第七章 位移法龙驭球结构力学
结构力学-第7章 位移法
第7章位移法一。
教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程;熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二。
主要章节§7—1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数-位移法的前期工作§7—3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7—6 对称结构的计算＊§7—7支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容)§7-8小结§7—9思考与讨论三. 学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程,它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四。
参考资料《结构力学(Ⅰ）—基本教程第3版》P224～P257第六章我们学习了力法,力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量,将超静定结构转变为将定结构,按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们,在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法,例如力矩分配法和迭代法等.因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理,还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架,取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程.位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）② 基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比,加深理解）§7-1 位移法的基本概念1。
结构力学(龙球奴)考试重点
形状是可以改变的。
一般结构必须是几何不变体系
2. 自由度 自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数
平面内一点有两种独立运动方式， 即一点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内有三种独立运动方式， 即一个刚片在平面内有三个自由度。
瞬变体系（三链杆交于同一点）
规律4（如图(b) ） 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，
则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
单链杆：连接两点的链杆 相当于一个约束
复链杆：连接n个点的链杆 相当于2n-3个单链杆
自由度算法1（体系由刚片加约束组成）
m—体系中刚片的个数
g—单刚结个数
h—单铰结个数 b—单链杆根数
体系计算自由度：W=3m-（3g+2h+b）
自由度算法2（体系由结点加链杆组成）
j—体系中结点的个数 b—单链杆根数 体系计算自由度： W=2j-b
关于计算自由度数W
W的数值 W＞0 W=0
W＜0
几何构造特性 对象的自由度数大于约束数 体系为几何可变，不能用作结构 对象的自由度数等于约束数 如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构 如体系为几何可变，则有多余约束
第1章 绪论
结构的概念和结构力学的研究内容 结构计算简图的简化要点 杆件结构的分类 荷载的分类
第2章 结构的几何构造分析
几何构造分析的概念 平面几何不变体系的组成规律 平面杆件体系的计算自由度
几何构造分析的几个概念
1. 几何不变体系和几何可变体系 几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置
（2）当结点无荷载作用时， 结点单杆的内力必为零
第7章 位移法(龙驭球7.3-7.4)
§7–3 无侧移刚架的计算如果刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移，这种刚架叫做无侧移刚架。
连续梁的计算也属于无侧移问题。
小结：位移法的基本作法是先拆散，后组装。
组装的原则有二：首先，在结点处各个杆件的变形要协调一致；其次，装配好的结点要满足平衡条件。
例7-1 作图示刚架弯矩图。
§7–4 有侧移刚架的计算刚架分为无侧移和有侧移两类。
有侧移刚架除有结点转角外，还有结点线位移。
计算有侧移刚架的基本思路与无侧移相同，具体做法上增加了一些新内容：（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的方程。
1 基本未知量的选取结点角位移：刚结点、刚绞结点的刚结点部分。
结点线位移：位移法中忽略轴力对变形的影响。
如何确定独立线位移？观察法只有一个线位移，只有一个线位移，有两个线位移，全部未知量有两个全部未知量有一个全部未知量有三个铰结体系法原结构的独立结点线位移的数目=铰结体系的自由度数=为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数。
小结：1、用位移法计算有侧移刚架时，基本未知量包括结点转角和独立结点线位移。
2、结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的数目等于铰结体系的自由度的数目。
3、在选取基本未知量时，由于既保证了刚结点处各杆杆端转角彼此相等，又保证了各杆杆端距离保持不变，满足变形连续条件。
小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。
基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。
平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部基本未知量。
例7-2 作图示刚架弯矩图。
忽略横梁的轴向变形。
例7-3 作图示刚架内力图。
2．由荷载求固端弯矩2．由荷载求固端弯矩2．由荷载求固端弯矩载常数：荷载作用下的固端弯矩和固端剪力。
三种基本杆件（1）两端固定的梁；（2）一端固定、另一端简支的梁； （3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
力法PK位移法
FR1 B
F=ql
Δ2 C
r12
r21
B
φ1
6i l
C
r22
A
l 2 l 2
D
q
i
i
3(2i)=6i
q
l
A
D
A
2i M1
D
6i l
A M2
3i l
D
FR1F
1 2 12 ql
3 3 2 16 Fl= 16 ql
0.45ql
C
B
1 8
0.45ql
ql 2 D MF
1 2 12 ql
A
D r111A r12 2 +F R1F 0 0.85ql 0.30 ql 0.15ql r22 2 +FR2F 0 r211 M
作单位位移和外因作用下基本结 构的内力图，由基本结构的结点、 杆件隔离体的平衡条件求刚度系 数和自由项。 解方程求独立的结点位移 叠加法作内力图 用平衡条件进行校核
结构力学
第7章 位移法
§7-5 力法与位移法比较
一、力法、位移法求解超静定结构回顾
1、力法求解超静定结构回顾 2、位移求解超静定结构回顾 二、策略思想PK 力法：根据已掌握的静定结构的内力和位移计算知识，减约束 将超静定结构转化为静定结构来求解，根据位移协调条件，先 求出多余未知力，进而计算结构内力。 位移法：根据已掌握的单跨超静定梁转角位移方程知识，加约 束将超静定结构转化为单跨超静定梁组合体，根据平衡条件， 求出未知结点位移，进A
φ1
C
l
A
l 2 l 2
原超定结构
B M BC
单跨超静定梁 组合体 基本体系 （基本结构）
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第七章【圣才出品】
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（b）如图 7-2-3 所示。
图 7-2-2
图 7-2-3 ①当α≠0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，C、E 点有两个 水平位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、ΔG、ΔC、ΔE。 ②当α＝0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，CDE 有水平位 移，D 点有竖向位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、Δ G、ΔC、ΔVD。 （c）如图 7-2-4 所示。 ①当不考虑轴向变形时，结点 A、B、C 有转角，整体有一个水平位移，所以基本未知 量有 4 个，分别是θA、θB、θC、Δ。
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②当考虑轴向变形时，A、B、C 三个结点都有独立的转角、竖向位移、水平位移，所 以基本未知量有 9 个，分别是θA、θB、θC、ΔA、ΔB、ΔC、ΔVA、ΔVB、ΔVC。
图 7-2-4 （d）如图 7-2-5 所示。 ①当α≠0 时，结点 B、C 有转角，D 结点有独立的竖向位移，所以基本未知量有θA、θ B、ΔV。 ②当α＝0 时，结点 B、C 有转角，虽然 D 结点有位移，但不是独立的，所以基本未知 量有θA、θB。
图 7-1-8 反对称荷载作用下奇数跨对称结构的半结构选取方法 图 7-1-9 对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法
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图 7-1-10 反对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法 7.2 课后习题详解
结构力学教学课件第7章
(c) M P 图
B
C
D
A
(d) M 图
例7-5-4
求:
A,B两端点的相对竖向位移AB
q=5kN/m
B
(a)
C
D 2m 2m
10kNm
12kNm B C
2kNm
D
(b) M P 图
B C
D
(c) M 图
§7.6 温度改变时静定结构的
位移计算
A B B`
静定结构受到温度改变的影响时，发 生满足约束允许的变形和位移，为零 内力状态。
虚力方程——求位移。
虚位移方程及应用 虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系 可能的任意微小的刚体虚位移上， 所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力 （内力、约束力、支座反力）。
如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构）， B端上有一集中荷载FP，求A端需用 多大的力FA，该杠杆体系能平衡。
1 F Ri ci ( 10) 2.5rad 4 1
2
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类 非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变 成正比例，即服从虎克定律。 几何线性——结构的变形（或位 移）是微小的，在进行结构的内 力和位移分析计算中，可按其原 有的几何尺寸考虑。
FA c FP a
B c A a
(↓)
例7-2-1试用单位位移法（虚位移
法）求图(a)所示简支梁的支座B的约 束反力。
(a)
a L
C
B
b
(b)
C` C
P
B` B ( B =1) B
分析：
第7章位移法（龙驭球7.5）
第7章位移法（龙驭球7.5）§7–5 位移法的基本体统一用?表示位移法的基本未知量；位移法基本体系：在原结构上增加与基本未知量相应的人为约束，从而使基本未知量由被动的位移变成受人工控制的主动的位移。
位移法基本结构：在原结构上增加与基本未知量相应的可控而得到的结构。
如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等于零。
?==0021F F （1）Δ1=1单独作用时，附加约束的反力k 11、k 21。
（2）Δ2=1单独作用时，附加约束的反力k 12、k 22。
（3）荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。
将三种情况下的附加约束反力叠加，得位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和结点位移作用下，总附加约束反力等于零将求得的系数和自由项代入方程，求解得将三种情况下的弯矩图叠加对于n个基本未知量问题，位移法方程为k ii——主系数，恒大于零；k ij=k ji——副系数，可正、可负、可为零；作用在对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载；在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和轴力图是对称的，而剪力图是反对称的；在反对称荷载作用下，变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，而剪力图是对称的。
利用这些规则，计算对称结构时，可只取半边结构。
1 奇数跨对称结构(1)对称荷载在对称轴截面上，没有转角和水平位移，可有竖向位移。
(2)反对称荷载在对称轴截面上，没有竖向位移，可有转角和水平位移。
2 偶数跨对称结构(1) 对称荷载在对称轴截面上，没有转角和水平位移，由于不计轴向变形，也没有竖向位移。
(2)反对称荷载柱CD只有弯曲变形，可按抗弯刚度分成两个柱子。
C处的支杆对弯矩不起作用。
例7-4 作图示结构內力图。
吊杆的EA等于横梁EI的1/20m2。
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第7章位移法7.1 复习笔记本章重点介绍了位移法的原理以及如何运用位移对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。
位移法和力法像一幅对联，是超静定结构分析中的两个基本方法。
力法通过撤除多余约束达到简化计算的目的，而位移法通过添加约束达到此目的。
此外，二者对偶关系总结如下：力法：虚设单位力——求结构柔度——利用变形协调——求解未知约束力——算出结构内力。
位移法：虚设单位位移——求结构刚度——利用受力平衡——求解未知位移——算出结构内力。
两种方法殊途同归，在结构计算中应该综合考虑结构特点和求解目标选取合理的手法，使结构计算更加方便、快捷、准确。
一、位移法的基本概念（见表7-1-1）表7-1-1 位移法的基本概念二、杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作采用位移法对刚架的等截面杆件进行分析时，杆件端部弯矩受两方面影响：①杆端位移产生的杆端弯矩——形常数；②外荷载产生的固端弯矩——载常数。
1．由杆端位移求杆端内力——形常数（见表7-1-2）表7-1-2 由杆端位移求杆端内力——形常数图7-1-12．由荷载求固端内力——载常数荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，称为固端弯矩和固端剪力。
由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称载常数，不同支座形式下杆件的固端弯矩和剪力值见表7-1-3。
表7-1-3 等截面杆件的固端弯矩和剪力三、位移法解无侧移刚架（见表7-1-4）表7-1-4 位移法解无侧移刚架四、位移法解有侧移刚架（表7-1-5）表7-1-5 位移法解有侧移刚架图7-1-2五、位移法的基本体系（见表7-1-6）表7-1-6 位移法的基本体系图7-1-3图7-1-4图7-1-5图7-1-6六、位移法解对称结构（见表7-1-7）表7-1-7 位移法解对称结构。
结构力学(I)-位移法
FP FP
h
Z2 Z1
6 EI l2
6 EI l2
k 21
12 EI l3 12 EI l3 12 EI l3 12 EI l3 12 EI l3 12 EI l3
6 EI l2 6 EI l2 6 EI l2
Z1 1
6 EI l2
k11
M1
原始结构
基本体系 基本方程
k11 Z1 k12 Z 2 R1P 0 k21 Z1 k22 Z 2 R2P 0
h
j 1
2 j
M Z1 M1
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7
讨论：
2. 如果水平荷载不作用在柱顶，如何计算 ？
EA EA EA
h
说明：
排架的这种计算方法称剪力分配法。k 称剪 力分配系数。柱顶剪力是按各柱的侧移刚度 来分配的。
FP
i
k11
j 1 4
FP FP
Δ
ui
Δ
FNi
由位移协调
Hale Waihona Puke 1、取某一杆分析（拆 修改 修改） ）
FN i EAi ui li
ui sin i
F
sin i FP
杆件刚度方程
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FN i
EAi ui li
EAi li EAi li
sin i sin 2 i
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力法指 导 思想：切断多余约束，以多余力为 基本未知量，以此静定结构作为基本结构，将 位移表示成多余力的函数，利用位移协调确定 多余力，由此求整体结构的内力和位移。 位移法指导思想：以结点位移作为基本未知量， 取单杆系为基本结构，将杆端力表示成结点位 移的函数，由结点位移协调和平衡确定未知位 移，由此求整体结构的内力和位移。 无论哪种方法都采用“先修改后复原”的方式
结构力学第7章课后答案(第四版龙驭球)
结构力学第7章课后答案（第四版龙驭球）练习题解答第1题题目：一个细长的圆柱形杆AB，长度为L=2L，直径为L=0.01L。
材料的弹性模量为L=200LLL。
杆的一端A固定，另一端B受集中力L=1000L作用在上面。
计算该杆在受力处的应变和应力。
解答：根据杨氏定律，杆的应力$\\sigma$和应变$\\varepsilon$之间的关系为：$$\\sigma = \\varepsilon \\cdot E$$应力可以通过受力和截面面积计算，公式为：$$\\sigma = \\frac{P}{A}$$应变可以通过杆的伸长量计算，公式为：$$\\varepsilon = \\frac{\\Delta L}{L}$$杆的伸长量$\\Delta L$可以通过杆的应变和长度计算，公式为：$$\\Delta L = \\varepsilon \\cdot L$$因为杆是圆柱形状，所以截面积L和直径L之间的关系为：$$A = \\frac{\\pi \\cdot d^2}{4}$$代入上述公式，可以得到应变和应力的计算公式：$$\\varepsilon = \\frac{\\Delta L}{L} = \\frac{P \\cdot L}{A \\cdot E}$$$$\\sigma = \\varepsilon \\cdot E = \\frac{P \\cdotL}{A}$$带入已知数据进行计算，可得：$$A = \\frac{\\pi \\cdot (0.01)^2}{4} \\approx 7.85\\times 10^{-5}m^2$$$$\\varepsilon = \\frac{1000 \\cdot 2}{7.85 \\times 10^{-5} \\cdot 200 \\times 10^9} \\approx 0.039$$$$\\sigma = \\varepsilon \\cdot E = 0.039 \\cdot 200\\times 10^9 \\approx 7.8 \\times 10^9 Pa$$所以该杆在受力处的应变约为0.039，应力约为7.8GPa。
结构力学(龙驭球)第7章_位移法
(1)
B FQBA
C FQCD
Fx 0 FQBA FQCD 0
(2a)
q=3kN/m
如何求杆端剪力?
求剪力的通用公式：
MMABBA
q
FQBA
6iB 3.75i 24 0
3 42 12
4iB
1.5i 4
M BC 3(2i)B 6iB
3i M DC 4 0.75i
M AB 2iB 1.5i 4
⑶ 位移法方程：
M BA 4iB 1.5i 4
M DC 0.75i
B MBC M B 0
M BA M BC 0
(1a)
MBA
10iB 1.5i 4 0
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
FQAB
M AB
l
M BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚 度系数是只与杆件尺寸和材料性质有 关的常数，又称为形常数。
弯曲杆件刚度矩阵
① 用观察的方法判定：
2
C
C
D
D
1
A
B
② 用几何构造分析的方法确定：
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的 几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联 系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移 数。
2、基本方程的建立
用位移法分析图示刚架：
结构力学第7章课后答案全解
由图可知，得到各系数：
求解得：
（2）求解最终弯矩图
7-11试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
(a)
解：（1）利用对称性得：
（2）由图可知：
可得：
（3）求最终弯矩图
(b)
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
解得：
（3）求最终弯矩图如下
(c)
解：（1）在D下面加一支座，向上作用1个单位位移，由于BD杆会在压力作用下缩短，所以先分析上半部分，如下图。
(a)
解：（1）确定基本未知量和基本结构
有一个角位移未知量，基本结构见图。
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(b)
解：（1）确定基本未知量
1个角位移未知量，各弯矩图如下
（2）位移法典型方程
（3）确定系数并解方程
（4）画M图
(c)
解：（1）确定基本未知量
一个线位移未知量，各种M图如下
7-12试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M图。
(a)
代入，解得
（4）求最终弯矩图
7-7试分析以下结构内力的特点，并说明原因。若考虑杆件的轴向变形，结构内力有何变化？
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
7-8试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M图。
(a)
解：（1）画出 图
由图可得：
由图可知：
（2）列方程及解方程组
解得：
（3）最终弯矩图
(b)
7-2试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第7章【圣才出品】
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在对称轴上的截面 C 没有转角和水平位移，但可有竖向位移。计算中所取半边结构如 图 7-1-6（b）所示，C 端取为滑动支承端。
（2）反对称荷载（图 7-1-6（c）） 在对称轴上的截面 C 没有竖向位移，但可有水平位移和转角。计算中所取的半边结构 如图 7-1-6（d）所示，C 端为辊轴支座。 2．偶数跨对称结构 （1）对称荷载（图 7-1-7（a））
下面举例说明位移法的基本方程的建立过程。
图 7-1-1（a）所示刚架，柱的线刚度为 i ，梁的线刚度为 2i 。基本未知量为刚结点 B
的转角B 和柱顶的水平位移 ，如图 7-1-1（b）所示。
（1）各杆的杆端弯矩如下
（2）力矩平衡方程 （3）水平投影方程
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二、杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作 1．由杆端位移求杆端内力——形常数
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（1）位移法中的正负号规则 结点转角 θA、θB，弦转角 φ ，杆端弯矩 MAB、MBA，一律以顺时针转向为正。 （2）刚度系数与刚度方程
（3）单位位移 2 1单独作用，在附加约束中产生的力（图 7-1-5）。
图 7、题库视频学习平台
同理，AB，CD 两柱顶有一个侧向位移，所以 4．位移法典型方程
六、位移法解对称结构 1．奇数跨对称结构 （1）对称荷载（图 7-1-6（a））
表 7-1-1 等截面杆件的固端弯矩和剪力
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2-8 试分析图2-2-17所示体系的几何构造。
图2-2-17
解：（1）如图2-2-18（a）所示，视链杆AB和CD分别为刚片1和2，基 础为刚片3，则三刚片通过不共线的瞬铰B、D和无穷远处的瞬铰相连， 故体系为几何不变体系，且无多余约束。 （2）如图2-2-18（b）所示，视链杆AB和CD为刚片1和2，基础为刚片 3，则三刚片通过相交于一点的瞬铰O和无穷远处的瞬铰相连，故体系 为有一个多余约束的瞬变体系。
目 录
第1章 绪 论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 名校考研真题详解
第2章 结构的几何构造分析 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 名校考研真题详解
第3章 静定结构的受力分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 名校考研真题详解
第4章 影响线 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
图2-2-1
解：（1）如图2-2-2所示，ABC和DEF为两个二元体，可以撤除，剩下 的杆CD通过不共点的三链杆与基础相连，形成几何不变体，二元体不 影响原结构的几何不变性，故体系为几何不变体系，且无多余约束。
图2-2-2
（2）如图2-2-3所示，刚片AB通过不共点三链杆1、2、3与基础相连，形 成几何不变体。将刚片AB和基础视为新的基础，刚片CD通过链杆BC、 DE及链杆4与基础相连，但是这三链杆交于同一点，即链杆4与刚片CD 的交点，故体系为有一个多余约束的瞬变体系。 注：瞬变体系必定有多余约束。
图2-2-10（e）
2-5 试分析图2-2-11所示体系的几何构造。
图2-2-11
解：（1）如图2-2-12（a）所示，去掉中间的铰C，则两边体系均为几 何不变体系，铰C为多余的两个约束，故整个体系为几何不变体系，有 两个多余约束。
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方程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
7.1 基本概念
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本 体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：基本未知量——多余未知力； 基本体系—— 静定结构； 基本方程——位移条件（变形协调条件）。
A
6i l
B
12i l2
1). 两端固定梁
i EI l
A A
EI
B
l B
MAB
A
EI
MBA
B
A
l B
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
M AB
M BA
6i l
2). 一端固定、一端滚轴支座的梁
M AB
A
EI
A
l
i EI l
A
q 5ql2/48 C
B
ql2/48
ql 2 ↓↓↓↓↓q↓↓↓
12
A
C
2
EI l
A
A
4
E l
I
A
θA
4
E l
I
θA
A
M
A
M
0AC
4 M
AEBlIMA ACq1l22
0
B
4
EI l
AMCq1Al22
2
E4lIElI
AA
ql 2 120
M AB
4
EI l
A
A
ql3 96 EI
M AB
2
EI l
A
M AC
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
2.由荷载求固端内力（载常数教材表7-1） 荷载引起的杆端内力称为载常数.
M AB
4i A
2iB
6i
l
M
F AB
M BA
2i A
4iB
6i
l
M
F BA
FQAB
6i l
A
6i l
B
12i l2
FF QAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
M BA
2i A
4iB
6i
l
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
6i l
6i l
A
B
12i l2
弯曲杆件的刚度方程 刚度系数又称形常数
A A
EI
B
l B
MAB
A
EI
MBA
B
A
l B
M AB
4i A
2iB
6i
l
M BA
2i A
4iB
6i
l
FQAB
FQBA
6i l
位移法分析中应解决的问题是： ①用力法确定单跨超静定梁在杆端发生各种位
移时以及荷载等因素作用下的内力。 ②确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。
③如何求出这些位移。
7.2 杆件单元的形常数和载常数
1.由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定：
杆端转角，弦转角 ＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正， 剪力使分离体有顺时针 转动趋势时为正，否则为负。
6 7i
15
16 .72 k N
m
M
BA
4i
6 7i
15
11.57kN
m
M BC
3i
6 7i
9
11.57kN m
3.21
M图 kN m
15.85
例1、试用位移法分析图示刚架。 （1）基本未知量 B、 C
q=20kN/m
（2）杆端弯矩Mi j
12i l2
FF QBA
位移法基本未知量个数的确定
一、角位移个数的确定
二、线位移个数的确定
结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基 本未知量的个数，使计算得到简化，常作以下假设：
(1)忽略由轴力引起的轴向变形； (2)结点位移都很小； (3)直杆变形后，曲线两端的连线长度等于原直线长度。
第七章 位移法
• 熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移 法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系 数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
• 熟记一些常用的形常数和载常数。 • 熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。 • 掌握利用对称性简化计算。 • 重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几 何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的 几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
1
4
0
角位移数 5
线位移数 2
角位移数 2
线位移数 1
§7.3 无侧移刚架的计算
(2)物理条件: 即刚度方程；
(3)平衡条件:MB即A 位移M法B基C 本方程。
M BA 4iB 15 M BC 3i B 9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
M BA M BC 0
4iB 15 3iB 9 0
B
6 7i
16.72
11.57
M
AB
2i
位移法的特点： 基本未知量——独立结点位移； 基本体系——一组单跨超静定梁； 基本方程——平衡条件。
力法思路：转换 超静定结构 静定结构 超静定结构
位移法思路：先化整为零，再集零为整
结构
杆件
结构
两种方法：平衡方程法和典型方程法
基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
θA
EI=常数
B l
l
ql2/24 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MBA
B EI
3、列杆端转角位移方程
M BC
3i B
3i l
mBC
设i
EI 6
4、位移法基本方程（平衡条件）
M AB 2iB 15 M BA 4iB 15 M BC 3i B 9
M超AB静EI定结P构必B 须M满B足C 的三q个条件:
3、列杆端转角位移方程
(1)变形连续条件M:B在A 确定B基本E未I 知量时得到满足M；AB 2iB 15
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为
无侧移刚架。 FP=20kN
q=2kN/m
1、基本未知量B
2、固端弯矩
A
EI B B EI
C
M
F BA
FPl 8
20 6 8
15kN m
3m 3m
6m
MAB
EI
FP B
MBC
q
M
F AB
15 k N
m
M
F BC
ห้องสมุดไป่ตู้
ql2 8
9kN m
B
M AB 3iA
A
i
B
A
A
iB
M AB
3i l
M AB
3i A
3i l
3). 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
4). 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
单位荷载法可得出：
A
1 3i
M
AB
1 6i
M BA
l
B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
l
i=EI/l----线刚度
解联立方程可得：
M AB
4i A
2iB
6i
l
M BA
2i A
4iB
6i
l
M
AB
4i
2i
M
BA
2i
4i
FQAB
6i
l
6i l
M AB
4i A
2iB
6i
l