8-3平面简谐波的表达式

按振动方向和波的传播方向： 按振动方向和波的传播方向： 机械波的种类： 机械波的种类：纵波和横波 横波—质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。 横波 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。 质点的振动方向与波的传播方向相互垂直 横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播。 横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播。
一、一维简谐波的描述
振动在空间传播 波源 媒质 振动
波动
在弹性媒质中，各质点之间是以弹性力相互联系着的。 在弹性媒质中，各质点之间是以弹性力相互联系着的。 弹性力相互联系着的 当介质中的一个质点开始振动后，在弹性力的 当介质中的一个质点开始振动后 一个质点开始振动 作用下,就会带动邻近质点振动， 作用下 就会带动邻近质点振动，邻近质点又带动更 就会带动邻近质点振动 远质点振动。这样依次带动，就把振动由近及远地 远质点振动。这样依次带动，就把振动由近及远地 传播出去，形成了波动。 传播出去，形成了波动。
= ⋯⋯
λ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时 即x0 处质点的振动方程
x0 Ψ( x0 , t ) = Ψ(t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
x Ψ( x, t0 ) = Ψ( x ) = A cos[ω (t0 − ) + ϕ 0 ] u
8-3 平面简谐波的表达式
波是振动在空间的传播。 波是振动在空间的传播。机械振动在弹性介质中 的传播过程称为机械波，如水波、地震波等。 的传播过程称为机械波，如水波、地震波等。变化的 电磁场在空间的传播称为电磁波，如无线电波、 电磁场在空间的传播称为电磁波，如无线电波、光波 等。 本章主要讨论机械波。 本章主要讨论机械波。 机械波 重点：讨论简谐振动沿一个方向传播形成的平 重点：讨论简谐振动沿一个方向传播形成的平 面简谐波。 面简谐波。
=
λ
T
= νλ
能否用提高频率的方法来增大波在给定介质中 的传播速度？ 的传播速度？
思考：波形曲线与振动曲线的区别和联系？ 思考：波形曲线与振动曲线的区别和联系？
振动曲线 y A T P o t0 波形曲线 y t0 P
图 形 研究 对象
t
A o
v
λ
u x
v
某质点位移随时间变 化规律 由振动曲线可知: 由振动曲线可知 周期T. 振幅 振幅A 周期 初相 某时刻，波线上各质点位 某时刻， 移随位置变化规律 由波形曲线可知: 由波形曲线可知 该时刻各质点位移, 该时刻各质点位移 振幅A 波长λ , 振幅 曲线形状随t 曲线形状随 向前平移
出B点的振动方程。 点的振动方程。 点的振动方程
8 5
5
→u
C A
O′
B
O
x(m)
解:
8 5
5
→u
C A
O′
B
O
x(m)
C为参考点： C = A cos( ω t + ϕ ) 为参考点： 为参考点 Ψ 设P为波线上任意一点 为波线上任意一点
（1）以O为坐标原点 ） 为坐标原点
P离参考点C距离 P离参考点C距离 离参考点
y (m) 0.2 x (m) O 0.2 -0.2 0.6 1.0
例4： 移动坐标原点后如何建立波函数 ： （即参考点不作为坐标原点） 即参考点不作为坐标原点）
已知： 已知：ΨC = A cos( ω t + ϕ )
波速 u 沿 + x
OC = O′C = 5m, BC = 8m
求: 分别以 、O′为坐标原点建立波函数，并写 分别以O、 ′为坐标原点建立波函数，
O
x(m)
(2) 以O′为坐标原点 ′ P离参考点距离 离参考点距离
x′′ x+5 Ψ = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[ω (t − ) +ϕ] u u
x′′ = x + 5
将xB = −13代入
− 13 + 5 8 ΨB = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] = A cos[ω ( t + ) + ϕ ] u u
p
Ψ0 = A cos( ω t + ϕ 0 )
Ψ P (t ) = Ψ 0 (t + ∆ t ) x Ψ ( x, t ) = A cos[ω (t + ) + ϕ 0 ] u x = A cos(ωt + ϕ 0 + 2π ) λ
例1:一个余弦横波以速度 沿x轴正向传播，t时刻 一个余弦横波以速度u沿 轴正向传播， 时刻 一个余弦横波以速度 轴正向传播 波形曲线如图所示．试分别指出图中 ， ， 各 波形曲线如图所示．试分别指出图中A，B，C各 质点在该时刻的运动方向． 质点在该时刻的运动方向．A_____________；B ； _____________ ；C ______________ ．
波线 波 面
波面
波线
波线
波面
波线
波面
二、描述波动的基本物理量 波的特征：时间、空间上的周期性。 波的特征：时间、空间上的周期性。 1、周期和频率 、 波的周期T——传递一个完整波所需的时间， 传递一个完整波所需的时间， 波的周期 传递一个完整波所需的时间 介质质元完成一次全振动的时间。波的周期完 介质质元完成一次全振动的时间。 全由波源(周期 确定 全由波源 周期)确定。 周期 确定。 。 频率ν =1/T。
纵波—质点的振动方向和波的传播方向相互平行。 纵波 质点的振动方向和波的传播方向相互平行。 质点的振动方向和波的传播方向相互平行
※
容易看出, 沿着波的传播方向, 容易看出, 沿着波的传播方向, 振动是
依次落后的。 依次落后的。
y
o
u
p x
x
(波源 波源) 波源 P点比 点时间落后： 点比o点时间落后 点比 点时间落后：
波面(波阵面 波动过程中， 波面 波阵面) —波动过程中，振动位相相同的点 波阵面 波动过程中 连成的面。 最前面的那个波面称为波前。 连成的面。 最前面的那个波面称为波前。 平面波—波面为平面的波动。 平面波 波面为平面的波动。 波面为平面的波动 平面简谐波—波面为平面， 平面简谐波 波面为平面，介质中各质点都作 波面为平面 同频率的简谐振动形成的波动。 同频率的简谐振动形成的波动。
x
λ
⋅ 2π )
即 Ψ( x, t ) = A cos(ωt + ϕ 0 − 由于 λ = uT = u
x
λ
⋅ 2π )
(2)
2π
ω
(1)、(2)是一致的 、 是一致的
• 平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
x Ψ ( x , t ) = A cos[ ω ( t − ) + ϕ 0 ] u x
= A cos( ω t + ϕ 0 − 2π ) λ t x = A cos[ 2π ( − ) + ϕ 0 ] T λ 2π = A cos[ (ut − x ) + ϕ 0 ]
轴正方向传播， 例3：一平面简谐波沿 轴正方向传播，波速 = 100 ：一平面简谐波沿x轴正方向传播 波速u m/s，t = 0时刻的波形曲线如图所示．可知波长 = ， 时刻的波形曲线如图所示． 时刻的波形曲线如图所示 可知波长l ____________； 振幅 = __________； 频率 = ； 振幅A ； 频率n ____________． ．
x = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] u
即
x Ψ( x, t ) = A cos[ω (t − ) + ϕ 0 ] u
(1)
u O
方法2 方法
P(x)
x
波线上每间隔 λ，相位落后 2π x P点相位比 落后 点相位比O落后 点相位比 ⋅ 2π
λ
∴ Ψp = A cos(ωt + ϕ 0 −
x′ x −5 Ψ = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[ω (t − ) +ϕ] u u
x′ = x − 5
将xB = −3代入
− 3−5 8 ΨB = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[ω (t + ) + ϕ ] u u
8 5
5
→u
C A
O′
B
总结： 、 总结：A、
产生机械波的条件： 产生机械波的条件： 波源—产生机械振动； 波源 产生机械振动； 产生机械振动 弹性介质—传播振动状态。 弹性介质 传播振动状态。 传播振动状态
B、波动产生的物理机制：波是振动质点带动 波动产生的物理机制： 邻近质点由近及远向外传递振动的结果。 邻近质点由近及远向外传递振动的结果。它们 在各自的平衡位置附近振动； 在各自的平衡位置附近振动；传播的是波源的 振动状态。不是介质质点自身向外运动的结果。 振动状态。不是介质质点自身向外运动的结果。
2、波长 、 波长( 一个周期内波动传播的距离。 波长(λ) ： 一个周期内波动传播的距离。沿波 传播直线上两个相邻同相点（相位差为2 传播直线上两个相邻同相点（相位差为2π）之 间的距离。 间的距离。 周期T反映波的时间周期性，而波长λ 周期 反映波的时间周期性，而波长λ反映的是波 反映波的时间周期性 的空间周期性。显然，周期 也就是波传播一个波 的空间周期性。显然，周期T也就是波传播一个波 长距离所需的时间。 长距离所需的时间。 波数( k)：波长的倒数称为波数。 波数( k)：波长的倒数称为波数。或：单位长度 所包含的完整波的数目，称为波数。 所包含的完整波的数目，称为波数。
u P(x) Ψ 已知坐标原点振动方程： 0 = A cos( ω t + ϕ 0 ) 已知坐标原点振动方程：
方法1 点的振动状态传到P所需时间 方法 O点的振动状态传到 所需时间 点的振动状态传到
O
x
t时刻 P 点相位与 O 点（ t − ∆ t )时刻相位相同
x ∆t = u
Ψ p ( t ) = Ψ0 ( t − ∆ t )
已知：波线上任一点 的振动方程 已知：波线上任一点O的振动方程 Ψ o 波速u, 波速 向右传播 求：该平面简谐波波函数 Ψ = Ψ ( x, t )
= A cos(ωt + ϕ 0 )
解： 以参考点 为坐标原点，波速u的方向为 建 以参考点O为坐标原点，波速 的方向为 的方向为+x,建 为坐标原点 立一维坐标。 为波线上任意一点， 立一维坐标。 设P为波线上任意一点，坐标 x 为波线上任意一点
即t0 时刻的波形曲线方程 3) 当x、 t 均变化时 、
ψ(x, t)即是振动量随时间、空间的变化规律 即是振动量随时间、 即是振动量随时间
对应跑动的波形
Байду номын сангаас
☆★建立向 方向传播的简谐行波波函数 ☆★建立向-x方向传播的简谐行波波函数 建立向
←
u
x
o
以参考点为原点 P相位比 超前 相位比O超前 相位比
y A O C u B x
例2：机械波的表达式为 = 0.03cos6π(t + 0.01x ) ：机械波的表达式为y (SI) ，则 (A) 其振幅为 m． 其振幅为3 ． (B) 其周期为 其周期为1/3 S． ．
(C) 其波速为 m/s． (D) 波沿 轴正向传播． 其波速为10 波沿x轴正向传播 轴正向传播． ．
x t′ = (这里：u是波速 这里： 是波速 是波速) 这里 u
P点比 点位相落后： 点比o点位相落后 点比 点位相落后：
x 2π ϕ′ = ωt′ = ω (注意:ω = ) u T
波动过程的(几何描述 描述 波动过程的 几何描述)描述 几何描述 波面和波线 波线(波射线 由波源出发， 波线 波射线) —由波源出发，沿波传播方向的线。 波射线 由波源出发 沿波传播方向的线。
3、波速 、 波速u—振动状态 位相 的传播速度，又称相速。 振动状态(位相 的传播速度，又称相速。 波速 振动状态 位相)的传播速度 波速完全由介质的性质来确定。 波速完全由介质的性质来确定。 思考： 、振动速度和波速的区别和联系？ 思考：1、振动速度和波速的区别和联系？ 2、据波速和频率的关系， 2、据波速和频率的关系，u
原点不同时，波函数形式变化， 原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定 点振动方程不变。 点振动方程不变。
物理 意义 特征
ϕ0
对确定质点曲线形状一定
三、 平面简谐波的表达式
建立波函数的依据 波的空间、 波的空间、时间周期性 沿波传播方向各质元振动状态(相位 相继落后 沿波传播方向各质元振动状态 相位)相继落后。 相位 相继落后。
讨论一维情况，平面简谐行波 讨论一维情况，
建立 Ψ = Ψ （ x、 t）的数学形式