全称量词与全称命题汇总

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(完整版)全称量词与特称量词

1.4 全称量词与存在量词学习目标1. 理解全称量词与存在量词的意义．2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.学习重点全称命题和特称命题真假的判定．学习难点对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。

二、全称命题与特称命题的否定1、全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定⌝p ：_________________ ，全称命题的否定是_____________2．特称命题的否定一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p ：∃0x M ∈，p 0()x ，它的否定⌝p ：_________________特称命题的否定是_____________探究一全称命题与特称命题的判断例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：1、对任意角α，都有1cos sin 22=∂+∂；2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数；3、∀x ∈R ，2x －1＝04、所有能被3整除的整数都是奇数5、有的三角形是等边三角形6、有一个实数α，tan α无意义方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断例2、判断下列全称命题或特称命题的真假1、每个指数函数都是单调函数；2、任何实数都有算术平方根；3、∀x ∈0π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2，sin x ＋cos x ≥24、0,00≤∈∃x R x5、是无理数，}是无理数|{200x x x x ∈∃ 6、,x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦2， tan x>sin x 方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究三、含有一个量词的命题的否定及应用例3、写出下列命题的否定，并判断其真假：1、P ：每一个四边形的四个顶点共圆2、P ：23,x x N x >∈∀3、P ：有的菱形是正方形4、p ：∀x ∈R ，412+-x x ≥0；5、p ：所有的正方形都是菱形；6、p ：至少有一个实数0x ，使30x ＋1＝0例4、若命题“2000,220x R x ax a ∃∈++-=”是真命题，则实数a 的取值范围是________．方法归纳：__________________________________________________________________________________________________________________________________________当堂检测一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x －1>0，则命题⌝p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1<0C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件2、下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x 3．已知命题p ：∃n ∈N,2n >1 000，则⌝p 为( )A ．∀n ∈N,2n ≤1 000B ．∀n ∈N,2n >1 000C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n <1 0004．下列语句是真命题的是( )A ．所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立B ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立C ．存在一条直线与两个相交平面都垂直D ．有一条直线和两个相交平面都垂直5. 命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－16．下列四个命题中的真命题为( )A ．若sin A ＝sinB ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0C ．若lg x 2＝0，则x ＝1D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<37．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ，使x 20≤x 0；④∃x 0∈N ＋，使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题8．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________． ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．9. 2,210x R x ax ∀∈-+≥，则实数a 的取值范围是_______________10．“存在一个实数x 0，使sin x 0>cos x 0”的否定为________．11．若命题“∀x ∈(3，＋∞)，x >a ”是真命题，则a 的取值范围是________．12．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．三、解答题13．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)有些四边形存在外接圆；(4)∃a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0无解．14.命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，求实数a 的取值范围？15．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．。

高中数学知识点精讲精析全称量词与全称命题

3.1 全称量词与全称命题1、“对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词，记作“∀”，含有全称量词的命题叫做全称命题。

2、对M 中任意的x ，有p(x)成立，记作"∀"x ∈M ，p(x)。

3．常见的全称量词还有：“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。

通常，将含有变量x 的语句用()p x 、()q x 、()r x 表示，变量x 的取值范围用M 表示。

全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”。

简记为：x M ∀∈，()p x 读作：任意x 属于M ，有()p x 成立。

1．判定全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数；（2） x ∈R, x2+1≥1；【解析】（1）2是素数，但不是奇数（假命题）（2）因为 x2≥0 （真命题）2．已知a 、b 为实数，若x 2+a x+b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0。

用全称量词和存在量词符号“∀”、“∃”写出该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假。

【解析】原命题：∀a 、b ∈R ，若x 2+a x+b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0（真）；逆命题：∃ a 、b ∈R ，若a 2－ 4b ≥0，则x 2+a x+b ≤0有非空解集；（真）否命题：∀ a 、b ∈R ，若x 2+a x+b ≤0没有非空解集，则a 2－ 4b<0；（真）逆否命题：∃ a 、b ∈R ，若a 2－ 4b<0则x 2+a x+b ≤0没有非空解集；（真） .02______)2(;032______)1(322=+>+-x x x x ，，使它们成为真命题：选择合适的量词填空，、【解析】（1）（2）R x∈∀R x∈∃。

全称量词和特称量词(最新整理)

3．1　全称量词与全称命题3．2　存在量词与特称命题明目标、知重点　1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．探究点一　全称量词与全称命题思考1　下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．答　语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结　短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考2　如何判定一个全称命题的真假？答　要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)．例1　判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解　(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．22(3)是无理数，但()2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．反思与感悟　判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．跟踪训练1　试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解　(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．探究点二　存在量词与特称命题思考1　下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；(4)至少有一个x0∈Z，使x0能被2和3整除．答　(1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结　“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考2　怎样判断一个特称命题的真假？答　要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．例2　判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x 0，使x ＋2x 0＋3＝0；20(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解　(1)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，特称命题“有一个实数x 0，使x ＋2x 0＋3＝0”是假命题．20(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．反思与感悟　特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练2　判断下列命题的真假：(1)存在x 0∈Z ，x <1；30(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x 0∈R ，cos x 0＝.π2解　(1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x 0∈Z ，x <1”是真命题．30(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝时，tan α无意义．π2(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而>1，∴不存在x 0∈R ，π2使cos x 0＝，π2∴原命题是假命题．探究点三　全称命题、特称命题的应用思考　不等式有解和不等式恒成立有何区别？答　不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．例3　(1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．解　(1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥，∴实数a 的取值范围为.74[74，＋∞)(2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则Error!∴a >1.反思与感悟　有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3　(1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解　(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ≥－，2(x ＋π4)2又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－即可．2∴所求m 的取值范围是(－∞，－)．2(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝sin ∈[－，]．2(x ＋π4)22又∵存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <即可，2∴所求m 的取值范围是(－∞，)．2 1．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0B ．1C ．2D ．3答案　B解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案　D解析　D 选项是特称命题．3．下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，lg x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝1C ．任意x ∈R ，x 3>0D ．任意x ∈R,2x >0答案　C解析　对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝时，tan x ＝1，正确；对于C ，π4当x ＜0时，x 3＜0，错误；对于D ，任意x ∈R,2x ＞0，正确．4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸n 边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x 0满足x ＝3.20(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解　(1)任意x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π.(2)存在x 0∈Q ，x ＝3.20(3)任意α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1.[呈重点、现规律]1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案　C解析　命题①②④都是全称命题．2．下列特称命题是假命题的是( )A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0C ．有的素数是偶数D ．有的有理数没有倒数答案　B解析　对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋)2＋>0恒成立．12343．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题答案　C解析　①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．4．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．1B ．2C ．3D ．4答案　C解析　①②③为真命题．5．下列全称命题为真命题的是( )A ．所有的素数是奇数B ．任意x ∈R ，x 2＋3≥3C ．任意x ∈R,2x －1＝0D ．所有的平行向量都相等答案　B6．下列命题中，真命题是________．①存在x 0∈，sin x 0＋cos x 0≥2；[0，π2]②任意x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1；③存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数；④任意x ∈，tan x >sin x .(π2，π)答案　②③解析　对于①，任意x ∈，sin x ＋cos x ＝sin ≤，[0，π2]2(x ＋π4)2∴此命题为假命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，∴此命题为真命题；对于③，当m ＝0时， f (x )＝x 2为偶函数，∴此命题为真命题；对于④，当x ∈时，tan x <0<sin x ，(π2，π)∴此命题为假命题．7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x 0，使得＝2.1x 20－x 0＋1解　(1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．二、能力提升8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，3]解析　对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.9．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案　①②④解析　①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．10．四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案　0解析　x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∵当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．2当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．判断下列命题的真假：(1)对任意x∈R，|x|>0；(2)对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数；(3)对任意x∈R，x2>－1；(4)存在a∈{向量}，使a·b＝0.解　(1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝log a x无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数”是假命题．(3)由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.因此命题“对任意x∈R，x2>－1”是真命题．(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解　(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与拓展13．若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解　①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1,1]．。

1.5 全称量词命题、存在量词命题和同步练习

1.命题“ R, ”的否定是【】
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R,
2.命题“存在实数 ,使关于的方程有实数根”的否定是【】
（A）存在实数 ,使关于的方程无实数根
（B）不存在实数 ,使关于的方程有实数根
（C）对任意实数 ,关于的方程都有实数根
（D）至多有一个实数 ,使关于的方程有实数根
知识点二存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素 , 成立”可用符号表示为:
.
读作:存在M中的元素 ,使成立.
对存在量词命题的理解:
（1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.
解析:本题考查全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
该命题的否定为: ≥3, ≥ .
由题意可知,该命题的否定为真命题.
∴只需 ≥ 即可.
∴ ≤5,即实数的最大值是5.
例9.若对 ≤ ≤2,有 ≤0恒成立,则实数的取值范围是__________.
3.命题“ ,都有 ”的否定是【】
（A） ,都有 ≤0（B） ,使得 ≤0
（C） ,使得 ≤0（D） ≤1,使得 ≤0
4.已知命题 R, ,则是【】
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R,
5.判断下列命题的真假,并写出命题的否定.
（1） Z, ;
（2）在实数范围内,有些一元二次方程无解;
例7.已知命题 : ,方程有解,则为【】

高中数学选修1-1.1.4.1-2

数学1．4.1全称量词 1.4.2存在量词填一填1.全称量词和全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x) 成立”，可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词和特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的元素x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为∃x0∈M，p(x0).判一判1.解析：全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．故错误．2．“有的等差数列也是等比数列”是特称命题．(√)解析：含有存在量词“有的”，是特称命题．故正确．3．“三角形内角和是180°”是全称命题．(√)解析：命题中省略了全称量词但含有“全部”的意义，是全称命题．故正确．4．“凸多边形的外角和等于360°”是特称命题．(×)解析：可以改为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，为全称命题．故错误．5．“有的向量方向不定”是全称命题．(×)解析：含有存在量词“有的”，故是特称命题．故错误．6．“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是全称命题．(√)解析：含有全称量词“任意”，是全称命题．故正确．7．“矩形的对角线不相等”是全称命题．(√)解析：可以改为“所有矩形的对角线不相等”，为全称命题．故正确．8．“若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直”是特称命题．(×)解析：.想一想1.提示：全称量词相当于日常语言中“凡是”，“所有”，“一切”，“任意一个”“每一个”“都是”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“某个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等．2．全称命题与特称命题如何判断真假？提示：(1)判断命题是全称命题还是特称命题，关键是找出命题中含有的量词，隐含量词需依据命题的含义挖掘出来．(2)①要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．②要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．思考感悟：练一练1．下列全称命题为真命题的是( ) A ．所有的质数是奇数 B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥1C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数D ．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5解析：A 选项中2是质数但不是奇数故错误；C 选项中x ＝2是无理数，但是x 2＝2是有理数，故错误；D 选项中能被5整除的末尾数字也可能是0，故错误．故选B.答案：B2．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，e x >0解析：对于A ，x ＝1时，lg x ＝0；对于B ，x ＝k π＋π4(k ∈Z )时，tan x ＝1；对于C ，当x ＝0时，x 2＝0，所以C 中命题为假命题；对于D ，e x >0恒成立．答案：C3．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：含有存在量词“∃”，所以是特称命题；因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4恒成立，故原命题错误．答案：特称命题假4．用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解析：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立．(2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立．知识点一全称命题与特称命题的判断1.A ．奇函数的图象关于原点对称B ．sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos xC ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0解析：A ，B ，C 中的命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中的命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.答案：D2．下列命题为特称命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．存在实数大于等于3解析：选项A 、B 、C 均为全称命题．故选D. 答案：D3．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)凸n 边形的外角和等于2π； (2)有一个有理数x 0满足x 20＝3.解析：(1)∀x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π.(2)∃x 0∈Q ，x 20＝3. 知识点二全称命题与特称命题的真假判定A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β解析：只有A ，B 两个选项中的命题是特称命题．因为|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故B 中命题为假命题，又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A 中命题为真命题．答案：A5．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B ，D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题，故选D.答案：D6．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．解析：①当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0，故①为假命题；②因为x 2＝2，解得x ＝±2，而±2为无理数，故②为假命题；③因为x 2＋1>0(x ∈R )恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x 2－2x ＋1>0，即(x －1)2>0，当x ＝1时(x －1)2＝0，故④为假命题．答案：0知识点三全称命题与特称命题的应用7.已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：因为x 1∈[－1,3]，所以f (x 1)∈[0,9]，又因为对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，即∃x 2∈[0,2]，g (x 2)≤0，即⎝⎛⎭⎫122x －m ≤0，所以m ≥⎝⎛⎭⎫122x ，又⎝⎛⎭⎫122x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，故m ≥14.答案：m ≥148．(1)命题p ：∀x ∈R ，sin x cos x ≥m .若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围； (2)命题q ：∃x ∈R ，sin x cos x ≥m .若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围．解析：设函数f (x )＝sin x cos x ，x ∈R ，则f (x )＝12sin 2x ，x ∈R ，所以函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. (1)由于命题p 是真命题，即对任意x ∈R ，sin x cos x ≥m 恒成立，所以对任意x ∈R ，f (x )≥m 恒成立．又函数f (x )的最小值为－12，所以只需m ≤－12，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12. (2)由于命题q 是真命题，即存在实数x 满足sin x cos x ≥m 成立，所以存在实数x ，满足f (x )≥m 成立．由于函数f (x )的最大值为12，所以m ≤12，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.基础达标一、选择题1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每个二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点 B ．对任意非正数c ，若a ≤b ＋c ，则a ≤b C ．存在一个菱形不是平行四边形D ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋7＜0成立解析：对于A ，是全称命题，但是假命题，故A 错误；对于B ，是全称命题，是真命题，故B 正确；对于C ，D ，是特称命题，故C 、D 错误．故选B. 答案：B2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列四个命题中假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：由题意：x 0＝－b2a为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．答案：C3．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤4，命题q ：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )＝sin x ＋4sin x的最小值为4，则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧q解析：当x ＝－1时，不等式x 2＋2x ＋5＝4成立，所以命题p 为真；又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，0<sin x <1，所以sin x ＋4sin x的取值范围是(5，＋∞)，其最小值不是4，故命题q 为假．所以p ∧綈q 是真命题．答案：A4．下列命题中的真命题是( )A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件解析：对于A ，当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；对于B ，令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题；对于C ，向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,0)，则a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C为假命题；对于D ，|x |≤1，即－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，则|x |≤1不一定成立，所以“|x |≤1”为“x ≤1”的充分不必要条件，故D 为假命题．答案：B5．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．p ，q 都是假命题D ．綈q 是假命题解析：p ：2x 2＋2x ＋12＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋14＝2⎝⎛⎭⎫x ＋122≥0， ∴p 为假命题，綈p 为真命题．q ：sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π4， ∴x 0＝34π时成立．故q 为真，而綈q 为假命题．答案：D6．若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，3)B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则“∀x ∈R,3x 2＋2ax ＋1≥0”为真命题，则Δ＝4a 2－12≤0，解得x ∈[－3，3]，故选C.答案：C7．下列命题中，假命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 2＋1≥1；②∃x ∈R,2x ＋1＝3；③∃x ∈Z ，x 能被2和3整除；④∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②③为真命题，④为假命题．故选B. 答案：B 二、填空题8．全称命题“对任意实数x ，都有x 2－2x ＋1＝0成立”含有全称量词________．解析：“对任意实数x ，都有x 2－2x ＋1＝0成立”含有全称量词“任意”．答案：任意9．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④10．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则m ≥f (x )max ，其中f (x )＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4. ∵函数f (x )＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值为1，∴m ≥1，即m 的最小值为1. 答案：111．已知命题p ：∃c >0，y ＝(3－c )x 在R 上为减函数，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋2c －3>0.若p ∧q 为真命题，则实数c 的取值范围为________．解析：由于p ∧q 为真命题，所以p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<3－c <1，2c －3>0，解得2<c <3.故实数c 的取值范围为(2,3)．答案：(2,3)12．若“∀x ∈R ，∃x 0∈R ，f (x )>g (x 0)”则有________．解析：要使“∀x ∈R ，∃x 0∈R ，f (x )>g (x 0)”，只需f (x )min >g (x )min . 答案：f (x )min >g (x )min . 三、解答题13．若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．解析：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)，令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立，而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，(1＋a )2＋2－a 2，a <－1.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－12－a 2≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <－1(1＋a )2＋2－a 2≥a解得－3≤a ≤1.故a ∈[－3,1]．14．命题p ：∃x 0∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，求实数a 的取值范围．解析：由0≤x ≤π，得π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1. 因为p 为真命题，所以a >－32.能力提升15.已知命题p ：∃x 0∈R 00R ，有x 2－2x ＋m >0.若命题q ∨(p ∧q )为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．解析：由于綈p 为真，所以p 为假，则p ∧q 为假．又q ∨(p ∧q )为真，故q 为真，即p 假、q 真．命题p 为假，即关于x 的方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，则m 2－4<0，解得－2<m <2；命题q 为真，则4－4m <0，解得m >1. 故实数m 的取值范围是(1,2)．16．已知命题p ：∀x ∈R,4mx 2＋x ＋m ≤0. (1)若p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若有命题q ：∃x ∈[2,8]，m log 2x ＋1≥0，当p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题时，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵∀x ∈R,4mx 2＋x ＋m ≤0， ∴m <0且Δ＝1－16m 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0m ≤－14或m ≥14，∴p 为真命题时，m ≤－14.(2)∃x ∈[2,8]，m log 2x ＋1≥0⇒∃x ∈[2,8]，m ≥－1log 2x.又x ∈[2,8]时，－1log 2x ∈⎣⎡⎦⎤－1，－13， ∴m ≥－1.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1m >－14，得m >－14；当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧m <－1m ≤－14，得m <－1.∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题时，m <－1或m >－14.。

简单的逻辑用语

简单的逻辑用语知识回顾全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．存在量词与特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．(2)特称命题：含有存在量词的命题．(3)特称命题的符号表示：形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．充分条件与必要条件（1若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p（2）从集合的角度：若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．（3）充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查，主要命题形式是选择题.由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定课前检测1．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件2．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A ．x <1B ．x >1C ．x >－1D ．x >33．“x (x －1)＝0”是“x ＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 4.（多选）（2020·儋州市八一中学高一期中）已知下列命题其中正确的有（）A ．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”B ．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题C ．“至少存在一个实数x ，使得||0x ”是含有存在量词的真命题D ．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题5．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)6．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)7．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________．课中讲解考点一. 全称量词及存在性量词例1 (1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 (2)下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，11<23x x⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ②∃x ∈(0,1)，1123log >log x x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中真命题的序号为________．变式1. (1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2例2.（2020届山东省烟台市高三上期末）命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（）A ．2x ,10R x x ∀∈-+≤B ．2x ,10R x x ∀∈-+<C ．2000x ,10R x x ∃∈-+≤D ．2000x ,10R x x ∃∈-+<变式2.（2020届山东实验中学高三上期中）命题:“(),0,34x x x ∀∈-∞≥”的否定为（）A ．[)0000,,34x x x ∃∈+∞<B ．[)0000,,34x x x ∃∈+∞≤ C ．()000,0,34x x x ∃∈-∞< D ．()000,0,34x xx ∃∈-∞≤ 例3 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．变式3.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．考点二充分、必要条件的判断例1.（2020·济南市历城第二中学高一月考）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“若1x <,则21x <”的否定是“ 存在1x <,则21x ≥”. C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件变式1.（2020·山东省济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件例2.（2020·云南省玉溪第一中学高二期末（理））“1x =”是“2210x x -+=”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件变式2.（2020届山东省枣庄、滕州市高二上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式3. （2020·沭阳县修远中学月考）设U 是全集，A ，B 均是非空集合，则“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的( )A ．充要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件考点三含参问题的讨论例1.（2020·上海格致中学高一期末）若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.变式1（2020·山东省青岛二中高一期末）已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>, {}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.变式2.（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()log (0,1)af x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（）A ．102a <<B ．01a <<C ．1a >D ．24a <<变式2.（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．变式3.（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．课后练习一．单选1．下列命题中全称量词命题的个数为（）①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A ．0B ．1C ．2D ．32．命题“x ∀∈R ，0ax b +≥”的否定是（）A ．x ∃∈R ，0ax b +≥B ．x ∃∈R ，0ax b +<C ．x ∀∈R ，0a b +≤D ．x ∀∈R ，0ax b +>3．关于命题，下列判断正确的是（）A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”4．已知集合{}13A x x =∈-<<R ，{}1B x x m =∈<+R ，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．{}2m m ≥B ．{}2m m ≤C ．{}2m m >D ．{}22m m -<< 5．设a ∈R ，则“2a =-”是“关于x 的方程20x x a ++=有实数根”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设命题甲为：15x -<<，命题乙为：|2|4x -<，那么甲是乙的A ．充要条件B ．必要条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件7．命题:2p x y +=，命题1:3x q y =-⎧⎨=⎩；则p 是q 的（） A ．充要条件 B ．必要条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件8. 设U 是全集，A ，B 均是非空集合，则“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U ⊆C ”是“A B ＝∅”成立的（） A ．充要条件 B ．充分条件 C ．必要条件 D ．既不充分也不必要条件二．多选．9．下列说法中正确的个数是（）A.命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；B.命题“x ∀∈R ，220x +<”是全称量词命题；C.命题“x ∃∈R ，2440x x ++≤”是存在量词命题．D.命题“不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根”是真命题；10．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（）A ．若22x y >，则x y >B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若2121x y +=+，则x y = 11．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”.B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“x y >”是“x y >”的必要条件.D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件12．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y <<．其中能成为x y >的充分条件的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④三．填空题：13．已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．14．已知真命题“a b c d ⇒>≥”和“a b e f <⇒≤”，则“c d ≤”是“e f ≤”的_________条件．15．若“3x >”是“x m >”的必要条件，但“3x >”不是“x m >”的充分条件，则m 的取值范围是________． 16. 若“2x a >+”是“3x >”的充分条件，则实数a 的取值范围为_________；若“2x a >+”是“3x >”的充分条件但“2x a >+”不是“3x >”的必要条件, 则实数a 的取值范围为_________.四．解答题：17．（本小题满分10分））写出下列命题的否定：（1）:p x ∃∈R ，210x +≥；（2）p ：所有自然数的平方都是正数；（3）p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根；（4）p ：有些分数不是有理数.18．（本小题满分12分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出命题的否定，并判断其真假.（1）不论m 取何实数,关于x 的方程220x x m +-=必有实数根；（2）某些梯形的对角线互相平分；（3）函数y kx =图象恒过原点.20.（本小题满分12分）已知1:123x p --≤，()0:1q m x m ->≤，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知下列三个方程：24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知集合{}22|Z A x x m n m n ==-∈,、（1）判断8，9，10是否属于集合A ；（2）已知集合{}|21Z B x x k k ==+∈,，证明：“x A ∈”的充分条件是“x B ∈”；但“x B ∈”不是“x A ∈”的必要条件；（3）写出所有满足集合A 的偶数.参考答案1．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的() A ．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案 C解析由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．2．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x<1 B．x>1 C．x>－1 D．x>3答案BC3．“x(x－1)＝0”是“x＝1”的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，即x(x－1)＝0不一定有x＝1成立；但x＝1能推出x(x－1)＝0成立．故“x(x－1)＝0”是“x＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分4.（多选）（2020·儋州市八一中学高一期中）已知下列命题其中正确的有（）A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题x”是含有存在量词的真命题C．“至少存在一个实数x，使得||0D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题【答案】BCD【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误.对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;x”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;对于C, “至少存在一个实数x，使得||0对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.综上可知,正确命题为BCD，故答案为: BCD5．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要6．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分7．函数f (x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．答案m＝－2课中讲解考点一. 全称量词及存在性量词例1(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x >2，所以D 是假命题．(2)下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，11<23x x⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ②∃x ∈(0,1)，1123log >log x x ；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中真命题的序号为________．答案 ②④解析对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x 成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1112331111=log =log >log 232成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，12log x >1>⎝⎛⎭⎫12x ，故③是假命题；对于④，∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <1<13log x ，故④是真命题．思维升华判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ，使p (x )成立．变式1. (1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2答案 B解析当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.例2.（2020届山东省烟台市高三上期末）命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（）A ．2x ,10R x x ∀∈-+≤B ．2x ,10R x x ∀∈-+<C ．2000x ,10R x x ∃∈-+≤D ．2000x ,10R x x ∃∈-+<【答案】C【解析】全称命题的否定“20,10x R x x ∃∈-+≤”，故选C. 变式2.（2020届山东实验中学高三上期中）命题:“(),0,34x x x ∀∈-∞≥”的否定为（）A ．[)0000,,34x x x ∃∈+∞<B ．[)0000,,34x x x ∃∈+∞≤ C ．()000,0,34x x x ∃∈-∞< D ．()000,0,34x xx ∃∈-∞≤ 【答案】C【解析】命题“(),0,34x xx ∀∈-∞≥”是全称命题，则命题的否定是特称命题即()000,0,34x xx ∃∈-∞<，故选：C ．例3 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，－2]解析由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.变式3.已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由题意得f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，所以m ≥14. 考点二充分、必要条件的判断例1.（2020·济南市历城第二中学高一月考）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“若1x <,则21x <”的否定是“ 存在1x <,则21x ≥”.C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】选项A:根据反比例函数的性质可知：由1a >,能推出11a <,但是由11a<,不能推出1a >,例如当0a <时,符合11a<,但是不符合1a >,所以本选项是正确的；选项B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若1x <,则21x <”的否定是“ 存在1x <,则21x ≥”.所以本选项是正确的；选项C:根据不等式的性质可知：由2x ≥且2y ≥能推出224x y +≥,本选项是不正确的；选项D: 因为b 可以等于零,所以由0a ≠不能推出0ab ≠,再判断由0ab ≠能不能推出0a ≠,最后判断本选项是否正确.故选：ABD变式1.（2020·山东省济南外国语学校高一期中）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（） A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD【解析】对于A ，因为“a b =”时ac bc =成立，ac bc =，0c 时，a b =不一定成立，所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故A 错，对于B ，1a =-，2b =-，a b >时，22a b <；2a =-，1b =，22a b >时，a b <，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故B 错，对于C ，因为“3a <”时一定有“5a <”成立，所以“5a <”是“3a <”的必要条件，C 正确；对于D“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，D 正确.故选：CD例2.（2020·云南省玉溪第一中学高二期末（理））“1x =”是“2210x x -+=”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1x =时，2210x x -+=成立，故是充分的，又当2210x x -+=时，即2(1)0x -=，1x =，故是必要的的，因此是充要条件．故选A ．变式2.（2020届山东省枣庄、滕州市高二上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵,x R ∀∈2210ax ax ++>，∴0a =或2440a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即0a =或01a <<，∴01a ≤<．∴“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的充分不必要条件．故选：A.变式3. （2020·沭阳县修远中学月考）设U 是全集，A ，B 均是非空集合，则“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U⊆C ”是“A B ＝∅”成立的( )A ．充要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当“存在非空集合C ，使得C A ⊆，UB C ⊆”时，如{}{}{}1,2,3,1,2,1U A C ===，{}{}2,2,3,U U B C B C==⊆但{}2AB =，所以不能推出“A B =∅”.当“A B =∅”时，则A 的非空子集C 的补集U C ，必包含B ，也即“存在非空集合C ，使得C A ⊆，UB C ⊆”.故“存在非空集合C ，使得C A ⊆，UB C ⊆”是“A B =∅”成立的必要条件.考点三含参问题的讨论例1.（2020·上海格致中学高一期末）若“3x >”是“x a >“的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____. 【答案】3a <【解析】因为“3x >”是“x a >”的充分不必要条件，∴3a <．故答案为：3a <．变式1（2020·山东省青岛二中高一期末）已知{}22|320,0A x x ax a a =-+>>,{}2|60B x x x =--≥,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【答案】302a <<【解析】解出{}|23B x x x =≤-≥或，{}|20A x x a x a a =<>>或，因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集.所以2323020a a a a >-⎧⎪<⇒<<⎨⎪>⎩故答案为：302a <<变式2.（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（） A ．102a <<B ．01a <<C ．1a >D ．24a <<【答案】D 【解析】∵1a >时，()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数，∴函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是(1,)∈+∞a 的一个子集，又(2,4)(1,)⊂+∞，故选：D.变式2.（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．【答案】1-【解析】由“x R ∃∈，220x x a --<”为假命题，可知，“x R ∀∈，220x x a --≥”为真命题，22a x x ∴≤-恒成立，由二次函数的性质可知，221x x -≥-，则实数1a ≤-，即a 的最大值为1-．故答案为：1-.变式3.（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由2:2110q x a x a a ，解得1a x a ≤≤+，即:1q a x a ≤≤+，要使得p 是q 的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．课后练习一．单选1．下列命题中全称量词命题的个数为（）①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】①②满足“对所有的…都成立”的特点，是全称量词命题，③含有“存在”，是存在量词命题． 2．命题“x ∀∈R ，0ax b +≥”的否定是（）A ．x ∃∈R ，0ax b +≥B ．x ∃∈R ，0ax b +<C ．x ∀∈R ，0a b +≤D ．x ∀∈R ，0ax b +> 【答案】B【解析】命题“x ∀∈R ，0ax b +≥”的否定是：x ∃∈R ，0ax b +<. 3．关于命题，下列判断正确的是（）A ．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题B ．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C ．命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”D ．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”【答案】C【解析】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B 错；C 选项，命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D 错；4．已知集合{}13A x x =∈-<<R ，{}1B x x m =∈<+R ，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．{}2m m ≥ B ．{}2m m ≤C ．{}2m m >D ．{}22m m -<<【答案】A【解析】由于x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则A B ，13m ∴+≥，解得2m ≥，因此，实数m 的取值范围是{}2m m ≥.5．设a ∈R ，则“2a =-”是“关于x 的方程20x x a ++=有实数根”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“关于x 的方程20x x a ++=有实数根”即140a ∆=-≥∴14a ≤. 6．设命题甲为：15x -<<，命题乙为：|2|4x -<，那么甲是乙的 A ．充要条件 B ．必要条件 C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由24x -<可得424x -<-<,解得26x -<<，所以由15x -<<能推出26x -<<；由26x -<<不能推出15x -<<，所以甲是乙的充分条件，故选C.7．命题:2p x y +=，命题1:3x q y =-⎧⎨=⎩；则p 是q 的（）A ．充要条件B ．必要条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为当2x y +=时，x 可能为1，y 也可能为1，不一定有13x y =-⎧⎨=⎩，所以p 不是是q 的充分条件；因为13x y =-⎧⎨=⎩，所以2x y +=，所以p 是q 的必要条件.8. 设U 是全集，A ，B 均是非空集合，则“存在非空集合C ，使得C ⊆A ，B U⊆C ”是“A B ＝∅”成立的（）A ．充要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当“存在非空集合C ，使得C A ⊆，UB C ⊆”时，如{}{}{}1,2,3,1,2,1U A C ===，{}{}2,2,3,U U B C B C==⊆但{}2AB =，所以不能推出“A B =∅”.当“A B =∅”时，则A 的非空子集C 的补集U C ，必包含B ，也即“存在非空集合C ，使得C A ⊆，UB C ⊆”.故“存在非空集合C ，使得C A ⊆，UB C ⊆”是“A B =∅”成立的必要条件.二．多选．9．下列说法中正确的个数是（）A.命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；B.命题“x ∀∈R ，220x +<”是全称量词命题；C.命题“x ∃∈R ，2440x x ++≤”是存在量词命题．D.命题“不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根”是真命题；【答案】BC【解析】A 中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A 错误； B 中命题“x ∀∈R ,220x +<”是全称量词命题,故B 正确； C 命题“x ∃∈R ,2440x x ++≤”是存在量词命题,故C 正确；D 选项中当140m ∆=+<时，即当14m <-时，方程20x x m +-=没有实数根,因此，此命题为假命题. 10．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（）A ．若22x y >，则x y >B ．若5x >，则10x >C ．若ac bc =，则a b =D ．若2121x y +=+，则x y =【答案】BCD【解析】∵p 是q 的必要条件，∴q p ⇒，当0,1x y ==-时，满足x y >，但是220,1x y ==不满足22x y >，∴A 选项中p 不是q 的必要条件.B,C,D 选项中p 是q 的必要条件. 11．下列说法正确的是（）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”.B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“x y >”是“x y >”的必要条件.D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x -≤”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩,所以“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件,正确.12．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】AD【解析】①由22xt yt >可知20t >，所以x y >，故22xt yt x y >⇒>；② 当0t >时，x y >；当0t <时，x y <，故xt yt x y >⇒>；③ 由22x y >，得x y x y >⇒>，故22x y x y >⇒>；④110x y x y<<⇒>．三．填空题：13．已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．【答案】充分条件【解析】设命题p :2x >对应的集合为{|2}A x x =>,命题q :1x >对应的集合为{|1}B x x =>,因为AB ,所以命题p 是命题q 的充分条件.14．已知真命题“a b c d ⇒>≥”和“a b e f <⇒≤”，则“c d ≤”是“e f ≤”的_________条件．【答案】充分【解析】因为a b c d ⇒>≥为真命题，所以c d a b ⇒<≤也为真命题；又a b e f <⇒≤为真命题，所以c d e f ⇒≤≤为真命题；即“c d ≤”是“e f ≤”的充分条件.15．若“3x >”是“x m >”的必要条件，但“3x >”不是“x m >”的充分条件，则m 的取值范围是________．【答案】3m >【解析】若“3x >”是“x m >”的必要条件，但“3x >”不是“x m >”的充分条件，所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >，故答案为3m >.16. 若“2x a >+”是“3x >”的充分条件，则实数a 的取值范围为_________；若“2x a >+”是“3x >”的充分条件但“2x a >+”不是“3x >”的必要条件, 则实数a 的取值范围为_________. 【答案】a ≥1 1a >【解析】∵若“2x a >+”是“3x >”的充分条件，∴{}2x x a >+{}3x x ⊆>∴a ≥1 ∵若“2x a >+”是“3x >”的充分条件但“2x a >+”不是“3x >”的必要条件, ∴{}2x x a >+{}3x x > ∴1a >五．解答题：17．（本小题满分10分））写出下列命题的否定：（1）:p x ∃∈R ，210x +≥；（2）p ：所有自然数的平方都是正数；（3）p ：任何实数x 都是方程5120x -=的根；（4）p ：有些分数不是有理数. 【答案】（1）:p x ⌝∀∈R ，210x +<；（2）:p ⌝有些自然数的平方不是正数；（3）:p ⌝存在实数x 不是方程5120x -=的根；（4）:p ⌝一切分数都是有理数. 18．（本小题满分12分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出命题的否定，并判断其真假. （1）不论m 取何实数,关于x 的方程220x x m +-=必有实数根；（2）某些梯形的对角线互相平分；（3）函数y kx =图象恒过原点.【解析】 (1)即“所有m ∈R ，关于x 的方程220x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得关于x 的方程220x x m +-=没有实数解”，真命题；(2)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(3)即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题. 19．（本小题满分12分）设,x y R ∈，求证||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．【解析】①充分性：若0xy ≥，则有0xy =和0xy >两种情况，当0xy =时，不妨设0x =，则||||x y y +=，||||||x y y +=，∴等式成立．当0xy >时，0x >，0y >或0x <，0y <，当0x >，0y >时，||x y x y +=+，||||x y x y +=+，∴等式成立，当0x <，0y <时，||()x y x y +=-+，||||x y x y x y +=--=+，∴等式成立．综上，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+成立．②必要性：若||||||x y x y +=+且,x y R ∈，则22||(||||)x y x y +=+，即222222||||x xy y x y x y ++=++⋅，∴||xy xy =，∴0xy ≥．综上可知，0xy ≥是等式||||||x y x y +=+成立的充要条件． 20.（本小题满分12分）已知1:123x p --≤，()0:1q m x m ->≤，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】由题意知111:1221213210333x x x p x ----≤⇔-≤-≤⇔-≤≤⇔-≤≤， ():10111q x m m m x m m x m -≤>⇔-≤-≤⇔-≤≤+．p 是q 的充分不必要条件，[][]2,101,1m m ∴--+，所以，121100m m m -≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得9m ≥.当9m =时，[][]2,101,1m m --+，合乎题意.因此，实数m 的取值范围是{}9m m ≥. 21．（本小题满分12分）已知下列三个方程：24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．【解析】先求使三个方程都没有实根的实数a 的取值范围：由()()()()()21222234443014024120a a a a a a ⎧∆=--+<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=-⨯⨯-<⎪⎩得2224430321020a a a a a a ⎧+-<⎪+->⎨⎪+<⎩解得：312a -<<- ∴至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为32a -≤或1a -≥. 22．（本小题满分12分）已知集合{}22|Z A x x m n m n ==-∈,、（1）判断8，9，10是否属于集合A ；（2）已知集合{}|21Z B x x k k ==+∈,，证明：“x A ∈”的充分条件是“x B ∈”；但“x B ∈”不是“x A ∈”的必要条件；（3）写出所有满足集合A 的偶数. 【解析】（1）2831=-，22954=-，∴8A ∈，9A ∈，假设2210m n =-，,m n ∈Z ，则()()10m n m n +-=，且0m n m n +>->，1011025=⨯=⨯，∴101m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，或52m n m n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，显然均无整数解，∴10A ∉，∴8A ∈，9A ∈，10A ∉；（2）集合{}|21Z B x x k k ==+∈,，则恒有()22211k k k +=+-，∴21k A +∈，∴即一切奇数都属于A ，又8A ∈，而8B ∉∴“x A ∈”的充分条件是“x B ∈”；但“x B ∈”不是“x A ∈”的必要条件；（3）集合{}22|Z A x x m n m n ==-∈,、，22()()m n m n m n -=+-成立，①当m ，n 同奇或同偶时，m n +，m n -均为偶数，()()m n m n +-为4的倍数； ②当m ，n 一奇，一偶时，m n +，m n -均为奇数，()()m n m n +-为奇数，综上所有满足集合A 的偶数为4k ，k Z ∈．。

全称量词和存在量词

解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为 360°. 试用不同的表述写出全称命题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5，等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题．答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．

全称量词和全称命题

全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）
表述方法
①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
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1.4 全称量词和存在量词

新课讲解
1．全称命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否
定非p：∃x0∈M， ¬p(x0)．全称命题的否定是特称
命题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为 “至少存在一个正方形不是矩形”．其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．
(2)特称命题：
①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．
②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为 ∃x0∈M，p(x0)，读作 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．
如何判断特称命题的真假呢？提示：要判定特称命题“∃ x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x0，使 p(x0)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个特称命题是假命题．
跟踪练习
1.已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使
4x＋2xm＋1＝0”．若命题¬p是假命题，则
实数m的取值范围是( )
A．－2≤m≤2
B．m≥2
C．m≤－2
D．m≤－2或m≥2
解析：¬p 是假命题，则 p 是真命题，由 4x＋2xm＋1＝0 得，
m＝－(2x＋21x)≤－2 ∴m≤－2
2x·21x＝－2
答案：C
知
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
互动
课
堂
课时作业
第一章常用逻辑用语
例题讲解
类型四、求参数的取值范围 [例4] 若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋ 1>0，如果∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．

3.1 全称量词与全称命题 3.2存在量词与特称命题

③有的菱形是正方形；
④2x+1 (x∈R)是整数；
⑤对所有的x∈R,x>4;
⑥对任意一个x∈Z,2x+1为奇数解析: ①②③⑥为真命题，④⑤为假命题
1.下列命题中为全称命题的是（ B ） A.今天有人请假
B.矩形都有外接圆
C.存在一个实数与它的相反数的和为0
D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行
存在量词与特称命题的定义
短语“有些”“至少有一个”“有一个”“存
在” 都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词特称命题 ________.含有存在量词的命题，叫作_________.
思考
特称命题与存在量词的关系是什么?
提示：特称命题是与存在量词相联系的,一个命题中
如果含有如下的量词：“存在一个”“至少有一
全称量词含有全称量词的命题，叫这样的词叫作_________. 全称命题作_________.
常见的全称量词有哪些？提示：常见的全称量词有 “一切 ” “任何”“每一个” “所有的”“任给”等.
探究点2
存在量词与特称命题
思考下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与
（4）之间有什么关系？
（1）方程x2+x-1=0的两个解都是实数解.
（2）每一个关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)都有解. （3）有一个实数，不能作除数. （4）末位数字是0或5的整数，能被5整除. 提示：（1）（2）（4）全称命题，（3）特称命题.
例2
判断下列命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数. （假）
（2）对每一个无理数x，x2也是无理数. （假）（3）有一个实数x，使x2+3x+2=0成立. （真）（4）存在两个相交平面垂直同一条直线.

专题05 全称量词与存在量词(讲)(解析版)

专题05全称量词与存在量词（讲）1．全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．3．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．4．命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．5．常见的命题的否定形式有：1．命题“对任意x∈R，都有221+<”的否定是（）x xA．对任意x∈R，都有221+≥x x+>B．对任意x∈R，都有221x xC．存在x∈R，使得221+≥x xx x+>D．存在x∈R，使得221【答案】D【解析】解：命题“对任意x∈R，都有221+≥.x xx x+<”的否定是存在x∈R，使得221故选：D.2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）A ． x R ∀∈，0x >B ． x R ∃∈，0x >C ．x R ∀∈，0x ≤D ．x R ∃∈，0x ≤【答案】C 【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C. 3．下列命题含有全称量词的是（ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【答案】B 【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ，使2250x x ++=”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（） A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使30x > C ．任一无理数的平方必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】选项A ，C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题，但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－【答案】B【解析】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B.重要考点一：全称命题与特称命题的判定【典型例题】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)对所有的实数a ，b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有唯一解． (2)存在实数x ，使得213234x x =-+ . 【答案】（1）假命题；（2）假命题.【解析】(1)该命题是全称命题．当a ＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题． (2)该命题是特称命题．∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴21132324x x ≤<-+. 故该命题是假命题．【题型强化】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题: (1)勾股定理; (2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和; (2)所有三角形的内角和都是180°. 【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和； (2)所有三角形的内角和都是180°.【收官验收】用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2,0x R x∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】 (1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．重要考点二：全称命题与特称命题的真假判断【典型例题】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；（3）{|x x x ∀∈是三角形},x 的内角和是180︒. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数0,故此命题为真命题；（2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为60的菱形,其对角线分别为,故此命题为假命题；（3）{|x x x ∃∈是三角形},x 的内角和不是180︒，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为180︒,故此命题为假命题.【题型强化】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数. 【收官验收】判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题. 【名师点睛】 1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．重要考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围【典型例题】若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .【题型强化】若“x ∃∈R ，220x x a +-<”是真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】{|1}a a【解析】若“∃x ∈R ，x 2+2x ﹣a ＜0”是真命题，则△＞0，即4+4a ＞0，解得a ＞﹣1．故答案为{}1a a -【收官验收】已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++.若p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】[0,1] 【解析】:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++，:p x R ∴⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>.因为p 与q 均为假命题，所以p ⌝与q ⌝都是真命题.由p ⌝为真命题得0a =或0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩，故1a ≤.由q ⌝为真命题得0a =或20,40,a a a >⎧⎨-<⎩，故04a ≤<.1,04,a a ⎧∴⎨<⎩解得01a ≤≤. 故实数a 的取值范围是[0,1].重要考点四：全称命题、特称命题的否定【典型例题】命题“0x ∀>，20x >”的否定是（） A ．20,0x x ∀>≤ B ．20,0x x ∃>≤ C ．20,0x x ∀≤≤ D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤,故选B【题型强化】命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠【解析】根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定是“”.【收官验收】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°. 【答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°. 【解析】（1）原命题省略了全称量词“所有"，所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数. （2）原命题省略了全称量词“任何一个”，所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°. 【名师点睛】1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．重要考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围【典型例题】已知命题p ：“至少存在一个实数[1,2]x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围．【答案】(3,)-+∞【解析】由题意知，命题p 为真命题，即2220x ax a ++->在[1,2]上有解，令222y x a a x ++=-，所以max 0y >，又因为最大值在1x =或2x =时取到，∴只需1x =或2x =时，0y >即可，∴1220a a ++->或4420a a ++->，解得3a >-或2a >-，即3a >-．故实数a 的取值范围为(3,)-+∞．【题型强化】若命题“12x ∀≤≤，一次函数y x m =+的图象在x 轴上方”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】{}1m m >-【解析】当12x ≤≤时，12m x m m +≤+≤+．因为一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，所以10m +>，即1m >-，所以实数m 的取值范围是{}1m m >-．故得解.【收官验收】已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x ≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥，由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【名师点睛】(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．。

第6讲：全称量词与存在量词

第6讲：全称量词与存在量词基本知识点1 全称量词与全称命题（1）．全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）．全称命题含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示．那么，全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．（3）．全称命题真假的判断①要判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；②要判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是假命题，只需举出一个反例，即在集合M 中找到一个元素0x ，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．例1. 判断下列全称命题的真假：(1)所有有中国国籍的人都是黄种人； (2)对所有的,3x x ∈>R ；(3)对任意一个,21x x ∈+Z 是整数．2．存在量词和特称命题（1）．存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．（2）．特称命题含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素0x ，使0()p x 成立”．（3）．特称命题的真假判断①要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈”是真命题，只需找到集合M 中的一个元素0x ，使p (x 0)成立即可．②要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈”是假命题，必须对集合M 中的任意一个元素x 验证p (x )都不成立．例2. 下列命题中，特称命题的个数是 ( )①至少有一个偶数是素数；①020,log 0x x ∃∈>R ①有的向量方向不能确定． A ．0 B ．1C ．2D ．33 含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：,()x M p x ∀∈它的否定00:,()p x M p x ⌝∃∈⌝，特称命题00:,()p x M p x ∃∈，它的否定:,()p x M p x ⌝∀∈⌝ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．例3. 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出各命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)2,210x x x ∀∈-+≥R (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形．综合应用应用点一全称命题与特称命题的判断例4.判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1)梯形的对角线相等； (2)有的函数既是奇函数又是偶函数； (3)负数的平方是正数； (4)存在一个四边形有外接圆；(5)二次函数都存在零点； (6)过两条平行线有且只有一个平面．应用点二全称命题与特称命题的表述例5. 用符号“∀”或“∃”表示下列含有量词的命题． (1)实数m 的平方大于等于0；(2)存在实数对(“x 0，y 0)，使002320x y ++<成立； (3)至少有一个实数使不等式2360x x -+<成立；(4)对所有正实数，t .t <应用点三全称命题与特称命题的真假判断例6. 判断下列命题的真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0； (2)对任意实数12,x x ，若12x x <，则t an 1x <t an x 2；(3)00,|sin()||sin |T R x T x ∃∈+=； (4)200,10.x x ∃∈+<R例7. 下列命题是假命题的是 ( )A ．,αβ∃∈R ，tan()tan tan αβαβ+=+B ．20,lg lg 10x x x ∀>++>C ．在①ABC 中，A >B 的充要条件是sin sin A B >D ．ϕ∀∈R ，函数sin(2)y x ϕ=+都不是偶函数应用点四含有一个量词的命题的否定例8. 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1) 21:,04p x x x ∀∈-+≥R (2) p ：所有的正方形都是矩形;(3) p ：至少有一个实数x ，使310x +=；(4) p ：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．应用点五，求参数的取值范围例9.已知函数()f x 对一切实数x ，y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =. (1)求f (0)的值；(2)当1()2log ,0,2a f x x x ⎛⎤+<∈ ⎥⎝⎦恒成立时，求a 的取值范围．例10. （1）已知22:,10,:,10.p x mx q x x mx ∃∈+≤∀∈++>R R 若p q ∨为真命题，则实数m 的取值范围是________．. (2)已知命题p ：“2[1,2],0x x a ∀∈-≥”命题q ：“2000,220x R x ax a ∃∈+++=”若命题“p q ∧”为真命题，求a 的取值范围.课后练习1．下列命题为特称命题的是 ( )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．存在实数大于等于32．下列特称命题中，是真命题的有 ( )①0x ∃∈R ,00x ≤；①至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；①0x ∃∈{x ｜x 是无理数)，20x 是无理数．A . 0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．下列全称命题中，是假命题的有 ( )①21()x x +∈R 是整数；①对所有的x ∈R ,1x >-①对任意一个2,21x x ∈+Z 为奇数． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．下列四个命题：其中真命题是（）001011:(0,),()()23x x p x ∃∈+∞<; 20101023:(0,1),log log p x x x ∃∈>;3121:(0,),()log 2x p x x ∀∈+∞>; 41311:(0,),()log 32x p x x ∀∈<.A ．p l ，p 3B ．p l ，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，P 45．下列命题中，真命题是 ( ) A ．[0,],sin cos 22x x x π∃∈+≥B ．2(3,),21x x x ∀∈+∞>+C ．2,1x x x ∃∈+=-RD ．(,),tan sin 2x x x ππ∀∈>6．已知0a >，则0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是 ( )A ．220011,22x ax bx ax bx ∃∈-≥-RB ．220011,22x ax bx ax bx ∃∈-≤-RC ．220011,22x ax bx ax bx ∀∈-≥-R7命题p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≤1，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈[0，＋∞)，(log 32)x 0>1 B ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈[0，＋∞)，(log 32)x ≥1D . 220011,22x ax bx ax bx ∀∈-≤-R 8．已知命题p:[]022,:,0,2,122=-++∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x 命题.若命题p 且q 是真命题,则实数a 的取值范围为 ( )A. 12=-≤a a 或B.a ≤-2或1≤a ≤2C.a ≥1D.-2≤a ≤19．命题“200,x 10x ∃∈+>R ”的否定是． 10．设命题2:,2,n p n N n ∃∈>则p ⌝为．11．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则命题(p ⌝)∨(q ⌝)为命题(选填“真”或“假”)．12．若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为．13．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：(1)有一个奇数不能被3整除； (2)x ∀∈Z,2x 与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°； (4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．14．若[2,2]x ∈-，关于x 的不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围．15．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax－8－6a ＝0”都是真命题，求实数a 的取值范围．。

第十讲全称量词与存在量词(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第十讲全称量词与存在量词（精讲）（解析版）【知识点透析】一、全称量词与全称命题全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”符号∀全称命题p 含有全称量词的命题形式“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”二、存在量词与特称命题存在量词“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”符号∃特称命题含有存在量词的命题形式“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，p (x 0)【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

三、全称命题与特称命题的否定命题命题的表述全称命题p ∀x ∈M ，p (x )全称命题的否定⌝p ∃x 0∈M ，⌝p (x 0)特称命题p ∃x 0∈M ，p (x 0)特称命题的否定⌝p ∀x ∈M ，⌝p (x )命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然四、常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n 个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个【知识点精讲】题型一全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断【例题1】．（2022·辽宁沈阳高一课时检测）下列命题是全称量词命题的是（）A ．有些实数是无理数B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个三角形的内角和都是180D ．x ∃∈R ，使得220x x ++=【答案】C【分析】根据全称命题和存在命题的定义判断各选项即可.【详解】对于A，可将命题改写为：x ∃∈R ，使得x 为无理数，则命题为存在命题，A 错误；对于B，可将命题改写为：x ∃∈Z ，使得23x x +为质数，则命题为存在命题，B 错误；对于C，可将命题改写为：ABC ∀ 中，180A B C ∠+∠+∠=o ，则命题为全称命题，C 正确；对于D，命题包含存在量词，则其为存在命题，D 错误.故选：C【例题2】．（2022·江苏无锡高一单元测试）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）．A ．实数都大于0B ．有些菱形是正方形C ．三角形内角和为180°D ．有小于1的自然数【答案】C【分析】B、D 不是全称命题，A、C 是全称命题而A 显然错误.【详解】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误；有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B 选项错误；三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C 选项正确；有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D 选项错误.故选：C.【例题3】．（2022·云南曲靖一中高一专题检测）下列命题中是存在量词命题的是（）A ．所有的二次函数的图象都关于y 轴对称B ．正方形都是平行四边形C ．空间中不相交的两条直线相互平行D ．存在大于等于9的实数【答案】D 【分析】直接找出四个选项中的全称量词与存在量词得答案.【详解】选项A 中，“所有的”是全称量词；选项B 中，意思是所有的正方形都是平行四边形，含全称量词；选项C 中：意思是所有的不相交的两条直线相互平行，是全称量词；选项D 中，“存在”是存在量词.故选：D.【例题4】．（2021·河北·石家庄市第二十四中学高一期中）下列命题中是存在量词命题且为假命题的是（）A ．x R ∃∈，2104x x -+-≥B ．所有的正方形都是矩形23【例题4】（2022·银川一中高一课时检测）给出下列四个命题，其中是真命题的是（）A ．R x ∀∈，20x >B ．Z x ∃∈，31x <C ．N x ∀∈，1x >D ．Q x ∃∈，22x =【答案】B【分析】根据全称量词命题，存在量词命题的概念逐项分析即得.【详解】对于A，当x =0时，20x >不成立，故A 为假命题；【例题5】．（2022·山东泰山高一课时检测）下列四个命题中的真命题为（）A ．0x Z ∃∈，0143x <<B ．0x Z ∃∈，0410+=x 22【变式1】（2021秋•苍南县校级月考）下列命题中（1）有些自然数是偶数；（2）正方形是菱形；（3）能被6整除的数也能被3整除；（4）对于任意x ∈R ，总有2111x ≤+．存在量词命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于（1），有些自然数是偶数，含有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于（2），正方形是菱形，可以写成“所有的正方形都是菱形”，它是全称量词命题；对于（3），能被6整除的数也能被3整除，可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；对于（4），对于任意x ∈R ，总有2111x ≤+，含有全称量词“任意的”，是全称量词命题．所以存在量词命题的序号是（1），有1个．故选B．【变式2】下列命题不是存在量词命题的是（）A ．有些实数没有平方根B ．能被5整除的数也能被2整除C ．存在x ∈{x |x ＞3}，使x 2﹣5x +6＜0D ．有一个m ，使2﹣m 与|m |﹣3异号【答案】B【解析】对于A ，有些实数没有平方根，有存在量词“有些”，是存在量词命题；对于B ，“能被5整除的数也能被2整除”省略了“所有”，是全称量词命题；对于C ，存在x ∈{x |x ＞3}，使x 2﹣5x +6＜0，有存在量词“存在”，是存在量词命题；对于D ，有一个m ，使2﹣m 与|m |﹣3异号，有存在量词“有一个”，是存在量词命题．故选B．【变式3】．（2020·如皋市第一中学高一月考）下列命题中的假命题是（）A ．x R ∀∈，10x +>B ．x N +∀∈，()210x ->C ．x R ∃∈，1x <D ．x R ∃∈，112||x +=【答案】．B【解析】A 中命题是全称量词命题，易知10x +>恒成立，故是真命题；B 中命题是全称量词命题，当1x =时，()210x -=，故是假命题；C 中命题是存在量词命题，当0x =时，0x =，故是真命题；D 中命题是存在量词命题，当1x =±时，112||x +=，故是真命题．故选：B 【变式4】．（2021四川绵阳高一检测）下列命题中真命题的个数（）.（1）2,11x x ∀∈+≥R ；（2）,213x R x ∃∈+=；（3）,x Z x ∃∈能被2和3整除；（4）2,230x R x x ∃∈++=A ．0个B ．4个C ．2个D ．3个【答案】．D【解析】：（1）x R ∀∈，20x ≥，211x ∴+≥，正确；（2）1x = 时，213x +=，因此正确；（3）6x = 时，x 能被2和3整除，因此正确；（4）由于41280∆=-=-<，2230x x ∴++=无实数根，因此不正确．所以真命题的个数为3个．故选：D．【变式5】．（2021·江苏镇江大港中学高一）有下列四个命题：①x R ∀∈10+>；②x N ∀∈，20x >；③x N ∃∈，[3x ∈-，1)-；④∃∈x Q ，22x =．其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】．A【解析】对于①，x R ∀∈0≥10>，①是真命题；对于②，因0x =时，x ∈N ，20x =，②是假命题；对于③，因x N ∀∈，0x ≥，即[3,1)x ∉--，③是假命题；对于④，因当且仅当x x =22x =Q ，且Q ，④是假命题，所以真命题的序号是①，共1个．故选：A题型二全称命题与特称命题的否定【例6】（2022·江苏镇江高一检测）命题“∀x >2，x 2﹣3>0的否定是（）A．∃x 0≤2，x 02﹣3≤0B．∀x >2，x 2﹣3≤0C．∃x 0>2，x 02﹣3≤0D．∀x ≤2，x 2﹣3≤0【答案】C【解析】命题为全称命题，则命题的否定为2002,30x x ∃>-，故选：C .【例题7】（202·四川成都高一检测）设命题0:p x R ∃∈，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x R ∀∉，210x +=B ．x R ∀∈，210x +≠C ．0x R ∃∉，2010x +=D ．0x R ∃∈，2010x +≠【答案】B【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，存在量词命题0:p x R ∃∈，2010x +=的否定为：x R ∀∈，210x +≠.故选：B.【变式1】．（2021·天津河东区·高二学业考试）命题“对任意x ∈R ，都有2230x x ++>”的否定为（）A ．存在x ∈R ，使得2230x x ++>B ．对任意x ∈R ，都有2230x x ++≤C ．存在x ∈R ，使得2230x x ++≤D ．不存在x ∈R ，使得2230x x ++≤【答案】．C【解析】对命题“任意x ∈R ，都有2320x x ++>”的否定为：存在x ∈R ，使得2320x x ++≤.故选：C【变式2】．（2021·嘉峪关市第一中学高三一模（理））命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．01x ∃≤，2000x x -=B ．1x ∀>，20x x -≤C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】．C【解析】命题“1x ∀>，20x x ->”为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故选：C.【变式3】．（2021云南红河中学高一检测）下列命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“21,1x x ∀<<”的否定是“21,1x x ∃<≥”C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要而不充分条件【答案】ABD【解析】对于选项A：“a >1”可推出“1a <1”，但是当1a <1时，a 有可能是负数，所以“1a <1”推不出“a >1”，所以“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件，故A 正确；对于选项B：命题“∀x <1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2≥1”，故B 正确；对于选项C：当x =-3，y =3时，x 2+y 2≥4，但是“x ≥2且y ≥2”不成立，所以“x 2+y 2≥4”推不出“x ≥2且y ≥2”，所以“x ≥2且y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分不必要条件，故C 错误；对于选项D：“a ≠0”推不出“ab ≠0”，但“ab ≠0”可推出“a ≠0”，所以“a ≠0”是“ab ≠0”的必要而不充分条件，故D 正确.故选：ABD.题型三全称量词命题与存在量词命题的应用【例题8】．（2021·辽宁抚顺高一课时检测）已知命题p ：∃x ∈{x |1<x <3}，x -a ≥0，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a <1B ．a >3C ．a ≤3D ．a ≥3【答案】D【分析】根据给定条件写出命题p ⌝，再由全称量词命题是真命题即可得解.【详解】因命题p ：∃x ∈{x |1<x <3}，x -a ≥0，则有命题p ⌝：∀x ∈{x |1<x <3}，x -a <0，又p ⌝是真命题，即x ∈{x |1<x <3}，a >x 恒成立，于是得a ≥3，所以实数a 的取值范围是a ≥3.故选：D【例题9】．（2020·南京市第十三中学高一月考）已知命题“∃x ∈R ，使214(2)04x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4【答案】．D 【解析】∵命题“∃x ∈R，使214(2)04x a x +-+≤”是假命题，∴命题“∀x ∈R，使214(2)04x a x +-+>”是真命题，则判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，解得0<a <4，故选：D.【例题10】．（2022·湖南长沙高一课时检测）若命题“x R ∀∈，不等式210x ax ++≥”为真命题，则a 的最大值是（）A ．0B ．2C ．52-D ．3-【答案】．B【解析】若命题“x R ∀∈，不等式210x ax ++≥”为真命题，则240a ∆=-≤，解得22a -≤≤；故选：B.【例题11】．（2021·江苏南京市·南京一中高三开学考试）若命题“R x ∀∈，使得2(1)10ax a x ---≤”是真命题，则实数a 的取值集合是（）A ．{}1,0-B ．{}1-C ．[)1,0-D ．∅【答案】B 【解析】当0a =时，2(1)10ax a x ---≤等价于10x -≤不满足对于R x ∀∈恒成立，不符合题意；当0a ≠时，若2(1)10ax a x ---≤对于R x ∀∈恒成立，则()()201410a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-≤⎪⎩即()2010a a <⎧⎪⎨+≤⎪⎩可得：1a =-，综上所述：实数a 的取值集合是{}1-，故选：B.【例题12】．（2022·江苏镇江高一课时检测）已知命题:13p x ∀≤≤，都有m x ≥，命题:13q x ∃≤≤，使m x ≥，若命题p 为真命题，命题q 的否定为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】[)3,+∞【分析】根据q ⌝为假命题，可判断q 为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；【详解】因为q ⌝为假命题，所以q 为真命题，命题:13p x ∀≤≤，都有m x ≥，为真命题，则max m x ≥，即3m ≥命题:13q x ∃≤≤，使m x ≥，为真命题，则min m x ≥，即m 1≥因为命题p 、q 同时为真命题，所以31m m ≥⎧⎨≥⎩，解得3m ≥，故实数m 的取值范围是[)3,+∞．【例题13】．（2022·广东·汕头市澄海中学高一期末）已知m R ∈，命题p ：[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-恒成立；命题q ：存在x ∈R ，使得220x x m -+->.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围.【变式1】．（2022·吴江平望中学高一月考）命题：任意x ∈R ,题q ：存在x ∈R ,2x +410mx +<成立.（1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;（2）若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围;【答案】．（1）30m -<<（2）1122m -≤≤（3）0m <或12m >【解析】：（1）由题,()()22430m m ∆=---<,即24120m m +<,30m \-<<（2）由题,2(4)40m D =-£,即21640m -≤,1122m \-＃（3）当q 是真命题时,由（2）,12m >或12m <-∴若命题p 、q 至少有一个为真命题,由（1）,则需满足30m -<<或12m >或12m <-∴0m <或12m >【变式2】．（2023·宁波市北仑中学高一期中）已知a R ∈，命题p ：[]0,1x ∃∈，使得(1)10a x -->；命题q ：x R ∀∈使得240x ax ++>.（1）写出命题p 的否定p ⌝，并求p ⌝为真时，实数a 的取值范围；（2）若命题,p q 有且只有一个为真，求实数a 的取值范围．【答案】．（1）2a ≤；（2）42a -<≤或4a ≥.【解析】（1）由题意，p ⌝：()0,1x ∀∈，使得(1)10--≤a x ；若p ⌝为真，即11-≤a x()0,1x ∀∈恒成立，所以只需11a -≤，解得2a ≤．（2）由（1）可得，p ⌝为真时，2a ≤；所以，若命题p 为真，则2a >；若命题q 为真，则对于x R ∀∈，240x ax ++>恒成立，因此只需∆<0，即2160a -<，解得44a -<<；因为命题,p q 有且只有一个为真，若p 真q 假，则有24a a >⎧⎨≤-⎩或24a a >⎧⎨≥⎩，解得4a ≥；若p 假q 真，则有244a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得42a -<≤；综上，p 、q 有且只有一个为真时，a 的取值范围是42a -<≤或4a ≥.。