第三章向量专项测试题(1)

爱启航在线考研第三章 向量

1. 已知向量组1234,,,αααα线性无关，则向量组（ ）

A. 12233441,,,++++αααααααα线性无关

B. 12233441,,,−−−−αααααααα线性无关

C. 12233441,,,+++−αααααααα线性无关

D. 12233441,,,++−−αααααααα线性无关

2. 设向量组123,,ααα线性无关，且1234k ++ααα，1232+−ααα，23+αα线性相关，则k =__________.

3. n 维列向量12,,,s ααα线性无关的充要条件是（ ） A. 存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122s s k k k +++≠ααα0 B. 添加向量β后，12,,,,s αααβ线性无关 C. 去掉任一向量i α后，111,,,,,i i s −+αααα线性无关 D. 121311,,,,s −−−ααααααα线性无关

4. 判别下列向量组是否线性相关： （1）()()()()12342,0,0,0,2,1,1,1,1,1,2,1T T T T ====−αααα； （2）()()()1231,2,1,2,2,3,1,3,4,1,1,7T T T =−=−=−βββ； （3）()()()123,1,,0,0,,0,,2,3,,4,,5,6T T T a b c d e f ===γγγ.

爱启航在线考研5. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）.

(A) A 中两行（列）对应元素成比例；

(B) A 中任意一行为其它行的线性组合；

(C) A 中至少有一行元素全为零；

(D) A 中必有一行为其它行的线性组合. 6. 设A 为n 阶方阵，()r r n =

爱启航在线考研9.

1122133123,3,2=+=−=−−βααβααβααα，试证123,,βββ线性相关.

10. 设012,,,,s αααα是线性无关向量组，证明向量组001020,,,,s +++ααααααα 也线性无关. 11. 设向量12,,,t ααα是齐次线性方程组=Ax 0的t 个线性无关的解向量（即i =A α0），向量β不是方程组=Ax 0的解（即≠A β0）.试证明:向量组12,,,,t +++ββαβαβα线性无关.

爱启航在线考研12. 设向量12,,

,n ααα为两两正交的非零向量，证明12,,,n ααα线性无关，并举例说明

逆命题不正确.

13. 设12,,,(2)n n ≥ααα线性无关，证明：当且仅当n 为奇数时， 12231,,,n +++αααααα线性无关. 14. 下列命题正确的是（ ） （A ）若12,,,n ααα两两正交，则12,,,n ααα一定线性无关. （B ）若12,,,n ααα线性无关，则12,,,n ααα一定两两正交. （C ）设1234,,,αααα是3维列向量，且两两正交，则其中至少有一个零向量. （D ）若12,,,n ααα线性相关，则其中任一向量都可由其余向量线性表示. 15. 设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.

爱启航在线考研16. 设向量组()()()()1231,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,2,0,4,2,5,T T T T ===−=αααβ 问： β是否可表示为123,,ααα的线性组合？

.

17. 设向量组()()()()12341,0,2,3,1,1,3,5,1,1,2,1,1,2,4,8,T T T T a a ===+=+αααα ()1,1,3,5T b =+β ，问： （1）b a ,为何值时，β不能表示为1234,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为1234,,,αααα的线性组合？ 18. 设向量组()()()()123,2,10,2,1,5,1,1,4,1,,T T T T a b c ==−=−=αααβ. 问：当,,a b c 满足什么条件时， （Ⅰ）β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？ （Ⅱ）β不能由123,,ααα线性表出？ （Ⅲ）β可由123,,ααα线性表出，且表示法不唯一？

爱启航在线考研19. 设()()1,0,1,2,0,1,0,2T T

=−=αβ ，矩阵T =A αβ，则()r =A ___________.

20. 求向量组()()()()12341,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,14,1,2,2,4,T T T T =−===−αααα()52,1,5,10T =α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 21. 设n 维向量组12,,,m ααα（m n <）线性无关，则n 维列向量组12,,,m βββ线性无关的充分必要条件为( ) （A ）向量组12,,,m ααα可由向量组12,,,m βββ线性表示. （B ）向量组12,,,m βββ可由向量组12,,,m ααα线性表示. （C ）向量组12,,,m ααα与向量组12,,,m βββ等价 （D ）矩阵()1,m =A αα，与矩阵1(,)m =B ββ，等价 22. 设,A B 为n 阶方阵，,P Q 为n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）. （A ）若=B AQ ，则A 的列向量组与B 的列向量组等价 （B ）若=B PA ，则A 的行向量组与B 的行向量组等价 （C ）若=B PAQ ，则A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价 （D ）若A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价，则A 与B 等价