结内定理1
同济大学高等学第七版1-5极限的运算法则
x2
3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x3 1 x2 3x
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
11
极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的）
12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
6
问: 无穷大是否有类似的性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大的积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小的乘积是什么？
说不清楚，有各种可能
P45 第4题
D
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
第12章第1节收敛定理
六、 收敛定理的证明
4.利普希茨定理(判别法): (迪尼定理的推论)
若f（x）在x点连续，且对充分小的 u 0满足L 条件
f ( x u) f ( x) Lu (0 u h)
其中L 0， 0且 1, 则f（x）的傅立叶级数在 x收敛于f（x） .
更一般地，若对于充分 小的u 0满足L 条件
※
11
六、 收敛定理的证明
由以上说明可知，若两 个函数f（x）、g（x）在x点某邻域 取值相同，则无论在其 他点数值如何，它们的 傅立叶级数 在该点的敛散性相同 .
傅氏系数以 0为极限.即 (2)性质: 可积与绝对可积函数的
lim a
n
n
n
lim
n
n
1
f (t ) cos ntdt 0,
limb lim f (t )sin ntdt 0,
n
1
(3)性质: 为得到收敛的充分条件,应用黎曼引理可以 进一步改变要讨论的积分,即证明n→∞时,下 面两个积分有相同的收敛性.
2015年8月31日星期一 12
六、 收敛定理的证明
并类似于性质1 的讨论推知把傅立叶级数收敛问题转化为
2n 1 1 sin ,当sin 0时，有 cos cos n 2 2 2
2 2
2015年8月31日星期一
2n 1 sin 2 , 2 sin 2
5
六、 收敛定理的证明
当 0时，把右边理解为 0时的极限值， 等式也成立 .再把它用到Sn [ f（x） ]表达式，得 2n 1 sin (t x) 1 2 S n [ f ( x)] f (t ) dt. tx 2 sin 2 经验证知，被积函数是 t的周期为 2的函数，
初中数学定理和结论总结
初中数学定理和结论总结初中数学定理和结论大集合。
一、代数部分。
1. 有理数的加减法。
有理数的加减法其实就像生活中的收支情况一样有趣呢。
同号相加，就好比两个小伙伴一起赚钱或者一起花钱，取相同的符号，然后把绝对值相加就好啦。
比如说3 + 5 = 8，就像两个人都赚钱，一共赚了8元。
而异号相加呢，就像是一个人赚钱一个人花钱，这时候要用大的绝对值减去小的绝对值，符号取绝对值大的那个数的符号。
就像5 + (-3) = 2，5的绝对值大，它是赚钱的，3是花钱的，最后还赚了2元呢。
2. 一元一次方程。
一元一次方程啊，就像是一个小谜题。
它只有一个未知数，而且这个未知数的次数是1。
解一元一次方程就像是在找宝藏的线索。
我们要把含有未知数的项都移到一边，常数项移到另一边，就像整理房间一样，把东西归归类。
比如说方程2x + 3 = 7，我们先把3移到右边变成2x = 7 - 3，然后算出2x = 4，最后再把x前面的2除掉，就得到x = 2啦，就像找到了宝藏的关键钥匙。
3. 整式的乘法。
整式的乘法有点像搭积木哦。
单项式乘以单项式，系数和系数相乘，同底数幂相乘。
比如说2x乘以3x，系数2和3相乘得到6，x乘以x就是x的平方，结果就是6x ²。
多项式乘以多项式呢，就像是把两个不同的积木组合搭在一起。
我们要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，然后再把所得的积相加。
就像(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd，就像把不同形状的积木块组合成一个新的大积木呢。
二、几何部分。
1. 三角形内角和定理。
三角形内角和是180°哦，这是个超级重要的定理呢。
想象一下三角形就像一个小房子的屋顶，三个角就是屋顶的三个角。
不管这个三角形是大是小，是胖是瘦，它的三个内角加起来永远都是180°。
如果知道其中两个角的度数，想找第三个角就很简单啦，用180°减去已知的两个角的度数就可以了。
著名数学定理1
著名数学定理15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway，1937-)和W.A.Schneeberger于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a2+b2+c2+d2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数.6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.阿贝尔-鲁菲尼定理定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如，任意给定二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：.这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如的解就是.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群：，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群，这是一个不可解群.当次数n大于等于5时，情况也是如此.阿贝尔二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：.其中，，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式如果存在素数p，使得p不整除an ，但整除其他ai(i=0，1，...，n-1)；p2不整除a0 ，那么f(x)在有理数域上是不可约的.奥尔定理离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G满足：G的任意两个点u和v度数之和至少为n，即deg(u)+deg(v)≥n，那么G必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件.表达式deg(u)+deg(v)≥n→G有哈密顿通路相关概念：简单图：没有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的一条回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.伯特兰·切比雪夫定理伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n> 3，则至少存在一个质数p，符合n<p< 2n? 2.另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n<p< 2n.贝亚蒂定理定义一个正无理数r的贝亚蒂列Br为Br=[r]，[2r]，[3r]，...=[nr](n≥1)，这里的[]是取整函数.若然有两个正无理数p，q且，(即) ，则Bp=[np](n≥1)，Bq=[nq](n≥1)构成正整数集的一个分划：.布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P和Q，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑(Brainchon)定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.布朗定理设P(x)为满足p≤x的素数数目，使得p+2也是素数(也就是说，P(x)是孪生素数的数目).那么，对于x≥3，我们有：，其中c是某个常数.裴蜀定理(贝祖定理)对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x 和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。
数学人教版高中一年级必修1 高中数学公式定理定律概念大全
第一章 集合与简易逻辑１ 集合的概念与运算 1.1 集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法； （4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作φ； （5）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ； （6）常用数集：自然数集：N ；正整数集：*N 或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。
*N N Z Q R ⊂⊂⊂⊂1.2 子集（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ，注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ（2）性质：①A A A ⊆⊆φ,；②若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 1.3 真子集（1）定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）性质：①,A A φφ≠⊂；②若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； 1.4 补集：（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集 （1）交集：{|,且}AB x x A x B =∈∈性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ⊆ （2）并集：{|,或}AB x x A x B =∈∈性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ⊆ 1.6 集合运算中常用结论 （1）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.（2）U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=（3）含n 个元素的集合的所有子集有n2个2 一元二次不等式的解法 2.1 一元一次不等式的解法通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则bx a>；若0a <,则bx a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。
微积分基本定理(1)
练习题
一、填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=_______
.
2、
xd (
f ( x))dx __________ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2 0
f
( x)dx
____，其中
f
(x)
x2 , 0 x 2 x , 1
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
思考题解答
x
a
f
(t
)dt
与 b x
f
(u)du都是x
的函数
dx
dx a
f (t)dt
f (x)
d dx
b
x
f
(u)du
f
(
x)
16
备用题
1.设
求
解：定积分为常数 ,
可设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(
x)
d
x
b
,
则
17
2. 设
时, = o( ) .
F( )(b a) f ( )(b a), 在a与b与之间
积分中值定理中的 可在开区间(a,b) 取得.
9
例5 求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
9矩阵特征值的几个重要定理
i 1 i 1 n n
（12）
令 直接计算可得
设 J diag(J1 , J 2 ,
2
Q( A B)Q 1 ，
2
（6）
, J r ), 其中 J i 是以 A 的特征值 i 为对角元素的 ki 阶 Jordan 块，
i 1, 2,
, r ，则由引理 1 可得
1 1 2
( I J )
| i |ki ， min ( I J ) min min ( I J i ) min 1i r 1i r (1 | |) ki 1 i
G2 ( A) z C | z 10 | 5 ，
图1
如图 1 所示，G3 中含 A 的一个特征值，而 G1 与 G2 相交，适当放大 G3 ，可 G1 与 G2 使缩小， 从而使其 G1 与 G2 分离。对 A 取 D diag(1,1, 2) ，则
20 5 0.4 B DAD 4 10 0.5 。 2 4 10i
图1 下面我们给出一个一般方阵的特征值的扰动定理 定理 2（Bauer-Fike 定理）设 A, B C
nn
图2
，其中 A 可对角化，即 A Q ΛQ ， Λ 为对
1
角矩阵， Q 为非奇异矩阵. 则对于任意的 ( B) ，必存在 ( A) ，使得
| | Q 1
其中 U ,V 是酉矩阵， Λ diag(1 , 2 ,
2
B VΩV H ， , n ) ， Ω diag(1 , 2 , , n ) . 于是
（11）
著名数学定理1
著名数学定理15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway ，1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2)，该二次多项式可以通过变量取整数值而表示出所有正整数. 6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.阿贝尔-鲁菲尼定理定理定义：阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解.事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根.然而代数基本定理并没有说明根的具体形式.通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示.例如，任意给定二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，它的两个解可以用方程的系数来表示：a ac b b r 2422,1-±-=. 这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解.三次方程，四次方程的根也可以使用类似的方式来表示.阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：()0,500111≠≥=++⋅⋅⋅++--n n n n n a n a x a x a x a ，那么不存在一个通用的公式(求根公式)，使用 n a a a ,,,10⋅⋅⋅ 和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解.或者说，当n 大于等于5时，存在n 次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到.换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式.这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解.比如025=-x 的解就是52.具体区分哪些多项式方程可以有代数解而哪些不能的方法由伽罗瓦给出，因此相关理论也被称为伽罗瓦理论.简单来说，某多项式方程有代数解，等价于说它对应的域扩张上的伽罗瓦群是一个可解群.对于一般的二次，三次和四次方程，它们对应的伽罗瓦群是二次，三次和四次对称群： 432,,σσσ ，它们都是可解群.但一般的五次方程对应的是五次对称群5σ，这是一个不可解群.当次数n 大于等于5时，情况也是如此.阿贝尔二项式定理二项式定理可以用以下公式表示：()∑=-=+n r r r n r n n b a C b a 0.其中，()!!!r n r n C r n -=，又有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 等记法，称为二项式系数，即取的组合数目.此系数亦可表示为杨辉三角形.它们之间是互通的关系.艾森斯坦因判别法艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式()011a x a x a x f n n n n +++=-- 如果存在素数p ，使得p 不整除a n ，但整除其他a i (i=0，1，...，n -1)；p²不整除a 0 ，那么f (x )在有理数域上是不可约的.奥尔定理离散数学中图论的一个定理)如果一个总点数至少为3的简单图G 满足：G 的任意两个点u 和v 度数之和至少为n ，即deg (u )+deg (v )≥n ，那么G 必然有哈密顿回路.它描述了简单图拥有哈密顿回路的一个充分条件.表达式deg (u )+deg (v )≥n →G 有哈密顿通路相关概念：简单图：没有重边和环的无向图.度数：某点所连接的边的数目.哈密顿回路：经过图的所有的点的一条回路.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是弧ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD .折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦. 伯特兰·切比雪夫定理伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n > 3，则至少存在一个质数p ，符合n <p < 2n − 2.另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n ，存在一个质数p ，符合n <p < 2n .贝亚蒂定理定义一个正无理数r 的贝亚蒂列B r 为B r =[r ]，[2r ]，[3r ]，...=[nr ](n ≥1)，这里的[]是取整函数.若然有两阿基米德折弦定理个正无理数p ，q 且111=+q p ，(即1-=p p q ) ，则B p =[np ](n ≥1)，B q =[nq ](n ≥1)构成正整数集的一个分划：+=⋃∅=⋂Z B B B B q p q p ,.布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：如果六边形的边交替地通过两个定点P 和Q ，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑(Brainchon )定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.布朗定理设P(x)为满足p ≤ x 的素数数目，使得p +2也是素数(也就是说，P (x )是孪生素数的数目).那么，对于x ≥3，我们有：()()()22log log log x x x c x P <，其中c 是某个常数. 裴蜀定理(贝祖定理)对任何整数a 、b 和它们的最大公约数d ，关于未知数x 和y 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a ,b 是整数,且(a ,b )=d ，那么对于任意的整数x ,y ,ax +by 都一定是d 的倍数，特别地，一定存在整数x ,y ，使ax +by =d 成立。
一、柯西（Cauchy）中值定理
B
A
D
F ( 2 )F ( b )
o
F ( a ) F ( 1 ) F ( x )
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f (a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件 ,
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
tan x x 求 lim 2 . x 0 x tan x
2 sec x 1 tan x x lim 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x
tan x 1 2 sec x tan x 1 lim . lim x 0 3 x 0 x 3 6x
2
关于 型的极限，有下述定理
这种极限称为未定式本节我们就利用cauchy中值定理来建立求未定式极限的lhospital法则利用这一法则可以直接求型未定式解法洛必达法则定义称为那末极限tanlimsinlnsinlnlimbxax那末或为无穷大存在都存在且定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求
,
0 和 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0
0 , ,00 , 0 ,1 等其它类型的未定式的极限
0 三、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
定义 如果当x a (或x )时,两个函数f ( x )
及 F ( x ) 都存在且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
第6节 实数的连续性：上确界下确界存在定理
证明：
x A , y B， x su p A , y su p B， 有 xy su p A su p B
因 此 sup AB sup A sup B
0, 1, x 0 A , x 0 sup A 0, 1, y 0 B , y 0 sup B
在 [ a N , b N ]中必有 E 中点 x N , 使得
( lim a n )
n
xN aN
sup E
aN
●
xN
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bN
确界原理 注１：
单调有界原理
设 证明： a n 单调增，有上界，
则 a n 有上确界 sup a n a 且 an a
2
2
'
x y inf X inf Y
inf( X Y ) inf X inf Y
⑵ 显然有
inf X sup X , inf Y sup Y
inf X sup Y inf( X Y ) inf X inf Y sup X inf Y
3, x Q , E2
,
E1
x 0 x
x
3 x , x Q ， 3， 因 此 有 理 数
集 合 E 1的 上 界 为
3， E 2 集 合 的 下 确 界 为
集合确界定理不存在.
0, a N , 使 a N a
n N时
an a N a an a an a
lim a n a sup a n
n
微积分基本定理1
∫ ∫ ∫ ∫ =
x f (t )dt +
a
x+∆x f (t )dt −
x
x a
f
( t )dt
=
x + ∆x
f (t )dt,
x
由积分中值定理得
y
∆Φ = f (ξ )∆x
ξ ∈[ x, x + ∆x],
∆Φ ∆x
=
f (ξ ),
lim ∆Φ = lim f (ξ ) ∆x→0 ∆x ∆x→0
§3.2 微 积 分 基 本 定 理
一、积分上限函数
设函数 f ( x )在区间[a,b]上连续，且x为 [ a, b] 上的一点，考察定积分
∫x a
f
( x)dx =
∫x a
f
(t )dt
如果上限x在区间[ a , b] 上任意变动，则对于每一
个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在
[ a, b] 上定义了一个函数，称为积分上限函数，
解 当x < 0时，1 的一个原函数是ln x
∫−1 −2
1dx x
x
= [ln |
]x
|
−1 −2
= ln1 − ln 2 = − ln 2.
例9 计算曲线 y = sin x在[0,π ]上与x轴所围成
的平面图形的面积.
y
∫ 解
面积 A =
π
sin xdx
0
y=sinx
=
[−
cos
x
]π
0
=
ห้องสมุดไป่ตู้2.
∫ f 2 (x) =
x
f (t)
sin t
dt
0 2 + cos t
1-4收敛数列的性质解析
lim
n
5n2
4n
1
lim
n
2 5
3
n 4
n
4
n2 1
n2
3
4
lim 2
n
lim 5
n
lim
n
lim
n
n 4
n
lim
n
lim
n
n2 1
n2
2 5
例3: 设 | q | 1, 计算极限 lim(1 q q2 ... qn1 ) n
lim(1 q q2 ... qn1 )
n
1 qn lim
n 1 q
1
qn
lim lim
n 1 q n 1 q
1 1 limqn 1 q 1 q n
1. 1q
三、 无穷小
定义: 如果收敛数列{an }的极限为0,那么这个数列 称为无穷小列, 简称无穷小.
定理6 : 1o{an }为无穷小的充要条件是{| an |}为无穷小;
2o 两个无穷小之和(或差)仍是无穷小;
比如：数列xn (1)n1 是发散的.
数列{sin n}是发散的
4. 不等式性质
定理4：
1o
设
lim
n
an
a,
, 满足
a
, 那么当
n充分大时有an ; an ;
2o
设
lim
n
a
n
a,
lim
n
bn
b, 且a
b, 那么当
n充分大时有 an bn;
3o
设
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
b,
第三章一阶微分方程的解的存在定理(1)
第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem)⎪⎩⎪⎨⎧==(3.2)3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念1）利普希兹(Lipschitz)条件函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤-对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。
其中L 称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件称函数),(y x f 在区域2R G ⊂内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。
注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。
3）一致利普希兹条件称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ⨯⊂2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ⊂，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ其中L 是与λ无关的正数。
4）解的延拓设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义，],[),(b a x x y ∈=ϕ是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ⊂，当],[b a x ∈时，)()(x x ψϕ≡，则称解)(x ψ是解)(x ϕ在区间],[b a 上的一个延拓。
5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。
中值定理1
(2) f ( x) D(a,b); f (a) A
B
(3) f (a) f (b).
y f (x)
则至少一点 (a,b),
x
使 f ( ) 0.
0 a 1
2
b
罗尔定理
若f ( x)满足： (1) f ( x) C[a,b];
(2) f ( x) D(a,b);
(3) f (a) f (b).
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
问题： 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f ( x) 在区间 I 上是否为一个常数？
定理 如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零 , 那末 f ( x) 在区间 I 上是一个常数 .
证 在区间上任取两点x1、x2( x1 x2 )
例4 设f ( x) x2 2x 3
(x 3)(x 1). 则f ( x) C[1,3],
f ( x) D(1,3),
且 f (1) f (3) 0,
(3) f (a) f (b).
f (x) 2(x 1),
则至少一点 (a,b), 使 f ( ) 0.
取 1, (1(1,3))
4、 证明下列不等式：
1、 arctana arctanb a b ；
2、当x 1时，e x ex .
2、设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ， 方 程 f ( x) 0有____________个根，它们分别在区间 _____________上.
3、设a b 0 ，n 1 ，证明
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
常微分方程--第三章 一阶微分方程的解的存在定理(3.1-3.2)_OK
x
L x0 1( ) 0 ( )d
L
x x0
M (
x0 )d
ML 2
(x
x0 )2
其中第二个不等式是由Lipschitz条件得到的,
由Lipschitz条件
17
设对于正整数n, 有不等式
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0
)n
,
则当x0 x x0 h时,由Lipschitz条件有
dy dx
f
(x, y), (3.1)
y(x0 ) y0
证明: 若y (x)为(3.1)的连续解,则
d ( x)
dx
f
( x, ( x)),
(x0 ) y0
对第一式从x0到x取定积分得
x
即
x (x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx (x) y0 x0 f (x,(x))dx
x
f ( , ( )) f ( ,( )) d x0
x
x
L ( ) ( ) d L g( )d
x0
x0
令u(x) L
x
g( )d ,
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u'(x) Lg(x),于是
u(x) Lu(x), (u(x) Lu(x))eLx 0,
(4) (x)是积分方程(3.5)定义于[x0 h, x0 h]上连续解
且唯一.
9
下面分五个命题来证明定理,为此先给出
积分方程
如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.
积分第一中值定理
积分第一中值定理
在数学研究中，积分第一中值定理是一个重要的定理，它能够证明函数在某一特定的区间内的积分，并将其用于许多其他的数学证明中。
积分第一中值定理又被称为高斯-斯拉夫特定理，它是由德国数学家兼物理学家兼天文学家卡尔高斯和俄罗斯数学家斯拉夫斯拉夫（vrentev）在17种文章中发表的。
积分第一中值定理指出，如果函数$ f (x)在给定的区间$ [a,b]上是可积分，则存在一个实数c，使得
[ int_a^b f(x)dx = f(c) (b-a) ]
让我们来看一个例子，以便更好地理解这个定理。
假设我们有一个函数$ y = x^2 $，要求在$ [0,2]$上的积分。
显然，这个函数在我们所给出的区间上是可积分的，因此，根据积分第一中值定理，我们可以找到一个实数$ c $，使得
[ int_0^2 x^2 dx = x^2(2-0) = c^2(2-0) ]
解得$ c=1 $，因此，我们可以得出结论
[ int_0^2 x^2dx = 2 ]
积分第一中值定理可以用来证明许多其他的数学定理，例如贝塞尔定理，它可以用来证明函数在某一给定的区间上的局部极大值和极小值。
另外，这个定理也能用来证明牛顿-勒莱特定理，它解释了积分在特定区间内的变化情况。
积分第一中值定理也可以用来解决微积分中出现的许多问题，因此它在微积分中十分重要。
例如，它可以用来证明曲线有几个拐点或
者它在特定区间内的积分是多少。
它还可以用来求解积分方程。
积分第一中值定理是一个重要的定理，它已经成为微积分中数学证明的基础，它给出了很多实用的工具，能够解决微积分中的许多问题。
高中几何基本定理[1]
![高中几何基本定理[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/23a0031e6bd97f192279e9aa.png)
（高中）竞赛平面几何必备定理1． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=．2． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 3． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 44． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．5． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．6． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 7． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．8． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）9． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．10． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．11． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．12． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 13． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点． 14．15． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．16． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．17． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ． 18． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．19． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABGS S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+；②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．20． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CcB b A a yC cy B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H CB AC B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆； （4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．21． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则acb KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．22． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O CB AC B A ++++++++外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．23． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．24． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABCsin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 25． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2s i n2c o s 2c o s 4,2c o s 2s i n 2c o s 4,2c o s 2c o s 2s i n 4;2s i n 2s i n 2s i n 4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a=++===26． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 27． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．28． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1． 29． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点30． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．31． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．32． 史坦纳定理：设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心．． 33． 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．34． 牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．35． 笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．36． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．。
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结内定理（一）公式法搞定初中记叙文阅读“结内定理”——一般作用题作用题长什么样子？一般作用题必用公式：结内定理结构：承铺点照引悬线内容：手法+内容概括+人物形象+中心情感P.S. “结构”不可空答，必须说具体“人物形象”一步仍包含“事物特征”“手法”点到即可，不要展开回答，避免答成赏析题公式解读——结构：“承铺点照引悬线”承上启下、为下文……作铺垫、点明中心、照应前文……/开头、引出下文……、设置/解开悬念、交代贯穿全文的线索内容：1、手法：修辞手法、词语用法、表现手法、表达方式2、内容概括：涉及事件概括、情景概括、要素概括……3、人物形象/事物特征+中心情感：同前几讲例1苏醒中的母亲张抗抗①年近八十高龄的母亲，长期患高血压，令我一直牵挂悬心。
2002年秋天的一个凌晨，我担心的事情终于发生了，父亲打电话告诉我，母亲猝发脑出血，已经及时送往医院准备手术。
②飞机在黑暗中上升，穿越浓云密布的天空，我觉得自己像一个被安装在飞机上的零部件，没有知觉，没有思维。
我只是躯体在飞行，我的心早已先期到达了。
③走进重症监护室最初那一刻，我竟然不认识自己的母亲了——仅仅只是一天，脑部手术后依然处于昏迷状态的母亲，整个面部都萎缩变形了，口腔、鼻腔和身上到处插满了管子，头顶上敷着大面积的厚纱布……手术成功地清除了母亲大脑表层的淤血，家人和亲友们都松了口气。
然后是在重症监护室外的走廊上整日整夜地守候，焦虑而充满希望地等待。
等待是如此漫长，母亲沉睡的身子把钟表的指针压住了。
那些日子我才知道，“时间”是会由于母亲的昏迷而昏迷的。
④两天以后的一个上午，母亲的眼皮在灯光下开始微微战栗。
那个瞬间，脚下的地板也随之战栗了。
母亲睁开眼睛的那一刻，阴郁的天空云开雾散，整座城市所有的楼窗，都好像突然一扇一扇地敞开。
然而她不能说话，只能依赖呼吸机维持生命。
她的意识是模糊的，只能用茫然的眼神注视我们，那个时刻，整个世界都与她一同沉默了。
⑤母亲开口说话，是在呼吸机停用后的第二天夜晚。
我悄悄走到妈妈床边，说：“妈妈，是我呀，抗抗来了。
”⑥由于插管子损伤了喉咙，妈妈的声音变得粗哑低沉，她复述了一遍我的话，那句话却变成了：“妈妈来了。
”⑦我纠正她：“是抗抗来了。
”⑧她固执地重复强调说：“妈妈来了。
”⑨我的眼泪一下子涌上来。
“妈妈来了”——那个熟悉的声音，从我遥远的童年时代传来：“别怕，妈妈来了。
”——在母亲苏醒后的最初时段，在母亲依然昏沉疲惫的意识中，她脆弱的神经里不可摧毁的信念是：妈妈来了。
⑩妈妈来了。
妈妈终于回来了。
11母亲的语言功能一天天开始恢复。
在病床上长久地输液保持一个姿势让她觉得难受，她便不停地转动头部，企图挣脱鼻管。
输氧的胶管常常从她鼻孔中脱落，护士一次次为她粘贴胶布，并嘱咐她不要乱动。
她惭愧地说：“是啊，我怎么……怎么老是要做……这个动作呢。
”她断断续续地用复杂的句式来表达自己的意思。
12若是问她：“妈妈，今天有哪里不舒服吗？”她总是回答说：“我没有不舒服。
”真是难以想象母亲是怎样坚持过来的。
她只是静静地忍受着病痛，我从未听到过她抱怨，或是表现出病人通常的那种烦躁。
灾难过后的母亲，意识与语言的康复依然十分艰难缓慢。
她明明是醒过来了，但我时常觉得她好像还在一个长长的梦里游弋。
但她天性里那种纯真、善良，却始终被她无意地坚守着。
13一天，母亲也许是听见了不知何处传来的乐曲声，她说：“敞开音乐的大门，春天来了。
”14母亲要做脑部CT，她躺在可移动的病床上，护工推着床下楼，经过医院的小花园。
母亲望着天空说：“今天真是丰富多彩的一天呀！”那一刻，她笑了，笑容使得她满脸的皱纹一丝丝堆拢，像金色的菊花那样一卷一卷地在微风中舒展。
母亲永远都在赞美着生活，即使在大病初愈脑中仍然一片混沌之时。
我为自己有这样一位母亲感到骄傲。
15母亲终于重新站立起来，几乎奇迹般地康复了。
16我想，一个人刚刚从昏迷中苏醒过来，在理智思维尚未健全的状态下，她所自然流露出来的思维和行为，应是她心中最坚实的内核与底蕴。
于是我写下了这些。
2.结合内容，简要分析第⑩段在文章中的作用。
（4分）结构：承上启下——“妈妈来了”承接第⑨段内容；“妈妈终于回来了”引出下文母亲苏醒后渐渐恢复的情形手法：反复内容概括：初醒的母亲固执地重复“妈妈来了”；母亲被抢救回来，从昏迷中苏醒并渐渐恢复人物形象：母亲对“我”本真纯粹的母爱中心情感：表达了“我”对母爱的理解，对母亲的依恋和感动；如释重负的喜悦之情。
第⑩段有承上启下的作用。
“妈妈来了”紧承第⑨段内容，第⑨段写出“我”理解了初醒时的母亲，在理智思维尚未恢复的状态下的固执回答，实际上显露出了她人性中本真纯粹的母爱，此段的重复，既表达了“我”对母亲回答的认可，也蕴含着母亲带给“我”的依恋和感动；“妈妈终于回来了”写出了母亲被抢救回来，从昏迷中苏醒的情形，也表达了“我”如释重负般的喜悦之情，还领起了下文，下文着重写母亲苏醒后渐渐恢复的情形。
例2木鱼馄饨林清玄①深夜到临沂街去访友，偶然在巷子里遇见多年前旧识的卖馄饨的老人，他开朗依旧，风趣依旧。
②四年多以前，我客居在临沂街，夜里时常工作到很晚，每天凌晨一点半左右，一阵清越的木鱼声，总响进我临街的窗口。
那木鱼的声音非常准时，天天都在那刻敲响，即使风雨夜也不间断。
刚开始的时候，木鱼声带给我一种神秘的感觉，往往令我停止工作，出神地望着窗外的长空，心里不断地想着：这深夜的木鱼声，到底是谁敲起的？它又象征了什么意义？难道有人每天凌晨一时在我住处附近念经吗？在民间，过去曾有敲木鱼为人报晓的僧侣，每日黎明就在街巷里穿梭，手里端着木鱼滴滴笃笃地敲出低沉但雄长的声音。
我一直觉得这种敲木鱼报佛音的事情，是中国佛教与民间生活相契一种极好的佐证。
③冬季里有一天，天空中落着无力的飘闪的小雨，我正读着一册印刷极为精美的《金刚经》，读到最后“一切有为法，如梦幻泡影，如露亦如电，应作如是观”一段，木鱼声恰好从远处的巷口传来，格外使人觉得昊天无极，我披衣坐起，撑着一把伞，决心去找木鱼声音的来处。
④那木鱼敲得十分沉重着力，从满天的雨丝里穿扬开来，它敲敲停停，忽远忽近，完全不像是寺庙里读经时急落的木鱼。
我追踪着声音的轨迹，匆匆地穿过巷子，看到一个披着宽大布衣，戴着毡帽的小老头，他推着一辆老旧的摊车，正摇摇摆摆地从巷子那一头走来。
随着道路的颠簸在微雨的暗道里飘摇。
一直迷惑我的木鱼声，就是那位老人所敲出来的。
⑤一走近，才知道那只是一个寻常卖馄饨的摊子。
我问老人为什么选择了木鱼的敲奏，他的回答竟是十分简单，他说：“喜欢吃我的馄饨的老顾客，一听到我的木鱼声，他们就会跑出来买馄饨了。
”我不禁哑然，原来木鱼在他只是一种再也简单不过的信号。
⑥是我自己把木鱼联想得太远了，其实它有时候仅仅是一种劳苦生活的工具。
⑦老人也看出了我的失望，他说：“先生，你吃一碗我的馄饨吧，完全是用精肉做成的，不加一点葱菜，连大饭店的厨师都爱吃我的馄饨呢。
”我于是丢弃了自己对木鱼的魔障，撑着伞，站立在一座红门前吃了一碗馄饨。
在风雨中，我品出了老人的馄饨，确是人间的美味，不下于他手中敲的木鱼。
⑧后来，我也慢慢成为老人忠实的顾客。
和老人熟了后才知道他选择木鱼作为馄饨的讯号有他独特的匠心。
他说因为他的生意在深夜，实在想不出一种可以让远近都听闻而又不致于吵醒熟睡人们的工具，而且深夜里像卖粽子的人大声叫嚷，是他觉得有失尊严而有所不为的，最后他选择了木鱼——让清醒者可以听到他的叫唤，却不至于中断了熟睡者的美梦。
⑨我吃老人的馄饨吃了一年多，直到后来迁居，才失去联系，但每当在静夜里工作，我仍时常怀念着他和他的馄饨。
⑩老人是我们社会角落里一个平凡的人，他在这一带卖了三十年馄饨，已成为那一带夜生活里人尽皆知的人，他固然对自己亲手烹调后小心翼翼装在铁盒的馄饨很有信心，他用木鱼声传递的馄饨也成为那一带的金字招牌。
木鱼在他、在吃馄饨的人来说，都是生活里的一部分。
⑾那一天遇到老人，他还是一袭布衣，还是敲着那敲了三十年的木鱼。
入夜我还可以听见木鱼声从黑夜的空中穿过，温暖着迟睡者的心灵。
⑿木鱼在馄饨摊子里真是美，充满了生活的美。
我离开的时候这样想着，有时读不读经都是无关紧要的事。
2.文章第①段画线句连用了两个“依旧”，第⑾段画线句连用了两个“还是”，请结合上下文，分别从结构和内容上分析其作用。
（5分）结构：引——引出下文对木鱼馄饨事件的回忆；照——照应前文回忆中初次见到老人的情景手法：反复内容概括：略（结构作用中的事件）人物形象：开朗风趣的性格（没变）；朴实、善良的品格（没变）中心情感：表达了“我”对老人美好心灵的赞美、怀念和敬重结构：两个“依旧”引出下文对木鱼馄饨的回忆；两个“还是”呼应回忆中见到老人的情景。
内容：运用反复手法，两个“依旧”强调老人开朗风趣的性格没变；两个“还是”强调老人平朴、善良的品格没变；表达了作者对老人美好心灵的赞美、深切怀念以及深深的敬重之情。
（共5分。
结构2分，内容3分）例3父亲的村庄孙京涛①父亲，像他那一代大多数农民一样，没有文化，朴素、勤劳。
父亲的村庄，也像大部分胶东农村一样，贫瘠、平淡、寂寂无名。
然而，就是这样的父亲，和他的东石水头村，成为了我生命的起航。
②改革开放前，父亲一直是生产队赶马车的，这份略略异于普通农人的职业，是我向小伙伴们夸耀的资本。
我总觉得，父亲能走得很远很远，走到村人们都走不到的地方……因此他的每一次离家，都会引发我对外界无穷的想象，然后添油加醋地演绎给伙伴们听。
③大约在我三四岁的时候，父亲第一次带我到生产队的饲养场玩耍。
当时的饲养员叫张爱，干瘦老头，跛腿，脾气大，早年在外当长工，闯荡江湖，见多识广。
张爱大爷定定地看着我的眼睛，转头对父亲说：“这孩子，以后就靠这双眼吃饭！”父亲不屑：人都靠双手吃饭，哪有靠眼吃饭的？后来我考上大学，学摄影专业，父亲想起张爱大爷当年的“预言”，不胜唏嘘。
④年龄稍长，我随着父亲的马车进了城。
我知道，在城里，有不用马拉就会自己跑的汽车，还有能把人吸到肚子底下轧死的火车。
父亲说：“使劲念书吧，念好了才能到城里工作。
”我听父亲的话，从县城的重点中学一直念到北京的重点大学。
大学毕业，系里保送我上研究生。
四年本科，我已经让家里家徒四壁了，还可能再读三年吗？我回家问父亲，要不要上这个学？“研究生是什么？”父亲问。
“大学毕业了可以教高中，研究生毕业了，就可以教大学。
”我比划着跟父亲解释。
“那咱村有孩子读吗？”“没有。
”“那咱附近这三个村子有孩子读吗？”“好像也没有。
”“那你得上！砸锅卖铁也得上！这个不是钱能买来的！”父亲果断地替我做了主。
⑤后来，我真的在城里工作了。
我觉得自己就像一支箭，而父亲，就是那张弓。
他铆足了一生的气力，把我放飞出去；自己却囿于那个封闭的乡村，日渐衰老。
⑥父亲经常说起一个故事：有一年正月十五晚上，一位年龄比父亲小、辈分比父亲高的小老奶奶来到我家，坐下了，只是一个劲儿地东拉西扯。