二项展开式系数

二项式定理通项公式

可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。
例3：计算0.99710 的近似值。精确到0.001
解：0.99710 1 0.00310
c100 110 c110 19 0.003 c120 18 0.003 2
根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以
0.997 10 110 0.003 45 1 0.000009
a b0 1
a b1 1 1
a b2 1 2 1 a b3 1 3 3 1 a b4 1 4 6 4 1 a b5 1 5 10 10 5 1 a b6 1 6 15 20 15 6 1
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和.
通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk
3
(2) 求展开式中含x2 的项。
(3) 求展开式中系数最大的项和系数
最小的项。
例的系5. 数已与知第( 三x －项x的22 )系n (数n∈的N比)的为展10开:1。式(中1)第求五展项开
3
式各项系数的和；(2) 求展开式中含 x 2的项。 (3) 求展开式中系数最大的项和系数最小的项。
分析：要灵活、正确的应用二项展开式的通项公式。 (1) 先根据通项公式得到第五项与第三项的系数，再由已知条件求出n的值。由“赋值法”求各项系数的和。
通项公式:TK+1=Cnkan-kbk
2.二项展开式的特点 (1) 项数：展开式有共n+1项 (2) 系数：都是组合数，
依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，…Cnn (3) 指数的特点：
1) a的指数由n 0 (降幂) 2) b的指数由0 n (升幂) 3) a和b的指数和为n
3.二项式定理的几个变式：

二项展开式系数1、二项展开式是分析数学方法技术的一种，它利用二项展开式定理来进行求解。

二项展开式的定义为：一定的数据在进行了一定的运算后，每一项的系数即为二项展开式所求的系数。

例如：设(a+b)n为一个表达式，则n次幂中的每一项的系数统称为二项展开式系数。

如：(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3。

该式中，x3、3x2y、3xy2及y3系数分别为1、3、3及1。

2、几何推理中要求观察到几何特征，判断其它特征之间的关系，甚至归结总结出往后推理所需要的准则。

因此，二项展开式系数研究也涉及到几何推理，以及如何完整说明几何概念之间的联系和区别的问题。

3、求解二项展开式系数的方法有很多。

其中一种常用的方法是借助于各种公式方法，即根据某些已知公式，按照一定步骤推算出所求二项展开式系数。

例如求(x+y)n展开式中每一项系数的公式为：Cnk=n！/(k！(n-k)！)，其中Cnk=xkyn-k即为所求系数，n和k分别为阶数及其中每一项的次方。

4、在此基础上，依据二项展开式系数的不同特性，还可以利用比较推理、动态规划、递推等方法，更进一步完善求解二项展开式系数的运算过程。

例如，运用动态规划的思想，把计算二项展开式系数分解为若干个小步骤，再从一组初始数据出发，按照一定的步骤把答案求出来。

5、最后，当求解过程中答案较大或者系数比较难求时，就可以利用数学软件的运算性能来方便、准确和快捷地求解二项展开式系数。

总而言之，二项展开式系数的求解，涉及到许多分析方法。

就求解效率来说，可以分别采用几何推理、算法手段及数学软件等方式，以求得其最优解。

二项式定理

方法2 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式C中 15x(x只 3)有 24才存x的在项 , 其系数 C15为 324 240
方法3 (x2+3x+2)5=[x2+(3x+2)]5
在展开式C 中50(3只 x有 2)5才存x的在项 , 其系数 C15为 324 240
( x1)6(2x1)5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
5、的系数.
求 ( x1)6(2x1)5的展开式中 x 6 项
解：( x 1)6 的通项是 C 6 r( x)6rC 6 rx6 2r
(2 x 1)5 的通项是
C 5 s ( 2 x ) 5 s ( 1 ) s C 5 s ( 1 ) s 2 5 s x 5 s
( x1 )6(2x1 )5 的通项是
CC(1)2 x s r 56
s
5s
16r2s 2
课堂小结：
1、二项式定理、通项公式及二项式系数的性质。
2、要区分二项式系数与展开式项的系数的异同。
3、熟练求算二项展开式的Tr+1项、常数项、x 的r次方项等题型。
二项式定理的复习
1.二项展开式：
a bn
c n 0 a n c 1 n a n 1 b c n ra n rb r c n n b n
这个公式叫做二项式定理,等号后面的式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数。
二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk
用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；

题型08 二项展开式中的系数和、差问题(解析版)

【秒杀题型】：二项展开式中二项式系数和、各项系数和与差【题型1】：求二项式系数和、各项系数和。

『秒杀策略』：二项展开式二项式系数和：n 2；奇数项与偶数项二项式系数和相等为：12-n 。

系数和：赋值法：二项展开式的系数表示式：nn n x a x a x a a b ax ++++=+...)(2210(n a a a ,...,,10是系数)，令1=x 得系数和：nn b a a a a )(...10+=+++。

1.(2011年新课标全国卷5)5)12)((xx x ax -+的展开式中各项系数和为2，则该展开式中常数项为 ( ) A.－40 B.－20 C.20 D.40【解析】：令1=x 得系数和：1,2)12)(1(5==-+a a ，再利用分配系数法得常数项为40，选D 。

2.(高考题)已知n的展开式中，各项系数和与其各项二项式系数和之比为64，则n 等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】：令1=x 得系数和：n4，二项式系数和：n2，之比为n2=64，得6=n ，选C 。

3.(高考题)设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为 ( )A.－2B.－1C.1D.2 【解析】：令1-=x 得系数和：-2，选A 。

4.(高考题)8)2(x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ( )A.－1B.0C.1D.2 【解析】：令1=x 得系数和：1，4x 的系数是1，选B 。

5.(高考题)在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于。

【解析】：二项式系数和：n 2=256，n=8，利用通项得()r r r rrr r x C x x C T 22348883181-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--+，当2=r 时得常数项112。

二项式定理

二项式定理1．二项式定理2.(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －kn .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)C r n an －r b r 是二项展开式的第r 项．(×) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(√) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.(×) (6)在(x ＋1)n 的展开式中，每一项的二项式系数就是这项的系数．(√) (7)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式中通项公式是一样的．(×)(8)(x －y )n 的展开式中，第m 项的系数为(－1)m C m －1n .(×)(9)(1＋2x )5的展开式中含x 的项的系数为5.(×)(10)n x x )12(3 的展开式中不可能有常数项．(×)考点一二项展开式的通项及应用[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(x )r ＝25－r C r 5·，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10. 答案：10(2)(2016·高考四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4解析：∵T r ＋1＝C r 6x r (i)6－r ，∴含x 4的项为T 5＝C 46x 4i 2＝－15x 4.答案：A(3)(2017·河北唐山一模)322)21(-+xx 展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．20解析：∵322)21(-+x x ＝6)1(xx -，∴T r ＋1＝C r 6x 6－r rx )1(-＝C r 6(－1)r x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.答案：C(4)(2015·高考课标全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.答案：C[方法引航] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可.1．在本例(1)中，求展开式中系数最大的项是第几项．解：设第r ＋1项的系数最大，T r ＋1＝25－r C r 5·，第r 项的系数为26－r C r －15第r ＋2项的系数为24－r C r ＋15∴⎩⎨⎧25－r C r 5≥26－r C r －1525－r C r 5≥24－r C r ＋15，1≤r ≤2当r ＝1时，T 2＝当r ＝2时，T 3＝故系数最大的项为T 2或T 3.2．在本例(2)中，求展开式中的常数项．解：由T r ＋1＝C r 6x6－r ·i r可知，当r ＝6时．常数项为T 7＝C 66·i 6＝－1. 3．在本例(4)中，求展开式中含x 3y 3的系数．解析：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有三个取y ，一个取x 2，一个取x 即可，所以x 3y 3的系数为C 35C 12C 11＝10×2×1＝20.考点二二项展开式的系数和问题[例2] 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解：设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.[方法引航] (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.1.5)12)((x x x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解析：选D.令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项即为5)12(xx -展开式中1x 的系数与x 的系数的和.5)12(xx -展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·(－1)k ·x －k ＝C k 525－k x 5－2k·(－1)k .令5－2k ＝1，得2k ＝4，即k ＝2，因此5)12(xx -展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2k ＝－1，得2k ＝6，即k ＝3，因此5)12(x x -展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以5)12)(1(x x x x -+展开式中的常数项为80－40＝40.2．(2017·广西来宾一中检测)(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值为________．解析：设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4.令x 分别取1，－1，f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1，f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f (1)－f (－1)2＝1－272＝－13.答案：－13考点三二项式定理的综合应用[例3] (1)若S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727，求S 除以9的余数．解：S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.(2)求1.025的近似值．(精确到两位小数)解：1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.[方法引航] (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx . (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.1．将本例(1)变为S ＝1＋2＋22＋…＋25n －1.求证：S 能被31整除．证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n －1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．2．将本例(2)改为：求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)解：1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.[易错警示]多次应用二项展开式通项公式搭配不全[典例] (x 2＋2)52)11(-x的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 [正解] 二项式52)11(-x展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5r x-52)1(·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. [答案] D [易误] (x 2＋2)与52)11(-x的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x －2的积也为常数．[警示] 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．[高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：(1＋x )4的展开式通项为C r 4x r ，其中r 可取0,1,2,3,4. x 的所有奇数次幂为a C 14x ，a C 34x 3，C 04x ，C 24x 3，C 44x 5，∴系数和为8a ＋8＝32，∴a ＝3. 答案：32．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)解析：(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，故展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20.答案：－203．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：∵(x ＋a )10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r (r ＝0,1，…，10)， ∴(x ＋a )10的展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，得a ＝12. 答案：124．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选B.由题意可知a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，又13a ＝7b ，即13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，解得m ＝6.课时规范训练 A 组基础演练1．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )A ．80B ．40C ．20D ．10解析：选B.T k ＋1＝C k 515－k (2x )k ＝C k 5×2k ×x k ，令k ＝2，则可得含x 2项的系数为C 25×22＝40.2.532)2(x x -展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40解析：选C.T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k kx )2(3-＝C k 5(－2)k x 10－5k，令10－5k ＝0得k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.3．(x －2y )8的展开式中，x 6y 2项的系数是( )A ．56B ．－56C ．28D ．－28解析：选A.二项式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－2y )r ，令8－r ＝6，即r ＝2，得x 6y 2项的系数为C 28(－2)2＝56.4．已知8)(x a x -展开式中常数项为1 120，其中a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28解析：选C.由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式中各项系数的和为(1－a )8＝1或38.5．如果nx x )12(2+的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6 D ．10解析：选B.n xx )12(2+的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(2x )n －r rx )1(2＝∵n ，r ∈N ，且r ≤n ，∴n ＝5r ∈N ，即n 的最小值为5.6．在n x x )12(3-的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28解析：选B.由题意有n ＝8，T k ＋1＝C k 8k -8)21((－1)kx 8－43k ，k ＝6时为常数项，常数项为7. 7．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋22C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32解析：选A.逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.8．若n x x )1(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314，则展开式中常数项是( ) A ．－10 B ．10 C ．－45 D ．45解析：选D.因为展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r·＝C r n (－1)r，所以C 2nC 4n＝314，解得n ＝10，所以T r ＋1＝C r 10·(－1)r ·，令20－5r 2＝0，则r ＝8.所以常数项为T 9＝C 810＝C 210＝45.9．在52)12(x x -的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40解析：选D.因为T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k kx )1(-＝C k 525－k x 10－2k (－1)k x －k ＝C k 525－k(－1)k x 10－3k ，令10－3k ＝1，得k ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 10．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：选B.(1＋3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.B 组能力突破1．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20解析：选C.设展开式的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx ·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx ，∴12x －3kx ＝0恒成立．∴k ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 2．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1)B.34(3n －2)C.32(3n －2)D.32(3n －1) 解析：选D.在展开式中，令x ＝2得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n－1)．3．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 解析：a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案：04．(2016·高考山东卷)若52)1(xax +的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝rrrx C a 251055--，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.答案：－25．(2016·高考天津卷)82)1(xx -的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 8x 16－2r (－1)r x －r ＝(－1)r ·C r 8x 16－3r，令16－3r ＝7，得r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.答案：－566．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项是T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8. 答案：T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8。

二项展开式系数的求法

二项展开式系数的求法苏清军(山东省无棣二中,山东　251913)中图分类号:O122.4-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)12-0007-01收稿日期:2001-01-05作者简介:苏清军(1969—),男,山东无棣人,山东无棣二中一级教师. 对于(a +b )n 展开式中特定项的系数,常常从通项公式入手,学生容易掌握.而对于较复杂的展开式,如(a +b )m(c +d )n 、(a +b +c )n等,多有畏难情绪.这里介绍三种行之有效的方法,供大家学习时参考.1　有效展开　对于次数不大的二项式,可先作适当变形,然后部分展开,便可确定系数.例1　求(1+x )2(1+2x )5展开式中x 3的系数.解　(1+x )2(1+2x )5=(1+2x +x 2)(1+10x+40x 2+80x 3+…),所以x 3的系数为80+2×40+10=170.2　利用通项公式　即从通项公式入手,先得到问题的解,再得出项的系数.例2　在(1-2x )5(1+3x )4展开式中,若按x 的升幂排列,求展开式中的第三项.解　展开式中的第三项含x 2.二项式(1-2x )5的通项公式为R m +1=C m5(-2x )m,二项式(1+3x )4的通项公式为R n +1=C n4(3x )n.(m =0,1,2,3,4,5;n =0,1,2,3,4.)T m +1·R n +1=C m 5(-2x )m ·C n4(3x )n=C m 5C n 4(-2)m ·3n ·x m +n,令m +n =2,解得m =0,n =2,或m =1,n =1,或m =2,n =0.所以(1-2x )5(1+3x )4展开式中第三项的系数为C 05C 24(-2)0·32+C 15C 14(-2)·3+C 25C 04(-2)2·30=54-120+40=-26.3　利用求组合数的方法　这种方法并不需要借助二项展开式,对于形式各异的题目都可以实施.例3　(1996年上海高考题)在(1+x )6(1-x )4的展开式中,x 3的系数是.解　利用组合知识.展开式中含x 3项有x 3·x 0,x 2·x ,x ·x 2,x 0·x 3四种情况.所以x 3的系数是C 36+C 26·C 14·(-1)+C 16·C 24(-1)2+C 06·C 34(-1)3=20-60+36-4=-8.例4　(1992年全国高考题)在(x 2+3x +2)5的展开式中x 的系数为( )(A )160.　(B )240.　(C )360.　(D )800.分析:本题是三项展开式,可以通过分解因式、配方或加法结合律等方法转化为二项式进行展开.若借用组合知识解决可省却很多麻烦.解　根据三项的特点,展开式中x 项只能源于3x ·2·2·2·2,所以x 的系数为C 15·3·24=240,选(B ).例5　求(2x -3y -4z )6的展开式中x 3y 2z 的系数.解　利用组合知识,x 3y 2z 的系数为C 36·23·C 23·(-3)2·(-4)=-17280.72001年第12期数学通讯。

二项式定理

二项式定理二项式定理binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。

公式为：（a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1）b^1+……+Cnna^0b^n此定理指出：1、（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

2、二项展开式的通项公式（简称通项）为Cnr(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项（如下图），即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b)n在n为正整数时的展开式。

（a+b)n的系数表为：1 n=01 1 n=11 2 1 n=21 3 3 1 n=31 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=51 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）发现历程在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。

它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。

在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。

但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。

无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。

杨辉三角1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。

1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。

应用二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。

二项定理展开式

二项定理展开式摘要：一、二项式定理的简介1.二项式定理的定义2.二项式定理在数学中的重要性二、二项式定理的公式1.二项式定理的通用公式2.二项式定理的特例公式三、二项式定理的应用1.在组合数学中的应用2.在概率论中的应用3.在其他数学领域中的应用正文：【二项式定理的简介】二项式定理，又称二项式系数定理或二项式展开定理，是数学中一个关于二项式展开的定理。

该定理描述了如何将一个多项式展开成一系列二项式的和。

具体来说，如果一个多项式可以表示为：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ...+ kx + l其中a、b、...、k、l都是常数，n是多项式的次数，那么我们可以将其展开成一系列二项式的和，如下所示：f(x) = (ax + b)^n + C(n,1)(ax + b)^(n-1) + ...+ C(n,n-1)(ax + b) + l其中C(n,1)、...、C(n,n-1)是二项式系数，表示从n个元素中选取1个、...、n-1个元素的组合数。

二项式定理在数学中具有重要意义，它不仅为我们提供了一种将多项式展开的方法，而且为许多其他数学领域提供了基本的概念和工具。

【二项式定理的公式】二项式定理的通用公式如下：(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n,n-1)a^1 b^(n-1) + C(n,n)a^0 b^n其中，C(n,0)、...、C(n,n)是二项式系数，可以根据以下公式计算：C(n,0) = 1C(n,1) = nC(n,2) = n(n-1)/2!...C(n,n) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!二项式定理还有一个特例公式，当a = 1时，有：(1 + b)^n = C(n,0) + C(n,1)b + ...+ C(n,n)b^n【二项式定理的应用】二项式定理在许多数学领域都有广泛的应用，例如组合数学、概率论等。

二项式展开式系数的性质

(C ) C .
n 2 n n 2n
n 证明：从 2n 个不同元素中选取 n 个元素的取法数是 C2 n。
又我们也可将 2n 个元素平均分成甲、乙两组，那么，取法也可按以下分类进行：
甲组 0个 1个 2个 n个
乙组 n个 n 1 个 n2个 0个
取法数
0 n Cn Cn 1 n 1 Cn Cn 2 n2 Cn Cn
令a 1, b 1, 则0 C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n 3 n n
n n
0 2 2r 3 2 r 1 n 1 Cn Cn Cn C1 C C 2 n n n
性质4：
4. ( x y)n 展开式共有 n 1 项。二项式系数：小大小 n n 当 n 为偶数时，中间项为第 1 项，二项式系数 Cn2 最大； 2
2 n 4 n 6 n n
n n n n 证明： 2 cos i sin ( 2) cos i( 2) sin 4 4 4 4
2 2 n 又 2 cos i sin 2 i (1 i ) 4 4 2 2
n 0 Cn Cn
0 n 1 n1 2 n 2 由加法原理，Cn Cn Cn Cn Cn Cn
n 0 n Cn Cn C2 n，
0 2 1 2 2 2 即 (Cn ) (Cn ) (Cn )
n 2 n (Cn ) C2 n .
50 49 48 50 2
50
50
3 其中奇数项之和为实数，偶数项之和为纯虚数，故答案为 i。 2
4. 设 n 为偶数，求证： 1 1 1 1!(n 1)! 3!(n 3)! 5!(n 5)! 1 2n1 (n 1)!1! n!

二项展开式通项公式

二项展开式通项公式二项展开是指对于两个数$a$和$b$的和的$n$次方，可以用二项式展开式来表示。

其中，每一项的系数可以通过组合数来计算。

二项展开式的通项公式可以通过二项式系数来表示。

通项公式可以用于计算二项式中每一项的值。

假设我们有一个二项式$(a+b)^n$，其中$n$是一个非负整数。

展开这个二项式可以得到：$(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1} b^1 + C(n,2)a^{n-2} b^2 + \ldots + C(n,n-1)a b^{n-1} + C(n,n)a^0 b^n$其中，$C(n,k)$表示从$n$个元素中选取$k$个元素的组合数。

组合数可以通过以下公式来计算：$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$在上述展开式中，$a^n$表示$a$的$n$次方，$b^0$表示$b$的0次方，$C(n,0)$表示选取0个$b$的组合数，以此类推。

通过通项公式，我们可以计算出展开式中每一项的系数。

以展开式$(a+b)^5$为例：$(a+b)^5 = C(5,0)a^5 b^0 + C(5,1)a^4 b^1 + C(5,2)a^3 b^2 +C(5,3)a^2 b^3 + C(5,4)a^1 b^4 + C(5,5)a^0 b^5$计算每一项的系数，我们得到：$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5$通过通项公式，我们可以得到展开式中每一项的系数和指数。

这在计算中具有重要的应用。

二项展开式是数学中的重要概念，它在代数、概率和组合数学等领域中经常被使用。

它可以用于计算多项式表达式、计算概率分布、计算组合数等。

在实际应用中，二项展开式的通项公式可以用于计算多项式的展开式。

这对于解决一些实际问题，特别是在概率和统计领域中的问题非常有用。

高考数学复习-二项式定理中展开式系数的六种常见类型

高考数学二项式定理中展开式系数的六种常见类型一、)()(*∈+N n b a n 型例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（）（A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。

例2．8)1(x x -展开式中5x 的系数为。

解析：通项公式r rr r r rr x C x x C T 2388881)1()1(--+-=-= ，由题意得5238=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。

评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。

二、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型例3．843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x-的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x-的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x+的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。

例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（）(A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为336(1)C -⋅-=20,故65)1()1(x x ---的展开式中3x 的系数为10,故选D 。

二项展开式系数与二项式系数

布莱士·帕斯卡的著作 Traité du triangle arithmétique（1655 年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛， Pierre Raymond de Montmort（1708 年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730 年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。
即1, 4, 6, 4,1；
(a b)5 展开式的二项式系数依次为 C50 , C51, C52 , C53, C54 , C55 ，
即 1, 5,10,10, 5,1 ；
1 11 121 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1
排列方式一
1
1
11
1
121
2
133 1
3
1464 1
M r1
C (1)r r
2
8
2 (r 1)!(7 r)!
8!
2(r 1)
解 8 r 1 ，得 r 0,1, 2(r 1)
解 8 r 1，得 r 2， 2(r 1)
解 8 r 1，得 r 3, 4, ,8. 2(r 1)
所以有 M1 M 2 M3 M 4 M5 M 6 M 7 M8 。
同（什么时候？）．
问题研究
１．请把数字 1 及 (a b)1, (a b)2, (a b)3, (a b)4, (a b)5, 展开式的二项式系数按一定方式排列，选择合适的观察角度，看看这些二项式系数分布有哪些特点，并作简要解释。
(a b)n 展开式的二项式系数依次为 Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnr , , Cnn ， (a b)1 展开式的二项式系数依次为 C10 , C11 ，
1 11 121 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1

二项式定理通项公式-二项定理通项公式

二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3）系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。

高中数学：求二项展开式的系数最大项

高中数学：求二项展开式的系数最大项例、（1）求展开式中系数最大项；（2）求展开式中系数最大项。

解：（1）设第项系数最大，则有（*）即，得到，解得，所以，所以系数最大项为第六项。

这道题目是一道比较典型的求系数最大项的例题。

这里有几个问题：①如果系数最大项是最后一项，则无意义，如果系数最大项是第一项，则无意义，显然用并不合适，②系数最大项是不是有且仅有一项？③所列条件只是求出了系数比前后两项系数都大的项，有没有可能有另外更大的最大值呢？现在我们研究对于的二项展开式，设第项系数最大则（*）可以解得。

若系数最大项为最后一项，则得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是最后一项。

若系数最大项为第一项，则得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是第一项。

因为中不符合系数最大项是第一项或最后一项的特点，所以用解答没有问题，这样我们解决了问题①；又因为，我们同时可以得出一个结论：形如（）二项展开式系数最大项最多只有两项，这样也解决了问题②；对于问题③，这里我们碰到一个问题，以前特别是在碰到函数问题时，其实我们求最大值并不是这样求的，所以这里必须说明，如果最大值是另外一个值，那么显然应该满足（*）式，也可以从（*）式解出来，但（*）式没有解出别的值，所以（*）式解出的就是最大值。

这样我们解决了问题③。

（2）对于二项展开式，我们知道奇数项的系数为正，但经过观察我们只要比较第五项系数和第七项系数大小，结论从略。

但是不是只能用这种观察的方法呢，有没有一般的方法呢？如果对于一般情况（），从（*）可以解得，我样可以判断对于（）它的二项展开式项的系数的增减性一定是先增后减，所以如果和是连续两个整数，那么其中那个偶数就是我们要求的r，若和不是整数，如果介于它们之间的整数是偶数，那就是我们要求的r，如果是奇数，那么只要将项左右两项系数进行比较就可以了。

二项式定理(通项公式)

二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.（请同学完成下列二项展开式）0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n mn n C C -=.（2）二项式系数kn C 增减性与最大值：当12n k +<时，二项式系数是递增的；当12n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n nC -和12n nC+相等，且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)na n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、“n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式；【练习1】求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.已知在n 的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【练习2】若n 展开式中前三项系数成等差数列.求：（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.3.二项展开式中的系数例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992，求21(2)nx x-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项[练习3]已知*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.(1)求展开式中含32x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是；5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5（04安徽改编）3)21(-+xx 的展开式中，常数项是；6、求中间项例6求（103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有项；8、求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；（2）一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3）系数绝对值最大的项例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为；【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-，则=++++6210...a a a a ；【练习3】92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。

二次项展开式公式

二次项展开式公式二次项定理展开式为：（a+b）^n=Cn^0*a^n+Cn^1*a^n-1b^1+…+Cn^r*a^n-rb^r+…+Cn^n*b^n（n∈N*）。

右边的多项式叫做（a+b）n的二次展开式，其中的系数Cn^r（r=0，1，……n）叫做二次项系数，式中的Cn^r*a^n-rb^r叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1=Cn^r*a^n-rb^r。

二次项定理，又称为牛顿二项式定理，它是由艾萨克·牛顿于1665年发现的。

需要主要的关于通项公式的几个要点有：1. 项数：总共二项式展开有n+1项，通常通项公式写的是r+1项，2. 通项公式的第r+1项的二次项系数是Cnk，二次项系数不是项的系数3. 如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项二次项系数最大。

如果是奇数，则最中间2项最大并且相等。

4.指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n 二项式通项公式的应用场景很多，利用通项公式，很容易就可以求出某个二项式里面的第几项的二次项系数，注意，展开式中的a按降幂排列，b按升幂排列，所以第四项就是a4b3项。

利用通项公式在排列组合中还有一个非常经典的应用：伯努利概型。

他研究的是在一个n重独立试验中，每次试验的结果只有2个，这样的试验就叫做伯努利概型。

而计算伯努利改型中事件A在各次试验中发生的概率，则符合我们二次项通项公式：从这个图可以看出，P(k)和通项公式表达方式完全相同，不过是研究a 和b变成p和q（p+q=1）。

比较景点的应用提醒有，比如某人射箭，每次命中率是1/3，那么他连续射击10次命中7次的概率，那么就可以很快利用这个定理求出了，P=1/3，q=2/3，综上，二项式的通项公式和二项式展开定理是数学必备的知识点。

减法二项式定理展开式公式

减法二项式定理展开式公式二项式展开公式二项展开式是依据二项式定理对(a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。

二项展开式是高考的一个重要考点。

在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。

二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。

二项展开式的性质1、项数：n+1项；2、第k+1项的二项式系数是Cₙᵏ；3、在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等；4、如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。

如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。

用数学归纳法证明二项式定理证明：当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn成立；则当n=k+1时, （a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b 十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*(a+b)=[C0nan＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*a＋[C0nan ＋C1n a(n-1)b十…十Crn a(n-r)br十…十Cnn bn]*b＝[C0na(n+1)＋C1n anb十…十Crn a(n-r+1)br十…十Cnnabn]+[C0nanb＋C1n a(n-1)b2十…十Crn a(n-r)b(r+1)十…十Cnn b(n+1)] ＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1) a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1) b(n+1)∴当n=k+1时，等式也成立；所以对于任意正整数，等式都成立。

二项式定理展开式公式系数

二项式定理展开式公式系数如下：
二项式展开公式：(a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，
n-1)ab^(n-1)+b^n。

二项展开式是依据二项式定理对（a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年
间提出，二项展开式是高考的一个重要考点。

在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数。

二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。

二项展开式的要点
1、项数：总共二项式展开有n+1项，通常通项公式写的是r+1项。

2、通项公式的第r+1项的二次项系数是Cnk，二次项系数不是项的系数。

3、如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项二次项系数最大。

如果是奇数，则最中间2项最大并且相等。

4、指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n。

二项展开式所有项的系数之和

二项展开式所有项的系数之和可以通过令二项式中的变量为1来求得。

例如，对于二项式(a + b)^n，其展开式的所有项系数之和可以通过将a和b都替换为1来求得，即：
(1 + 1)^n = 2^n
因此，二项展开式所有项的系数之和为2^n。

这个结论可以通过二项式定理的证明来推导。

在二项式定理中，二项式(a + b)^n 的展开式中的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k) * b^k，其中C(n, k) 表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的方案数。

因此，当a和b都等于1时，每一项的系数就是C(n, k)，而所有项的系数之和就是所有可能的k值对应的C(n, k) 之和，即2^n。