二元函数泰勒展开
二元泰勒公式
o
x
若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
Q(h, k ) Ah 2 2 B hk C k 2 2 B hk 对点 ( x0 h, y0 k )
当 h , k 同号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , 当 h , k 异号时 , Q(h, k ) 0 , 从而 z 0 , y 可见 △z 在 (x , y ) 邻近有正有负,
2
h f x x (0, 0) 2hk f x y (0, 0) k f y y (0, 0) (h k )
3
2
3 f p p 3 p k ) 3 f (0, 0) (h x C3 h k x p y 3 p (0,0) y p 0 2(h k )3 又 f (0, 0) 0 ,将 h x , k y 代入三阶泰勒公式得 1 2 1 ln(1 x y) x y ( x y ) ( x y )3 R3 2 3 其中 1 ( x y) 4 R3 (h x k y ) 4 f ( h, k ) h x 4 (1 x y ) 4 ky (0 1)
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y
p 3 p
1 (1 x y ) 2
2! (1 x y ) 3! (1 x y )
y
• 根据问题的实际背景
o
x
2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求 yi f ( xi )
二元泰勒展开
同号,因此f 与 A同号,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极 小值,当 A 0时 f ( x0 , y0 )为极大值.
(2) 设 AC B2 0,即
f xx ( x0 , y0 ) f yy ( x0 , y0 ) f xy ( x0 , y0 ) 2 0. (9)
h
x
k
y
f
(
x0
ht
,
y0
kt
),
(t ) h2 f xx ( x0 ht , y0 kt ) 2hkf xy ( x0 ht , y0 kt ) k 2 f yy ( x0 ht , y0 kt )
(t ) C h k xy p (n1)
h x
k
y
2
f
( x0 ,
y0 )
表示 h2 fx x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
一般地,记号
h x
k
y
m
f
(
x0 ,
y0
)表示
C m
p0
p p p m p h k x y . m
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ，
f yy ( x0 , y0 ) C ，
数学分析10.4--二元函数的泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数xz ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即x∂∂（xz ∂∂），y∂∂（xz ∂∂），x∂∂（yz ∂∂），y∂∂（yz ∂∂）.称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将x∂∂（xz ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x .y∂∂（x z ∂∂）记为y x z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数)x ∂∂（y z ∂∂）记为x y x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数)y∂∂（yz ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x .一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号kk n nyxz ∂∂∂-或 )(n yxkkn f -),(y x表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xyy x y x z 的二阶偏导数.解 xz ∂∂=23263y xy y x +-，yz ∂∂=xy x y x 233223+-.22xz ∂∂=y xy663-.y x z ∂∂∂2=y x y x 26922+-.x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2)22yz ∂∂=x y x 263+.例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=0.证明 由§10.3例2，有xu ∂∂=3ra x --，yu ∂∂=3rb y --，zu ∂∂=3rc z --.22xu ∂∂=6233)(rxr ra x r∂∂---(xr ∂∂=ra x -)=6233)(rra x ra x r----=31r-+53r2)(a x -.同样，可得22yu ∂∂=31r-+53r2)(b y -,22zu ∂∂=31r-+53r2)(c z -于是，22xu ∂∂+22yu ∂∂+22zu ∂∂=31r-53r+])()()[(222c z b y a x -+-+-=33r-+33r=0.由例1看到，yx z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
多元函数的泰勒展开与应用
多元函数的泰勒展开与应用泰勒展开是关于函数在某一点附近的近似展开式，它是将一个任意函数在某点附近展开成若干项幂函数之和的形式。
在单变量函数中，泰勒展开可以用于逼近函数的形状，计算极限以及研究函数的性质。
而在多元函数中，泰勒展开同样发挥着重要的作用。
一、多元函数的泰勒展开对于二元函数f(x,y)，其在点(a,b)处的二阶泰勒展开式为：f(x,y) ≈ f(a,b) + ∂f/∂x | (a,b)(x-a) + ∂f/∂y | (a,b)(y-b) + 1/2
二元函数的泰勒公式
型余项. 根据定理的条件假设知道, Rn 的绝对值
f ( x 0 , y0 ) h k f ( x 0 , y0 ) y x n 1 h k f ( x 0 , y0 ) n! x y
1 h k ( n 1)! x y
可见 , 当 A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而△z＞0 , 因此 f ( x, y )
在点 ( x0 , y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时, Q(h, k ) 0 , 从而 △z＜0, 因此 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则
2 2 2 Q(h, k ) 1 [( A h B k ) k ] ( AC B ) A
当 ( x, y ) 沿直线 A( x x0 ) B( y y0 ) 0 接近( x0 , y0 )
时, 有 Ah B k 0 , 故 Q(h, k ) 与 A 异号;
当 ( x, y ) 沿直线 y y0 0 接近( x0 , y0 )时, 有 k 0 ,
显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ).
二元函数的泰勒公式 显然 (0) f ( x0 , y0 ), (1) f ( x0 h, y0 k ). 利用一元函数的麦克劳林公式, 得
二元函数的泰勒公式
§ 10.4.二元函数的泰勒公式若它们存在关于x 和y 的偏导数，即将它们表为:般地，二元函数z = f(x,y)的n-1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的阶偏导数•二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z 二f (x, y)的n 阶偏导数 的符号与二阶偏导数类似.例如，符号・n z或- n _k - kx :y表示二元函数z = f(x, y)的n 阶偏导数，首先对x 求n-k 阶偏导数，其次接着对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数例1.求函数z = x 'y 3 -3x 2y ' xy 2 3的二阶偏导数.、高阶偏导数二元函数z =f(x, y)的两个(一阶)偏导数—，—仍是x 与y 的二元函数.；x : y称它们是二元函数 z = f(x, y)的二阶偏导(函)数.二阶偏导数至多有22个.通常竺陰1表为c zc 2 dx 或f£(x,y).dx ©丿 竺俘［表为◎2Z或 fey)內5 )cx&y-2cz °z ! r ?、/—表为c z 或 f y ；(x, y)& ©丿 £y£x、-2cz —表为c z 2 或f y ；(x, y).©丿2(混合偏导数)(混合偏导数)A、 __________________________例 2.证明：若 u = -, r = ： (x - a)2 • (y - b)2 • (z - c)2,则 r.2. 2 .2r u ； u ； u cT T LJ . -2 . 2 . 2 x : y : z证明：由§ 10.3.例2,有；:u x - acuy - b ；:u z - c .x31q一r 刑3 1 r；zr 3 .；：2ur 3 _(x _a)3r 2；:r ；x■r -x-a 1一 2 -x6r:xrr 3 _(x _a)3r 2x -ar -1 . 3(x-a)2.6 r35rr 同样，可得-2「u _ -2 -y2132: u -35(y —b ),r r:z_ 1 —3r2(z-c)2 r33 2 2 2-飞 飞[(x-a)2(y-b)2 (z-c)2] r r=0.定理1.若函数f （x, y ）在点P （x o ，y o ）的邻域G 存在二阶混合偏导数f xy （x,y ） 与f y ；（x,y ），并且它们在点P （x °,y 。
二元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式1、一元函数泰勒公式：对于较复杂的函数来说，为了简便研究，往往用一些简单的函数来近似表达（多项式近似表达函数）例如：1~+x e xx x ~)1ln(+ 上式只有当，误差才是比x 的高阶无穷小。
0→x 但是：不能具体估计出误差的大小。
泰勒定理（Taylor ）:函数)(x f y =在含有的开区间(a , b)内具有直到n+1阶导数,当x 在(a , b)内时，可以表示为x-的一个n 次多项式，与一个余项之和：0x )(x f y =0x )(x R n （1）n 阶泰勒公式： )(!1)()()(000x x x f x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+300)(!3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x x n x f )(!)(00)(-+ )(x R n （2）拉格朗日型余项：)(x R n =10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ （3）函数按x-的幂展开的n 次近似多项式：0x )(!1)(f )()(000x x x x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+3)00(!3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x )0-x n x f (!)(0)( 其中：=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ ξ为与x 之间的某个值0x = )(x R n ])[(0n x x o -（4）迈克劳林公式当取=0，则0x ξ为0与x 之间，因此可以令x θξ=)10(<<θ从而使泰勒公式变成较简单的形式： )(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!)0()(+ 1)1()()!1()(+++n n x n x f θ )10(<<θ由此可以得到近似公式：)(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!)0()( 2、 二元函数泰勒公式：对于多元函数来说，也必须考虑用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并具体估算其误差的大小。
二元函数泰勒定理
二元函数泰勒定理二元函数泰勒定理是多元函数的泰勒定理的一种推广形式。
在微积分中，泰勒定理是一个非常重要的定理，它描述了一个可微函数在某一点附近的近似表示。
在一元函数的情况下，泰勒定理的公式比较简单且易于理解，但在多变量情况下，泰勒定理的形式则较为复杂。
下面我们将详细介绍二元函数的泰勒定理。
假设我们有一个二元函数 $f(x,y)$ ，它在点 $(x_0,y_0)$ 处具有所有二阶偏导数。
那么，泰勒定理告诉我们，在 $f(x,y)$ 附近的某一点 $(x,y)$ 处，可以用以下公式来近似表示：$$f(x,y) = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x-x_0)^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y-y_0)^2\right) + R_2(x,y)$$其中，$R_2(x,y)$ 表示高阶无穷小，它满足以下形式：$$R_2(x,y) = o\left(\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}\right)$$公式中的 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ 和$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ 表示函数 $f(x,y)$ 在$(x_0,y_0)$ 处的偏导数，$\frac{\partial^2 f}{\partialx^2}(x_0,y_0)$、$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partialy}(x_0,y_0)$ 和 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0,y_0)$ 分别表示函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的二阶混合偏导数。
二元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式二元函数是数学中非常重要的一类函数，它的式子是一元多项式的幂函数形式。
它具有很高的数学意义和应用价值，所以学习它是有必要的。
在二元函数中，泰勒公式是最重要的一种，也是最有用的一种。
泰勒公式有多种形式，可以应用于许多领域，其中最重要的是无穷级数法、复变函数法以及数值计算法。
泰勒公式是事实上经常使用的一种关于函数表达式的展开式。
它是一种描述函数的技巧，可以用来测量函数的性质，也可以用来估计函数的值。
在求解函数的过程中，它可以帮助我们更加准确、有效地求解问题，用以解决各种实际应用中的问题。
泰勒公式常用来研究一般连续函数f(x)，它被定义为连续函数f(x)在x=a处的泰勒展开式，其形式为：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)2/2!+f(a)(x-a)3/3!+…+f^(n)(a)(x-a)n/n!由此可见，泰勒公式的每一项都有着与它相关的求导数次数，所以二元函数的泰勒公式可以把连续函数f(x)表示为一个无穷级数，由此可以理解为一个与实际应用所属的某一领域有关的特殊函数。
泰勒公式实际上是一个重要的逐步近似技术，它可以用来计算函数f(x)在x=a附近的局部变化。
比如，当函数f(x)在x=a处求导结果为f′(a)，进一步求出f″(a)，以及更高阶的求导数，那么泰勒公式就可以利用它们来得到函数f(x)在x=a处的局部变化。
由于函数f(x)每一项都相互独立，在每一项求导数的次数均较少，因而可以节省计算量，这也是使用泰勒公式的原因之一。
而在应用中，泰勒公式可以用于数值计算、插值计算、积分运算等，还可以用于研究复变函数、无穷级数的收敛性等。
特别是在无穷级数的研究中，使用它就可以快速进行研究，大大减少了计算量。
综上所述，泰勒公式是一种用于研究特殊函数和无穷级数的重要方法。
从学习、研究上来说，了解泰勒公式对于更好地理解函数有着重要的意义，因此，认真学习泰勒公式是很有必要的。
二元函数的泰勒公式
一元函数
的泰勒公式:
推广 多元函数泰勒公式
记号 (设下面涉及的偏导数连续): •
•
表示
• 一般地,
表示
定理1.
到 n + 1 阶连续偏导数 , 一点, 则有
的某一邻域内有直 为此邻域内任
其中
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, 朗日型余项 .
① ② ②称为其拉格
在区域D 上的两个一阶偏导数
恒为零, 由中值公式可知在该区域上
例1. 求函数
勒公式. 解:
因此,
的三阶泰
其中
二、极值充分条件的证明
定理2 (充分条件)
若函数
的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且
令
则: 1) 当 2) 当 3) 当
时, 具有极值 时, 没有极值.
A < 0 时取极大值; A > 0 时取极小值.
证: 令
则 利用多元复合函数求导法则可得:
一般地,
由
的麦克劳林公式, 得
将前述导计式.
因 f 的各 n+1 阶偏导数连续,
邻域其绝对值必有上界 M ,
在某闭 则有
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:
定理1
(3) 若函数
因此
作业
P123 1 , 3 , 4 , 5
第十节
时, 有
同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
异号;
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 ,
不妨设 B＞0 ,
此时
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
二元函数的泰勒公式
泰勒公式可用于建模和优化电路、机械和材料的行为与性能。
泰勒公式的误差估计
误差估计是用来判断泰勒级数逼近与原函数之间的精确度和准确度。
一阶和二阶导数的应用
一阶导数
一阶导数可以表示函数的斜率和变化率，它在 泰勒公式中的系数决定函数的线性行为。
二阶导数
二阶导数可以表示函数的曲率和凸凹性，它在 泰勒公式中的系数决定函数的二次行为。
二元函数的泰勒公式
泰勒公式是一种近似表示函数的方法，通过展开函数成无穷级数来近似描述 函数在某点附近的行为。
泰勒公式的定义和作用
泰勒公式是一种用多项式来逼近一元或多元函数的方法，它能够在函数值和导数值已知的点上给出函数 的逼近值。
泰勒级数的推导和表达
1
推导
泰勒级数是通过对函数进行多次求导和代入点的函数值来构造一个无穷级数的方 法。
泰勒公式的局限性和改进方法
1
局限性
泰勒公式仅在附近的小范围内有效，且对于某些函数可能需要更高阶的级数展开。
2
改进方法
改进方法包括使用拉格朗日余项和泰勒公式的剩余项来提高逼近的准确性。
3
数值方法
数值方法可以通过数值逼近来解决泰勒公式在全局范围内的局限性。
总结和要点
泰勒公式是一种重要的数学工具，能够帮助我们理解函数的行为和进行函数 逼近。它在许多领域有广泛的应用。
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
表达
泰勒级数以多项式的形式表示函数，并包含函数在某个点及其导数上的信息。
3
级数展开
级数展开可以理解为将函数用无穷多个多项式相加的形式来逼近函数。
泰勒公式的应用场景
物理学
泰勒公式可用于近似描述物体在不同速度和加速度条件下的运动。
二元函数泰勒展开
fx
(
x,
y)
lim
x0
f (x x, y) x
f (x, y) ,
因此有
f
x
y
(
x0
,
y0
)
lim
y0
f x ( x0 , y0
y) y
f x ( x0 , y0 )
lim
y0
1 y
lim
x0
f
( x0
x,
y0
y) x
f
( x0,
y0
y)
lim x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) x
即先对 x、后对 y 与先对 y、后对 x 的两个二阶偏导 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数
x2 y2
f
( x,
y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
它的一阶偏导数为
y( x4 4x2 y2 y4)
导数有如下四种形式:
2z z
fxx(x, y)
x2
x
x
,
2z z f x y ( x, y) x y y x ,
f y x ( x,
y)
2z yx
x
z y
,
2z z
fy y(x,
y)
y2
y
y
.
类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
的三阶偏导数共有八种情形:
z 3z
x
x
2
x3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
就本节自身而言，引入高阶偏导数是导出 泰劳公式的需要；而泰劳公式除了用于近似 计算外, 又为建立极值判别准则作好了准 备.
一、高阶偏导数
二、中值定理和泰勒公式
三、极值问题
一、高阶偏导数
由于 z f ( x, y) 的偏导数 fx ( x, y), f y ( x, y) 一般仍 然是 x, y 的函数, 如果它们关于 x 与 y 的偏导数也 存在, 说明 f 具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏
z f ( x, y), x (s,t), y (s,t). 若函数 f , , 都具有连续的二阶偏导数，则复合函 数 z f ((s,t), (s,t)) 对于 s, t 同样存在二阶连续
偏导数. 具体计算如下: z z x z y, s x s y s
z z x z y; t x t y t
f
x
(
x,
y)
( x2 y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0;
f
y
(
x,
y)
x( x4 4x2 y2 ( x2 y2 )2
y4)
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
进一步求 f 在点 (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序
的混合偏导数:
f x y (0,0)
2 f v u
u y
2 f v2
v y
x y2
2 f uv
x y3
2 f v2
1 y2
f v
.
二、中值定理和泰勒公式
二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉 格朗日公式和泰勒公式相仿, 对于 n (n 2) 元函数 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些． 先介绍凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D, 则称 D 为凸区域 (图10.3- 6). 这就是说, 若 D 为 凸区域，则对任意两点 P1( x1, y1), P2( x2 , y2 ) D, 和
例3
设z
x f ( x, y ),
求
2z x2 ,
2z .
xy
解 这里 z 是以 x, y 为自变量的复合函数, 它也可以
改写成如下形式:
z f (u,v), u x, v x . y
由复合函数求导公式，有
z x
f u f u x v
v x
f u
1 y
f v
.
注意, 这里 f , f 仍是以 u, v 为中间变量, x, y 为 u v
于是有
F ( x, y) ( x0 x) ( x0) .
(4)
对 应用微分中值定理，1 (0, 1), 使得
( x0 x) ( x0 ) ( x0 1 x) x [ f x ( x0 1 x, y0 y) f x ( x0 1 x, y0 ) ] x. 又 fx ( x0 1 x, y) 作为 y 的可导函数, 再使用微分 中值定理，2 (0, 1), 使上式化为 ( x0 x) ( x0 ) fx y( x0 1 x, y0 2 y) x y .
由 (4) 则有
F ( x, y) fxy ( x0 1 x, y0 2 y) x y
( 0 1,2 1).
(5)
如果令
则有
( x) f ( x0 x, y) f ( x0, y),
F ( x, y) ( y0 y) ( y0 ).
用前面相同的方法, 又可得到
F ( x, y) f yx ( x0 3 x, y0 4 y) x y ( 0 3,4 1).
例1
求函数
z
e
x
2
y
的所有二阶偏导数和
3z y x2
.
解 由于
z ex2 y , z 2e x2 y ,
x
y
因此有
2z x2
(e x 2 y ) x
e x2y;
2 z (e x 2 y ) 2e x 2 y; xy y
2z (2e x 2 y ) 2e x 2 y; yx x
fx
(
x,
y)
lim
x0
f (x x, y) x
f (x, y) ,
因此有
f
x
y
(
x0
,
y0
)
lim
y0
f x ( x0 , y0
y) y
f x ( x0 , y0 )
lim
y0
1 y
lim
x0
f
( x0
x,
y0
y) x
f
( x0,
y0
y)
lim x0
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 ) x
自变量的复合函数．所以
2z x2
f
x
u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 2 f u 2 f v
u2
x
uv
x
y
vu
x
v2
x
2 f u2
2 y
2 f uv
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u2
u y
2 f uv
v y
1 y2
f v
1 y
一切 (0 1), 恒有
P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
D
•
P1 •
• P D
P2
凸
图 10.3 - 6
•
P2 P D
•
D P1•
非凸
定理 8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两
lim
y0
fx (0, y) y
f x (0,0)
y lim y0 y
1,
f yx (0,0)
lim
x 0
f y( x,0) x
f y (0,0)
x lim x0 x
1.
由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么
在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 f x y ( x0, y0 ) 与 f y x ( x0, y0 ) 表示成极限形 式. 由于
fx yz ( x, y, z), fxz y ( x, y, z), f yz x ( x, y, z),
f y xz ( x, y, z), fz x y ( x, y, z), fz y x ( x, y, z) 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等． 今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续． 复合函数的高阶偏导数 设
f ( x0 x, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ) . (2) 为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续，则
2z x y
t2
x2
t
2
xy t t
2z y2
y t
2
z x
2x t2
z y
2y t2
;
2z 2z x x 2z x y x y
s t
x2
s
t
x
y
s
t
t
s
2z y y z 2x z 2y y2 s t x s t y s t ;
2z 2z . t s s t
显然 z 与 z 仍是 s,t 的复合函数, 其中 z , z 是
s t
x y
x, y 的函数, x , x , y , y 是 s, t 的函数. 继续求 z s t s t
关于 s, t 的二阶偏导数:
2z s2
s
z x
x s
z x
s
x s
s
z y
y s
z y
即先对 x、后对 y 与先对 y、后对 x 的两个二阶偏导 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数
x2 y2
f
( x,
y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
它的一阶偏导数为
y( x4 4x2 y2 y4)
的三阶偏导数共有八种情形:
z 3z
x
x
2
x3
f x3 ( x, y),
z
y
x2
2z x2 y
f x2 y ( x, y),
fx yx ( x, y), f x y2 ( x, y), f y3 ( x, y),
f y2 x ( x, y), f yx y ( x, y), f yx2 ( x, y).
导数有如下四种形式:
2z z
fxx(x, y)
x2
x
x
,
2z z f x y ( x, y) x y y x ,
f y x ( x,
y)
2z yx
x
z y
,
2z z
fy y(x,
y)
y2
y
y
.
类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如 z f ( x, y)
(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式． 注 若 D 为严格凸区域，即 P1( x1, y1), P2( x2 , y2 )