高中数学必修2《课时作业与单元检测》含详解第2章 2.2.1

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高中数学(人教A版,必修二)第2章 2.2.1 课时作业(含答案)

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．2．直线与平面平行的判定定理：______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．其中正确说法的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是________；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在P A、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．§2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2．1直线与平面平行的判定答案知识梳理1．无2．平面外此平面内a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作业设计1．A[①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b 还有可能异面．]2．D3．C4．A5．D6．D[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]7．无数8．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C19．平行解析设BD 的中点为F ，则EF ∥BD 1． 10．证明取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ． ∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．11．证明连接AF 延长交BC 于G ，连接PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ．而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 12．①③13．证明方法一如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ．又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQBD ．∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ．又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE ．方法二如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连接EK ．∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK ．∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ ∥EK ．又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ ∥面BCE ．。

高中数学必修2《课时作业与单元检测》含答案第2章 2.3.1

§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3．1 直线与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．3．知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的________________直线都________，就说直线l 与平面α互相垂直，记作________．直线l 叫做平面α的________，平面α叫做直线l 的________．(2)判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的________________________都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图所示，________就是斜线AP 与平面α所成的角． (2)当直线AP 与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是________；线面角θ的范围：________．一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a ⊂βD ．a ⊂β或a ∥β3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交4．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB，PC 的中点，P A＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面P AC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．3．线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是90°． (2)线面垂直，则线线垂直．§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3．1 直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．(1)任意一条垂直 l ⊥α 垂线垂面 (2)两条相交直线 a ⊂α b ⊂α a ∩b ＝A 2．(1)射影锐角 ∠PAO (2)0° [0°，90°] 作业设计1．B [只有④正确．] 2．D3．C [取BD 中点O ，连接AO ，CO ，则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ，又BD 、AC 异面，∴选C ．]4．B [易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ．]5．A [⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．] 6．A [PO ⊥面ABC ．则由已知可得，△PAO 、△PBO 、△PCO 全等， OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心．只有③正确．] 7．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连接A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D ⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ， ∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连接B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可．因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． (或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ．又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG ∥EF ．∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ．连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21．∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ．又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ，∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．。

高中数学必修2全册课时同步测试卷及答案

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】第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征一、基础过关1．下列说法中正确的是() A．棱柱的侧面可以是三角形B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C．正方体的各条棱长都相等D．棱柱的各条棱长都相等2．棱台不具备的特点是() A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点3. 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是() A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶15．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．8. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．二、能力提升9．下图中不可能围成正方体的是()10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．三、探究与拓展12．正方体的截面可能是什么形状的图形？答案1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②7．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．8．解过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.9．D10.①③④⑤11．解(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．12．解本问题可以有如下各种答案：①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；②截面三角形是锐角三角形；③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；④截面可以是五边形；⑤截面可以是六边形；⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

2020-2021学年高中北师大版数学必修2课时作业：2.2.1 圆的标准方程

课时作业20圆的标准方程|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是()A.13πB．213πC．2π D．23π解析：由圆的标准方程可知，其半径为13，周长为213π，故选B.答案：B2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：把P(m,5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24.所以点P在圆外，故选A.答案：A3．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y－1)2＝16C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4解析：由圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，易知答案为C.答案：C4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于()A．π B．2πC．4π D．8π解析：由圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4，知半径r＝4＝2，则圆的面积S＝πr2＝4π.故选C.答案：C5．圆心为(2，－3)，一条直径的两端点分别在x轴、y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝1313．已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．解析：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r＝12|AB|＝10为半径．则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)解法一：直线AB的斜率k＝4－(－2)－1－1＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝13x，即x－3y＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x－3y＋3＝02x－y－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3y＝2，即圆心的坐标是C(3,2)．∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2.则⎩⎪⎨⎪⎧(1－a)2＋(－2－b)2＝R2(－1－a)2＋(4－b)2＝R22a－b－4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a＝3b＝2R2＝20.∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.14．如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱，求支柱CD 的长度．(精确到0.01 m)解析：建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.因为P，B都在圆上，所以它们的坐标P(0,4)，B(10,0)都适合圆的方程，莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2021高中数学第二章课时作业含解析北师大版必修2

4－2 斜角 α＝45°.
(2) 存在．直线 CD 的斜率 kCD＝－1－3 ＝－1，即 tanα＝－1，又 0°≤α<180°，所以
2－－2 倾斜角 α＝135°.
(3)不存在．因为 xP＝xQ＝－3，所以直线 PQ 的斜率不存在，倾斜角 α＝90°. 10．如图，直线 l2 的倾斜角 α2＝120°，直线 l1 的倾斜角为 α1，直线 l1⊥l2，求直线 l1 的斜率．
1－2 答案：(－∞，1)
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角 α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
5－3 解析：(1)存在．直线 AB 的斜率 kAB＝＝1，即 tanα＝1，又 0°≤α<180°，所以倾
0°≤α<180°，所以 α＝45° 答案：B
1－0
2．若直线经过点 A(m2,0)，B(2， 3m)，且倾斜角为 60°，则实数 m＝( )
A．1 或－1 B．2 或－2
C．1 或－2 D．－1 或 2 解析：因为直线的倾斜角为 60°，所以其斜率 k＝tan60°＝ 3.又直线经过点 A(m2,0)，
________. 解析：令 x＝0 得 y＝(a－1)×2＋a＝6，
得 a＝8. 3 8
答案： 3
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．已知△ABC 的三个顶点在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求： (1)AB 所在直线的方程； (2)AC 边所在直线的方程．
1 10．直线 l 的斜率为－，且和两坐标轴正半轴围成的三角形的面积为 3，求直线 l 的

高中数学必修2《课时作业与单元检测》含答案第2章 2.3.2

2．3．2 平面与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β ⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β3．设有直线M 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若M ∥n ，n ⊥β，M ⊂α，则α⊥β；②若M ⊥n ，α∩β＝M ，n ⊂α，则α⊥β；③若M ⊥α，n ⊥β，M ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，M、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①M⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④M⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A ⊥底面ABCD，P A＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面P AC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2．3．2平面与平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线这两个半平面2．垂足∠AOB3．(1)直二面角(2)垂线a⊂α作业设计1．B[①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角．∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]6．C [如图所示，∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF ．∴A 正确．由BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，∴BC ⊥平面PAE ．∴DF ⊥平面PAE ．∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面PAE(BC ⊥平面PAE)．∴D 正确．]7．45°解析可将图形补成以AB 、AP 为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ，又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ，∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角，∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ，∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ，∴面PDC ⊥面PDA ．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF⊄平面ABC．BC⊂平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。

最新人教版高中数学必修2课时同步测题(全册共236页附解析)

最新人教版高中数学必修2课时同步测题（全册共236页附解析）目录1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1.2.3 空间几何体的直观图1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积章末复习课第一单元评估验收卷(一)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质章末复习课第二单元评估验收卷(二)第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB 所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．5.一个四棱锥S-ABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥V-ABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底．答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ，又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝14×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝16π≈163，所以米堆的体积V＝14×13πr2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶ 2 B．1∶ 3C．2∶ 2 D．3∶ 6解析：棱锥B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5，所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π.答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )A ．3倍B ．3 3 倍C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是()A．4π＋24 B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3.答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3. 答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π，因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π. 10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5，解得：R ＝1.5 (cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.B 级能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O -ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5，所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3，所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32. 答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，所以R ＝334πa ，r ＝312πa ，所以S 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2，所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3. 所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B。

高中数学必修2《课时作业与单元检测》含答案第2章习题课

习题课直线、平面平行与垂直【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用．a 、b 、c 表示直线，α、β、γ表示平面．位置关系判定定理(符号语言) 性质定理(符号语言)直线与平面平行 a ∥b 且________⇒a ∥αa ∥α，________________⇒a ∥b 平面与平面平行a ∥α，b ∥α，且________________⇒α∥βα∥β，________________⇒a ∥b直线与平面垂直l ⊥a ，l ⊥b ，且________________⇒l ⊥α a ⊥α，b ⊥α⇒________ 平面与平面垂直 a ⊥α，⇒α⊥βα⊥β，α∩β＝a ，____________⇒b ⊥β一、选择题1．不同直线M 、n 和不同平面α、β．给出下列命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒M ∥β； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒M ，n 异面； ④⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒M ⊥β．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( )A ．4B ．1C ．2D ．33．若a 、b 表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( ) ①a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ；②a ⊥α，a ⊥b ⇒b ∥α； ③a ∥α，a ⊥b ⇒b ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．04．过平面外一点P ：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段6．已知三条相交于一点的线段P A 、PB 、PC 两两垂直，点P 在平面ABC 外，PH ⊥面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心二、填空题7．三棱锥D －ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A －BC －D 的大小为________．8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是________．(填序号)三、解答题10．如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA ．11．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B ． (1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1DDC 1的值．能力提升12．四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：(1)根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处(每空只要求填一种)：①一对互相垂直的异面直线________；②一对互相垂直的平面________；③一对互相垂直的直线和平面________；(2)四棱锥P—ABCD的表面积为________．13．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用面面平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转化．这样，来来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．习题课直线、平面平行与垂直答案知识梳理a⊄α，b⊂αa⊂β，α∩β＝b a⊂β，b⊂β，a∩b＝Pα∩γ＝a，β∩γ＝b a⊂α，b⊂α，a∩b＝P a∥b a ⊂βb⊥a，b⊂α作业设计1．D[命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n⊂β；命题③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．]2．C[(2)和(4)对．]3．A[①正确．]4．B[①④正确．]5．A[连接AC，AB1，B1C，∵BD⊥AC，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BDD1，∴AC⊥BD1，同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥面AB1C．∴P∈B1C时，始终AP⊥BD1，选A．]6．C[如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，∴BC⊥面APH，BC⊥AH．同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．]7．90°解析由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E，连接AE 、DE ，易知∠AED 为二面角A —BC —D 的平面角．可求得AE ＝DE ＝2，由此得AE 2＋DE 2＝AD 2．故∠AED ＝90°． 8．36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．9．①④10．证明 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连接DF ，∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，又由已知得DF ∥BC ，∴DF ⊥EC ．在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故ED ＝DA ．(2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊12EC ，∴MN ∥BD ，∴N 在平面BDM 内，∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN ．又CA ⊥BN ， ∴BN ⊥平面ECA ，BN ⊂平面MNBD ， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ．即平面BDM ⊥平面ECA ．(3)∵BD 綊12EC ，MN 綊12EC ，∴BD 綊MN ，∴MNBD 为平行四边形，∴DM ∥BN ，∵BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA ．11．(1)证明因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1．(2)解设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，所以A 1B ∥DE ．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D DC 1＝1． 12．(1)①PA ⊥BC(或PA ⊥CD 或AB ⊥PD) ②平面PAB ⊥平面ABCD(或平面PAD ⊥平面ABCD 或平面PAB ⊥平面PAD 或平面PCD ⊥平面PAD 或平面PBC ⊥平面PAB) ③PA ⊥平面ABCD(或AB ⊥平面PAD 或CD ⊥平面PAD 或AD ⊥平面PAB 或BC ⊥平面PAB)(2)2a 2＋2a 2解析 (2)依题意：正方形的面积是a 2，S △PAB ＝S △PAD ＝12a 2．又PB ＝PD ＝2a ，∴S △PBC ＝S △PCD ＝22a 2．所以四棱锥P —ABCD 的表面积是S ＝2a 2＋2a 2． 13．(1)证明如图，设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点．连接EG ，GH ，由于H 为BC 的中点，故GH 綊12AB ．又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH ．∴四边形EFHG 为平行四边形．∴EG ∥FH ．而EG ⊂平面EDB ，FH ⊄平面EDB ，∴FH ∥平面EDB ．(2)证明由四边形ABCD 为正方形，得AB ⊥BC ．又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC ．而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC ． ∴EF ⊥FH ．∴AB ⊥FH ．又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ． ∴FH ⊥平面ABCD ．∴FH ⊥AC ．又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG ．又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ， ∴AC ⊥平面EDB ．(3)解 ∵EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°∴BF ⊥平面CDEF ． ∴BF 为四面体B －DEF 的高．又BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝2．V B －DEF ＝13×12×1×2×2＝13．。

高中人教数学B版必修2(课时作业与单元检测)第二章平面解析几何初步单元测验

第二章单元测验班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．设直线与轴的交点是，且倾斜角为α，若将此直线绕点按逆时针方向旋转°，得到直线的倾斜角为α＋°，则( )．°≤α＜°．°≤α＜°．°＜α≤°．°＜α＜°答案：解析：由于直线与轴相交，可知α≠°.又α与α＋°都是直线的倾斜角，从而有(\\(°＜α＜°°＜α＋°＜°，))∴°＜α＜°.故选.．直线(＋－)＋(－)－＋＝与直线－－＝平行，则值为( )．－或．－或．－．答案：解析：因为两直线平行，所以有(－)＋(＋－)＝即＋－＝，∴＝－或.检验知＝时不成立，故＝－.．直线－－＝与坐标轴围成三角形的面积为( )．．．．答案：解析：直线－－＝的截距分别为、－与坐标轴围成三角形的面积为.．在空间直角坐标系中，()，()，则等于( )．．．答案：解析：＝＝.．当<<时，直线：－＝－与直线：－＝的交点在( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限答案：解析：＝得交点，在第二象限．．已知三角形的三个顶点坐标分别为()，(，－)，()，则三角形的重心坐标为( )答案：解析：三角形三个顶点分别为(，，)，(，，)，(，，)，则其重心为.故所求重心坐标为.．若圆＋＋－＋＝关于直线－＋＝对称，则＋等于( )．．－．－答案：解析：∵圆心(－)，∴－－＋＝，∴＋＝.．两圆＋－－＋＝和＋－－＋＝的位置关系是( )．相离．相交．内切．外切答案：．如果点(，)在两条平行线－＋＝及－＋＝之间，则应取的整数值为( )．－．．－．答案：解析：将＝代入两直线方程得＝，＝，由<<得＝.．曲线＋＋＋－＝上到直线＋－＝距离等于的点的个数为( )．．．．答案：解析：圆心(－，－)，半径＝，＝＝－＝，∴共有个符合条件的点．．已知点(，)在直线＋＝上，则的最小值为( )．．．．答案：解析：由点(，)在直线＋＝上知，＋＝.则＋＝＋(－)＝(－＋)＝(－＋)]＝＋当＝，＝时，有最小值.．如果圆＋(－)＝上任意一点(，)都能使＋＋≥成立，则实数的范围是( )．≥－－．≤－－．≥－．≤－答案：解析：由＋＋≥，得≥－－，要使该不等式恒成立，只需≥(－－)，令＝－－，则＋＋＝.由≤，得－－≤≤－.于是≥－.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．直线－－＝与圆(－)＋(＋)＝交于，两点，则△(是原点)的面积等于．答案：解析：解方程组(\\(＝()－(),(－(＋(＋(＝))得－－＝，∵(\\(＋＝，＝－()，))∴＝－＝＝，又由点到直线距离公式，得—＝，∴△＝.．与两平行直线＋－＝和＋－＝相切，圆心在直线＋＋＝上的圆的方程是．答案：＋＝解析：设圆心为(，－－)，根据题意，有圆心到两平行直线之间的距离相等为圆的半径，所以＝⇒＝－.所以圆心坐标为，半径＝＝.所以所求圆的方程为＋＝.．若，满足(－)＋＝，则的取值范围是．答案：]解析：解法一：由(－)＋＝，得＝－(－)≥，故(－)≤，∴≤≤.∴＝＝，由≤≤，得≤－≤，∴≤≤，。

高中数学(苏教版,必修二) 第二章平面解析几何初步 2.2.1第2课时课时作业(含答案)

第2课时圆的一般方程【课时目标】1．理解圆的一般方程及其特点，会由圆的一般方程求其圆心、半径．2．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．1．圆的一般方程的定义(1)当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为____________．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点____________．(3)当____________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：一、填空题1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标为________，半径为________．2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________．3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是__________．4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O与圆的位置关系为____________．6．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为__________．7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．二、解答题10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？11．如果方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围；(2)求该圆半径r 的取值范围．能力提升12．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．13．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．第2课时圆的一般方程答案知识梳理1．(1)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F (2)⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2(3)D 2＋E 2－4F <0 2．作业设计1．⎝⎛⎭⎫－32，1 192解析由一般方程圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 两公式易得答案． 2．m <1解析表示圆应满足D 2＋E 2－4F >0． 3．x －y －3＝0解析过M 最长的弦应为过M 点的直径所在直线． 4． 2解析先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之． 5．点O 在圆外 6．x ＋y －4＝0解析圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3．AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1．∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0． 7．(0，－1)解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2．当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)． 8．－2解析由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2应在直线l ：x －y ＋2＝0上，即－1＋a2＋2＝0，解得a ＝－2． 9．20 6解析点(3,5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径，∴AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，∴BD ＝46，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝206．10．解设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D －5E －F ＝265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－2F ＝－20．所以过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0．将点D (－2，－1)代入上述方程等式不成立．故A 、B 、C 、D 四点不能在同一个圆上．11．解 (1)方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆必须有：D 2＋E 2－4F ＝4(t ＋3)2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，即：7t 2－6t －1<0，∴－17<t <1．(2)该圆的半径r 满足：r 2＝D 2＋E 2－4F 4＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－(16t 4＋9)＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴r 2∈⎝⎛⎦⎤0，167，∴r ∈⎝⎛⎦⎤0，477． 12．解设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2． ① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．13．解设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y ．因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14．所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14．。

高中人教数学B版必修2(课时作业与单元检测)第二章平面解析几何初步基本知能检测

第二章基本知能检测班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．若直线＝的倾斜角为α，则α等于( )．°．°．°．°答案：解析：直线垂直于轴，根据定义，α＝°.．圆＋－＝和圆＋＋＝的位置关系是( )．相离．外切．相交．内含答案：解析：由圆心距到半径之间的关系即可判断．．直线＋－＝和直线(－)－＋＝平行，则的值是( )．．－．或．－或答案：解析：当＝时，两直线方程分别为＋＝和－－＝，不平行；当≠时，＝≠，解得＝.．已知点(－)和()，则原点到直线的距离为( )．．答案：解析：直线的方程为－＋＝，＝＝.．若方程＋＋＋＋＋－＝表示圆，则的取值范围是( )．＜－或＞．－＜＜．－＜＜．－＜＜答案：解析：＋－(＋－)＞＋－＜，－＜＜.．圆心为(，－)且与直线－＋＝相切的圆的方程为( )．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝答案：解析：圆半径＝＝，故圆的标准方程为(－)＋(＋)＝.．直线＝被圆(－)＋＝所截得的弦长等于，则的值等于( )．或或－．－或答案：解析：由题意－＋()＝，解得＝或.．直线－＋＝和直线＋＋＝互相垂直，则的值为( )．或．．．－或答案：解析：当＝时，＝与＝－垂直；当≠时，×(－)＝－，＝.．两平行线：－＋＝与：＋＋＝(＞)之间的距离是，则的值是( )．．－．－答案：解析：根据两直线平行得：＝≠，所以＝－.又两直线的距离是，所以有：＝，即－＝，所以＝或＝(舍去)，所以＝－，＝代入＝＝－.．已知点(－)与点()到直线：－＋＝的距离相等，则实数等于( )．或．－或或或－答案：解析：过点中点或∥.①的中点为(，)，由－＋＝得＝－.②＝＝，∴＝.．一束光线从点(－)出发，经过轴反射到圆(－)＋(－)＝上的最短路程是( )．．．．答案：解析：因为入射光线与反射光线关于轴对称，所以可以转而考虑点关于轴对称点与圆的关系，如图所示，最短距离为＝－，(－，－)，()，所以＝＝.∴＝.．已知圆＋＝，直线：－＋＝，圆＋＝上有四个点到直线上的距离等于，则的取值范围为( )．－＜＜．－＜＜＜＜．＜＜答案：解析：利用数形结合求解．如图所示，圆的半径为，圆上存在四个点到直线＝＋的距离等于.∴的极限位置是＝±，∴－＜＜.故选.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．直线＋－＝被曲线＋＋－＝所截得的弦长等于．答案：解析：＋(＋)＝，＝，＝，＝.．设点在直线＋＝上，且到原点的距离与到直线＋－＝的距离相等，则点坐标是．答案：或解析：设(－，)，则＝，＝±当＝时，＝－，∴，当＝－时，＝，∴.．如果实数，满足等式(－)＋＝，那么的最大值是．答案：解析：设＝，＝，(－)＋＝，(＋)－＋＝，Δ＝－(＋)≥，－≤≤.另可考虑斜率的几何意义来做．．若圆＋＋－＝与直线＝－相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为．。

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第二章测试（时间：120分钟总分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.其中正确的命题是（）A.①②B.②④C.①③D.②③答案:B2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交解析：由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案:B3.一直线/与其外三点A, B, C可确定的平面个数是（）A.1个B. 3个C. 1个或3个D. 1个或3个或4个解析：当A、B、C共线且与/平行或相交时，确定一个平面；当A、B、C共线且与/ 异面时，可确定3个平面；当A、B. C三点不共线时，可确定4个平面.答案：D4.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中止确的是（）A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点答案：D5.如图，在AABC中，ZBAC=90°,丄面ABC, AB=AC, D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A. 5B. 8C. 10D. 6解析：这些直角三角形是：△B4B, △B4D, AMC, MAC, ABAD, ACAD,△PBD, △PCD.共8 个.答案:B6.下列命题正确的有（）①若厶ABC在平面a外，它的三条边所在直线分别交a于P、Q、R,则P、0、R三点、共线.②若三条平行线a、b. c都与直线/相交，则这四条直线共面.③三条直线两两相交，则这三条直线共面.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：易知①与②正确，③不正确.答案:C7.若平面a丄平面沟a^p=l,且点Pea, PH,则下列命题中的假命题是（）A.过点P且垂直于a的直线平行于0B.过点P且垂直于/的直线在a内C.过点P且垂直于0的直线在a内D.过点P且垂直于/的平面垂直于0答案：B& 如右图，在棱长为2的正方体ABCD-ArBiCiDr中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DDi、DiCi的中点，则直线OM（）A.与AC、MN均垂直相交B.与AC垂直，与MN不垂直C.与A/N垂直，与AC不垂直D.与AC、MN均不垂直解析：易证 AC 丄面 BB X D\D, OMU 面 BBQQ, :.AC±OM.计算得 OM 2 + MN 1 = ON 1=5, OMLMN.答案：A 9. （2010-江西高考）如图，M 是正方体ABCD-AiBrCiDi 的棱DDi 的中点，给出下列四个命题：D.①②③ 解析：将过点M 的平面CDDiCi 绕直线DDi 旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB, BiCi 都相交，故③错误，排除A, B, D.答案：C10.已知平面a 外不共线的三点A 、B 、C 到a 的距离相等，则正确的结论是（）A. 平面ABC 必平行于aB. 平面ABC 必不垂直于aC. 平面ABC 必与a 相交D. 存在/\ABC 的一条中位线平行于a 或在a 内解析：排除A 、B 、C,故选D.答案:D11. （2009-广东高考）给定下列四个命题：① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直;③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行；④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）A.①和②B.②和③ ①过M 点有且只有一条直线与直线AB,Bi 。

(北师大版)数学必修二课时作业：2.1.2.1直线方程的点斜式(含答案)

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课时提升作业(十六)直线方程的点斜式一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·西安高一检测)已知直线的方程是y+2=-x-1，则( )A.直线经过点(2，-1)，斜率为-1B.直线经过点(-2，-1)，斜率为1C.直线经过点(-1，-2)，斜率为-1D.直线经过点(1，-2)，斜率为-1【解析】选C.因为直线方程y+2=-x-1可化为y-(-2)=-[x-(-1)]，所以直线过点(-1，-2)，斜率为-1.2.直线3x+2y+6=0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有( )A.k=-，b=3B.k=-，b=-2C.k=-，b=-3D.k=-，b=-3【解析】选C.直线方程3x+2y+6=0化为斜截式得y=-x-3，故k=-，b=-3.3.已知直线l的方程为y+1=2(x+)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则log a b的值为( )A. B.2 C. log26 D.0【解析】选B.由题意得a=2，令x=0，得b=4，所以log a b=log24=2.4.(2018·赣州高一检测)直线l：y-1=k(x+2)的倾斜角为135°，则直线l在y轴上的截距是( )A.1B.-1C.D.-2【解析】选B.因为倾斜角为135°，所以k=-1，所以直线l：y-1=-(x+2)，令x=0得y=-1.5.(2018·济源高一检测)经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线是( )A.x=-1B.y=1C.y-1=(x+1)D.y-1=2(x+1)【解析】选C.由已知得所求直线的斜率k=2×=.则所求直线方程为y-1=(x+1).6.(2018·济南高一检测)若ab<0，bc<0，则直线ax+by-c=0通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【解析】选C.因为ab<0，bc<0，所以->0，<0，原直线可化为y=-x+，则过第一、三、四象限.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2018·佛山高一检测)已知点(1，-4)和(-1，0)是直线y=kx+b上的两点，则k=________，b=________. 【解析】由题意，得解得k=-2，b=-2.答案：-2 -28.(2018·蚌埠高一检测)已知直线l：y=k(x-1)+2不经过第二象限，则k的取值范围是________.【解题指南】由直线方程知直线过定点(1，2)，数形结合即可求解.【解析】由l的方程知l过定点A(1，2)，斜率为k，则k OA=2(O为坐标原点)，数形结合可得k≥2时满足条件.答案：k≥2【变式训练】直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点________.【解析】将直线方程变形为y-2=a(x-3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2).答案：(3，2)【拓展提升】揭秘“直线过定点”的问题含有一个参数的直线方程，一般过定点.求定点的方法有两种：①将直线方程化成点斜式，由点斜式方程观察得到定点；②将x，y看成参数的系数，变形整理后，对参数取任意的值，式子都成立，从而转化为方程组，求x，y的值，由x，y确定的点就是“定点”.如本题，原方程可化为(x-3)a+2-y=0，上式对任意的a都成立，所以解得所以直线过定点(3，2).9.经过点A(3，4)，在x轴上的截距为2的直线方程为________________.【解析】易知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-2)，因为点A(3，4)在直线上，所以k=4，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.答案：y=4x-8【一题多解】由于直线过点A(3，4)和点(2，0)，则直线的斜率k==4，由直线的点斜式方程得y-0=4(x-2)，所以所求直线方程的斜截式为y=4x-8.【变式训练】直线l经过点(-1，1)，且与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为________. 【解析】因为直线l与直线y=x+6在y轴上有相同的截距，故可设l的方程为y=kx+6，又点(-1，1)在l上，所以k=5，即所求直线l的斜截式方程为y=5x+6.答案：y=5x+6【一题多解】因为直线y=x+6与y轴的交点坐标为(0，6)，从而直线l的斜率k==5，所以直线l的斜截式方程为y=5x+6.三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2018·合肥高一检测)已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.【解题指南】由题设可得直线l的斜率与在y轴上的截距，进而可根据直线的斜截式方程求出直线的方程. 【解析】由直线斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2.又因为直线l与l1的斜率相等，所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2，所以l在y轴上的截距为-2，所以由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x-2.11.已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R).(1)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程.(2)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m的值.(3)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值.【解析】(1)令2m2+m-1=0，解得m=-1或m=，当m=-1时，方程表示的直线不存在，当m=时，方程表示的直线的斜率不存在，此时的方程为x=，它表示一条垂直于x轴的直线.(2)依题意，有=-3，所以3m2-4m-15=0.所以m=3(舍去)，或m=-，故m=-.(3)因为直线l的倾斜角是45°，所以斜率k=1.故由-=1，解得m=或m=-1(舍去).所以直线l的倾斜角为45°时，m=.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·渭南高一检测)已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线y=-2x-1的斜率相等，则m的值为( )A.0B.-8C.2D.10【解析】选B.因为直线y=-2x-1的斜率为-2，所以=-2，解得m=-8.2.(2018·蚌埠高一检测)等边△PQR中，P(0，0)，Q(4，0)，且R在第四象限内，则PR和QR所在直线的方程分别为( )A.y=±xB.y=±(x-4)C.y=x和y=-(x-4)D.y=-x和y=(x-4)【解题指南】数形结合可知两直线的倾斜角，进而可知两直线的斜率，由直线方程的点斜式可得两直线的方程. 【解析】选D.如图，可得k PR，k QR的斜率分别为-，且分别过点P(0，0)，Q(4，0).由点斜式得方程.3.(2018·南阳高一检测)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有( )A.ab>0，bc>0B.ab>0，bc<0C.ab<0，bc>0D.ab<0，bc<0【解析】选D.由题意知直线的斜率存在，即直线的斜截式方程为y=-x-，所以->0，->0，即ab<0，bc<0. 【举一反三】直线过第二、三、四象限呢？【解析】可知-<0，-<0，即ab>0，bc>0.4.(2018·新余高一检测)直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点( ) A.(0，0) B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)【解析】选C.将直线方程化为y-1=k(x-3)可得过定点(3，1).二、填空题(每小题5分，共10分)5.直线l的倾斜角为45°，且过点(4，-1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是______【解析】由已知得直线方程为y+1=tan45°(x-4)，即y=x-5.当x=0，y=-5，当y=0，x=5.所以被坐标轴所截得的线段长为=5.答案：56.已知直线x=2，x=4与函数y=log2x的图象交于A，B两点，则直线AB的方程是________________.【解题指南】将x的值代入y=log2x可得A，B两点的坐标，进而根据直线的斜率公式可得直线的斜率，由直线方程的点斜式可得直线AB的方程.【解析】当x=2时，y=log22=1，即A(2，1)，当x=4时，y=log24=2，即B(4，2)，所以直线AB的斜率k==，所以方程为y-1=(x-2)，即x-2y=0.答案：x-2y=0三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2018·临沂高一检测)求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为-的直线方程.【解析】设直线方程为y=-x+b，令y=0得x=b，由题意知·|b|·=12，所以b2=36，所以b=±6，所以所求直线方程为y=-x±6.即3x+2y±12=0.【误区警示】本题易因对直线的截距理解不清而漏解.【变式训练】斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l的方程.【解析】设直线的斜截式方程为y=-x+b，令x=0，则y=b；令y=0，则x=b，所以|b|+|b|+=9，即|b|=9，得|b|=3，即b=±3，所以所求直线的方程为y=-x±3.即4x+3y±9=0.8.如图，直线l：y-2=(x-1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的锐角为30°的直线l′的方程.【解题指南】由直线l的点斜式方程可得直线l的倾斜角，数形结合可求得所求直线的倾斜角，进而可得所求直线的斜率，然后可根据点斜式求出直线方程.【解析】设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y-2=(x-1)知直线l的斜率为，则倾斜角为60°.当α′=90°时满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x=1；当α′=30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为：y-2=(x-1)，即x-y+2-1=0.综上，所求l′的方程为x=1或x-y+2-1=0.关闭Word文档返回原板块。

高中北师大版数学必修2(课时作业与单元测试卷)：第2章2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一) 含解析

2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系(一)时间：45分钟满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0 答案：D解析：点P (1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，所以点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直．又因为圆心为(2,0)，所以0－32－1·k ＝－1，解得k ＝33，所以切线方程为x －3y ＋2＝0.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离为d ，则d 的取值范围为( )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1] 答案：A解析：圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心坐标为(0,3)，半径为2，点A (0，－1)在圆外，则当直线l 经过圆心时，d 最小，当直线l 垂直于点A 与圆心的连线时，d 最大，即d 的最小值为0，最大值为02＋(3＋1)2＝4，所以d ∈[0,4]．3．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则实数a 的值为( ) A ．±4 B ．±2 2 C ．±2 D ．±2 答案：C解析：由题意，知直线方程为y －a ＝x ，即x －y ＋a ＝0.又直线与圆相切，所以|a |2＝2，所以a ＝±2.4．与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案：C解析：圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k |1＋k 2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋ya＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a |2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2 答案：D解析：圆心到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r 2－d 2＝ 2.6．关于x 的方程x ＋k ＝1－x 2有两相异实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜ 2 B ．－2≤k ≤ 2 C ．1≤k ≤ 2 D ．1≤k ＜ 2 答案：D解析：方程x ＋k ＝1－x 2的相异两实根即为两曲线y ＝x ＋k 与y ＝1－x 2(y ≥0)交点的横坐标，画出两曲线观察，当直线y ＝x ＋k 过点(－1,0)时，两曲线有两交点，此时k ＝1，当直线与半圆相切时，|k |2＝1，k ＝2或k ＝－2(舍)．所以当1≤k ＜2时，直线与半圆有两个不同的交点，即方程x ＋k ＝1－x 2有两个相异实根．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________．答案：x －3y ＋2＝0解析：由题意，知圆心为(2,0)，圆心与点P 连线的斜率为－3，所以所求切线的斜率为33，则在点(1，3)处的切线方程为x －3y ＋2＝0. 8．直线l 过点(－5，－10)，且在圆x 2＋y 2＝25上截得的弦长为5 2，则直线l 的方程为________．答案：x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋5)－10，由题意知圆心到直线的距离d ＝5 22，即|5k －10|k 2＋(－1)2＝5 22，解得k ＝1或k ＝7.9．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案：22解析：由数形结合思想可知满足题设条件的直线和圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直，由两点间连线的斜率公式可得过两点(2,0)和(1，2)的直线的斜率为21－2＝－2，故所求直线的斜率为22.三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且直线x －y ＋1＝0被圆截得的弦长为22，求圆的方程解：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意，知直线x ＋2y ＝0过圆心， ∴a ＋2b ＝0. ①又点A 在圆上，∴(2－a )2＋(3－b )2＝r 2. ② ∵直线x －y ＋1＝0被圆截得的弦长为22，∴(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|12＋(－1)22＝r 2. ③由①②③可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝－3r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－7r 2＝244，故所求方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.11．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值．解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3.当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1. ①又圆心到直线的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎫|b |22＋⎝⎛⎭⎫2322＝4， ② 由①②，得⎩⎨⎧ a ＝2－1b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－2－1b ＝－2.12．一束光线由点M (25,18)出发，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋(y －7)2＝25上． (1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程； (2)求在x 轴上反射点A 的活动范围．解：(1)M (25,18)关于x 轴的对称点M ′(25，－18)．由题意知反射光线所在直线过M ′(25，－18)和圆心，则由两点式得y ＋187＋18＝x －250－25，∴x ＋y －7＝0.(2)设反射光线所在直线为y ＝k (x －25)－18. 则|k ·0－7－25k －18|1＋k 2≤5， ∴－43≤k ≤－34.当y ＝0时，x ＝18k ＋25，又－43≤k ≤－34，∴1≤x ≤232.即在x 轴上反射点A 的活动范围是从(1,0)到(232，0)的线段．给高中生的建议初中学生学数学，靠的是一个字：练！高中学生学数学靠的也是一个字：悟！学好数学的核心就是悟，悟就是理解，为了理解就要看做想。

人教版高中数学必修2第二章单元测试(二)- Word版含答案

必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．下列推理错误的是（）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD －A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（）A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n 等于（）A．8B．9C．10D．115．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BD C．A1D D．A1D16．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC ＝60°，那么这个二面角大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O 的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（） A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（） A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为（） A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．以下结论中，错误的是（）A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°12．已知矩形ABCD ，AB ＝1，2BC =，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α．其中正确命题的序号是________．14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于PAB △的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，长方体1111ABCD A B C D-中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥B1C；（2）求证：AC1∥平面CDB1．19．(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．（1）求证：BC⊥平面P AC．（2）是否存在点E使得二面角A DE P--为直二面角？并说明理由．20．(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱111ABC A B C-的高．21．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：P A∥面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE；（3）若二面角E BD C--为30°，求四棱锥P ABCD-的体积．22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E ABC-的体积．2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．故选C．2．【答案】D【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．故选D．3．【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．故选D．4．【答案】A【解析】如图，取CD的中点H，连接EH，HF．在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行，其余4个平面与EFH相交，即n＝4．又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8．故选A．5．【答案】B【解析】易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．故选B．6．【答案】A 【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，2B C AC a'==，所以∠B′DC＝90°．故选A．7．【答案】B【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离．故①②③都正确．8．【答案】C【解析】由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故C正确．故选C．9．【答案】D【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．故选D．10．【答案】B【解析】如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO．13333sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=．1113394ABC A B C ABC V S OP OP -∴=⨯=⨯=，3OP ∴=．又32313OA =⨯⨯=，∴tan 3OP OAP OA ∠==，又02OAP π<∠<，∴3OAP π∠=．故选B ．11．【答案】D【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH ．又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A ．所以BD ⊥平面AA 1H ．又A 1H ⊂平面AA 1H ．所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，故A 正确．因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD ．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．故选D ． 12．【答案】B【解析】A 错误．理由如下：过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，则可得BD ⊥平面ACE ，于是BD ⊥CE ，而由矩形ABCD 边长的关系可知BD 与CE 并不垂直．所以直线AC 与直线BD 不垂直．B 正确．理由：翻折到点A 在平面BCD 内的射影恰好在直线BC 上时，平面ABC ⊥平面BCD ，此时由CD ⊥BC 可证CD ⊥平面ABC ，于是有AB ⊥CD ．故B 正确． C 错误．理由如下：若直线AD 与直线BC 垂直，则由BC ⊥CD 可知BC ⊥平面ACD ，于是BC ⊥AC ，但是AB <BC ，在△ABC 中∠ACB 不可能是直角．故直线AD 与直线BC 不垂直．由以上分析显然D 错误．故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】④【解析】①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面或者垂直；③a 可能与α内的直线异面或垂直．14．【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 15．【答案】①③【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ，这是不可能的，故②错；1·2PCD S CD PD =△，1·2PAB S AB PA =△，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错． 16．【答案】a >6【解析】由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥面P AE ，∴DE ⊥AE ．易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则AB BE CE CD =，即33xa x =-．∴290x ax +=-，由0∆>，解得a >6．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】平行，见解析．【解析】直线MN ∥平面A 1BC 1．证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1．∴MN ∉平面A 1BC 1．如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵11112N D O C ∥，1112M D B C ∥，∴1NO MB ∥．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC ．∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥B 1C ．（2）连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD ．如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1．又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1．∴AC 1∥平面CDB 1． 19．【答案】（1）见解析；（2）存在，见解析．【解析】（1）证明∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ．又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ．（2）∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ．又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ． ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角．20．【答案】（1）见解析；（2）21．【解析】（1）证明连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB ．（2）解在平面BB 1C 1C 内作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD ．在平面AOD 内作OH ⊥AD ，垂足为H ．由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC ．又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC ．因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得34OD =．由于AC ⊥AB 1，所以11122OA B C ==．由OH ·AD ＝OD ·OA ，且2274AD OD OA =+=，得2114OH =．又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217，故三棱柱111ABC A B C -的高为217． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3618P ABCD V a -=．【解析】（1）证明连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A ． ∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE ．（2）证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC ．又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE ．（3）解取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点， ∴EF 为POC △的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴EF ⊥BD ． ∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥面EFO ，∴OE ⊥BD ． ∴∠EOF 为二面角E BD C --的平面角，∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF 中，11224OF OC AC a ===，∴6·tan 30EF OF a =︒=，∴62OP EF a ==．∴231663P ABCD V a a a -=⨯⨯=． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3V =．【解析】（1）证明在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB ．又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1．（2）证明取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE ．（3）解因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以223AB AC BC =-= 所以三棱锥E －ABC 的体积11113·312332ABC V S AA ==⨯⨯=△．。

高中数学(人教版A版必修二)配套课时作业第2章2.2.2

2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.。

高中数学必修二第二章检测题附答案解析

数学必修二第二章点、直线、平面间位置关系检测题(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是( )A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线D.不在同一平面内的两条直线是异面直线2.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,异面直线AB,A 1D 1所成的角等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°3.对两条不相交的空间直线a 与b,必存在平面α,使得( )A.a ⊂ ,b ⊂αB.a ⊂α,b ∥αC.a ⊥α,b ⊥αD.a ⊂α,b ⊥α4.给出下列四个命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线l 1,l 2与同一平面所成的角相等,则l 1,l 2互相平行其中不正确的个数是( )A.1B.2C.3D.05.若l 为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若l ∥α,l ∥β,则α∥βB.若l ⊥α,l ⊥β,则α∥βC.若l ⊥α,l ∥β,则α∥βD.若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β6.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 是A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( )A.BDB.ACC.ADD.A 1D 17.如图,点S 在平面ABC 外,SB ⊥AC,SB=AC=2,E,F 分别是SC 和AB 的中点,则EF 的长是( )A.1D.128.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为( ) A.75° B.60° C.45° D.30°9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A.AC ⊥βB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AB ∥m10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,有下面四个结论:①EF⊥AA1; ②EF∥AC;③EF与AC异面; ④EF∥平面ABCD.其中一定正确的是()A.①②B.②③C.②④D.①④二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.直线l1∥l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是.12.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC与平面DEF的位置关系是.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A 时,∠PCB的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)14.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,,则A1B1与平面AB1C1所成角的大小为.15.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,PA⊥正方形ABCD所在的平面,经过点A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.17.(8分)如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面为等边三角形,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明.18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.19.(10分)已知四面体A-BCD的棱长都相等,Q是AD的中点,求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.参考答案一、选择题1.【解析】没有公共点的两条直线还可能异面,所以A 选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B 选项不正确;D 选项中,缺少任一平面内,所以D 选项不正确;很明显C 选项正确.【答案】C.2.【解析】由于AD ∥A 1D 1,则∠BAD 是异面直线AB ,A 1D 1所成的角,很明显∠BAD=90°.【答案】D.3.【解析】对于选项A,当a 与b 是异面直线时,A 错误;对于选项B,若a ,b 不相交,则a 与b 平行或异面,都存在α,使a ⊂α,b ∥α,B 正确;对于选项C,a ⊥α,b ⊥α,一定有a ∥b ,但当a 与b 异面时,不存在平面α,使结论成立,C 错误;对于选项D,a ⊂α,b ⊥α,一定有a ⊥b ,但当a 与b 平行时,不存在平面α,使结论成立,D 错误.【答案】B4.【解析】利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C .【答案】C5.【解析】对于A,若l ∥α,l ∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A 错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B 正确;对于C,若l ⊥α,l ∥β,应推出α⊥β,故C 错误;对于D,l 与β的位置关系不确定,l ∥β,l ⊂β,l 与β相交,都有可能,故D 错误.【答案】B6.【解析】由BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C ,则BD ⊥平面ACC 1A 1.又CE ⊂平面ACC 1A 1,所以BD ⊥CE.【答案】A7.【解析】取CB 的中点D ,连接ED ,DF ,则∠EDF (或其补角)为异面直线SB 与AC 所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF 中,ED=12SB=1,DF=12AC=1,所以EF ==【答案】B8.【解析】如图,O 为底面ABCD 的中心,连接AC ,BD ,SO ,易得SO ⊥平面ABCD.所以∠OCS 为侧棱SC 与底面ABCD 所成的角.又由已知可求得.因为SC=1,所以∠OCS=45°. 【答案】C9.【解析】如图,则有AB ∥l ∥m ;AC ⊥l ,m ∥l⇒AC ⊥m ;AB ∥l ,AB ⊄β⇒AB ∥β.【答案】A10.【解析】如图,由于AA1⊥平面A 1B 1C 1D 1,EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1,则EF ⊥AA 1,所以①正确;当E ,F 分别是线段A 1B 1,B 1C 1的中点时,EF ∥A 1C 1,又AC ∥A 1C 1,则EF ∥AC ,所以③不正确;当E ,F 不是线段A 1B 1,B 1C 1的中点时,EF 与AC 异面,所以②不正确;。

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§2．2 直线、平面平行的判定及其性质
2．2．1直线与平面平行的判定
【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．
1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．
2．直线与平面平行的判定定理：
______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．
一、选择题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b⊂α，则a∥b．
其中正确说法的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()
A．b∥αB．b与α相交
C．b⊂αD．b∥α或b与α相交
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()
A．平行B．相交
C．平行或相交D．AB⊂α
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()
A．平行B．相交
C．在内D．不能确定
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()
A．不存在B．只能作出一个
C．能作出无数个D．以上都有可能
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()
A．4条B．6条C．8条D．12条
二、填空题
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是________；
(2)与直线AA1平行的平面是______；
(3)与直线AD平行的平面是______．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．
11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在P A、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．
§2．2直线、平面平行的判定及其性质
2．2．1直线与平面平行的判定
答案
知识梳理
1．无
2．平面外此平面内a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
作业设计
1．A[①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．]
2．D3．C4．A5．D
6．D
[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]
7．无数
8．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1
9．平行
解析设BD的中点为F，则EF∥BD1．
10．证明取D1B1的中点O，
连接OF，OB．
∵OF綊1
2B1C1，BE綊
1
2B1C1，
∴OF 綊BE ．
∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ． ∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．
11．证明连接AF 延长交BC 于G ，连接PG ．
在▱ABCD 中，易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ．而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 12．①③
13．证明方法一如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ．
∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．
又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ．
又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ
BD ．
∴PM 綊QN ．
∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ．
又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE ．
方法二如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连接EK ．
∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQ
QK
．∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，
∴BQ＝PE．
∴DQ
BQ
＝AP
PE
．∴AQ
QK
＝AP
PE
．∴PQ∥EK．
又PQ⊄面BCE，EK⊂面BCE，∴PQ∥面BCE．。