2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题 教师版

2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题

（教师版）

1、（2005年）设点n A (n x ，0)，1

(,2

)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －

1

12

n -，n x 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距

离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)n

n n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程．

(Ⅱ)证明{n x }是等差数列．

解析：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+，

设点(),P x y 是1C 上任意一点，则()

()

()

2

2

2

2211||117A P x y x x x b =-+=

-+-+令()()(

)

2

2

2

1

17f x x x x b =-+-+则()()()()

2

1

212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=，即()()()2

221

2

2127270

x x x b x

-+-+-=又()22,2P x 在1C 上，2

22127x x b ∴=-+，解得213,14x b ==故1C 的方程为2

714

y x x =-+(Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点，则()()()

2

2

2

22||n n n n n

A P x x y x x x a x b =-+=

-+++令()()(

)

2

22

n n n

g x x x x a x b =-+++则()()()()

2

222n n n

n

g x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=，即()()()2

111

2220

n n n n n

n n x x x a x b x

a +++-++++=又1212n n

n n n x a x b ++=++ ，()()()112

201n

n n n n x x x a n ++∴-++=≥，

即(

)()

1

112

20*n n

n n

n x

x a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-，①当1n =时，11x =，等式成立；

②假设当n k =时，等式成立，即21k x k =-，则当1n k =+时，由()*知(

)1

1

12

20k k k k k x

x a +++-+=，

又11

242k k a k -=---，11

22112

k k k k k x a x k ++-∴==++，即1n k =+时，等式成立由①②知，等式对*

n N ∈成立，故{}n x 是等差数列

2、（2006年）已知函数2

3

)(x x x f +=，数列{x n ｜(x n ＞0)}的第一项1x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）。求证：当n *

N ∈时，

（Ⅰ）12

12

23+++=+n n n n x x x x ；（Ⅱ）2

1

)2

1

()

2

1(--≤≤n n n x 解析：证明：（Ⅰ）因为x

x x f 23)(2

+='所以曲线)(x f y =在))(,(11++n n x f x 处的切线斜论1

2

1123++++=n n n x x k 因为过（0，0）和))(,(n n x f x 两点的直线斜率是n n x x +2

，所以n n x x +2

=12

123+++n n x x （II ）因为函数x x x h +=2

)(当x >0时单调递增，

而n n x x +2

=12

123+++n n x x ≤12

124+++n n x x =1

2

12)2(+++n n x x 所以12+≤n n x x ，即

211≥+n n x x ，因此，112211)2

1

(----≥⋅⋅⋅=n n n n n n x x x x x x x 又因为n n x x +2

≥)(212

1+++n n x x ，令n n n x x y +=2

，则

2

1

1≤+n n y y 因为212

11=+=x x y ，所以211

2

1

()2

1

(--=⋅≤n n n y y ，

因此≤n x 2

2

)

2

1(-≤+n n n x x ，故2

1

)2

1

(2

1(--≤≤n n n x