陕西省西安市陕西师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

陕西师大附中2019—2020学年度第一学期 期末考试高一年级数学《必修2》试题一、选择题（本题共10小题，每小4分，共40分）1.直线20x y +-=的倾斜角为（ ） A. 150° B. 135°C. 120°D. 45°【答案】B 【解析】 【分析】根据方程20x y +-=，得2y x =-+ ，得到斜率为1- ，再由斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】由20x y +-=，得2y x =-+ 所以斜率为1- 设倾斜角为α 则tan 1α=- 因为[0,180)α∈o o 所以135α=o 故选：B【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率及其关系，属于基础题.2.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若,,m n αα‖‖则m n ‖B. 若,,αγβγ⊥⊥则αβ‖ C. 若,,mm αβ‖‖则αβ‖ D. 若,,m n αα⊥⊥则m n ‖【答案】D 【解析】【详解】A 项，,m n 可能相交或异面,当时，存在，，故A 项错误；B 项，αβ，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B 项错误；C 项，αβ，可能相交或垂直,当时，存在，，故C 项错误；D 项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D 项正确,故选D.本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.3.平面α外的三个不共点、、A B C 到平面α的距离都相等，则平面ABC 与平面α的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行C. 重合D. 相交或平行【答案】D 【解析】 【分析】根据题意三个点分同侧和异侧，作出图形来再判断.【详解】如图1，当,,A B C 三点在平面β同侧时，平面ABC 与平面α的位置关系是平行， 如图2，当,,A B C 三点在平面β异侧时，平面ABC 与平面α的位置关系是相交， 故选：D【点睛】本题主要考查平面与平面的位置关系，还考查了作图和空间想象的能力，属于基础题. 4.圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O ，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又2112125r r OO r r -<=<+，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ．考点：圆与圆的位置关系．5.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A. BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B. BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C. BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D. BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，35,72MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．6.空间直角坐标系中，若(1,0,0),(0,1,0),(0,0,)A B C m ，则当m 取不同的实数值时，三角形ABC 的形状不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【答案】C 【解析】【详解】如图所示：因为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,)A B C m 所以≥≥,AC AO BC BO所以∠≤∠=o 90ACB AOB同理90,90CAB COB CBA COA ∠<∠=∠<∠=o o所以三角形ABC 的形状不可能是钝角三角形 故选：C【点睛】本题主要考查空间直角坐标系和三角形的形状判断，还考查了空间想象和理解辨析的能力，属于中档题.7.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. 22(2)(1)1x y -+-=B. 227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ C. 22(1)(3)1x y -+-=D. 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4315a b r -==，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去）， 把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-12（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1． 故选A考点：圆的方程的求解点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d 等于圆的半径r ，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程． 8.过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A. 30o B. 45oC. 60oD. 90o【答案】C【解析】 【分析】过圆心M 作直线l ：y=x垂线交于N 点，过N 点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60o ．【详解】圆（x-5）2+（y-1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x 垂直的直线方程为x+y-6=0， 它与y=x 的交点N （3，3），N 到（5，1）距离是，两条切线l 1，l 2，它们之间的夹角为23060⨯=o o ． 故选C ．9.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.10.三棱锥S MNP -中，,,,2,1SM SN SM SP SP SN SM SN ⊥⊥⊥==，SP =SC 为三棱锥S MNP -的外接球的直径，且A B 、是该球面上的两点，30ASC BSC ︒∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积最大为（ ） A.B. 2C. 3D. 6【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱锥S MNP -可以补成一个以,,SM SN SP 为邻边的长方体，求得外接球的直径.再根据30ASC BSC ︒∠=∠=，在Rt ASC ∆中，求得2SA AC ==，在Rt BSC ∆ 中，23,2SB BC == ，设点A 到平面SBC 的距离为h ，13A SBC SBC V S h -∆=⨯⨯，再根据SBC S ∆为定值，若体积最大，则h 最大求解.【详解】因为三棱锥S MNP -中，,,,⊥⊥⊥SM SN SM SP SP SN 所以可以补成一个以,,SM SN SP 为邻边的长方体， 所以三棱锥S MNP -的外接球即为长方体的外接球. 所以22224==++=SC R SM SN SP .如图所示：因为30ASC BSC ︒∠=∠=， 所以Rt ASC ∆ 中，23,2SA AC ==，在Rt BSC ∆ 中，23,2SB BC == ， 设点A 到平面SBC 的距离为h ，13A SBC SBC V S h -∆=⨯⨯ ， 所以当h 最大时，体积最大，由图可知，当平面ASC ⊥ 平面SBC 时，h 最大.3AS ACh SC⨯==，此时：112233232A SBC V -=⨯⨯⨯⨯=， 所以棱锥S ABC -的体积最大为2.故选：B【点睛】本题主要考查与球有关的外接问题和体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.二、填空愿（本题共5小题，每小题4分，共20分）11.直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________． 【答案】10x y -+=. 【解析】【详解】设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．12.已知点()M a b ，在直线3415x y +＝_______． 【答案】3 【解析】 【分析】()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.【详解】可以理解为点()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=上，()0,0到直线34150x y +-=的距离，且3d ==.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.13.已知圆锥的底面半径为1A 出发拉一条细绳绕圆锥的侧面一周再回到A ，则该条细绳的最短长度是_________．【答案】 【解析】 【分析】根据展开图，通过底面周长得到弧长，通过母线得到扇形的半径，再求得圆心角，再利用三角形知识求解. 【详解】如图所示：当沿SA 剪开，再展开后得到扇形1SAA 因为圆锥的底面半径为115所以底面周长»122AA r ππ==，母线4SA = 在扇形1SAA 中，»112AA ASA SA π∠== 所以1242AA SA ==故答案为：2【点睛】本题主要考查空间展开图，弧长公式，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 14.25.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】 【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．25512-=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.15.某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 ．7 【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为232，高为2的直角三角形，面积为2，另一个侧面是底边为2，腰为27，所以面积最大的面的面积是7．考点：三视图．三、解答题（本题共5小题，共60分）16.已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=．（Ⅰ）1l 与2l 能否平行？什么？（Ⅱ）12l l ⊥时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）当1a =-时1l 与2l 平行（Ⅱ）23a = 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据1l 与2l 平行，由()12a a -=求解，再验证是否重合.（Ⅱ）根据12l l ⊥，由()210a a +-=求解. 【详解】（Ⅰ）若1l 与2l 平行， 则()12a a -=，解得2a = 或1a =-.当2a =时，直线1:30l x y ++=和直线2:30l x y ++=．重合，当1a =-时，直线1:260l x y --=和直线2:20l x y -=．平行，所以当1a =-时1l 与2l 平行.（Ⅱ）若12l l ⊥则()210a a +-=， 解得23a =. 【点睛】本题主要考查两条直线位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17.如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB //平面1BEC ；（Ⅱ）若1BB BA =，求异面直线1AB 与1EC 所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；10【解析】【分析】 （1）连接111,B C B C BC O ⋂= ，根据,E O 为中点，由三角形的中位线，得到1//EO AB ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据1//EO AB ，由异面直线所成的角定义，得到1C EO ∠为异面直线1AB 与1EC 所成角，再利用余弦定理求解.【详解】（1）如图所示：连接111,B C B C BC O ⋂=因为,E O 为中点所以1//EO AB ，又因为1AB ⊄平面1BEC ，EO ⊂ 平面1BEC所以1AB //平面1BEC ；（2）由（1）知1//EO AB ，所以1C EO ∠为异面直线1AB 与1EC 所成角设1==BB BA a ，111122,22C B a C O C B a === 22115C E C C CE a =+=， 因为，三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱所以BE ⊥ 平面11AAC C在1Rt BEC ∆ 中，11222EO C B a == 在1OEC ∆ 中，222111110cos 24EC EO OC C EO EC EO +-∠==⨯⨯ 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和异面直线所成的角，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD ∆是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==.（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(1)见解析 ;(2) 124231633P ABCD V -=⨯⨯=【解析】【详解】试题分析：(1)证得AD ⊥BD ,而面P AD ⊥面ABCD ,∴BD ⊥面P AD ,∴面MBD ⊥面P AD .(2)作辅助线PO ⊥AD ,则PO 为四棱锥P —ABCD 的高,求得S 四边形ABCD ＝24.∴V P —ABCD ＝3试题解析：(1)证明:在△ABD 中,∵AD ＝4,BD ＝8,AB ＝5AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面PAD ⊥面ABCD ,面PAD ∩面ABCD ＝AD ,BD ⊂面ABCD ,∴BD ⊥面PAD .又BD ⊂面BDM ,∴面MBD ⊥面PAD .(2)解：过P 作PO ⊥AD ,∵面PAD ⊥面ABCD ,∴PO ⊥面ABCD ,即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形,∴PO ＝3在底面四边形ABCD 中,AB ∥DC ,AB ＝2DC ,∴四边形ABCD 为梯形．在Rt△ADB 中,斜边AB 4555,此即为梯形的高. ∴S 四边形ABCD 2545+85＝24. ∴V P —ABCD ＝1333. 19.在平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．（Ⅰ）若1b =-，求圆C 的方程；（Ⅱ）当b 取所允许的不同的实数值时（1b <，且0b ≠），圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）22210x y x ++-=；（Ⅱ）()()0,1,2,1- 【解析】【分析】（Ⅰ）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，令0y = 得20x Dx F ++=，与2()20=++=f x x x b 是同一方程，可求得,D F ，再令0x = 得20y Ey F ++=，因为方程2()20=++=f x x x b 有一根为b ，代入可得E ，再将1b =-代入即可.（Ⅱ）根据由（Ⅰ）圆C 的方程为()22210xy x b y b +++--+=，转化为： ()22210x y x y y b ++---=，令222010x y x y y ⎧++-=⎨-=⎩求解.【详解】（Ⅰ）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，令0y = 得20x Dx F ++=，与2()20=++=f x x x b 是同一方程，所以2,D F b ==， 令0x = 得20y Ey F ++=，方程2()20=++=f x x x b 有一根为b ，所以1E b =--，所以圆C 的方程为()22210x y x b y b +++--+=，当1b =-时，圆C 的方程为22210x y x ++-= .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C 的方程为()22210xy x b y b +++--+=， 转化为： ()22210x y x y y b ++---=，令222010x y x y y ⎧++-=⎨-=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩ 或21x y =-⎧⎨=⎩. 故圆C 经过定点()()0,1,2,1- .【点睛】本题主要考查圆的方程的求法以及圆过定点问题，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为求直线l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【答案】(1)0y =或7(4)24y x =--，(2)点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-． 【解析】(1)设直线l 的方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0.由垂径定理，得圆心C 1到直线l 的距离d＝1＝1，化简得24k 2＋7k ＝0，解得k ＝0或k ＝－724. 所求直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0. (2)设点P 坐标为(m ，n)，直线l 1、l 2的方程分别为y －n ＝k(x －m)，y －n ＝－1k(x －m)，即kx －y ＋n －km ＝0，－1k x －y ＋n ＋1km ＝0. 因为直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C 1到直线l 1与圆心C 2到直线l 2， 化简得(2－m －n)k ＝m －n －3或(m －n ＋8)k ＝m ＋n －5. 因为关于k 的方程有无穷多解，所以有2080{{3050m n m n m n m n －－＝，－＋＝，或－－＝＋－＝，解得点P 坐标为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.。