第20讲 常模及分数的解释(3)
测验分数的解释
（四）分层抽样
标志—→总体—→若干层次—→样本 操作方法 分层比例抽样 分层非比例抽样
四、常模与常模分数
常模是由标准化样组测试结果计算而来， 是心理测验时用于比较和解释测验结果 的参照分数标准。 样本 大小 及来 源 全国常模 区域常模 特殊常模 发展常模 百分位常模
解释 方式
二、常模团体的条件
1、群体的构成必须明确
性别、年龄、教育水平、职业、社经地位 等
2、必须是所测群体的代表性样本 3、样本大小适当
一般标准：最低不少于30或100。 全国常模：一般2000～3000。 4、时空性和新近性
代表性样本抽取——智力测验
第1层 年龄 性别 地域 民族 职业 城乡 教育 第2层 各年龄阶段 各性别组 各地区 各民族 各类职业 城市和乡村 教育水平 要 求 16～64 各年龄组男女人数相等 西部、中部、东部… 白人、黑人、西班牙… 工程师、教师、管理者… 5000人以上为城市 高中、大学、硕士…
葛塞尔婴儿感觉运动发展顺序
周 行为表现 4 控制眼睛运动，能追随一个对象看等 16 28 40 52 能使头保持平衡 能用手抓握并玩弄东西 能控制躯干、耸立和爬 能控制腿和脚的运动、站立和行走
皮亚杰儿童守恒概念发展 守恒概念 年龄 质量守恒 5 重量长度 容量长度 6 7
婴幼儿智力发展量表
例如：某儿童8岁在B-S量表中，通过7
岁组全部题目，通过8岁组3题，9岁组2
题，10岁组1题，则智龄为:
（三）年级常模（年级当量）
某年级全体学生典型水平的一个分数
常模样本中5年级的 语言平均分为40分， 某学生在该测验中 也得40分，该学生的 年级当量就是5。
参照常模的分数解释
5 10
20 25 30
百分位 40 50 60 70 75 80
******************
90 95
99
数字能力 23 70
*********************
语文+数 50 70 字
抽象推理 40 85
****************** *********************
94
83
45
12
5
45~49
100
87
61
24
5
40~44 10096Fra bibliotek7240
20
4
35~39 100
85
46
15
30~34 100
标准九 9 8 7 6 5 4 3 2 1
人数
失败百分比
21474
8%
19444
17%
32129
25%
39398
35%
34975
48%
23699
56%
11209
67%
三、呈现常模资料的方法 （一）转化表 转化表的3个基本要素：原始分、导出分、常 模团体的特征描述。 1．简单转化表
2．复杂转化表
（ 二 ） 剖 析 图
（三）常态百分位图表
分数以百分等级来表示，而分 数轴的距离以标准分数为单位。 把百分等级与标准分结合起来 使用，具有双重优点。
原始 百分 分数 位 1 语文推理 27 70
二、测验的具体实施 ▪ 按测验手册要求实施测验。 ▪ 控制测验焦虑，不讲威吓被试的话。 ▪ 与被试建立良好的协调关系（rapport）。 ▪ 及时和清楚地记录被试的反应。 ▪ 对特殊问题有所准备（如作弊、被试不配合等）。
分数文化知识点总结
分数文化知识点总结一、分数的定义和基本概念1. 分数的定义：分数是整数的一种扩展，是指两个整数的比的表达方式。
它由一个分子和一个分母组成，通常表示为 a/b，其中 a 为分子，b 为分母。
2. 分数的基本概念：分子代表几等分中的几部分，分母代表几等分。
分数表示了一个数与整体的部分关系，是具体数与抽象概念的结合。
二、分数的性质和运算1. 分数的大小比较：两个分数大小的比较需要先将它们的分母变为相同数值，然后比较它们的分子大小。
2. 分数的加减法：分数的加减法需要先将分母变为相同数值，然后对分子进行相应的加减操作。
3. 分数的乘法：分数的乘法直接对分子和分母进行相应的乘法操作。
4. 分数的除法：分数的除法需要先将除数的分子和分母交换，然后对它们进行乘法操作。
三、分数的运用1. 分数的应用：分数在日常生活中有着广泛的应用，比如在菜谱上用分数表示配料的比例，买菜用分数表示购买的部分，计算时间用分数表示小时的一部分等等。
2. 分数在数学中的应用：分数在数学中应用广泛，比如在代数、几何、概率等多个领域都有广泛的应用，是数学研究和实际问题解决中的重要工具。
四、分数的改进1. 分数的约分：将分数的分子和分母同时除以一个公因式，使分数变为最简分数的操作叫做约分。
2. 化简分数：化简分数是指将一个分数化为最简分数的过程。
3. 分数的扩分：将一个分数的分子和分母同时乘以一个公倍数，使分数变为一个更大的分数的操作叫做扩分。
五、分数的应用1. 分数在图形的应用：在几何学中，我们用分数来描述比例。
在各类图形中，分数也有重要的应用，比如在长方体与球体的计算中。
2. 分数在经济学中的应用：在商品的定价、打折优惠和购买的分期付款中，分数都有着广泛的应用。
3. 分数在科学和工程中的应用：在物理、化学、工程等领域，分数也有着重要的应用，比如在物质的混合、溶液的配制等方面。
以上就是分数文化的知识点总结，分数是一个重要的数学概念，在日常生活和各个领域都有着广泛的应用。
分数的认知与表达方法知识点总结
分数的认知与表达方法知识点总结一、分数的基本概念与认知分数是数学中的一种数值表示方法，用于表示一个整体被等分成几个部分中的一个部分。
分数由分子和分母两个部分组成，其中分子表示等分后整体的部分数量，分母表示整体被等分为几份。
例如，1/2表示一个整体被等分成两个部分，其中的一个部分。
二、分数的四则运算1. 分数的加法与减法- 相同分母的两个分数相加（减）时，保持分母不变，分子相加（减）。
- 分母不同的两个分数相加（减）时，需要先找到一个相同的公共分母，然后按照相同分母的情况进行运算。
2. 分数的乘法- 两个分数相乘时，将分子与分母分别相乘，得到新的分子与分母。
3. 分数的除法- 一个分数除以另一个分数时，将除法转化为乘法，即将第一个分数的分子与第二个分数的倒数相乘。
三、分数的化简与约分1. 分数的化简- 将分子与分母同时除以一个数，使得分子与分母没有公共因数时，即可将分数化简。
2. 分数的约分- 找到分子与分母的最大公约数，将分子与分母同时除以最大公约数，得到的分数即为约分后的结果。
四、分数的比较1. 相同分母的分数比较大小- 分子较大的分数更大，分子相等时，分母较小的分数更大。
2. 不同分母的分数比较大小- 将两个分数的分母相同化，然后按照相同分母的情况下比较分子的大小。
五、分数与小数之间的转化1. 分数转化为小数- 分子除以分母，得到的结果即是分数的小数表示。
2. 小数转化为分数- 将小数中的数值部分作为分子，位数作为分母，得到的结果即是小数的分数表示。
六、分数的常见运用场景1. 市场打折- 市场打折时，所折扣的价格可以表示为一个分数，分数越小折扣越大。
2. 比赛得分- 比赛中的得分可以表示为分数，用于评判参赛者的表现。
3. 兴趣爱好中的分配- 在一些共同兴趣小组中，将活动资源等分配给每个成员时，可采用分数来衡量每个成员的份额。
总结：分数是数学中重要的概念之一，通过理解分数的基本概念与认知，并熟练掌握分数的四则运算、化简与约分、比较、以及分数与小数的转化等运算方法，能够有效应用于实际问题的解决中。
分数的意义和性质知识点总结(2)
第四单元《分数的意义和性质》知识点一、分数的意义1、分数的意义：把单位“ 1平”均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2、分数单位：把单位“ 1平”均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。
被除数^除数= 用字母表示：a^b= （20。
4、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。
二、真分数和假分数1、真分数和假分数：① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
③由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
2、假分数与带分数的互化：①把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。
②把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。
三、分数的基本性质1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
四、约分1、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
2、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系：所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
3、互质数：公因数只有1 的两个数叫做互质数4、两个数互质的特殊判断方法：①1和任何大于1的自然数互质。
②2和任何奇数都是互质数。
③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 不相同的两个质数互质。
⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
5、求最大公因数的方法：① 倍数关系：最大公因数就是较小数。
② 互质关系：最大公因数就是1 ③般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
6、最简分数：分子和分母只有公因数1 的分数叫做最简分数。
7、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
第六章-常模与测验分数的解释
评价： 1.能充分利用总体已知信息，提高样本 的代表性。 2.花费小。
back
(四)整群抽样 聚类抽样 先将总体分为若干个群体，随机抽取一些群体， 然后以这些群内所有个体构成样本 优点：便于实施，节省费用 缺点：样本分布面不广，样本对整体的代表性 相对较差，抽样误差往往大于简单随机抽样。 back
一、心理年龄
按照儿童心理发展的程度锁定的年龄 20世纪初，比奈提出了将一个儿童的行为与各 年龄的水平的一般儿童比较以测量心理成长的 设想。在1908年修订的比奈－西蒙量表中开始 用年龄做单位来度量智力。 要将原始分数变成年龄分数必须有年龄常模。 怎样制作年龄常模呢？ 选择一标准化样组作为常模团体，对常模团体 进行测验，得到原始分数，求出每个年龄组的 平均分数，这一平均分数就是原始分数，这个 年龄组的年龄就是这个原始分数对应的智力年 龄。
（二）系统抽样（等距抽样、机械抽样）
将已编好号码的个体排成顺序，然后每隔若干个抽取一个。 例如，调查某个年级的学生的心理健康水平，总数为300名，取50 个，每隔6个取一个，则抽取1、7、13、19等。 评价： 抽样方法比简单随机取样简便易行，而且它能比较均匀地抽到总 体中各个部分的个体，样本的代表性比简单随机取样好。 样本如果存在周期性变化，样本的代表性则不如简单随机取样。 如，前面的调查，如果男生的编号是奇数、女生的编号是偶数， 那么抽到的都将是男生，显然这样的样本缺乏代表性。 同简单随机取样一样也容易忽略已有信息。 如，调查某地区中学生的智力水平，该地区有一所重点中学，人 数为199人，其编号是602－800，按照总体和样本大小，决定每隔 200人取1人，则为1、201、401、601、801，以此类推，这样重点 中学的同学正好没抽到，显然这样的样本也缺乏代表性。
常模
一、常模与常模 团体
（３）常用的抽样方法（续）
②系统抽样
• 在总体项目为N的情况下，选择K分之一的作为样本组，样本的 大小可表示为：
K=N／ K=N／n
K为组距；N为总样本人数；n 拟抽取样本量 • 举例： ：K为2：两个中抽1个，随机确定首个是谁，隔一个抽1个 ：K为20：每隔20位抽1个 ：从121名学生中抽40人作为调查样本 K=121÷40≈3 若首位是第8号，则每隔3位抽一个，即8、11、14……
测验
主要内容
一. 常模与常模团体
二. 分数转换与合成
三. 常模的编制
四. 几种常见的常模
一、常模与常模团体
1、常模
• 测验常模简称常模即指一定人群在测验所测特性上的普遍水平或水平 分布状况。 • 是一种供比较的标准量数，由标准化样本测试结果计算而来，即某一 标准化样本的平均数和标准差。 • 心理测评用于比较和解释测验结果时的参照分数标准。 • 测验分数必须与某种标准比较，才能显示出它所代表的意义。 • 常模一般分为：
①指出个体在标准化样组中的位置，即参照他人来对他进行评价 ②提供可比较的量度，从而使对个体在不同测验中的分数比较成为可能。
二、分数的转换与合成
３、分数的合成
（１）分数合பைடு நூலகம்的种类
项目的组合－ 项目的组合－总分均为个别项目的分的合成分数。 分测验或量表的组合－ 分测验或量表的组合－有几个分测验或分量表所组成，每个分量表均 有分数，这些分数可以组合到一起得到一个合成分数。 测验或预测源的组合－同时运用多个测验得分进行预测。 测验或预测源的组合－
心理测量—常模与分数解释
52
5
若已知被试在群体中的排名R，则百分等级可 以用一下公式计算：
PR 100 - 100R - 50 N
R是个体由高至低之排名，N是总人数。
例：某团体共100人，试问第15名的百分等级是多少？ 若团体人数分别为50人，40人，20人时，其百分等 级是多少？
P15
100 10015 50 100
（4）常模团体测量的近时性。
四、常模的特性
1.常模的相对性 常模的作用在于表明个体在团体中的相
对位置，常模并不是标准。 常模与标准的区别：
常模是以一个群体中人们的实际操作为基础 而制定的，并不是事先确定的。
标准是在测验前提出的，是要求测验结果应 该达到的水平。
2.常模的时效性
由于人的心理水平和特征会随着社会、 文化的发展而出现变化，所以常模是具 有时效性的，一个常模分数只能在一定 时间内作为测验的解释标准。
使用年级当量时要注意：
许多学校科目并不连年授课，所以无法 求年级当量。
年级当量容易引起误解。
如：一个2年级的学生在数学测验中得到了 一个4的年级当量，是否意味着他会做4年级 的数学题了？
3.顺序量表
通过描述儿童在诸如运动、感觉辨别力、 言语、概念形成等方面随年龄发展的典型 行为，将儿童的行为与这些典型行为相比 较来鉴别儿童所达到的发展阶段，这样得 到的量表就是顺序量表。
第六章 常模与分数解释
一、原始分数与量表分数
从测验中直接评定出来的分数称为原始 分数。
原始分数只说明被试做答的情况或正确 程度，不能反映出被试间相比较后所处 的位置，也不能说明被试在其他等值测 验上应获得的分数。
为使原始分数具有意义，必须把它转换 到一个具有参照点和相等单位的量表上， 使不同的原始分数可以相互比较。
常模参照与标准参照测验分数的解释方式
常模參照與標準參照測驗分數的解釋方式國立臺南大學測驗統計研究所助理教授涂柏原關於這個題材，在這個專欄應該曾經出現過，考慮到讀者群幾乎每一年就更動了三分之一，再回到這個主題上面，應該還是合適的。
對於從各式各樣的測驗所得到的分數，要進行解釋時，隨著測驗的功能與特性，一般有兩種不同的解釋方式：常模參照（norm-referenced）以及標準參照（criterion-referenced）。
如果我們解釋個別學生的測驗分數，是拿他的分數來和全體學生的分數作比較，則這種解釋測驗分數的方式便稱為「常模參照」。
這是一種以「相對性比較」的觀點，來看待個別學生的測驗結果。
段考成績排名、心理測驗原始分數轉換成標準分數或是百分等級（percentile rank, PR）等，都是利用常模參照的方式來解釋分數。
另一方面，如果我們解釋個別學生的測驗分數是以描述他在某一個界定清楚的領域上重要工作表現有多好，或是他的表現以達到什麼樣的優良程度等術語來表示時，這種測驗分數的解釋方式便稱為「標準參照」。
這種分數解釋的方式基本上是採用「絕對比較」的觀點來看待個別學生的測驗結果。
一般來說，醫師執照、會計師、建築師、律師等證照考試，或是汽車駕駛執照考試等等，都不需要注意排名或是與別人的分數進行比較，需要的只是與某一個標準來進行比較，若考生的分數已經高過那個標準，那麼即可發給證書或是給駕照。
以基本學力測驗來說，最早在提出以基本學力測驗取代傳統的高中聯考時，大家一聽到「基本學力」四個字時，都會以為基本學力測驗的功能應該是測學生的學力是否已達到「基本」的水準，似乎這個測驗是用來作為「門檻」的。
果真如此的話，那麼學力測驗分數的解釋方式將會是屬於標準參照的，因為關心的將是某個考生的分數是否高過門檻，而不是該生的分數是排在團體當中的哪一個位置。
因為要減輕學生考試的負擔，因此教育部不准各個招生區或是學校加考其他的學科紙筆測驗﹔甚至在多元入學方案中，對於選擇以「登記分發」來入學者，只根據其基本學力測驗的分數來分發。
常模与常模分数
原始分数：是指被试者的反应与标准答案相比较而获得的测验分数。
导出分数：原始分数本身没有多大意义，必须有一个参照标准才行，在心理测验中，这种标准是由原始分数构成的分布转换而来的分数，叫导出分数。导出分数具有一定的对照点和单位，它实际上是一个有意义的测验量表，它与原始分数等值，可以进行比较。
2、常模：就是常模分数构成的分布，它是解释心理测验分数的基础。
一般常模：常为测验指导书上列出的常模。
特殊常模：为非典型群体建立的，如某个单位。特殊常模的建立方法：根据样本的原始分数制作次数分布图，再计算出导出分数，最后制成转换表。
分数的基本概念与性质知识点总结
分数的基本概念与性质知识点总结分数是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
它在代数、几何与应用问题中都有重要的作用。
本文将对分数的基本概念与性质进行总结。
分数的概念和性质可以通过以下几个方面进行阐述：1. 分数的定义分数是用一个数除以另一个数得到的结果。
分数通常由两个整数表示，其中一个为分子，表示被分成的份数；另一个为分母，表示总共的份数。
分子在分数中位于分数线的上方，而分母位于下方。
2. 分数的分类根据分数的大小与形式，分数可以分为真分数、假分数和带分数。
真分数指分子小于分母的分数，如1/2、3/4等；假分数指分子大于等于分母的分数，如5/4、7/3等；带分数是由一个整数和一个真分数组成，如3 1/2、4 2/3等。
3. 分数的基本性质分数具有以下基本性质：- 分数可以相互比较大小，比较的方法可以通过通分，简化等操作进行；- 分数的加减乘除运算可以通过通分、约分、分数的乘除法则进行；- 分数与整数的运算可以通过将整数化为带分数或者分数的形式进行；- 分数的乘法具有交换律，即a/b * c/d = c/d * a/b，其中a/b和c/d都为分数。
4. 分数的化简和约分分数可以通过化简和约分进行简化。
化简是将带分数转化为假分数，或将真分数转化为带分数。
而约分则是将分数的分子和分母同时除以一个相同的数，使其变为最简形式。
化简和约分都需要找到分子和分母的最大公约数进行操作。
5. 分数的换算和比较分数可以与小数以及百分数进行换算和比较。
将分数转化为小数可以通过分子除以分母得到，而将小数转化为分数则可以根据小数的位数进行操作。
分数与百分数的换算可以通过将百分数除以100来转化为分数，而将分数转化为百分数则可以将分数乘以100。
6. 分数的运算法则分数的加减乘除运算都需要遵循一定的法则：- 加法法则：通分后相加，结果的分子与分母保持不变；- 减法法则：通分后相减，结果的分子与分母保持不变；- 乘法法则：将两个分数的分子与分母相乘，结果的分子与分母都进行相乘；- 除法法则：将第一个分数的分子与分母反转后与第二个分数相乘，结果的分子与分母都进行相乘。
心理测量3-常模
⑤ 百分位与标准分数的共同之处：将被试的 分数在团体内做横向比较，而发展量表却 是与不同发展水平的人做纵向比较。 ⑥ 常模分数的表示方法：
– 转换表（P 111~114）和剖析图。
35
剖析图
• 是把一套测验中的几个分测验分数用图表 呈现出来。从剖析图上可以一眼看出个体 在各种测验上的表现及其相对位置。 见115 页。
– 单位加权：将各个变量直接相加而得一个合成 分数。公式7.9 – 等量加权：将所有分数转换成标准分数，然后 再把它们加以组合。公式7.10
– 考虑加权系数：标准分乘以权重的组合。公式 7.11
8
（三）多重回归
பைடு நூலகம்
• 当同时采用几个预测源来预测一个效标， 而这些预测源变量之间又具有互偿性时， 采用多重回归。
• 3与4的差异大于15与16的差异，因为智力发展先快 后慢。 26
② 百分位常模
• 百分位常模包括百分等级和百分点、四分位数和 十分位数。
• 百分等级：是应用最广的表示测验分数的方法。 一个测验分数的百分等级是指在常模样本中低于 这个分数的人的百分比。 • 百分等级指出的是个体在常模团体中所处的位置 ，百分等级越低，个体所处的位置就越低。 • 其计算分为（见94页）：
16
2、确定和使用常模要注意的问题
• 对编制者而言：常模的选择主要是基于对 测验将要施测的总体的认识，常模团体必 须能够代表该总体。
– 这种工作包括：确定一般总体、确定目标总体 、确定样本。样本的选取必须根据总体的性质 代表目标总体，也代表一般总体。满足条件后 才可称为常模样本，才真正具有代表性。
• 标准九分
– 9级的分数量表，它是以5为平均数，以2为标准 差的一个分数量表。 见100页
名词解释 常模
名词解释常模
嘿，你知道常模不？常模啊，就好比是一把尺子，用来衡量和比较
的尺子呢！比如说，在学校里，考试成绩有个平均分，那这个平均分
就是一种常模。
你想想看，你考了多少分，然后跟这个平均分一对比，不就知道自己处在什么水平啦！
咱再打个比方，就像跑步比赛。
大家都在赛道上跑，那总有个平均
速度吧。
这个平均速度就是常模呀！你跑的速度比平均速度快，那你
就很厉害；要是比平均速度慢，那就得加油啦！常模就是这样一个让
我们能清楚知道自己位置的东西。
哎呀，你说这常模重要不？那当然重要啦！它能帮老师了解学生的
学习情况，能帮公司知道员工的工作表现，还能让我们自己对自己有
个更准确的认识呢！
我记得有一次，我参加一个比赛，那比赛就有个常模。
我当时心里
可紧张了，一直在想我能不能达到那个标准。
后来成绩出来，我发现
自己比常模高了不少呢，可把我高兴坏了！你说这常模是不是很神奇？
还有啊，常模也不是一成不变的哦！就像时代在变化，标准也会跟
着变呀。
可能以前觉得很厉害的成绩，现在就一般般啦。
所以常模也
得跟着时代的步伐走呢！
总之，常模就是这么个重要又有趣的东西。
它就像我们生活中的一个参照系，让我们知道自己在人群中的位置，也让我们有了努力的方向和目标。
你现在是不是对常模有更清楚的认识啦？。
初中数学知识归纳分数的基本概念与运算规则
初中数学知识归纳分数的基本概念与运算规则在初中的数学课程中，分数是一个重要的概念。
分数由分子和分母组成，分子表示被分割的等分数量，分母表示可以分割成的等分总数。
本文将对分数的基本概念和运算规则进行归纳总结。
一、分数的基本概念1. 分数的定义：分数是一种表示部分与整体关系的数，通常用一个分子和一个分母来表示，分子在上，分母在下，二者之间用一条横线隔开。
2. 分数的意义：分数表示了一个数在整体中所占的比例或部分。
3. 真分数和假分数：当分子小于分母时，为真分数；当分子大于分母时，为假分数。
4. 假分数的化简：可以将假分数化简成带分数形式。
带分数可以看作是整数和真分数的和，更容易理解和计算。
二、分数的基本运算规则1. 分数的相等性：两个分数相等表示它们所代表的部分与整体的比例相同。
判断分数是否相等主要比较分子与分母之间的关系。
2. 分数的比较：可以通过将两个分数的分母相同化来比较分数的大小。
如果分母相同，比较分子的大小即可。
3. 分数的加法和减法：分数的加减法可以在分母相同的情况下，将分子相加或相减。
如果分母不同，需要先找到它们的最小公倍数，然后将分数的分子根据最小公倍数进行等比例的调整，最后再进行加减法运算。
4. 分数的乘法：两个分数相乘时，将两个分数的分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
5. 分数的除法：将除法转化为乘法，将除数转化为倒数后再进行乘法运算。
6. 分数的约分和通分：约分是指将一个分数的分子与分母的公约数约去，使分数的值保持不变。
通分是指找到两个分数的最小公倍数，将分数的分子与分母进行等比例的调整，使两个分数具有相同的分母。
7. 分数的倒数：一个非零分数的倒数是指分子与分母互换位置所得到的分数。
三、分数的运算性质1. 分数与整数的运算：将整数转化为分数，即分母为1，分子为整数本身。
2. 分数的运算与分数的大小：可以通过将分数转化为小数形式进行比较大小，或者通过比较分子之间的大小关系来判断分数的大小。
初中数学知识归纳分数的概念和运算法则
初中数学知识归纳分数的概念和运算法则【初中数学知识归纳】分数的概念和运算法则分数是初中数学中的重要概念之一，广泛应用于日常生活和各个领域的数学问题中。
掌握分数的概念和运算法则对于学习和解决数学问题至关重要。
本文将详细介绍分数的概念以及运算法则，帮助读者更好地理解和应用分数。
一、分数的概念分数由分子和分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示将一整体分成的份数。
分数的形式为 a/b，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都是整数，且分母不能为零。
分数的值可以是整数、真分数或假分数。
当分子等于分母时，分数的值等于1，称为单位分数；当分子大于分母时，分数的值大于1，称为假分数；当分子小于分母时，分数的值在0和1之间，称为真分数。
例如，2/3是一个真分数，其表示将一个整体分成3份，取其中的2份；5/4是一个假分数，其表示将一个整体分成4份，取其中的5份；3/3和1都是单位分数，分别表示将一个整体分成3份，取其中的3份和1份。
二、分数的基本运算法则1. 分数的加法和减法分数的加法和减法要求分母相同。
当分母相同时，只需将分子进行加（或减）运算，分母保持不变即可。
例如，对于分数1/3和2/3的加法，由于分母相同，可以直接将分子相加得到3/3，即1。
对于分数4/5和2/5的减法，由于分母相同，可以将分子相减得到2/5。
2. 分数的乘法分数的乘法要求将分子和分母分别相乘。
将两个分子相乘作为新的分子，两个分母相乘作为新的分母。
例如，对于分数2/3和1/4的乘法，分子2乘以1等于2，分母3乘以4等于12，所以乘积为2/12。
可以进一步化简分数得到1/6。
3. 分数的除法分数的除法要求将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘。
例如，对于分数2/3除以1/4，分子2乘以4等于8，分母3乘以1等于3，所以商为8/3。
可以进一步化简分数得到2 2/3。
三、分数的化简和扩展化简分数是将分数表示为最简形式，即分子和分母没有公因子的约分形式。
skim高中知识点
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总结
一、分数
（1）分数的基本概念
分数是用分子和分母表示的带分母的有理数。
其中，分子表示的是该分数的分的多少，分母表示的是该分数所分的部分的等份数。
（2）分数的等价
分数的等价是指两个不同的分数，具有相同的值，通过乘法或除法的方法进行等价转换。
（3）带分数的基本运算
在计算带分数时，要把分数变成无分母的分数，再运算，最后把无分母的分数变成带分母的分数。
二、因式分解
（1）因式分解的基本概念
因式分解是指用特定的乘法方法把一个数拆分成两个或多个数、常数的乘积的过程。
（2）因式分解的定理
归纳法因式分解的定理：任何一个正整数都可以分解为质因数的积。
（3）因式分解的相关方法
经典因式分解法，矩阵式因式分解法，数轴法因式分解法等。
三、行列式
（1）什么是行列式
行列式（determinants）是由数字或其他文字组成的方阵按一定规则进行计算得到的一个值。
（2）行列式的计算公式
行列式的计算公式为：a11a22...ann+ (-1)1a12a23...ann+ (-
1)2a13a24...ann+...+ (-1)n-1a1n-1a2n-2...ann，其中aij是行列式的第i行第j列的元素。
（3）行列式的运算
根据计算公式，可以利用数学运算规则计算行列式。
通过行列式可以计算出二维平面或三维空间中图形或几何体的面积或体积。
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2
2、分层随机抽样的标准误
分层抽样时考虑按各层人数比例分配， 即人数多的层多分配，人数少的层少分 配。设各层的人数分别为N1、N2、... Nk， 每层应分配的人数为n1、n2、... nk。 则：N= N1+N2+...+Nk n= n1+n2+...+nk
如果按人数比例分配，则：
n n1 n2 nk ... N N1 N 2 Nk
总量表 总分、 均数及 标准差 ...
智商 100+15Z
...
？
2
18
22
...
...
...
？
...
...
...
...
...
...Leabharlann ...注意的是，从不同测验获得的离差智商只有当 标准差相同或接近时才可以比较 离差智商是智力的相对量数，在对个人分数进 行解释时，必须以团体为参照。
如何向当事人报告分数
全体常模表明一个人与整体人群相比表现 得如何；子群体常模表明一个人与一个特 定群体相比表现得如何。
最后一点： 关于常模的相对性问题，以上都是从常 模的角度来看的。 如果从个体的角度来看，当个体获得一 个测验分数，我们想界定这一分数的意 义，此时我们要清楚地认识到要拿什么 样的常模团体来进行解释。
关于概率抽样的几个问题的说明
简单随机抽样中如何确定最小的样本容量？ 关于分层随机抽样的标准误的计算。
1、简单随机抽样中确定样本容量：
要想确定最小样本容量，必须知道关于测验分 数标准差大小的信息、最大允许误差以及置信 度。 在样本平均数的分布中：
X SEX
Z
当α=.05或.01时，Z α/2=1.96或2.58。
1、不应把测验分数直接告诉被试本人或家 长、学校班主任等有关人员，应告诉的是 测验分数的解释和建议。 2、避免使用专业术语。 3、要保证当事人知道这个测验测量或预测 什么。 4、要使当事人知道他是和什么团体在进行 比较。
5、要使当事人知道如何运用他的分数。 6、要考虑测验分数将给当事人带来什么心 理影响。 7、要让当事人积极参与测验分数的解释。 8、测验结果应向无关人员保密。
韦氏量表中将原始分数转换为离差智商的具体 步骤为：①将言语和操作部分各个分测验的原 始分数Xi转换成以10为均值、以3为标准差的 正态化标准分数Xi （如果原始分数不是正态分 布，还要进行正态化转换），这是第一次转化； ②将言语和操作部分各个分测验的量表分数相 加，得言语量表总分和操作量表总分，以及全 量表总分，同时算出三种量表总分的平均数和 标准差；③将言语量表总分、操作量表总分和 全量表总分转换为言语智商、操作智商和全量 表智商，这是第二次转换。
（三）常模的相对性
测验之间的比较 特殊常模
1、测验之间的比较
报告智商或任何其他分数，总是应该同时 报告得出该分数的测验名称。 测验常模应有可比性。 个体测验成绩的纵向比较，也要注意上面 两个方面。
个体在不同测验上表现出的测验分数的系统差 异可归为三个主要的原因： ①、尽管测验名称类同，但测验内容可能不同。 ②、量表单位可能是不可比的。 ③ 、不同测验用以建立常模的标准化样本可能 是不一样的。
计算公式为：IQD=100+15Z 个体的智商都是以100为均值，以15为标准 差的正态分布，不同年龄的被试的智商就可 以相互比较了。 另外，斯比量表在1960以后也采用了离差 智商的计算方法： IQR=100+16Z
6- 知识 词汇 6.5 岁 1 25 30
...
正态化Z 正态化Z 分量表 分数(知识) 分数(词汇) 总分、 10+3Z 10+3Z 均数及 标准差 Z=1.5 14.5 Z=0.3 10.9 ... Z=1.8 15.4 Z=0.5 11.5 ... ...
X d
SEX M
Z / 2 n d
n
2
例：使误差不超过2分，且具有95%的可信程 度，据以往经验估计其标准差为12，则至少应 抽取多少样本？ 解：已知d=2，S=12，α=0.05，Z0.05/2=1.96 代入上式有：
1.96 12 n 138.30 140人 2
例：
一个大学生参加一个商务知识的测验，可能有 不同的标准化解释，见下表。
常模团体
一般群体 大学生群体
百分等级
85th 60th
常模团体
商务专业学生 成功的商人
百分等级
48th 35th
如果想与一般人群相比，这一测验分数看 起来好一点； 如果这个学生正在申请一个工商管理硕士 的课程，与商务专业学生相比可能更有用； 如果想成为一名成功的商人，与成功的商 人群体相比可能更能发现自己的位置。
离差智商是一种以年龄组为样本计算而得 的标准分数。为使其与传统的比率智商基 本一致，韦克斯勒将离差智商的平均数定 为100，标准差定为15。所以离差智商建 立在统计学的基础之上，它表示的是个体 智力在年龄组中所处的位置，因而是表示 智力高低的一种理想的指标。由于离差智 商的提出，过去曾使用比率智商的许多测 验在后来也使用了离差智商。
任意一层应分配的人数ni应当为：
Ni ni n N
分层抽样的平均数的标准误 为了简化公式，引入统计量Wh：
Nh Wh N
参照简单随机抽样中平均数的标准误公式， 以各层的标准误联合估计全总体的标准误。
M
W
W
2 h
2 M
h
心理测量学
第二十讲 常模及分数的解释(3)
3、离差智商
早期智力测验采用比率IQ 比率智商貌似符合逻辑、简单易行，但存在很 大缺陷。 韦克斯勒在1949年编制的韦氏儿童智力量表 中提出了离差智商(Deviation IQ)的概念。
离差智商的原理：把每个年龄阶段的儿童的 智力分布看作正态分布，其平均数为该年龄 的平均水平。一个儿童的智力高低由其与平 均水平的离差（以标准差为单位）而定。这 也是离差智商得名的由来。
（四）常模的编制
常模是根据标准化样本的测验分数经过统计 处理而建立起来的具有参照点和单位的测验 量表，在这个量表上，被试可以根据自己的 测验分数找到自己在团体中所处的地位。
编制常模的三步：①确定测验将用于哪一 个群体，得到常模团体；②获得该团体成 员的测验分数及分数分布；③确定常模分 数类型，制作常模分数转换表，即常模量 表，同时给出抽取常模团体的书面说明， 以及常模分数的解释指南。
2、特殊常模
心理测验常模决不是绝对的、普遍的或永 久的，它们只是表示组成标准化样本的个 体的测验成绩。 要注意的是样本代表性问题 与样本代表性问题密切相关的是，需要规 定常模所能够推广的特殊总体。
亚团体常模：以一些变量来选择亚团体， 如年龄、年级、文化程度、性别、地域、 城市或农村、社会经济水平等 e.g.地方性常模、大学生、军队、中学生等 常模