一元二次方程应用题微课

合集下载

9第二单元第9课时一元二次方程及其应用公开课

第9课时一元二次方程及其应用知识梳理素养形成,定义：只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程Mw A tM A W一般形式:aj∙2+〃/+c=0(αz ≠0,α•〃,c 为常数)【易错提醒】对于二次项系数含有字母的方程,根据根的情况求字母取值范围时，一定要先确定该方程是一元二次方程还是一元一次方程，然后进行判断.根与系数的关系(*选学)：若一元二次方程α/+^■+c=0(α≠0)有两个实数根中,/2，则b c +J*2=-------------- »Xj *Xi —-a a设α为原来一•变化后的♦为H1地H 点(下窿蓟"川味,当连续两次增长，平均每次增K 率为1时，有"U+])?=优I∙H 、率下降率题当连续两次下降.平均每次下降率为工时,有一上仁 k 温•提示】增长率问题所列方程在求解时一般使用直接开平方法.际2.利涧等量关系：利润率=艘XK)0%应] ((D 如图①,设空白部分的宽为工,则Sm^=(α-2x)(6-2x)芳I 考法聚焦素养提升旺・浙江中考命题点元次方程及其应用元次方程的解法解法适用情况注意事项直接开平方法 (1)当方程续少一次项时•即a√+c=(Xα≠0皿V0)； (2)形如α(ι+")2=M!>o)的方程开方后取值符号一般是“土”公式法适用于所有一元二次方程,求根公式为/=土约蚂"4Qn 1a(1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式,方程的右边一定要化为0? (2)将α,仇C 代入公式时应注意其符号； (3)若加-4αcV0,则原方程无实数解因式分解法 (D 方程缺少常数项.即α/+6a∙=0(α≠0)； (2)将方程右边化为0后.方程的左边可以提出含有∙τ的公因式，形如x(αj∙÷Λ)=0或(αz÷6)(cx+J)=0 方程两边含有I 的相同的因式时•不能约去.以免丢根•如对于一元二次方程(工一2)(∙r+2)=∙r—2,不能两边同时约去1—2,否则会造成漏解配方法将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时•考虑使用配方法：方程两边同时加上一次项系数一半的平方(1)在配方过程中，一定要在等号两边同时加上一个相同的数；(2)将方程的二次项系数化为1后•一次项的正负决定配方后括号里面是加还是减根的判别式 (I)A 2-4αc>(×n 一元二次方程行两个不相等的实数根 (2)为一we=。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式习题课课件(人教版)

当a＝3时，不等式解集为{x|x≠3}．当a＞3时，不等式解集为{x|x＜3或x＞a}．
思考：当a∈R时，变式1的解集又如何求解？
典例分析
变式1：求不等式（ax－2）（x－3）＞0（a＞0）的解集．
解：当
a
2 3
，即
2 a
3 时，不等式解集为
x
|
x
3或x
2
a
．
当a 2 ，即 2 3 时，不等式解集为x | x 3 ．
4
目标检测
4 已知关于x的不等式 a2 4x2 a 2x 1≥ 0的解集为空集，则实数
a的取值范围是_________．
解析：②当a2－4≠0，即a≠±2．因为关于x的不等式(a2－4)x2＋(a－2)x－1≥0解集为空集，
所以
a2
4 0
0，
解得
5 6
＜a＜2．
综上可得：a的取值范围是
3a
当a
2 3
，即
2 a
3
时，不等式解集为 x
|
x
2 a
或x
3
．
典例分析
思考：当a∈R时，变式1的解集又如何求解？
解：当a＝0时，不等式可化为x－3＜0，解得x＜3．
当a≠0时，方程（ax－2）（x－3）＝0的根为 2 ，3． a
若a＜0，则 2 3 ，不等式解为 2 x 3．
a
a
若a＞0，则
之后与例2相同，略．
②对于x2－ax＋1＜0，Δ＝a2－4，所以当－2≤a≤2，
即Δ≤0时，不等式的解集为φ．
当a＞2或a＜－2，即Δ＞0时，
不等式的解集为{x | a
a2 4 x a
a2 4 }

一元二次方程的根与系数的关系教学微课设计

三、教学过程：
环节
自探自研
设计意图
展示归纳
主题展示
归纳总结
内容
1、观察下列方程及其括号内的两根：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、观察下列方程及其两根：
（1）
（2）
（3）
（4）
此猜想：若方程的两根为、，则、与系数有怎样的运算关系？
学生观察讨论：所给方程二次项系数均为1，方程的根均为整数，其中（1），（2），（3）的根均为正整数，同时，此处没有明确告诉，与系数的关系，目的通过让学生去观察，发现，有利于培养学生的观察、归纳、猜想的能力。
本活动中所给方程二次项系数不再为1，根也不再是整数，但仍为有理数，且（1）、（2）、（3）中的方程的根均为正有理数。有了活动一的铺垫，学生独立解决并不显得十分困难，以此把问题从特殊引向一般。从特殊到一般的思想也符合对事物认识的一般规律。
1.已知关于的方程的一个根为4，求它的另一根及它的另一个根及的值。
反思
学生对本节课结论的掌握与理解并不困难，但在具体运用时，因常涉及到代数式的恒等变形，因而对基础薄弱的学生有时会感到困难，尤其容易忽视这一前提条件。但限于本节课的教学要求，在教学过程中要注意回避并控制难度，避免加重学生负担。
通过活动一、二进行观察，归纳，猜想初步得出根与系数的关系结论：
一元二次方程的两根分别为、，则， .
知识
构建
有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者，引导者与合作者。同时，教师应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。本节课的教学将采用以引导为主的方法——归纳发现法。即在教师的引导下，让学生通过观察、归纳、猜想得出结论，并进一步给予证明。同时本节课将遵循从特殊到一般的认知规律，即先得到的根与系数关系，再通过修正，进一步得到的根与系数关系。

初中数学微课课件：一元二次方程解法

2x 3 7,
或2 x 3 - 7
7 3
x1
,
2
7 3
x2
2
你还能用
因式分解
法解吗？
典例精讲
例2：用配方法解下列一元二次方程
2
（1） x +6x=1
配方时,配上
的是一次项
系数一半的
平方.
x2 6x 1 0
移项
x 9 2
10
配方
x 9 10
步骤：
(1)移项:把常数项移到方程的右边;
(2)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(3)开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
(4)求解:解一元一次方程;
(5)定解:写出原方程的解.
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、用因式分解法解一元二次方程。
2、用开平方法解一元二次方程。
3、用配方法解一元二次方程。
解两个一元一次方程。
课前回顾
因式分解的主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2

开平方法: =

(

≥ )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例精讲
例1：解下列方程:
(1)3x2－48=0;
解：
移项，得
3x 48
2
x 2 16
x 4
(2)(2x－3)2=7
开方
x 9 10
求解
x1 9 10，x2 9 - 10
定解
2、用配方法填空
(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋ 4 )2

《一元二次方程的应用》PPT(第2课时)

解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775．得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6；答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．

一元二次方程的应用(习题课)

（3）如果修建3公顷大棚收益如何？
解：当修建３公顷大棚时： 75000×3－（27000×3+9000×32） =
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。
（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚？
y=9000x2 75000x—（27000x+9000x2）=60000
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。（2）一年中修建2公顷大棚与修建 10 公顷大棚的 3 效益有什么区别？
解：当修建2公顷大棚时： 75000×2－（27000×2+9000×22） =
当修建2公顷大棚时： 10 10 2 10 75000× －27000× +9000 × ( ) 3 3 3 = 10 所以修建２公顷与公顷大棚效益没有差别． 3
拓广探索(二)
某村为增加蔬菜的种植面积,一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为27000元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为9000。每公顷大棚的年平均收益为75000元，这个村一年中由于修建蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为60000元。

微课小专题(勤学早)

实战演练,
1.已知当x=-2时,二次函数y=ax2+bx+c取得最大值为4,且图象经过点(-3,0),求此二次函数的解析式.
2.当x=-4时,某二次函数取得最大值为 ,其图象在x轴上截得的线段AB(点A在点
B的右边)的长为6,求二次函数的解析式.
微课小专题18求二次函数解析式(二)隐含对称轴
[方法技巧]利用题中隐含的对称轴求出相应点的坐标，然后代人解析式中,解方程(组)求出
[方法技巧]挖掘几何条件中所隐含的两根相等或两根的平方和为定值.
金例讲析[例]已知关于x的一元二次方程x2- (2k+1)x +4k- 3=0.
(1)求证:该方程总有两个不相等的实数根;
(2)当Rt△ABC的斜边a= ,且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根,求k的值.
实战演练
1.如图,在△ABC中,BC= a,AC=b,AB=c,且关于x的方程(a+c)x2+2bx+c=a有两个相等的实根.
实战演练
1.关于x的一元二次方程x2- mx+5(m-5)=0的两个正实数根分别为x1，x2,且2x1+x2=7,求m的值.
2.已知关于x的一元二次方程x2-6x+ (2m+1)=0有两个实数根x1，x2,且2x1x2+x1十x2≥20,求m的取值范围.
微课小专题9根系关系(三)判别式、根系关系与几何综合
第二十一章一元二次方程
微课小专题1运用根的定义求代数式的值
[方法技巧]用“整体代人”思想求代数式的值.
金例讲析
[例]已知m是方程x2-x-3=0的一个实数根,求(m2-m)(m- +1)的值.
实战演练，
1.若m是方程2x2- 3x-1=0的一个根,求6m2- 9m+ 2020的值.

含参数的一元二次不等式的解法微课课件

原不等式解集为
xk4k28kxk
k28k
4
k 8
(3)当 (4)当
xk4k28kxk4k28k
k 8时,不等式解集为
x x 2
时,不等式解集为
(2)当
时8,不k等式0解集为
综上所述， (1)当
k0
时,不等式解集为
x x 0
(5)当
k 时 ,0不等式解集为
xk4k28kxk4k28k
a
（2）当 a0 时，有：
（a）当（b）当（c）当
1 1 a
即 a 1
时，原不等式的解集为：
{x | 1 x 1} a
1 1 即 a 1 时，原不等式的解集为：
a
1 1 即 0a1 时，原不等式的解集为： {x | 1 x 1}
a
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
01
a2x(a1)x10.
02
综上所述，
例3:解关于的不等式：
人教版高中数学必修五第三章
含参数的一解元法二次不等式的
授课人：广东省阳东广雅中学
杨学武
温故知新
a x 2 + b x + c > 0 或 a x 2 + b x + c < 0 (a > 0 )
根据二次函数的图
象以及不等号的方
向，写出不等式的
0
（2）求对应方程的根：
1 一．
因式分解求方程的根，
m m 0 时，不等式的解集为 { x |x 2 或 x 2 }
m
课堂小结
对含参数的一元二次不等式解法，其分类讨论的依据

2.1一元二次方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件2

长a、率b分为别x，称依为题二意4次可项．列系方数【程和为一内( 次项蒙)系数古．赤峰中考】某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．分 C．析1：00观(1察＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增

一元二次方程的实际应用知识讲解

一元二次方程的实际应用1、阅读下面解题过程,解方程x²-1x1-2＝0 解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x阅读下面解题过程,解方程x²-1x1-2＝0解分以下两种情况：（1）当x≥0时,原方程可化为x²-x=0,解得x1=2 x2=-1（不和题意,舍去）（2）当x＜0时,原方程可化为x²+x-2=0,解得x1=-2 x2=1 （不合题意,舍去）∴原方程的根是x1=2 x2=-2请照此方法解方程x²-| x-1 |-1=02、已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．3、已知函数y=2/x和y=kx+1（k不等于0）.(1)若这两个函数的图像都经过（1,a）,求a和k的值(2)（2）当K取何值时,这两个函数的图像总有公共点4、已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．5、已知关于x的方程x²-(m+2)x+(2m-1)=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？7、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S△PQE：S四边形P=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．QBCD8、某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件，在国庆期间，商场决定采取降价促销的措施，以达到减少库存、扩大销售量的目的。

微课(四种方法解一元二次方程)

方法留言
2 x 2 x 3或2 x 2 x 3 一边开方一边常， 5 正负符号要弄清 . x1 1, x2 3
好好学习！天天向上！
解法二
（2）解：
配方法
ห้องสมุดไป่ตู้
4x 1 x 3
2
方法留言
2
3x 2 2 x 5 0 2 5 x2 x 3 3 2 5 1 1 x x 3 3 3 3
3 x 5 0或x 1 0 5 x1 , x 2 1 3
好好学习！天天向上！
一边乘积一边零 .
用时先把因式找 ,
方法留言
中考真题回顾篇
17 、解方程： x2 3x 2 0
好好学习！天天向上！
师生共勉篇
最后，我们从四基方面思考，活用数学思想方法，提升知识、技能、思想、体验。去感受学数学、做数学、用数学的快乐！再见！谢谢指导！
2 2 2
一化二移三配方 , 同加一系半之方 .
1 16 x 3 9 1 4 x 3 3 5 x1 1, x2 3
好好学习！天天向上！
2
解法三
公式法
（3）解：
方法留言
2 2
4x 1 x 3
3x 2 2 x 5 0
公式法，熟公式。用时先化一般式 , a、b和c要看清 . 还有一个判别式，小于零就是不行 .
求根公式公式公式法解法方程的一般步骤定义配方法解配方程的步方骤法
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0, 2 － b ± b －4ac 2 且 b －4ac≥0 时，则 x＝ 2a (1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式 (2)确定 a，b，c 的值 (3)若 b2－4ac≥0，则代入求根公式，得 x1，x2，若 b2－4ac<0，则方程无实数根通过配成完全平方的形式解一元二次方程 ① 化二次项系数为 1 ② 把常数项移到方程的另一边； ③ 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 把方程整理成(x＋a)2＝b 的形式； ⑤ 运用直接开平方解方程

一元二次方程根与系数的关系(微课)

《一元二次方程根与系数的关系》“微课”教学设计
工具和方法：PPT多媒体
教学过程设计
教学目的：
1. 掌握一元二次方程根与系数的关系及其运用。

2.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解
决问题的能力.
3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想
方法：
培养学生勇于探索的精神.
教学重点难点
一元二次方程根与系数的关系及其应用.
教学过程
一、探索新知
下列一元二次方程有两个实数根分别是x1,x2，求出方程的两个根并观察方程的两根之和与系数的关系，两根之积与系数的关系，你有什么发现？
(1)x2-3x+2=0 （x1 =1 ， x2=2） (2)x2+3x-10=0（x1= -5，x2=2）
二、根与系数的关系（韦达定理）：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两实数根x1,x2，则
x1+x2=-ba ,x1·x2=ca
这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。

三、典型例题
例 1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：x2 – 3x -1 =0 （2）3x2 – x + 2=0
教学设计说明：引导学生正确认识根与系数的关系例2. 已知方程x2-2x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.。