大公因子 那么d d ' 且'd d 'ud d =⇒ vd d =' u v d d =⇒若 0=d 则o d ='0≠d 则1=uv 即u 是单位ε故d d ε=２． 假定在一个唯一分解环里n n db a db a db a ===,,,2211证明 当而且只当d 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子的时候，n b b b ,,,21 互素证 ""⇒假定d 是n a a ,,1 的一个最大公因子若 n b b b ,,21不互素则有 n n c d b c d b '1'1,,== 而'd 不是单位那么),,1(,'n i c dd a i i ==这就是说'dd 是n a a ,1的公因子 所以d dd '即 '''d dd d = 故1'''=d d 'd 是单位 矛盾''''⇐假定n b b ,,1 互素令'd 是n a a ,1的最大公因子则有'd d 即d d 'i i c d a '=i c dd 1= ),,2,1(n i =i i c d b 1= 1d ⇒是n b b ,,1 的公因子于是1d 是单位d d ε='那么d 是n a a ,,1 的最大公因子3． 假定I 是一个整环，)(a 和)(b 是I 的两个主理想证明 )()(b a =当而且只当b 是I 的相伴元的时候证 ''''⇒假定)()(b a =a cb cb a ',== a cc a '= 1'=cc',c c 是单位所以b 是a 的相伴元''''⇐假定a b ε= （ε 单位）),(a b ∈ )()(a b ⊂)()(,1a a b a ⊂=-ε故 （)()b a =３ 主理想１．假定I 是一个主理想环，并且d b a =),(证明 d 是a 和b 的一个最大公因子，因此a 和b 的何最大公因子'd都可写成以下形式：tb sa d +='),(I t s ∈证 由于)(),(d b a =有d a a d a 1),(=∈ d b b d b 1),(=∈ d 是a b ,的公因子 仍由)(),(d b a =知),(b a d ∈故有 b t a s d ''+=设1d 是b a , 的 任一公因子由)(A 知d d 1即d 是b a ,的最大公因子又d d ε=' （ε单位 ）),(,)()()(''''I t s tb sa b t a s b t a s ∈+=+=+=εεε２． 一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。
证 设)(p 是主理想环I 的最大理想，并设0)(≠p 若p 是单位，则1)(=p若p 不是素元则bc p =， c b ,是p 的真因子 )()(b p ⊂)(p 最大理想 I b =∴)(b b ⇒∈)(1是单位，矛盾。
３．我们看两个主理想环I 和0I 是I 的子环，假定a 和b 是0I 的两个元，d 是这两个元在I 里的一个最大公因子。
证明：d 也是这两个元在I 里的一个最大公因子。
证 0I 是主理想环的子环，所以在0I 里)(),('d b a =由本节习题１知d 是b a ,的最大公因子，而且最大公因子d 有以下形式：),(0I t s tb sa d ∈+=d I I ,0⊂也是b a ,在I 里的公因子。
设 1d 是b a ,在I 里任意公因子则1111,d b b d a a ==那么)(11111tb sa d tb sa d +=+=d d 1故d 是b a ,在I 里的最大公因子。
4 欧氏环1. 证明:一个域一定是一个欧氏环.证 设F 是域,则F 一定是整环 0,≠∈x F xn n x ,:→φ是某一个固定0≥的整数,这符合条件（ⅰ）ⅱ）0,≠∈a F a 对F 的任何元b 都有0)(1+=-b a a b这里0=r2. 我们看有理数域F 上的一元多项式环][x F 理想等于怎样的一个主理想?证 我们说][)1,1(352x F x x x =+++1,1352+++x x x 互素1)1(1)1(3523=++++-∴x x x x即)1,1(1352+++∈x x x因而)()1()1,1(352x F x x x ==+++3. 证明由所有复数b a bi a ,(+是整数) 所作成的环是一个欧氏环取(a a =)(φ)证 bi a +=α b a , 整数令222)(b a +==ααφ设0≠α 则0222≠+=b a α任取 di c +=β d c , 整数其中22'22',b a bc ad b b a bd ac a +-=++= 故 '',b a 是有理数 取,yi x +=λ y x , 是有理数,且满足条件21,21''≤-≤-y b x a 令 λαβλλη-=-=' 则ηαλαβ+= 因为,,,αλβ的实部与虚部系数均为整数,所以ηα的实部与虚部系数亦均为整数1)21()21()()(222'2'2'2〈+≤-+-=-=y b x a λλη 2222ααηηα〈= 设r =ηα r +=λαβ 22α〈r即)()(αφφ〈r 注意:取 yi x +=λ 使21'≤-x a 21'≤-y b 的整数 y x ,是可以做到的 例如x b a bd ac x a -++=-22' 只要取 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=22b a bd ac x 或122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++b a bd ac 即可使21'≤-x a 5 多项式环的因子分解1. 假定!是一个唯一分解环,Q 是I 的商域,证明,][x l 的一个多项式若是在][x Q 里可约,它在][x l 里已经可约.证 若)(x f 在][x l 里不可约,令)()(0x df x f =)(0x f 是本原多项式显然, )(0x f 在][x l 里也不可约,由引理3)(0x f 在][x Q 里不可约,这与)(x f 在][x Q 里可约的假设矛盾.2. 假定][x l 是整环I 上的一元多项式环.!属于)(x f 但不属于I ,并且)(x f 的最高系 数是I 的一个单位,证明)(x f 在][x I 里有分解.证 )(x f 的最高系数是I 的单位,所以)(x f 的系数的最大公因子是单位,也就是说)(x f 是本原多项式.)()(x I x f ∈ 而)(x f I ∈即)(x f 次数0〉根据本节引理4证明的前一部分)(x f 在)(x I 里有分解。