机械控制工程传递函数与方框图
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机械控制工程-传递函数与方框图
d xK dt
X ( s) G(s) Ks ( s)
测速发电机
d u (t ) K dt
• 一阶惯性环节
dxo T xo Kxi , dt
X o ( s) K G( s) X i ( s) Ts 1
特点：输出不能立即跟随输入的变化
F
dx F B Kx dt X (s) 1 G ( s) = F ( s ) Bs+K 1/K = B s 1 K
2 N 1
阻 尼
惯 性
转 矩
J1 c1 m ( J m 2 )m (cm 2 )m N N m J m cm
惯性负载
1 c Js Js c
阻尼负载
• 转矩和转速之间关系
m
1 Js c
m
电机传递函数
1 ur (t ) Ri (t ) i (t ) dt C U c ( s) 1 G ( s) U r ( s ) RCs 1
R-C串联电路与直流电压接 通，电容上电压建立过程
C(t)
1.0 0.95 0.632 0.5
0
T
3T
t
• 振荡环节
d xo dxo T 2 xo Kxi 2 dt dt
R
L
ui(t)
i(t)
C
uc(t)
uR (t ) Ri(t )
di(t ) uL (t ) L dt
1 uC (t ) i (t )dt C
di(t ) 1 ui (t ) Ri(t ) L i(t )dt dt C 1 u0 (t ) i (t )dt C
xo K xi dt
《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
机械控制工程基础2.3系统的传递函数方框图及其简化
分支点引出的信号不仅量纲相同，而且数值也相等。
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
第 5 页/53
机电汽车工程学院
Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
第 12 页/53
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例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
X(s) X(s) X(s)
2011年9月
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Block diagram establishing
2、系统方框图的建立
建立系统方框图的步骤如下：
(1) 建立系统（或元件）的原始微分方程； (2) 对这些原始微分方程进行Laplace变换，并根据各变换 式中的因果关系，绘出相应的方框图； (3) 按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函 数方框图连接起来(同一变量的信号通路连接在一起），系 统输入量置于左端。输出量置于右端，便得到系统的传递 函数方框图。
X(s)
+
Kq
_
Q(s)
P(s) A Y(s)
1/Kc
ms2 cs
(c)
As
2011年9月
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例2：如图2.1.2所示电枢控制式直流时机，由第2.1节例2的
推导可知其运动微分方程可列写如下：
练习题： Ldia dt
ia R ed
ua
ed kd
输入：Ua(s), ML(s)
Q(s)
(c)
P(s)
1/Kc
P(s) A Y(s) ms2 cs
(a)
Q(s) As Y(s)
输入：X(s) 输出：Y(2s0) 11年9月 中间变量：P(s) Q(s)
(b)
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最后，将上述各传递函数方框图按信号的传递关系连接起 来，便得到下图所示的系统的传递函数的方框图。
Ur(s) +
I(s)
Uc(s)
1/R
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
控制工程-传递函数
G(s)
=
T 2s2
1
+ 2x Ts
+1
=
w
2 n
s2
+
2xw n s
+
w
2 n
T：振荡环节的时间常数 ξ：阻尼比 ωn：无阻尼固有频率
南华大学
方框图：
§2-3 典型环节的传递函数
Xi(s)
w
2 n
s2
+
2xw ns
+
w
2 n
X0(s)
例 ： m—k—c 系统：
my..(t ) + cy. (t ) + ky (t ) = f (t )
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§2-3 传递函数
二、传递函数的性质和特点
1、传递函数和微分方程是一一对应的
微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性） 传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）
2、传递函数只取决于系统本身的固有特性，与外界无关。
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§2-3 传递函数
3、若输入给定，则输出完全取决于传递函数 Xi(s) G（s） Xo(s)
4、不同物理系统（机械、电气、液压）可能
用形式相同的传递函数来描述——相似原理 能用相同数学模型描述的系统——相似系统
应用意义：可用模拟机进行系统研究 5、分母阶次常高于分子阶次（n≥m）
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§2-3 传递函数
三、传递函数的零点和极点
传递函数为复变函数，故有零点和极点
G ( s) = K ( s - Z1 )( s - Z2 ) ...( s - Zm ) ( s - P1 )( s - P2 ) ... ( s - Pn )
=
-
控制工程-系统传递函数方块图及其简化
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§2推-导4：系统传递函数方块图及其简化
X 0 ( s ) = G ( s ) E ( s ) = G ( s)[ X i ( s) - X B ( s)] = G ( s )[ X i ( s ) - X 0 ( s ) H ( s )] = X i (s)G (s) - X 0 (s) G (s) H (s)
GK (s) =
X B(s) E (s)
=
X B(s) X 0(s)
X 0(s) = G(s) H (s) E(s)
可理解为： 相加点断开后，以E(s)为输入， XB (s) 为输出的传递函数。
5、闭环传递函数 GB(s) ：
GB (s) =
X 0 (s) X i (s)
=
G (s)
1 + G(s)H (s)
对于单位反馈：H(s)=1
Xi(s)
+ -
G(s) 1
X0(s)
G (s) G B(s) = 1 + G (s)
§ 系统传递函数方块图及其简化
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四、具有干扰信号的系统传递函数
扰动
各种电器设备对电视机的干扰
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
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扰动（干扰信号）：
在控制系统中，除控制信号（输入给定值）外，其它对 输出能产生影响的信号。
有的干扰因素是由于环境造成的，如影响自行车行驶速度的 变化的自然风等；
有的干扰因素是人为原因所致，如影响飞机导航信号的手机 信号等。
§2-4 系统传递函数方块图及其简化
南华大学
考虑扰动的反馈控制系统的典型方框图如下：
Xi(s) +
-
G1(s)
N (s)
微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图
出量有关的各项放在方程的左边；
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
自动控制理论 2-4 传递函数及方块图
1 C2s
1
uo (s)
C2s
1
uo (s)
C2s
18
结构图等效变换例子||例2-11
ui (s) 1
R1
-
R1
C2s
R1C1s 1 R2C2s 1
1 uo (s) C2s
ui (s) 1
R1
R1C2 s (R1C1s 1)( R2C2s 1) R1C2s
1 uo (s) C2s
G(s) uo(s)
1
- R1
R1C2 s
1 u(s)
C1s
1 R2C2s 1
uo (s)
16
ui (s) -
结构图等效变换例子||例2-11
1 R1C1s 1
R1C2 s 1
R2C2s 1
uo (s)
1
G(s) uo (s) (R1C1s 1)(R2C2s 1)
1
ui (s) 1
R1C2s
(R1C1s 1)(R2C2s 1) R1C2s
R
(s)
CR (s) R(s)
1
G1 (s)G 2 (s) G1 (s)G 2 (s)H(s)
N
(s)
C N (s) N(s)
1
G 2 (s) G1 (s)G 2 (s)H(s)
4、R（s） N（s）同时作用
C(s) CR (s) CN (s)(s) R (s)R(s) N (s)N(s)33
(R1C1s 1)(R2C2s 1)
17
解法二：
结构图等效变换例子||例2-11
ui (s)
-
1 I1(s) - 1 u(s)
R1
I (s) C1s
《控制工程基础》3.3
1．串联环节的等效规则 ： ．
2．并联环节的等效规则 ： ．
第 3 章
3.7 7
传递函数方框图的等效简化
传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 说明： 说明： 3．反馈连接及其等效规则 ： ． 1．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（环 ．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（ 前向通道传递函数： 前向通道传递函数： G ( s = X o ( s ) E ( s ) 节的组合）的传递函数，而闭环传递函数才是系统的传递函数； 节的组合）的传递函数，)而闭环传递函数才是系统的传递函数； 反馈通道传递函数： 反馈通道传递函数： H ( s ) = B ( s ) X o ( s ) 2．相加点 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 ．相加点B(s)处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈 开环传递函数： 开环传递函数：GK ( s ) = B ( s ) E ( s ) = G ( s ) H ( s ) 反馈环节
N (s) + G2 (s) H (s)
如考虑扰动的反馈控制系统： 如考虑扰动的反馈控制系统：
X i (s) +
−
只考虑给定输入时： 只考虑给定输入时：G X = 系统总的输出量： 系统总的输出量： X o =
G1G2 1+ G1G2 H
G1 ( s )
+
X o (s)
只考虑扰动输入时： 只考虑扰动输入时：GN =
第 3 章
3.8 8
闭环控制系统的传递函数
多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。 多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。
2．并联环节的等效规则 ： ．
第 3 章
3.7 7
传递函数方框图的等效简化
传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 说明： 说明： 3．反馈连接及其等效规则 ： ． 1．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（环 ．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（ 前向通道传递函数： 前向通道传递函数： G ( s = X o ( s ) E ( s ) 节的组合）的传递函数，而闭环传递函数才是系统的传递函数； 节的组合）的传递函数，)而闭环传递函数才是系统的传递函数； 反馈通道传递函数： 反馈通道传递函数： H ( s ) = B ( s ) X o ( s ) 2．相加点 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 ．相加点B(s)处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈 开环传递函数： 开环传递函数：GK ( s ) = B ( s ) E ( s ) = G ( s ) H ( s ) 反馈环节
N (s) + G2 (s) H (s)
如考虑扰动的反馈控制系统： 如考虑扰动的反馈控制系统：
X i (s) +
−
只考虑给定输入时： 只考虑给定输入时：G X = 系统总的输出量： 系统总的输出量： X o =
G1G2 1+ G1G2 H
G1 ( s )
+
X o (s)
只考虑扰动输入时： 只考虑扰动输入时：GN =
第 3 章
3.8 8
闭环控制系统的传递函数
多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。 多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。
机械工程控制基础-第二章-传递函数
华中科技大学材料学院
典型环节
比例环节 惯性环节 微分环节 积分环节 振荡环节 延时节例
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比例环节
1、传递函数函：G(s) K （放大环节）
2、特性：输入输出成正比，无惯性，不失真， 无延迟 X(s) Y(s) K 3、参数：K 4、单位阶跃响应：输出按比值复现输入， 无过渡过程。
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4)方框图不唯一。由于研究角度不一样，传递函数 列写出来就不一样，方框图也就不一样。 5) 研究方便。对于一个复杂的系统可以画出它的方 框图，通过方框图简化，不难求得系统的输入、输出 关系，在此基础上，无论是研究整个系统的性能，还 是评价每一个环节的作用都是很方便的。
华中科技大学材料学院
n 2
2
p1 p2 n , p1 p2 2n 2 1
n e p t e p t y (t ) 1 ( ) 2 p1 p2 2 1
1 2
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p1 p2 ,当 1时, p1 p2
则
n e p t y (t ) 1 2 2 1 p2
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延迟环节
1. 传函
W ( s) e
s
x
y
1
t
1
(t ) 2.单位阶跃响应 y(t ) L1[es 1 s ] 1 3.参数 延迟时间 4.特性：能充分复现输入，只是相差 ，该环节
t
是线性的，他对系统稳定性不利。然而过程控制中，
系统多数都存在延迟环节，常用带延迟环节的一阶
x(t )
1
y(t )
K
t
t
比例环节实例
1）分压器
机械控制工程基础第二章2
X(s)
函数方框(环节) 传递函数的图解表示。
X1(s)
G(s) 函数方框
X2(s)
函数方框具有运算功能，即：
X2(s) = G(s)X1(s) 求和点（比较点、综合点）
信号之间代数加减运算的图解。用符号 “ ⊗ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头 前方的 “+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。
对方程右边进行拉氏变换： 从而：
1 Lxi (t ) X i ( s) L1(t ) s
1 ( s 5s 6) X o ( s) s
2
1 X o (s) s ( s 2 5s 6) A3 A1 A2 s s2 s3
1 1 A1 2 s 5s 6 s 0 6
积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。 t 运动方程为： xo (t ) 0 xi (t )dt
传递函数为：
G( s) X o ( s) 1 X i (s) s
一阶微分环节
X o ( s) G( s) Ts 1 X i ( s)
振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够 相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动 方程为： 2 d d 2 T x (t ) 2 T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ), 0 1 2 o dt dt X o ( s) K 2 2 传递函数： G ( s ) X i ( s ) T s 2 Ts 1 式中，T—振荡环节的时间常数 ξ—阻尼比，对于振荡环节，0<ξ<1 K—比例系数
原函数 （微分方程的解）
拉氏反变换
象函数 解 代 数 方 程
线性微分方程
机械工程控制基础 第二章 传递函数
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
2.1.3.3 写成标准形式
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例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在 方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左 边。方程两边各导数项均按降幂排列。
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
2.1.4 物理系统建模举例
不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
1 常见非线性情况
饱和非线性 死区非线性
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间隙非线性
继电器非线性
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
2 单摆(非线性)
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是未知函数 的非线性函数， 所以是非线性模型。
3. 建立数学模型的方法： 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
中南大学机电工程学院
机械工程控制基础
第二章系统的数学模型 第一章绪论
4. 数学模型的形式 时间域： 微分方程 差分方程
第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数232232拉氏变换的计算拉氏变换的计算23212321计算举例计算举例第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back指数函数的拉氏变换第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back三角函数的拉氏变换尤拉公式第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back幂函数的拉氏变换第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back单位阶跃函数的拉氏变换第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back单位速度函数的拉氏变换斜坡函数第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back单位脉冲函数的拉氏变换洛必达法则第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back单位加速度函数的拉氏变换抛物线函数第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back2322拉氏变换的主要运算定理线性定理线性定理微分定理微分定理积分定理积分定理位移定理位移定理延时定理延时定理卷积定理卷积定理初值定理初值定理终值定理终值定理第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back线性定理比例定理比例定理叠加定理叠加定理第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back微分定理第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back多重微分原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back积分定理第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back多重积分原函数的n重积分像函数中除以s第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back位移定理原函数乘以指数函数e像函数d在复数域中作位移a第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back延时定理原函数平移第一章绪论机械工程控制基础第二章系统的数学模型中南大学机电工程学院back终值定理原函数ft的稳态性质sfs在s0邻域内的性质第一章绪论机械工程控制基础第二
机械工程控制基础之系统的数学模型.pptx
氏变换之比。
传递函数特点：
传递函数方框
1.传递函数是关于复变量s的复变函数，为复域数学模型；
2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递 函数的分子反映系统与外界的联系；
3. 在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数 xo (t) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)]
若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微 分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。 对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。
xo(t)3xo(t)7xo(t) 4xi(t)5xi(t)
x (t)3x (t)7x (t) 4t2x (t)5x (t)
o
o
o
i
i
线性定常系统 线性时变系统
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmM L 设平衡点 (ua0,M L0, ) 即有 Cdua0 CmM L0
当偏离平衡点时，有
ua ua0 ua
M L M L0 M L
则 TaTm ( ) '' Tm ( ) ' ( )
Cd (ua0 ua ) CmTa (M L0 M L ) ' Cm (M L0 M L )
TaTm () '' Tm () ' Cdua CmTa (M L ) ' CmM L 增量化
1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同
2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。
机械控制工程(董玉红 第二版)—第二章 系统的数学模型
uo (t )为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-3 uo(t)
电容两端电压为：
1 U o (t ) C
t
0
i (t ) dt
d2 d 整理得: LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
※
y y0 y k x
机械控制工程基础
第二章 系统的数学模型
2 ）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为 x1(t) 和 x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。
出响应，通过比较输入和输出信号获得系统的数
学模型。
9
对系统数学模型的基本要求
• 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确 ）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都 是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因 素，系统越复杂，情况也越复杂。 • 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统 运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行 建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模 型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑 。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
得：y y 0 f ' x0 x x0 。取增量为变量，得到 线性 化方程：
y y0 y k x
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
解：设电路中电流为 i(t)
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-3 uo(t)
电容两端电压为：
1 U o (t ) C
t
0
i (t ) dt
d2 d 整理得: LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
※
y y0 y k x
机械控制工程基础
第二章 系统的数学模型
2 ）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为 x1(t) 和 x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。
出响应，通过比较输入和输出信号获得系统的数
学模型。
9
对系统数学模型的基本要求
• 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确 ）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都 是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因 素，系统越复杂，情况也越复杂。 • 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统 运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行 建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模 型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑 。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
得：y y 0 f ' x0 x x0 。取增量为变量，得到 线性 化方程：
y y0 y k x
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
4 方框图
机械学院控制工程基础1天津大学机械工程学院陈永亮机械控制工程基础—控制系统的方框图与传递函数机械学院控制工程基础2典型控制系统的组成给定元件控制元件执行元件被控对象反馈元件典型控制系统的组成输入量（给定量）比较元件反馈量控制量扰动量输出量（被控量）控制系统一般由若干元件以一定的形式连接而成。
机械学院控制工程基础3机械学院控制工程基础4名词术语（名词术语（teminology)teminology)名词术语（1）被控对象——要求进行控制的设备、机器或生产过程。
（2）被控量——表征被控对象特征的要求控制的物理量。
（3）给定元件——确定给定量的元件。
（4）给定量——被控量的希望对应值。
（5）反馈元件——检测被控量的传感元件。
（6）主反馈量——反馈元件的输出。
（7）比较元件——求给定量和主反馈量之差的元件（给定量和主反馈量应有相同量纲）。
（8）控制元件——根据偏差和要求的控制规律产生的响应的控制方法。
（9）执行元件—根据给定量的要求直接对被控对象进行操作。
（10）扰动量——使被控量偏离希望值的那些因素（内扰、外扰）。
（11）误差信号——输出量实际值与希望值之差。
（12）偏差信号——输入量与主反馈量之差。
注意：误差与偏差不是相同的概念。
什么时候误差与偏差相等？机械学院控制工程基础基于Matlab的控制系统设计例:以二阶线性传递函数为被控对象,进行PID控制。
ss s G 25133)(2+=Simulink 方式：机械学院控制工程基础6典型环节传递函数从数学模型的角度对组成系统的元件进行分类。
环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分。
机械学院控制工程基础7典型环节传递函数传递函数的零极点表示∏∏==*--=----=ni imi j n n m m s s z s K s s s s a z s z s b s G 1111)()()()()()()( z 是0)(=s G 的根，称之为)(s G 的零点。
机械工程控制基础 第2章
机械工程控制基础
• 第一章 自动控制的一般概念 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析法 • 第四章 频域分析法 • 第五章 控制系统的稳定性
• 第六章 控制系统的校正
第2章 控制系统的数学模型
• 系统的微分方程 • 传递函数 • 系统的传递函数方框图及其简化 • 反馈控制系统的传递函数 • 相似原理
d 2 d TaTm Tm C d ua 2 dt dt
即转速变化只与电枢电压有关。习惯上通常写成
d 2 d TaTm Tm C d ua 2 dt dt
若电动机工作过程中ua=常量，则增量化方程化转速 变化只与负载力矩有关，即
d 2 d dM L TaTm Tm C m(Ta ML) 2 dt dt dt
传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；
设某一平衡点为（ua0,ML0,ω 0），即有
ua ua0 ua
M L M L0 M L
0
代入微分方程，则有：
d 2 0 d 0 TaTm Tm 0 2 dt dt d M L 0 M L 0 Cd ua 0 ua CmTa Cm M L 0 M L 0 dt
建立系统数学模型的方法
分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来 推导出数学表达式，从而建立数学模型。
• 第一章 自动控制的一般概念 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析法 • 第四章 频域分析法 • 第五章 控制系统的稳定性
• 第六章 控制系统的校正
第2章 控制系统的数学模型
• 系统的微分方程 • 传递函数 • 系统的传递函数方框图及其简化 • 反馈控制系统的传递函数 • 相似原理
d 2 d TaTm Tm C d ua 2 dt dt
即转速变化只与电枢电压有关。习惯上通常写成
d 2 d TaTm Tm C d ua 2 dt dt
若电动机工作过程中ua=常量，则增量化方程化转速 变化只与负载力矩有关，即
d 2 d dM L TaTm Tm C m(Ta ML) 2 dt dt dt
传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；
设某一平衡点为（ua0,ML0,ω 0），即有
ua ua0 ua
M L M L0 M L
0
代入微分方程，则有：
d 2 0 d 0 TaTm Tm 0 2 dt dt d M L 0 M L 0 Cd ua 0 ua CmTa Cm M L 0 M L 0 dt
建立系统数学模型的方法
分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来 推导出数学表达式，从而建立数学模型。
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R-C串联电路与直流电压接 通，电容上电压建立过程
C(t)
1.0 0.95
0.632 0.5
0
T
3T
t
• 振荡环节
T2d2xo dt2
2dxo
dt
xo
Kxi
G(s)X Xo i((ss))T2s2K 2Ts1
标准形式
G(s)X Xo i((ss))s22 n2nsn2
当特征方程的根为实根时，二阶 系统认为是由两个惯性环节串联而成
有几种变 换方法？
例题 1
例题 2
前移会怎 样？
4. 系统方块图的绘制
基本步骤 （1） 列出各个环节的微分方程 （2） 求出各个环节的传递函数 （3） 将各个环节方块图连起来
直流电机位置控制系统
指令与比较环节
磁场控制直流电机
磁场回路
va
iR
L
di dt
拉氏变换
Va IRLsI
I 1 Va R sL
第 3 节 传递函数与方块图
1.传递函数 2.典型环节传递函数 3.方块图及其化简 4.系统方块图绘制
1. 传递函数
定义： 在全部初始条件为零的假设下，系
统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变 换之比
G(s) Y (s) X (s)
若系统由下列微分方程描述
(n ) (n 1 )
(m ) (m 1 )
G(s) Xo(s) K Xi(s) s
dx r dt
G(s) X(s) r
(s) s
e
1 C
idt
G (s) E (s) 1/C I(s) s
• 微分环节
xo
TD
dxi dt
G(s)
Xo(s) Xi (s)
TDs
测速发电机
x K d
dt G(s) X(s) Ks
(s)
u(t) K d
电机磁通
K fi
常数
电机转矩
mK1iaK1Kfiai
电机a
1
i
R Ls
i
K τm m
Va
Km
τm
R Ls
m J mm c mm 1
2Jl l clllm/ N
2 N1
阻 惯转 尼 性矩
m(JmN J12)m(cmN c12)m
a 0y a 1y a n y b 0x b 1x b m x
则其传递函数为
G (s)Y X((ss))b0 a s0m sn b1 a s1m s n1 1 ab nm
• 系统的传递函数是一种数学模型 • 传递函数适用于线性定常系统 • 传递函数是系统本身的一种属性 • 若传递函数已知，就可以针对不同输入，
m
K t vt
负载和位置
m 1 l 1 l
N
s
电机位置控制系统方块图
本节重点
○ 各典型环节的传递函数 ◎ 方块图的变换与化简
作业
2-2 、2-6、2-9 （前4题）
dt
• 一阶惯性环节
T
dxo dt
xo
Kxi
,
G(s) Xo(s) K Xi(s) Ts1
特点：输出不能立即跟随输入的变化
F
F B dx Kx dt
G (s) X (s) = 1 F (s) B s+K
= 1 /K B s1 K
ur (t)
Ri(t)
1 C
i(t)dt
G(s) Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
研究系统的响应或输出
Y(s)G(s)X(s)
系统传递函数一般形式
G (s)Y (s)K(s z1)(s z2)(s zm ) X (s) (sp 1 )(sp 2)(sp n)
注意：零点和极点的概念及特征方程
比例环节
一阶微分
二阶微分
G (s)K s
(is 1 ) (d 2 is2 2d i d is 1 ) (T is 1 ) (T n 2 is2 2T n is 1 )
惯性m 负 载Jmc阻尼m 负载
J s Js 1cc
• 转矩和转速之间关系
m
1
m
Js c
电机传递函数
va
Km
m
动 态 忽
(R Ls)(Js c)
,
略 稳
态
If L J
值 不 能
R c 电路v时a 间常数小K 于m 机械时间m 常数
改 变
R (Js c)
系统性能由主导极点来代替
• 测速器
C(s) G(s) R(s) 1G(s)H(s)
注意符号
方块图的变换法则
• 各前向通路中传递函数的乘积保持不变 • 各回路中传递函数乘积保持不变
？
补充规则
引出点和比较点交换
一般不采用
方块图变换经验法则
1. 引出点和引出点之间可以交换位置 2. 相加点和相加点之间可以交换位置 3. 引出点和相加点之间一般不要互换位置
RCdu0 dt
u0ui
G(s)U Uci((ss))LCs21RCs1
G(s)U X((ss))ms21BsK
• 一阶微分
G(s)
Xo(s) Xi(s)
TDs1
• 二阶微分
G(s)Xo(s)2s22s1
Xi(s)
3 方框图模型
方框图是系统中每个元件的功能和 信号流向的图解表示。
输入
传递函数 G(s)
振荡环节一般包含有两 种形式的储能元件，并且能 量能够互相转换，因此输出 带有振荡的形式
R
ui(t)
L
i(t) C
uc(t)
uR(t)Ri(t)
uL
(t
)
L
di(t dt
)
1
uC(t) C i(t)dt
ui(t)Ri(t)Ldd i(tt)C 1i(t)dt
u0
(t)
1 C
i(t)dt
LCdd2tu20
输出
比较点
R
C
-
E
+
E=R-C
引出点 C
C
C
串联运算规则 Xi G1(s)
Xo G2(s)
Xi
G1(s)G2(s) Xo
并联运算规则
G1(s) Xi
G2(s)
G3(s)
Xo +++
Xi
Xo
G1(s)+G2(s)+G3(s)
反馈运算规则
C(s)G(s)E(s)
E ( s ) R ( s ) B ( s ) R ( s ) H ( s ) C ( s )
积分环节
惯性环节
振荡环节
2. 典型环节的传递函数
• 比例环节
x0(t)Kxi(t)
G(s) X0(s) K Xi (s)
特征：输入输出成比例，不失真，无延迟
Q vA
G(s) V 1 QA
L nm
G(s)L(s) N1 m(s) N2
• 积分环节
dxo dt
Kxi,
t
xoK0xidt